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MECÂNICA APLICADA Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica 2014/2015 Colectânea de enunciados de Trabalhos Para Casa 12 de Fevereiro de 2016

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MECÂNICA APLICADA

Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica

2014/2015

Colectânea de enunciados de Trabalhos Para Casa

12 de Fevereiro de 2016

Lista de problemas propostos

Problema 1: Equilíbrio da partícula no espaço tridimensional.............................................. 3Problema 2: Equilíbrio do corpo rígido no espaço bidimensional. ....................................... 4Problema 3: Equilíbrio do corpo rígido no espaço bidimensional. ....................................... 5Problema 4: Equilíbrio do corpo rígido no espaço tridimensional........................................ 6Problema 5: Sistemas de vectores. ......................................................................................... 7Problema 6: Sistemas de vectores distribuídos...................................................................... 8Problema 7: Diagramas de esforços ....................................................................................... 9Problema 8: Cinemática da partícula: movimento curvilíneo............................................... 11Problema 9: Cinemática do corpo rígido 2D.......................................................................... 12Problema 10: Cinemática do corpo rígido 2D........................................................................ 13Problema 11: Cinemática do corpo rígido 3D........................................................................ 14Problema 12: Cinemática da partícula 3D ............................................................................. 15Problema 13: Cinemática do corpo rígido 3D........................................................................ 16Problema 14: Cinemática do corpo rígido 3D........................................................................ 17Problema 15: Centróide de linhas planas .............................................................................. 18Problema 16: Centróide de superfícies planas....................................................................... 19Problema 17: Centróide de superfície. ................................................................................... 20Problema 18: Centróide de volume. ...................................................................................... 21Problema 19: Matriz de inércia. ............................................................................................. 22Problema 20: Dinâmica da partícula...................................................................................... 23Problema 21: Dinâmica da partícula...................................................................................... 24Problema 22: Dinâmica da partícula: trabalho e energia....................................................... 25Problema 23: Dinâmica do corpo rígido: força, massa e aceleração...................................... 26

Referências

Beer, F. P., Jr. E. R. Johnston and P. J. Cornwell (2013a). Vector Mechanics for Engineers: Dynamics.McGraw-Hill Education, tenth edition.

Beer, F. P., Jr. E. R. Johnston and D. F. Mazurek (2013b). Vector Mechanics for Engineers: Statics.McGraw-Hill Education, tenth edition.

Hibbeler, R. C. (2016a). Engineering Mechanics, Dynamics. Pearson Prentice Hall, fourteenth edition.

Hibbeler, R. C. (2016b). Engineering Mechanics, Statics. Pearson Prentice Hall, fourteenth edition.

Meriam, J. L. and L. G. Kraige (2012a). Engineering Mechanics: Dynamics, volume 2. John Wiley &Sons, Inc., seventh edition.

Meriam, J. L. and L. G. Kraige (2012b). Engineering Mechanics: Statics, volume 1. John Wiley &Sons, Inc., seventh edition.

Özkaya, N., M. Nordin, D. Goldsheyder and D. Leger (2012). Fundamentals of Biomechanics: Equi-librium, Motion, and Deformation. Springer, third edition.

2

Problema 1: Equilíbrio da partícula no espaço tridimensional.

Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos ligados em A e ancorados em B, C e D.Sabendo que a torre exerce em A um força vertical dirigida de baixo para cima de 8 kN, determinea força de tracção em cada cabo.

x1

x3

x2

18 m6 m

7,5 m

5,4 m

22,2 m

6 m

30 m

C

A

D

OB

(Adaptado a partir de Beer et al. (2013b)).

3

Problema 2: Equilíbrio do corpo rígido no espaço bidimensional.

