Nome da Escola Ano letivo 20 - 20 Matemática A | 11.º ano

Nome do Aluno Turma N.º Data

Professor - - 20

1. Na figura está representado o triângulo [ABC] retângulo em A.

■ e

■

1.1. Determine .

1.2. Calcule e .

Apresente os valores pedidos na forma de fração com denominador racional.

2. Na figura está representado o triângulo [ABC] retângulo em A.

Sabe-se que:

■ e

■

2.1. Calcule .

2.2. Determine um valor aproximado à décima de grau do ângulo ACB.

3. Na figura está representado o triângulo isósceles [ABC].

Sabe-se que:

■ e

■

Determine:

3.1. 3.2. 3.3.

4. Na figura está representado o retângulo [ABCD] tal que:

■ ;

■ a área é igual a 32;

■ [DB] é uma diagonal;

Página 1

Ficha de revisão 1 FR1

Ficha de revisão 1

Soluções

■ e .

4.1. Determine um valor aproximado à décima de grau do ângulo e um valor aproximado

à décima de grau do ângulo .

4.2. Determine as razões trigonométricas do ângulo .

Página 2

Ficha de revisão 1

5. Construa um triângulo retângulo em que um dos ângulos agudos tem amplitude , tal que:

5.1. e a medida de um dos catetos é 8;

5.2. e a medida de um dos catetos é 2;

5.3. e a medida da hipotenusa é 6.

6. Em relação a um ângulo agudo de amplitude e sabendo que:

6.1. , calcule ;

6.2. , calcule ;

6.3. , calcule .

7. Na figura está representada a circunferência de centro O e raio .

Sabe-se que:

■ os pontos A, B e C pertencem à circunferência;

■ [AB] é um diâmetro da circunferência;

■ e .

7.1. Determine, em graus, a amplitude do ângulo CAB.

7.2. Determine um valor aproximado à décima da unidade do raio da circunferência.

8. Calcule o valor exato de:

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

9. Tendo em conta os dados da figura, determine os valores de x.

9.1. 9.2.

Página 2

10. Na figura está representado um pentágono regular [ABCDE] inscrito numa circunferência de centro O e raio igual a 8 unidades.

Determine a área do pentágono regular [ABCDE], com arredondamento à décima da unidade quadrada.

Ficha de revisão 1 1.1. Pelo Teorema de Pitágoras:

Como , então .

Portanto, .Resposta: 6

1.2. Por definição das razões trigonométricas seno, cosseno e tangente:

Portanto, e .

Resposta: e .2.1. Pelo Teorema de Pitágoras:

Como , então:

Portanto, .

Resposta:

2.2. Por exemplo, , ou seja, .

Resposta: 22,6º

3.1. Seja M o ponto médio do segmento de reta [AB].

Resposta:

3.2. . Pelo Teorema de Pitágoras:

Como , então .

Assim, .

Resposta:

3.3.

Resposta: 4.1. A área, A, do retângulo [ABCD] é igual a 32.

Assim, .

Portanto, .

A amplitude do ângulo é igual a , isto é,

.

Então, e .

Resposta: e

4.2.Pelo Teorema de Pitágoras:

Como , .

Portanto, e .

Resposta: e 5. Por exemplo:5.1.

Página 3

Proposta de resoluções

22 2 2 228 2 7BC AB AC AC

2 264 28 36AC AC

0AC 6AC

6AC

6 3sin sin sin8 4

ACBC

2 7 7cos cos cos

8 4

ABBC

2

6 6 7tan tan tan2 7 2 7

ACAB

3 7sin , cos4 4

3 7tan

7

3 7sin , cos4 4

3 7tan

7

2 22 2 2 213 2 5 2BC AC AB AC

2 2338 50 288 AC AC

0AC

288 12 2AC AC 12 2 12sin sin sin

1313 2

ACBC

5 2 5cos cos cos1313 2

ABBC

12 5 17sin cos13 13 13

173

1 12sin13

67,4º

ˆ 90º 22,6ºACB

3cos cos5

MBBC

35

sin MCBC

2 2 2 2 22 25 3 16 BC MB CM CM CM0CM 4CM

4sin5

45

43

32 4 8 A AB AD AB AB8

tan tan tan 24

ABAD

1tan 2 63,4º

90º

190º tan 2 26,6º

63,4º 26,6º

63,4º 26,6º

4 1tan tan tan8 2

ADAB

2 2 2 2 22 28 4 80 BD AB AD BD BD0BD 80 4 5 BD

4 5sin sin sin54 5

ADBD

8 2 2 5cos cos cos cos54 5 5

ABBD

1 5tan , sin2 5

2 5cos

5

1 5tan , sin2 5

2 5cos

5

5.2.

