medindo a aceleração da gravidade terrestre através de...

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14 – F 809 – Instrumentação para o Ensino 28/11/2005 RELATÓRIO FINAL Medindo a Aceleração da Gravidade Terrestre Através de Um Pêndulo Aluno: Rafael Rosa Ribeiro da Silva Orientador: Engenheiro Pedro Raggio RESUMO Neste Relatório, descrevemos as atividades feitas ao longo da realização do projeto e os resultados obtidos. O principal deles consiste na confecção de um guia de estudos sobre pêndulos para estudantes do Ensino Médio, contendo a teoria dos pêndulos e três experimentos para familiarização com este sistema físico e medição da aceleração da gravidade terrestre a partir do seu comportamento. 1

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14 ndash

F 809 ndash Instrumentaccedilatildeo para o Ensino28112005

RELATOacuteRIO FINAL

Medindo a Aceleraccedilatildeo da GravidadeTerrestre

Atraveacutes de Um Pecircndulo

Aluno Rafael Rosa Ribeiro da SilvaOrientador Engenheiro Pedro Raggio

RESUMONeste Relatoacuterio descrevemos as atividades feitas ao longo da realizaccedilatildeo do projeto e os resultados obtidos O principal deles consiste na confecccedilatildeo de um guia de estudos sobre pecircndulos para estudantes do Ensino Meacutedio contendo a teoria dos pecircndulos e trecircs experimentos para familiarizaccedilatildeo com este sistema fiacutesico e mediccedilatildeo da aceleraccedilatildeo da gravidade terrestre a partir do seu comportamento

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14 ndash

1 ndash Introduccedilatildeo

A proposta desse projeto eacute planejar experiecircncias e redigir um guia que permitam ao aluno de Ensino Meacutedio (EM) se familiarizar com o comportamento repetitivo dos pecircndulos e a partir disto estimar o valor da aceleraccedilatildeo da gravidade terrestre (g)1 A fim de despertar o interesse do aluno no estudo do periacuteodo do pecircndulo neste guia foi incluiacutedo um texto sobre a influecircncia dos reloacutegios de pecircndulo na nossa cultura2

Com o objetivo de evitar ao maacuteximo que o aluno fosse obrigado a aceitar foacutermulas sem demonstraccedilatildeo foi redigido tambeacutem um texto de introduccedilatildeo ao caacutelculo diferencial com a finalidade de fornecer a base teoacuterica necessaacuteria para compreender a deduccedilatildeo da lei que rege o periacuteodo do pecircndulo3 Depois verificou-se que essa introduccedilatildeo era desnecessaacuteria

Foi construiacutedo um aparato experimental e com base nos dados colhidos a partir dele foi feito o planejamento dos experimentos do guia Este aparato tem a vantagem teacutecnica de que o ponto fixo do pecircndulo em torno do qual todo o sistema se move eacute determinado com precisatildeo maior do que em montagens como as utilizadas na disciplina Fiacutesica Experimental II (coacutedigo F 229) oferecida pelo IFGW aos alunos do 2ordm semestre dos cursos de Fiacutesica Matemaacutetica e Engenharia assim foi notada a possibilidade de melhorar a precisatildeo das medidas realizadas com pecircndulos nessa disciplina (a discussatildeo com relaccedilatildeo a este ponto estaacute no item 3c-iii)

O roteiro proposto pelo guia eacute- comeccedilar com um experimento simples para determinar quais variaacuteveis tecircm maior influecircncia sobre o periacuteodo do pecircndulo- realizar um segundo experimento um pouco mais complexo para determinar o comportamento aproximado do pecircndulo- tomar conhecimento da deduccedilatildeo teoacuterica da lei do periacuteodo do pecircndulo para compreender e sedimentar o que ateacute entatildeo soacute havia sido aprendido empiricamente e corrigir eventuais erros de percepccedilatildeo - por fim se utilizar do conhecimento aprendido para uma finalidade ldquopraacuteticardquo a partir do comportamento perioacutedico do pecircndulo chegar a uma estimativa experimental para o valor de g relacionando assim o conhecimento receacutem-adquirido a outro (provavelmente) jaacute adquirido pelo alunoAssim espera-se que seguindo o guia o aluno de EM percorra todo o processo da descoberta cientiacutefica desde as primeiras hipoacuteteses sobre um fenocircmeno desconhecido ateacute o confronto das descobertas sobre ele com informaccedilotildees jaacute conhecidas

1 O guia redigido com a descriccedilatildeo dos experimentos planejados eacute o Anexo 1 deste relatoacuterio2 Este texto foi extraiacutedo de um site na Internet reproduzido no Anexo 23 Este texto eacute o Anexo 3

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2 ndash Teoria

a) do pecircndulo simples ao movimento circular uniforme (niacutevel baacutesico)Um pecircndulo simples consiste numa massa pontual m presa numa extremidade uma

haste reta de comprimento L inextensiacutevel e sem massa cuja outra extremidade estaacute presa num ponto fixo Se ele estiver submetido a um campo gravitacional cuja aceleraccedilatildeo correspondente eacute g e deslocado de um acircngulo θ da ldquoverticalrdquo (a direccedilatildeo para onde o campo puxa os corpos) eacute possiacutevel mostrar (atraveacutes de argumentos fiacutesicos e geomeacutetricos) que a forccedila resultante sobre ele age sempre no sentido de fazer o pecircndulo retornar agrave posiccedilatildeo θ=0 e se θ for suficientemente pequeno tem moacutedulo dado por

θmgFR =

Esse tipo de forccedila ndash de moacutedulo proporcional ao deslocamento em relaccedilatildeo a uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio e contraacuteria a este deslocamento ndash eacute tiacutepico de um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) a principal caracteriacutestica desse movimento eacute que ele eacute perioacutedico Uma comparaccedilatildeo com o Movimento Circular Uniforme (MCU) eacute capaz de fornecer o periacuteodo do MHS no caso do pecircndulo com acircngulos pequenos ele eacute dado pela expressatildeo

gLT π2=

Assim conhecendo L e medindo T eacute possiacutevel estimar g4

b) taxas de variaccedilatildeo e MHS (niacutevel avanccedilado)A base matemaacutetica da comparaccedilatildeo com o MCU reside no fato de que este eacute uma

combinaccedilatildeo de dois MHS um na direccedilatildeo horizontal e outro na direccedilatildeo vertical5 Assim se quisermos ser matematicamente rigorosos precisamos resolver a equaccedilatildeo do MHS

Sabendo que a aceleraccedilatildeo equivale agrave taxa de variaccedilatildeo da velocidade a equaccedilatildeo do MHS eacute

ksdtdvm minus=

onde k eacute a constante de proporcionalidade entre a forccedila e o deslocamento em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio s e v eacute a taxa de variaccedilatildeo de s

dtdsv =

Um dos resultados dessa equaccedilatildeo eacute que o MHS tem um periacuteodo dado por

kmT π2=

De posse dessa foacutermula basta adapta-la agrave situaccedilatildeo do pecircndulo para se obter a expressatildeo do periacuteodo apresentada acima6

4 Para maiores detalhes do raciociacutenio apresentado ateacute aqui ver o Anexo 1 item C15 Assim como o lanccedilamento de projeacuteteis eacute a combinaccedilatildeo de um MRU na horizontal e um MRUV na vertical6 Para uma introduccedilatildeo aos conceitos impliacutecitos e agrave notaccedilatildeo da equaccedilatildeo do MHS bem como uma deduccedilatildeo da foacutermula do periacuteodo do MHS ver o Anexo 3 para a adaptaccedilatildeo ao pecircndulo ver o Anexo 1 itens C1b e C1e

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3 ndash Parte Experimental

a) descriccedilatildeo do aparato construiacutedoO aparato consiste em trecircs pesos de dimensotildees iguais e materiais diferentes um fio

e um suporte especial responsaacutevel pela definiccedilatildeo precisa do ponto de apoio do pecircnduloi) o suporte

Na experiecircncia sobre pecircndulos da disciplina F 229 geralmente se usa montagens como A ou B

Montagem A Montagem B Montagem CLegenda 1 ndash Suporte 2 ndash Corda 3 ndash Corpo Massivo 4 ndash Fita Adesiva 5 ndash Noacute na Corda

O suporte usado no aparato possibilita o uso da montagem C eliminando deslizamentos e minimizando deformaccedilotildees do fio eacute assim que se define com precisatildeo o ponto de apoio do pecircndulo

O suporte possui trecircs peccedilas principais o orifiacutecio pelo qual passa o fio do pecircndulo (v figura 1) uma porca especial que fixa o fio (v figura 2) e uma peccedila de ligaccedilatildeo que une as duas primeiras a uma haste (v figura 3)

Estamos usando um projeto concebido pelo Engenheiro Pedro Raggio para aprimorar o experimento com pecircndulos simples da disciplina F-229 O fio do pecircndulo eacute guiado pelo orifiacutecio de diacircmetro 07mm na parte inferior que eacute considerado pontual para os propoacutesitos do experimento Desta forma define-se o ponto de sustentaccedilatildeo do pecircndulo com precisatildeo Acima o fio eacute fixado pela pressatildeo contra dois discos de feltro aparafusando-se a porca especial na peccedila de ligaccedilatildeo (v figura 4) Por fim a haste eacute sustentada por uma base que permite regular a altura do ponto de sustentaccedilatildeo do pecircndulo (v figuras 5 e 6)

Figura 1 ndash Projeto do orifiacutecio O fio desce pelo espaccedilo entre as duas linhas tracejadas curvas e sai pela abertura central na parte inferior da peccedila Todas as medidas estatildeo especificadas em mm e os pontos fazem o

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papel de viacutergulas de modo que por exemplo a altura total da peccedila eacute 45mm e o diacircmetro da abertura inferior eacute 07mm

Figura 2 ndash Porca especial de fixaccedilatildeo do fio vista ldquode baixordquo Note-se o disco de feltro e o parafuso que estatildeo presos a ela O feltro serve para evitar que o fio do pecircndulo seja danificado e o parafuso para prender o fio conforme mostrado na figura 3

Figura 3 ndash Peccedila de ligaccedilatildeo vista ldquode cimardquo Nela estaacute fixado o orifiacutecio (parte inferior esquerda da figura) parafusada a porca (vista ldquode cimardquo na parte superior direita) e conectada a haste (parte superior esquerda) atraveacutes de dois parafusos (acima do orifiacutecio e ao lado da porca) Note-se um segundo disco de feltro (abaixo da porca) para evitar que o fio se danifique ao ser preso

Figura 4 ndash Fio do pecircndulo passando pelo orifiacutecio (parte direita da figura) pressionado pela porca (parte superior) e saindo proacuteximo agrave haste (parte inferior esquerda)

Figura 5 ndash Suporte prendendo o fio do pecircndulo e ligado ao regulador de altura (parte superior direita da figura) pela haste A fixaccedilatildeo da haste no regulador eacute feita pelo parafuso (atravessado por uma alavanca de ferro) mostrado no canto superior direito

Figura 6 ndash O aparato experimental visto como um todo com o pecircndulo montado (canto direito da figura) A altura do suporte eacute regulada deslizando-se o regulador ateacute o ponto desejado da base e entatildeo prendendo-o com o parafuso mostrado na parte superior esquerda (tambeacutem atravessado por uma alavanca de ferro) O parafuso que prende a haste no regulador estaacute no lado de traacutes mas a alavanca de ferro que o atravessa pode ser vista um pouco abaixo do ponto onde a haste e o regulador se encontramii) o fio

Estamos usando um fio de nylon com diacircmetro de 05mm 2m desse fio tecircm uma massa de aproximadamente 05g ie ele tem uma densidade linear de massa aproximada

mg 250=micro

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iii) os pesosOs pesos usados satildeo basicamente cilindros com diacircmetro e altura de 20mm este

formato foi escolhido por facilitar tanto o caacutelculo do centro de massa quanto a confecccedilatildeo das peccedilas A fim de suspendecirc-los os pesos tecircm um furo de 1mm de diacircmetro (que liga o centro de uma base ao da outra) para permitir a passagem do fio que prende o peso com um noacute (v figura 7) A fim de evitar acidentes as bordas dos cilindros foram arredondadas

Foram feitas trecircs peccedilas de dimensotildees iguais em materiais diferentes plaacutestico alumiacutenio e latatildeo (v figura 8) As densidades diferentes desses materiais nos fornecem massas diferentes com o mesmo centro de massa e permitem estudar o comportamento do pecircndulo em funccedilatildeo da massa As massas dos pesos satildeo 60g para o plaacutestico 169g para o alumiacutenio e 530g para o latatildeo

Figura 7 ndash Peso de latatildeo suspenso pelo fio O fio sai do suporte (parte superior da figura) atravessa o peso e o suspende por um noacute feito abaixo do centro da base inferior do ldquocilindrordquo (que eacute a base mostrada nesta fotografia) Uma porccedilatildeo do fio depois do noacute pode ser vista como uma linha clara no lado inferior direito da base da peccedila

Figura 8 ndash Os trecircs ldquocilindrosrdquo a serem usados no pecircndulo feitos de plaacutestico alumiacutenio e latatildeo Todos eles possuem altura e diacircmetro de 20mm

b) procedimento realizadoConstruiacutedo o aparato para cada peso foram coletadas 30 medidas do intervalo

necessaacuterio para a realizaccedilatildeo de 10 oscilaccedilotildees completas para uma distacircncia fixa de 1m entre o centro de massa do peso e o suporte (101m ateacute o noacute no fio) e 11 medidas para distacircncias separadas de 10cm entre si no intervalo entre 1m e 2m de distacircncia entre o centro de massa do peso e o suporte em todas elas foi tomado cuidado para natildeo deslocar o peso mais de 1cm em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

A partir dessas medidas coletadas foram feitas anaacutelises para se determinar os experimentos a serem propostos no guia para EM e a possiacutevel contribuiccedilatildeo do suporte para a precisatildeo da estimativa de g na disciplina F 229 Os resultados dessas anaacutelises satildeo discutidos no item abaixo

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c) resultados encontrados (niacutevel avanccedilado)i) medidas com comprimento fixo no EM

Das foacutermulas de propagaccedilatildeo de erro [1] o erro percentual na estimativa de g atraveacutes de um pecircndulo eacute

( ) ( ) ( ) 22

1002

100

∆+

∆=∆ TLgg

onde ( )L∆ eacute o erro percentual do periacuteodo e ( )T∆ eacute o erro percentual da distacircncia do centro de massa ao apoio Ocorre que o maior deles eacute sempre ( )L∆ o menor valor encontrado para ele foi 033 (latatildeo) enquanto que o maior valor encontrado para ( )T∆ foi 015 (plaacutestico) Assim natildeo se pode deixar de levaacute-lo em conta no caacutelculo do erro padratildeo de g

As medidas encontradas para g foram

Material g (ms2) g∆ (ms2) ( )g∆Plaacutestico 973 022 230

Alumiacutenio 975 008 0866Latatildeo 980 004 0369

Daiacute se conclui que escolhendo apropriadamente o peso a ser usado no pecircndulo eacute possiacutevel obter um valor de g compatiacutevel com aquele assumido como correto (978ms2) com uma precisatildeo melhor que 05 E aqui utilizou-se o erro padratildeo como paracircmetro para a precisatildeo da medida

Poreacutem para se chegar a esse niacutevel eacute necessaacuterio lanccedilar matildeo da propagaccedilatildeo dos erros e os alunos do EM em geral natildeo possuem qualquer noccedilatildeo de estatiacutestica Assim para evitar que eles se perdessem em conceitos estatiacutesticos e sem abrir matildeo da ideacuteia de erro experimental foi decidido que o guia utilizaria o desvio padratildeo como paracircmetro da precisatildeo das medidas para cada valor de 10T medido eacute calculado um valor de g correspondente (levando em conta a real localizaccedilatildeo do centro de massa) e a partir desses valores eacute calculada uma meacutedia e um desvio padratildeo a ser considerado como a estimativa de g Este meacutetodo aplicado agraves medidas colhidas forneceu os seguintes resultados

Plaacutestico Alumiacutenio Latatildeog (ms2) 973 976 980g∆ (ms2) 0165 0123 0120

( )g∆ 169 126 122Ou seja o preccedilo de uma introduccedilatildeo didaacutetica agrave teoria de erros eacute apenas uma pequena

perda na precisatildeo da estimativa pois ainda eacute possiacutevel se obter um valor de g compatiacutevel com o usualmente aceito dentro de uma precisatildeo melhor que 15 Esta anaacutelise motivou a proposta do terceiro experimento apresentado no guia (ver o Anexo 1 item C2)ii) medidas com comprimento variaacutevel no EM

Se as medidas com comprimento fixo satildeo capazes de fornecer o valor de g com boa precisatildeo (justamente por extraiacuterem muita informaccedilatildeo de um uacutenico ponto) as medidas com comprimento variaacutevel podem fornecer informaccedilotildees sobre o comportamento geral do

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pecircndulo Isso permite testar a compatibilidade do seu comportamento com diversas leis matemaacuteticas

Para cada peso as 11 medidas foram separadas em dois conjuntos as 5 de menor L e todas as 11 Em cada um desses conjuntos foi aplicado o ajuste linear do meacutetodo dos miacutenimos quadrados [2] para 4 expressotildees diferentes

bLaT +sdot=( ) ( ) ( )smamLnsT n 11log1log1log sdot+=( ) ( )saLbsT 1log1log minussdot=

( ) ( )mbamLaT 1log1log sdotsdotminussdot=Os coeficientes encontrados para cada uma fornecem os paracircmetros que melhor ajustam uma determinada expressatildeo matemaacutetica ao conjunto de pontos com os quais o caacutelculo foi feito no neste caso trabalhou-se com 4 expressotildees

bLaT +sdot=nLaT sdot=

bLaT 10sdot=( )bLaT logsdot=

Entatildeo para cada uma delas obteve-se o melhor ajuste a todos os pontos e o melhor ajuste agrave metade dos menores valores de L aquelas expressotildees para as quais ambos os ajustes forem compatiacuteveis satildeo propostas de leis para o comportamento do pecircndulo que o conjunto total destes dados natildeo eacute capaz de excluir

Eacute claro que nesta anaacutelise natildeo haacute o objetivo de se descobrir qual dessas leis rege o pecircndulo O propoacutesito aqui eacute encontrar quais delas poderiam explicar os dados obtidos de maneira razoaacutevel se esse conjunto de dados fosse toda a informaccedilatildeo que algueacutem tivesse sobre o pecircndulo as que pudessem seriam todas hipoacuteteses plausiacuteveis para explicaacute-lo a essa pessoa Ou seja aqui o interesse estaacute na quantidade de informaccedilatildeo que os dados trazem sobre o sistema fiacutesico do qual foram coletados em quais das leis acima eles satildeo capazes de rejeitar E os resultados foram

LEI compatiacutevellinear natildeo

de potecircncia simexponencal natildeologariacutetmica parcialmente

O ldquoparcialmenterdquo da lei logariacutetmica eacute porque apenas para o peso de plaacutestico o conjunto de dados a aceitou7 Isso significa que escolhendo um peso suficientemente massivo natildeo eacute difiacutecil isolar dentre essas 4 leis gerais a de potecircncia como a uacutenica possiacutevel Assim os dados com comprimento variaacutevel apresentam a possibilidade de descoberta empiacuterica do comportamento do pecircndulo

Com base nessa conclusatildeo foi proposto o segundo experimento do guia (ver o Anexo 1 item B2) o isolamento da lei de potecircncia seraacute mais oacutebvio com a separaccedilatildeo dos dados em dois intervalos distintos e bem separados de L (no caso da proposta feita no guia entre 10m e 12m e entre 16m e 18m) e novamente para evitar a complicaccedilatildeo de noccedilotildees estatiacutesticas (no caso tudo relacionado ao meacutetodo dos miacutenimos quadrados) o aluno precisaraacute apenas traccedilar as retas agrave matildeo

7 Provavelmente isso reflete o fato de que exceto pela lei de potecircncia a logariacutetmica eacute a que mais se aproxima do verdadeiro comportamento do pecircndulo entre essas

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Para reforccedilar e sedimentar a aprendizagem por descoberta proposta no segundo experimento o primeiro consiste em testar vaacuterias possiacuteveis variaacuteveis para descobrir quais delas satildeo realmente relevantes na determinaccedilatildeo do periacuteodo do pecircndulo (ver o Anexo 1 item B1) e no guia toda a deduccedilatildeo teoacuterica da foacutermula do periacuteodo estaacute entre o segundo e o terceiro experimentos (ver o Anexo 1 item C1)iii) precisatildeo na disciplina F 229

CONCLUSAtildeO Observando a exposiccedilatildeo a seguir eacute notado que o suporte usado fornece uma correccedilatildeo de 005ms2 para o valor meacutedio de g Aleacutem disso observa-se que eacute possiacutevel melhorar o meacutetodo usado atualmente para a mediccedilatildeo de g

A comparaccedilatildeo foi feita com 5 relatoacuterios (todos a que se teve acesso) do experimento do pecircndulo simples 4 entre o 2ordm semestre de 2004 e o 1ordm semestre de 2005 e 1 sem data Todos eles consideraram o comprimento l do fio como a distacircncia L entre o centro de massa e o ponto fixo do pecircndulo (ignorando assim uma das principais fontes de erro conforme foi visto no item (i) acima) e usaram o meacutetodo dos miacutenimos quadrados para estimar o coeficiente de proporcionalidade entre T2 e L (coeficiente g)2(a 2π= ) e a partir dele estimar g Um resumo do que eacute apresentado nesses relatoacuterios eacute dado na tabela abaixo

relatoacuterio nordm nordm de pontos a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)1 10 4195 0083 941 0192 5 407 017 969 043 7 398 0016 987 0044 3 410 001 963 0235 5 412 007 96 02

Para estimar a contribuiccedilatildeo do suporte eacute necessaacuterio analisar os dados colhidos com ele da mesma maneira Feita a mesma anaacutelise para os conjuntos de 5 e 11 pontos de cada material (mencionados no item (ii) acima) os resultados encontrados foram

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 405 00202 976 0048611 pontos 399 00158 988 00391

Alumiacutenio 5 pontos 406 00148 973 0035611 pontos 405 00112 976 00270

Latatildeo 5 pontos 404 00149 977 0035911 pontos 406 00129 973 00309

Comparando-os com os relatoacuterios eacute possiacutevel perceber que em ambos a meacutedia geralmente encontrada estaacute ligeiramente abaixo do valor aceito para g (978ms2) embora nos relatoacuterios essa distacircncia costume ser maior Excluiacutedas as anaacutelises com 10 ou 11 pontos a meacutedia encontrada sem o suporte (nos relatoacuterios) estaacute em torno de 970ms2 enquanto que o uso do suporte possibilita encontrar uma meacutedia em torno de 975ms2 isso significa que com este meacutetodo de anaacutelise a imprecisatildeo na determinaccedilatildeo do ponto de suspensatildeo do pecircndulo gera um erro sistemaacutetico que influencia o 3ordm algarismo significativo da estimativa de g Mas esta natildeo eacute a uacutenica conclusatildeo importante extraiacuteda dessa comparaccedilatildeo

Dos 5 relatoacuterios 3 encontraram estimativas de g incompatiacuteveis com o valor aceito Se a eliminaccedilatildeo do erro sistemaacutetico aproximou a meacutedia desse valor tambeacutem diminuiu as barras de erro encontradas mantendo a mesma quantidade de resultados incompatiacuteveis Isso evidencia a necessidade de levar em conta o fato de que o pecircndulo usado eacute um pecircndulo

9

14 ndash

fiacutesico (e considerar o erro na determinaccedilatildeo do centro de massa) Poreacutem ao se fazer isso o resultado aparentemente piorou

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 411 00395 960 0092011 pontos 410 00353 963 00829

Alumiacutenio 5 pontos 406 00158 973 0037811 pontos 407 00135 970 00321

Latatildeo 5 pontos 402 00173 982 0042311 pontos 405 00139 976 00335

Eliminando o erro de considerar o pecircndulo como um pecircndulo simples a incompatibilidade aumentou de 3 para 4 estimativas e aparentemente ficou maior que a dos relatoacuterios Diz-se ldquoaparentementerdquo por dois motivos primeiro existe a possibilidade de que alguns alunos tenham fraudado os resultados dos seus relatoacuterios8 segundo apenas uma estimativa incompatiacutevel a mais num conjunto de apenas seis pode muito bem ser efeito de flutuaccedilotildees aleatoacuterias Contudo o fato de o nordm de estimativas incompatiacuteveis ter se alterado tatildeo pouco indica uma grande insensibilidade do meacutetodo utilizado para se estimar g com relaccedilatildeo a esse erro (um dos mais importantes)

Aliaacutes estimar g a partir do comportamento do pecircndulo com o meacutetodo dos miacutenimos quadrados eacute um contra-senso Este meacutetodo tem a funccedilatildeo de encontrar empiricamente relaccedilotildees de dependecircncia entre duas variaacuteveis isto eacute estimar relaccedilotildees de dependecircncia a princiacutepio desconhecidas assim por mais exata e precisa que seja a estimativa de a obtida por ele ela natildeo poderia ser utilizada para calcular g Pois se o meacutetodo dos miacutenimos quadrados foi usado eacute porque a lei do periacuteodo do pecircndulo natildeo era conhecida e se era seria mais coerente usar medidas com comprimento fixo para estimar g como foi feito no item (i) acima (jaacute que sabendo a lei soacute eacute necessaacuteria informaccedilatildeo sobre um ponto para estimar g)

As estimativas de g pelas medidas com comprimento fixo (usando os dados das 5 e das 10 primeiras medidas colhidas) distinguem claramente entre considerar ou natildeo o pecircndulo como um pecircndulo simples

T (s) T∆ (s) L (m) L∆ (m) g (ms2) g∆ (ms2)Aproximando o peso suspenso para um pecircndulo simples

