mestrado integrado em engenharia biomédica ramo de ‘reabilitação, biomateriais e...

•Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica

ramo de ‘Reabilitação, Biomateriais e Biomecânica’Dep. Engª MecânicaEscola de EngenhariaUniversidade do Minho

Opção V – Movimento e Mecanismos

• Capítulo III

Análise Cinética

de Mecanismos Articulados

Opção V - Movimento e Mecanismos

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1. Introdução

2. Análise Estática

2.1 Forças

2.2 Momentos

2.3 Forças de reacção

2.4 Diagramas de corpo livre

2.5 Condições de equilíbrio

3. Análise Dinâmica

3.1 Inércia

3.2 Cinética do corpo rígido

3.3 Forças transmitidas

3.4 Determinação de momentos mássicos de inércia

Cap.III – Análise Cinética de Mecanismos Articulados

Programa do Módulo


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1. Introdução

De uma forma simplificada, analisa o movimento de um determinado mecanismo => cinemática directaou define a geometria básica de um mecanismo capaz de determinado movimento => cinemática inversa

Todavia, numa segunda etapa, torna-se necessário proceder ao projecto específico de cada um dos elementos que compõem o mecanismo, em termos de:

- material,- forma,- dimensões,

de maneira a garantir a necessária robustez para absorverem, transformarem e transmitirem as forças - energia, trabalho, potência - em jogo.

Simultaneamente, sendo essas forças transmitidas através das respectivas juntas, o binómio pressão/velocidade relativa no interface de contacto condiciona todo o comportamento mecânico dessas superfícies e respectiva tribologia - deformação, fadiga, regime de lubrificação, tipo de atrito, taxa de desgaste, etc.


O estudo cinemático de um mecanismo tem como objectivo a definição da geometria do movimento e da relação entre os parâmetros de deslocamento e o tempo - posição, velocidade, aceleração - desprezando as forças que provocam, ou resultam, desse mesmo movimento.


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1. Introdução

Os princípios básicos da dinâmica fundamentam-se nas ‘Leis do Movimento’, enunciadas por Newton:


- Um corpo permanece em repouso, ou em movimento uniforme e rectilíneo, na ausência de qualquer força externa que nele actue.

- A taxa de alteração da quantidade de movimento de um corpo actuado por uma força, ou conjunto de forças externas, é proporcional e tem a mesma direcção da resultante dessas forças.

- Sendo a massa de um corpo invariável, a magnitude da sua aceleração é proporcional à resultante das forças que nele actuam e inversamente proporcional à sua massa. A direcção da aceleração é igual à da resultante das forças.

- A uma acção sobre um corpo, realizada por uma força, corresponde sempre uma reacção oposta, de igual intensidade.


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Forças

Uma força é definida por uma magnitude e uma direcção podendo, portanto, ser encarada e tratada como outro qualquer vector.

Adicionalmente, pode ou não ser considerada como um vector livre - isto é, o seu ponto de aplicação pode ser ou não importante - conforme a análise em causa:

Tri-dimensionalmente uma força pode ser definida como,

F = f x i + f y j + f z k

em que (f x, f y, f z) representam as magnitudes das componentes coordenadas.


F1 F2

F2 F1


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Momentos

O momento de um binário corresponde a um vector (M), de direcção normal ao plano do binário e direcção dada pela ‘regra da mão direita’, ou ‘regra do saca-rolhas’.

A sua magnitude é dada pelo produto do braço pela intensidade de uma das forças (m=rf) .

Em termos vectoriais, o momento é igual ao produto externo dos vectores correspondentes ao braço e à força:

M = R x Fmas como:

R = x i + y j + z k

F = f x i + f y j + f z kentão:

M = R x F = i j k = mx i + my j + mz k x y z f x f y f z


F

M = R x F

R

F


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Momentos

Algumas propriedades dos binários podem ser referidas, embora não demonstradas aqui.