Considere urna pessoa apoiada na ponta de um pé como representado na figura. As forças actuan-tes no pé nesta posição são a reacção no contacto com o solo, que é igual ao peso total do corpo, W,o peso do pé, W1, a força exercida pelos músculos gémeos e colear no calcâneo através do tendãode Aquiles, FM, e a força de reacção no contacto entre a tíbia e o astrágalo, FJ . Determine FM, FJ eo ângulo β em função dos pesos W e W1, dos comprimentos a, b, c e d, e do ângulo θ. Particularizepara os dados W1 = 0, 02 W, a = 0, 04 h, b = 0, 06 h, c = 0, 09 h, d = 0, 015 h e θ = 45◦, onde h é aaltura da pessoa.

(Adaptado a partir de Özkaya et al. (2012)).

4

Problema 3: Equilíbrio do corpo rígido no espaço bidimensional.

Uma haste uniforme de 250 g de massa e 250 mm de comprimento está em equilíbrio sobre umcopo de 70 mm de diâmetro. As espessuras da haste e da parede lateral do copo são desprezáveisface às restantes dimensões.

A

C

B250 mm

70 mm

α

(a) Desprezando o atrito entre a haste e a superfície do copo, determine o ângulo correspondenteà posição de equilíbrio. Note que — na ausência de atrito — a reacção é sempre perpendicularà superfície de deslizamento.

(b) Determine qual o menor peso que deverá ter o copo para que não ocorra o seu derrubamentoconsiderando (i) o equilíbrio das forças que actuam apenas sobre o copo e (ii) o equilíbrio dasforças que actuam sobre o conjunto copo e haste.

5

Problema 4: Equilíbrio do corpo rígido no espaço tridimensional.

A viga ABC é suportada por um apoio fixo em C e suspensa pelos cabos BF e DAE. O cabo DAEpassa em A por uma roldana sem atrito. Determine o esforço de tracção nos cabos BF e DAE e asreacções no apoio C.

A

B

0,508

0,406

0,508

[m]

0,762

1,219

1,423 kN

C

D

E

F

x2

x3

x1

(Adaptado a partir de Beer et al. (2013b)).

6

Problema 5: Sistemas de vectores.

Considere o sistema de vectores representado na figura. Os vectores estão dispostos sobre umtetraedro.

B

C

O

x1

x2

x3

A

P

[m]a

a

aP

P

P

(a) Calcule os elementos de redução do sistema de vectores no ponto O e classifique o caso deredução.

(b) Determine a equação do eixo central e calcule as coordenadas do ponto D onde o eixo centralintersecta o plano Ox1x2.

(c) Determine a força F a aplicar em A segundo o eixo x2 por forma a transformar o sistema numequivalente a vector único cuja linha de acção passa no ponto D.

7

Problema 6: Sistemas de vectores distribuídos.

A peça representado na figura foi obtida através do corte de um tubo circular de parede fina pordois planos oblíquos. O peso por unidade de superfície do tubo é igual a (−p)e3.

x2

x1

x3

h3

h

aa

Determine a resultante e a respectiva linha de acção deste sistema de vectores distribuídossobre uma superfície.

(Adaptado a partir de Beer et al. (2013b)).

8

Problema 7: Diagramas de esforços

Para cada uma das estruturas representadas nas figuras seguintes

(a) Calcule as reacções de apoio.

(b) Trace os diagramas de esforços internos indicando todos os valores necessários à sua perfeitadefinição.

B C E F10 kN

[m]2

A D

5kN/m

33 21 1

Note que o aparelho de libertação em B não permite a transmissão do esforço transverso entre assecções adjacentes. A rótula em D não permite a transmissão do momento flector.

B

C

E F G10√

2kN

45◦

[m]33 5

A

D

2

2

6kN/m

9kNm

9

Considere a estrutura representada na figura.

(a) Calcule as reacções de apoio.

(b) Trace os diagramas de esforços internos indicando todos os valores necessários à sua

perfeita definição.

G

C

D

1 kNm

3.0 (m) 2.0

A

B

4.0

E

F

5 kN/m

2 kN

2.0

2.0

(2o Problema do 1o teste do ano lectivo 2010/2011).

