mef aplicado à analise de sólidos conceção e implementação_ist_2013

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Método dos elementos finitos aplicado à análise de sólidos: concepção e implementação Rui Miguel da Costa Alves Maciel Dissertação para a obtenção de Grau de Mestre em Engenharia Civil Júri Presidente: Fernando Manuel Fernandes Simões Orientador: Carlos Manuel Tiago Tavares Fernandes Vogais: Manuel da Cunha Ritto Corrêa Maio de 2013

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MEF solidos

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  • Mtodo dos elementos finitos aplicado anlise de slidos:concepo e implementao

    Rui Miguel da Costa Alves Maciel

    Dissertao para a obteno de Grau de Mestre em

    Engenharia Civil

    Jri

    Presidente: Fernando Manuel Fernandes Simes

    Orientador: Carlos Manuel Tiago Tavares Fernandes

    Vogais: Manuel da Cunha Ritto Corra

    Maio de 2013

  • Agradecimentos

    Ao Professor Jos Paulo Baptista Moitinho de Almeida pela disponibilidade e apoio dado ao longo do

    trabalho, sem o qual no teria sido possvel realizar uma parte significativa.

    Ao meu orientador, Professor Carlos Tiago Fernandes, pelo desempenho verdadeiramente exemplar e

    dedicao mpar, pela amizade e por demonstrar que excelncia acadmica e pedaggica podem coexistir.

    minha famlia, por todo o apoio e fora que tem dado e sem o qual nada teria sido possvel ou valido

    a pena.

    Por ltimo, mas sempre em primeiro lugar, minha cara-metade, Daniela, por ter o dom de, indepen-

    dente da quantidade de nuvens e neblina, mostrar que o cu est sempre azul.

    iii

  • Resumo

    Neste trabalho apresentada uma aplicao completa de software que, a partir de uma implemen-

    tao do mtodo dos elementos finitos, permite a obteno de solues aproximadas do problema de

    valores de fronteira da teoria de elasticidade tridimensional com utilidade prtica no campo da anlise de

    slidos e de estruturas.

    O mtodo dos elementos finitos, conforme abordado neste trabalho, desenvolvido a partir da aplica-

    o do mtodo de Bubnov-Galerkin ao problema na valores de fronteira associado teoria de elasticidade

    linear tridimensional. O conceito de elemento isoparamtrico tambm apresentado, sendo usado como

    base para a definio dos oito tipos de elementos finitos empregues na anlise de problemas tridimensio-

    nais: os elementos finitos hexadricos Lagrangeanos de 8 e 27 ns, hexadrico Serendipiano de 20 ns,

    tetradricos de 4 e 10 ns, e prismticos de 6, 15 e 18 ns. ainda discutido o problema associado

    integrao da formulao fraca resultante.

    O mtodo implementado como um programa de anlise numrica, com suporte para pr- e ps-

    processamento. A gerao de malhas, no estando includa no mbito deste trabalho, foi realizada me-

    diante o uso de programas desenvolvidos por terceiros. O programa desenvolvido na linguagem de

    programao C++, concebido com base no uso de padres de desenvolvimento de software e seguindo

    o paradigma de programao orientada por objectos. O interface grfico, desenvolvido em Qt 4.7, em

    conjunto com o componente de visualizao, desenvolvido em OpenGL 2.1, permite atribuir materiais,

    condies de fronteira, e regras de integrao, bem como visualizar o campo de deslocamentos, tenses,

    deformaes, e direces principais de tensores das tenses.

    tambm apresentado um conjunto de exemplos de aplicao do programa, usados para validar

    os resultados da implementao e demonstrar propriedades intrnsecas deste mtodo, tais como a taxa

    de convergncia associada a cada tipo de elemento finito, o nmero de operaes exigido e o tempo

    de processamento associado ao seu uso. So ainda realizados exemplos destinados a comparar os

    resultados produzidos pelo programa com aqueles resultantes de teorias estruturais de barras e lajes.

    Palavras-chave

    mtodo de Bubnov-Galerkin

    mtodo dos elementos finitos

    teoria da elasticidade tridimensional

    visualizao

  • Abstract

    This work presents a complete software application that, through an implementation of the finite ele-

    ment method, can be used to obtain approximate solutions of the boundary value problem of the three-

    dimensional theory of elasticity, with practical applications in the field of solid and structural analysis.

    The finite element method, as covered in this work, is presented as the Bubnov-Galerkin method

    applied to the three dimensional linear elasticity boundary value problem. The isoparametric element

    concept is also presented, which is used as a basis for the definition of eight finite element types employed

    in the analysis of three-dimensional problems: the Lagrangean 8 and 27-node hexahedrical elements, the

    20-node Serendipian hexahedrical element, the 4 and 10-node tetrahedral element, and the 6, 15 and

    18-node triangular prism elements. The integration of the weak form problem is also discussed.

    The method is implemented as a numerical analysis software program, with support for pre- and

    post-processing. Mesh generation, being beyond the scope of this work, was performed by third-party

    programs. The software was developed in the C++ programming language, based on the use of software

    design patterns and following the object-oriented programming paradigm. The graphical user interface,

    developed with Qt, paired with the visualization component, developed using OpenGL 2.1, lets the user

    assign material properties, boundary conditions, configure the numerical integration rules, as well as visu-

    alize the displacements field, stresses, strains, and principal directions of stress tensors.

    A set of examples is also presented, used to validate the implementations results and to demonstrate

    intrinsic properties of this method, such as the convergence rates associated with each finite element type,

    the number of operations required and the processing time associated with their use. Examples are also

    performed to compare the results obtained from the software application with those from beam and plate

    structural theories.

    Keywords

    Bubnov-Galerkin method

    finite element method

    three-dimensional elasticity theory

    visualization

  • ndice

    Agradecimentos iii

    ndice i

    Lista de Figuras v

    Lista de Tabelas xi

    Notao xiii

    1 Introduo 1

    1.1 Enquadramento geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    1.2 Objectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.3 Estrutura do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2 O problema de elasticidade tridimensional 5

    2.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2.2 Domnio do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    2.3 Relaes de equilbrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.4 Relaes de compatibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.5 Relaes constitutivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.6 A elasticidade tridimensional como um problema de valores de fronteira . . . . . . . . . . . 8

    3 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridi mensional 11

    3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.2 Mtodo dos resduos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    3.3 Mtodo de Bubnov-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    3.4 Formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    3.5 Mtodo dos elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3.6 Princpio dos trabalhos virtuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    3.7 Recuperao de grandezas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    i

  • ii ndice

    3.8 Erro e convergncia de solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    4 Elementos finitos e regras de quadratura 35

    4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    4.2 O conceito de elemento finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    4.3 Conceito de elemento isoparamtrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    4.4 Elementos suportados pelo programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    4.4.1 Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    4.4.2 Quadrilaterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    4.4.3 Tetradricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    4.4.4 Hexadricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    4.4.5 Prismticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    4.5 Integrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

    4.6 Erro e convergncia das solues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    5 Desenvolvimento de um programa de clculo 59

    5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    5.2 Requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    5.3 Tecnologias empregues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    5.4 Funcionalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

    5.4.1 Estrutura de dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    5.4.2 Importao de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    5.4.3 Clculo da matriz de rigidez global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

    5.4.4 Clculo do vector de foras nodais equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    5.4.5 Elementos suportados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    5.4.6 Integrao numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    5.4.7 Interface grfico de utilizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    5.4.8 Representao grfica dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.4.9 lgebra matricial e resoluo de sistemas de equaes . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    5.5 Utilizao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    5.5.1 Criao de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

    5.5.2 Prescrio de condies de fronteira e foras volmicas . . . . . . . . . . . . . . . 79

    5.5.3 Execuo de anlises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    5.5.4 Representao dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    5.5.5 Configurao do programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    6 Exemplos de aplicao 87

    6.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

  • ndice iii

    6.2 Patch test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

    6.3 Consola curta cbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    6.3.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    6.3.2 Energia de deformao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    6.3.3 Campo de deslocamentos e grandezas derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    6.4 Esfera oca sujeita a presso interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    6.5 Laje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    6.6 Perfil IPE biencastrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

    6.7 Perfil LNP curvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    6.8 Placa com orifcio circular sujeita a traco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    7 Concluso 123

    A Funes de base 125

    A.1 Tringulo de 3 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    A.2 Tringulo de 6 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

    A.3 Quadriltero de 4 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    A.4 Quadriltero de 8 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

    A.5 Quadriltero de 9 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    A.6 Tetraedro de 4 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    A.7 Tetraedro de 10 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    A.8 Hexaedro de 8 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    A.9 Hexaedro de 20 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    A.10 Hexaedro de 27 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

    A.11 Prisma de 6 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

    A.12 Prisma de 15 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

    A.13 Prisma de 18 ns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    B Regras de quadratura 139

    C Patch test: representao do campo de deformaes de eleme ntos regulares 141

    D Patch test: representao do campo de deformaes de eleme ntos distorcidos 143

    E Consola curta: campos de deformaes e tenses 145

    F Esfera oca sujeita a presso interna: resultados 149

    G Exemplo do formato MSH 151

  • iv ndice

    H Exemplos do formato FEM.JSON 153

    Bibliografia 155

  • Lista de Figuras

    2.1 Representao abstracta do domnio do problema da elasticidade tridimensional. . . . . . . . . 6

    2.2 Diagrama de Tonti para o problema de elasticidade linear. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    3.1 Representao de um domnio genrico a) de acordo com a sua definio original e b) submetido

    a uma partio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    3.2 Poltopo regular de referncia e sub-domnios de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    3.3 Funes de base dos elementos e a sua correspondncia com as funes de base globais. . . . 24

    3.4 Erro na modelao de um perfil LNP curvo causado pelo uso de uma malha grosseira de ele-

    mentos lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    3.5 Erro na modelao das condies de fronteira de um modelo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    4.1 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    4.2 Expanso polinomial da parametrizao de elementos triangulares. . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    4.3 Mapeamento nas coordenadas locais de parametrizaes Lagrangeanas de domnios quadril-

    teros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    4.4 Expanso polinomial da parametrizao de elementos quadrilaterais. . . . . . . . . . . . . . . . 45