Assim:

(i) o valor do momento resultante é independente do ponto que se considere para centro do binário de forças;

(ii) o braço (R) do binário não tem necessariamente de ser perpendicular às forças em jogo;

=> neste caso, apenas o momento resultante será afectado, uma vez que será igual ao produto da força pela componente do braço (RN) normal à direcção das forças

(iii) o momento (M) é um vector livre, uma vez que não tem, nem depende, de um ponto de aplicação específico;

(iv) as forças de um binário podem ser rodadas em conjunto, no seu plano, desde que se mantenham as respectivas magnitudes e distância entre linhas de acção, ou podem ser ser transladadas para qualquer plano paralelo, sem que isso implique qualquer alteração no momento resultante;

=> assim, pode afirmar-se que dois binários são idênticos se produzirem iguais momentos, independentemente dos valores das forças ou braços que os constituem.


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Forças de Reacção - Atrito

De uma forma geral, por ‘força de reacção’ entende-se qualquer força que se opõe ao movimento.

Por outro lado, num corpo em movimento haverá ainda a considerar a força de atrito (F) que se opõe à força actuante (P), em que, fazendo (=tan ), virá (F=N).



Quanto a () e (), designados respectivamente por ‘ângulo de atrito’ e ‘coeficiente de atrito’, distinguem-se ainda duas situações,

(i) atrito estático: quando o movimento se encontra numa fase insipiente, ou seja, prestes a iniciar-se o escorregamento entre as duas superfícies;

(ii) atrito cinemático: quando o movimento se encontra perfeitamente estabelecido; (de uma forma geral, este último tem um valor inferior ao primeiro)

No caso de um corpo em repouso a força normal (N) poderá ser interpretada como a reacção do fixe ao peso (W) ou, muito simplesmente, a força que se opõe à queda desse corpo.


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Forças de Reacção - Atrito

A geometria do contacto pode, ainda, trazer algumas particulariedades de análise.

Obs.: só a partir desta posição se iniciará o escorregamento ‘normal’, de funcionamento, da chumaceira



N

F R

W

rf

Casquilho

Moente

A

B

r De notar que (rf) não depende da magnitude das forças envolvidas, mas apenas do raio do moente e do coeficiente de atrito.

No caso comum em mecânica de um par rotoide, a rotação do moente aliada à existência de atrito, fá-lo-á ‘subir’, rolando ao longo da periferia do casquilho até atingir uma posição em que se atinge o equilíbrio de forças.

Deste modo a força normal (N) não terá a mesma linha de acção da carga (W). A composição de (N) com a força de atrito (F=N) resulta numa força (R) de ponto de aplicação B que, essa sim, terá a mesma intensidade de (W) e sentido contrário.

O círculo com centro em A e tangente à linha de acção de (R) é chamado ‘círculo de fricção’ e o seu raio é dado por:

rf = rsen = rcos

rf = [0, 2/2r], para = [0, 1]


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Por definição, um ‘diagrama de corpo livre’ é um esboço desse corpo, em que se consideram todas as acções a que está sujeito e todas as reacções correspondentes aos corpos que com ele interagem.

Neste exemplo simples, para

uma viga em repouso simplesmente apoiada em A e C, de peso desprezável e dotada de uma massa de peso (P) aplicada em B,

vem que, (P), (RA) e (RB), respectivamente acção da massa e reacções dos apoios, podem ser encaradas como simples acções externas sobre a viga, cuja determinação permite analisar o seu estado de tensão e deformação estáticas, por exemplo.


Diagramas de Corpo Livre


P

A

RA RC

C B

A

C

B

P


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Condições de Equilíbrio

Um corpo encontra-se em equilíbrio estático se e só se forem nulas:

(i) a soma vectorial de todas as forças, de acção e de reacção ( F=0);

(ii) a soma dos momentos de todas as forças, actuando segundo qualquer eixo ( M=0)

Segundo os eixos coordenados, estas condições podem expressar-se como:

Fx = 0 Mx = 0 Fy = 0 My = 0 Fz = 0 Mz = 0

que, para problemas bi-dimensionais, se reduzem a:

Fx = 0 Fy = 0 Mz = 0



Nota: estas condições de equilíbrio são também válidas para situações dinâmicas, isto é, em que o corpo esteja animado de movimento (com determinadas características de deslocamento, velocidade e aceleração, variáveis no tempo) desde que se introduzam as respectivas componentes de força devidas à inércia, ou seja, às variações de velocidade das massas envolvidas.


