MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – EXERCÍCIOS 1

EXERCÍCIOS Revisão técnica: Ricardo Miranda Martins (IMECC/Unicamp)

1. Faça uma conjectura sobre o valor de

2 20

1 1lim senx x x

æ ö÷ç - ÷ç ÷çè ø

e determine quando parar de calcular antes que a perda de dígitos significativos destrua o seu resultado. (A resposta vai depender de sua calculadora.) Então encontre a resposta precisa utilizando um método de cálculo apropriado.

2. Faça uma conjectura sobre o valor

0

ln (1 )lim h

hh

+

e determine quando parar de calcular antes que a perda de dígitos significativos destrua o seu resultado. Desta vez, a subtração prejudicial ocorre no interior da máquina; expli-que como (supondo que a série de Taylor com centro a = 1 é utilizada para aproximar ln x). Então encontre a resposta precisa utilizando um método de cálculo apropriado.

3. Mesmo os problemas de cálculo de aparência inocente po-dem levar a números que ultrapassam o alcance da calcula-dora. Mostre que o valor máximo da função

2

( )(1,0001)x

xf x =

é maior que 10124. [Dica: Use logaritmos]. Qual é o limite de f(x) quando x ¥?

4. Qual é uma expressão numericamente confiável para subs-tituir 1 cos ,x- especialmente quando x é um número pe-queno? Você vai precisar usar identidades trigonométricas. (Lembre-se de que alguns pacotes de computador sinaliza-riam uma condição de erro desnecessário, ou até mesmo mudariam para aritmética complexa, quando x = 0.)

5. Tente calcular

D = ln ln(109 + 1) — ln ln(109)

na sua calculadora. Esses números são tão próximos que você provavelmente vai obter 0 ou apenas alguns dígitos de precisão. No entanto, podemos usar o Teorema do Valor Médio para conseguir uma precisão muito maior.

(a) Seja f (x) = ln ln x, a = 109, e b = 109 + 1. Então o Teorema do Valor Médio dá

f ¢(b) – f (a) = f ¢(c) (b – a) = f ¢(c)

onde a < c < b. Como f ’ está diminuindo, temos f ¢(a) > f ¢(c) > f ¢(b). Use isso para estimar o valor de D.

(b) Use o Teorema do Valor Médio uma segunda vez para descobrir por que as quantidades f ¢(a) e f ¢(b) no item (a) são tão próximas umas das outras.

6. Para a série de 1,0011 ,n n¥ -

=S estudada no texto, exatamente de quantos termos precisamos (em teoria) para tornar o erro inferior a 5 na nona casa decimal? Você pode usar as desi-gualdades a partir da prova do Teste da Integral:

11

( ) ( ) ( ) N N

n Nf x dx f n f x dx

¥¥ ¥

+= +

< <åò ò

7. Arquimedes descobriu uma aproximação para 2p consideran-do o perímetro p de um polígono regular de 96 lados inscrito em um círculo de raio 1. Sua fórmula, em notação moderna, é

96 2 2 2 2 3p = - + + +

(a) Realize os cálculos e compare com o valor de p a par-tir de fontes mais precisas, por exemplo, p = 192 sen (p/96). Quantos dígitos você perdeu?

(b) Realize a racionalização para evitar subtração de núme-ros aproximados e conte os dígitos exatos novamente.

8. Este exercício está relacionado ao Exercício 2. Suponha que o seu dispositivo de computação tenha um excelente algoritmo para a função exponencial exp(x) = ex, mas um programa fraco para ln x. Use a identidade

ln ln 1b

ba ea b

e

æ ö- ÷ç ÷ç= + + ÷ç ÷çè ø

e Desigualdade de Taylor para melhorar a precisão de ln x.