Considere a estrutura representada na figura.

(a) Calcule as reacções de apoio.

(b) Trace os diagramas de esforços internos indicando todos os valores necessários à sua

perfeita definição.

C D

4 kNm

2.0

A

B

3.0 (m)

E

1 kN/m

2 kN

2.0

2.0

2.0

F

(2o Problema do 2o exame do ano lectivo 2011/2012).

10

Problema 8: Cinemática da partícula: movimento curvilíneo

Um jogador de basebol lança uma bola com as condições iniciais indicadas na figura. Nestascondições, determine:

(a) as equações paramétricas que definem a trajectória da bola em coordenadas cartesianas.

(b) o raio de curvatura da trajectória (i) imediatamente após o lançamento, (ii) no ponto maiselevado da trajectória e (iii) no ponto em que a bola atinge o chão;

(c) as quantidades r, r, r, θ, θ e θ no instante t = 0, 5 s.

2 m

x1

x2

v0 = 30 m/s

α = 30◦

(Adaptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)).

Solução:

(a) x(t) = 25, 9808 t e1 +(2 + 15 t− 4, 905 t2) e2, onde t é expresso em segundos e x(t) em metros.

(b) (i) ρ = 105, 936 m, (ii) ρ = 68, 8073 m e (iii) ρ = 112, 939 m.

(c) r = 15, 4015 m, r = 27, 3366 m/s, r = −3, 34683 m/s2, θ = 32, 4936◦, θ = −0, 353367 rad/s eθ = 0, 717169 rad/s2.

11

Problema 9: Cinemática do corpo rígido 2D

Na posição mostrada a barra AB tem uma velocidade angular de 4 rad s−1 no sentido horário.

(a) Usando a fórmula de propagação de velocidades, determine a velocidade angular das barrasBC e CD.

(b) Repita a alínea anterior recorrendo ao conceito de centro instantâneo de rotação.

(c) Determine as acelerações angulares das barras BC e CD nas duas seguintes situações: (i) se aaceleração angular da barra AB é de 2 rad/s2 no sentido horário; (ii) se a velocidade angularda barra AB for constante.

(d) Considerando a hipótese (i) da alínea anterior, determine a velocidade e a aceleração no centroda barra BC.

0,4

0,3

0,5

[m]0,4

A

BC

D

(Adaptado a partir de Beer et al. (2013a)).

Solução:

(a) ωBC = −5, 2 e3 rad/s, ωCD = −6, 4 e3 rad/s.

(b) ωBC = −5, 2 e3 rad/s, ωCD = −6, 4 e3 rad/s.

(c) (i) αBC = 8, 152 e3 rad/s2, αCD = −0, 896 e3 rad/s2, (ii) αBC = 10, 752 e3 rad/s2, αCD = 2, 304 e3 rad/s2.

(d) Seja E o ponto central da barra BC. Então,vE = −3, 2 e1 − 0, 48 e2 m/s e aE = −6, 016 e1 + 16, 8608 e2 m/s2.

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Problema 10: Cinemática do corpo rígido 2D

Um basquetebolista efectua um lançamento livre de tal forma que o seu ombro pode ser con-siderado uma rótula no momento do lançamento, como mostrado na figura. Sabendo que noinstante considerado o braço OA tem uma velocidade angular constante de 2 rad s−1 no sentidoanti-horário e o antebraço AP tem uma velocidade angular, relativamente a OA, constante, nosentido dos ponteiros do relógio de 4 rad s−1, determinar a velocidade, vP, e a aceleração, aP, dopulso P.

350mm

O

ModeloA

P

300mm80◦

30◦

(Adaptado a partir de Beer et al. (2013a)).

Solução:

vP = 0, 240885 eF1 + 0, 710407 eF

2 m/s e aP = −1, 00406 eF1 − 1, 88177 eF

2 m/s2.