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Nota

Basicamente, a dinâmica estuda as forças decorrentes da aceleração a que estão sujeitos os componentes de um mecanismo ou, na óptica inversa, as forças necessárias para que esses corpos variem o seu estado de movimento.

Os esforços resultantes, num dado corpo, serão então iguais à soma das forças dinâmicas e estáticas.

Este estudo será, aqui, restringido ao caso bi-dimensional, ou seja, aplicável apenas a mecanismos planos.




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Forças de Inércia - Princípio de D’Alembert

Considerando um corpo sujeito a um conjunto de forças quaisquer:



F1

F2 F3

F

G

m

h

x

y

F = maG

G

x

y

M = Im

a resultante dessas forças será ( F = F1 + F2 + F3) cuja linha de acção está a uma certa distância (h) do centro de massa G.

O efeito desta resultante ‘desbalanceada’ será a aceleração do corpo, com uma componente linear e uma componente angular, cujos valores são dados por:

F = m aG

MG = Im

em que (aG) representa a aceleração linear do centro de massa, () a aceleração angular do corpo em torno de G e (Im) o momento mássico de inércia do corpo em relação ao centro de massa G.


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Forças de Inércia - Princípio de D’Alembert

O estudo de mecanismos inicia-se, geralmente, pela análise cinemática, sendo o movimento dos vários componentes definido e, portanto, a sua aceleração determinada.



Como tal, torna-se conveniente reescrever as equações acima, na forma:

F – m aG = 0 MG – Im = 0

que podem ser ‘lidas’ como:

(i) a soma de todas as forças externas que actuam num corpo anula-se, quando adicionada a uma força fictícia de valor (- maG), denominada ‘força de inércia’;

(ii) a soma dos momentos provocados por todas as forças externas, em relação ao centro de massa, e de todos os momentos externos aplicados a um corpo anula-se, quando adicionada a um binário fictício de valor (- Im), denominado ‘binário de inércia’.

e que traduzem o chamado ‘princípio de D’Alembert’.

Nota: A utilidade desta análise reside no facto de qualquer situação dinâmica poder ser encarada como um problema de equilíbrio e, portanto, passível de ser resolvido pelos métodos empregues na estática.

A questão seguinte prende-se, assim, com o cálculo das forças e momentos necessários para conseguir esse movimento.


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Cinética do Corpo Rígido

Translacção



Adoptando o critério básico de que a resultante de todas as forças passa pelo centro de massa, então a um corpo de massa (m) e aceleração (ax) corresponderá um diagrama de corpo livre em que se assinalaram todas as forças externas (conhecidas e desconhecidas) actuantes que, por sua vez, poderão ser substituídas pela resultante de valor (ma) que, passando por G e com direcção e sentido de (ax), imprimirá ao corpo de massa (m) uma aceleração (ax).

Recorrendo ao ‘princípio de D’Alembert’, neste caso:

Fx – max Fx – (W/g)ax = 0

Fy = MG = 0

uma vez que (m=W/g), sendo (g) a aceleração da gravidade.


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Translacção



O equilíbrio dinâmico consegue-se a partir da construção de um sistema de equações, com base nos somatórios de forças segundo (xx) e (yy) e de momentos em torno de (zz), tornando-se então possível a resolução do problema:

-max P2

W

N

Fa G

P1 P2

ax

m

P1

em que:

Fx – max = 0

Fy = 0


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Rotação Centroidal



Um dos casos mais comuns de rotação é a que se dá em torno de um eixo fixo, coincidente com o centro de massa do corpo:

em que, independentemente do número, intensidade ou direcção das forças externas que actuem no corpo,