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220

099 0000

991 003611000 00583978 00306983 00580972 00301975 00152

8 Tome-se como exemplo o relatoacuterio nordm 4 Da foacutermula de propagaccedilatildeo de erros aa∆sdot=∆ gg o que eacute satisfeito em todos os relatoacuterios exceto esse onde o valor de ∆g apresentado (023ms2) eacute 10 vezes maior do que deveria ser (Natildeo bastasse isso depois de encontrar a meacutedia 2639 smg = num paraacutegrafo posterior o

relatoacuterio se refere a 2869 smg = [=963+023] como a meacutedia)

10

14 ndash

Considerando o peso suspenso como um pecircndulo fiacutesico

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814 098 0022 981 02279

990 02343

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832 099 0008 981 00890

986 01021

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220 100 0003 980 00445

982 00361Os valores em vermelho indicam as estimativas de g incompatiacuteveis com 978ms2 a estimativa com 5 pontos para o latatildeo considerando o pecircndulo fiacutesico soacute natildeo eacute compatiacutevel porque por motivos de flutuaccedilatildeo o erro padratildeo na estimativa do periacuteodo para o latatildeo eacute menor para 5 pontos do que para 10 e a meacutedia maior

Comparando as estimativas de g das medidas de comprimento variaacutevel com as de comprimento fixo vecirc-se que as uacuteltimas fornecem um resultado mais confiaacutevel e natildeo menos preciso mesmo para uma quantidade natildeo muito grande de medidas Comparando os erros percentuais temos

( )g∆Material 30 pontos 10 pontosPlaacutestico 230 232

Alumiacutenio 0866 0907Latatildeo 0369 0454

Concluindo no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (que eacute o que vem sendo usado recentemente na disciplina F 229) o suporte usado para determinar mais precisamente o ponto de apoio do pecircndulo elimina um erro sistemaacutetico de cerca de 005ms2 na estimativa de g poreacutem a menos que o objetivo principal de estimar g com o pecircndulo seja contribuir para a memorizaccedilatildeo por parte dos alunos de meacutetodos de tratamento estatiacutestico este meacutetodo deveria ser abandonado em favor de calcular a meacutedia e o erro padratildeo do periacuteodo e do centro de massa do pecircndulo e pela propagaccedilatildeo de erros obter a estimativa

4 ndash Fechamento

a) conclusatildeoHaacute muito conhecimento relacionado com o pecircndulo Para chegar agrave redaccedilatildeo final do

guia foi necessaacuterio natildeo apenas passar por vaacuterios mas tambeacutem avaliaacute-los e selecionar quais deveriam ter prioridade para serem apresentados ao aluno de EM O resultado foi um guia que conteacutem ideacuteias relativamente simples (boa parte delas jaacute vista no EM) embora proponha um caminho que talvez possa ser considerado cansativo pelo aluno9

O guia redigido natildeo deveria de forma alguma ser usado em uma uacutenica aula Ele propotildee um trabalho em longo prazo em que o aluno constroacutei em bases soacutelidas a sua compreensatildeo sobre o pecircndulo Quatro aulas (isto eacute quatro dias de aula) uma para cada experimento e mais uma para a teoria satildeo o tempo miacutenimo sugerido para se concluir as atividades do guia

b) bibliografia

9 Natildeo necessariamente isso eacute um problema Jaacute dizia Thomas Edison ldquoUm gecircnio eacute feito de 1 de inspiraccedilatildeo e 99 de transpiraccedilatildeordquo Basta que os alunos estejam motivados para que o guia possa ser seguido sem problemas a menos que se queira concluiacute-lo num intervalo de tempo curto demais para eles processarem toda a informaccedilatildeo com que teratildeo contato

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[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

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ANEXOS

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Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

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clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

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da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

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B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

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Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

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Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

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2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

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i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

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C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

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O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

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como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

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Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

1 ndash Introduccedilatildeo

A proposta desse projeto eacute planejar experiecircncias e redigir um guia que permitam ao aluno de Ensino Meacutedio (EM) se familiarizar com o comportamento repetitivo dos pecircndulos e a partir disto estimar o valor da aceleraccedilatildeo da gravidade terrestre (g)1 A fim de despertar o interesse do aluno no estudo do periacuteodo do pecircndulo neste guia foi incluiacutedo um texto sobre a influecircncia dos reloacutegios de pecircndulo na nossa cultura2

Com o objetivo de evitar ao maacuteximo que o aluno fosse obrigado a aceitar foacutermulas sem demonstraccedilatildeo foi redigido tambeacutem um texto de introduccedilatildeo ao caacutelculo diferencial com a finalidade de fornecer a base teoacuterica necessaacuteria para compreender a deduccedilatildeo da lei que rege o periacuteodo do pecircndulo3 Depois verificou-se que essa introduccedilatildeo era desnecessaacuteria

Foi construiacutedo um aparato experimental e com base nos dados colhidos a partir dele foi feito o planejamento dos experimentos do guia Este aparato tem a vantagem teacutecnica de que o ponto fixo do pecircndulo em torno do qual todo o sistema se move eacute determinado com precisatildeo maior do que em montagens como as utilizadas na disciplina Fiacutesica Experimental II (coacutedigo F 229) oferecida pelo IFGW aos alunos do 2ordm semestre dos cursos de Fiacutesica Matemaacutetica e Engenharia assim foi notada a possibilidade de melhorar a precisatildeo das medidas realizadas com pecircndulos nessa disciplina (a discussatildeo com relaccedilatildeo a este ponto estaacute no item 3c-iii)

O roteiro proposto pelo guia eacute- comeccedilar com um experimento simples para determinar quais variaacuteveis tecircm maior influecircncia sobre o periacuteodo do pecircndulo- realizar um segundo experimento um pouco mais complexo para determinar o comportamento aproximado do pecircndulo- tomar conhecimento da deduccedilatildeo teoacuterica da lei do periacuteodo do pecircndulo para compreender e sedimentar o que ateacute entatildeo soacute havia sido aprendido empiricamente e corrigir eventuais erros de percepccedilatildeo - por fim se utilizar do conhecimento aprendido para uma finalidade ldquopraacuteticardquo a partir do comportamento perioacutedico do pecircndulo chegar a uma estimativa experimental para o valor de g relacionando assim o conhecimento receacutem-adquirido a outro (provavelmente) jaacute adquirido pelo alunoAssim espera-se que seguindo o guia o aluno de EM percorra todo o processo da descoberta cientiacutefica desde as primeiras hipoacuteteses sobre um fenocircmeno desconhecido ateacute o confronto das descobertas sobre ele com informaccedilotildees jaacute conhecidas

1 O guia redigido com a descriccedilatildeo dos experimentos planejados eacute o Anexo 1 deste relatoacuterio2 Este texto foi extraiacutedo de um site na Internet reproduzido no Anexo 23 Este texto eacute o Anexo 3

2

14 ndash

2 ndash Teoria

a) do pecircndulo simples ao movimento circular uniforme (niacutevel baacutesico)Um pecircndulo simples consiste numa massa pontual m presa numa extremidade uma

haste reta de comprimento L inextensiacutevel e sem massa cuja outra extremidade estaacute presa num ponto fixo Se ele estiver submetido a um campo gravitacional cuja aceleraccedilatildeo correspondente eacute g e deslocado de um acircngulo θ da ldquoverticalrdquo (a direccedilatildeo para onde o campo puxa os corpos) eacute possiacutevel mostrar (atraveacutes de argumentos fiacutesicos e geomeacutetricos) que a forccedila resultante sobre ele age sempre no sentido de fazer o pecircndulo retornar agrave posiccedilatildeo θ=0 e se θ for suficientemente pequeno tem moacutedulo dado por

θmgFR =

Esse tipo de forccedila ndash de moacutedulo proporcional ao deslocamento em relaccedilatildeo a uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio e contraacuteria a este deslocamento ndash eacute tiacutepico de um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) a principal caracteriacutestica desse movimento eacute que ele eacute perioacutedico Uma comparaccedilatildeo com o Movimento Circular Uniforme (MCU) eacute capaz de fornecer o periacuteodo do MHS no caso do pecircndulo com acircngulos pequenos ele eacute dado pela expressatildeo

gLT π2=

Assim conhecendo L e medindo T eacute possiacutevel estimar g4

b) taxas de variaccedilatildeo e MHS (niacutevel avanccedilado)A base matemaacutetica da comparaccedilatildeo com o MCU reside no fato de que este eacute uma

combinaccedilatildeo de dois MHS um na direccedilatildeo horizontal e outro na direccedilatildeo vertical5 Assim se quisermos ser matematicamente rigorosos precisamos resolver a equaccedilatildeo do MHS

Sabendo que a aceleraccedilatildeo equivale agrave taxa de variaccedilatildeo da velocidade a equaccedilatildeo do MHS eacute

ksdtdvm minus=

onde k eacute a constante de proporcionalidade entre a forccedila e o deslocamento em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio s e v eacute a taxa de variaccedilatildeo de s

dtdsv =

Um dos resultados dessa equaccedilatildeo eacute que o MHS tem um periacuteodo dado por

kmT π2=

De posse dessa foacutermula basta adapta-la agrave situaccedilatildeo do pecircndulo para se obter a expressatildeo do periacuteodo apresentada acima6

4 Para maiores detalhes do raciociacutenio apresentado ateacute aqui ver o Anexo 1 item C15 Assim como o lanccedilamento de projeacuteteis eacute a combinaccedilatildeo de um MRU na horizontal e um MRUV na vertical6 Para uma introduccedilatildeo aos conceitos impliacutecitos e agrave notaccedilatildeo da equaccedilatildeo do MHS bem como uma deduccedilatildeo da foacutermula do periacuteodo do MHS ver o Anexo 3 para a adaptaccedilatildeo ao pecircndulo ver o Anexo 1 itens C1b e C1e

3

14 ndash

3 ndash Parte Experimental

a) descriccedilatildeo do aparato construiacutedoO aparato consiste em trecircs pesos de dimensotildees iguais e materiais diferentes um fio

e um suporte especial responsaacutevel pela definiccedilatildeo precisa do ponto de apoio do pecircnduloi) o suporte

Na experiecircncia sobre pecircndulos da disciplina F 229 geralmente se usa montagens como A ou B

Montagem A Montagem B Montagem CLegenda 1 ndash Suporte 2 ndash Corda 3 ndash Corpo Massivo 4 ndash Fita Adesiva 5 ndash Noacute na Corda

O suporte usado no aparato possibilita o uso da montagem C eliminando deslizamentos e minimizando deformaccedilotildees do fio eacute assim que se define com precisatildeo o ponto de apoio do pecircndulo

O suporte possui trecircs peccedilas principais o orifiacutecio pelo qual passa o fio do pecircndulo (v figura 1) uma porca especial que fixa o fio (v figura 2) e uma peccedila de ligaccedilatildeo que une as duas primeiras a uma haste (v figura 3)

Estamos usando um projeto concebido pelo Engenheiro Pedro Raggio para aprimorar o experimento com pecircndulos simples da disciplina F-229 O fio do pecircndulo eacute guiado pelo orifiacutecio de diacircmetro 07mm na parte inferior que eacute considerado pontual para os propoacutesitos do experimento Desta forma define-se o ponto de sustentaccedilatildeo do pecircndulo com precisatildeo Acima o fio eacute fixado pela pressatildeo contra dois discos de feltro aparafusando-se a porca especial na peccedila de ligaccedilatildeo (v figura 4) Por fim a haste eacute sustentada por uma base que permite regular a altura do ponto de sustentaccedilatildeo do pecircndulo (v figuras 5 e 6)

Figura 1 ndash Projeto do orifiacutecio O fio desce pelo espaccedilo entre as duas linhas tracejadas curvas e sai pela abertura central na parte inferior da peccedila Todas as medidas estatildeo especificadas em mm e os pontos fazem o

4

14 ndash

papel de viacutergulas de modo que por exemplo a altura total da peccedila eacute 45mm e o diacircmetro da abertura inferior eacute 07mm

Figura 2 ndash Porca especial de fixaccedilatildeo do fio vista ldquode baixordquo Note-se o disco de feltro e o parafuso que estatildeo presos a ela O feltro serve para evitar que o fio do pecircndulo seja danificado e o parafuso para prender o fio conforme mostrado na figura 3

Figura 3 ndash Peccedila de ligaccedilatildeo vista ldquode cimardquo Nela estaacute fixado o orifiacutecio (parte inferior esquerda da figura) parafusada a porca (vista ldquode cimardquo na parte superior direita) e conectada a haste (parte superior esquerda) atraveacutes de dois parafusos (acima do orifiacutecio e ao lado da porca) Note-se um segundo disco de feltro (abaixo da porca) para evitar que o fio se danifique ao ser preso

Figura 4 ndash Fio do pecircndulo passando pelo orifiacutecio (parte direita da figura) pressionado pela porca (parte superior) e saindo proacuteximo agrave haste (parte inferior esquerda)

Figura 5 ndash Suporte prendendo o fio do pecircndulo e ligado ao regulador de altura (parte superior direita da figura) pela haste A fixaccedilatildeo da haste no regulador eacute feita pelo parafuso (atravessado por uma alavanca de ferro) mostrado no canto superior direito

Figura 6 ndash O aparato experimental visto como um todo com o pecircndulo montado (canto direito da figura) A altura do suporte eacute regulada deslizando-se o regulador ateacute o ponto desejado da base e entatildeo prendendo-o com o parafuso mostrado na parte superior esquerda (tambeacutem atravessado por uma alavanca de ferro) O parafuso que prende a haste no regulador estaacute no lado de traacutes mas a alavanca de ferro que o atravessa pode ser vista um pouco abaixo do ponto onde a haste e o regulador se encontramii) o fio

Estamos usando um fio de nylon com diacircmetro de 05mm 2m desse fio tecircm uma massa de aproximadamente 05g ie ele tem uma densidade linear de massa aproximada

mg 250=micro

5

14 ndash

iii) os pesosOs pesos usados satildeo basicamente cilindros com diacircmetro e altura de 20mm este

formato foi escolhido por facilitar tanto o caacutelculo do centro de massa quanto a confecccedilatildeo das peccedilas A fim de suspendecirc-los os pesos tecircm um furo de 1mm de diacircmetro (que liga o centro de uma base ao da outra) para permitir a passagem do fio que prende o peso com um noacute (v figura 7) A fim de evitar acidentes as bordas dos cilindros foram arredondadas

Foram feitas trecircs peccedilas de dimensotildees iguais em materiais diferentes plaacutestico alumiacutenio e latatildeo (v figura 8) As densidades diferentes desses materiais nos fornecem massas diferentes com o mesmo centro de massa e permitem estudar o comportamento do pecircndulo em funccedilatildeo da massa As massas dos pesos satildeo 60g para o plaacutestico 169g para o alumiacutenio e 530g para o latatildeo

Figura 7 ndash Peso de latatildeo suspenso pelo fio O fio sai do suporte (parte superior da figura) atravessa o peso e o suspende por um noacute feito abaixo do centro da base inferior do ldquocilindrordquo (que eacute a base mostrada nesta fotografia) Uma porccedilatildeo do fio depois do noacute pode ser vista como uma linha clara no lado inferior direito da base da peccedila

Figura 8 ndash Os trecircs ldquocilindrosrdquo a serem usados no pecircndulo feitos de plaacutestico alumiacutenio e latatildeo Todos eles possuem altura e diacircmetro de 20mm

b) procedimento realizadoConstruiacutedo o aparato para cada peso foram coletadas 30 medidas do intervalo

necessaacuterio para a realizaccedilatildeo de 10 oscilaccedilotildees completas para uma distacircncia fixa de 1m entre o centro de massa do peso e o suporte (101m ateacute o noacute no fio) e 11 medidas para distacircncias separadas de 10cm entre si no intervalo entre 1m e 2m de distacircncia entre o centro de massa do peso e o suporte em todas elas foi tomado cuidado para natildeo deslocar o peso mais de 1cm em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

A partir dessas medidas coletadas foram feitas anaacutelises para se determinar os experimentos a serem propostos no guia para EM e a possiacutevel contribuiccedilatildeo do suporte para a precisatildeo da estimativa de g na disciplina F 229 Os resultados dessas anaacutelises satildeo discutidos no item abaixo

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14 ndash

c) resultados encontrados (niacutevel avanccedilado)i) medidas com comprimento fixo no EM

Das foacutermulas de propagaccedilatildeo de erro [1] o erro percentual na estimativa de g atraveacutes de um pecircndulo eacute

( ) ( ) ( ) 22

1002

100

∆+

∆=∆ TLgg

onde ( )L∆ eacute o erro percentual do periacuteodo e ( )T∆ eacute o erro percentual da distacircncia do centro de massa ao apoio Ocorre que o maior deles eacute sempre ( )L∆ o menor valor encontrado para ele foi 033 (latatildeo) enquanto que o maior valor encontrado para ( )T∆ foi 015 (plaacutestico) Assim natildeo se pode deixar de levaacute-lo em conta no caacutelculo do erro padratildeo de g

As medidas encontradas para g foram

Material g (ms2) g∆ (ms2) ( )g∆Plaacutestico 973 022 230

Alumiacutenio 975 008 0866Latatildeo 980 004 0369

Daiacute se conclui que escolhendo apropriadamente o peso a ser usado no pecircndulo eacute possiacutevel obter um valor de g compatiacutevel com aquele assumido como correto (978ms2) com uma precisatildeo melhor que 05 E aqui utilizou-se o erro padratildeo como paracircmetro para a precisatildeo da medida

Poreacutem para se chegar a esse niacutevel eacute necessaacuterio lanccedilar matildeo da propagaccedilatildeo dos erros e os alunos do EM em geral natildeo possuem qualquer noccedilatildeo de estatiacutestica Assim para evitar que eles se perdessem em conceitos estatiacutesticos e sem abrir matildeo da ideacuteia de erro experimental foi decidido que o guia utilizaria o desvio padratildeo como paracircmetro da precisatildeo das medidas para cada valor de 10T medido eacute calculado um valor de g correspondente (levando em conta a real localizaccedilatildeo do centro de massa) e a partir desses valores eacute calculada uma meacutedia e um desvio padratildeo a ser considerado como a estimativa de g Este meacutetodo aplicado agraves medidas colhidas forneceu os seguintes resultados

Plaacutestico Alumiacutenio Latatildeog (ms2) 973 976 980g∆ (ms2) 0165 0123 0120

( )g∆ 169 126 122Ou seja o preccedilo de uma introduccedilatildeo didaacutetica agrave teoria de erros eacute apenas uma pequena

perda na precisatildeo da estimativa pois ainda eacute possiacutevel se obter um valor de g compatiacutevel com o usualmente aceito dentro de uma precisatildeo melhor que 15 Esta anaacutelise motivou a proposta do terceiro experimento apresentado no guia (ver o Anexo 1 item C2)ii) medidas com comprimento variaacutevel no EM

Se as medidas com comprimento fixo satildeo capazes de fornecer o valor de g com boa precisatildeo (justamente por extraiacuterem muita informaccedilatildeo de um uacutenico ponto) as medidas com comprimento variaacutevel podem fornecer informaccedilotildees sobre o comportamento geral do

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pecircndulo Isso permite testar a compatibilidade do seu comportamento com diversas leis matemaacuteticas

Para cada peso as 11 medidas foram separadas em dois conjuntos as 5 de menor L e todas as 11 Em cada um desses conjuntos foi aplicado o ajuste linear do meacutetodo dos miacutenimos quadrados [2] para 4 expressotildees diferentes

bLaT +sdot=( ) ( ) ( )smamLnsT n 11log1log1log sdot+=( ) ( )saLbsT 1log1log minussdot=

( ) ( )mbamLaT 1log1log sdotsdotminussdot=Os coeficientes encontrados para cada uma fornecem os paracircmetros que melhor ajustam uma determinada expressatildeo matemaacutetica ao conjunto de pontos com os quais o caacutelculo foi feito no neste caso trabalhou-se com 4 expressotildees

bLaT +sdot=nLaT sdot=

bLaT 10sdot=( )bLaT logsdot=

Entatildeo para cada uma delas obteve-se o melhor ajuste a todos os pontos e o melhor ajuste agrave metade dos menores valores de L aquelas expressotildees para as quais ambos os ajustes forem compatiacuteveis satildeo propostas de leis para o comportamento do pecircndulo que o conjunto total destes dados natildeo eacute capaz de excluir

Eacute claro que nesta anaacutelise natildeo haacute o objetivo de se descobrir qual dessas leis rege o pecircndulo O propoacutesito aqui eacute encontrar quais delas poderiam explicar os dados obtidos de maneira razoaacutevel se esse conjunto de dados fosse toda a informaccedilatildeo que algueacutem tivesse sobre o pecircndulo as que pudessem seriam todas hipoacuteteses plausiacuteveis para explicaacute-lo a essa pessoa Ou seja aqui o interesse estaacute na quantidade de informaccedilatildeo que os dados trazem sobre o sistema fiacutesico do qual foram coletados em quais das leis acima eles satildeo capazes de rejeitar E os resultados foram

LEI compatiacutevellinear natildeo

de potecircncia simexponencal natildeologariacutetmica parcialmente

O ldquoparcialmenterdquo da lei logariacutetmica eacute porque apenas para o peso de plaacutestico o conjunto de dados a aceitou7 Isso significa que escolhendo um peso suficientemente massivo natildeo eacute difiacutecil isolar dentre essas 4 leis gerais a de potecircncia como a uacutenica possiacutevel Assim os dados com comprimento variaacutevel apresentam a possibilidade de descoberta empiacuterica do comportamento do pecircndulo

Com base nessa conclusatildeo foi proposto o segundo experimento do guia (ver o Anexo 1 item B2) o isolamento da lei de potecircncia seraacute mais oacutebvio com a separaccedilatildeo dos dados em dois intervalos distintos e bem separados de L (no caso da proposta feita no guia entre 10m e 12m e entre 16m e 18m) e novamente para evitar a complicaccedilatildeo de noccedilotildees estatiacutesticas (no caso tudo relacionado ao meacutetodo dos miacutenimos quadrados) o aluno precisaraacute apenas traccedilar as retas agrave matildeo

7 Provavelmente isso reflete o fato de que exceto pela lei de potecircncia a logariacutetmica eacute a que mais se aproxima do verdadeiro comportamento do pecircndulo entre essas

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Para reforccedilar e sedimentar a aprendizagem por descoberta proposta no segundo experimento o primeiro consiste em testar vaacuterias possiacuteveis variaacuteveis para descobrir quais delas satildeo realmente relevantes na determinaccedilatildeo do periacuteodo do pecircndulo (ver o Anexo 1 item B1) e no guia toda a deduccedilatildeo teoacuterica da foacutermula do periacuteodo estaacute entre o segundo e o terceiro experimentos (ver o Anexo 1 item C1)iii) precisatildeo na disciplina F 229

CONCLUSAtildeO Observando a exposiccedilatildeo a seguir eacute notado que o suporte usado fornece uma correccedilatildeo de 005ms2 para o valor meacutedio de g Aleacutem disso observa-se que eacute possiacutevel melhorar o meacutetodo usado atualmente para a mediccedilatildeo de g

A comparaccedilatildeo foi feita com 5 relatoacuterios (todos a que se teve acesso) do experimento do pecircndulo simples 4 entre o 2ordm semestre de 2004 e o 1ordm semestre de 2005 e 1 sem data Todos eles consideraram o comprimento l do fio como a distacircncia L entre o centro de massa e o ponto fixo do pecircndulo (ignorando assim uma das principais fontes de erro conforme foi visto no item (i) acima) e usaram o meacutetodo dos miacutenimos quadrados para estimar o coeficiente de proporcionalidade entre T2 e L (coeficiente g)2(a 2π= ) e a partir dele estimar g Um resumo do que eacute apresentado nesses relatoacuterios eacute dado na tabela abaixo

relatoacuterio nordm nordm de pontos a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)1 10 4195 0083 941 0192 5 407 017 969 043 7 398 0016 987 0044 3 410 001 963 0235 5 412 007 96 02

Para estimar a contribuiccedilatildeo do suporte eacute necessaacuterio analisar os dados colhidos com ele da mesma maneira Feita a mesma anaacutelise para os conjuntos de 5 e 11 pontos de cada material (mencionados no item (ii) acima) os resultados encontrados foram

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 405 00202 976 0048611 pontos 399 00158 988 00391

Alumiacutenio 5 pontos 406 00148 973 0035611 pontos 405 00112 976 00270

Latatildeo 5 pontos 404 00149 977 0035911 pontos 406 00129 973 00309

Comparando-os com os relatoacuterios eacute possiacutevel perceber que em ambos a meacutedia geralmente encontrada estaacute ligeiramente abaixo do valor aceito para g (978ms2) embora nos relatoacuterios essa distacircncia costume ser maior Excluiacutedas as anaacutelises com 10 ou 11 pontos a meacutedia encontrada sem o suporte (nos relatoacuterios) estaacute em torno de 970ms2 enquanto que o uso do suporte possibilita encontrar uma meacutedia em torno de 975ms2 isso significa que com este meacutetodo de anaacutelise a imprecisatildeo na determinaccedilatildeo do ponto de suspensatildeo do pecircndulo gera um erro sistemaacutetico que influencia o 3ordm algarismo significativo da estimativa de g Mas esta natildeo eacute a uacutenica conclusatildeo importante extraiacuteda dessa comparaccedilatildeo

Dos 5 relatoacuterios 3 encontraram estimativas de g incompatiacuteveis com o valor aceito Se a eliminaccedilatildeo do erro sistemaacutetico aproximou a meacutedia desse valor tambeacutem diminuiu as barras de erro encontradas mantendo a mesma quantidade de resultados incompatiacuteveis Isso evidencia a necessidade de levar em conta o fato de que o pecircndulo usado eacute um pecircndulo

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fiacutesico (e considerar o erro na determinaccedilatildeo do centro de massa) Poreacutem ao se fazer isso o resultado aparentemente piorou

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 411 00395 960 0092011 pontos 410 00353 963 00829