13

Problema 11: Cinemática do corpo rígido 3D

Um disco com um raio de 120 mm gira com velocidade angular constante ω2 = 5 rad s−1 relativa-mente ao braço AB, que por sua vez roda com velocidade angular constante ω1 = 3 rad s−1, comoindicado na figura. Para a posição mostrada, determinar a velocidade vC, e a aceleração, aC, doponto C.

140 mm

D

A

B ω2 C120 mm

ω1

x1

x2

x3

75 mm

(Adaptado a partir de Beer et al. (2013a)).

Solução:

vC = 0, 6 eF2 − 0, 585 eF

3 m/s e aC = −4, 755 eF1 .

14

Problema 12: Cinemática da partícula 3D

No instante representado, a bola B rola ao longo da ranhura do disco com uma velocidade de0, 6 m/s e uma aceleração de 0, 15 m/s2, ambos medidos relativamente ao disco e dirigidos se-gundo OB. Se no mesmo instante o disco rodar com a velocidade angular e a aceleração angularindicadas, determine a velocidade e a aceleração da bola neste instante.

O

0, 4mB

x1 x2

x3

α = 3 rad/s2ω = 6 rad/s

a = 0, 15 m/s2v = 0, 6 m/s

(Adaptado a partir de Hibbeler (2016a)).

Solução:

vB = 0, 6 eF1 + 2, 4 eF

2 m/s e aB = −14, 25 eF1 + 8, 4 eF

2 m/s2.

15

Problema 13: Cinemática do corpo rígido 3D

A roda gira sem escorregar ao longo de um arco de circunferência de raio R, completando umarotação completa em torno do eixo x2, com velocidade constante, no tempo τ. Determine:

(a) o vector velocidade angular da roda, ω;

(b) o vector aceleração angular da roda, α;

(c) as expressões da velocidade, vA, e aceleração, aA, do ponto A da roda.

x1

x2

x3

A

r

R

O

(Adaptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)).

Solução:

(a) ω =2 π

τ

(eF

2 −Rr

eF3

).

(b) α = −(

2 π

τ

)2 Rr

eF1 .

(c) vA =

(2 π R

τ

) (eF

1 − eF2 −

rR

eF3

),

aA = −(

2 π

τ

)2

R[(

Rr+

rR

)eF

1 + eF3

].

16

Problema 14: Cinemática do corpo rígido 3D

A roda de raio r roda em torno da haste CO, que roda em torno do eixo vertical com uma veloci-dade angular constante p. Se a roda girar sem escorregar ao longo de um arco de circunferênciade raio R, determine as expressões para a velocidade angular, ω, e para a aceleração angular, α,da roda, expressando os resultados no referencial móvel indicado.

x1

x2

x3

A

θO

Rp

r

B

C

(Adaptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)).

Solução:

ω = p[

cos θ e2 +

(Rr+ sen θ

)e3

]e α = p2 R

rcos θ e1.

17

Problema 15: Centróide de linhas planas

Determine a localização do centróide, xG, das linhas assinaladas nas figuras:

(a) o contorno formado por parte de uma circunferência de raio R e um segmento de recta;

(b) cardióide, cuja equação — em coordenadas polares — do contorno é dada por r(θ) = a (1− cos θ).

xG

x2

x1

R

xG1

α

α

xG

r(θ)

θ

x2

x1

(a) (b)

Solução:

(a) xG =R sen α (1 + cos α)

α + sen αe1.

(b) xG = −45

a e1.

18

Problema 16: Centróide de superfícies planas

Determine a localização do centróide, xG, das áreas assinaladas nas figuras:

(a) parte de um círculo de raio R;

(b) cardióide, cuja equação — em coordenadas polares — do contorno é dada por r(θ) = a (1− cos θ).

xG

x2

x1

R

xG1

α

α

xG

r(θ)

θ

x2

x1

(a) (b)

(Adaptado a partir de Hibbeler (2016b)).

Solução:

(a) xG =23 R sen 3α

α− sen (2α)2

e1.

(b) xG = −56

a e1.