    4.5 Mapeamento nas coordenadas locais da parametrizao Serendipiana de 8 ns de um domnio

    quadriltero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    4.6 Termos envolvidos na construo de uma funo de base N1(1,2) pelo processo Serendipiano. 46

    4.7 Expanso polinomial da parametrizao do elemento Serendipiano quadrangular de 8 ns. . . . 47

    4.8 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos tetradricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    4.9 Representao grfica da funo de forma do elemento finito tetradrico de 4 ns N1(). . . . . 48

    4.10 Representao grfica das funes de forma do elemento finito tetradrico de 10 ns. . . . . . . 49

    4.11 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos hexadricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    4.12 Representao grfica da funo de forma N7() do elemento finito hexadrico de 8 ns. . . . . 50

    4.13 Representao grfica das funes de forma do elemento finito hexadrico de 20 ns. . . . . . . 50

    4.14 Representao grfica das funes de forma do elemento finito hexadrico de 27 ns. . . . . . . 51

    4.15 Mapeamento nas coordenadas locais de elementos prismticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    4.16 Representao grfica da funo de forma N3() do elemento finito prismtico de 6 ns. . . . . 52

    v

  • vi Lista de Figuras

    4.17 Representao grfica das funes de forma do elemento finito prismtico de 15 ns. . . . . . . 52

    4.18 Representao grfica das funes de forma do elemento finito prismtico de 18 ns. . . . . . . 53

    4.19 Representao grfica da aplicao regra de quadratura de Gauss-Legendre de 2 pontos. . . . . 54

    5.1 Representao da associao entre as definies de elementos finitos e dos respectivos ns. . . 61

    5.2 Diagrama de classe da estrutura de dados Model, com mtodos e atributos omitidos. . . . . . . 62

    5.3 Representao simplificada do algoritmo do mtodo dos elementos finitos. . . . . . . . . . . . . 64

    5.4 Diagrama de classes para as classes que definem os elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    5.5 Diagrama de actividade simplificado do algoritmo de construo da matriz de rigidez. . . . . . . 65

    5.6 Interface do programa, com vrias janelas com representaes diferentes do modelo. . . . . . . 68

    5.7 Diagrama de classes da implementao das janelas MDI, omitidos os mtodos e atributos. . . . 69

    5.8 Diagrama de classes da implementao da representao das cenas. . . . . . . . . . . . . . . 69

    5.9 Descrio do uso de um padro de desenvolvimento Strategy na representao de um modelo. . 70

    5.10 Diagrama de classes da implementao do sistema de seleco de objectos. . . . . . . . . . . 70

    5.11 Diagrama de sequncia do sistema de seleco de objectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    5.12 Representao do funcionamento do grafo de cena: a) estrutura de dados do modelo b) objectos

    da cena criados a partir da estrutura de dados c) representao do modelo pelo grafo da cena a

    partir dos objectos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    5.13 Representao do funcionamento do padro de desenvolvimento do tipo Observer. . . . . . . . 72

    5.14 Representao da organizao dos objectos da cena no grafo da cena em funo da fronteira

    que os delimita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    5.15 Representao da visualizao dos objectos que compem o grafo da cena em funo da inter-

    seco da sua fronteira com o volume de viso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    5.16 Representao do funcionamento do picking. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    5.17 Diagrama de classes da implementao das rotinas de resoluo de sistemas de equaes

    lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    5.18 Menu file. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    5.19 Wizard de importao de malhas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    5.20 Wizard de importao de malhas: processo de importao de uma malha. . . . . . . . . . . . . 78

    5.21 Resultado final da importao de uma malha. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    5.22 Menu Edit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    5.23 Caixas de dilogo de prescrio de condies de fronteira. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    5.24 Menu Project. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    5.25 Mtodos de resoluo de sistemas de equaes disponveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    5.26 Caixa de dilogo do progresso da anlise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

    5.27 Janela MDI com a representao tabelada dos resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    5.28 Menu Window->New. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

  • Lista de Figuras vii

    5.29 Visualizao dos resultados via gradiente de cores, eixo de simetria transversal de uma laje

    quadrada sujeita ao peso prprio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    5.30 Visualizao das direces principais dos tensores, eixo de simetria transversal de uma laje

    quadrada sujeita ao peso prprio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

    5.31 Janela MDI com a representao tabelada da matriz de rigidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    6.1 Modelo da barra traccionada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

    6.2 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: modelos compostos por elementos hexadricos de

    8 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

    6.3 Distoro dos elementos finitos obtida a partir da alterao da partio do modelo da barra. . . . 90

    6.4 Representao da discretizao do modelo de uma consola curta, composto por 8 elementos

    hexadricos de 8 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

    6.5 Parties primitivas do domnio do modelo, representadas atravs do Gmsh. . . . . . . . . . . . 92

    6.6 Representao do refinamento-h de um modelo composto por elementos hexadricos Lagran-

    geanos lineares de 8 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    6.7 Grfico da energia de deformao em funo da dimenso caracterstica dos elementos. . . . . 93

    6.8 Grfico da convergncia do erro na energia em funo do refinamento-h dos modelos. . . . . . . 95

    6.9 Durao mdia do clculo de uma matriz de rigidez elementar por tipo de elemento. . . . . . . . 97

    6.10 Grfico da convergncia do erro na energia de deformao em funo da durao da anlise. . . 98

    6.11 Durao relativa das etapas de montagem da matriz de rigidez global e resoluo do sistema de

    equaes para modelos compostos por elementos prismticos lineares de 6 ns. . . . . . . . . 99

    6.12 Grfico da convergncia do erro na energia em funo do nmero de coeficientes da matriz de

    rigidez. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    6.13 Representao de um modelo composto por 512 elementos hexadricos Lagrangeanos lineares

    de 8 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    6.14 Representao do campo de deslocamentos de um modelo composto por 4096 elementos he-

    xadricos Lagrangeanos lineares de 8 ns: vista do plano x1 = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    6.15 Campo 23 no plano x1 = 0 obtido a partir da partio do domnio em elementos hexadricos

    Lagrangeanos lineares de 8 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    6.16 Comparao das tenses na fibra vertical mdia do plano de encastramento, calculadas atravs

    da teoria de Euler-Bernoulli e do mtodo dos elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    6.17 Modelo da esfera, sujeito a simplificao por simetria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

    6.18 Modelo composto por elementos tetradricos de 10 ns gerado pelo Gmsh, exibindo uma falha

    na continuidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    6.19 Grfico do erro na energia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    6.20 Grfico do erro no volume. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

    6.21 Representao das condies de apoio da laje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

  • viii Lista de Figuras

    6.22 Comparao da implementao das condies de fronteira cinemtica da simplificao por si-

    metria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

    6.23 Modelo de elementos finitos da laje com condies de fronteira representativas da simplificao

    por simetria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    6.24 Ns do plano de simetria de um modelo de 1000 elementos hexadricos lineares de 8 ns

    representados na configurao deformada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

    6.25 Campo de tenses na fibra vertical do centro da laje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    6.26 Tenso de von Mises avaliada na fibra do canto da laje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    6.27 Campo de tenses na fibra horizontal inferior contida no plano de simetria da laje, modelo com-

    posto por elementos finitos lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    6.28 Campo de tenses na fibra horizontal inferior contida no plano de simetria da laje, modelo com-

    posto por elementos finitos quadrticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    6.29 Representao das tenses principais no plano de simetria da laje, modelo composto por ele-

    mentos finitos quadrticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

    6.30 Partio da seco de um modelo de um perfil IPE 80, representado pelo Gmsh. . . . . . . . . . 110

    6.31 Representao das tenses 33 do perfil IPE 80 na configurao deformada. . . . . . . . . . . . 111

    6.32 Representao das tenses 33 na seco x3 = 0,50l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

    6.33 Representao das tenses 13 no banzo superior em vrias seces ao longo do eixo. . . . . . 113

    6.34 Representao das tenses 13 no banzo superior na seco x3 = 0,25l . . . . . . . . . . . . . 113

    6.35 Representao das tenses de von Mises no banzo superior em vrias seces ao longo do eixo.114

    6.36 Perfil LNP 200 100 16 com um raio de curvatura de 1,00. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    6.37 Partio da seco de um modelo de um perfil LNP 200 100 16, representado pelo Gmsh. . . . 115

    6.38 Configurao deformada do perfil LNP 200 100 16 sujeito a uma carga pontual na extremidade

    livre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    6.39 Representao do campo da tenso de comparao de von Mises. . . . . . . . . . . . . . . . . 116

    6.40 Representao de uma barra com orifcio circular sujeita a traco. . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    6.41 Modelos de uma placa com um orifcio circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    6.42 Discretizao do domnio da placa com um orifcio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    6.43 Representao dos resultados da anlise de um modelo composto por elementos finitos lineares. 119

    6.44 Tenses ao longo do segmento de recta m n: expresso analtica e resultados obtidospelo mtodo dos elementos finitos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

    6.45 Campos de tenses obtidos a partir de modelos compostos por elementos finitos quadrticos.120

    6.46 Campos de tenses obtidos a partir do modelo de uma placa com um orifcio de dimetro

    igual a 10%da largura da placa, compostos por elementos finitos quadrticos. . . . . . . . . . . 121

    6.47 Representao dos resultados da anlise de um modelo composto por elementos finitos qua-

    drticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

  • Lista de Figuras ix

    A.1 Mapeamento do tringulo de 3 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 125

    A.2 Mapeamento do tringulo de 3 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 126

    A.3 Mapeamento do quadriltero de 4 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . 127

    A.4 Mapeamento do quadriltero de 8 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . 128

    A.5 Mapeamento do quadriltero de 9 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . 129

    A.6 Mapeamento do tetraedro de 4 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . 130

    A.7 Mapeamento do tetraedro de 10 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . 131

