INTRODUÇÃO

A importância do estudo de resolução de Sistemas-lineares é de uma grandeza

imensurável, pois diversos cálculos e dimensionamentos são feitos através de Sistemas

Lineares, além de que esse método possui uma grande precisão, levando em conta que é

utilizado o valor anterior calculado nas Funções de Iterações.

O método de Gauss-Seidel

 O método de Gauss-Seidel é um método interativo para resolução de sistemas de

equações lineares. O seu nome é uma homenagem aos matemáticos alemães Carl Friedrich

Gauss e Philipp Ludwig von Seidel. É semelhante ao método de Jacobi (e como tal, obedece ao

mesmo critério de convergência). É condição suficiente de convergência que a matriz seja

estritamente diagonal dominante e fica garantida a convergência da sucessão de valores gerados

para a solução exata do sistema linear.

Esse método difere do processo de Jacobi-Richardson por utilizar para o cálculo de uma

componente de x(k+1) o valor mais recente das demais componentes Por esse motivo o método

da Gauss-Seidel é também conhecido por Método dos Deslocamentos Sucessivos.

É um método iterativo para resolução de sistemas de equações lineares. O seu

nome é uma homenagem aos matemáticos alemães Carl Friedrich Gauss e Philipp

Ludwig von Seidel. É semelhante ao método de Jacobi (e como tal, obedece ao mesmo

critério de convergência). É condição suficiente de convergência que a matriz seja

estritamente diagonal dominante, i. e., fica garantida a convergência da sucessão de

valores gerados para a solução exacta do sistema linear.

Procuramos a solução do conjunto de equações lineares, expressadas em termos

de matriz como

A iteração Gauss-Seidel é

 Esta expressão matricial é utilizada principalmente para analisar o método

Método iterativo de Gauss-Seidel

No método de Gauss-Seidel, um sistema de equações lineares Ax = b é escrito

de forma equivalente x = Cx + g por separação da diagonal. Seja x (0) uma aproximação

inicial, pelo processo iterativo .

Portanto, no método de Gauss-Seidel, quando calcularmos x (k+1) j usamos todos os

valores de x (k+1) 1 , . . . , x (k+1) j−1 que já foram calculados e os valores x (k)

j+1, . . . , x (k) n restantes.

Convergência dos Métodos de Jacobi e Gauss-Seidel

As condições de convergência de verificação simples para os métodos de Jacobi e

Gauss-Seidel são: 1. Os métodos iterativos de Jacobi e Gauss-Seidel convergem se a matriz A é

diagonalmente dominante, ou seja: |aii| > Xn j6=i |aij|, i = 1: n. 2. Os métodos iterativos de

Jacobi e Gauss-Seidel convergem se A é uma matriz positiva definida:

x T Ax > 0 para todo x 6= 0

Critérios de Parada

O critério de parada interrompe a seqüência gerada pelos métodos. Este deve avaliar

quando xk , na k-´esima iteração, está suficientemente próximo da raiz exata. Contudo, o valor

exato da raiz e desconhecido na maioria dos casos, logo, o processo é interrompido quando

pelo menos um dos critérios a seguir é satisfeito: 1. Avaliação do ponto na função: |f (xk )| ≤ ¤;

2. Avaliação do tamanho do intervalo: |xk − xk−1| ≤ ¤ ou xk − xk−1 xk ≤ ¤;

O processo iterativo Gauss-Seidel é repetido várias vezes até que o vetor x (k) esteja

muito próximo do vetor x (k−1). Considerando a norma de vetores, e dada uma precisão

², o vetor x (k) será escolhido como uma solução aproximada da solução exata se

(i) kx (k) − x (k−1)k < ² (erro absoluto), (ii) kx (k) − x

(ii) (k−1)k kx (k)k < ² (erro relativo)

Os critérios de parada acima são os mais utilizados.

CONCLUSÕES

O método se mostrou o muito eficaz para a resolução de sistemas lineares, sendo que a

aproximação é muito precisa, dependendo do erro adotado. É um método também caso necessário realizá-

lo manualmente sem máquinas de cálculo, se mostra eficiente também, levando em conta que se consegue

funções de iterações o que facilita a visualização e realização de contas. Enfim de todos os métodos

conhecidos do Gauss para resolução de sistema, esse foi o método que mais agradou nossa equipe, pela

fácil aplicação e também pela precisão. O que mais nos chama a atenção nesse método é a utilização dos

valores anteriores para o cálculo do próximo valor esse fato leva a precisão. Após a realização desse

trabalho ficamos cientes que a condição necessária para o êxito do método é o de que a matriz seja

estritamente diagonal e após alguns testes com o programa de Gauss-Seidel verficou-se também que na

diagonal principal não pode possuir nenhum numero nulo.

Referências Bibliográficas

M. C. C. Cunha. Métodos Numéricos. 2a Edição, Editora da Unicamp, 2000.