Mtodo do caminho crticoO significado das siglas CPM e PERT; O algoritmo do caminho crtico; Primeiras e ltimas datas de incio e trmino de uma atividade; Duraes determinsticas e probabilsticas. O mtodo do caminho crtico refere-se a um conjunto de tcnicas utilizado para o planejamento e o controle de empreendimentos ou projetos. Os fatores relativos a um empreendimento so trs: prazo, custo e qualidade, e o mtodo do caminho crtico utilizado para o gerenciamento dos tempos e dos custos e tambm para permitir a avaliao dos nveis de recursos que so necessrios para desenvolver o projeto. A aplicao desse mtodo na programao da produo ocorre toda vez que devemos programar produtos nicos e no repetitivos. Um exemplo a programao das atividades necessrias construo de um navio, de transformador de grande porte, de uma turbina, entre outros. Existem dois mtodos distintos: PERT e CPM. Modernamente, os clculos so realizados por softwares, tais como o Microsoft Project (MS Project), e por isso apresentamos neste captulo a lgica da montagem das redes e o algoritmo utilizado para a determinao do caminho crtico, no apresentando outros itens que decorram dos clculos do caminho crtico pelo fato de serem mais facilmente executados com o auxlio de um dos softwares existentes. Do mesmo modo, apresentamos rapidamente o PERT, pois a prtica nos mostra que sua utilizao bastante restrita, alm de seus resultados no serem necessariamente muito corretos, dada a aproximao realizada para a distribuio de probabilidades que representa a durao de cada atividade. 14.1 Representao de um projeto

Um projeto constitudo por um conjunto de atividades independentes, mas logicamente ligadas, e pode ser representado por meio de uma rede, como a da figura 14.1.

2 A

B D

4 C 5

1 E Figura 14.1 Rede de um projeto 3 F

1

Na representao da figura 14.1, verifica-se que no h atividades que precedam A e E que podem ser executadas em paralelo, desde que haja recursos disponveis. Por outro lado, a atividade B depende do trmino da atividade A para ser iniciada, e, do mesmo modo, as atividades D e F dependem do trmino da atividade E para que possa ser iniciadas. Assim, cada atividade do projeto representada por um conjunto distinto de dois ns como sendo: A representada pelo conjunto de ns 1, 2; B representada pelo conjunto de ns 2, 4; C representada pelo conjunto de ns 4, 5; D representada pelo conjunto de ns 3, 4; E representada pelo conjunto de ns 1, 3; F representada pelo conjunto de ns 3, 5.

O objetivo atribuir uma durao a cada atividade e determinar em quanto tempo possvel se completar o projeto. Ainda, se para cada atividade designarmos o tipo do recurso que necessrio, a quantidade e o custo de cada um dos recursos, poderemos ter uma estimativa do custo do projeto e uma estimativa da quantidade fsica de cada um dos recursos alocados ao projeto em cada unidade de tempo. 14.2

Fases para a elaborao da rede do projeto As principais fases para a elaborao da rede do projeto so:

Definir o que o projeto, seu incio e trmino; Dividir o projeto em atividades de tal maneira que cada uma no tenha partes em superposio com outra, mas com a condio de que as atividades abranjam o projeto todo; Identificar a lgica de seqncia que existe entre as atividades e verificar quais so as que, lgica e independentemente do nvel de recursos existentes, dependem de outra ou de outras, e atividades que no apresentam dependncia entre si; Montar a rede do projeto; Determinar a durao de cada atividade; Determinar o tipo e a quantidade de recursos necessrios para desenvolver a atividade; Determinar o custo de cada recurso; Determinar o caminho crtico; Elaborar o cronograma para programao do projeto.

Exemplo 14.1 O projeto da Tabela 14.1 apresenta os seguintes dados:

2

ATIVIDADE A B C D E F Tabela 14.1

DURAO DIAS 3 5 4 3 7 2

TIPO DE RECURSO QUANTIDADE Operador de mquina Soldador Caminho Operador de mquina Escavadeira Compactador de solo 1 2 3 1 1 1

CUSTO UNITRIO ($) 90,00/ dia 70,00/ dia 100,00/ dia 90,00/ dia 300,00/ dia 100,00/ dia

Os custos seriam: Operador de mquina = 2 operadores x 6 dias x $ 90,00/ dia = $ 1.080,00 Soldador = 2 soldadores x 5 dias x $ 70,00/ dia = $ 700,00 Caminho = 3 caminhes x 4 dias x $ 100,00/ dia = $ 1.200,00 Escavadeira = 1 escavadeira x 7 dias x $ 300,00/ dia = $ 2.100,00 Compactador de solo = 1 compactador x 2 dias x $ 100,00/ dia = $ 200,00 O total de custo previsto para o projeto igual a $ 5.280,00. 14.3 PERT

No mtodo PERT (program evaluation and review technique), a cada atividade atribuem-se trs duraes distintas: Durao otimista: A; Durao mais provvel: M; Durao pessimista: B.