    A.8 Mapeamento do hexaedro Lagrangeano de 8 ns das coordenadas locais para coordenadas

    globais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    A.9 Mapeamento do hexaedro Serendipiano de 20 ns das coordenadas locais para coordenadas

    globais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    A.10 Mapeamento do hexaedro Serendipiano de 20 ns das coordenadas locais. . . . . . . . . . . . 134

    A.11 Mapeamento do prisma de 6 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . . 135

    A.12 Mapeamento do prisma de 15 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 136

    A.13 Mapeamento do prisma de 18 ns das coordenadas locais para coordenadas globais. . . . . . . 137

    C.1 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 8 elementos hexadricos. . . . . . . . . 141

    C.2 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 16 elementos prismticos. . . . . . . . . 141

    C.3 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 48 elementos tetradricos. . . . . . . . . 142

    D.1 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 8 elementos hexadricos. . . . . . . . . 143

    D.2 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 16 elementos prismticos. . . . . . . . . 143

    D.3 Campo 33 da barra sujeita a presso axial: malhas de 48 elementos tetradricos. . . . . . . . . 144

    E.1 Campo de deformaes 11 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    E.2 Campo de deformaes 22 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

    E.3 Campo de deformaes 33 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    E.4 Campo de deformaes 12 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    E.5 Campo de deformaes 13 no plano YZ (lateral da consola)n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    E.6 Campo de deformaes 23 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

    E.7 Campo de tenses 11 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    E.8 Campo de tenses 22 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    E.9 Campo de tenses 33 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

    E.10 Campo de tenses 12 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    E.11 Campo de tenses 13 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    E.12 Campo de tenses 23 no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

    E.13 Campo de tenses de von Mises no plano YZ (lateral da consola). . . . . . . . . . . . . . . . . 148

  • x Lista de Figuras

  • Lista de Tabelas

    6.1 Campos de deformaes obtidos em modelos distorcidos sujeitos a presso constante. . . . . . 90

    6.2 Energia de deformao em funo do nmero de elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    6.3 Nmero de operaes necessrias para avaliar os valores funes de interpolao e suas deri-

    vadas em um dado ponto do domnio elementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    6.4 Nmero de ciclos executados por diferentes etapas do algoritmo de construo da matriz de

    rigidez elementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    6.5 Resultados da aplicao do mtodo dos elementos finitos anlise do modelo da laje. . . . . . . 107

    6.6 Comparao das tenses 33 em pontos da seco do perfil IPE 80. . . . . . . . . . . . . . . . 111

    6.7 Comparao dos valores de max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    B.1 Regras adoptadas para integrao numrica na superfcie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    B.2 Regras adoptadas para integrao numrica no volume: tetraedros e hexaedros. . . . . . . . . . 139

    B.3 Regras adoptadas para integrao numrica no volume: prismas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

    F.1 Resultados dos modelos compostos por elementos hexadricos Lagrangeanos lineares de 8 ns. 149

    F.2 Resultados dos modelos compostos por elementos hexadricos Serendipianos quadrticos de

    20 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    F.3 Resultados dos modelos compostos por elementos hexadricos Lagrangeanos quadrticos de

    27 ns. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    F.4 Resultados dos modelos compostos por elementos tetradricos lineares de 4 ns. . . . . . . . . 150

    F.5 Resultados dos modelos compostos por elementos tetradricos quadrticos de 10 ns. . . . . . 150

    xi

  • xii Lista de Tabelas

  • Notao

    Notao indicial

    ai Componente i do tensor de primeira ordem a

    ai j Componente i j do tensor de segunda ordem a

    ai jkl Componente i jkl do tensor de quarta ordem a

    ai, j Derivada parcial da componente i do tensor a em ordem componente

    j da varivel independente, ai(x)xj

    Escalares, vectores e matrizes

    a Escalar

    {a} Vector/matriz-coluna

    {a}t Vector/matriz-linha

    [A] Matriz quadrada ou rectangular

    [A]t Matriz transposta de [A]

    Smbolos presentes no texto

    Domnio do problema, R3

    Fecho do domnio

    int() Interior do domnio

    x Ponto includo em descrito em coordenadas globais

    x1,x2,x3 Coordenadas do ponto x, x= (x1,x2,x3) R3

    Fronteira do problema

    N Conjunto de pontos na fronteira onde so impostas condies de

    fronteira estticas/de Neumann

    xiii

  • xiv Notao

    D Conjunto de pontos na fronteira onde so impostas condies de

    fronteira cinemticas/de Dirichlet

    (x) Tensor das tenses no ponto x, : R3 R33

    i j Componente i j do tensor das tenses

    b j Componente j da fora prescrita por unidade de volume

    t j Componente j da fora prescrita por unidade de rea

    u(x) Campo de deslocamentos, soluo exacta, u : R3 R3

    ui(x) Componente i do campo de deslocamentos, ui : R3 R

    ui(x) Componente prescrita i do campo de deslocamentos no ponto x

    (x) Tensor das deformaes no ponto x, : R3 R33

    i j Componente i j do tensor das deformaes

    D Tensor das constantes elsticas

    E Mdulo de Young

    Coeficiente de Poisson

    i j Componente i j do tensor das tenses iniciais

    n(x) Vector unitrio normal superfcie, n : R3

    n j Componente j do vector unitrio normal superfcie

    u(x) Funo de aproximao do campo de deslocamentos, soluo

    aproximada, u : R3 R3

    ui(x) Componente i da funo de aproximao do campo de deslocamentos,

    ui : R3 R

    Vn Espao de funes ao qual pertence u(x)

    Ni(x) i-sima funo de base que gera o espao Vn, Ni : R3 R

    [K] Matriz de rigidez global

    {d} Vector dos graus de liberdade do problema

    {dE} Sub-conjunto do vector dos graus de liberdade do problema que agrupaos graus de liberdade prescritos

    {dF} Sub-conjunto do vector dos graus de liberdade do problema que agrupaos graus de liberdade livres

  • Notao xv

    { f} Vector das foras nodais equivalentes

    { fE} Sub-conjunto de coeficientes do vector das foras nodais equivalentesque incidem nos graus de liberdade prescritos

    { fF} Sub-conjunto de coeficientes do vector das foras nodais equivalentesque incidem nos graus de liberdade livres

    [KE] Sub-matriz de [K] dos coeficientes afectados s condies de fronteira

    essenciais/graus de liberdade prescritos

    [KF ] Sub-matriz de [K] dos coeficientes afectados aos graus de liberdade

    livres

    [KEF] Sub-matriz de [K] que, multiplicada por {dF}, contribui para o equilbriode {rE} e { fE} nos graus de liberdade prescritos

    [KFE] = [KEF]T Sub-matriz de [K] que, multiplicada por {dE}, contribui para o equilbriodo vector das foras nodais equivalentes nos graus de liberdade livres

    {dE} Vector dos graus de liberdade correspondentes s condies defronteira essenciais, graus de liberdade fixados a priori

    {dF} Vector dos graus de liberdade correspondentes s incgnitas doproblema, graus de liberdade livres (free)

    e Trabalho virtual das foras exteriores

    i Trabalho virtual das foras interiores

    [A] Matriz associada ao operador diferencial de compatibilidade

    [B], [B(x)] Matriz global que resulta da aplicao de [A] sobre as funes de base

    [Bi ], [Bi(x)] Sub-matriz de [B] que resulta da aplicao de [A] apenas a Ni(x)

    [D] Matriz constitutiva

    ik Delta de Kronecker

    ek Sub-domnio de

    e,localk Domnio do poltopo de referncia, sub-domnio de representado em

    coordenadas locais

    ek Fecho de ek

    uek(x) Sub-funo de aproximao do campo de deslocamentos cujo suporte

    ek, uek :

    ek R3 R3

  • xvi Notao

    ueik(x) Componente i de uek(x), u

    eik :

    ek R3 R

    Venk Espao de funes ao qual pertence a funo uek(x)

    Nekl(x) l -sima funo de base que gera o sub-espao Venk, N

    ekl :

    ek R3 R

    sup(Ni()) Suporte da funo Ni()

    Ponto includo em ei , descrito em coordenadas locais

    1,2,3 Coordenadas do ponto , = (1,2,3) e,locali

    een Erro na energia

    V() Factor pontual de converso de volumes

    [Dx()] Matriz jacobiana da parametrizao que mapeia as coordenadas locais

    em coordenadas globais

    det([A]) determinante da matriz A

    x() Representao de coordenadas globais em funo de coordenadas

    locais, x : R3 R3

    f Norma de mximo da funo f

  • Captulo 1

    Introduo

    1.1 Enquadramento geral

    Desde sempre houve a necessidade de compreender e explicar o comportamento da natureza. Como

    parte desse processo tm vindo a ser dirigidos esforos para identificar os diversos sistemas que a cons-

    tituem e, consequentemente, dar incio a um processo iterativo de observao, formulao de hipteses

    relativas ao seu funcionamento e verificao da sua validade. Validadas as hipteses, abrem-se assim as

    portas descoberta de leis da natureza, e a sua consequente aplicao no s na explicao do funci-

    onamento dos respectivos sistemas como tambm para estimar o comportamento exibido em funo da

    variao dos factores intervenientes (Belytschko et al., 2001, pg. 1-2).

    A validao e emprego dessas hipteses parte do desenvolvimento de modelos matemticos, mode-

    los esses que constituem uma descrio simplificada mas representativa dos fenmenos analisados. Ao

    descrever um sistema atravs da definio de um conjunto de variveis e de equaes que exprimem as

    relaes que se observam entre elas, torna-se possvel analisar o desenvolvimento destes fenmenos em

    funo da variao dos parmetros usados na caracterizao do problema. Ao tratar-se de modelos cuja

    validade j se encontra corroborada (e cujos limites de aplicao se encontram bem definidos), sobressai

    ainda outra grande vantagem inerente a este tipo de modelos: a possibilidade de se analisar o compor-

    tamento dos sistemas sob condies idealizadas, sem a influncia de parmetros externos e com total

    controle sobre as variveis que intervm no problema. Assim, possvel analisar o comportamento do

    sistema de forma idealizada e possuir um elevado controlo sobre todos os parmetros intervenientes.

