método simplex - iepg.unifei.edu.br · 5/3/2007 prof. josé arnaldo b. montevechi 1 pesquisa...
TRANSCRIPT
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 1
Pesquisa Operacional
Universidade Federal de Itajubá
Aula 05 – Simplex – Resumo
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 2
Método Simplex
O método simplex é um método iterativo
(algoritmo) utilizado para achar,
algebricamente, a solução ótima de um
problema de PL.
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 3
Resolvendo o problema de Giapetto pelo simplex
Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a:
2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0
Dá para aplicar o Simplex?
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 4
O Método Simplex éaplicado diretamente
quando:1. todas as restrições são ≤2. todos os bi ≥ 03. se quer maximizar Z
Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a:
2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 5
Converter o problema de PL na forma canônica
Max Z = 3X1 + 2X2sujeito a:
2X1 + X2 + X3 = 100X1 + X2 + X4 = 80X1 + X5 = 40X1, X2, X3, X4 e X5 ≥ 0
O que significa?
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 6
Solução básica inicialMax Z = 3X1 + 2X2
sujeito a:
2X1 + X2 + X3 = 100
X1 + X2 + X4 = 80
X1 + X5 = 40
X1, X2, X3, X4 e X5 ≥ 0
Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0Variáveis básicas: X3 = 100 X4 = 80 X5 = 40
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 7
O problema pode ser representado assim:
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 -3 -2 0 0 0 0 X3 0 2 1 1 0 0 100 X4 0 1 1 0 1 0 80 X5 0 1 0 0 0 1 40
100/2=5080/1=8040/1=40
Indica que X1 entra nolugar de X5
Pivô
X1 entra na base
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 8
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 -2 0 0 3 120 X3 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 1 0 1 -1 40 X1 0 1 0 0 0 1 40
Segunda iteração
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 -3 -2 0 0 0 0 X3 0 2 1 1 0 0 100 X4 0 1 1 0 1 0 80 X5 0 1 0 0 0 1 40
100/2=50
80/1=8040/1=40
Primeira linha a ser preenchida nesta tabela
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 9
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 -2 0 0 3 120 X3 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 1 0 1 -1 40 X1 0 1 0 0 0 1 40
PivôAinda não é a solução ótima
20/1=20
40/1=4040/0
Indica que X2 entra nolugar de X3
Segunda iteração
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 10
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 0 2 0 -1 160 X2 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 0 0 1 40
Terceira iteração Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão
Base 1 0 -2 0 0 3 120 X3 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 1 0 1 -1 40 X1 0 1 0 0 0 1 40
20/1=2040/1=40
40/0
Primeira linha a ser preenchida nesta tabela
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 11
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 0 2 0 -1 160 X2 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 0 0 1 40
Ainda não é a solução ótima
Pivô
-102040
Indica que X5 entra nolugar de X4
Terceira iteração
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 12
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 0 1 1 0 180 X2 0 0 1 -1 2 0 60 X5 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 1 -1 0 20
Quarta iteração Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão
Base 1 0 0 2 0 -1 160 X2 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 0 0 1 40
-102040
Primeira linha a ser preenchida nesta tabela
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 13
Solução é ótima
Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 0 1 1 0 180 X2 0 0 1 -1 2 0 60 X5 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 1 -1 0 20
Valor máximo possívelpara a função objetivo
Quarta iteração
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 14
Solução do problema de Giapetto pelo simplex
Max Z = 3X1 + 2X2sujeito a:
2X1 + X2 + X3 = 100X1 + X2 + X4 = 80X1 + X5 = 40X1, X2, X3, X4 e X5 ≥ 0
Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20) Z = 3*20 + 2*60 = 180
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 15
ExercícioResolver o problema do final do item 4.6.4 da apostila;
Entregar o resultado para fazer parte da avaliação da disciplina.
5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 16
Resolva o problema abaixo pelo simplex
Max Z = 5X1 + 2X2 sujeito a:
X1≤ 3 X2 ≤ 4 X1 + 2X2 ≤ 9 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0