Alumiacutenio 5 pontos 406 00158 973 0037811 pontos 407 00135 970 00321

Latatildeo 5 pontos 402 00173 982 0042311 pontos 405 00139 976 00335

Eliminando o erro de considerar o pecircndulo como um pecircndulo simples a incompatibilidade aumentou de 3 para 4 estimativas e aparentemente ficou maior que a dos relatoacuterios Diz-se ldquoaparentementerdquo por dois motivos primeiro existe a possibilidade de que alguns alunos tenham fraudado os resultados dos seus relatoacuterios8 segundo apenas uma estimativa incompatiacutevel a mais num conjunto de apenas seis pode muito bem ser efeito de flutuaccedilotildees aleatoacuterias Contudo o fato de o nordm de estimativas incompatiacuteveis ter se alterado tatildeo pouco indica uma grande insensibilidade do meacutetodo utilizado para se estimar g com relaccedilatildeo a esse erro (um dos mais importantes)

Aliaacutes estimar g a partir do comportamento do pecircndulo com o meacutetodo dos miacutenimos quadrados eacute um contra-senso Este meacutetodo tem a funccedilatildeo de encontrar empiricamente relaccedilotildees de dependecircncia entre duas variaacuteveis isto eacute estimar relaccedilotildees de dependecircncia a princiacutepio desconhecidas assim por mais exata e precisa que seja a estimativa de a obtida por ele ela natildeo poderia ser utilizada para calcular g Pois se o meacutetodo dos miacutenimos quadrados foi usado eacute porque a lei do periacuteodo do pecircndulo natildeo era conhecida e se era seria mais coerente usar medidas com comprimento fixo para estimar g como foi feito no item (i) acima (jaacute que sabendo a lei soacute eacute necessaacuteria informaccedilatildeo sobre um ponto para estimar g)

As estimativas de g pelas medidas com comprimento fixo (usando os dados das 5 e das 10 primeiras medidas colhidas) distinguem claramente entre considerar ou natildeo o pecircndulo como um pecircndulo simples

T (s) T∆ (s) L (m) L∆ (m) g (ms2) g∆ (ms2)Aproximando o peso suspenso para um pecircndulo simples

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220

099 0000

991 003611000 00583978 00306983 00580972 00301975 00152

8 Tome-se como exemplo o relatoacuterio nordm 4 Da foacutermula de propagaccedilatildeo de erros aa∆sdot=∆ gg o que eacute satisfeito em todos os relatoacuterios exceto esse onde o valor de ∆g apresentado (023ms2) eacute 10 vezes maior do que deveria ser (Natildeo bastasse isso depois de encontrar a meacutedia 2639 smg = num paraacutegrafo posterior o

relatoacuterio se refere a 2869 smg = [=963+023] como a meacutedia)

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Considerando o peso suspenso como um pecircndulo fiacutesico

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814 098 0022 981 02279

990 02343

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832 099 0008 981 00890

986 01021

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220 100 0003 980 00445

982 00361Os valores em vermelho indicam as estimativas de g incompatiacuteveis com 978ms2 a estimativa com 5 pontos para o latatildeo considerando o pecircndulo fiacutesico soacute natildeo eacute compatiacutevel porque por motivos de flutuaccedilatildeo o erro padratildeo na estimativa do periacuteodo para o latatildeo eacute menor para 5 pontos do que para 10 e a meacutedia maior

Comparando as estimativas de g das medidas de comprimento variaacutevel com as de comprimento fixo vecirc-se que as uacuteltimas fornecem um resultado mais confiaacutevel e natildeo menos preciso mesmo para uma quantidade natildeo muito grande de medidas Comparando os erros percentuais temos

( )g∆Material 30 pontos 10 pontosPlaacutestico 230 232

Alumiacutenio 0866 0907Latatildeo 0369 0454

Concluindo no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (que eacute o que vem sendo usado recentemente na disciplina F 229) o suporte usado para determinar mais precisamente o ponto de apoio do pecircndulo elimina um erro sistemaacutetico de cerca de 005ms2 na estimativa de g poreacutem a menos que o objetivo principal de estimar g com o pecircndulo seja contribuir para a memorizaccedilatildeo por parte dos alunos de meacutetodos de tratamento estatiacutestico este meacutetodo deveria ser abandonado em favor de calcular a meacutedia e o erro padratildeo do periacuteodo e do centro de massa do pecircndulo e pela propagaccedilatildeo de erros obter a estimativa

4 ndash Fechamento

a) conclusatildeoHaacute muito conhecimento relacionado com o pecircndulo Para chegar agrave redaccedilatildeo final do

guia foi necessaacuterio natildeo apenas passar por vaacuterios mas tambeacutem avaliaacute-los e selecionar quais deveriam ter prioridade para serem apresentados ao aluno de EM O resultado foi um guia que conteacutem ideacuteias relativamente simples (boa parte delas jaacute vista no EM) embora proponha um caminho que talvez possa ser considerado cansativo pelo aluno9

O guia redigido natildeo deveria de forma alguma ser usado em uma uacutenica aula Ele propotildee um trabalho em longo prazo em que o aluno constroacutei em bases soacutelidas a sua compreensatildeo sobre o pecircndulo Quatro aulas (isto eacute quatro dias de aula) uma para cada experimento e mais uma para a teoria satildeo o tempo miacutenimo sugerido para se concluir as atividades do guia

b) bibliografia

9 Natildeo necessariamente isso eacute um problema Jaacute dizia Thomas Edison ldquoUm gecircnio eacute feito de 1 de inspiraccedilatildeo e 99 de transpiraccedilatildeordquo Basta que os alunos estejam motivados para que o guia possa ser seguido sem problemas a menos que se queira concluiacute-lo num intervalo de tempo curto demais para eles processarem toda a informaccedilatildeo com que teratildeo contato

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[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

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ANEXOS

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Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

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clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

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da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

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B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

17

14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

18

14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

19

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

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14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

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14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

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14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

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14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

40

14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

42

14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

44

14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

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14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

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Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

2 ndash Teoria

a) do pecircndulo simples ao movimento circular uniforme (niacutevel baacutesico)Um pecircndulo simples consiste numa massa pontual m presa numa extremidade uma

haste reta de comprimento L inextensiacutevel e sem massa cuja outra extremidade estaacute presa num ponto fixo Se ele estiver submetido a um campo gravitacional cuja aceleraccedilatildeo correspondente eacute g e deslocado de um acircngulo θ da ldquoverticalrdquo (a direccedilatildeo para onde o campo puxa os corpos) eacute possiacutevel mostrar (atraveacutes de argumentos fiacutesicos e geomeacutetricos) que a forccedila resultante sobre ele age sempre no sentido de fazer o pecircndulo retornar agrave posiccedilatildeo θ=0 e se θ for suficientemente pequeno tem moacutedulo dado por

θmgFR =

Esse tipo de forccedila ndash de moacutedulo proporcional ao deslocamento em relaccedilatildeo a uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio e contraacuteria a este deslocamento ndash eacute tiacutepico de um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) a principal caracteriacutestica desse movimento eacute que ele eacute perioacutedico Uma comparaccedilatildeo com o Movimento Circular Uniforme (MCU) eacute capaz de fornecer o periacuteodo do MHS no caso do pecircndulo com acircngulos pequenos ele eacute dado pela expressatildeo

gLT π2=

Assim conhecendo L e medindo T eacute possiacutevel estimar g4

b) taxas de variaccedilatildeo e MHS (niacutevel avanccedilado)A base matemaacutetica da comparaccedilatildeo com o MCU reside no fato de que este eacute uma

combinaccedilatildeo de dois MHS um na direccedilatildeo horizontal e outro na direccedilatildeo vertical5 Assim se quisermos ser matematicamente rigorosos precisamos resolver a equaccedilatildeo do MHS

Sabendo que a aceleraccedilatildeo equivale agrave taxa de variaccedilatildeo da velocidade a equaccedilatildeo do MHS eacute

ksdtdvm minus=

onde k eacute a constante de proporcionalidade entre a forccedila e o deslocamento em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio s e v eacute a taxa de variaccedilatildeo de s

dtdsv =

Um dos resultados dessa equaccedilatildeo eacute que o MHS tem um periacuteodo dado por

kmT π2=

De posse dessa foacutermula basta adapta-la agrave situaccedilatildeo do pecircndulo para se obter a expressatildeo do periacuteodo apresentada acima6

4 Para maiores detalhes do raciociacutenio apresentado ateacute aqui ver o Anexo 1 item C15 Assim como o lanccedilamento de projeacuteteis eacute a combinaccedilatildeo de um MRU na horizontal e um MRUV na vertical6 Para uma introduccedilatildeo aos conceitos impliacutecitos e agrave notaccedilatildeo da equaccedilatildeo do MHS bem como uma deduccedilatildeo da foacutermula do periacuteodo do MHS ver o Anexo 3 para a adaptaccedilatildeo ao pecircndulo ver o Anexo 1 itens C1b e C1e

3

14 ndash

3 ndash Parte Experimental

a) descriccedilatildeo do aparato construiacutedoO aparato consiste em trecircs pesos de dimensotildees iguais e materiais diferentes um fio

e um suporte especial responsaacutevel pela definiccedilatildeo precisa do ponto de apoio do pecircnduloi) o suporte

Na experiecircncia sobre pecircndulos da disciplina F 229 geralmente se usa montagens como A ou B

Montagem A Montagem B Montagem CLegenda 1 ndash Suporte 2 ndash Corda 3 ndash Corpo Massivo 4 ndash Fita Adesiva 5 ndash Noacute na Corda

O suporte usado no aparato possibilita o uso da montagem C eliminando deslizamentos e minimizando deformaccedilotildees do fio eacute assim que se define com precisatildeo o ponto de apoio do pecircndulo

O suporte possui trecircs peccedilas principais o orifiacutecio pelo qual passa o fio do pecircndulo (v figura 1) uma porca especial que fixa o fio (v figura 2) e uma peccedila de ligaccedilatildeo que une as duas primeiras a uma haste (v figura 3)

Estamos usando um projeto concebido pelo Engenheiro Pedro Raggio para aprimorar o experimento com pecircndulos simples da disciplina F-229 O fio do pecircndulo eacute guiado pelo orifiacutecio de diacircmetro 07mm na parte inferior que eacute considerado pontual para os propoacutesitos do experimento Desta forma define-se o ponto de sustentaccedilatildeo do pecircndulo com precisatildeo Acima o fio eacute fixado pela pressatildeo contra dois discos de feltro aparafusando-se a porca especial na peccedila de ligaccedilatildeo (v figura 4) Por fim a haste eacute sustentada por uma base que permite regular a altura do ponto de sustentaccedilatildeo do pecircndulo (v figuras 5 e 6)

Figura 1 ndash Projeto do orifiacutecio O fio desce pelo espaccedilo entre as duas linhas tracejadas curvas e sai pela abertura central na parte inferior da peccedila Todas as medidas estatildeo especificadas em mm e os pontos fazem o

4

14 ndash

papel de viacutergulas de modo que por exemplo a altura total da peccedila eacute 45mm e o diacircmetro da abertura inferior eacute 07mm

Figura 2 ndash Porca especial de fixaccedilatildeo do fio vista ldquode baixordquo Note-se o disco de feltro e o parafuso que estatildeo presos a ela O feltro serve para evitar que o fio do pecircndulo seja danificado e o parafuso para prender o fio conforme mostrado na figura 3

Figura 3 ndash Peccedila de ligaccedilatildeo vista ldquode cimardquo Nela estaacute fixado o orifiacutecio (parte inferior esquerda da figura) parafusada a porca (vista ldquode cimardquo na parte superior direita) e conectada a haste (parte superior esquerda) atraveacutes de dois parafusos (acima do orifiacutecio e ao lado da porca) Note-se um segundo disco de feltro (abaixo da porca) para evitar que o fio se danifique ao ser preso

Figura 4 ndash Fio do pecircndulo passando pelo orifiacutecio (parte direita da figura) pressionado pela porca (parte superior) e saindo proacuteximo agrave haste (parte inferior esquerda)

Figura 5 ndash Suporte prendendo o fio do pecircndulo e ligado ao regulador de altura (parte superior direita da figura) pela haste A fixaccedilatildeo da haste no regulador eacute feita pelo parafuso (atravessado por uma alavanca de ferro) mostrado no canto superior direito

Figura 6 ndash O aparato experimental visto como um todo com o pecircndulo montado (canto direito da figura) A altura do suporte eacute regulada deslizando-se o regulador ateacute o ponto desejado da base e entatildeo prendendo-o com o parafuso mostrado na parte superior esquerda (tambeacutem atravessado por uma alavanca de ferro) O parafuso que prende a haste no regulador estaacute no lado de traacutes mas a alavanca de ferro que o atravessa pode ser vista um pouco abaixo do ponto onde a haste e o regulador se encontramii) o fio

Estamos usando um fio de nylon com diacircmetro de 05mm 2m desse fio tecircm uma massa de aproximadamente 05g ie ele tem uma densidade linear de massa aproximada

mg 250=micro

5

14 ndash

iii) os pesosOs pesos usados satildeo basicamente cilindros com diacircmetro e altura de 20mm este

formato foi escolhido por facilitar tanto o caacutelculo do centro de massa quanto a confecccedilatildeo das peccedilas A fim de suspendecirc-los os pesos tecircm um furo de 1mm de diacircmetro (que liga o centro de uma base ao da outra) para permitir a passagem do fio que prende o peso com um noacute (v figura 7) A fim de evitar acidentes as bordas dos cilindros foram arredondadas

Foram feitas trecircs peccedilas de dimensotildees iguais em materiais diferentes plaacutestico alumiacutenio e latatildeo (v figura 8) As densidades diferentes desses materiais nos fornecem massas diferentes com o mesmo centro de massa e permitem estudar o comportamento do pecircndulo em funccedilatildeo da massa As massas dos pesos satildeo 60g para o plaacutestico 169g para o alumiacutenio e 530g para o latatildeo

Figura 7 ndash Peso de latatildeo suspenso pelo fio O fio sai do suporte (parte superior da figura) atravessa o peso e o suspende por um noacute feito abaixo do centro da base inferior do ldquocilindrordquo (que eacute a base mostrada nesta fotografia) Uma porccedilatildeo do fio depois do noacute pode ser vista como uma linha clara no lado inferior direito da base da peccedila

Figura 8 ndash Os trecircs ldquocilindrosrdquo a serem usados no pecircndulo feitos de plaacutestico alumiacutenio e latatildeo Todos eles possuem altura e diacircmetro de 20mm

b) procedimento realizadoConstruiacutedo o aparato para cada peso foram coletadas 30 medidas do intervalo

necessaacuterio para a realizaccedilatildeo de 10 oscilaccedilotildees completas para uma distacircncia fixa de 1m entre o centro de massa do peso e o suporte (101m ateacute o noacute no fio) e 11 medidas para distacircncias separadas de 10cm entre si no intervalo entre 1m e 2m de distacircncia entre o centro de massa do peso e o suporte em todas elas foi tomado cuidado para natildeo deslocar o peso mais de 1cm em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

A partir dessas medidas coletadas foram feitas anaacutelises para se determinar os experimentos a serem propostos no guia para EM e a possiacutevel contribuiccedilatildeo do suporte para a precisatildeo da estimativa de g na disciplina F 229 Os resultados dessas anaacutelises satildeo discutidos no item abaixo

6

14 ndash

c) resultados encontrados (niacutevel avanccedilado)i) medidas com comprimento fixo no EM

Das foacutermulas de propagaccedilatildeo de erro [1] o erro percentual na estimativa de g atraveacutes de um pecircndulo eacute

( ) ( ) ( ) 22

1002

100

∆+

∆=∆ TLgg

onde ( )L∆ eacute o erro percentual do periacuteodo e ( )T∆ eacute o erro percentual da distacircncia do centro de massa ao apoio Ocorre que o maior deles eacute sempre ( )L∆ o menor valor encontrado para ele foi 033 (latatildeo) enquanto que o maior valor encontrado para ( )T∆ foi 015 (plaacutestico) Assim natildeo se pode deixar de levaacute-lo em conta no caacutelculo do erro padratildeo de g

As medidas encontradas para g foram

Material g (ms2) g∆ (ms2) ( )g∆Plaacutestico 973 022 230

Alumiacutenio 975 008 0866Latatildeo 980 004 0369

Daiacute se conclui que escolhendo apropriadamente o peso a ser usado no pecircndulo eacute possiacutevel obter um valor de g compatiacutevel com aquele assumido como correto (978ms2) com uma precisatildeo melhor que 05 E aqui utilizou-se o erro padratildeo como paracircmetro para a precisatildeo da medida

Poreacutem para se chegar a esse niacutevel eacute necessaacuterio lanccedilar matildeo da propagaccedilatildeo dos erros e os alunos do EM em geral natildeo possuem qualquer noccedilatildeo de estatiacutestica Assim para evitar que eles se perdessem em conceitos estatiacutesticos e sem abrir matildeo da ideacuteia de erro experimental foi decidido que o guia utilizaria o desvio padratildeo como paracircmetro da precisatildeo das medidas para cada valor de 10T medido eacute calculado um valor de g correspondente (levando em conta a real localizaccedilatildeo do centro de massa) e a partir desses valores eacute calculada uma meacutedia e um desvio padratildeo a ser considerado como a estimativa de g Este meacutetodo aplicado agraves medidas colhidas forneceu os seguintes resultados

Plaacutestico Alumiacutenio Latatildeog (ms2) 973 976 980g∆ (ms2) 0165 0123 0120

( )g∆ 169 126 122Ou seja o preccedilo de uma introduccedilatildeo didaacutetica agrave teoria de erros eacute apenas uma pequena

perda na precisatildeo da estimativa pois ainda eacute possiacutevel se obter um valor de g compatiacutevel com o usualmente aceito dentro de uma precisatildeo melhor que 15 Esta anaacutelise motivou a proposta do terceiro experimento apresentado no guia (ver o Anexo 1 item C2)ii) medidas com comprimento variaacutevel no EM

Se as medidas com comprimento fixo satildeo capazes de fornecer o valor de g com boa precisatildeo (justamente por extraiacuterem muita informaccedilatildeo de um uacutenico ponto) as medidas com comprimento variaacutevel podem fornecer informaccedilotildees sobre o comportamento geral do

7

14 ndash

pecircndulo Isso permite testar a compatibilidade do seu comportamento com diversas leis matemaacuteticas

Para cada peso as 11 medidas foram separadas em dois conjuntos as 5 de menor L e todas as 11 Em cada um desses conjuntos foi aplicado o ajuste linear do meacutetodo dos miacutenimos quadrados [2] para 4 expressotildees diferentes

bLaT +sdot=( ) ( ) ( )smamLnsT n 11log1log1log sdot+=( ) ( )saLbsT 1log1log minussdot=

( ) ( )mbamLaT 1log1log sdotsdotminussdot=Os coeficientes encontrados para cada uma fornecem os paracircmetros que melhor ajustam uma determinada expressatildeo matemaacutetica ao conjunto de pontos com os quais o caacutelculo foi feito no neste caso trabalhou-se com 4 expressotildees

bLaT +sdot=nLaT sdot=

bLaT 10sdot=( )bLaT logsdot=

Entatildeo para cada uma delas obteve-se o melhor ajuste a todos os pontos e o melhor ajuste agrave metade dos menores valores de L aquelas expressotildees para as quais ambos os ajustes forem compatiacuteveis satildeo propostas de leis para o comportamento do pecircndulo que o conjunto total destes dados natildeo eacute capaz de excluir

Eacute claro que nesta anaacutelise natildeo haacute o objetivo de se descobrir qual dessas leis rege o pecircndulo O propoacutesito aqui eacute encontrar quais delas poderiam explicar os dados obtidos de maneira razoaacutevel se esse conjunto de dados fosse toda a informaccedilatildeo que algueacutem tivesse sobre o pecircndulo as que pudessem seriam todas hipoacuteteses plausiacuteveis para explicaacute-lo a essa pessoa Ou seja aqui o interesse estaacute na quantidade de informaccedilatildeo que os dados trazem sobre o sistema fiacutesico do qual foram coletados em quais das leis acima eles satildeo capazes de rejeitar E os resultados foram

LEI compatiacutevellinear natildeo

de potecircncia simexponencal natildeologariacutetmica parcialmente

O ldquoparcialmenterdquo da lei logariacutetmica eacute porque apenas para o peso de plaacutestico o conjunto de dados a aceitou7 Isso significa que escolhendo um peso suficientemente massivo natildeo eacute difiacutecil isolar dentre essas 4 leis gerais a de potecircncia como a uacutenica possiacutevel Assim os dados com comprimento variaacutevel apresentam a possibilidade de descoberta empiacuterica do comportamento do pecircndulo

Com base nessa conclusatildeo foi proposto o segundo experimento do guia (ver o Anexo 1 item B2) o isolamento da lei de potecircncia seraacute mais oacutebvio com a separaccedilatildeo dos dados em dois intervalos distintos e bem separados de L (no caso da proposta feita no guia entre 10m e 12m e entre 16m e 18m) e novamente para evitar a complicaccedilatildeo de noccedilotildees estatiacutesticas (no caso tudo relacionado ao meacutetodo dos miacutenimos quadrados) o aluno precisaraacute apenas traccedilar as retas agrave matildeo

7 Provavelmente isso reflete o fato de que exceto pela lei de potecircncia a logariacutetmica eacute a que mais se aproxima do verdadeiro comportamento do pecircndulo entre essas

8

14 ndash

Para reforccedilar e sedimentar a aprendizagem por descoberta proposta no segundo experimento o primeiro consiste em testar vaacuterias possiacuteveis variaacuteveis para descobrir quais delas satildeo realmente relevantes na determinaccedilatildeo do periacuteodo do pecircndulo (ver o Anexo 1 item B1) e no guia toda a deduccedilatildeo teoacuterica da foacutermula do periacuteodo estaacute entre o segundo e o terceiro experimentos (ver o Anexo 1 item C1)iii) precisatildeo na disciplina F 229

CONCLUSAtildeO Observando a exposiccedilatildeo a seguir eacute notado que o suporte usado fornece uma correccedilatildeo de 005ms2 para o valor meacutedio de g Aleacutem disso observa-se que eacute possiacutevel melhorar o meacutetodo usado atualmente para a mediccedilatildeo de g

A comparaccedilatildeo foi feita com 5 relatoacuterios (todos a que se teve acesso) do experimento do pecircndulo simples 4 entre o 2ordm semestre de 2004 e o 1ordm semestre de 2005 e 1 sem data Todos eles consideraram o comprimento l do fio como a distacircncia L entre o centro de massa e o ponto fixo do pecircndulo (ignorando assim uma das principais fontes de erro conforme foi visto no item (i) acima) e usaram o meacutetodo dos miacutenimos quadrados para estimar o coeficiente de proporcionalidade entre T2 e L (coeficiente g)2(a 2π= ) e a partir dele estimar g Um resumo do que eacute apresentado nesses relatoacuterios eacute dado na tabela abaixo

relatoacuterio nordm nordm de pontos a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)1 10 4195 0083 941 0192 5 407 017 969 043 7 398 0016 987 0044 3 410 001 963 0235 5 412 007 96 02

Para estimar a contribuiccedilatildeo do suporte eacute necessaacuterio analisar os dados colhidos com ele da mesma maneira Feita a mesma anaacutelise para os conjuntos de 5 e 11 pontos de cada material (mencionados no item (ii) acima) os resultados encontrados foram

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 405 00202 976 0048611 pontos 399 00158 988 00391

Alumiacutenio 5 pontos 406 00148 973 0035611 pontos 405 00112 976 00270

Latatildeo 5 pontos 404 00149 977 0035911 pontos 406 00129 973 00309

Comparando-os com os relatoacuterios eacute possiacutevel perceber que em ambos a meacutedia geralmente encontrada estaacute ligeiramente abaixo do valor aceito para g (978ms2) embora nos relatoacuterios essa distacircncia costume ser maior Excluiacutedas as anaacutelises com 10 ou 11 pontos a meacutedia encontrada sem o suporte (nos relatoacuterios) estaacute em torno de 970ms2 enquanto que o uso do suporte possibilita encontrar uma meacutedia em torno de 975ms2 isso significa que com este meacutetodo de anaacutelise a imprecisatildeo na determinaccedilatildeo do ponto de suspensatildeo do pecircndulo gera um erro sistemaacutetico que influencia o 3ordm algarismo significativo da estimativa de g Mas esta natildeo eacute a uacutenica conclusatildeo importante extraiacuteda dessa comparaccedilatildeo

Dos 5 relatoacuterios 3 encontraram estimativas de g incompatiacuteveis com o valor aceito Se a eliminaccedilatildeo do erro sistemaacutetico aproximou a meacutedia desse valor tambeacutem diminuiu as barras de erro encontradas mantendo a mesma quantidade de resultados incompatiacuteveis Isso evidencia a necessidade de levar em conta o fato de que o pecircndulo usado eacute um pecircndulo

9

14 ndash

fiacutesico (e considerar o erro na determinaccedilatildeo do centro de massa) Poreacutem ao se fazer isso o resultado aparentemente piorou

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 411 00395 960 0092011 pontos 410 00353 963 00829

Alumiacutenio 5 pontos 406 00158 973 0037811 pontos 407 00135 970 00321

Latatildeo 5 pontos 402 00173 982 0042311 pontos 405 00139 976 00335

Eliminando o erro de considerar o pecircndulo como um pecircndulo simples a incompatibilidade aumentou de 3 para 4 estimativas e aparentemente ficou maior que a dos relatoacuterios Diz-se ldquoaparentementerdquo por dois motivos primeiro existe a possibilidade de que alguns alunos tenham fraudado os resultados dos seus relatoacuterios8 segundo apenas uma estimativa incompatiacutevel a mais num conjunto de apenas seis pode muito bem ser efeito de flutuaccedilotildees aleatoacuterias Contudo o fato de o nordm de estimativas incompatiacuteveis ter se alterado tatildeo pouco indica uma grande insensibilidade do meacutetodo utilizado para se estimar g com relaccedilatildeo a esse erro (um dos mais importantes)