Para que o algoritmo de soluo possa ser aplicado, determina-se a durao mdia (T) da atividade pela expresso: T = (A + 4 x M + B) / 6 Essa aproximao proveniente da hiptese de que sua durao no fixa, mas uma varivel aleatria que segue uma distribuio de probabilidade. Caso seja decidido utilizar o mtodo PERT, podero ser desenvolvidos clculos estatsticos que mostram a probabilidade de um projeto ser terminado at uma certa data. Depois de determinada a data mdia T de cada atividade, aplica-se o algoritmo do mtodo do caminho crtico para determinao da durao do projeto. 14.4 CPM

Para a utilizao do mtodo CPM (critical path method), deve-se determinar uma nica durao para cada atividade e aplicar o algoritmo do caminho crtico.

3

14.5

Algoritmo do caminho crtico

Para a apresentao do algoritmo do caminho crtico, supomos que cada atividade tenha uma nica data seja a data atribuda pelo mtodo CPM, seja a data mdia calculada pelo mtodo PERT. Desejamos determinar a durao do projeto da Figura 14.2. A rede do projeto :

2 t2 T2

B 5 D 3

4 t4 T4

A 31 t1 T1

C 4 F 25 t5 T5

E 73 t3 T3

Figura 14.2

Rede do projeto.

Determinao das primeiras datas de incio PDI, ou ti

Inicialmente determinamos as primeiras datas de incio PDI, ou seja, as primeiras datas em que possvel, logicamente, iniciar cada atividade, sempre observando as dependncias entre as atividades. Para isso, por conveno, determinamos que o projeto se inicia na data zero, colocando o nmero 0 no n 1, incio das atividades A e E. Incio de B

Para que a atividade B possa ser iniciada, pela dependncia apresentada na rede, a atividade A deve estar terminada. Portanto, se a atividade A iniciada na data 0, como sua durao 3, deve terminar em 0 + 3 = 3. Conseqentemente, a atividade B tem sua PDI em 3, que colocamos sobre o n 2, que representa o incio da atividade B. Incio de D Para que a atividade D possa ser iniciada, pela dependncia apresentada na rede, a atividade E deve estar terminada. Portanto, se a atividade E iniciada na data 0, como sua durao 7, deve terminar em 0 + 7 = 7. Conseqentemente, a atividade D tem sua PDI em 7, que colocamos sobre o n 3, que representa o incio da atividade D. Incio de F

4

Para que a atividade F possa ser iniciada, pela dependncia apresentada na rede, a atividade E deve estar terminada. Portanto, se a atividade E iniciada na data 0, como sua durao 7, deve terminar em 0 + 7 = 7. Conseqentemente, a atividade F tem sua PDI em 7, que deveria ser colocada sobre o n 3, que tambm representa o incio da atividade F. No caso, a PDI para esse n j foi obtida a partir da atividade D sobre o n 2. Incio de C

Para que a atividade C possa ser iniciada, pela dependncia apresentada na rede, a atividade C depende do trmino das atividades B e D. o trmino da atividade B ocorre na data: incio de B + durao de B = 3 + 5 = 8. O trmino da atividade D ocorre na data: incio de D + durao de D = 7 + 3 = 10. Portanto, a atividade C somente pode ser iniciada na data 10, que marcamos no n 4, incio da atividade C. Data de trmino do projeto

O n de trmino do projeto o n 5. Nesse n convergem as dependncias de C e de F. para que o projeto termine, preciso que as duas atividades estejam terminadas. O projeto somente termina quando a atividade que demora mais termina. No caso, a atividade C termina em: data de incio + durao = 10 + 4 = 14. A atividade F termina em: 7 + 2 = 9. Portanto, o projeto somente termina na data 14, que marcamos no n 5, n de trmino do projeto. A figura 14.3 apresenta as PDIs das atividades.

2 3 T2

B 5 D 3

410 T4

A 41 0 T1

C 45

E 73 7 T3

F 2

14

T5

Figura 14.3

Rede do projeto PDI.

Determinao das ltimas datas de incio das atividades UDI, ou ti

A determinao das PDIs no significa que todas as atividades devem ser iniciadas na data marcada, mas somente que a atividade no pode ser iniciada antes daquela data. Existem atividades que devem ser iniciadas na PDI, sob pena de que a durao do projeto seja alterada - so as chamadas de atividades crticas. Mas h aquelas que podem ter um relativo atraso em seu incio - so as atividades que tm folga.

