Metodo Simplificado Para Calculo de Lajes

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Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.12, p.1-11, Outubro, 2008

Avaliao dos mtodos simplificados para clculo de lajes macias apoiadas em vigas flexveis Evaluation of the simplified methods for calculation of solid slabs supported on flexible beamsJos Milton de ArajoEscola de Engenharia da FURG Rio Grande, RS e-mail: ed.dunas@mikrus.com.br

RESUMO: Neste trabalho so estudados quatro mtodos para anlise de pavimentos de concreto armado, formados por vigas e lajes macias. O mtodo dos elementos finitos (MEF) empregado para fazer uma anlise acoplada do sistema laje-vigas. Os resultados obtidos com o MEF so utilizados para a aferio de trs mtodos simplificados. Um mtodo simplificado, de fcil emprego em projetos estruturais, proposto e tem seus resultados confirmados pelo MEF. ABSTRACT: In this work we studied four methods for analysis of reinforced concrete floors, constituted by beams and solid slabs. The finite elements method (FEM) is used to accomplish a coupled analysis of the slab-beam system. The results obtained with FEM are used for verification of three simplified methods. A simplified method, of easy employment in structural design, it is proposed and has its results confirmed by FEM.

1. INTRODUO O clculo dos esforos solicitantes nos pisos de concreto armado, formados por vigas e lajes macias, uma das tarefas de maior complexidade dentro do projeto estrutural dos edifcios. Isto se deve interao entre esses dois elementos estruturais, o que possibilita a redistribuio de esforos conforme a rigidez relativa dos mesmos. A rigor, somente atravs de uma anlise no-linear podem-se obter resultados precisos, apesar de que esses resultados tambm so dependentes dos valores adotados para os parmetros do modelo no-linear. Alm disso, sempre possvel questionar a validade do prprio modelo nolinear. No existe a soluo exata para o problema, pois os resultados dependem da rigidez estabelecida para os elementos estruturais. Desse modo, os resultados obtidos com um software sofisticado podem ser totalmente irreais, dependendo dos valores de rigidez adotados como dados de entrada. certo que o software sempre garantir o equilbrio da estrutura como um todo, porm as redistribuies de esforos entre vigas e

lajes podem ser incompatveis com sua capacidade de acomodao plstica, o que tornar a estrutura inadequada. Assim, antes de utilizar um software sofisticado para a realizao de projetos estruturais, imprescindvel que o projetista entenda o funcionamento da estrutura, o que se consegue com a adoo de modelos simples. Esses modelos simplificados tm sido utilizados desde os primrdios do projeto estrutural e tm sido comprovados na prtica, atravs do projeto de estruturas que foram construdas e se mantiveram seguras e em bom funcionamento durante toda a sua vida til. A questo fundamental no projeto de um pavimento de concreto armado consiste no atendimento aos dois requisitos: a soluo no deve se afastar muito da soluo elstica, para garantir um bom funcionamento da estrutura em servio; o equilbrio do pavimento como um todo deve ser garantido. Qualquer mtodo simplificado que atenda a esses dois requisitos pode ser utilizado para projetar os pisos de edifcios de concreto armado.

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Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.12, p.1-11, Outubro, 2008

Neste trabalho so estudados quatro mtodos para anlise de pavimentos de concreto armado, formados por vigas e lajes macias. O mtodo dos elementos finitos (MEF), tido como o mtodo de referncia, empregado para validar ou para invalidar os trs mtodos simplificados. 2. EXEMPLO 1 PAVIMENTO COM QUATRO LAJES QUADRADAS Neste primeiro exemplo, considera-se o piso de um edifcio residencial, formado por quatro lajes quadradas, conforme est indicado na fig. 1. O pavimento formado por 4 lajes, apoiadas em 6 vigas, as quais so apoiadas em 9 pilares. As lajes possuem vos de clculo l x = l y = 5 m.

continuidade com a laje vizinha. Nesse caso, o pavimento tratado como quatro lajes isoladas, como indicado na fig. 2.yL1 L2