Aliaacutes estimar g a partir do comportamento do pecircndulo com o meacutetodo dos miacutenimos quadrados eacute um contra-senso Este meacutetodo tem a funccedilatildeo de encontrar empiricamente relaccedilotildees de dependecircncia entre duas variaacuteveis isto eacute estimar relaccedilotildees de dependecircncia a princiacutepio desconhecidas assim por mais exata e precisa que seja a estimativa de a obtida por ele ela natildeo poderia ser utilizada para calcular g Pois se o meacutetodo dos miacutenimos quadrados foi usado eacute porque a lei do periacuteodo do pecircndulo natildeo era conhecida e se era seria mais coerente usar medidas com comprimento fixo para estimar g como foi feito no item (i) acima (jaacute que sabendo a lei soacute eacute necessaacuteria informaccedilatildeo sobre um ponto para estimar g)

As estimativas de g pelas medidas com comprimento fixo (usando os dados das 5 e das 10 primeiras medidas colhidas) distinguem claramente entre considerar ou natildeo o pecircndulo como um pecircndulo simples

T (s) T∆ (s) L (m) L∆ (m) g (ms2) g∆ (ms2)Aproximando o peso suspenso para um pecircndulo simples

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220

099 0000

991 003611000 00583978 00306983 00580972 00301975 00152

8 Tome-se como exemplo o relatoacuterio nordm 4 Da foacutermula de propagaccedilatildeo de erros aa∆sdot=∆ gg o que eacute satisfeito em todos os relatoacuterios exceto esse onde o valor de ∆g apresentado (023ms2) eacute 10 vezes maior do que deveria ser (Natildeo bastasse isso depois de encontrar a meacutedia 2639 smg = num paraacutegrafo posterior o

relatoacuterio se refere a 2869 smg = [=963+023] como a meacutedia)

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14 ndash

Considerando o peso suspenso como um pecircndulo fiacutesico

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814 098 0022 981 02279

990 02343

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832 099 0008 981 00890

986 01021

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220 100 0003 980 00445

982 00361Os valores em vermelho indicam as estimativas de g incompatiacuteveis com 978ms2 a estimativa com 5 pontos para o latatildeo considerando o pecircndulo fiacutesico soacute natildeo eacute compatiacutevel porque por motivos de flutuaccedilatildeo o erro padratildeo na estimativa do periacuteodo para o latatildeo eacute menor para 5 pontos do que para 10 e a meacutedia maior

Comparando as estimativas de g das medidas de comprimento variaacutevel com as de comprimento fixo vecirc-se que as uacuteltimas fornecem um resultado mais confiaacutevel e natildeo menos preciso mesmo para uma quantidade natildeo muito grande de medidas Comparando os erros percentuais temos

( )g∆Material 30 pontos 10 pontosPlaacutestico 230 232

Alumiacutenio 0866 0907Latatildeo 0369 0454

Concluindo no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (que eacute o que vem sendo usado recentemente na disciplina F 229) o suporte usado para determinar mais precisamente o ponto de apoio do pecircndulo elimina um erro sistemaacutetico de cerca de 005ms2 na estimativa de g poreacutem a menos que o objetivo principal de estimar g com o pecircndulo seja contribuir para a memorizaccedilatildeo por parte dos alunos de meacutetodos de tratamento estatiacutestico este meacutetodo deveria ser abandonado em favor de calcular a meacutedia e o erro padratildeo do periacuteodo e do centro de massa do pecircndulo e pela propagaccedilatildeo de erros obter a estimativa

4 ndash Fechamento

a) conclusatildeoHaacute muito conhecimento relacionado com o pecircndulo Para chegar agrave redaccedilatildeo final do

guia foi necessaacuterio natildeo apenas passar por vaacuterios mas tambeacutem avaliaacute-los e selecionar quais deveriam ter prioridade para serem apresentados ao aluno de EM O resultado foi um guia que conteacutem ideacuteias relativamente simples (boa parte delas jaacute vista no EM) embora proponha um caminho que talvez possa ser considerado cansativo pelo aluno9

O guia redigido natildeo deveria de forma alguma ser usado em uma uacutenica aula Ele propotildee um trabalho em longo prazo em que o aluno constroacutei em bases soacutelidas a sua compreensatildeo sobre o pecircndulo Quatro aulas (isto eacute quatro dias de aula) uma para cada experimento e mais uma para a teoria satildeo o tempo miacutenimo sugerido para se concluir as atividades do guia

b) bibliografia

9 Natildeo necessariamente isso eacute um problema Jaacute dizia Thomas Edison ldquoUm gecircnio eacute feito de 1 de inspiraccedilatildeo e 99 de transpiraccedilatildeordquo Basta que os alunos estejam motivados para que o guia possa ser seguido sem problemas a menos que se queira concluiacute-lo num intervalo de tempo curto demais para eles processarem toda a informaccedilatildeo com que teratildeo contato

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[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

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ANEXOS

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Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

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14 ndash

clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

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14 ndash

da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

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B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

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14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

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Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

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2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

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i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

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C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

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O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

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14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

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14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

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compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

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Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

3 ndash Parte Experimental

a) descriccedilatildeo do aparato construiacutedoO aparato consiste em trecircs pesos de dimensotildees iguais e materiais diferentes um fio

e um suporte especial responsaacutevel pela definiccedilatildeo precisa do ponto de apoio do pecircnduloi) o suporte

Na experiecircncia sobre pecircndulos da disciplina F 229 geralmente se usa montagens como A ou B

Montagem A Montagem B Montagem CLegenda 1 ndash Suporte 2 ndash Corda 3 ndash Corpo Massivo 4 ndash Fita Adesiva 5 ndash Noacute na Corda

O suporte usado no aparato possibilita o uso da montagem C eliminando deslizamentos e minimizando deformaccedilotildees do fio eacute assim que se define com precisatildeo o ponto de apoio do pecircndulo

O suporte possui trecircs peccedilas principais o orifiacutecio pelo qual passa o fio do pecircndulo (v figura 1) uma porca especial que fixa o fio (v figura 2) e uma peccedila de ligaccedilatildeo que une as duas primeiras a uma haste (v figura 3)

Estamos usando um projeto concebido pelo Engenheiro Pedro Raggio para aprimorar o experimento com pecircndulos simples da disciplina F-229 O fio do pecircndulo eacute guiado pelo orifiacutecio de diacircmetro 07mm na parte inferior que eacute considerado pontual para os propoacutesitos do experimento Desta forma define-se o ponto de sustentaccedilatildeo do pecircndulo com precisatildeo Acima o fio eacute fixado pela pressatildeo contra dois discos de feltro aparafusando-se a porca especial na peccedila de ligaccedilatildeo (v figura 4) Por fim a haste eacute sustentada por uma base que permite regular a altura do ponto de sustentaccedilatildeo do pecircndulo (v figuras 5 e 6)

Figura 1 ndash Projeto do orifiacutecio O fio desce pelo espaccedilo entre as duas linhas tracejadas curvas e sai pela abertura central na parte inferior da peccedila Todas as medidas estatildeo especificadas em mm e os pontos fazem o

4

14 ndash

papel de viacutergulas de modo que por exemplo a altura total da peccedila eacute 45mm e o diacircmetro da abertura inferior eacute 07mm

Figura 2 ndash Porca especial de fixaccedilatildeo do fio vista ldquode baixordquo Note-se o disco de feltro e o parafuso que estatildeo presos a ela O feltro serve para evitar que o fio do pecircndulo seja danificado e o parafuso para prender o fio conforme mostrado na figura 3

Figura 3 ndash Peccedila de ligaccedilatildeo vista ldquode cimardquo Nela estaacute fixado o orifiacutecio (parte inferior esquerda da figura) parafusada a porca (vista ldquode cimardquo na parte superior direita) e conectada a haste (parte superior esquerda) atraveacutes de dois parafusos (acima do orifiacutecio e ao lado da porca) Note-se um segundo disco de feltro (abaixo da porca) para evitar que o fio se danifique ao ser preso

Figura 4 ndash Fio do pecircndulo passando pelo orifiacutecio (parte direita da figura) pressionado pela porca (parte superior) e saindo proacuteximo agrave haste (parte inferior esquerda)

Figura 5 ndash Suporte prendendo o fio do pecircndulo e ligado ao regulador de altura (parte superior direita da figura) pela haste A fixaccedilatildeo da haste no regulador eacute feita pelo parafuso (atravessado por uma alavanca de ferro) mostrado no canto superior direito

Figura 6 ndash O aparato experimental visto como um todo com o pecircndulo montado (canto direito da figura) A altura do suporte eacute regulada deslizando-se o regulador ateacute o ponto desejado da base e entatildeo prendendo-o com o parafuso mostrado na parte superior esquerda (tambeacutem atravessado por uma alavanca de ferro) O parafuso que prende a haste no regulador estaacute no lado de traacutes mas a alavanca de ferro que o atravessa pode ser vista um pouco abaixo do ponto onde a haste e o regulador se encontramii) o fio

Estamos usando um fio de nylon com diacircmetro de 05mm 2m desse fio tecircm uma massa de aproximadamente 05g ie ele tem uma densidade linear de massa aproximada

mg 250=micro

5

14 ndash

iii) os pesosOs pesos usados satildeo basicamente cilindros com diacircmetro e altura de 20mm este

formato foi escolhido por facilitar tanto o caacutelculo do centro de massa quanto a confecccedilatildeo das peccedilas A fim de suspendecirc-los os pesos tecircm um furo de 1mm de diacircmetro (que liga o centro de uma base ao da outra) para permitir a passagem do fio que prende o peso com um noacute (v figura 7) A fim de evitar acidentes as bordas dos cilindros foram arredondadas

Foram feitas trecircs peccedilas de dimensotildees iguais em materiais diferentes plaacutestico alumiacutenio e latatildeo (v figura 8) As densidades diferentes desses materiais nos fornecem massas diferentes com o mesmo centro de massa e permitem estudar o comportamento do pecircndulo em funccedilatildeo da massa As massas dos pesos satildeo 60g para o plaacutestico 169g para o alumiacutenio e 530g para o latatildeo

Figura 7 ndash Peso de latatildeo suspenso pelo fio O fio sai do suporte (parte superior da figura) atravessa o peso e o suspende por um noacute feito abaixo do centro da base inferior do ldquocilindrordquo (que eacute a base mostrada nesta fotografia) Uma porccedilatildeo do fio depois do noacute pode ser vista como uma linha clara no lado inferior direito da base da peccedila

Figura 8 ndash Os trecircs ldquocilindrosrdquo a serem usados no pecircndulo feitos de plaacutestico alumiacutenio e latatildeo Todos eles possuem altura e diacircmetro de 20mm

b) procedimento realizadoConstruiacutedo o aparato para cada peso foram coletadas 30 medidas do intervalo

necessaacuterio para a realizaccedilatildeo de 10 oscilaccedilotildees completas para uma distacircncia fixa de 1m entre o centro de massa do peso e o suporte (101m ateacute o noacute no fio) e 11 medidas para distacircncias separadas de 10cm entre si no intervalo entre 1m e 2m de distacircncia entre o centro de massa do peso e o suporte em todas elas foi tomado cuidado para natildeo deslocar o peso mais de 1cm em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

A partir dessas medidas coletadas foram feitas anaacutelises para se determinar os experimentos a serem propostos no guia para EM e a possiacutevel contribuiccedilatildeo do suporte para a precisatildeo da estimativa de g na disciplina F 229 Os resultados dessas anaacutelises satildeo discutidos no item abaixo

6

14 ndash

c) resultados encontrados (niacutevel avanccedilado)i) medidas com comprimento fixo no EM

Das foacutermulas de propagaccedilatildeo de erro [1] o erro percentual na estimativa de g atraveacutes de um pecircndulo eacute

( ) ( ) ( ) 22

1002

100

∆+

∆=∆ TLgg

onde ( )L∆ eacute o erro percentual do periacuteodo e ( )T∆ eacute o erro percentual da distacircncia do centro de massa ao apoio Ocorre que o maior deles eacute sempre ( )L∆ o menor valor encontrado para ele foi 033 (latatildeo) enquanto que o maior valor encontrado para ( )T∆ foi 015 (plaacutestico) Assim natildeo se pode deixar de levaacute-lo em conta no caacutelculo do erro padratildeo de g

As medidas encontradas para g foram

Material g (ms2) g∆ (ms2) ( )g∆Plaacutestico 973 022 230

Alumiacutenio 975 008 0866Latatildeo 980 004 0369

Daiacute se conclui que escolhendo apropriadamente o peso a ser usado no pecircndulo eacute possiacutevel obter um valor de g compatiacutevel com aquele assumido como correto (978ms2) com uma precisatildeo melhor que 05 E aqui utilizou-se o erro padratildeo como paracircmetro para a precisatildeo da medida

Poreacutem para se chegar a esse niacutevel eacute necessaacuterio lanccedilar matildeo da propagaccedilatildeo dos erros e os alunos do EM em geral natildeo possuem qualquer noccedilatildeo de estatiacutestica Assim para evitar que eles se perdessem em conceitos estatiacutesticos e sem abrir matildeo da ideacuteia de erro experimental foi decidido que o guia utilizaria o desvio padratildeo como paracircmetro da precisatildeo das medidas para cada valor de 10T medido eacute calculado um valor de g correspondente (levando em conta a real localizaccedilatildeo do centro de massa) e a partir desses valores eacute calculada uma meacutedia e um desvio padratildeo a ser considerado como a estimativa de g Este meacutetodo aplicado agraves medidas colhidas forneceu os seguintes resultados

Plaacutestico Alumiacutenio Latatildeog (ms2) 973 976 980g∆ (ms2) 0165 0123 0120

( )g∆ 169 126 122Ou seja o preccedilo de uma introduccedilatildeo didaacutetica agrave teoria de erros eacute apenas uma pequena

perda na precisatildeo da estimativa pois ainda eacute possiacutevel se obter um valor de g compatiacutevel com o usualmente aceito dentro de uma precisatildeo melhor que 15 Esta anaacutelise motivou a proposta do terceiro experimento apresentado no guia (ver o Anexo 1 item C2)ii) medidas com comprimento variaacutevel no EM

Se as medidas com comprimento fixo satildeo capazes de fornecer o valor de g com boa precisatildeo (justamente por extraiacuterem muita informaccedilatildeo de um uacutenico ponto) as medidas com comprimento variaacutevel podem fornecer informaccedilotildees sobre o comportamento geral do

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14 ndash

pecircndulo Isso permite testar a compatibilidade do seu comportamento com diversas leis matemaacuteticas

Para cada peso as 11 medidas foram separadas em dois conjuntos as 5 de menor L e todas as 11 Em cada um desses conjuntos foi aplicado o ajuste linear do meacutetodo dos miacutenimos quadrados [2] para 4 expressotildees diferentes

bLaT +sdot=( ) ( ) ( )smamLnsT n 11log1log1log sdot+=( ) ( )saLbsT 1log1log minussdot=

( ) ( )mbamLaT 1log1log sdotsdotminussdot=Os coeficientes encontrados para cada uma fornecem os paracircmetros que melhor ajustam uma determinada expressatildeo matemaacutetica ao conjunto de pontos com os quais o caacutelculo foi feito no neste caso trabalhou-se com 4 expressotildees

bLaT +sdot=nLaT sdot=

bLaT 10sdot=( )bLaT logsdot=

Entatildeo para cada uma delas obteve-se o melhor ajuste a todos os pontos e o melhor ajuste agrave metade dos menores valores de L aquelas expressotildees para as quais ambos os ajustes forem compatiacuteveis satildeo propostas de leis para o comportamento do pecircndulo que o conjunto total destes dados natildeo eacute capaz de excluir

Eacute claro que nesta anaacutelise natildeo haacute o objetivo de se descobrir qual dessas leis rege o pecircndulo O propoacutesito aqui eacute encontrar quais delas poderiam explicar os dados obtidos de maneira razoaacutevel se esse conjunto de dados fosse toda a informaccedilatildeo que algueacutem tivesse sobre o pecircndulo as que pudessem seriam todas hipoacuteteses plausiacuteveis para explicaacute-lo a essa pessoa Ou seja aqui o interesse estaacute na quantidade de informaccedilatildeo que os dados trazem sobre o sistema fiacutesico do qual foram coletados em quais das leis acima eles satildeo capazes de rejeitar E os resultados foram

LEI compatiacutevellinear natildeo

de potecircncia simexponencal natildeologariacutetmica parcialmente

O ldquoparcialmenterdquo da lei logariacutetmica eacute porque apenas para o peso de plaacutestico o conjunto de dados a aceitou7 Isso significa que escolhendo um peso suficientemente massivo natildeo eacute difiacutecil isolar dentre essas 4 leis gerais a de potecircncia como a uacutenica possiacutevel Assim os dados com comprimento variaacutevel apresentam a possibilidade de descoberta empiacuterica do comportamento do pecircndulo

Com base nessa conclusatildeo foi proposto o segundo experimento do guia (ver o Anexo 1 item B2) o isolamento da lei de potecircncia seraacute mais oacutebvio com a separaccedilatildeo dos dados em dois intervalos distintos e bem separados de L (no caso da proposta feita no guia entre 10m e 12m e entre 16m e 18m) e novamente para evitar a complicaccedilatildeo de noccedilotildees estatiacutesticas (no caso tudo relacionado ao meacutetodo dos miacutenimos quadrados) o aluno precisaraacute apenas traccedilar as retas agrave matildeo

7 Provavelmente isso reflete o fato de que exceto pela lei de potecircncia a logariacutetmica eacute a que mais se aproxima do verdadeiro comportamento do pecircndulo entre essas

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14 ndash

Para reforccedilar e sedimentar a aprendizagem por descoberta proposta no segundo experimento o primeiro consiste em testar vaacuterias possiacuteveis variaacuteveis para descobrir quais delas satildeo realmente relevantes na determinaccedilatildeo do periacuteodo do pecircndulo (ver o Anexo 1 item B1) e no guia toda a deduccedilatildeo teoacuterica da foacutermula do periacuteodo estaacute entre o segundo e o terceiro experimentos (ver o Anexo 1 item C1)iii) precisatildeo na disciplina F 229

CONCLUSAtildeO Observando a exposiccedilatildeo a seguir eacute notado que o suporte usado fornece uma correccedilatildeo de 005ms2 para o valor meacutedio de g Aleacutem disso observa-se que eacute possiacutevel melhorar o meacutetodo usado atualmente para a mediccedilatildeo de g

A comparaccedilatildeo foi feita com 5 relatoacuterios (todos a que se teve acesso) do experimento do pecircndulo simples 4 entre o 2ordm semestre de 2004 e o 1ordm semestre de 2005 e 1 sem data Todos eles consideraram o comprimento l do fio como a distacircncia L entre o centro de massa e o ponto fixo do pecircndulo (ignorando assim uma das principais fontes de erro conforme foi visto no item (i) acima) e usaram o meacutetodo dos miacutenimos quadrados para estimar o coeficiente de proporcionalidade entre T2 e L (coeficiente g)2(a 2π= ) e a partir dele estimar g Um resumo do que eacute apresentado nesses relatoacuterios eacute dado na tabela abaixo

relatoacuterio nordm nordm de pontos a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)1 10 4195 0083 941 0192 5 407 017 969 043 7 398 0016 987 0044 3 410 001 963 0235 5 412 007 96 02

Para estimar a contribuiccedilatildeo do suporte eacute necessaacuterio analisar os dados colhidos com ele da mesma maneira Feita a mesma anaacutelise para os conjuntos de 5 e 11 pontos de cada material (mencionados no item (ii) acima) os resultados encontrados foram

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 405 00202 976 0048611 pontos 399 00158 988 00391

Alumiacutenio 5 pontos 406 00148 973 0035611 pontos 405 00112 976 00270

Latatildeo 5 pontos 404 00149 977 0035911 pontos 406 00129 973 00309

Comparando-os com os relatoacuterios eacute possiacutevel perceber que em ambos a meacutedia geralmente encontrada estaacute ligeiramente abaixo do valor aceito para g (978ms2) embora nos relatoacuterios essa distacircncia costume ser maior Excluiacutedas as anaacutelises com 10 ou 11 pontos a meacutedia encontrada sem o suporte (nos relatoacuterios) estaacute em torno de 970ms2 enquanto que o uso do suporte possibilita encontrar uma meacutedia em torno de 975ms2 isso significa que com este meacutetodo de anaacutelise a imprecisatildeo na determinaccedilatildeo do ponto de suspensatildeo do pecircndulo gera um erro sistemaacutetico que influencia o 3ordm algarismo significativo da estimativa de g Mas esta natildeo eacute a uacutenica conclusatildeo importante extraiacuteda dessa comparaccedilatildeo

Dos 5 relatoacuterios 3 encontraram estimativas de g incompatiacuteveis com o valor aceito Se a eliminaccedilatildeo do erro sistemaacutetico aproximou a meacutedia desse valor tambeacutem diminuiu as barras de erro encontradas mantendo a mesma quantidade de resultados incompatiacuteveis Isso evidencia a necessidade de levar em conta o fato de que o pecircndulo usado eacute um pecircndulo

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fiacutesico (e considerar o erro na determinaccedilatildeo do centro de massa) Poreacutem ao se fazer isso o resultado aparentemente piorou

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 411 00395 960 0092011 pontos 410 00353 963 00829

Alumiacutenio 5 pontos 406 00158 973 0037811 pontos 407 00135 970 00321

Latatildeo 5 pontos 402 00173 982 0042311 pontos 405 00139 976 00335

Eliminando o erro de considerar o pecircndulo como um pecircndulo simples a incompatibilidade aumentou de 3 para 4 estimativas e aparentemente ficou maior que a dos relatoacuterios Diz-se ldquoaparentementerdquo por dois motivos primeiro existe a possibilidade de que alguns alunos tenham fraudado os resultados dos seus relatoacuterios8 segundo apenas uma estimativa incompatiacutevel a mais num conjunto de apenas seis pode muito bem ser efeito de flutuaccedilotildees aleatoacuterias Contudo o fato de o nordm de estimativas incompatiacuteveis ter se alterado tatildeo pouco indica uma grande insensibilidade do meacutetodo utilizado para se estimar g com relaccedilatildeo a esse erro (um dos mais importantes)

Aliaacutes estimar g a partir do comportamento do pecircndulo com o meacutetodo dos miacutenimos quadrados eacute um contra-senso Este meacutetodo tem a funccedilatildeo de encontrar empiricamente relaccedilotildees de dependecircncia entre duas variaacuteveis isto eacute estimar relaccedilotildees de dependecircncia a princiacutepio desconhecidas assim por mais exata e precisa que seja a estimativa de a obtida por ele ela natildeo poderia ser utilizada para calcular g Pois se o meacutetodo dos miacutenimos quadrados foi usado eacute porque a lei do periacuteodo do pecircndulo natildeo era conhecida e se era seria mais coerente usar medidas com comprimento fixo para estimar g como foi feito no item (i) acima (jaacute que sabendo a lei soacute eacute necessaacuteria informaccedilatildeo sobre um ponto para estimar g)

As estimativas de g pelas medidas com comprimento fixo (usando os dados das 5 e das 10 primeiras medidas colhidas) distinguem claramente entre considerar ou natildeo o pecircndulo como um pecircndulo simples

T (s) T∆ (s) L (m) L∆ (m) g (ms2) g∆ (ms2)Aproximando o peso suspenso para um pecircndulo simples

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220

099 0000

991 003611000 00583978 00306983 00580972 00301975 00152

8 Tome-se como exemplo o relatoacuterio nordm 4 Da foacutermula de propagaccedilatildeo de erros aa∆sdot=∆ gg o que eacute satisfeito em todos os relatoacuterios exceto esse onde o valor de ∆g apresentado (023ms2) eacute 10 vezes maior do que deveria ser (Natildeo bastasse isso depois de encontrar a meacutedia 2639 smg = num paraacutegrafo posterior o

relatoacuterio se refere a 2869 smg = [=963+023] como a meacutedia)

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Considerando o peso suspenso como um pecircndulo fiacutesico

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814 098 0022 981 02279

990 02343

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832 099 0008 981 00890

986 01021

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220 100 0003 980 00445

982 00361Os valores em vermelho indicam as estimativas de g incompatiacuteveis com 978ms2 a estimativa com 5 pontos para o latatildeo considerando o pecircndulo fiacutesico soacute natildeo eacute compatiacutevel porque por motivos de flutuaccedilatildeo o erro padratildeo na estimativa do periacuteodo para o latatildeo eacute menor para 5 pontos do que para 10 e a meacutedia maior

Comparando as estimativas de g das medidas de comprimento variaacutevel com as de comprimento fixo vecirc-se que as uacuteltimas fornecem um resultado mais confiaacutevel e natildeo menos preciso mesmo para uma quantidade natildeo muito grande de medidas Comparando os erros percentuais temos

( )g∆Material 30 pontos 10 pontosPlaacutestico 230 232

Alumiacutenio 0866 0907Latatildeo 0369 0454

Concluindo no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (que eacute o que vem sendo usado recentemente na disciplina F 229) o suporte usado para determinar mais precisamente o ponto de apoio do pecircndulo elimina um erro sistemaacutetico de cerca de 005ms2 na estimativa de g poreacutem a menos que o objetivo principal de estimar g com o pecircndulo seja contribuir para a memorizaccedilatildeo por parte dos alunos de meacutetodos de tratamento estatiacutestico este meacutetodo deveria ser abandonado em favor de calcular a meacutedia e o erro padratildeo do periacuteodo e do centro de massa do pecircndulo e pela propagaccedilatildeo de erros obter a estimativa

4 ndash Fechamento

a) conclusatildeoHaacute muito conhecimento relacionado com o pecircndulo Para chegar agrave redaccedilatildeo final do

guia foi necessaacuterio natildeo apenas passar por vaacuterios mas tambeacutem avaliaacute-los e selecionar quais deveriam ter prioridade para serem apresentados ao aluno de EM O resultado foi um guia que conteacutem ideacuteias relativamente simples (boa parte delas jaacute vista no EM) embora proponha um caminho que talvez possa ser considerado cansativo pelo aluno9