9. A equação cúbica

x3 + px + q = 0

onde assumimos por simplicidade que p > 0 tem uma fórmu-la de solução clássica para a raiz real, chamada fórmula de Cardano:

1/32 3

1/32 3

27 729 10813 2

27 729 1082

q q px

q q p

é æ öê ÷+ +ç ÷çê ÷= ç ÷÷çê è øëùæ ö ú÷- +ç ÷ç ú÷+ç ÷÷ç úè ø û

Para um usuário de uma calculadora de bolso, bem como para um programador inexperiente, a solução apresenta di-versos obstáculos. Primeiro, o radicando do segundo termo é negativo e a tecla de potência fracionária pode não lidar com isso. A seguir, mesmo que tal tecla funcione, quando q é pequeno em magnitude e p é de tamanho médio, o pequeno número x é a diferença de dois números próximos de /3.p

(a) Mostre que todos esses problemas são evitados pela fórmula

2/3 2 2/3

93 9

qxa p p a-

-=

+ +

onde 2 327 729 108

2q q p

a+ +

=

Dica: Use a fórmula de fatoração3 3

2 2A BA B

A AB B+

+ =- +

(b) Calcule

( ) ( )2/3 2/34

2 5 1 2 5u -=

+ + + +

2 MENTIRAS QUE MINHA CALCULADORA E COMPUTADOR ME CONTARAM – EXERCÍCIOS

Se o resultado é simples, relacione-o com a parte (a), isto é, restabeleça a equação cúbica cuja raiz é u escrito nesta forma.

10. (a) Considere a série de potências

1( )

100 1

n

nn

xf x¥

==

+å

É fácil de mostrar que o seu raio de convergência é r = 100. A série irá convergir muito lentamente para x = 99: descubra quantos termos fará o erro menor de 5 ´ 10–7.

(b) Nós podemos acelerar a convergência da série, na parte (a). Mostre que

( )100 100

x xf x fx

æ ö÷ç= - ÷ç ÷çè ø-

e determine o número de termos da presente série transformada que leva a um erro inferior a 5 ´ 10–7.

[Dica: Compare com a série 1 ( /100 ),n nn x¥=S cuja soma

você conhece.]

11. Os números positivos1 1

0x n

na e x dx-= ò

podem, em teoria, ser calculados a partir de uma fórmula de redução obtida por integração pelas partes: a0 = e –1,

an = nan–1 – 1. Prove, usando 1 £ e1 – x £ e e o Teorema do Confronto que limn¥ an = 0. Em seguida, tente calcular a20 da fórmula de redução usando a calculadora. O que deu errado?

O termo inicial a0 = e – 1 não pode ser representado exatamente na calculadora. Vamos chamar c aproximação do e – 1 que podemos inserir. Verifique a partir da fórmula de redução (por meio da observação do padrão após alguns passos) que

1 1 1 !1! 2! !na c n

né ùæ ö÷çê ú= - + + + ÷ç ÷ê úç ÷è øë û

e lembre-se de nosso estudo da série Taylor e Maclaurin que

1 1 11! 2! !n

+ + +

converge para e – 1 quando n ¥. A expressão entre col-chetes converge para c – (e – 1), um número diferente de zero, que fica multiplicado por um fator n! de crescimento rápido. Conclui-se que, mesmo se todos os cálculos poste-riores (depois de introduzir a0) foram realizados sem erros, a imprecisão inicial faria com que a sequência computado-rizada {an} divergisse.

12. (a) Um consolo após o resultado catastrófico do Exercício 11: Se reescrevermos a fórmula de redução para ter

11 n

naa

n-+

=

podemos usar a desigualdade utilizada no argumento do Teorema de Confronto para obter melhorias das aproxi-mações de an. Tente a20 novamente utilizando esta abor-dagem inversa.

(b) Usamos a fórmula de redução invertida para calcular quantidades para as quais temos fórmulas elementares. Para ver que a ideia é ainda mais poderosa, desenvol-va-a para as integrais

1 10

n xx e dxq- -ò

onde q é uma constante, 0 < q < 1, e n = 0, 1,.... Para tal q as integrais não são mais elementares (não so-lucionáveis em “termos finitos”), mas o número pode ser calculado rapidamente. Encontre as integrais para a determinada escolha 1

3q = e n = 0, 1, ..., 5 com cinco dígitos de precisão.

13. Uma calculadora avançada tem uma chave para uma função peculiar:

1 se 0( ) 1 se 0

x

xE x e x

x

ì =ïïïï= í -ï ¹ïïïî

Depois de tantos avisos sobre a subtração de números pró-ximos, você pode perceber que a definição

12senh ( )x xx e e-= -

dá resultados imprecisos para x pequeno, onde senh x está próximo de x. Mostre que a utilização da função E(x) cal-culada acuradamente ajuda a restaurar a precisão de senh x para x pequeno.