L3

L4

5m

5m

x

5m

Fig. 2. Separao das lajes para a realizao do clculo tradicional Os esforos e a flecha das lajes podem ser obtidos com o emprego da Tabela A2.4, constante no Volume 2 da referncia [1]. Utilizando a tabela, obtm-se os seguintes resultados: - flecha no centro das lajes: Wo = 2,65 mm - momento fletor positivo no centro das lajes, segundo a direo x: M x = 3,51 kNm/m - momento fletor positivo no centro das lajes, segundo a direo y: M y = 3,51 kNm/m- momento negativo segundo a direo x: - momento negativo segundo a direo y: nas ligaes L1-L2 e L3-L4, M xe = 8,46 kNm/m nas ligaes L1-L3 e L2-L4, M ye = 8,46 kNm/m

V4

V5

Fig. 1 Pavimento do exemplo 1 Os seguintes dados so considerados para o clculo do pavimento: - carga uniforme nas lajes: p = 5 kN/m2 - espessura das lajes: h = 10 cm - seo transversal de todas as vigas: largura b = 20 cm; altura h = 50 cm (seo retangular) - carga adicional sobre as vigas, decorrente do peso prprio e de uma parede: p = 7 kN/m - concreto: resistncia caracterstica f ck = 30 MPa; mdulo secante Ecs = 28520 MPa; coeficiente de Poisson = 0,2 ; coeficiente de fluncia = 0 (fluncia desconsiderada na anlise).2.1 Clculo tradicional por meio de tabelas

V6

5m

- momento toror nos cantos simplesmente apoiados: M xy = 3,33 kNm/m.2.2 Anlise integrada do pavimento, empregando o mtodo dos elementos finitos

No clculo tradicional, as lajes so isoladas, considerando-se um engaste perfeito onde h

O pavimento da fig. 1 tambm analisado com o emprego de um programa de elementos finitos. Nessa formulao, as lajes so discretizadas em elementos finitos isoparamtricos quadrticos de 8 ns, conforme descrito nas referncias [2,3]. A formulao do elemento baseada na teoria de placas de Mindlin. As vigas so discretizadas com elementos finitos de trs ns, formulados com base

Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.12, p.1-11, Outubro, 2008 na teoria de vigas de Timoshenko, conforme descrito na referncia [4]. A anlise elstica linear, onde se considera que as lajes esto no estdio I. Para as vigas, consideram-se duas situaes: vigas no estdio I, com rigidez flexo Ecs I , e vigas no estdio II com uma rigidez reduzida 0,4 Ecs I , conforme sugerido na NBR-6118[5], onde I o momento de inrcia da seo de concreto simples. Alm disso, so feitas duas consideraes quanto rigidez toro das vigas: vigas sem rigidez toro e vigas com rigidez toro GJ , onde G = 0,5 Ecs o mdulo de elasticidade transversal e a constante de toro J dada por Fig. 4 Malha de elementos finitosJ = hb3

3

(1)A) Resultados para vigas sem rigidez toro

4 1 1 b b = 0,21 1 3 h 12 h

(2)

Na fig. 5, apresenta-se a variao dos momentos fletores na laje, segundo a direo x, obtidos considerando-se a rigidez 0,4 Ecs I para as vigas.

sendo h > b , as dimenses da seo da viga, conforme a referncia [6]. Na formulao do mtodo dos elementos finitos, considera-se o efeito da excentricidade e entre o eixo da viga e o plano mdio da laje, como indicado na fig. 3.plano mdio da laje, onde se situam os ns da malha de elementos finitos h eixo da viga b n e=(hv-h)/2

e

hv

Inrcia da viga: Iv=bhv3/12+bhve2

Fig. 3 Efeito da excentricidade do eixo da viga

Fig. 5 Momentos fletores segundo a direo x Na fig. 6, apresentam-se as variaes do momento negativo M xe nas ligaes L1-L2 e L3L4, em funo da coordenada y. Esses momentos so obtidos nos pontos de integrao que se situam em uma linha paralela o eixo da viga V5 e dela distante 11 cm, aproximadamente. Ou seja, os momentos negativos so avaliados nas faces da viga V5.

Na fig. 4, apresenta-se a discretizao da laje em elementos finitos. A malha formada por 100 elementos de placa e 60 elementos de viga.

