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5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 1 Pesquisa Operacional Universidade Federal de Itajubá Aula 05 – Simplex – Resumo 5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 2 Método Simplex O método simplex é um método iterativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a solução ótima de um problema de PL.

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5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 1

Pesquisa Operacional

Universidade Federal de Itajubá

Aula 05 – Simplex – Resumo

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 2

Método Simplex

O método simplex é um método iterativo

(algoritmo) utilizado para achar,

algebricamente, a solução ótima de um

problema de PL.

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 3

Resolvendo o problema de Giapetto pelo simplex

Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a:

2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

Dá para aplicar o Simplex?

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 4

O Método Simplex éaplicado diretamente

quando:1. todas as restrições são ≤2. todos os bi ≥ 03. se quer maximizar Z

Max Z = 3X1 + 2X2 sujeito a:

2X1 + X2 ≤ 100 X1 + X2 ≤ 80 X1 ≤ 40 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 5

Converter o problema de PL na forma canônica

Max Z = 3X1 + 2X2sujeito a:

2X1 + X2 + X3 = 100X1 + X2 + X4 = 80X1 + X5 = 40X1, X2, X3, X4 e X5 ≥ 0

O que significa?

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 6

Solução básica inicialMax Z = 3X1 + 2X2

sujeito a:

2X1 + X2 + X3 = 100

X1 + X2 + X4 = 80

X1 + X5 = 40

X1, X2, X3, X4 e X5 ≥ 0

Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0Variáveis básicas: X3 = 100 X4 = 80 X5 = 40

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 7

O problema pode ser representado assim:

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 -3 -2 0 0 0 0 X3 0 2 1 1 0 0 100 X4 0 1 1 0 1 0 80 X5 0 1 0 0 0 1 40

100/2=5080/1=8040/1=40

Indica que X1 entra nolugar de X5

Pivô

X1 entra na base

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 8

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 -2 0 0 3 120 X3 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 1 0 1 -1 40 X1 0 1 0 0 0 1 40

Segunda iteração

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 -3 -2 0 0 0 0 X3 0 2 1 1 0 0 100 X4 0 1 1 0 1 0 80 X5 0 1 0 0 0 1 40

100/2=50

80/1=8040/1=40

Primeira linha a ser preenchida nesta tabela

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 9

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 -2 0 0 3 120 X3 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 1 0 1 -1 40 X1 0 1 0 0 0 1 40

PivôAinda não é a solução ótima

20/1=20

40/1=4040/0

Indica que X2 entra nolugar de X3

Segunda iteração

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 10

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 0 2 0 -1 160 X2 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 0 0 1 40

Terceira iteração Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão

Base 1 0 -2 0 0 3 120 X3 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 1 0 1 -1 40 X1 0 1 0 0 0 1 40

20/1=2040/1=40

40/0

Primeira linha a ser preenchida nesta tabela

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 11

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 0 2 0 -1 160 X2 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 0 0 1 40

Ainda não é a solução ótima

Pivô

-102040

Indica que X5 entra nolugar de X4

Terceira iteração

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 12

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 0 1 1 0 180 X2 0 0 1 -1 2 0 60 X5 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 1 -1 0 20

Quarta iteração Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão

Base 1 0 0 2 0 -1 160 X2 0 0 1 1 0 -2 20 X4 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 0 0 1 40

-102040

Primeira linha a ser preenchida nesta tabela

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 13

Solução é ótima

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 0 1 1 0 180 X2 0 0 1 -1 2 0 60 X5 0 0 0 -1 1 1 20 X1 0 1 0 1 -1 0 20

Valor máximo possívelpara a função objetivo

Quarta iteração

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 14

Solução do problema de Giapetto pelo simplex

Max Z = 3X1 + 2X2sujeito a:

2X1 + X2 + X3 = 100X1 + X2 + X4 = 80X1 + X5 = 40X1, X2, X3, X4 e X5 ≥ 0

Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20) Z = 3*20 + 2*60 = 180

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 15

ExercícioResolver o problema do final do item 4.6.4 da apostila;

Entregar o resultado para fazer parte da avaliação da disciplina.

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 16

Resolva o problema abaixo pelo simplex

Max Z = 5X1 + 2X2 sujeito a:

X1≤ 3 X2 ≤ 4 X1 + 2X2 ≤ 9 X1 ≥ 0 X2 ≥ 0

5/3/2007 Prof. José Arnaldo B. Montevechi 17

X2

X11

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

Método Gráfico(Exemplo já realizado anteriormente)

A B

C

D

E

Indicando ponto ótimo - C (3, 3)

Z = 21