    Entre as vrias formas de modelos matemticos disponveis para o estudo da natureza encontram-se

    os modelos definidos a partir de equaes diferenciais. Esta forma de modelar sistemas permite relacionar

    os valores apresentados por um conjunto de parmetros constituintes do modelo com a taxa de variao

    que podero apresentar. A partir destas relaes, e considerando a configurao atribuda ao domnio

    do problema e o conjunto de condies impostas na sua fronteira, torna-se possvel chegar a resultados

    plausveis do comportamento do fenmeno a ser modelado.

    Devido complexidade que o problema acima descrito assume na generalidade dos casos, quer na

    1

  • 2 Introduo

    definio do seu domnio como nas condies impostas na sua fronteira, na prtica torna-se impossvel

    obter solues analticas que cumpram exactamente todas as condies impostas.

    De maneira a contornar esta dificuldade, tm vindo a ser desenvolvidas vrias abordagens que abdicam

    da procura de expresses analticas que representem solues exactas em prol da obteno de solues

    aproximadas. Entre estas abordagens encontra-se um grupo de mtodos que tem em comum a definio

    arbitrria de funes destinadas a aproximar a soluo exacta do problema. Posteriormente o erro a elas

    associado reduzido mediante a aplicao de um critrio de minimizao. nesse mbito que surgem

    mtodos tais como o mtodo das diferenas finitas, o mtodo dos elementos fronteira e o mtodo dos

    elementos finitos.

    O mtodo dos elementos finitos foi desenvolvido a fim de obter solues aproximadas de problemas

    representados atravs de sistemas de equaes diferenciais. Para atingir este objectivo, parte-se da defi-

    nio de uma funo destinada a aproximar a soluo exacta do problema em todo o seu domnio. Esta

    assume a forma de uma funo definida por troos, e resulta da composio de um conjunto de sub-fun-

    es, cada uma com o suporte restringido a um sub-domnio do problema que lhe exclusivo e que tem a

    particularidade de a sua unio definir uma funo cujo suporte abrange o domnio do problema. Definida

    esta funo, que representa uma tentativa de aproximar a soluo exacta do problema e assim referida

    por funo tentativa, resta aplicar um critrio minimizador que permita optimizar o seu ajustamento.

    O detalhe marcante neste mtodo, que est na origem do seu nome, a construo da funo que se

    destina a aproximar a soluo exacta. Esta funo tentativa formada a partir da unio de um conjunto de

    sub-funes, cujo suporte limitado a uma regio finita do espao, disjunta das regies de todos os outros

    elementos e que, atravs de uma unio, compem o domnio do problema (Babuka e Strouboulis, 2001,

    pg. 52). Esta associao entre o sub-domnio finito no espao e a sub-funo de aproximao que o tem

    como suporte, que recebe o nome elemento finito, est na origem do poder de anlise associado a este

    mtodo, bem como a simplicidade da sua implementao.

    Assim, definido um problema (ou seja, o domnio e condies de fronteira), possvel organizar o

    mtodo dos elementos finitos nas seguintes etapas:

    partio do domnio do problema em elementos finitos;

    construo do sistema de equaes do mtodo dos elementos finitos;

    resoluo do sistema de equaes;

    calcular as grandezas de interesse com base na soluo obtida.

    Por fim, tudo isto s possvel devido aos progressos observados no domnio da computao. ca-

    pacidade inerente ao mtodo dos elementos finitos de construir solues to prximas da soluo exacta

    quanto se deseje, em particular para os problemas mais complexos, est associado um aumento do custo

    computacional exigido pelo processo de obteno de uma soluo aproximada. Assim, quer se procure

  • 1.2. Objectivos 3

    melhorar os resultados ao recorrer a discretizaes mais refinadas do domnio, refinamento-h, como pela

    adopo de funes tentativa com melhores caractersticas, refinamento-p, o aumento da dimenso do

    sistema de equaes leva a que apenas seja possvel resolver este problema recorrendo a programas de

    clculo automtico concebidos para o efeito e a mquinas de clculo com um poder considervel.

    1.2 Objectivos

    O objectivo deste trabalho consiste no desenvolvimento de um programa que permite a anlise do com-

    portamento mecnico de slidos tridimensionais. No mbito deste trabalho limitou-se a anlise a slidos

    compostos por materiais isotrpicos que exibem um comportamento geomtrica e fisicamente linear. Este

    comportamento modelado recorrendo teoria da elasticidade aplicada a slidos tridimensional. O modelo

    adoptado para este fim consiste na equao diferencial de equilbrio, expressa em funo dos deslocamen-

    tos atravs da aplicao da lei de Hooke (Timoshenko e Goodier, 1970, pg. 233). Como este modelo

    expresso atravs de um sistema de equaes diferenciais parciais, recorre-se ao mtodo dos elementos

    finitos para obter as correspondentes solues aproximadas. Para tal, foram implementados oito tipos de

    elementos finitos: os elementos finitos hexadricos Lagrangeanos de 8 e 27 ns, hexadrico Serendipiano

    de 20 ns, tetradricos de 4 e 10 ns, e prismticos de 6, 15 e 18 ns. Obtida uma soluo aproximada, os

    resultados so sujeitos a um ps-processamento e apresentados ao utilizador recorrendo a um componente

    de visualizao desenvolvido para este efeito. Por fim, o programa empregue na anlise de um conjunto

    de problemas de elasticidade linear tridimensional a fim de demonstrar a validade da implementao e

    observar respostas que no so reproduzidas pelas vulgares teorias estruturais.

    1.3 Estrutura do trabalho

    No captulo 2 apresentado o problema de elasticidade tridimensional como problema de valores na

    fronteira. No captulo 3 apresentado o mtodo dos elementos finitos aplicado anlise de slidos. Este

    mtodo, conforme descrito neste trabalho, derivado da aplicao do mtodo Bubnov-Galerkin para a ob-

    teno de solues aproximadas de equaes diferenciais mediante o ajuste soluo exacta de funes

    polinomiais definidas por troos. No captulo 4 apresentado o conceito de elemento finito, seguido da

    descrio de um conjunto de tipos de elemento finito e da problemtica da sua implementao. No cap-

    tulo 5 feita uma descrio sucinta do processo de planeamento e desenvolvimento de uma aplicao de

    software que implementa o mtodo dos elementos finitos aplicado anlise esttica linear de slidos, com

    suporte para visualizao bem como pr e ps-processamento: o Finite Element Method Program (FEMP).

    No captulo 6 so expostos alguns exemplos de aplicao do FEMP destinados a aferir a validade da im-

    plementao do mtodo dos elementos finitos, observar algumas propriedades de convergncia dos tipos

    de elemento finito suportados pelo programa, e comparar os resultados obtidos com aqueles resultantes da

    aplicao de um conjunto de teorias estruturais.

  • Captulo 2

    O problema de elasticidade tridimensional

    2.1 Introduo

    possvel observar que, quando um dado corpo slido submetido a uma dada solicitao, este passa

    a apresentar uma configurao deformada. Em certas condies observa-se que o grau da deformao

    varia no s com a natureza do material como tambm com a magnitude das aces e, aps estas serem

    retiradas, o corpo recupera a sua configurao original. Essa propriedade fsica designada por elasti-

    cidade. Com base em observaes deste fenmeno desenvolveram-se modelos capazes de descrever e

    prever com alguma preciso o comportamento de slidos em resposta aplicao de conjuntos de aces.

    O estudo do problema da elasticidade parte da definio de um modelo que, respeitando o seu do-

    mnio de aplicao, permite reproduzir com uma preciso aceitvel o comportamento do sistema. Este

    comportamento simulado a partir da definio de relaes que se do entre parmetros que regem o

    comportamento do modelo. Assim, considerando como aces apenas as solicitaes aplicadas tanto no

    domnio como na fronteira do corpo, pode-se partir para a caracterizao do comportamento de qualquer

    material tido como elstico considerando apenas um conjunto limitado de parmetros: as aces aplicadas

    no corpo, as tenses que se formam no seu interior, os deslocamentos de pontos do corpo, as deformaes,

    as propriedades associadas aos materiais constituintes e a geometria do corpo em anlise.

    2.2 Domnio do problema

    Sendo o problema abordado o da elasticidade aplicada a slidos, o modelo assumir a forma de um sis-

    tema de equaes diferenciais parciais que procuram descrever a relao que h entre as aces aplicadas

    a um slido e os deslocamentos que da resultam, satisfazendo as condies impostas em um conjunto de

    pontos pertencentes regio que definida como seu domnio e a respectiva fronteira. Assim, a definio

    do modelo parte do estabelecimento das equaes que caracterizam o comportamento a partir da anlise

    dos parmetros que o influenciam, bem como o seu domnio e as condies a serem verificadas na sua

    fronteira.

    5

  • 6 O problema de elasticidade tridimensional

    O domnio do problema em estudo, tratando-se de um problema de elasticidade tridimensional, ser

    definido como uma regio R3. Um ponto genrico includo no domnio do problema ser referido por x,tal que x= (x1,x2,x3) .

    A regio , representada genericamente na figura 2.1, decomposta da seguinte forma:

    = (2.1)

    sendo = int(), o subconjunto de que rene todos os pontos interiores, e = \, o subconjuntode todos os pontos da fronteira de .

    O conjunto contm, por sua vez, dois sub-conjuntos, N e D, que definem os conjuntos de pontos

    na fronteira onde so definidas, respectivamente, as condies de fronteira esttica e cinemtica. Estas

    condies de fronteira so tambm referidas, respectivamente, por condies de Neumann e de Dirichlet.

    D

    N

    x1 x2

    x3

    Figura 2.1: Representao abstracta do domnio do problema da elasticidade tridimensional.

    2.3 Relaes de equilbrio

    No que se segue, considerou-se que os slidos em anlise se encontram em equilbrio esttico na

    posio indeformada. Para essa condio ser verificada necessrio que em qualquer ponto do interior

    do corpo o somatrio de foras volmicas e tenses actuantes nas superfcies de um qualquer volume

    infinitesimal seja nulo. Considerando a distribuio de foras e tenses actuantes no volume infinitesimal,

    esse requisito definido atravs da seguinte equao diferencial de equilbrio:

    i j ,i(x)+ b j(x) = 0 ,x (2.2)

    em que representa o tensor das tenses e b a fora por unidade de volume aplicada no ponto x, contido

    no domnio do problema.