Fx = 0 Fy = 0 MG – Im = 0

Im

Rh

Rv

W

P1

P2

=>

- Im

Rv

WP2

Rh


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Rotação Não-Centroidal



Um corpo rodando em torno de um eixo não centroidal sob a acção das forças aplicadas - peso próprio (W) e resultante das forças externas (P) - associada às componentes da reacção no apoio, no ponto A (Rh e Rv), originam valores instantâneos de velocidade () e de aceleração angular ():

pois o centro de massa (G) move-se num círculo de raio (r) com centro em (A), tendo uma aceleração cujos componentes são:

an = r 2 segundo a linha (GA), dirigida para (A)at = r perpendicular a (r), no sentido de ()

P

G

WRh

Rv

A

G

W/gr2

A

r

W/gr

Im


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Rotação Não-Centroidal



Igualando os momentos das forças em presença à soma dos momentos das forças efectivas, em relação ao ponto (A),

MA = Im = [(W/g)r] r

= (Im + W/g r2)

= [Im]A

em que ([Im]A) é o momento másico de inércia do corpo, em relação ao ponto (A).

Assim, as equações do movimento vêm como:

Fx – (W/g) r 2 = 0 Fy – (W/g) r = 0 MG – Im = 0 MA – [Im]A = 0


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Rolamento

No caso de uma roda homogénea em rolamento, a análise é simplificada pelo facto de o centro de massa ter um movimento rectilíneo, paralelo ao plano de deslocamento.

Assim, e considerando (xx) como a direcção paralela ao plano, vem:

Fx – W/ga = 0 Fy = 0 MG – Im = 0

W/ga

G

C

Im

A resultante das forças efectivas traduz-se numa única força de valor (W/ga), passando por (G) e paralela ao plano de deslocamento, e no binário (Im) aplicado em (G).

P1

P2

W

FN

Fa

G

C

a


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Rolamento - Caso particular: rotação pura

A condição de não escorregamento entre o corpo e o plano, é a de haver suficiente resistência tangencial no ponto de contacto (C).Neste caso o ponto (C) manter-se-á instantaneamente em repouso, ou seja, é um ‘Centro Instantâneo de Rotação’.

Assim, estabelecendo um somatório de momentos em relação ao ponto (C), virá:

MC = IC + (W/ga)r

e sendo, para rolamento puro (a=r), e então,

MC = IG + (W/gr)r = (IG + W/gr2)

P1

P2

W

FN

Fa

G

C

a

A resistência é expressa por (Fa=FN), em que (FN) é a força exercida na normal ao plano de contacto e () é o coeficiente de atrito.De notar que, no caso de haver escorregamento, a posição do Centro Instantâneo é desconhecida pelo que é falso que (MC=IC).

No entanto, os somatórios de forças em (xx) e (yy), bem como o de momentos em (G), apresentados acima, continuam válidos.


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Rolamento - Caso particular: rotação desbalanceada

No caso de o centro geométrico do corpo não coincidir com o seu centro de massa (G), então este não segue uma trajectória rectilínea pelo que os somatórios de forças em (xx) e (yy), tal como expostos atrás, não são válidos.

Contudo, a relação (MC=IC) é ainda aplicável nos dois instantes por rotação em que (G) se encontra na linha definida por (C) e (O) pois, nestas posições, a aceleração do Centro Instantâneo é dirigida para o centro de massa.

W

FN

Fa

G

C

O

WG

C

O

W

G

C

O


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Caso Geral do Movimento Plano

Para o caso genérico de um corpo animado de um movimento complexo, desde que integrado num qualquer mecanismo, é sempre possível determinar a aceleração de um ponto de referência (aA) e, a partir deste, a aceleração relativa do centro de massa (aG|A).

Assim, vem que: aG = aA + aG|A

= aA + r2 + r

donde:

W/ga = W/gaA + W/gr2 + W/gr

P

G

Wr

aA

A

G

W/gr2

Ar

W/gr

Im

aA

W/gaA

Nesta equação, a parte direita é constituída pelas componentes da força resultante efectiva (W/ga) que podem ser representadas directamente num diagrama de forças.


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Forças Transmitidas

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Determinação de Momentos Mássicos de Inércia

...

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mestrado integrado em engenharia biomédica ramo de ‘reabilitação, biomateriais e...

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