5

Para que possamos determinar cada um dos tipos de atividade, devemos determinar as ltimas datas em que ela pode ser iniciada sem comprometer a durao final do projeto. So as UDIs, ou as ltimas datas de incio de cada atividade. Para isso, marcamos as datas do fim para o comeo da rede a partir da pergunta: qual seria a ltima data possvel para o incio da atividade sem que a durao do projeto fosse alterada? Inicialmente, colocamos embaixo do n 5 a UDI = 14. Nesse n, convergem as atividades C e F. UDI no n 4

Qual a ltima data possvel para iniciar a atividade C de forma a no alterar a durao do projeto? UDI = (UDI do n 5) - durao de C = 14 4 = 10 UDI no n 3

Desse n se originam as atividades D e F. Qual a ltima data possvel para iniciar as atividades D e F de forma a no alterar a durao do projeto? Devemos analisar cada atividade separadamente: UDI para D: 10 3 = 7 UDI para F: 14 2 = 12 A data a ser selecionada deve satisfazer a D e a F. assim, se fosse selecionada a data 12, tanto a atividade D quanto a F poderiam ser iniciadas na data 14. Contudo, se a atividade D iniciasse em 12 e considerando que ela dura 3 e aps D, h a atividade C, que dura 4 - , resultaria que o projeto somente terminaria na data 19, contrariando a data de trmino (14). Portanto, a data que deve ser colocada no n a data 7, que atende s atividades D e F. UDI no n 2

Qual a ltima data possvel para iniciar a atividade B de forma a no alterar a durao do projeto? UDI = (UDI do n 4) - durao de B = 10 5 = 5 UDI no n 1

Qual a ltima data possvel para iniciar as atividades A e E de forma a no alterar a durao do projeto? A anlise a ser realizada idntica anlise feita para o n 3. Vejamos: para a atividade A, a UDI : 5 3 = 2; e para a atividade E a UDI : 7 7 = 0. Portanto, a UDI do n 1 0. A figura 14.4 apresenta todas as datas. Determinao do caminho crtico

6

Entende-se por cainho a seqncia de atividades que ligam o incio ao fim do projeto no caso o n 1 ao n 5. Identificando esses caminhos, temos: Caminho 1: ABC com durao 3 + 5 + 4 = 12 Caminho 2: EDC com durao 7 + 3 + 4 = 14 Caminho 3: EF com durao 7 + 2 = 9

2 3 5

B 5 D 3

410 10

A 51 0 0

C 45

E 73 7 7

F 2

14 14

Figura 14.4

Rede do projeto datas PDI e UDI.

Caso haja algum atraso na durao de qualquer uma das atividades do caminho 2 (EDC), haver um aumento na durao do projeto. Portanto, este o caminho que determina a durao do projeto e que chamado de caminho crtico. As atividades que formam o caminho crtico so denominadas atividades crticas. As demais atividades, no crticas, apresentam uma folga em suas duraes. Uma maneira de reconhecer se uma atividade crtica ou no consiste em verificar se a atividade atende s condies que seguem: 1. em cada n da atividade PDI = UDI (tanto no n inicial quanto no n terminal); 2. as datas do n seguinte devem ser iguais s datas do n inicial mais a durao da atividade. A figura 14.5 ilustra o fato.

Data 1 Durao Data 1a Figura 14.5

Data 2

Data 2 = data 1 + durao ou Data 2a = data 1a + durao

Data 2a

Verificao de atividade crtica.

7

No caso da atividade A, temos:

0 = 1 0 Figura 14.6 Atividade no crtica. A, 3

3 2 5

Logo, a atividade no crtica. No caso da atividade E, temos:

0 = 1 0 Figura 14.7 Atividade crtica. E, 7

7 3 7 = 0+7=7

Logo, a atividade crtica. Efetuando a mesma anlise para todas as atividades, assinalamos com um trao mais forte as atividades crticas na rede, resultando a figura 14.8.

2 3 5

B 5 D 3

410 10

A 61 0 0

C 45

E 73 7 7

F 2

14 14

Figura 14.8

Atividades crticas.