O guia redigido natildeo deveria de forma alguma ser usado em uma uacutenica aula Ele propotildee um trabalho em longo prazo em que o aluno constroacutei em bases soacutelidas a sua compreensatildeo sobre o pecircndulo Quatro aulas (isto eacute quatro dias de aula) uma para cada experimento e mais uma para a teoria satildeo o tempo miacutenimo sugerido para se concluir as atividades do guia

b) bibliografia

9 Natildeo necessariamente isso eacute um problema Jaacute dizia Thomas Edison ldquoUm gecircnio eacute feito de 1 de inspiraccedilatildeo e 99 de transpiraccedilatildeordquo Basta que os alunos estejam motivados para que o guia possa ser seguido sem problemas a menos que se queira concluiacute-lo num intervalo de tempo curto demais para eles processarem toda a informaccedilatildeo com que teratildeo contato

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[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

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ANEXOS

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Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

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clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

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da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

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B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

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Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

18

14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

19

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

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E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

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G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

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14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

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Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

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d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

papel de viacutergulas de modo que por exemplo a altura total da peccedila eacute 45mm e o diacircmetro da abertura inferior eacute 07mm

Figura 2 ndash Porca especial de fixaccedilatildeo do fio vista ldquode baixordquo Note-se o disco de feltro e o parafuso que estatildeo presos a ela O feltro serve para evitar que o fio do pecircndulo seja danificado e o parafuso para prender o fio conforme mostrado na figura 3

Figura 3 ndash Peccedila de ligaccedilatildeo vista ldquode cimardquo Nela estaacute fixado o orifiacutecio (parte inferior esquerda da figura) parafusada a porca (vista ldquode cimardquo na parte superior direita) e conectada a haste (parte superior esquerda) atraveacutes de dois parafusos (acima do orifiacutecio e ao lado da porca) Note-se um segundo disco de feltro (abaixo da porca) para evitar que o fio se danifique ao ser preso

Figura 4 ndash Fio do pecircndulo passando pelo orifiacutecio (parte direita da figura) pressionado pela porca (parte superior) e saindo proacuteximo agrave haste (parte inferior esquerda)

Figura 5 ndash Suporte prendendo o fio do pecircndulo e ligado ao regulador de altura (parte superior direita da figura) pela haste A fixaccedilatildeo da haste no regulador eacute feita pelo parafuso (atravessado por uma alavanca de ferro) mostrado no canto superior direito

Figura 6 ndash O aparato experimental visto como um todo com o pecircndulo montado (canto direito da figura) A altura do suporte eacute regulada deslizando-se o regulador ateacute o ponto desejado da base e entatildeo prendendo-o com o parafuso mostrado na parte superior esquerda (tambeacutem atravessado por uma alavanca de ferro) O parafuso que prende a haste no regulador estaacute no lado de traacutes mas a alavanca de ferro que o atravessa pode ser vista um pouco abaixo do ponto onde a haste e o regulador se encontramii) o fio

Estamos usando um fio de nylon com diacircmetro de 05mm 2m desse fio tecircm uma massa de aproximadamente 05g ie ele tem uma densidade linear de massa aproximada

mg 250=micro

5

14 ndash

iii) os pesosOs pesos usados satildeo basicamente cilindros com diacircmetro e altura de 20mm este

formato foi escolhido por facilitar tanto o caacutelculo do centro de massa quanto a confecccedilatildeo das peccedilas A fim de suspendecirc-los os pesos tecircm um furo de 1mm de diacircmetro (que liga o centro de uma base ao da outra) para permitir a passagem do fio que prende o peso com um noacute (v figura 7) A fim de evitar acidentes as bordas dos cilindros foram arredondadas

Foram feitas trecircs peccedilas de dimensotildees iguais em materiais diferentes plaacutestico alumiacutenio e latatildeo (v figura 8) As densidades diferentes desses materiais nos fornecem massas diferentes com o mesmo centro de massa e permitem estudar o comportamento do pecircndulo em funccedilatildeo da massa As massas dos pesos satildeo 60g para o plaacutestico 169g para o alumiacutenio e 530g para o latatildeo

Figura 7 ndash Peso de latatildeo suspenso pelo fio O fio sai do suporte (parte superior da figura) atravessa o peso e o suspende por um noacute feito abaixo do centro da base inferior do ldquocilindrordquo (que eacute a base mostrada nesta fotografia) Uma porccedilatildeo do fio depois do noacute pode ser vista como uma linha clara no lado inferior direito da base da peccedila

Figura 8 ndash Os trecircs ldquocilindrosrdquo a serem usados no pecircndulo feitos de plaacutestico alumiacutenio e latatildeo Todos eles possuem altura e diacircmetro de 20mm

b) procedimento realizadoConstruiacutedo o aparato para cada peso foram coletadas 30 medidas do intervalo

necessaacuterio para a realizaccedilatildeo de 10 oscilaccedilotildees completas para uma distacircncia fixa de 1m entre o centro de massa do peso e o suporte (101m ateacute o noacute no fio) e 11 medidas para distacircncias separadas de 10cm entre si no intervalo entre 1m e 2m de distacircncia entre o centro de massa do peso e o suporte em todas elas foi tomado cuidado para natildeo deslocar o peso mais de 1cm em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

A partir dessas medidas coletadas foram feitas anaacutelises para se determinar os experimentos a serem propostos no guia para EM e a possiacutevel contribuiccedilatildeo do suporte para a precisatildeo da estimativa de g na disciplina F 229 Os resultados dessas anaacutelises satildeo discutidos no item abaixo

6

14 ndash

c) resultados encontrados (niacutevel avanccedilado)i) medidas com comprimento fixo no EM

Das foacutermulas de propagaccedilatildeo de erro [1] o erro percentual na estimativa de g atraveacutes de um pecircndulo eacute

( ) ( ) ( ) 22

1002

100

∆+

∆=∆ TLgg

onde ( )L∆ eacute o erro percentual do periacuteodo e ( )T∆ eacute o erro percentual da distacircncia do centro de massa ao apoio Ocorre que o maior deles eacute sempre ( )L∆ o menor valor encontrado para ele foi 033 (latatildeo) enquanto que o maior valor encontrado para ( )T∆ foi 015 (plaacutestico) Assim natildeo se pode deixar de levaacute-lo em conta no caacutelculo do erro padratildeo de g

As medidas encontradas para g foram

Material g (ms2) g∆ (ms2) ( )g∆Plaacutestico 973 022 230

Alumiacutenio 975 008 0866Latatildeo 980 004 0369

Daiacute se conclui que escolhendo apropriadamente o peso a ser usado no pecircndulo eacute possiacutevel obter um valor de g compatiacutevel com aquele assumido como correto (978ms2) com uma precisatildeo melhor que 05 E aqui utilizou-se o erro padratildeo como paracircmetro para a precisatildeo da medida

Poreacutem para se chegar a esse niacutevel eacute necessaacuterio lanccedilar matildeo da propagaccedilatildeo dos erros e os alunos do EM em geral natildeo possuem qualquer noccedilatildeo de estatiacutestica Assim para evitar que eles se perdessem em conceitos estatiacutesticos e sem abrir matildeo da ideacuteia de erro experimental foi decidido que o guia utilizaria o desvio padratildeo como paracircmetro da precisatildeo das medidas para cada valor de 10T medido eacute calculado um valor de g correspondente (levando em conta a real localizaccedilatildeo do centro de massa) e a partir desses valores eacute calculada uma meacutedia e um desvio padratildeo a ser considerado como a estimativa de g Este meacutetodo aplicado agraves medidas colhidas forneceu os seguintes resultados

Plaacutestico Alumiacutenio Latatildeog (ms2) 973 976 980g∆ (ms2) 0165 0123 0120

( )g∆ 169 126 122Ou seja o preccedilo de uma introduccedilatildeo didaacutetica agrave teoria de erros eacute apenas uma pequena

perda na precisatildeo da estimativa pois ainda eacute possiacutevel se obter um valor de g compatiacutevel com o usualmente aceito dentro de uma precisatildeo melhor que 15 Esta anaacutelise motivou a proposta do terceiro experimento apresentado no guia (ver o Anexo 1 item C2)ii) medidas com comprimento variaacutevel no EM

Se as medidas com comprimento fixo satildeo capazes de fornecer o valor de g com boa precisatildeo (justamente por extraiacuterem muita informaccedilatildeo de um uacutenico ponto) as medidas com comprimento variaacutevel podem fornecer informaccedilotildees sobre o comportamento geral do

7

14 ndash

pecircndulo Isso permite testar a compatibilidade do seu comportamento com diversas leis matemaacuteticas

Para cada peso as 11 medidas foram separadas em dois conjuntos as 5 de menor L e todas as 11 Em cada um desses conjuntos foi aplicado o ajuste linear do meacutetodo dos miacutenimos quadrados [2] para 4 expressotildees diferentes

bLaT +sdot=( ) ( ) ( )smamLnsT n 11log1log1log sdot+=( ) ( )saLbsT 1log1log minussdot=

( ) ( )mbamLaT 1log1log sdotsdotminussdot=Os coeficientes encontrados para cada uma fornecem os paracircmetros que melhor ajustam uma determinada expressatildeo matemaacutetica ao conjunto de pontos com os quais o caacutelculo foi feito no neste caso trabalhou-se com 4 expressotildees

bLaT +sdot=nLaT sdot=

bLaT 10sdot=( )bLaT logsdot=

Entatildeo para cada uma delas obteve-se o melhor ajuste a todos os pontos e o melhor ajuste agrave metade dos menores valores de L aquelas expressotildees para as quais ambos os ajustes forem compatiacuteveis satildeo propostas de leis para o comportamento do pecircndulo que o conjunto total destes dados natildeo eacute capaz de excluir

Eacute claro que nesta anaacutelise natildeo haacute o objetivo de se descobrir qual dessas leis rege o pecircndulo O propoacutesito aqui eacute encontrar quais delas poderiam explicar os dados obtidos de maneira razoaacutevel se esse conjunto de dados fosse toda a informaccedilatildeo que algueacutem tivesse sobre o pecircndulo as que pudessem seriam todas hipoacuteteses plausiacuteveis para explicaacute-lo a essa pessoa Ou seja aqui o interesse estaacute na quantidade de informaccedilatildeo que os dados trazem sobre o sistema fiacutesico do qual foram coletados em quais das leis acima eles satildeo capazes de rejeitar E os resultados foram

LEI compatiacutevellinear natildeo

de potecircncia simexponencal natildeologariacutetmica parcialmente

O ldquoparcialmenterdquo da lei logariacutetmica eacute porque apenas para o peso de plaacutestico o conjunto de dados a aceitou7 Isso significa que escolhendo um peso suficientemente massivo natildeo eacute difiacutecil isolar dentre essas 4 leis gerais a de potecircncia como a uacutenica possiacutevel Assim os dados com comprimento variaacutevel apresentam a possibilidade de descoberta empiacuterica do comportamento do pecircndulo

Com base nessa conclusatildeo foi proposto o segundo experimento do guia (ver o Anexo 1 item B2) o isolamento da lei de potecircncia seraacute mais oacutebvio com a separaccedilatildeo dos dados em dois intervalos distintos e bem separados de L (no caso da proposta feita no guia entre 10m e 12m e entre 16m e 18m) e novamente para evitar a complicaccedilatildeo de noccedilotildees estatiacutesticas (no caso tudo relacionado ao meacutetodo dos miacutenimos quadrados) o aluno precisaraacute apenas traccedilar as retas agrave matildeo

7 Provavelmente isso reflete o fato de que exceto pela lei de potecircncia a logariacutetmica eacute a que mais se aproxima do verdadeiro comportamento do pecircndulo entre essas

8

14 ndash

Para reforccedilar e sedimentar a aprendizagem por descoberta proposta no segundo experimento o primeiro consiste em testar vaacuterias possiacuteveis variaacuteveis para descobrir quais delas satildeo realmente relevantes na determinaccedilatildeo do periacuteodo do pecircndulo (ver o Anexo 1 item B1) e no guia toda a deduccedilatildeo teoacuterica da foacutermula do periacuteodo estaacute entre o segundo e o terceiro experimentos (ver o Anexo 1 item C1)iii) precisatildeo na disciplina F 229

CONCLUSAtildeO Observando a exposiccedilatildeo a seguir eacute notado que o suporte usado fornece uma correccedilatildeo de 005ms2 para o valor meacutedio de g Aleacutem disso observa-se que eacute possiacutevel melhorar o meacutetodo usado atualmente para a mediccedilatildeo de g

A comparaccedilatildeo foi feita com 5 relatoacuterios (todos a que se teve acesso) do experimento do pecircndulo simples 4 entre o 2ordm semestre de 2004 e o 1ordm semestre de 2005 e 1 sem data Todos eles consideraram o comprimento l do fio como a distacircncia L entre o centro de massa e o ponto fixo do pecircndulo (ignorando assim uma das principais fontes de erro conforme foi visto no item (i) acima) e usaram o meacutetodo dos miacutenimos quadrados para estimar o coeficiente de proporcionalidade entre T2 e L (coeficiente g)2(a 2π= ) e a partir dele estimar g Um resumo do que eacute apresentado nesses relatoacuterios eacute dado na tabela abaixo

relatoacuterio nordm nordm de pontos a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)1 10 4195 0083 941 0192 5 407 017 969 043 7 398 0016 987 0044 3 410 001 963 0235 5 412 007 96 02

Para estimar a contribuiccedilatildeo do suporte eacute necessaacuterio analisar os dados colhidos com ele da mesma maneira Feita a mesma anaacutelise para os conjuntos de 5 e 11 pontos de cada material (mencionados no item (ii) acima) os resultados encontrados foram

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 405 00202 976 0048611 pontos 399 00158 988 00391

Alumiacutenio 5 pontos 406 00148 973 0035611 pontos 405 00112 976 00270

Latatildeo 5 pontos 404 00149 977 0035911 pontos 406 00129 973 00309

Comparando-os com os relatoacuterios eacute possiacutevel perceber que em ambos a meacutedia geralmente encontrada estaacute ligeiramente abaixo do valor aceito para g (978ms2) embora nos relatoacuterios essa distacircncia costume ser maior Excluiacutedas as anaacutelises com 10 ou 11 pontos a meacutedia encontrada sem o suporte (nos relatoacuterios) estaacute em torno de 970ms2 enquanto que o uso do suporte possibilita encontrar uma meacutedia em torno de 975ms2 isso significa que com este meacutetodo de anaacutelise a imprecisatildeo na determinaccedilatildeo do ponto de suspensatildeo do pecircndulo gera um erro sistemaacutetico que influencia o 3ordm algarismo significativo da estimativa de g Mas esta natildeo eacute a uacutenica conclusatildeo importante extraiacuteda dessa comparaccedilatildeo

Dos 5 relatoacuterios 3 encontraram estimativas de g incompatiacuteveis com o valor aceito Se a eliminaccedilatildeo do erro sistemaacutetico aproximou a meacutedia desse valor tambeacutem diminuiu as barras de erro encontradas mantendo a mesma quantidade de resultados incompatiacuteveis Isso evidencia a necessidade de levar em conta o fato de que o pecircndulo usado eacute um pecircndulo

9

14 ndash

fiacutesico (e considerar o erro na determinaccedilatildeo do centro de massa) Poreacutem ao se fazer isso o resultado aparentemente piorou

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 411 00395 960 0092011 pontos 410 00353 963 00829

Alumiacutenio 5 pontos 406 00158 973 0037811 pontos 407 00135 970 00321

Latatildeo 5 pontos 402 00173 982 0042311 pontos 405 00139 976 00335

Eliminando o erro de considerar o pecircndulo como um pecircndulo simples a incompatibilidade aumentou de 3 para 4 estimativas e aparentemente ficou maior que a dos relatoacuterios Diz-se ldquoaparentementerdquo por dois motivos primeiro existe a possibilidade de que alguns alunos tenham fraudado os resultados dos seus relatoacuterios8 segundo apenas uma estimativa incompatiacutevel a mais num conjunto de apenas seis pode muito bem ser efeito de flutuaccedilotildees aleatoacuterias Contudo o fato de o nordm de estimativas incompatiacuteveis ter se alterado tatildeo pouco indica uma grande insensibilidade do meacutetodo utilizado para se estimar g com relaccedilatildeo a esse erro (um dos mais importantes)

Aliaacutes estimar g a partir do comportamento do pecircndulo com o meacutetodo dos miacutenimos quadrados eacute um contra-senso Este meacutetodo tem a funccedilatildeo de encontrar empiricamente relaccedilotildees de dependecircncia entre duas variaacuteveis isto eacute estimar relaccedilotildees de dependecircncia a princiacutepio desconhecidas assim por mais exata e precisa que seja a estimativa de a obtida por ele ela natildeo poderia ser utilizada para calcular g Pois se o meacutetodo dos miacutenimos quadrados foi usado eacute porque a lei do periacuteodo do pecircndulo natildeo era conhecida e se era seria mais coerente usar medidas com comprimento fixo para estimar g como foi feito no item (i) acima (jaacute que sabendo a lei soacute eacute necessaacuteria informaccedilatildeo sobre um ponto para estimar g)

As estimativas de g pelas medidas com comprimento fixo (usando os dados das 5 e das 10 primeiras medidas colhidas) distinguem claramente entre considerar ou natildeo o pecircndulo como um pecircndulo simples

T (s) T∆ (s) L (m) L∆ (m) g (ms2) g∆ (ms2)Aproximando o peso suspenso para um pecircndulo simples

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220

099 0000

991 003611000 00583978 00306983 00580972 00301975 00152

8 Tome-se como exemplo o relatoacuterio nordm 4 Da foacutermula de propagaccedilatildeo de erros aa∆sdot=∆ gg o que eacute satisfeito em todos os relatoacuterios exceto esse onde o valor de ∆g apresentado (023ms2) eacute 10 vezes maior do que deveria ser (Natildeo bastasse isso depois de encontrar a meacutedia 2639 smg = num paraacutegrafo posterior o

relatoacuterio se refere a 2869 smg = [=963+023] como a meacutedia)

10

14 ndash

Considerando o peso suspenso como um pecircndulo fiacutesico

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814 098 0022 981 02279

990 02343

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832 099 0008 981 00890

986 01021

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220 100 0003 980 00445

982 00361Os valores em vermelho indicam as estimativas de g incompatiacuteveis com 978ms2 a estimativa com 5 pontos para o latatildeo considerando o pecircndulo fiacutesico soacute natildeo eacute compatiacutevel porque por motivos de flutuaccedilatildeo o erro padratildeo na estimativa do periacuteodo para o latatildeo eacute menor para 5 pontos do que para 10 e a meacutedia maior

Comparando as estimativas de g das medidas de comprimento variaacutevel com as de comprimento fixo vecirc-se que as uacuteltimas fornecem um resultado mais confiaacutevel e natildeo menos preciso mesmo para uma quantidade natildeo muito grande de medidas Comparando os erros percentuais temos

( )g∆Material 30 pontos 10 pontosPlaacutestico 230 232

Alumiacutenio 0866 0907Latatildeo 0369 0454

Concluindo no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (que eacute o que vem sendo usado recentemente na disciplina F 229) o suporte usado para determinar mais precisamente o ponto de apoio do pecircndulo elimina um erro sistemaacutetico de cerca de 005ms2 na estimativa de g poreacutem a menos que o objetivo principal de estimar g com o pecircndulo seja contribuir para a memorizaccedilatildeo por parte dos alunos de meacutetodos de tratamento estatiacutestico este meacutetodo deveria ser abandonado em favor de calcular a meacutedia e o erro padratildeo do periacuteodo e do centro de massa do pecircndulo e pela propagaccedilatildeo de erros obter a estimativa

4 ndash Fechamento

a) conclusatildeoHaacute muito conhecimento relacionado com o pecircndulo Para chegar agrave redaccedilatildeo final do

guia foi necessaacuterio natildeo apenas passar por vaacuterios mas tambeacutem avaliaacute-los e selecionar quais deveriam ter prioridade para serem apresentados ao aluno de EM O resultado foi um guia que conteacutem ideacuteias relativamente simples (boa parte delas jaacute vista no EM) embora proponha um caminho que talvez possa ser considerado cansativo pelo aluno9

O guia redigido natildeo deveria de forma alguma ser usado em uma uacutenica aula Ele propotildee um trabalho em longo prazo em que o aluno constroacutei em bases soacutelidas a sua compreensatildeo sobre o pecircndulo Quatro aulas (isto eacute quatro dias de aula) uma para cada experimento e mais uma para a teoria satildeo o tempo miacutenimo sugerido para se concluir as atividades do guia

b) bibliografia

9 Natildeo necessariamente isso eacute um problema Jaacute dizia Thomas Edison ldquoUm gecircnio eacute feito de 1 de inspiraccedilatildeo e 99 de transpiraccedilatildeordquo Basta que os alunos estejam motivados para que o guia possa ser seguido sem problemas a menos que se queira concluiacute-lo num intervalo de tempo curto demais para eles processarem toda a informaccedilatildeo com que teratildeo contato

11

14 ndash

[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

12

14 ndash

ANEXOS

13

14 ndash

Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

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clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

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da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

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B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

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Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

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Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

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2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

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i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

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C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

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O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

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como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

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14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

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14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

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14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

39

14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

iii) os pesosOs pesos usados satildeo basicamente cilindros com diacircmetro e altura de 20mm este

formato foi escolhido por facilitar tanto o caacutelculo do centro de massa quanto a confecccedilatildeo das peccedilas A fim de suspendecirc-los os pesos tecircm um furo de 1mm de diacircmetro (que liga o centro de uma base ao da outra) para permitir a passagem do fio que prende o peso com um noacute (v figura 7) A fim de evitar acidentes as bordas dos cilindros foram arredondadas

Foram feitas trecircs peccedilas de dimensotildees iguais em materiais diferentes plaacutestico alumiacutenio e latatildeo (v figura 8) As densidades diferentes desses materiais nos fornecem massas diferentes com o mesmo centro de massa e permitem estudar o comportamento do pecircndulo em funccedilatildeo da massa As massas dos pesos satildeo 60g para o plaacutestico 169g para o alumiacutenio e 530g para o latatildeo

Figura 7 ndash Peso de latatildeo suspenso pelo fio O fio sai do suporte (parte superior da figura) atravessa o peso e o suspende por um noacute feito abaixo do centro da base inferior do ldquocilindrordquo (que eacute a base mostrada nesta fotografia) Uma porccedilatildeo do fio depois do noacute pode ser vista como uma linha clara no lado inferior direito da base da peccedila

Figura 8 ndash Os trecircs ldquocilindrosrdquo a serem usados no pecircndulo feitos de plaacutestico alumiacutenio e latatildeo Todos eles possuem altura e diacircmetro de 20mm

b) procedimento realizadoConstruiacutedo o aparato para cada peso foram coletadas 30 medidas do intervalo

necessaacuterio para a realizaccedilatildeo de 10 oscilaccedilotildees completas para uma distacircncia fixa de 1m entre o centro de massa do peso e o suporte (101m ateacute o noacute no fio) e 11 medidas para distacircncias separadas de 10cm entre si no intervalo entre 1m e 2m de distacircncia entre o centro de massa do peso e o suporte em todas elas foi tomado cuidado para natildeo deslocar o peso mais de 1cm em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

A partir dessas medidas coletadas foram feitas anaacutelises para se determinar os experimentos a serem propostos no guia para EM e a possiacutevel contribuiccedilatildeo do suporte para a precisatildeo da estimativa de g na disciplina F 229 Os resultados dessas anaacutelises satildeo discutidos no item abaixo

6

14 ndash

c) resultados encontrados (niacutevel avanccedilado)i) medidas com comprimento fixo no EM

Das foacutermulas de propagaccedilatildeo de erro [1] o erro percentual na estimativa de g atraveacutes de um pecircndulo eacute

( ) ( ) ( ) 22

1002

100

∆+

∆=∆ TLgg

onde ( )L∆ eacute o erro percentual do periacuteodo e ( )T∆ eacute o erro percentual da distacircncia do centro de massa ao apoio Ocorre que o maior deles eacute sempre ( )L∆ o menor valor encontrado para ele foi 033 (latatildeo) enquanto que o maior valor encontrado para ( )T∆ foi 015 (plaacutestico) Assim natildeo se pode deixar de levaacute-lo em conta no caacutelculo do erro padratildeo de g

As medidas encontradas para g foram

Material g (ms2) g∆ (ms2) ( )g∆Plaacutestico 973 022 230

Alumiacutenio 975 008 0866Latatildeo 980 004 0369

Daiacute se conclui que escolhendo apropriadamente o peso a ser usado no pecircndulo eacute possiacutevel obter um valor de g compatiacutevel com aquele assumido como correto (978ms2) com uma precisatildeo melhor que 05 E aqui utilizou-se o erro padratildeo como paracircmetro para a precisatildeo da medida

Poreacutem para se chegar a esse niacutevel eacute necessaacuterio lanccedilar matildeo da propagaccedilatildeo dos erros e os alunos do EM em geral natildeo possuem qualquer noccedilatildeo de estatiacutestica Assim para evitar que eles se perdessem em conceitos estatiacutesticos e sem abrir matildeo da ideacuteia de erro experimental foi decidido que o guia utilizaria o desvio padratildeo como paracircmetro da precisatildeo das medidas para cada valor de 10T medido eacute calculado um valor de g correspondente (levando em conta a real localizaccedilatildeo do centro de massa) e a partir desses valores eacute calculada uma meacutedia e um desvio padratildeo a ser considerado como a estimativa de g Este meacutetodo aplicado agraves medidas colhidas forneceu os seguintes resultados

Plaacutestico Alumiacutenio Latatildeog (ms2) 973 976 980g∆ (ms2) 0165 0123 0120

( )g∆ 169 126 122Ou seja o preccedilo de uma introduccedilatildeo didaacutetica agrave teoria de erros eacute apenas uma pequena

perda na precisatildeo da estimativa pois ainda eacute possiacutevel se obter um valor de g compatiacutevel com o usualmente aceito dentro de uma precisatildeo melhor que 15 Esta anaacutelise motivou a proposta do terceiro experimento apresentado no guia (ver o Anexo 1 item C2)ii) medidas com comprimento variaacutevel no EM

Se as medidas com comprimento fixo satildeo capazes de fornecer o valor de g com boa precisatildeo (justamente por extraiacuterem muita informaccedilatildeo de um uacutenico ponto) as medidas com comprimento variaacutevel podem fornecer informaccedilotildees sobre o comportamento geral do