    A hiptese dos slidos se encontrarem em equilbrio esttico tambm implica que o somatrio dos

    momentos resultantes das tenses actuantes no corpo sejam nulos em qualquer ponto do domnio do

    problema, condio essa que traduzida pela seguinte expresso:

  • 2.4. Relaes de compatibilidade 7

    i j = ji (2.3)

    tambm necessrio garantir que na fronteira esttica do corpo o somatrio das foras distribudas

    na fronteira do corpo com as tenses tambm nulo. Essa condio de fronteira traduz-se na seguinte

    expresso:

    t j(x) = i j (x)ni(x) ,x N (2.4)

    em que t representa a fora por unidade de rea que prescrita em N e n o vector unitrio normal exterior

    superfcie no ponto x.

    2.4 Relaes de compatibilidade

    assumido que o campo de deslocamentos obtido em resposta a uma dada solicitao, expresso aqui

    atravs da funo u(x), contnuo em todo o domnio.

    Assumindo tambm que as derivadas do campo de deslocamentos so muito pequenas em comparao

    com a unidade, as deformaes podem ser expressas em funo do campo de deslocamentos atravs da

    seguinte equao diferencial:

    i j (x) =12(ui, j(x)+u j ,i(x)) (2.5)

    em que representa o tensor das deformaes infinitesimais.

    tambm imposto que o campo de deslocamentos satisfaa as condies de fronteira cinemticas do

    problema. Assim, a funo que representa a soluo do problema ter de exibir valores prescritos partida

    em pontos especficos da fronteira. Esta condio representada atravs da expresso seguinte:

    ui(x) = ui(x) ,x D (2.6)

    2.5 Relaes constitutivas

    Por fim resta definir a forma como as tenses e as deformaes se relacionam. O modelo constitutivo

    adoptado para esse efeito a lei de Hooke, que na sua forma generalizada representada atravs da

    seguinte expresso:

    i j = Di jkl (kl kl)+i j (2.7)

    em que D representa o tensor das constantes elsticas e e representam, respectivamente, os tensores

    das tenses e das deformaes iniciais. Para simplificar a exposio, deste ponto em diante assumir-se-

    que e so nulos. A substituio dessa hiptese na expresso (2.7) resulta em:

  • 8 O problema de elasticidade tridimensional

    i j = Di jkl kl (2.8)

    Para o caso em que o material isotrpico, a relao constitutiva passa a ser expressa em funo de

    duas constantes independentes, conforme indicado no sistema de equaes apresentado em (2.9):

    11 = E(1+)(12) [(1)11+22+33]22 = E(1+)(12) [11+(1)22+33]33 = E(1+)(12) [11+22+(1)33]12 = E1+12

    23 = E1+23

    13 = E1+13

    (2.9)

    em que E referido como o mdulo de Young e o coeficiente de Poisson.

    A representao matricial do sistema de equaes (2.9) conseguida atravs da seguinte expresso:

    11

    22

    33

    12

    23

    13

    =E

    (1+)(12)

    1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 0 122 0 0

    0 0 0 0 122 0

    0 0 0 0 0 122

    11

    22

    33

    212

    223

    213

    (2.10)

    2.6 A elasticidade tridimensional como um problema de valor es de fronteira

    Reunida a informao necessria, torna-se possvel definir o problema de valores de fronteira da elasti-

    cidade tridimensional em (2.11), cujo diagrama de Tonti apresentado na Figura 2.2.

    i j =12(ui, j +u j ,i) ,x

    i j ,i + b j = 0 ,x

    i j = Di jkl kl ,x

    ui = ui ,x D

    i j ni = t j ,x N

    (2.11a)

    (2.11b)

    (2.11c)

    (2.11d)

    (2.11e)

    em que u representa o campo de deslocamentos, bi as foras prescritas por unidade de volume e ui e ti

    constituem os valores prescritos na fronteira para, respectivamente, o campo de deslocamentos e as foras

    prescritas por unidade de rea.

  • 2.6. A elasticidade tridimensional como um problema de valo res de fronteira 9

    Foras

    bi

    Equilbrio

    i j ,i + b j = 0

    Tenses

    i j

    Elasticidade

    i j = Di jkl kl

    Deformaes

    i j

    Compatibilidade

    i j = 12(ui, j +u j,i)

    Deslocamentos

    ui

    Figura 2.2: Diagrama de Tonti para o problema de elasticidade linear.

  • Captulo 3

    Obteno de solues para problemas da

    elasticidade tridimensional

    3.1 Introduo

    Como foi apresentado no captulo 2, o problema da elasticidade em corpos tridimensionais pode ser

    descrito sob a forma de um problema de valores de fronteira. Assim, o estudo deste problema passa pela

    procura de uma funo que, para o caso em anlise, satisfaa o conjunto de condies imposto em (2.11).

    Devido complexidade que a configurao do domnio e as condies de fronteira podero assumir

    nos problemas da elasticidade tridimensional, na prtica torna-se impossvel obter, para a generalidade dos

    problemas, uma expresso analtica que satisfaa o sistema de equaes diferenciais parciais considerado

    no seu domnio, bem como as condies de fronteira (i.e., a soluo exacta), sendo apenas possvel obter

    tal expresso em casos excepcionalmente simples.

    Uma das abordagens alternativas que permite contornar estas dificuldades foi originalmente proposta

    por Courant (1943). Esta abordagem consiste em substituir o problema P em anlise, que possui uma

    soluo S, por um problema relacionado Pn to simples que permita que a sua soluo Sn seja obtida com

    relativa facilidade. Posteriormente, ao melhorar a aproximao de Pn a P pode-se esperar, assumir ou

    demonstrar que a soluo aproximada Sn converge para a soluo desejada Sde P.

    Esta abordagem, descrita de forma genrica, parte da definio de uma funo destinada a aproximar

    a soluo exacta, ajustando-a subsequentemente em todo o domnio do problema tal que uma medida do

    erro de aproximao seja to reduzida quanto possvel. Essa abordagem possui a capacidade de obter

    solues para um conjunto de problemas mais vasto em troca da aceitao de resultados aos quais est

    associado uma margem de erro, erro este que possvel controlar.

    Motivado por estas caractersticas, e consequentemente pelo interesse prtico a elas associado, na

    seco seguinte focar-se- uma classe de mtodos de obteno de solues aproximadas para problemas

    de valores de fronteira: a classe dos mtodos dos resduos ponderados.

    11

  • 12 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional

    3.2 Mtodo dos resduos ponderados

    De acordo com essa classe de mtodos, considere-se a seguinte descrio de um problema de valores

    de fronteira:

    L [u(x)] = b(x) ,x

    ui(x) = ui(x) ,x D

    B[u(x)] = t(x) ,x N

    (3.1a)

    (3.1b)

    (3.1c)

    onde u(x) representa a soluo exacta do problema, ui(x) a componente i de u(x), L[.] e B[.] correspondem

    a operadores diferenciais e as expresses (3.1b) e (3.1c) definem as condies de fronteira do problema.

    Ao substituir nas expresses (3.1a) e (3.1c) a soluo exacta do problema por uma sua aproximao que

    satisfaa a priori a condio (3.1b), funo que daqui em diante ser referida por funo de aproximao da

    soluo exacta ou simplesmente funo de aproximao, e representada por u(x), passa a no ser possvel

    garantir que se cumpram as condies expressas em (3.1a) e (3.1c). Como consequncia, poder surgir

    um erro associado ao uso de aproximaes da soluo exacta nessa expresso, erro esse designado por

    erro residual ou resduo.

    Deste ponto em diante, o trabalho focar-se- no problema de valores de fronteira da elasticidade linear

    tridimensional, conforme expresso em (2.11). Assim, u(x) corresponde ao seguinte mapeamento:

    u : 7R3 (3.2)

    com conforme definido na seco 2.2.

    Quando considerados individualmente, cada componente de u(x) corresponde ao seguinte mapea-

    mento.

    ui : 7R (3.3)

    O mapeamento de u(x), bem como as respectivas componentes, idntico.

    A partir das condies expressas em (3.1), o resduo deste problema representado respectivamente

    pelas expresses (3.4a) e (3.4b).

    Ri(x) = Li [u(x)] bi(x)

    RNi(x) = Bi [u(x)] ti(x)

    (3.4a)

    (3.4b)

    onde Ri(x) e RNi(x) representam, respectivamente, o resduo da condio de equilbrio no domnio do

    problema e na fronteira esttica segundo o eixo coordenado i. Note-se que a definio a priori de u(x) de

    maneira a garantir o cumprimento da condio (3.1b) implica que, para qualquer aproximao da soluo

    construda desta forma, garantido que o resduo da condio de compatibilidade na fronteira cinemtica

    seja nulo.

  • 3.2. Mtodo dos resduos ponderados 13

    Conforme foi referido anteriormente, o objectivo da aplicao desta classe de mtodos a obteno

    de uma funo que aproxime adequadamente u(x). Na impossibilidade de achar u(x) que satisfaa as

    condies expressas em (3.1a) e (3.1c), esta classe de mtodos parte da escolha de uma definio mais

    genrica de u(x), representada por u(x,DoF), que representa o seguinte mapeamento:

    u :{

    ,DoF}

    7 R3 (3.5)

    onde DoF representa o conjunto de parmetros, referidos como graus de liberdade, que define o compor-

    tamento da funo ao longo do seu domnio. Estes so definidos da seguinte forma:

    DoF =3

    i=1

    {di1, ,din} Rn (3.6)

    onde dik representa o grau de liberdade k que est associado definio de ui(x).