19

Problema 17: Centróide de superfície.

Considere novamente a peça representado no problema 6 e abaixo reproduzida, obtida através docorte de um tubo circular de parede fina por dois planos oblíquos.

x2

x1

x3

h3

h

aa

Determine as coordenadas do respectivo centróide.

(Adaptado a partir de Beer et al. (2013b)).

Solução:

xG = −12

a e1 +1124

h e3.

20

Problema 18: Centróide de volume.

Considere a peça representado na figura, obtida através do corte de um cilindro elíptico por umplano oblíquo.

x2x1

x3

h

bba

a

Determine as coordenadas do respectivo centróide.

(Adaptado a partir de Beer et al. (2013b)).

Solução:

xG = −14

b e1 +516

h e3.

21

Problema 19: Matriz de inércia.

Mostre que os eixos representados correspondem aos eixos principais de inércia da área assinaladana figura seguinte.

x1

x2

b

b

(Adaptado a partir de Meriam and Kraige (2012b)).

22

Problema 20: Dinâmica da partícula

Os dois cursores A e B, com 0, 2 kg de massa, deslizam sem atrito sobre um plano horizontalnuma calha circular. Determine (i) a aceleração de cada cursor, (ii) as forças de reacção normalexercida em cada um dos cursores pela calha e (iii) a força de tracção no cabo AB quando o sistema,partindo do repouso na posição indicada, é actuado por uma força P igual a 4 N.

B

AOR

P = 4 N

Repita o problema considerando agora a configuração apresentada na figura seguinte.

B

AOR

P = 4 N

45 ◦

(Adaptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)).

Solução:

(a) a = 10 et m/s2. (b) N A = 2 e1 N, NB = −2 e2 N. (c) T =4√2

N.

(a) a = 10 et m/s2. (b) N A = 4, 82843 e1 N, NB = 4, 82843

(−√

22

e1 −√

22

e2

)N. (c) T = 5, 22625 N.

23

Problema 21: Dinâmica da partícula

Ao pequeno cursor de massa m é dada uma velocidade inicial de magnitude v0 na pista circularhorizontal representada na figura. O coeficiente de atrito cinético entre o cursor e a pista é µc.Determine a distância percorrida até o cursor parar. (Sugestão: note que força de atrito que a pistaexerce sobre o cursor depende da intensidade da resultante das componentes das forças de atrito.)

r

v0

m

(Adaptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)).

Solução:

s =r

2 µcln

v20 +

√v4

0 + r2 g2

r g

.

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Problema 22: Dinâmica da partícula: trabalho e energia

A bola A, com 3 kg de massa, encontra-se ligada a duas molas de rigidez 10 N m−1, indeformadasna posição mostrada. Sabe-se que nesta posição a velocidade da bola é vA = 8 m s−1. A bolasegue a trajectória assinalada, passando no ponto B, situado 5 m abaixo do ponto A. Determine avelocidade da bola no ponto B. (Sugestão: note que todas as forças envolvidas são conservativas,pelo que pode usar o teorema da conservação de energia.)

A

B

vA

vB

12 m12 m 5 m

(Adaptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)).

Solução:

vB = 12, 4673 m/s.

25

Problema 23: Dinâmica do corpo rígido: força, massa e aceleração

Cada uma das rodas tem uma massa de 2 kg e o cilindro interno tem uma massa de 3 kg. As rodase o cilindro são montados através do pequeno veio central de modo que cada um pode rodarindependentemente dos restantes com atrito desprezável nos rolamentos. Calcule a aceleração doveio quando é aplicada uma força de 20 N, conforme mostrado na figura. Os coeficientes de atritoestático e cinético entre as rodas e a superfície horizontal são µe = 0, 4 e µc = 0, 3, respectivamente.

20 N

75 mm

20 N

150 mm

(Adaptado a partir de Meriam and Kraige (2012a)).

Solução:

a = 2, (2) e1 m/s2.

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