7

14 ndash

pecircndulo Isso permite testar a compatibilidade do seu comportamento com diversas leis matemaacuteticas

Para cada peso as 11 medidas foram separadas em dois conjuntos as 5 de menor L e todas as 11 Em cada um desses conjuntos foi aplicado o ajuste linear do meacutetodo dos miacutenimos quadrados [2] para 4 expressotildees diferentes

bLaT +sdot=( ) ( ) ( )smamLnsT n 11log1log1log sdot+=( ) ( )saLbsT 1log1log minussdot=

( ) ( )mbamLaT 1log1log sdotsdotminussdot=Os coeficientes encontrados para cada uma fornecem os paracircmetros que melhor ajustam uma determinada expressatildeo matemaacutetica ao conjunto de pontos com os quais o caacutelculo foi feito no neste caso trabalhou-se com 4 expressotildees

bLaT +sdot=nLaT sdot=

bLaT 10sdot=( )bLaT logsdot=

Entatildeo para cada uma delas obteve-se o melhor ajuste a todos os pontos e o melhor ajuste agrave metade dos menores valores de L aquelas expressotildees para as quais ambos os ajustes forem compatiacuteveis satildeo propostas de leis para o comportamento do pecircndulo que o conjunto total destes dados natildeo eacute capaz de excluir

Eacute claro que nesta anaacutelise natildeo haacute o objetivo de se descobrir qual dessas leis rege o pecircndulo O propoacutesito aqui eacute encontrar quais delas poderiam explicar os dados obtidos de maneira razoaacutevel se esse conjunto de dados fosse toda a informaccedilatildeo que algueacutem tivesse sobre o pecircndulo as que pudessem seriam todas hipoacuteteses plausiacuteveis para explicaacute-lo a essa pessoa Ou seja aqui o interesse estaacute na quantidade de informaccedilatildeo que os dados trazem sobre o sistema fiacutesico do qual foram coletados em quais das leis acima eles satildeo capazes de rejeitar E os resultados foram

LEI compatiacutevellinear natildeo

de potecircncia simexponencal natildeologariacutetmica parcialmente

O ldquoparcialmenterdquo da lei logariacutetmica eacute porque apenas para o peso de plaacutestico o conjunto de dados a aceitou7 Isso significa que escolhendo um peso suficientemente massivo natildeo eacute difiacutecil isolar dentre essas 4 leis gerais a de potecircncia como a uacutenica possiacutevel Assim os dados com comprimento variaacutevel apresentam a possibilidade de descoberta empiacuterica do comportamento do pecircndulo

Com base nessa conclusatildeo foi proposto o segundo experimento do guia (ver o Anexo 1 item B2) o isolamento da lei de potecircncia seraacute mais oacutebvio com a separaccedilatildeo dos dados em dois intervalos distintos e bem separados de L (no caso da proposta feita no guia entre 10m e 12m e entre 16m e 18m) e novamente para evitar a complicaccedilatildeo de noccedilotildees estatiacutesticas (no caso tudo relacionado ao meacutetodo dos miacutenimos quadrados) o aluno precisaraacute apenas traccedilar as retas agrave matildeo

7 Provavelmente isso reflete o fato de que exceto pela lei de potecircncia a logariacutetmica eacute a que mais se aproxima do verdadeiro comportamento do pecircndulo entre essas

8

14 ndash

Para reforccedilar e sedimentar a aprendizagem por descoberta proposta no segundo experimento o primeiro consiste em testar vaacuterias possiacuteveis variaacuteveis para descobrir quais delas satildeo realmente relevantes na determinaccedilatildeo do periacuteodo do pecircndulo (ver o Anexo 1 item B1) e no guia toda a deduccedilatildeo teoacuterica da foacutermula do periacuteodo estaacute entre o segundo e o terceiro experimentos (ver o Anexo 1 item C1)iii) precisatildeo na disciplina F 229

CONCLUSAtildeO Observando a exposiccedilatildeo a seguir eacute notado que o suporte usado fornece uma correccedilatildeo de 005ms2 para o valor meacutedio de g Aleacutem disso observa-se que eacute possiacutevel melhorar o meacutetodo usado atualmente para a mediccedilatildeo de g

A comparaccedilatildeo foi feita com 5 relatoacuterios (todos a que se teve acesso) do experimento do pecircndulo simples 4 entre o 2ordm semestre de 2004 e o 1ordm semestre de 2005 e 1 sem data Todos eles consideraram o comprimento l do fio como a distacircncia L entre o centro de massa e o ponto fixo do pecircndulo (ignorando assim uma das principais fontes de erro conforme foi visto no item (i) acima) e usaram o meacutetodo dos miacutenimos quadrados para estimar o coeficiente de proporcionalidade entre T2 e L (coeficiente g)2(a 2π= ) e a partir dele estimar g Um resumo do que eacute apresentado nesses relatoacuterios eacute dado na tabela abaixo

relatoacuterio nordm nordm de pontos a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)1 10 4195 0083 941 0192 5 407 017 969 043 7 398 0016 987 0044 3 410 001 963 0235 5 412 007 96 02

Para estimar a contribuiccedilatildeo do suporte eacute necessaacuterio analisar os dados colhidos com ele da mesma maneira Feita a mesma anaacutelise para os conjuntos de 5 e 11 pontos de cada material (mencionados no item (ii) acima) os resultados encontrados foram

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 405 00202 976 0048611 pontos 399 00158 988 00391

Alumiacutenio 5 pontos 406 00148 973 0035611 pontos 405 00112 976 00270

Latatildeo 5 pontos 404 00149 977 0035911 pontos 406 00129 973 00309

Comparando-os com os relatoacuterios eacute possiacutevel perceber que em ambos a meacutedia geralmente encontrada estaacute ligeiramente abaixo do valor aceito para g (978ms2) embora nos relatoacuterios essa distacircncia costume ser maior Excluiacutedas as anaacutelises com 10 ou 11 pontos a meacutedia encontrada sem o suporte (nos relatoacuterios) estaacute em torno de 970ms2 enquanto que o uso do suporte possibilita encontrar uma meacutedia em torno de 975ms2 isso significa que com este meacutetodo de anaacutelise a imprecisatildeo na determinaccedilatildeo do ponto de suspensatildeo do pecircndulo gera um erro sistemaacutetico que influencia o 3ordm algarismo significativo da estimativa de g Mas esta natildeo eacute a uacutenica conclusatildeo importante extraiacuteda dessa comparaccedilatildeo

Dos 5 relatoacuterios 3 encontraram estimativas de g incompatiacuteveis com o valor aceito Se a eliminaccedilatildeo do erro sistemaacutetico aproximou a meacutedia desse valor tambeacutem diminuiu as barras de erro encontradas mantendo a mesma quantidade de resultados incompatiacuteveis Isso evidencia a necessidade de levar em conta o fato de que o pecircndulo usado eacute um pecircndulo

9

14 ndash

fiacutesico (e considerar o erro na determinaccedilatildeo do centro de massa) Poreacutem ao se fazer isso o resultado aparentemente piorou

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 411 00395 960 0092011 pontos 410 00353 963 00829

Alumiacutenio 5 pontos 406 00158 973 0037811 pontos 407 00135 970 00321

Latatildeo 5 pontos 402 00173 982 0042311 pontos 405 00139 976 00335

Eliminando o erro de considerar o pecircndulo como um pecircndulo simples a incompatibilidade aumentou de 3 para 4 estimativas e aparentemente ficou maior que a dos relatoacuterios Diz-se ldquoaparentementerdquo por dois motivos primeiro existe a possibilidade de que alguns alunos tenham fraudado os resultados dos seus relatoacuterios8 segundo apenas uma estimativa incompatiacutevel a mais num conjunto de apenas seis pode muito bem ser efeito de flutuaccedilotildees aleatoacuterias Contudo o fato de o nordm de estimativas incompatiacuteveis ter se alterado tatildeo pouco indica uma grande insensibilidade do meacutetodo utilizado para se estimar g com relaccedilatildeo a esse erro (um dos mais importantes)

Aliaacutes estimar g a partir do comportamento do pecircndulo com o meacutetodo dos miacutenimos quadrados eacute um contra-senso Este meacutetodo tem a funccedilatildeo de encontrar empiricamente relaccedilotildees de dependecircncia entre duas variaacuteveis isto eacute estimar relaccedilotildees de dependecircncia a princiacutepio desconhecidas assim por mais exata e precisa que seja a estimativa de a obtida por ele ela natildeo poderia ser utilizada para calcular g Pois se o meacutetodo dos miacutenimos quadrados foi usado eacute porque a lei do periacuteodo do pecircndulo natildeo era conhecida e se era seria mais coerente usar medidas com comprimento fixo para estimar g como foi feito no item (i) acima (jaacute que sabendo a lei soacute eacute necessaacuteria informaccedilatildeo sobre um ponto para estimar g)

As estimativas de g pelas medidas com comprimento fixo (usando os dados das 5 e das 10 primeiras medidas colhidas) distinguem claramente entre considerar ou natildeo o pecircndulo como um pecircndulo simples

T (s) T∆ (s) L (m) L∆ (m) g (ms2) g∆ (ms2)Aproximando o peso suspenso para um pecircndulo simples

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220

099 0000

991 003611000 00583978 00306983 00580972 00301975 00152

8 Tome-se como exemplo o relatoacuterio nordm 4 Da foacutermula de propagaccedilatildeo de erros aa∆sdot=∆ gg o que eacute satisfeito em todos os relatoacuterios exceto esse onde o valor de ∆g apresentado (023ms2) eacute 10 vezes maior do que deveria ser (Natildeo bastasse isso depois de encontrar a meacutedia 2639 smg = num paraacutegrafo posterior o

relatoacuterio se refere a 2869 smg = [=963+023] como a meacutedia)

10

14 ndash

Considerando o peso suspenso como um pecircndulo fiacutesico

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814 098 0022 981 02279

990 02343

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832 099 0008 981 00890

986 01021

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220 100 0003 980 00445

982 00361Os valores em vermelho indicam as estimativas de g incompatiacuteveis com 978ms2 a estimativa com 5 pontos para o latatildeo considerando o pecircndulo fiacutesico soacute natildeo eacute compatiacutevel porque por motivos de flutuaccedilatildeo o erro padratildeo na estimativa do periacuteodo para o latatildeo eacute menor para 5 pontos do que para 10 e a meacutedia maior

Comparando as estimativas de g das medidas de comprimento variaacutevel com as de comprimento fixo vecirc-se que as uacuteltimas fornecem um resultado mais confiaacutevel e natildeo menos preciso mesmo para uma quantidade natildeo muito grande de medidas Comparando os erros percentuais temos

( )g∆Material 30 pontos 10 pontosPlaacutestico 230 232

Alumiacutenio 0866 0907Latatildeo 0369 0454

Concluindo no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (que eacute o que vem sendo usado recentemente na disciplina F 229) o suporte usado para determinar mais precisamente o ponto de apoio do pecircndulo elimina um erro sistemaacutetico de cerca de 005ms2 na estimativa de g poreacutem a menos que o objetivo principal de estimar g com o pecircndulo seja contribuir para a memorizaccedilatildeo por parte dos alunos de meacutetodos de tratamento estatiacutestico este meacutetodo deveria ser abandonado em favor de calcular a meacutedia e o erro padratildeo do periacuteodo e do centro de massa do pecircndulo e pela propagaccedilatildeo de erros obter a estimativa

4 ndash Fechamento

a) conclusatildeoHaacute muito conhecimento relacionado com o pecircndulo Para chegar agrave redaccedilatildeo final do

guia foi necessaacuterio natildeo apenas passar por vaacuterios mas tambeacutem avaliaacute-los e selecionar quais deveriam ter prioridade para serem apresentados ao aluno de EM O resultado foi um guia que conteacutem ideacuteias relativamente simples (boa parte delas jaacute vista no EM) embora proponha um caminho que talvez possa ser considerado cansativo pelo aluno9

O guia redigido natildeo deveria de forma alguma ser usado em uma uacutenica aula Ele propotildee um trabalho em longo prazo em que o aluno constroacutei em bases soacutelidas a sua compreensatildeo sobre o pecircndulo Quatro aulas (isto eacute quatro dias de aula) uma para cada experimento e mais uma para a teoria satildeo o tempo miacutenimo sugerido para se concluir as atividades do guia

b) bibliografia

9 Natildeo necessariamente isso eacute um problema Jaacute dizia Thomas Edison ldquoUm gecircnio eacute feito de 1 de inspiraccedilatildeo e 99 de transpiraccedilatildeordquo Basta que os alunos estejam motivados para que o guia possa ser seguido sem problemas a menos que se queira concluiacute-lo num intervalo de tempo curto demais para eles processarem toda a informaccedilatildeo com que teratildeo contato

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[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

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ANEXOS

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Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

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14 ndash

clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

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14 ndash

da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

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14 ndash

B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

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14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

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14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

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2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

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i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

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14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

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O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

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14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

52

14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

54

14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

c) resultados encontrados (niacutevel avanccedilado)i) medidas com comprimento fixo no EM

Das foacutermulas de propagaccedilatildeo de erro [1] o erro percentual na estimativa de g atraveacutes de um pecircndulo eacute

( ) ( ) ( ) 22

1002

100

∆+

∆=∆ TLgg

onde ( )L∆ eacute o erro percentual do periacuteodo e ( )T∆ eacute o erro percentual da distacircncia do centro de massa ao apoio Ocorre que o maior deles eacute sempre ( )L∆ o menor valor encontrado para ele foi 033 (latatildeo) enquanto que o maior valor encontrado para ( )T∆ foi 015 (plaacutestico) Assim natildeo se pode deixar de levaacute-lo em conta no caacutelculo do erro padratildeo de g

As medidas encontradas para g foram

Material g (ms2) g∆ (ms2) ( )g∆Plaacutestico 973 022 230

Alumiacutenio 975 008 0866Latatildeo 980 004 0369

Daiacute se conclui que escolhendo apropriadamente o peso a ser usado no pecircndulo eacute possiacutevel obter um valor de g compatiacutevel com aquele assumido como correto (978ms2) com uma precisatildeo melhor que 05 E aqui utilizou-se o erro padratildeo como paracircmetro para a precisatildeo da medida

Poreacutem para se chegar a esse niacutevel eacute necessaacuterio lanccedilar matildeo da propagaccedilatildeo dos erros e os alunos do EM em geral natildeo possuem qualquer noccedilatildeo de estatiacutestica Assim para evitar que eles se perdessem em conceitos estatiacutesticos e sem abrir matildeo da ideacuteia de erro experimental foi decidido que o guia utilizaria o desvio padratildeo como paracircmetro da precisatildeo das medidas para cada valor de 10T medido eacute calculado um valor de g correspondente (levando em conta a real localizaccedilatildeo do centro de massa) e a partir desses valores eacute calculada uma meacutedia e um desvio padratildeo a ser considerado como a estimativa de g Este meacutetodo aplicado agraves medidas colhidas forneceu os seguintes resultados

Plaacutestico Alumiacutenio Latatildeog (ms2) 973 976 980g∆ (ms2) 0165 0123 0120

( )g∆ 169 126 122Ou seja o preccedilo de uma introduccedilatildeo didaacutetica agrave teoria de erros eacute apenas uma pequena

perda na precisatildeo da estimativa pois ainda eacute possiacutevel se obter um valor de g compatiacutevel com o usualmente aceito dentro de uma precisatildeo melhor que 15 Esta anaacutelise motivou a proposta do terceiro experimento apresentado no guia (ver o Anexo 1 item C2)ii) medidas com comprimento variaacutevel no EM

Se as medidas com comprimento fixo satildeo capazes de fornecer o valor de g com boa precisatildeo (justamente por extraiacuterem muita informaccedilatildeo de um uacutenico ponto) as medidas com comprimento variaacutevel podem fornecer informaccedilotildees sobre o comportamento geral do

7

14 ndash

pecircndulo Isso permite testar a compatibilidade do seu comportamento com diversas leis matemaacuteticas

Para cada peso as 11 medidas foram separadas em dois conjuntos as 5 de menor L e todas as 11 Em cada um desses conjuntos foi aplicado o ajuste linear do meacutetodo dos miacutenimos quadrados [2] para 4 expressotildees diferentes

bLaT +sdot=( ) ( ) ( )smamLnsT n 11log1log1log sdot+=( ) ( )saLbsT 1log1log minussdot=

( ) ( )mbamLaT 1log1log sdotsdotminussdot=Os coeficientes encontrados para cada uma fornecem os paracircmetros que melhor ajustam uma determinada expressatildeo matemaacutetica ao conjunto de pontos com os quais o caacutelculo foi feito no neste caso trabalhou-se com 4 expressotildees

bLaT +sdot=nLaT sdot=

bLaT 10sdot=( )bLaT logsdot=

Entatildeo para cada uma delas obteve-se o melhor ajuste a todos os pontos e o melhor ajuste agrave metade dos menores valores de L aquelas expressotildees para as quais ambos os ajustes forem compatiacuteveis satildeo propostas de leis para o comportamento do pecircndulo que o conjunto total destes dados natildeo eacute capaz de excluir

Eacute claro que nesta anaacutelise natildeo haacute o objetivo de se descobrir qual dessas leis rege o pecircndulo O propoacutesito aqui eacute encontrar quais delas poderiam explicar os dados obtidos de maneira razoaacutevel se esse conjunto de dados fosse toda a informaccedilatildeo que algueacutem tivesse sobre o pecircndulo as que pudessem seriam todas hipoacuteteses plausiacuteveis para explicaacute-lo a essa pessoa Ou seja aqui o interesse estaacute na quantidade de informaccedilatildeo que os dados trazem sobre o sistema fiacutesico do qual foram coletados em quais das leis acima eles satildeo capazes de rejeitar E os resultados foram

LEI compatiacutevellinear natildeo

de potecircncia simexponencal natildeologariacutetmica parcialmente

O ldquoparcialmenterdquo da lei logariacutetmica eacute porque apenas para o peso de plaacutestico o conjunto de dados a aceitou7 Isso significa que escolhendo um peso suficientemente massivo natildeo eacute difiacutecil isolar dentre essas 4 leis gerais a de potecircncia como a uacutenica possiacutevel Assim os dados com comprimento variaacutevel apresentam a possibilidade de descoberta empiacuterica do comportamento do pecircndulo

Com base nessa conclusatildeo foi proposto o segundo experimento do guia (ver o Anexo 1 item B2) o isolamento da lei de potecircncia seraacute mais oacutebvio com a separaccedilatildeo dos dados em dois intervalos distintos e bem separados de L (no caso da proposta feita no guia entre 10m e 12m e entre 16m e 18m) e novamente para evitar a complicaccedilatildeo de noccedilotildees estatiacutesticas (no caso tudo relacionado ao meacutetodo dos miacutenimos quadrados) o aluno precisaraacute apenas traccedilar as retas agrave matildeo

7 Provavelmente isso reflete o fato de que exceto pela lei de potecircncia a logariacutetmica eacute a que mais se aproxima do verdadeiro comportamento do pecircndulo entre essas

8

14 ndash

Para reforccedilar e sedimentar a aprendizagem por descoberta proposta no segundo experimento o primeiro consiste em testar vaacuterias possiacuteveis variaacuteveis para descobrir quais delas satildeo realmente relevantes na determinaccedilatildeo do periacuteodo do pecircndulo (ver o Anexo 1 item B1) e no guia toda a deduccedilatildeo teoacuterica da foacutermula do periacuteodo estaacute entre o segundo e o terceiro experimentos (ver o Anexo 1 item C1)iii) precisatildeo na disciplina F 229

CONCLUSAtildeO Observando a exposiccedilatildeo a seguir eacute notado que o suporte usado fornece uma correccedilatildeo de 005ms2 para o valor meacutedio de g Aleacutem disso observa-se que eacute possiacutevel melhorar o meacutetodo usado atualmente para a mediccedilatildeo de g

A comparaccedilatildeo foi feita com 5 relatoacuterios (todos a que se teve acesso) do experimento do pecircndulo simples 4 entre o 2ordm semestre de 2004 e o 1ordm semestre de 2005 e 1 sem data Todos eles consideraram o comprimento l do fio como a distacircncia L entre o centro de massa e o ponto fixo do pecircndulo (ignorando assim uma das principais fontes de erro conforme foi visto no item (i) acima) e usaram o meacutetodo dos miacutenimos quadrados para estimar o coeficiente de proporcionalidade entre T2 e L (coeficiente g)2(a 2π= ) e a partir dele estimar g Um resumo do que eacute apresentado nesses relatoacuterios eacute dado na tabela abaixo

relatoacuterio nordm nordm de pontos a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)1 10 4195 0083 941 0192 5 407 017 969 043 7 398 0016 987 0044 3 410 001 963 0235 5 412 007 96 02

Para estimar a contribuiccedilatildeo do suporte eacute necessaacuterio analisar os dados colhidos com ele da mesma maneira Feita a mesma anaacutelise para os conjuntos de 5 e 11 pontos de cada material (mencionados no item (ii) acima) os resultados encontrados foram

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 405 00202 976 0048611 pontos 399 00158 988 00391

Alumiacutenio 5 pontos 406 00148 973 0035611 pontos 405 00112 976 00270

Latatildeo 5 pontos 404 00149 977 0035911 pontos 406 00129 973 00309

Comparando-os com os relatoacuterios eacute possiacutevel perceber que em ambos a meacutedia geralmente encontrada estaacute ligeiramente abaixo do valor aceito para g (978ms2) embora nos relatoacuterios essa distacircncia costume ser maior Excluiacutedas as anaacutelises com 10 ou 11 pontos a meacutedia encontrada sem o suporte (nos relatoacuterios) estaacute em torno de 970ms2 enquanto que o uso do suporte possibilita encontrar uma meacutedia em torno de 975ms2 isso significa que com este meacutetodo de anaacutelise a imprecisatildeo na determinaccedilatildeo do ponto de suspensatildeo do pecircndulo gera um erro sistemaacutetico que influencia o 3ordm algarismo significativo da estimativa de g Mas esta natildeo eacute a uacutenica conclusatildeo importante extraiacuteda dessa comparaccedilatildeo

Dos 5 relatoacuterios 3 encontraram estimativas de g incompatiacuteveis com o valor aceito Se a eliminaccedilatildeo do erro sistemaacutetico aproximou a meacutedia desse valor tambeacutem diminuiu as barras de erro encontradas mantendo a mesma quantidade de resultados incompatiacuteveis Isso evidencia a necessidade de levar em conta o fato de que o pecircndulo usado eacute um pecircndulo

9

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fiacutesico (e considerar o erro na determinaccedilatildeo do centro de massa) Poreacutem ao se fazer isso o resultado aparentemente piorou

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 411 00395 960 0092011 pontos 410 00353 963 00829

Alumiacutenio 5 pontos 406 00158 973 0037811 pontos 407 00135 970 00321

Latatildeo 5 pontos 402 00173 982 0042311 pontos 405 00139 976 00335

Eliminando o erro de considerar o pecircndulo como um pecircndulo simples a incompatibilidade aumentou de 3 para 4 estimativas e aparentemente ficou maior que a dos relatoacuterios Diz-se ldquoaparentementerdquo por dois motivos primeiro existe a possibilidade de que alguns alunos tenham fraudado os resultados dos seus relatoacuterios8 segundo apenas uma estimativa incompatiacutevel a mais num conjunto de apenas seis pode muito bem ser efeito de flutuaccedilotildees aleatoacuterias Contudo o fato de o nordm de estimativas incompatiacuteveis ter se alterado tatildeo pouco indica uma grande insensibilidade do meacutetodo utilizado para se estimar g com relaccedilatildeo a esse erro (um dos mais importantes)

Aliaacutes estimar g a partir do comportamento do pecircndulo com o meacutetodo dos miacutenimos quadrados eacute um contra-senso Este meacutetodo tem a funccedilatildeo de encontrar empiricamente relaccedilotildees de dependecircncia entre duas variaacuteveis isto eacute estimar relaccedilotildees de dependecircncia a princiacutepio desconhecidas assim por mais exata e precisa que seja a estimativa de a obtida por ele ela natildeo poderia ser utilizada para calcular g Pois se o meacutetodo dos miacutenimos quadrados foi usado eacute porque a lei do periacuteodo do pecircndulo natildeo era conhecida e se era seria mais coerente usar medidas com comprimento fixo para estimar g como foi feito no item (i) acima (jaacute que sabendo a lei soacute eacute necessaacuteria informaccedilatildeo sobre um ponto para estimar g)

As estimativas de g pelas medidas com comprimento fixo (usando os dados das 5 e das 10 primeiras medidas colhidas) distinguem claramente entre considerar ou natildeo o pecircndulo como um pecircndulo simples

T (s) T∆ (s) L (m) L∆ (m) g (ms2) g∆ (ms2)Aproximando o peso suspenso para um pecircndulo simples

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220

099 0000

991 003611000 00583978 00306983 00580972 00301975 00152

8 Tome-se como exemplo o relatoacuterio nordm 4 Da foacutermula de propagaccedilatildeo de erros aa∆sdot=∆ gg o que eacute satisfeito em todos os relatoacuterios exceto esse onde o valor de ∆g apresentado (023ms2) eacute 10 vezes maior do que deveria ser (Natildeo bastasse isso depois de encontrar a meacutedia 2639 smg = num paraacutegrafo posterior o

relatoacuterio se refere a 2869 smg = [=963+023] como a meacutedia)

10

14 ndash

Considerando o peso suspenso como um pecircndulo fiacutesico

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814 098 0022 981 02279

990 02343

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832 099 0008 981 00890

986 01021

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220 100 0003 980 00445

982 00361Os valores em vermelho indicam as estimativas de g incompatiacuteveis com 978ms2 a estimativa com 5 pontos para o latatildeo considerando o pecircndulo fiacutesico soacute natildeo eacute compatiacutevel porque por motivos de flutuaccedilatildeo o erro padratildeo na estimativa do periacuteodo para o latatildeo eacute menor para 5 pontos do que para 10 e a meacutedia maior