    A funo u(x,DoF), quando atribudos valores concretos ao conjunto de parmetros DoF, corresponde

    a u(x). Esta funo referida como funo tentativa, e pertence a uma classe de funes cujos membros

    so capazes de aproximar de forma adequada a soluo exacta, tanto no domnio do problema como na sua

    fronteira, mediante a manipulao dos graus de liberdade que a compem. Subsequentemente, u(x,DoF)

    ajustada a u(x) mediante a aplicao de um critrio de optimizao capaz de obter os valores de DoF

    que minimizem o erro da aproximao. Desta forma, a distino entre o conceito de funo de aproximao

    da soluo exacta e funo tentativa , respectivamente, a determinao ou no dos valores assumidos

    pelos graus de liberdade da funo. Considerando esta distino, deste ponto em diante ambas as funes

    sero representadas por u(x), com o estado da determinao dos valores atribudos aos graus de liberdade

    a depender do contexto.

    No mtodo dos resduos ponderados, o critrio de optimizao aplicado atravs da imposio do

    anulamento em mdia do resduo sobre o domnio do problema. De forma genrica, este procedimento

    traduz-se na afectao a cada expresso de resduo de uma funo de ponderao (tambm referida por

    funo peso) e aqui representada por W(x), conforme indicado na expresso (3.7):

    Wi(x)Ri(x) d = 0 , i {1,2,3}

    NWi(x)RNi(x) dN = 0 , i {1,2,3}

    (3.7)

    A partir do conjunto de produtos internos de funes definidos em (3.7) possvel ajustar os parmetros

    que definem u(x) de maneira a obter aproximaes da soluo exacta que cumpram de forma aproximada

    as condies estipuladas pelo problema. O erro associado a u(x) variar em funo de um conjunto de

    factores, entre os quais se encontram o critrio de optimizao adoptado (ou seja, o mtodo empregue

    para definir a aproximao de u(x) a u(x)), o espao de funes ao qual pertence u(x) e as condies de

    fronteira prescritas no problema.

    A classe dos mtodos dos resduos ponderados engloba um conjunto alargado de mtodos, entre os

    quais se destacam o mtodo da colocao pontual, o mtodo da colocao por subdomnio, e o mtodo

  • 14 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional

    de Galerkin, ver Zienkiewicz et al. (2005, pg. 61). No domnio do mtodo de Galerkin destaca-se uma

    variante, o mtodo de Bubnov-Galerkin, sobre o qual o presente trabalho se focar deste ponto em diante.

    3.3 Mtodo de Bubnov-Galerkin

    De acordo com o mtodo de Bubnov-Galerkin, as componentes das funes de ponderao, Wi(x),

    e das funes de aproximao, ui(x), pertencem ao mesmo espao linear de funes, referido daqui em

    diante por Vn, ver Hughes (2000, pg. 8) e oln (2006, pg. 46). Por sua vez, este espao de funes

    gerado atravs da combinao linear de um conjunto de n funes de base, escolhidas criteriosamente, as

    quais so referidas deste ponto em diante por Nk(x), k {1, . . . ,n}. Assim, as funes de ponderao efunes tentativa so definidas doravante da seguinte forma:

    Wi(x) =n

    k=1

    cikNk(x)

    ui(x) =n

    k=1

    dikNk(x)

    (3.8)

    Tendo em conta estas exigncias, a substituio de (3.8) em (3.7) produz a seguinte expresso:

    n

    k=1

    cik

    Nk(x)Ri(x)d = 0

    n

    k=1

    cik

    N

    Nk(x)RN i(x)dN = 0(3.9)

    Considerando as propriedades fundamentais do produto interno de funes reais, a expresso (3.7)

    s ser satisfeita se ui(x) pertencer a Vn, e assim seja possvel que ui(x) represente a soluo exacta do

    problema, ou se ambos os resduos forem ortogonais a Wi(x).

    Na impossibilidade de usar a primeira opo, para que o resduo seja ortogonal para qualquer Wi(x)

    ento a funo que o define ter de ser ortogonal a todas as funes de base que geram Vn. Desta forma,

    torna-se possvel expressar esta condio atravs do seguinte sistema de equaes:

    N1(x)Ri(x)dx= 0

    ...

    Nn(x)Ri(x)dx= 0

    NN1(x)RN i(x)dx= 0

    ...N

    Nn(x)RN i(x)dx= 0

    (3.10)

    Como o espao de funes Vn gerado por um conjunto de n funes de base, o sistema de equa-

    es representado em (3.10) representa um sistema de (23n) equaes com (3n) incgnitas, sendo as

  • 3.4. Formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin 15

    incgnitas os escalares dik que intervm na definio de ui(x). Note-se que ui(x) resulta da combinao

    linear das funes de base Nk(x) onde intervm os escalares dik, e consequentemente a imagem de ui(x)

    depende exclusivamente destes escalares. Esta forma permite simplificar e sistematizar o processo de

    obteno de solues aproximadas para problemas de valor na fronteira, bem como relaxar as exigncias

    impostas seleco das funes de base que geram o espao Vn. Uma outra propriedade deste mtodo

    a da convergncia de u(x) para u(x) depender directamente do nmero de funes de base que geram

    o espao Vn, e que mediante uma escolha criteriosa de funes de base possvel definir sucesses de

    espaos vectoriais de funes Vn que permitem que a respectiva sucesso de funes u(x) geradas por

    eles convirja para a soluo exacta do problema, ver oln (2006, pg. 46).

    O mtodo dos resduos ponderados pode ainda ser formulado de maneira a relaxar as exigncias de

    continuidade impostas ao espao de funes Vn. sobre esta formulao, denominada formulao fraca

    do problema, que ir incidir a seco seguinte.

    3.4 Formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin

    Como ponto de partida considere-se a aplicao do mtodo de Bubnov-Galerkin ao problema de valores

    de fronteira da elasticidade tridimensional, conforme apresentado em (2.11). Uma vez que necessrio

    anular o resduo produzido pela expresses de equilbrio tanto no domnio como na fronteira esttica, obtm-

    -se a seguinte expresso:

    Wi(x)(

    ji , j(x)+ bi(x))

    d = 0

    NWi(x)( ji (x)n j(x) ti(x)) dN = 0

    (3.11a)

    (3.11b)

    Aplicando a frmula de integrao por partes a (3.11a), a expresso do equilbrio no domnio passa a

    assumir a seguinte forma:

    Wi, j(x)i j (x)d =

    (Wi(x)i j (x)), j d+

    Wi(x)bi(x)d (3.12)

    A principal consequncia da aplicao da frmula de integrao por partes reside na reduo da ordem

    das derivadas de ui(x). Isto implica que o espao Vn passa a poder ser gerado por um conjunto de funes

    de base que pertenam a uma classe de diferenciabilidade inferior quela exigida pela formulao anterior.

    Outra consequncia importante que possvel constatar na expresso anterior prende-se com a deriva-

    o agora imposta a Wi(x). Substituindo a expresso (2.11a) em (2.11c), verifica-se que i j , presente no

    primeiro termo, inclui derivadas de primeira ordem de ui(x). Com esta alterao possvel constatar que

    ambas as funes pertencem ao mesmo espao de funes: o sub-espao de Vn gerado pelas derivadas

    das funes de base de Vn. Esta formulao do mtodo Bubnov-Galerkin permite a reduo da ordem de

    diferenciabilidade exigida s funes de base. Devido a este enfraquecimento das exigncias de conti-

  • 16 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional

    nuidade, esta formulao referida como formulao fraca ou forma fraca do problema, ver Reddy (1993,

    pg. 30) e Wunderlich e Pilkey (2003, pg. 450).

    Tomando em considerao as condies de equilbrio na fronteira definidas atravs da expresso (2.11e)

    (ou seja, as condies de fronteira estticas), aplica-se o teorema da divergncia ao primeiro termo do se-

    gundo membro da equao (3.12). Ao somar o resduo do domnio (3.11a) com o resduo na fronteira

    (3.11b), chega-se a:

    Wi, j(x)i j (x)d =

    NWi(x)ti(x)dN +

    Wi(x)bi(x)d (3.13)

    Com esta etapa, a dimenso do problema da anulao dos resduos na fronteira e no domnio passou

    de (6n) equaes para (3n), ambas com (6n) incgnitas.

    Substituindo em (3.13) a definio de Wi(x) conforme indicado em (3.8) obtm-se a seguinte expresso:

    n

    k=1

    cikNk, j (x)i j (x)d =

    N

    n

    k=1

    cikNk(x)ti(x)dN +

    n

    k=1

    cikNk(x)bi(x)d (3.14)

    Devido forma como foram definidas as funes Wi(x) e ui(x), e tendo em conta que o espao Vn

    gerado a partir de um conjunto de n funes de base, cada equao possui (6n) incgnitas, constitudas

    pelos escalares cik e dik que compem, respectivamente, Wi(x) e ui(x).

    Apesar desta expresso apresentar uma forma consideravelmente diferente daquela encontrada em

    (3.11), ela constitui ainda a aplicao do mtodo de Bubnov-Galerkin para obteno de solues aproxi-

    madas para o problema da elasticidade. Portanto, e conforme a seco anterior, o objectivo ainda consiste

    em obter uma funo ui(x) que anule o resduo das equaes de equilbrio no domnio e na fronteira do

    problema. Para tal, as expresses do resduo tero novamente de ser ortogonais a qualquer funo Wi(x),

    o que conseguido ao garantir que o resduo ortogonal a qualquer funo de base que gera o espao Vn.

    Refactorizando a expresso (3.14) de maneira a pr em evidncia os escalares cik, possvel reorga-

    niz-la em um sistema de (3n) equaes, cada uma representando a ponderao dos resduos no domnio

    e na fronteira pelo respectivo conjunto de funes de base que geram de Vn, conforme indicado na ex-

    presso seguinte:

    cik

    (

    Nk, j (x)i j (x)d+

    N

    Nk(x)ti(x)dN +

    Nk(x)bi(x)d

    )

    = 0 (3.15)

    Novamente, como os resduos devem ser eliminados para qualquer Wi(x), ento o sistema de equaes

    (3.15) ter de ser vlido para qualquer valor assumido pelos escalares cik. Como consequncia, torna-se

    possvel ignorar a soluo trivial cik = 0, eliminando assim a interveno destes escalares na obteno de

    uma soluo para o problema. Com este passo o nmero de incgnitas do problema reduzido de (6n)

    para (3n) e o problema reduzido a um sistema de (3n) equaes com (3n) incgnitas, sendo as incgnitas

    do problema os escalares dik usados na definio de uk(x), conforme apresentada em (3.8).