41000 900 800

Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.12, p.1-11, Outubro, 2008

Laje L1 0,4EcsI 1000EcsI EcsI P5

Coordenada y (cm)

700 600 500 400 300 200 100 0 -7

Viga V5

momento de 4,38 kNm/m. Isto far com que a regio central da laje atinja o estado limite ltimo para cargas pouco maiores que as cargas de servio. Mesmo que haja redistribuio de esforos para manter o equilbrio, a fissurao da laje poder ser inaceitvel. A flecha Wo = 2,65 mm, obtida com o clculo tradicional, corresponde a apenas 63% da flecha Wo = 4,20 mm, obtida com o MEF. Tabela 1 Resultados para vigas sem rigidez toro Resultado Tradicional MEF Ecs I 0,4 Ecs I Wo Mx = My M xe = M yeM xe = M ye

Laje L3-6 -5 -4 -3 -2 -1 0

Momento Mxe (kNm/m)

Fig. 6 Variao do momento negativo em funo da rigidez das vigas de apoio Conforme se observa na fig. 6, a funo M xe ( y ) sofre grandes variaes conforme se altera a rigidez das vigas de apoio. Do ponto de vista do projeto estrutural, conveniente determinar um momento negativo mdio ao longo da viga V5. Assim, as armaduras negativas da laje podem ser dimensionadas para esse momento mdio e podem ser distribudas uniformemente ao longo de todo o bordo onde h continuidade entre duas lajes. O momento mdio dado por 1 l (3) M xe = M xe ( y ) dy l 0

2,65 3,51 -8,46 3,33

3,45 4,10 -6,52 -4,52 3,06

4,20 4,38 -6,22 -4,87 2,88

M xy

B) Resultados para vigas com rigidez toro

Na tabela 2, apresentam-se os resultados obtidos quando se considera a rigidez toro das vigas, dada pela equao (1). Neste caso, considera-se que a rigidez flexo das vigas 0,4 Ecs I . Tabela 2 Resultados para vigas com rigidez toro Resultado MEF GJ = 0 GJ 0 4,20 3,86 Wo Mx = My M xe = M yeM xe = M ye

onde l = 500 cm o comprimento do bordo comum de cada laje, neste exemplo. Na tabela 1, apresentam-se os resultados obtidos com o mtodo dos elementos finitos (MEF) e com o clculo tradicional, j discutido. A flecha Wo dada em mm e os momentos so dados em kNm/m. Conforme se observa pela tabela 1, o clculo tradicional subestima a flecha e os momentos fletores positivos na laje. Por outro lado, o clculo tradicional superestima os momentos negativos e os momentos torores nos cantos simplesmente apoiados. A armadura positiva da laje, se dimensionada para o momento de 3,51 kNm/m, corresponderia a apenas 80% da armadura necessria para o

4,38 -6,22 -4,87 2,88 0

3,97 -5,76 -4,53 1,39 -1,10

M xyM xb = M yb

Quando se considera a rigidez toro das vigas, surge um momento fletor negativo nas bordas de extremidade da laje. O valor mximo desse momento, em valor absoluto, M xb , nos

Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.12, p.1-11, Outubro, 2008 apoios em V4 e V6, e M yb , nos apoios em V1 e V3. Em virtude da dupla simetria do pavimento, resulta M xb = M yb . Observando a tabela 2, verifica-se que os resultados sofrem uma alterao desprezvel, quando se considera a rigidez toro das vigas. De fato, as vigas de seo retangular, com as dimenses usualmente adotadas nos edifcios (h >> b ) , possuem uma rigidez toro muito pequena. Observa-se, tambm, que os momentos negativos nos apoios de extremidade so muito pequenos, no havendo necessidade de uma armadura negativa nessa regio, a menos em casos excepcionais de vigas de grande rigidez toro. Outra concluso a que se chega pela tabela 2 que o momento toror nos cantos simplesmente apoiados pequeno ( M xy = 1,39 kNm/m). Esse momento bem inferior ao momento de fissurao da laje, mesmo considerando uma resistncia trao reduzida para o concreto, f ctd = f ctk ,inf 1,4 . Com isso, pode-se concluir que, nos casos usuais, possvel omitir as denominadas armaduras de canto.2.3 Clculo alternativo proposto