Comparando as estimativas de g das medidas de comprimento variaacutevel com as de comprimento fixo vecirc-se que as uacuteltimas fornecem um resultado mais confiaacutevel e natildeo menos preciso mesmo para uma quantidade natildeo muito grande de medidas Comparando os erros percentuais temos

( )g∆Material 30 pontos 10 pontosPlaacutestico 230 232

Alumiacutenio 0866 0907Latatildeo 0369 0454

Concluindo no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (que eacute o que vem sendo usado recentemente na disciplina F 229) o suporte usado para determinar mais precisamente o ponto de apoio do pecircndulo elimina um erro sistemaacutetico de cerca de 005ms2 na estimativa de g poreacutem a menos que o objetivo principal de estimar g com o pecircndulo seja contribuir para a memorizaccedilatildeo por parte dos alunos de meacutetodos de tratamento estatiacutestico este meacutetodo deveria ser abandonado em favor de calcular a meacutedia e o erro padratildeo do periacuteodo e do centro de massa do pecircndulo e pela propagaccedilatildeo de erros obter a estimativa

4 ndash Fechamento

a) conclusatildeoHaacute muito conhecimento relacionado com o pecircndulo Para chegar agrave redaccedilatildeo final do

guia foi necessaacuterio natildeo apenas passar por vaacuterios mas tambeacutem avaliaacute-los e selecionar quais deveriam ter prioridade para serem apresentados ao aluno de EM O resultado foi um guia que conteacutem ideacuteias relativamente simples (boa parte delas jaacute vista no EM) embora proponha um caminho que talvez possa ser considerado cansativo pelo aluno9

O guia redigido natildeo deveria de forma alguma ser usado em uma uacutenica aula Ele propotildee um trabalho em longo prazo em que o aluno constroacutei em bases soacutelidas a sua compreensatildeo sobre o pecircndulo Quatro aulas (isto eacute quatro dias de aula) uma para cada experimento e mais uma para a teoria satildeo o tempo miacutenimo sugerido para se concluir as atividades do guia

b) bibliografia

9 Natildeo necessariamente isso eacute um problema Jaacute dizia Thomas Edison ldquoUm gecircnio eacute feito de 1 de inspiraccedilatildeo e 99 de transpiraccedilatildeordquo Basta que os alunos estejam motivados para que o guia possa ser seguido sem problemas a menos que se queira concluiacute-lo num intervalo de tempo curto demais para eles processarem toda a informaccedilatildeo com que teratildeo contato

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[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

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ANEXOS

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Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

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clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

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da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

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B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

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Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

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Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

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14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

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14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

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14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

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14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

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Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

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14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

48

14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

pecircndulo Isso permite testar a compatibilidade do seu comportamento com diversas leis matemaacuteticas

Para cada peso as 11 medidas foram separadas em dois conjuntos as 5 de menor L e todas as 11 Em cada um desses conjuntos foi aplicado o ajuste linear do meacutetodo dos miacutenimos quadrados [2] para 4 expressotildees diferentes

bLaT +sdot=( ) ( ) ( )smamLnsT n 11log1log1log sdot+=( ) ( )saLbsT 1log1log minussdot=

( ) ( )mbamLaT 1log1log sdotsdotminussdot=Os coeficientes encontrados para cada uma fornecem os paracircmetros que melhor ajustam uma determinada expressatildeo matemaacutetica ao conjunto de pontos com os quais o caacutelculo foi feito no neste caso trabalhou-se com 4 expressotildees

bLaT +sdot=nLaT sdot=

bLaT 10sdot=( )bLaT logsdot=

Entatildeo para cada uma delas obteve-se o melhor ajuste a todos os pontos e o melhor ajuste agrave metade dos menores valores de L aquelas expressotildees para as quais ambos os ajustes forem compatiacuteveis satildeo propostas de leis para o comportamento do pecircndulo que o conjunto total destes dados natildeo eacute capaz de excluir

Eacute claro que nesta anaacutelise natildeo haacute o objetivo de se descobrir qual dessas leis rege o pecircndulo O propoacutesito aqui eacute encontrar quais delas poderiam explicar os dados obtidos de maneira razoaacutevel se esse conjunto de dados fosse toda a informaccedilatildeo que algueacutem tivesse sobre o pecircndulo as que pudessem seriam todas hipoacuteteses plausiacuteveis para explicaacute-lo a essa pessoa Ou seja aqui o interesse estaacute na quantidade de informaccedilatildeo que os dados trazem sobre o sistema fiacutesico do qual foram coletados em quais das leis acima eles satildeo capazes de rejeitar E os resultados foram

LEI compatiacutevellinear natildeo

de potecircncia simexponencal natildeologariacutetmica parcialmente

O ldquoparcialmenterdquo da lei logariacutetmica eacute porque apenas para o peso de plaacutestico o conjunto de dados a aceitou7 Isso significa que escolhendo um peso suficientemente massivo natildeo eacute difiacutecil isolar dentre essas 4 leis gerais a de potecircncia como a uacutenica possiacutevel Assim os dados com comprimento variaacutevel apresentam a possibilidade de descoberta empiacuterica do comportamento do pecircndulo

Com base nessa conclusatildeo foi proposto o segundo experimento do guia (ver o Anexo 1 item B2) o isolamento da lei de potecircncia seraacute mais oacutebvio com a separaccedilatildeo dos dados em dois intervalos distintos e bem separados de L (no caso da proposta feita no guia entre 10m e 12m e entre 16m e 18m) e novamente para evitar a complicaccedilatildeo de noccedilotildees estatiacutesticas (no caso tudo relacionado ao meacutetodo dos miacutenimos quadrados) o aluno precisaraacute apenas traccedilar as retas agrave matildeo

7 Provavelmente isso reflete o fato de que exceto pela lei de potecircncia a logariacutetmica eacute a que mais se aproxima do verdadeiro comportamento do pecircndulo entre essas

8

14 ndash

Para reforccedilar e sedimentar a aprendizagem por descoberta proposta no segundo experimento o primeiro consiste em testar vaacuterias possiacuteveis variaacuteveis para descobrir quais delas satildeo realmente relevantes na determinaccedilatildeo do periacuteodo do pecircndulo (ver o Anexo 1 item B1) e no guia toda a deduccedilatildeo teoacuterica da foacutermula do periacuteodo estaacute entre o segundo e o terceiro experimentos (ver o Anexo 1 item C1)iii) precisatildeo na disciplina F 229

CONCLUSAtildeO Observando a exposiccedilatildeo a seguir eacute notado que o suporte usado fornece uma correccedilatildeo de 005ms2 para o valor meacutedio de g Aleacutem disso observa-se que eacute possiacutevel melhorar o meacutetodo usado atualmente para a mediccedilatildeo de g

A comparaccedilatildeo foi feita com 5 relatoacuterios (todos a que se teve acesso) do experimento do pecircndulo simples 4 entre o 2ordm semestre de 2004 e o 1ordm semestre de 2005 e 1 sem data Todos eles consideraram o comprimento l do fio como a distacircncia L entre o centro de massa e o ponto fixo do pecircndulo (ignorando assim uma das principais fontes de erro conforme foi visto no item (i) acima) e usaram o meacutetodo dos miacutenimos quadrados para estimar o coeficiente de proporcionalidade entre T2 e L (coeficiente g)2(a 2π= ) e a partir dele estimar g Um resumo do que eacute apresentado nesses relatoacuterios eacute dado na tabela abaixo

relatoacuterio nordm nordm de pontos a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)1 10 4195 0083 941 0192 5 407 017 969 043 7 398 0016 987 0044 3 410 001 963 0235 5 412 007 96 02

Para estimar a contribuiccedilatildeo do suporte eacute necessaacuterio analisar os dados colhidos com ele da mesma maneira Feita a mesma anaacutelise para os conjuntos de 5 e 11 pontos de cada material (mencionados no item (ii) acima) os resultados encontrados foram

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 405 00202 976 0048611 pontos 399 00158 988 00391

Alumiacutenio 5 pontos 406 00148 973 0035611 pontos 405 00112 976 00270

Latatildeo 5 pontos 404 00149 977 0035911 pontos 406 00129 973 00309

Comparando-os com os relatoacuterios eacute possiacutevel perceber que em ambos a meacutedia geralmente encontrada estaacute ligeiramente abaixo do valor aceito para g (978ms2) embora nos relatoacuterios essa distacircncia costume ser maior Excluiacutedas as anaacutelises com 10 ou 11 pontos a meacutedia encontrada sem o suporte (nos relatoacuterios) estaacute em torno de 970ms2 enquanto que o uso do suporte possibilita encontrar uma meacutedia em torno de 975ms2 isso significa que com este meacutetodo de anaacutelise a imprecisatildeo na determinaccedilatildeo do ponto de suspensatildeo do pecircndulo gera um erro sistemaacutetico que influencia o 3ordm algarismo significativo da estimativa de g Mas esta natildeo eacute a uacutenica conclusatildeo importante extraiacuteda dessa comparaccedilatildeo

Dos 5 relatoacuterios 3 encontraram estimativas de g incompatiacuteveis com o valor aceito Se a eliminaccedilatildeo do erro sistemaacutetico aproximou a meacutedia desse valor tambeacutem diminuiu as barras de erro encontradas mantendo a mesma quantidade de resultados incompatiacuteveis Isso evidencia a necessidade de levar em conta o fato de que o pecircndulo usado eacute um pecircndulo

9

14 ndash

fiacutesico (e considerar o erro na determinaccedilatildeo do centro de massa) Poreacutem ao se fazer isso o resultado aparentemente piorou

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 411 00395 960 0092011 pontos 410 00353 963 00829

Alumiacutenio 5 pontos 406 00158 973 0037811 pontos 407 00135 970 00321

Latatildeo 5 pontos 402 00173 982 0042311 pontos 405 00139 976 00335

Eliminando o erro de considerar o pecircndulo como um pecircndulo simples a incompatibilidade aumentou de 3 para 4 estimativas e aparentemente ficou maior que a dos relatoacuterios Diz-se ldquoaparentementerdquo por dois motivos primeiro existe a possibilidade de que alguns alunos tenham fraudado os resultados dos seus relatoacuterios8 segundo apenas uma estimativa incompatiacutevel a mais num conjunto de apenas seis pode muito bem ser efeito de flutuaccedilotildees aleatoacuterias Contudo o fato de o nordm de estimativas incompatiacuteveis ter se alterado tatildeo pouco indica uma grande insensibilidade do meacutetodo utilizado para se estimar g com relaccedilatildeo a esse erro (um dos mais importantes)

Aliaacutes estimar g a partir do comportamento do pecircndulo com o meacutetodo dos miacutenimos quadrados eacute um contra-senso Este meacutetodo tem a funccedilatildeo de encontrar empiricamente relaccedilotildees de dependecircncia entre duas variaacuteveis isto eacute estimar relaccedilotildees de dependecircncia a princiacutepio desconhecidas assim por mais exata e precisa que seja a estimativa de a obtida por ele ela natildeo poderia ser utilizada para calcular g Pois se o meacutetodo dos miacutenimos quadrados foi usado eacute porque a lei do periacuteodo do pecircndulo natildeo era conhecida e se era seria mais coerente usar medidas com comprimento fixo para estimar g como foi feito no item (i) acima (jaacute que sabendo a lei soacute eacute necessaacuteria informaccedilatildeo sobre um ponto para estimar g)

As estimativas de g pelas medidas com comprimento fixo (usando os dados das 5 e das 10 primeiras medidas colhidas) distinguem claramente entre considerar ou natildeo o pecircndulo como um pecircndulo simples

T (s) T∆ (s) L (m) L∆ (m) g (ms2) g∆ (ms2)Aproximando o peso suspenso para um pecircndulo simples

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220

099 0000

991 003611000 00583978 00306983 00580972 00301975 00152

8 Tome-se como exemplo o relatoacuterio nordm 4 Da foacutermula de propagaccedilatildeo de erros aa∆sdot=∆ gg o que eacute satisfeito em todos os relatoacuterios exceto esse onde o valor de ∆g apresentado (023ms2) eacute 10 vezes maior do que deveria ser (Natildeo bastasse isso depois de encontrar a meacutedia 2639 smg = num paraacutegrafo posterior o

relatoacuterio se refere a 2869 smg = [=963+023] como a meacutedia)

10

14 ndash

Considerando o peso suspenso como um pecircndulo fiacutesico

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814 098 0022 981 02279

990 02343

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832 099 0008 981 00890

986 01021

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220 100 0003 980 00445

982 00361Os valores em vermelho indicam as estimativas de g incompatiacuteveis com 978ms2 a estimativa com 5 pontos para o latatildeo considerando o pecircndulo fiacutesico soacute natildeo eacute compatiacutevel porque por motivos de flutuaccedilatildeo o erro padratildeo na estimativa do periacuteodo para o latatildeo eacute menor para 5 pontos do que para 10 e a meacutedia maior

Comparando as estimativas de g das medidas de comprimento variaacutevel com as de comprimento fixo vecirc-se que as uacuteltimas fornecem um resultado mais confiaacutevel e natildeo menos preciso mesmo para uma quantidade natildeo muito grande de medidas Comparando os erros percentuais temos

( )g∆Material 30 pontos 10 pontosPlaacutestico 230 232

Alumiacutenio 0866 0907Latatildeo 0369 0454

Concluindo no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (que eacute o que vem sendo usado recentemente na disciplina F 229) o suporte usado para determinar mais precisamente o ponto de apoio do pecircndulo elimina um erro sistemaacutetico de cerca de 005ms2 na estimativa de g poreacutem a menos que o objetivo principal de estimar g com o pecircndulo seja contribuir para a memorizaccedilatildeo por parte dos alunos de meacutetodos de tratamento estatiacutestico este meacutetodo deveria ser abandonado em favor de calcular a meacutedia e o erro padratildeo do periacuteodo e do centro de massa do pecircndulo e pela propagaccedilatildeo de erros obter a estimativa

4 ndash Fechamento

a) conclusatildeoHaacute muito conhecimento relacionado com o pecircndulo Para chegar agrave redaccedilatildeo final do

guia foi necessaacuterio natildeo apenas passar por vaacuterios mas tambeacutem avaliaacute-los e selecionar quais deveriam ter prioridade para serem apresentados ao aluno de EM O resultado foi um guia que conteacutem ideacuteias relativamente simples (boa parte delas jaacute vista no EM) embora proponha um caminho que talvez possa ser considerado cansativo pelo aluno9

O guia redigido natildeo deveria de forma alguma ser usado em uma uacutenica aula Ele propotildee um trabalho em longo prazo em que o aluno constroacutei em bases soacutelidas a sua compreensatildeo sobre o pecircndulo Quatro aulas (isto eacute quatro dias de aula) uma para cada experimento e mais uma para a teoria satildeo o tempo miacutenimo sugerido para se concluir as atividades do guia

b) bibliografia

9 Natildeo necessariamente isso eacute um problema Jaacute dizia Thomas Edison ldquoUm gecircnio eacute feito de 1 de inspiraccedilatildeo e 99 de transpiraccedilatildeordquo Basta que os alunos estejam motivados para que o guia possa ser seguido sem problemas a menos que se queira concluiacute-lo num intervalo de tempo curto demais para eles processarem toda a informaccedilatildeo com que teratildeo contato

11

14 ndash

[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

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14 ndash

ANEXOS

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14 ndash

Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

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14 ndash

clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

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14 ndash

da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

16

14 ndash

B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

17

14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

18

14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

19

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Para reforccedilar e sedimentar a aprendizagem por descoberta proposta no segundo experimento o primeiro consiste em testar vaacuterias possiacuteveis variaacuteveis para descobrir quais delas satildeo realmente relevantes na determinaccedilatildeo do periacuteodo do pecircndulo (ver o Anexo 1 item B1) e no guia toda a deduccedilatildeo teoacuterica da foacutermula do periacuteodo estaacute entre o segundo e o terceiro experimentos (ver o Anexo 1 item C1)iii) precisatildeo na disciplina F 229

CONCLUSAtildeO Observando a exposiccedilatildeo a seguir eacute notado que o suporte usado fornece uma correccedilatildeo de 005ms2 para o valor meacutedio de g Aleacutem disso observa-se que eacute possiacutevel melhorar o meacutetodo usado atualmente para a mediccedilatildeo de g

A comparaccedilatildeo foi feita com 5 relatoacuterios (todos a que se teve acesso) do experimento do pecircndulo simples 4 entre o 2ordm semestre de 2004 e o 1ordm semestre de 2005 e 1 sem data Todos eles consideraram o comprimento l do fio como a distacircncia L entre o centro de massa e o ponto fixo do pecircndulo (ignorando assim uma das principais fontes de erro conforme foi visto no item (i) acima) e usaram o meacutetodo dos miacutenimos quadrados para estimar o coeficiente de proporcionalidade entre T2 e L (coeficiente g)2(a 2π= ) e a partir dele estimar g Um resumo do que eacute apresentado nesses relatoacuterios eacute dado na tabela abaixo

relatoacuterio nordm nordm de pontos a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)1 10 4195 0083 941 0192 5 407 017 969 043 7 398 0016 987 0044 3 410 001 963 0235 5 412 007 96 02

Para estimar a contribuiccedilatildeo do suporte eacute necessaacuterio analisar os dados colhidos com ele da mesma maneira Feita a mesma anaacutelise para os conjuntos de 5 e 11 pontos de cada material (mencionados no item (ii) acima) os resultados encontrados foram

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 405 00202 976 0048611 pontos 399 00158 988 00391

Alumiacutenio 5 pontos 406 00148 973 0035611 pontos 405 00112 976 00270

Latatildeo 5 pontos 404 00149 977 0035911 pontos 406 00129 973 00309

Comparando-os com os relatoacuterios eacute possiacutevel perceber que em ambos a meacutedia geralmente encontrada estaacute ligeiramente abaixo do valor aceito para g (978ms2) embora nos relatoacuterios essa distacircncia costume ser maior Excluiacutedas as anaacutelises com 10 ou 11 pontos a meacutedia encontrada sem o suporte (nos relatoacuterios) estaacute em torno de 970ms2 enquanto que o uso do suporte possibilita encontrar uma meacutedia em torno de 975ms2 isso significa que com este meacutetodo de anaacutelise a imprecisatildeo na determinaccedilatildeo do ponto de suspensatildeo do pecircndulo gera um erro sistemaacutetico que influencia o 3ordm algarismo significativo da estimativa de g Mas esta natildeo eacute a uacutenica conclusatildeo importante extraiacuteda dessa comparaccedilatildeo

Dos 5 relatoacuterios 3 encontraram estimativas de g incompatiacuteveis com o valor aceito Se a eliminaccedilatildeo do erro sistemaacutetico aproximou a meacutedia desse valor tambeacutem diminuiu as barras de erro encontradas mantendo a mesma quantidade de resultados incompatiacuteveis Isso evidencia a necessidade de levar em conta o fato de que o pecircndulo usado eacute um pecircndulo

9

14 ndash

fiacutesico (e considerar o erro na determinaccedilatildeo do centro de massa) Poreacutem ao se fazer isso o resultado aparentemente piorou

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 411 00395 960 0092011 pontos 410 00353 963 00829

Alumiacutenio 5 pontos 406 00158 973 0037811 pontos 407 00135 970 00321

Latatildeo 5 pontos 402 00173 982 0042311 pontos 405 00139 976 00335

Eliminando o erro de considerar o pecircndulo como um pecircndulo simples a incompatibilidade aumentou de 3 para 4 estimativas e aparentemente ficou maior que a dos relatoacuterios Diz-se ldquoaparentementerdquo por dois motivos primeiro existe a possibilidade de que alguns alunos tenham fraudado os resultados dos seus relatoacuterios8 segundo apenas uma estimativa incompatiacutevel a mais num conjunto de apenas seis pode muito bem ser efeito de flutuaccedilotildees aleatoacuterias Contudo o fato de o nordm de estimativas incompatiacuteveis ter se alterado tatildeo pouco indica uma grande insensibilidade do meacutetodo utilizado para se estimar g com relaccedilatildeo a esse erro (um dos mais importantes)

Aliaacutes estimar g a partir do comportamento do pecircndulo com o meacutetodo dos miacutenimos quadrados eacute um contra-senso Este meacutetodo tem a funccedilatildeo de encontrar empiricamente relaccedilotildees de dependecircncia entre duas variaacuteveis isto eacute estimar relaccedilotildees de dependecircncia a princiacutepio desconhecidas assim por mais exata e precisa que seja a estimativa de a obtida por ele ela natildeo poderia ser utilizada para calcular g Pois se o meacutetodo dos miacutenimos quadrados foi usado eacute porque a lei do periacuteodo do pecircndulo natildeo era conhecida e se era seria mais coerente usar medidas com comprimento fixo para estimar g como foi feito no item (i) acima (jaacute que sabendo a lei soacute eacute necessaacuteria informaccedilatildeo sobre um ponto para estimar g)

As estimativas de g pelas medidas com comprimento fixo (usando os dados das 5 e das 10 primeiras medidas colhidas) distinguem claramente entre considerar ou natildeo o pecircndulo como um pecircndulo simples

T (s) T∆ (s) L (m) L∆ (m) g (ms2) g∆ (ms2)Aproximando o peso suspenso para um pecircndulo simples

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220

099 0000

991 003611000 00583978 00306983 00580972 00301975 00152

8 Tome-se como exemplo o relatoacuterio nordm 4 Da foacutermula de propagaccedilatildeo de erros aa∆sdot=∆ gg o que eacute satisfeito em todos os relatoacuterios exceto esse onde o valor de ∆g apresentado (023ms2) eacute 10 vezes maior do que deveria ser (Natildeo bastasse isso depois de encontrar a meacutedia 2639 smg = num paraacutegrafo posterior o

relatoacuterio se refere a 2869 smg = [=963+023] como a meacutedia)

10

14 ndash

Considerando o peso suspenso como um pecircndulo fiacutesico

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814 098 0022 981 02279

990 02343

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832 099 0008 981 00890

986 01021

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220 100 0003 980 00445

982 00361Os valores em vermelho indicam as estimativas de g incompatiacuteveis com 978ms2 a estimativa com 5 pontos para o latatildeo considerando o pecircndulo fiacutesico soacute natildeo eacute compatiacutevel porque por motivos de flutuaccedilatildeo o erro padratildeo na estimativa do periacuteodo para o latatildeo eacute menor para 5 pontos do que para 10 e a meacutedia maior

Comparando as estimativas de g das medidas de comprimento variaacutevel com as de comprimento fixo vecirc-se que as uacuteltimas fornecem um resultado mais confiaacutevel e natildeo menos preciso mesmo para uma quantidade natildeo muito grande de medidas Comparando os erros percentuais temos

( )g∆Material 30 pontos 10 pontosPlaacutestico 230 232

Alumiacutenio 0866 0907Latatildeo 0369 0454

Concluindo no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (que eacute o que vem sendo usado recentemente na disciplina F 229) o suporte usado para determinar mais precisamente o ponto de apoio do pecircndulo elimina um erro sistemaacutetico de cerca de 005ms2 na estimativa de g poreacutem a menos que o objetivo principal de estimar g com o pecircndulo seja contribuir para a memorizaccedilatildeo por parte dos alunos de meacutetodos de tratamento estatiacutestico este meacutetodo deveria ser abandonado em favor de calcular a meacutedia e o erro padratildeo do periacuteodo e do centro de massa do pecircndulo e pela propagaccedilatildeo de erros obter a estimativa

4 ndash Fechamento

a) conclusatildeoHaacute muito conhecimento relacionado com o pecircndulo Para chegar agrave redaccedilatildeo final do

guia foi necessaacuterio natildeo apenas passar por vaacuterios mas tambeacutem avaliaacute-los e selecionar quais deveriam ter prioridade para serem apresentados ao aluno de EM O resultado foi um guia que conteacutem ideacuteias relativamente simples (boa parte delas jaacute vista no EM) embora proponha um caminho que talvez possa ser considerado cansativo pelo aluno9

O guia redigido natildeo deveria de forma alguma ser usado em uma uacutenica aula Ele propotildee um trabalho em longo prazo em que o aluno constroacutei em bases soacutelidas a sua compreensatildeo sobre o pecircndulo Quatro aulas (isto eacute quatro dias de aula) uma para cada experimento e mais uma para a teoria satildeo o tempo miacutenimo sugerido para se concluir as atividades do guia

b) bibliografia

9 Natildeo necessariamente isso eacute um problema Jaacute dizia Thomas Edison ldquoUm gecircnio eacute feito de 1 de inspiraccedilatildeo e 99 de transpiraccedilatildeordquo Basta que os alunos estejam motivados para que o guia possa ser seguido sem problemas a menos que se queira concluiacute-lo num intervalo de tempo curto demais para eles processarem toda a informaccedilatildeo com que teratildeo contato

11

14 ndash

[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

12

14 ndash

ANEXOS

13

14 ndash

Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

14

14 ndash

clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

15

14 ndash

da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

16

14 ndash

B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

17

14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

18

14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

19

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

fiacutesico (e considerar o erro na determinaccedilatildeo do centro de massa) Poreacutem ao se fazer isso o resultado aparentemente piorou

a (s2m) ∆a (s2m) g (ms2) g∆ (ms2)

Plaacutestico 5 pontos 411 00395 960 0092011 pontos 410 00353 963 00829

Alumiacutenio 5 pontos 406 00158 973 0037811 pontos 407 00135 970 00321

Latatildeo 5 pontos 402 00173 982 0042311 pontos 405 00139 976 00335

Eliminando o erro de considerar o pecircndulo como um pecircndulo simples a incompatibilidade aumentou de 3 para 4 estimativas e aparentemente ficou maior que a dos relatoacuterios Diz-se ldquoaparentementerdquo por dois motivos primeiro existe a possibilidade de que alguns alunos tenham fraudado os resultados dos seus relatoacuterios8 segundo apenas uma estimativa incompatiacutevel a mais num conjunto de apenas seis pode muito bem ser efeito de flutuaccedilotildees aleatoacuterias Contudo o fato de o nordm de estimativas incompatiacuteveis ter se alterado tatildeo pouco indica uma grande insensibilidade do meacutetodo utilizado para se estimar g com relaccedilatildeo a esse erro (um dos mais importantes)