    Reorganizando as equaes chega-se ao seguinte sistema de equaes:

  • 3.4. Formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin 17

    Nk, j(x)i j (x)d =

    NNk(x)ti(x)dN +

    Nk(x)bi(x)d (3.16)

    Focando agora a ateno no primeiro membro de (3.16), possvel expandir os ndices i e j , obtendo-

    -se:

    Nk, j (x)1 j(x)d =

    Nk,1(x)11(x)+Nk,2(x)12(x)+Nk,3(x)13(x)d

    Nk, j (x)2 j(x)d =

    Nk,1(x)21(x)+Nk,2(x)22(x)+Nk,3(x)23(x)d

    Nk, j (x)3 j(x)d =

    Nk,1(x)31(x)+Nk,2(x)32(x)+Nk,3(x)33(x)d

    (3.17)

    Agora, substituindo a definio das relaes deformaes-deslocamentos apresentada em (2.5) na re-

    lao constitutiva (2.9), considerando a definio de ui(x) conforme apresentada em (3.8) e omitindo os

    vectores associados s deformaes e tenses residuais, obtm-se a seguinte expresso para as relaes

    tenses-deslocamentos:

    11 =E

    (1+)(12)

    [

    (1)n

    l

    Nl ,1(x)d1l +n

    l

    Nl ,2(x)d2l +n

    l

    Nl ,3(x)d3l

    ]

    22 =E

    (1+)(12)

    [

    n

    l

    Nl ,1(x)d1l +(1)n

    l

    Nl ,2(x)d2l +n

    l

    Nl ,3(x)d3l

    ]

    33 =E

    (1+)(12)

    [

    n

    l

    Nl ,1(x)d1l +n

    l

    Nl ,2(x)d2l +(1)n

    l

    Nl ,3(x)d3l

    ]

    12 =E

    1+

    (

    n

    l

    Nl ,2(x)d1l +n

    l

    Nl ,1(x)d2l

    )

    23 =E

    1+

    (

    n

    l

    Nl ,3(x)d2l +n

    l

    Nl ,2(x)d3l

    )

    13 =E

    1+

    (

    n

    l

    Nl ,3(x)d1l +n

    l

    Nl ,1(x)d3l

    )

    (3.18)

    Substituindo as definies de (3.18) em (3.17), considerando a condio de simetria expressa em (2.3),

    e reagrupando os factores associados aos parmetros dik obtm-se a seguinte expresso:

  • 18 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional

    Nk, j 1 j d =

    nl=1

    (

    Nk,1E(1)

    (1+)(12)Nl ,1+Nk,2E

    1+ Nl ,2+Nk,3E

    1+Nl ,3)

    dd1l+

    +nl=1

    (

    Nk,1E

    (1+)(12)Nl ,2+Nk,2E

    1+Nl ,1)

    dd2l+

    +nl=1

    (

    Nk,1 E(1+)(12)Nl ,3+Nk,3E

    1+Nl ,1)

    dd3l

    Nk, j 2 j d = nl=1

    (

    Nk,1E

    1+Nl ,2+Nk,2E

    (1+)(12)Nl ,1)

    dd1l+

    +nl=1

    (

    Nk,1 E1+Nl ,1+Nk,2E(1)

    (1+)(2)Nl ,2+Nk,3E

    1+ Nl ,3)

    dd2l+

    +nl=1

    (

    Nk,2E

    (1+)(12)Nl ,3+Nk,3E

    1+Nl ,2)

    dd3,l Nk, j 3 j d =

    nl=1

    (

    Nk,1 E1+Nl ,3+Nk,3E

    (1+)(12)Nl ,1)

    dd1l+

    +nl=1

    (

    Nk,2E

    1+Nl ,3+Nk,3E

    (1+)(12)Nl ,2)

    dd2l+

    +nl=1

    (

    Nk,1 E1+Nl ,1+Nk,2E

    1+ Nl ,2+Nk,3E(1)

    (1+)(12)Nl ,3)

    dd3l

    (3.19)

    Chegado a este ponto, agora possvel expressar a aplicao da forma fraca do problema da elastici-

    dade tridimensional em notao matricial.

    a(11)(11) a(11)(21) a(11)(31) a(11)(1n) a(11)(2n) a(11)(3n)a(21)(11) a(21)(21) a(21)(31) a(21)(1n) a(21)(2n) a(21)(3n)a(31)(11) a(31)(21) a(31)(31) a(31)(1n) a(31)(2n) a(31)(3n)

    .... . .

    ...

    a(1n)(11) a(1n)(21) a(1n)(31) a(1n)(1n) a(1n)(2n) a(1n)(3n)a(2n)(11) a(2n)(21) a(2n)(31) a(2n)(1n) a(2n)(2n) a(2n)(3n)a(3n)(11) a(3n)(21) a(3n)(31) a(3n)(1n) a(3n)(2n) a(3n)(3n)

    d11

    d21

    d31...

    d1n

    d2n

    d3n

    =

    f11

    f21

    f31...

    f1n

    f2n

    f3n

    (3.20)

    em que:

    a(ik)( jl ) =

    (

    Nk,iE(1)

    (1+)(12)Nl , j +3

    m6=i, j

    Nk,mE

    1+Nl ,m

    )

    d , i = j

    (

    Nk,iE

    (1+)(12)Nl , j +Nk, jE

    1+Nl ,i

    )

    d , i 6= j(3.21)

    e

    fik =

    NNk(x)ti(x)dN +

    Nk(x)bi(x)d (3.22)

    A expresso (3.22) pode ainda ser representado da seguinte forma:

    fik = fNik + f

    ik (3.23)

    em que f Nik e fik correspondem, respectivamente, contribuio das cargas distribudas na superfcie e

    no domnio, i.e.,

    f Nik =

    NNk(x)ti(x)dN (3.24)

  • 3.4. Formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin 19

    e

    f ik =

    Nk(x)bi(x)d (3.25)

    Renomeando os ndices usados na expresso (3.20) de maneira a apresentarem uma numerao se-

    quencial (i, j = 1...3n) possvel reescrever o resultado da aplicao do mtodo de Bubnov-Galerkin ao

    problema da elasticidade tridimensional na forma cannica da equao do mtodo dos elementos finitos,

    conforme apresentado em (3.26):

    Ki j d j = fi (3.26)

    onde a matriz K referida por matriz de rigidez global e o vector f por vector de foras nodais equivalentes.

    Em notao matricial tem-se:

    [K]{d}= { f} (3.27)

    Separando as contribuies para o vector de foras nodais equivalentes, conforme representado em

    (3.23), a expresso (3.26) assume a seguinte forma:

    [K]{d}={

    f N}

    + { f } (3.28)

    Por fim, necessrio referir a forma como so contabilizadas as condies de fronteira cinemticas.

    Enquanto as condies de fronteira esttica so contabilizadas directamente na expresso do resduo, e

    assim so naturalmente incorporadas no problema, ainda necessrio impor as condies de fronteira

    cinemtica.

    Atendendo definio de ui(x) conforme indicado em (3.8) e considerando que o conjunto de funes

    de base a partir do qual ui(x) gerada adequado ao problema, a imposio de restries a ui(x)

    conseguida atravs da atribuio prvia de valores a um conjunto de incgnitas dik de maneira a garantir

    logo partida que a funo de aproximao cumpre estas condies de fronteira. Como os escalares dik

    que entram na definio de ui(x) constituem as incgnitas do problema (3.26), a fixao do valor de um

    conjunto de graus de liberdade dik implica a reduo do nmero de incgnitas que necessrio determinar

    atravs da resoluo do sistema de equaes, juntamente com a reduo do nmero de equaes que

    necessrio empregar para que o sistema seja determinado.

    Desta forma, o sistema de equaes expresso em (3.26) pode ser representado de maneira a reflec-

    tir a atribuio de valores a um conjunto de escalares d j (Fish e Belytschko, 2007, pg. 21), conforme

    apresentado em (3.29).

    KE KEF

    KFE KF

    dE

    dF

    =

    fE + rE

    fF

    (3.29)

    em que {dE} representa o vector das condies de fronteira essenciais, que corresponde ao conjunto degraus de liberdade cujo valor foi previamente prescrito de modo a cumprir logo partida as condies

    cinemticas impostas pelo problema na fronteira do seu domnio. Da mesma forma, {dF} representa oconjunto de graus de liberdade livres, ou seja, o conjunto de incgnitas de d j que se pretende determinar,

  • 20 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional

    com a resoluo do sistema de equaes. Os vectores { fE} e { fF} representam o conjunto de forasnodais equivalentes que incidem, respectivamente, nos graus de liberdade com deslocamentos previamente

    prescritos e livres. O vector {rE} corresponde s foras de reaco nodais equivalentes que surgem nosgraus de liberdade com deslocamentos prescritos de maneira a equilibrar a contribuio das foras nodais

    equivalentes.

    A atribuio de valores a um conjunto de incgnitas de d j com o intuito de garantir o cumprimento

    de um conjunto de condies cinemticas do problema referido por prescrio de graus de liberdade,

    enquanto que as restantes incgnitas so referidas por graus de liberdade livres, (Wunderlich e Pilkey, 2003,

    pg. 451). Na matriz de rigidez, [KE] representa a sub-matriz de [K] onde so agrupados os coeficientes que

    so afectados aos graus de liberdade prescritos, [KF ] a sub-matriz onde se agrupam os coeficientes de [K]

    afectados apenas aos graus de liberdade livres. Por fim, a matriz [KEF] representa a sub-matriz composta

    pelos coeficientes de [K] que, ao ser multiplicada por {dF}, contribui para o equilbrio da equao nos grausde liberdade prescritos. Da mesma forma, a matriz [KFE], quando multiplicada por {dE}, contribui para oequilbrio da expresso nos graus de liberdade livres (Fish e Belytschko, 2007, pg. 21).

