Mentiras_exercicios - Stewart vol1

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Mentiras_exercicios - Stewart vol1

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MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM EXERCCIOS 1EXERCCIOS Reviso tcnica: Ricardo Miranda Martins (IMECC/Unicamp) 1. Faa uma conjectura sobre o valor de2 201 1lim senx x x - e determine quando parar de calcular antes que a perda de dgitos significativos destrua o seu resultado. (A resposta vai depender de sua calculadora.) Ento encontre a resposta precisa utilizando um mtodo de clculo apropriado. 2. Faa uma conjectura sobre o valor0ln (1 )lim hhh+ e determine quando parar de calcular antes que a perda de dgitos significativos destrua o seu resultado. Desta vez, a subtrao prejudicial ocorre no interior da mquina; expli-que como (supondo que a srie de Taylor com centro a = 1 utilizada para aproximar ln x). Ento encontre a resposta precisa utilizando um mtodo de clculo apropriado. 3. Mesmo os problemas de clculo de aparncia inocente po-dem levar a nmeros que ultrapassam o alcance da calcula-dora. Mostre que o valor mximo da funo2( )(1,0001)xxf x = maior que 10124. [Dica: Use logaritmos]. Qual o limite de f(x) quando x ? 4. Qual uma expresso numericamente confivel para subs-tituir 1 cos ,x- especialmente quando x um nmero pe-queno? Voc vai precisar usar identidades trigonomtricas. (Lembre-se de que alguns pacotes de computador sinaliza-riam uma condio de erro desnecessrio, ou at mesmo mudariam para aritmtica complexa, quando x = 0.) 5. Tente calcularD = ln ln(109 + 1) ln ln(109) na sua calculadora. Esses nmeros so to prximos que voc provavelmente vai obter 0 ou apenas alguns dgitos de preciso. No entanto, podemos usar o Teorema do Valor Mdio para conseguir uma preciso muito maior. (a) Seja f (x) = ln ln x, a = 109, e b = 109 + 1. Ento o Teorema do Valor Mdio df (b) f (a) = f (c) (b a) = f (c) onde a < c < b. Como f est diminuindo, temos f (a) > f (c) > f (b). Use isso para estimar o valor de D. (b) Use o Teorema do Valor Mdio uma segunda vez para descobrir por que as quantidades f (a) e f (b) no item (a) so to prximas umas das outras. 6. Para a srie de 1,0011 ,n n -=S estudada no texto, exatamente de quantos termos precisamos (em teoria) para tornar o erro inferior a 5 na nona casa decimal? Voc pode usar as desi-gualdades a partir da prova do Teste da Integral:11( ) ( ) ( ) N Nn Nf x dx f n f x dx + = +< 0 tem uma frmu-la de soluo clssica para a raiz real, chamada frmula de Cardano:1/32 31/32 327 729 10813 227 729 1082q q pxq q p + + = - + + Para um usurio de uma calculadora de bolso, bem como para um programador inexperiente, a soluo apresenta di-versos obstculos. Primeiro, o radicando do segundo termo negativo e a tecla de potncia fracionria pode no lidar com isso. A seguir, mesmo que tal tecla funcione, quando q pequeno em magnitude e p de tamanho mdio, o pequeno nmero x a diferena de dois nmeros prximos de /3.p (a) Mostre que todos esses problemas so evitados pela frmula 2/3 2 2/393 9qxa p p a--= + + onde 2 327 729 1082q q pa+ += Dica: Use a frmula de fatorao3 32 2A BA BA AB B++ = - + (b) Calcule( ) ( )2/3 2/342 5 1 2 5u -= + + + +2 MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM EXERCCIOS Se o resultado simples, relacione-o com a parte (a), isto , restabelea a equao cbica cuja raiz u escrito nesta forma. 10. (a) Considere a srie de potncias1( )100 1nnnxf x== + fcil de mostrar que o seu raio de convergncia r = 100. A srie ir convergir muito lentamente para x = 99: descubra quantos termos far o erro menor de 5 107. (b) Ns podemos acelerar a convergncia da srie, na parte (a). Mostre que( )100 100x xf x fx = - - e determine o nmero de termos da presente srie transformada que leva a um erro inferior a 5 107. [Dica: Compare com a srie 1 ( /100 ),n nn x=S cuja soma voc conhece.] 11. Os nmeros positivos1 10x nna e x dx-= podem, em teoria, ser calculados a partir de uma frmula de reduo obtida por integrao pelas partes: a0 = e 1, an = nan1 1. Prove, usando 1 e1 x e e o Teorema do Confronto que limn an = 0. Em seguida, tente calcular a20 da frmula de reduo usando a calculadora. O que deu errado? O termo inicial a0 = e 1 no pode ser representado exatamente na calculadora. Vamos chamar c aproximao do e 1 que podemos inserir. Verifique a partir da frmula de reduo (por meio da observao do padro aps alguns passos) que1 1 1 !1! 2! !na c nn = - + + + e lembre-se de nosso estudo da srie Taylor e Maclaurin que1 1 11! 2! !n+ + + converge para e 1 quando n . A expresso entre col-chetes converge para c (e 1), um nmero diferente de zero, que fica multiplicado por um fator n! de crescimento rpido. Conclui-se que, mesmo se todos os clculos poste-riores (depois de introduzir a0) foram realizados sem erros, a impreciso inicial faria com que a sequncia computado-rizada {an} divergisse. 12. (a) Um consolo aps o resultado catastrfico do Exerccio 11: Se reescrevermos a frmula de reduo para ter11 nnaan-+= podemos usar a desigualdade utilizada no argumento do Teorema de Confronto para obter melhorias das aproxi-maes de an. Tente a20 novamente utilizando esta abor-dagem inversa. (b) Usamos a frmula de reduo invertida para calcular quantidades para as quais temos frmulas elementares. Para ver que a ideia ainda mais poderosa, desenvol-va-a para as integrais1 10n xx e dxq- - onde q uma constante, 0 < q < 1, e n = 0, 1,.... Para tal q as integrais no so mais elementares (no so-lucionveis em termos finitos), mas o nmero pode ser calculado rapidamente. Encontre as integrais para a determinada escolha 13q = e n = 0, 1, ..., 5 com cinco dgitos de preciso. 13. Uma calculadora avanada tem uma chave para uma funo peculiar:1 se 0( ) 1 se 0xxE x e xx == - Depois de tantos avisos sobre a subtrao de nmeros pr-ximos, voc pode perceber que a definio12senh ( )x xx e e-= - d resultados imprecisos para x pequeno, onde senh x est prximo de x. Mostre que a utilizao da funo E(x) cal-culada acuradamente ajuda a restaurar a preciso de senh x para x pequeno.