8

O MS Project um software para gerenciamento de projetos, que realiza as atividades de determinao de caminho crtico, clculo de recursos e custos, data final de projeto, anlises estatsticas PERT, entre outras automaticamente. Conforme a evoluo do projeto, ou seja, atrasos que ocorrem e atividades que encerram previamente, e outros eventos no previstos na elaborao do projeto, possvel com a utilizao do software gerenciar as atividades para que se tenha o menor comprometimento do prazo final. Imagine um cronograma com mais de cem atividades realizadas por departamentos diferentes e diversos fornecedores, sendo que todas as atividades tm um seqenciamento lgico. Seria extremamente trabalhoso atualizar o cronograma diariamente, conforme a evoluo do projeto, utilizando somente recursos grficos e ainda determinar prioridades no caminho crtico para no comprometer o prazo final. A utilizao de softwares para esse fim necessria. A figura 14.9 apresenta a tela do grfico de Gantt e gerenciamento das atividades no MS Project, para o projeto da tabela 14.1.

Elaborao do cronograma do projeto e determinao da folga total das atividades A folga total (FT) de uma atividade definida como sendo: FT = (UDT) - (durao da atividade) - (PDI)

As atividades crticas tm as folgas iguais a 0. A elaborao do cronograma feita programando-se as atividades a partir de sua PDI, colocando-se uma barra proporcional sua durao e adicionando-se uma barra final que representa a FT, caso a atividade no seja crtica. O cronograma para o projeto apresentado na figura 14.10.

9

0 A B C D E F A

3

5 FT B 7 E

FT = 5 3 = 2 10 FT = 10 - 5 3 = 2 10 C 14 Crtica D 10 Crtica 7 Crtica 7 F 9 FT 14 FT = 14 2 - 7 = 5 FT

8

Figura 14.10 Cronograma do projeto. As folgas do cronograma indicam que cada atividade pode, isoladamente, atrasar at aquela data terminal. Mas, por exemplo, se a atividade A tiver seu trmino na data 5, utilizando toda a folga da atividade, automaticamente a folga da atividade B desaparecer, pois que B somente poderia ser iniciada na data 5, e caso no terminasse at a data 10, o projeto atrasaria. O cronograma em grfico de Gantt tambm pode ser realizado pelo MS Project. A figura 14.11 mostra o grfico de Gantt, considerando os dias 6, 7, 13 e 14 como feriado. Isso importante, pois o programa j tem um calendrio no qual possvel programar todos os feriados do ano, que podem ser uma surpresa no meio de um projeto. A figura 14.12 seguinte ilustra o relatrio que se pode obter da utilizao dos recursos durante o projeto. Note que, para o operador de mquina, o software indicar quantas horas extras sero necessrias caso haja somente um operador.

10

14.6

Exerccios resolvidos

1. Dada a rede da figura 14.13, determinar: a) As PDIs e as UDIs de cada atividade. b) O(s) caminho(s) crtico(s). c) O cronograma e as FTs de cada atividade.

2 A, 7 C, 3 1 B, 4 F, 4 4 Figura 14.13 Rede do projeto. 3 E, 3 G, 2 5 D, 8

Soluo A figura 14.14 apresenta a soluo. No caso, h dois caminhos crticos: A D = 15 e B C D = 15

A figura 14.15 apresenta o cronograma.

11

1. Dada a rede da figura 14.16, determinar: a) As PDIs e as UDIs de cada atividade. b) O(s) caminho(s) crtico(s). c) O cronograma e as FTs de cada atividade.

2 A, 5 E, 3 1 B, 3 D, 2 4 Figura 14.16 Rede do projeto. 3 G, 2 C, 6 H, 3 5 F, 4

Soluo A figura 14.17 apresenta a soluo. No caso h um caminho crtico: B C H = 14.

12

A figura 14.18 apresenta o cronograma.

14.18 Cronograma do projeto. 1. Dada a rede da figura 14.19, determinar: a) As PDIs e as UDIs de cada atividade. b) O(s) caminho(s) crtico(s). c) O cronograma e as FTs de cada atividade.

3 B, 3 1 A, 4 2 D, 7 4 Figura 14.19 Rede do projeto. F, 8 C, 3

E, 7 6 5 G, 6

Soluo A figura 14.20 apresenta a soluo. No caso h somente um caminho crtico: A D F G = 25

13

A figura 14.21 apresenta o cronograma.

1. no projeto do exerccio 2, qual deveria ser a durao mnima da atividade E para que houvesse mais um caminho crtico de durao 12? Soluo A atividade E faz parte do caminho B E F, que dura 10. Portanto, para que esse caminho fosse crtico. E deveria durar 2 a mais, ou seja, deveria ter uma durao igual a 5. 2. No exerccio 1, o gerente do projeto deseja reduzir o tempo do projeto e decidiu alocar mais recursos atividade C, fazendo com que sua durao passasse a 2 (inicialmente era 3). O gerente agiu corretamente? Soluo No caso, existem dois caminhos crticos: A D e B C D. A durao do projeto no ser alterada, pois a ao do gerente reduz apenas um dos caminhos crticos. 14