5.3.

6.1. Pela fórmula fundamental da trigonometria:

Como é a amplitude de um ângulo agudo,

.

Por outro lado, , pelo que:

Resposta: 6.2. Pela fórmula fundamental da trigonometria:

Como é a amplitude de um ângulo agudo,

.

Por outro lado, , ou seja:

Assim:

Resposta: 6.3. Pela fórmula fundamental da trigonometria:

Portanto:

Como é a amplitude de um ângulo agudo,

.

Por outro lado, , ou seja:

Assim:

Resposta: 7.1. O ângulo CBA é inscrito na circunferência, pelo que

Resposta: 13º

7.2. O triângulo [ABC] é retângulo em C, uma vez que está inscrito numa semicircunferência e um dos seus lados é um diâmetro dessa circunferência.Portanto:

sendo r a medida do comprimento do raio da circunferência.

Resposta: 1,5

8.1. Resposta: 4

8.2. Resposta: 1

8.3.

Página 4

Proposta de resoluções

22 2 23 9 9cos 1 cos 1 cos 1

5 25 25

2 16 4 4cos cos cos25 5 5

4cos5

335tan tan4 4

5

4 3 31cos tan5 4 20

3120

22 2 22 4 4sin 1 sin 1 sin 1

3 9 9

2 5 5 5sin sin sin

9 3 3

5sin3

sintancos

553tan tan2 2

3

5 5 2 5 3 5 5sin tan3 2 6 6 6

56

2 22

2 2 2 2

sin cos 1 1tan 1cos cos cos cos

2 22 2

1 1 12 1 5 coscos cos 5

1 1cos cos5 5

5 5cos cos

5 5

5cos5

sintancos

sin 2 52 sin55

5

2 5 5 4 5 3 5 52sin 3cos 2 35 5 5 5 5

55

26º 13º2 2BCCAB CAB CAB

3cos cos 13º

2AC

CABrAB

3 1,5 1,5cos 13º cos 13º 1,52 cos 13º

r rr r

2

2 2 211 sin30º 1 2 1 1 2 42

32 122sin 60º tan 45º 3 1 1

1 tan 60º 1 3 1 3

2

1 3sin30º 2cos30º 22 2

21 1 133 3 3 3

2 4 4

Resposta:

8.4.

Resposta: 9.1. Tendo em consideração a figura abaixo:

Resposta: 3,22

9.2. Tendo em consideração a figura abaixo:

Portanto, . Resposta: 4,80

10. . Logo

Sendo M o ponto médio de [AB]:

Por outro lado:

Assim:Área [ABCDE] = 5 × Área [ABO] =

=

= =

Portanto, a área do pentágono regular [ABCDE] é aproximadamente igual a 152,2 unidades quadradas.

Resposta: 152,2

Página 5

Proposta de resoluções

13 34

2 2

2 3 3 3 27tan 60º cos30º 3

2 2 4

274

tan 32º

tan12º10

xyxy

tan32º

10 tan12ºx yx y

10 tan12º tan32º

10 tan12º

y y

x y

10tan12º tan12º tan32º

10 tan12ºy y

x y

tan 32º tan12º 10tan12º

10 tan12ºy yx y

tan32º tan12º 10 tan12º

10 tan12º

y

x y

10tan12º5,16tan 32º tan12º

10tan12º 3,2210 tan12ºtan 32º tan12º

yyxx

2,82,8tan 24ºtan 24º

tan 24º 4,54,5 tan 24º

yyx x

yy

2,8 2,84,5tan 24º tan 24º tan 24º

4,5 4,5tan 24º tan 24º

xy

x xy y

2,84,5 tan 24º

tan 24º

4,5tan 24º

4,80

4,5tan 24º

x

xy

xxy

4,80x

360º 72º5

AB

cos 36º cos 36º 8cos 36º8

OM OM OMOB

sin 36º sin 36º 8sin 36º8

MB MB

MBOB

25 52 2

AB OM MB OM

5 MB OM5 8sin36º 8cos36º

320sin36ºcos36º 152,2

Página 6

Proposta de resoluções