    Atendendo a que a obteno de uma soluo para o problema (ou seja, a definio de u(x)) passa pela

    resoluo do sistema de equaes expresso em (3.29), e como parte dos graus de liberdade do problema

    j se encontram determinados partida, basta obter uma soluo para os graus de liberdade livres para

    poder definir a aproximao da soluo exacta do problema. Desta forma, o sistema de equaes passa a

    ser expressa da seguinte maneira:

    [KF ]{dF}= { fF} [KFE]{dE} (3.30)

    Atravs da resoluo do sistema de equaes (3.30) possvel determinar as incgnitas {dF}. Ao con-jugar {dE} com {dF} torna-se possvel completar a definio de u e assim obter uma soluo aproximadapara o campo de deslocamentos do problema em anlise e consequentemente permitir o ps-processa-

    mento dos resultados.

    3.5 Mtodo dos elementos finitos

    O mtodo dos elementos finitos, conforme ser aqui exposto, corresponde aplicao da formulao

    fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin para a obteno de solues aproximadas de problemas de valores

    de fronteira. O pormenor que destaca esta formulao a forma como definida ui(x). Com este mtodo,

    ui(x) assume a forma de uma funo definida por troos1, com cada troo a corresponder a uma sub-regio

    de que serve de suporte a uma sub-funo de aproximao. Cada troo da funo definido de maneira

    a que o seu suporte corresponda a uma regio com uma configurao geomtrica simples. Estas regies

    necessitam ainda de ser disjuntas entre si e que a unio de todas elas corresponda ao domnio do problema,

    ver Babuka e Strouboulis (2001, pg. 52). Esta escolha criteriosa da forma como ui(x) construda tem

    1No presente texto, o termo troo refere-se a um sub-domnio de uma funo de varivel n-dimensional.

  • 3.5. Mtodo dos elementos finitos 21

    (a) (b)

    Figura 3.1: Representao de um domnio genrico a) de acordo com a sua definio original e b) submetidoa uma partio.

    implicaes profundas na aplicabilidade prtica da formulao fraca do mtodo de Bubnov-Galerkin, como

    se ver nesta seco.

    A definio de ui(x) realizada com base na diviso de nos sub-domnios que serviro de suporte

    a cada troo da funo. Considera-se ento a diviso do domnio do problema em sub-domnios ek tais

    que (Pina, 1995, pg. 587):

    =k

    ek,k

    ek = /0

    Uma sub-diviso do domnio do problema que cumpra estas condies, conforme representado na

    figura 3.1, daqui em diante referido como partio do domnio ou simplesmente partio.

    De modo a definir os troos de ui(x), cada um dos sub-domnios ek corresponder ao suporte de uma

    funo ueik(x), adoptada para aproximar a soluo exacta. Cada funo ueik(x) pertence a um espao de

    funes especfico de cada sub-regio ek, referido a partir deste ponto por Venk. Como cada

    ek corresponde

    a uma regio com uma configurao geomtrica simples, o problema da obteno de ueik(x) reduzido

    ao problema de encontrar, para cada uma destas regies simples, um espao de funes que, com o

    suporte restrito a essa regio, permita gerar funes capazes de aproximar a soluo do problema na

    regio considerada.

    Como a partio de realizada de forma arbitrria, esta operao pode ser conduzida de maneira

    a definir apenas sub-domnios ek que, por meio de uma transformao, correspondero a um poltopo de

    referncia, referido por e,localk , conforme representado na figura 3.2. A este poltopo de referncia poder

    ser associado um sistema de coordenadas escolhido criteriosamente de maneira a mapear conveniente

    os pontos nele contidos. Este sistema de coordenadas recebe o nome de sistema de coordenadas local,

    ou simplesmente coordenadas locais, em contraste com o sistema de coordenadas usado como referncia

    para o domnio do problema na sua globalidade, referido por sistema de coordenadas global (Hughes,

    2000, pg. 37). tambm de notar que o termo coordenadas naturais tambm usado como sinnimo de

    coordenadas locais (Fish e Belytschko, 2007, pg. 164).

    Ao representar qualquer ek em funo de um e,localk , o problema da obteno de qualquer u

    eik(x)

    reduz-se adopo de conjuntos de funes de base para e,localk de maneira a gerar um sub-espao de

  • 22 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional

    Figura 3.2: Poltopo regular de referncia e sub-domnios de .

    funes no domnio do poltopo de referncia. Posteriormente, cada um destes conjuntos de funes de

    base, ao ser sujeito a uma transformao apropriada, permite que se obtenha para qualquer ek o conjunto

    de funes de base que gerar o respectivo Venk, o que torna possvel obter ueik em qualquer troo da funo.

    Com isto, importante apontar que cada poltopo de referncia pode servir de base a vrias formas

    distintas de aproximar a soluo exacta, bastando apenas que atribuam conjuntos distintos de funes de

    base.

    De acordo com esta abordagem, a definio de ui(x) para um domnio repartido em m sub-domnios

    passa a ser expressa da seguinte forma:

    ui(x) =

    uei1(x) ,x e1...

    ueim(x) ,x em

    (3.31)

    A associao de cada ueik(x), includa em cada Venk, com o respectivo suporte

    ek, correspondente a um

    troo de ui(x), recebeu o nome de elemento finito, (Reddy, 1993, pg. 4). a partir deste conceito donde

    deriva o nome atribudo ao mtodo, conforme indicado em Clough (1980). No entanto, tambm de referir

    que este conceito j referido pelo termo elemento em Courant (1943).

    O uso do conceito de elemento finito para definir o domnio do problema e gerar aproximaes da so-

    luo exacta possibilita a sistematizao da gerao de u(x) para qualquer problema em anlise. Aps a

    definio de um conjunto de tipos de elementos finitos, o problema da gerao de u(x) reduz-se essencial-

    mente a um problema da partio do domnio em sub-domnios cuja forma corresponda, por meio de uma

    transformao, ao poltopo de referncia de um dos elementos finitos adoptados para construir u(x). Como

    se trata de um problema essencialmente geomtrico, para o qual existe uma multitude de algoritmos dis-

    posio, isto implica que a sistematizao da gerao de u(x) depende essencialmente da implementao

    de um destes algoritmos de forma a sistematizar a partio de qualquer em um conjunto de elementos

    finitos.

    Uma propriedade das solues produzidas pelo mtodo dos elementos finitos ui(x) passar a repre-

    sentar uma unio de um conjunto de funes, cada uma gerada de forma independente, empregues para

    aproximar a soluo exacta somente em cada ek (de Arantes e Oliveira, 1968, pg. 7). Por conseguinte, a

  • 3.5. Mtodo dos elementos finitos 23

    definio da funo empregue em cada troo independente das funes geradas em troos adjacentes.

    Isto leva a que cada elemento finito includo em um problema possa ser analisado de forma largamente

    independente de todos os outros elementos.

    Considerando a definio de ui(x) apresentada em (3.8) e adoptando-a para ueik(x), como cada ueik(x)

    tem como suporte ek, ento estas funes podem ser expressas da seguinte forma:

    ueik(x) =

    n

    l=1

    deikl Nekl(x) ,x ek

    0 ,x / ek

    (3.32)

    Uma vez que repartido em msub-domnios, ui(x) pode ser definida atravs de uma combinao das

    funes ueik(x) que tem como suporte cada um dos m sub-domnios ek definidos em uma partio de .

    Desta forma, e adoptando para qualquer ueik(x) a definio apresentada em (3.32), ui(x) definida atravs

    da seguinte expresso:

    ui(x) =m

    k=1

    ueik(x) (3.33)

    Esta composio leva a que haja graus de liberdade a serem partilhados por vrios elementos. Consi-

    derando a definio (3.32), esta partilha de graus de liberdade expressa a partir de:

    deimo = deinp = dik (3.34)

    em que deimo representa o grau de liberdade o do elemento m e deinp representa o grau de liberdade p do

    elemento n. Esse grau de liberdade corresponde, conforme (3.8), ao grau de liberdade dik do problema.

    Substituindo (3.34) na expresso (3.33) e tendo em considerao a definio (3.32), chega-se seguinte

    expresso:

    dikNk(x) = dik (Nekm(x)+N

    ekn(x)) (3.35)

    Uma vez que no h um limite para o nmero de elementos que partilhem um determinado grau de

    liberdade, a partir da expresso (3.35) chega-se ao seguinte resultado:

    Nk(x) = l

    Nekl(x) (3.36)

    A relao expressa em (3.36) indica que, atravs do mtodo dos elementos finitos, cada funo de

    base que intervm na gerao do espao Vn uma funo de base de um elemento, caso o grau de

    liberdade esteja exclusivamente associado a esse elemento, ou uma funo que resulta da soma de

    um conjunto de funes de base de um conjunto de elementos associadas ao mesmo grau de liberdade.

    Outra consequncia da definio (3.32) reside no impacto que ela tem na definio da equao do mtodo

    dos elementos finitos, conforme apresentado em (3.26). Considerando a definio apresentada em (3.20),

    constata-se que cada elemento a(ik)( jl ) que compe a matriz de rigidez global representa um integral de uma

  • 24 Obteno de solues para problemas da elasticidade tridim ensional

    Ne11 Ne12 N

    e21 N

    e22

    N1 = Ne11 N2 = Ne12+N

    e21 N3 = N

    e22

    Figura 3.3: Funes de base dos elementos e a sua correspondncia com as funes de base globais.

    expresso composta por derivadas de funes de base de Vn sobre o domnio do problema. Considerando

    a definio de ui(x) apresentada em (3.33) e notando que em cada elemento finito a soluo exacta

    aproximada por uma sub-funo de aproximao ueik(x), conforme definida em (3.32), a substituio de

    (3.33) em (3.20) implica que alguns elementos a(ik)( jl ) sero nulos. Esta propriedade implica que a largura

    de banda da matriz de rigidez, e consequentemente o seu grau de esparsidade, depende das funes de

    base adoptadas para cada elemento.

    Esta propriedade permite constatar uma caracterstica im