5

- em um bordo comum (apoio interno), adota-se um momento negativo de valor absoluto igual ao do maior momento positivo das duas lajes adjacentes, na direo considerada; - as armaduras de canto e as armaduras negativas nos bordos de extremidade podem, em geral, ser omitidas. Na tabela 3, apresentam-se os resultados obtidos com esse modelo simplificado e com o MEF. Tabela 3 Resultados para vigas sem rigidez toro Resultado Modelo MEF com proposto GJ = 0 e 0,4 Ecs I Wo Mx = MyM xe = M ye

5,12 5,53 -5,53

4,20 4,38 -4,87 (ou -6,22)

Observando a tabela 3, verifica-se que o modelo proposto fornece uma soluo a favor da segurana, havendo uma boa concordncia com o MEF.3. EXEMPLO 2 PAVIMENTO COM QUATRO LAJES DESIGUAIS

Com base nos resultados apresentados anteriormente, conclui-se que o mais indicado sempre fazer uma anlise acoplada do pavimento como um todo, onde so includas as lajes e as vigas, simultaneamente. O clculo tradicional, engastando-se as lajes onde h continuidade e empregando as tabelas da teoria de placas no fornece valores confiveis para os esforos solicitantes nas lajes apoiadas em vigas flexveis. Esse modelo simplificado s deve ser usado para analisar lajes apoiadas em paredes ou em vigas de grande rigidez flexo. Entretanto, possvel utilizar as tabelas da teoria de placas e encontrar uma soluo satisfatria, quando no se dispe de um programa de elementos finitos para a anlise do pavimento como um todo. Neste caso, adota-se o seguinte procedimento: - consideram-se todas as lajes simplesmente apoiadas, para efeito de clculo dos momentos positivos, flecha e reaes de apoio; para isto, pode-se empregar a tabela A2.1 da referncia [1], para o caso de carga uniforme;

Neste exemplo, considera-se o piso indicado na fig. 7, onde se observa que h duas lajes quadradas e duas lajes retangulares, armadas em uma direo (relao entre os vos 7 3 > 2 ).yP1 P3

P2

V1

L1

L2

P4 L3 P7 V3 3m

P5

V2 L4

P6

P8 7m

P9

x

Fig. 7 Pavimento do exemplo 2

6

Teoria e Prtica na Engenharia Civil, n.12, p.1-11, Outubro, 2008 perpendiculares aos vos maiores, em sua face inferior. Deve-se observar que o momento correspondente armadura mnima, para uma laje com h = 10 cm, f ck = 30 MPa e ao CA-60, M k ,min = 4,07 kNm/m, conforme a tabela 4.4.2 do Volume 2 da referncia [1]. Logo, se for respeitada a armadura mnima nas duas direes das lajes L1 e L4, essa armadura ser suficiente para corrigir os erros de clculo dos mtodos tradicionais. Essa exigncia, inclusive, feita pelo BS 8110:1997 (norma britnica para projeto de estruturas de concreto, conforme [7]). Assim, ao contrrio do que est indicado na NBR-6118 [5], recomendvel que as armaduras de distribuio das lajes armadas em uma direo tambm respeitem a armadura mnima. Na fig. 9, indicam-se os momentos negativos mnimos nos bordos comuns das lajes. Os valores entre parntesis correspondem aos momentos negativos mdios, calculados de forma similar equao (3). y Momentos em kNm/mL1 (-6,57) -7,86 -5,69 (-4,75) (-6,57) L4 -7,86 L2

3.1 Anlise integrada do pavimento, empregando o mtodo dos elementos finitos

Na anlise pelo MEF, considera-se a rigidez 0,4 Ecs I para as vigas e despreza-se sua rigidez toro. Na fig. 8, indicam-se os momentos fletores mximos positivos em cada laje, com o sentido de colocao das armaduras correspondentes.

3,31

0,59

Fig. 8 Momentos mximos positivos nas lajes obtidos com o MEF Conforme se observa na fig. 8, nas lajes L1 e L4, os momentos...