Aliaacutes estimar g a partir do comportamento do pecircndulo com o meacutetodo dos miacutenimos quadrados eacute um contra-senso Este meacutetodo tem a funccedilatildeo de encontrar empiricamente relaccedilotildees de dependecircncia entre duas variaacuteveis isto eacute estimar relaccedilotildees de dependecircncia a princiacutepio desconhecidas assim por mais exata e precisa que seja a estimativa de a obtida por ele ela natildeo poderia ser utilizada para calcular g Pois se o meacutetodo dos miacutenimos quadrados foi usado eacute porque a lei do periacuteodo do pecircndulo natildeo era conhecida e se era seria mais coerente usar medidas com comprimento fixo para estimar g como foi feito no item (i) acima (jaacute que sabendo a lei soacute eacute necessaacuteria informaccedilatildeo sobre um ponto para estimar g)

As estimativas de g pelas medidas com comprimento fixo (usando os dados das 5 e das 10 primeiras medidas colhidas) distinguem claramente entre considerar ou natildeo o pecircndulo como um pecircndulo simples

T (s) T∆ (s) L (m) L∆ (m) g (ms2) g∆ (ms2)Aproximando o peso suspenso para um pecircndulo simples

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220

099 0000

991 003611000 00583978 00306983 00580972 00301975 00152

8 Tome-se como exemplo o relatoacuterio nordm 4 Da foacutermula de propagaccedilatildeo de erros aa∆sdot=∆ gg o que eacute satisfeito em todos os relatoacuterios exceto esse onde o valor de ∆g apresentado (023ms2) eacute 10 vezes maior do que deveria ser (Natildeo bastasse isso depois de encontrar a meacutedia 2639 smg = num paraacutegrafo posterior o

relatoacuterio se refere a 2869 smg = [=963+023] como a meacutedia)

10

14 ndash

Considerando o peso suspenso como um pecircndulo fiacutesico

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814 098 0022 981 02279

990 02343

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832 099 0008 981 00890

986 01021

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220 100 0003 980 00445

982 00361Os valores em vermelho indicam as estimativas de g incompatiacuteveis com 978ms2 a estimativa com 5 pontos para o latatildeo considerando o pecircndulo fiacutesico soacute natildeo eacute compatiacutevel porque por motivos de flutuaccedilatildeo o erro padratildeo na estimativa do periacuteodo para o latatildeo eacute menor para 5 pontos do que para 10 e a meacutedia maior

Comparando as estimativas de g das medidas de comprimento variaacutevel com as de comprimento fixo vecirc-se que as uacuteltimas fornecem um resultado mais confiaacutevel e natildeo menos preciso mesmo para uma quantidade natildeo muito grande de medidas Comparando os erros percentuais temos

( )g∆Material 30 pontos 10 pontosPlaacutestico 230 232

Alumiacutenio 0866 0907Latatildeo 0369 0454

Concluindo no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (que eacute o que vem sendo usado recentemente na disciplina F 229) o suporte usado para determinar mais precisamente o ponto de apoio do pecircndulo elimina um erro sistemaacutetico de cerca de 005ms2 na estimativa de g poreacutem a menos que o objetivo principal de estimar g com o pecircndulo seja contribuir para a memorizaccedilatildeo por parte dos alunos de meacutetodos de tratamento estatiacutestico este meacutetodo deveria ser abandonado em favor de calcular a meacutedia e o erro padratildeo do periacuteodo e do centro de massa do pecircndulo e pela propagaccedilatildeo de erros obter a estimativa

4 ndash Fechamento

a) conclusatildeoHaacute muito conhecimento relacionado com o pecircndulo Para chegar agrave redaccedilatildeo final do

guia foi necessaacuterio natildeo apenas passar por vaacuterios mas tambeacutem avaliaacute-los e selecionar quais deveriam ter prioridade para serem apresentados ao aluno de EM O resultado foi um guia que conteacutem ideacuteias relativamente simples (boa parte delas jaacute vista no EM) embora proponha um caminho que talvez possa ser considerado cansativo pelo aluno9

O guia redigido natildeo deveria de forma alguma ser usado em uma uacutenica aula Ele propotildee um trabalho em longo prazo em que o aluno constroacutei em bases soacutelidas a sua compreensatildeo sobre o pecircndulo Quatro aulas (isto eacute quatro dias de aula) uma para cada experimento e mais uma para a teoria satildeo o tempo miacutenimo sugerido para se concluir as atividades do guia

b) bibliografia

9 Natildeo necessariamente isso eacute um problema Jaacute dizia Thomas Edison ldquoUm gecircnio eacute feito de 1 de inspiraccedilatildeo e 99 de transpiraccedilatildeordquo Basta que os alunos estejam motivados para que o guia possa ser seguido sem problemas a menos que se queira concluiacute-lo num intervalo de tempo curto demais para eles processarem toda a informaccedilatildeo com que teratildeo contato

11

14 ndash

[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

12

14 ndash

ANEXOS

13

14 ndash

Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

14

14 ndash

clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

15

14 ndash

da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

16

14 ndash

B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

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14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

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14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

19

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

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14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

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14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

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14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

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Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

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14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

48

14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Considerando o peso suspenso como um pecircndulo fiacutesico

Plaacutestico 10 pontos 1986 0005125 pontos 1977 000814 098 0022 981 02279

990 02343

Alumiacutenio 10 pontos 1999 0004425 pontos 1994 000832 099 0008 981 00890

986 01021

Latatildeo 10 pontos 2005 0004395 pontos 2002 000220 100 0003 980 00445

982 00361Os valores em vermelho indicam as estimativas de g incompatiacuteveis com 978ms2 a estimativa com 5 pontos para o latatildeo considerando o pecircndulo fiacutesico soacute natildeo eacute compatiacutevel porque por motivos de flutuaccedilatildeo o erro padratildeo na estimativa do periacuteodo para o latatildeo eacute menor para 5 pontos do que para 10 e a meacutedia maior

Comparando as estimativas de g das medidas de comprimento variaacutevel com as de comprimento fixo vecirc-se que as uacuteltimas fornecem um resultado mais confiaacutevel e natildeo menos preciso mesmo para uma quantidade natildeo muito grande de medidas Comparando os erros percentuais temos

( )g∆Material 30 pontos 10 pontosPlaacutestico 230 232

Alumiacutenio 0866 0907Latatildeo 0369 0454

Concluindo no meacutetodo dos miacutenimos quadrados (que eacute o que vem sendo usado recentemente na disciplina F 229) o suporte usado para determinar mais precisamente o ponto de apoio do pecircndulo elimina um erro sistemaacutetico de cerca de 005ms2 na estimativa de g poreacutem a menos que o objetivo principal de estimar g com o pecircndulo seja contribuir para a memorizaccedilatildeo por parte dos alunos de meacutetodos de tratamento estatiacutestico este meacutetodo deveria ser abandonado em favor de calcular a meacutedia e o erro padratildeo do periacuteodo e do centro de massa do pecircndulo e pela propagaccedilatildeo de erros obter a estimativa

4 ndash Fechamento

a) conclusatildeoHaacute muito conhecimento relacionado com o pecircndulo Para chegar agrave redaccedilatildeo final do

guia foi necessaacuterio natildeo apenas passar por vaacuterios mas tambeacutem avaliaacute-los e selecionar quais deveriam ter prioridade para serem apresentados ao aluno de EM O resultado foi um guia que conteacutem ideacuteias relativamente simples (boa parte delas jaacute vista no EM) embora proponha um caminho que talvez possa ser considerado cansativo pelo aluno9

O guia redigido natildeo deveria de forma alguma ser usado em uma uacutenica aula Ele propotildee um trabalho em longo prazo em que o aluno constroacutei em bases soacutelidas a sua compreensatildeo sobre o pecircndulo Quatro aulas (isto eacute quatro dias de aula) uma para cada experimento e mais uma para a teoria satildeo o tempo miacutenimo sugerido para se concluir as atividades do guia

b) bibliografia

9 Natildeo necessariamente isso eacute um problema Jaacute dizia Thomas Edison ldquoUm gecircnio eacute feito de 1 de inspiraccedilatildeo e 99 de transpiraccedilatildeordquo Basta que os alunos estejam motivados para que o guia possa ser seguido sem problemas a menos que se queira concluiacute-lo num intervalo de tempo curto demais para eles processarem toda a informaccedilatildeo com que teratildeo contato

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14 ndash

[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

12

14 ndash

ANEXOS

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14 ndash

Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

14

14 ndash

clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

15

14 ndash

da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

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14 ndash

B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

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14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

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14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

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14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

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14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

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14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

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14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

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14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

[1] Cruz CH B et al F-129 Fiacutesica Experimental I ndash Apecircndices e Complementos (IFGW-UNICAMP1998) pgs 8 e 9 disponiacutevel para download em httpwwwifiunicampbrlebf129dhtm (arquivo F1-ap02rtf)

[2] idem pg 28

12

14 ndash

ANEXOS

13

14 ndash

Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

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clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

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da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

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B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

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Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

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14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

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2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

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i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

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14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

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14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

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como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

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14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

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14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

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14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

ANEXOS

13

14 ndash

Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

14

14 ndash

clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

15

14 ndash

da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

16

14 ndash

B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

17

14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

18

14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

19

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

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14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

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14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

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Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

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d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

48

14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Anexo 1 ndash Guia de Estudos Experimentais do Pecircndulo

O PEcircNDULO ndash GUIA DE ESTUDOS PRAacuteTICOS

A ndash INTRODUCcedilAtildeO

Se vocecirc jaacute brincou num balanccedilo ou jaacute balanccedilou os braccedilos enquanto andava em algum momento da sua vida entatildeo vocecirc jaacute teve experiecircncias com o movimento dos pecircndulos Apesar de este ser um movimento ateacute certo ponto banal a ele estaacute relacionado um importante aspecto da cultura moderna a contagem do tempo

O pecircndulo executa um movimento repetitivo e isso possibilita usaacute-lo como reloacutegio Talvez vocecirc jaacute tenha visto um daqueles antigos reloacutegios de pecircndulo hoje eles natildeo parecem ter nada de especial mas tiveram um papel de destaque no desenvolvimento da contagem do tempo E a maneira como se conta o tempo determina a relaccedilatildeo que se estabelece com ele uma visatildeo de mundo e um modo de vida Assim a evoluccedilatildeo da contagem do tempo influenciou fortemente a formaccedilatildeo da personalidade moderna momo ilustra o texto abaixo (extraiacutedo de [1])

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempoSol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um catavento uma

14

14 ndash

clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

15

14 ndash

da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

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14 ndash

B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

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14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

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14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

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14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

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14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

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14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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14 ndash

clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo

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da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

16

14 ndash

B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

17

14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

18

14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

19

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

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14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

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Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

da jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695) concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de 1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

(Para saber sobre o estaacutegio atual de desenvolvimento dos reloacutegios ver [2])A importacircncia cultural do reloacutegio de pecircndulo estaacute na sua precisatildeo ou seja no ritmo

preciso do movimento do pecircndulo O pecircndulo se move de tal maneira que apoacutes um certo intervalo de tempo o movimento passa a se repetir esse intervalo de tempo eacute o chamado periacuteodo do pecircndulo e eacute dele que nos ocuparemos O caminho que seguiremos poderaacute ser considerado aacuterduo mas eu espero que vocecirc prezado leitor ao final o considere recompensador

16

14 ndash

B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

17

14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

18

14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

19

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

B ndash CONHECENDO O PEcircNDULO EXPERIEcircNCIAS INICIAIS

As duas experiecircncias propostas abaixo tecircm como objetivo principal uma familiarizaccedilatildeo com o pecircnduloTrata-se de uma maneira de se acostumar a medir o periacuteodo ndash que daqui por diante chamaremos de T ndash e de uma tentativa de descobrir como ele se comporta Inicialmente deixaremos a teoria de lado tanto quanto possiacutevel pois sem o contato com o pecircndulo real soacute seraacute possiacutevel (quando muito) compreender o comportamento de um pecircndulo imaginaacuterio

NOTA Para assegurar o processo de descoberta recomenda-se fortemente realizar essas duas experiecircncias em sequumlecircncia e soacute iniciar a leitura da segunda depois de tirar todas as conclusotildees possiacuteveis da primeira Da mesma maneira natildeo seria conveniente iniciar a leitura da teoria do pecircndulo antes de terminar a experiecircncia 2

1 ndash Testando Vaacuterias Variaacuteveisa) objetivo determinar quais caracteriacutesticas do pecircndulo influem no seu periacuteodo e em especial aquela que influencia maisb) material fios de vaacuterios tamanhos (de materiais diferentes ou natildeo) pesos (entenda-se corpos tatildeo pequenos quanto possiacutevel mas bastante densos) de vaacuterias massas alguma coisa para prender o fio cronocircmetro ldquomedidoresrdquo (ver abaixo)c) procedimento

Comeccedilaremos estudando um tipo bastante conhecido de pecircndulo um peso suspenso por um fio E a princiacutepio natildeo sabemos o que determina o seu periacuteodo portanto o primeiro passo eacute supor quais fatores poderiam ser relevantes nisso Assim use a sua imaginaccedilatildeo para preencher a tabela abaixo (natildeo precisa preencher inteira nem se limitar a 10)

Tabela 1 ndash Fatores que podem influenciar TFator nordm Nome Unidade

01020304050607080910

Cada um desses fatores deve poder ser quantificado Isto eacute todos eles poderatildeo ser medidos e entatildeo precisaremos de ldquomedidoresrdquo os instrumentos adequados para medir cada um deles (balanccedila para os pesos reacuteguas para os fios e transferidores para acircngulos soacute para citar alguns exemplos)

Tendo definido quais fatores vocecirc acha que satildeo relevantes para o periacuteodo o proacuteximo passo eacute testaacute-los um a um para cada fator construa um pecircndulo e mantendo constantes todos os outros fatores cronometre o intervalo de tempo em que o pecircndulo completa 10 oscilaccedilotildees para trecircs valores desse fator anote as suas medidas numa tabela como esta

17

14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

18

14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

19

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

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14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

50

14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

52

14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

54

14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Tabela 2 ndash Dados do fator x (Fx)i Fxi 10Ti (s)123

seguindo a regra Fx1ltFx2ltFx3 10Ti eacute o tempo de 10 oscilaccedilotildees completas do pecircndulo ou seja 10 periacuteodos (sugerimos medir o tempo para 10 oscilaccedilotildees para minimizar o erro humano de quem opera o cronocircmetro) De posse desses dados examinaremos a variaccedilatildeo percentual dos fatores e dos periacuteodos medidos coloque num graacutefico os pontos da tabela abaixo

Tabela 3 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatoresx i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 1003

06 12 100 1003

02 12 100 1003

07 12 100 1003

03 12 100 1003

08 12 100 1003

04 12 100 1003

09 12 100 1003

05 12 100 1003

10 12 100 1003

Da maneira como os valores desta tabela foram definidos eles satildeo todos 100 para i=2 por isso no graacutefico todos os fatores teratildeo pelo menos um ponto em comum de trecircs (o ponto [100100]) Assim fica faacutecil comparar as variaccedilotildees relativas do periacuteodo devido a um ou outro fator e portanto a importacircncia de cada um na determinaccedilatildeo do periacuteodo Para estimar qual o fator mais influente basta encontrar aquele que tem proporcionalmente as maiores variaccedilotildees percentuais de T caso haja duacutevidas sobre qual eacute ele basta selecionar os melhores candidatos e apenas para eles tirar mais duas medidas preenchendo a tabela

Tabela 4 ndash Dados do fator x (Fx) (desempate)i Fxi 10Ti (s)12345

seguindo a regra Fx1ltFx4ltFx2ltFx5ltFx3 e fazer um novo graacutefico com base em

18

14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

19

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

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14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

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14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

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14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

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Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

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14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

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14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Tabela 5 ndash Variaccedilotildees percentuais de T em termos das variaccedilotildees percentuais dos fatores (desempate)

x i FxiFx2 () TiT2 () x i FxiFx2 () TiT2 ()01 1

2 100 100345

03 12 100 100345

02 12 100 100345

04 12345

Se ainda houver duacutevidas sobre o fator mais influente compare os seus resultados com os dos seus colegasNOTA Natildeo deixe de registrar tudo o que acontecer durante a experiecircncia em especial os fatos que te chamarem mais a atenccedilatildeo

19

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

39

14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

40

14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

41

14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

42

14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

44

14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

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compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

2 ndash Estudando a Variaacutevel Principala) objetivo determinar a relaccedilatildeo matemaacutetica entre T e o fator mais relevante na sua determinaccedilatildeob) material um fio longo (mais de 18m) um peso de massa grande e tamanho pequeno alguma coisa para prender o fio um cronocircmetro uma fita meacutetrica ou reacutegua uma balanccedilac) procedimento

Da experiecircncia 1 vocecirc provavelmente concluiu que o que mais influencia o periacuteodo do pecircndulo eacute o comprimento do fio (l) aleacutem disso talvez tenha percebido uma pequena influecircncia da massa e que o pecircndulo natildeo atinge grandes inclinaccedilotildees por muito tempo Com certeza vocecirc percebeu que ele oscila em torno de uma posiccedilatildeo de equiliacutebrio onde (geralmente) o fio fica na vertical Por tudo isso aqui estudaremos a influecircncia de l em T nos concentrando no caso muito especial em que o acircngulo do fio com a vertical eacute muito pequenoNOTA Nesta experiecircncia natildeo deixe menos de 1m de fio entre o ponto de suspensatildeo do pecircndulo e o peso e natildeo desloque o peso mais que 1cm da reta (vertical) que daacute a posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Antes de qualquer coisa estudemos o material com o qual vamos construir o pecircndulo meccedila na balanccedila as massas do peso e do fio e use a fita meacutetrica ou reacutegua para medir as dimensotildees do peso e do fio Anote essas medidas pois elas serviratildeo para vocecirc descrever as caracteriacutesticas do seu pecircndulo e diferenciaacute-lo de outros

Vamos supor que a relaccedilatildeo matemaacutetica entre l e T eacute uma equaccedilatildeo de um dos 4 tipos abaixoi) blaT +sdot= (lei linear)ii) nlaT sdot= (lei de potecircncia)iii) blaT 10sdot= (lei exponencial)iv) ( )blaT logsdot= (lei logariacutetmica10)Assim como (i) as trecircs uacuteltimas podem ser vistas como equaccedilotildees de retas contanto que se use as escalas apropriadasii) ( ) ( ) ( )smamlnsT n 11log1log1log sdot+=iii) ( ) ( )salbsT 1log1log minussdot=iv) ( ) ( )mbmlT 1log1log sdotminus=

Para comeccedilar tomemos 5 medidas do intervalo de tempo necessaacuterio para o pecircndulo completar 10 oscilaccedilotildees numa regiatildeo em que l eacute ldquopequenordquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 2101 lele com l variando de 5cm em 5cm)

Tabela 6 ndash Medidas de T em funccedilatildeo de Li l i (cm) 10Ti (s)12345

Com essas medidas calcule os valores de l T log(l 1m) e log(T1m)Tabela 7 ndash Valores de L T log(L1m) e log(T1s)

10 Aqui basta saber que aba b log10 =hArr=

20

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

39

14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

40

14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

41

14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

i l i (m) Ti (s) log(l i1m) log(Ti1s)12345

e com os dados da tabela acima construa 4 graacuteficos T por l T por log(l 1m) log(T1s) por l e log(T1s) por log(l 1m) Em cada graacutefico trace uma reta que (I) passa pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) deixe natildeo mais que dois pontos acima e natildeo mais que dois pontos abaixo dela essas retas indicam a maior proximidade possiacutevel que os valores medidos podem ter da cada uma das 4 leis acima

Mas como distinguir qual lei estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l Observando o que acontece numa regiatildeo ldquodistanterdquo da estudada ateacute agora repita todo o processo para outros 5 pontos numa regiatildeo em que l eacute ldquogranderdquo (sugere-se 5 medidas no intervalo mlm 8161 lele com l variando tambeacutem de 5cm em 5cm) Teremos outros 4 graacuteficos cada um com a sua reta indicando a maior aproximaccedilatildeo que essas novas medidas podem ter de uma das leis

A lei mais proacutexima da relaccedilatildeo verdadeira eacute aquela que produz as retas mais coerentes com os dois conjuntos de medidas isto eacute o par de retas mais semelhantes entre si porque isso representa a menor variaccedilatildeo possiacutevel dos coeficientes da lei que na relaccedilatildeo verdadeira se manteacutem constantes Portanto juntando os dois graacuteficos referentes a cada lei em um e comparando as respectivas retas eacute possiacutevel perceber qual delas estaacute mais proacutexima da verdadeira relaccedilatildeo entre T e l

Uma vez encontrada a lei mais proacutexima quais satildeo os paracircmetros que a aproximam mais de todas as medidas feitas ateacute agora Para encontraacute-los vocecirc teraacute que traccedilar uma uacuteltima reta agora considerando os 10 pontos do graacutefico mais adequado ela deve (I) passar pelo maior nuacutemero possiacutevel de pontos e (II) natildeo deixar mais que 5 pontos acima nem mais que 5 pontos abaixo dela Traccedilada esta reta basta definir os seus coeficientes para encontrar a sua aproximaccedilatildeo da relaccedilatildeo relaccedilatildeo entre T e l

Caso os seus dados natildeo sejam suficientes para distinguir a lei mais proacutexima compare os seus resultados com os dos seus colegas

21

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

39

14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

40

14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

41

14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

C ndash DA PRAacuteTICA Agrave TEORIA

Ateacute aqui vocecirc provavelmente percebeu que para um pecircndulo consistindo de um peso suspenso por um fio de comprimento l o que mais influencia o periacuteodo T eacute justamente l e para o caso em que o acircngulo do fio com a vertical (posiccedilatildeo de equiliacutebrio) eacute muito pequeno a aproximaccedilatildeo

balT =parece razoaacutevel contanto que a esteja entre 15 e 25 e b esteja entre 25 e 35

Agora vocecirc deve estar se perguntando se esta aproximaccedilatildeo eacute a melhor possiacutevel ou entatildeo o por quecirc de o pecircndulo se comportar como ele se comporta Ou talvez vocecirc tenha encontrado aleacutem desta uma outra lei que lhe parece tatildeo razoaacutevel quanto esta Em todos essses casos este eacute o momento ideal para teorizar o pecircndulo

1 ndash A Lei do Periacuteodo do Pecircnduloa) definiccedilatildeo e representaccedilatildeo de pecircndulos

Um pecircndulo eacute um corpo suspenso sustentado num ponto de apoio conforme mostrado na figura abaixo

Figura 1 ndash Exemplo de pecircndulo um violatildeo de massa m suspenso sustentado num ponto de apoio (PA) O centro de massa (CM) estaacute a uma distacircncia L de PA e deslocado de um acircngulo θ da sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Para simplificar o estudo do movimento de um pecircndulo eacute comum representaacute-lo por uma massa puntiforme suspensa por uma haste sem espessura e sem massa

Figura 2 ndash Simplificaccedilatildeo do pecircndulo acima toda a massa m do violatildeo foi condensada em uma partiacutecula que estaacute presa na extremidade de uma haste sem massa e de comprimento L A outra extremidade da haste eacute fixa e ela estaacute deslocada do mesmo θ em relaccedilatildeo ao equiliacutebrio

22

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

O pecircndulo da figura 1 eacute conhecido como ldquopecircndulo fiacutesicordquo e o da figura 2 como ldquopecircndulo simplesrdquo A princiacutepio natildeo eacute difiacutecil encontrar o pecircndulo simples correspondente a um dado pecircndulo fiacutesico a massa puntiforme tem o mesmo valor da massa do corpo e o comprimento L da haste corresponde agrave distacircncia entre o centro de massa do corpo e o seu ponto de apoio

Ao longo desta seccedilatildeo sempre teremos em mente o pecircndulo simples a menos que seja dito o contraacuteriob) forccedilas sobre um pecircndulo

Haacute apenas duas forccedilas sobre a massa de um pecircndulo o peso e a traccedilatildeo (que prende a massa agrave haste)

Figura 3 ndash (a) pecircndulo simples de massa m e comprimento l (b) e forccedilas peso (P) e traccedilatildeo (T) sobre m (Figura extraiacuteda de [3])

O movimento do pecircndulo eacute definido pela resultante dessas duas forccedilas Um diagrama de forccedilas ajuda a comeccedilar a entender o que acontece

Figura 4 ndash Diagrama de forccedilas e sistema de coordenadas o eixo-x eacute paralelo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio (no nosso caso a vertical) e o eixo-y daacute a direccedilatildeo em que m se afasta do equiliacutebrio (alguma direccedilatildeo na horizontal) O peso P

pode ser separado em duas componentes TP

paralela agrave traccedilatildeo T

e RP

a parte restante

perpendicular a T

Os vetores r e θ tecircm ambos moacutedulo 1 r daacute a direccedilatildeo e o sentido em que se encontra m e θ daacute a direccedilatildeo e o sentido em que o acircngulo θ cresce (Note-se que a orientaccedilatildeo tanto de r quanto de θ depende de θ)

Agora haacute uma informaccedilatildeo importante sobre o pecircndulo que deve ser levada em conta a haste natildeo se rompe nem muda de tamanho Por isso

TPT

minus= (C-1)

e o uacutenico movimento possiacutevel eacute a variaccedilatildeo do acircngulo θ Ou seja a partiacutecula de massa m faz um movimento circular devido agrave forccedila resultante

θRRR PPF minus== (C-2)

Essa forccedila tem uma propriedade especial a sua direccedilatildeo eacute sempre paralela e o seu sentido eacute sempre contraacuterio ao deslocamento do pecircndulo Forccedilas desse tipo satildeo conhecidas

23

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

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14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

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Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

como ldquoforccedilas de restauraccedilatildeordquo e um outro exemplo eacute a forccedila que surge num sistema massa-mola

Figura 5 ndash Sistema massa-mola sempre que a mola estaacute contraiacuteda (xlt0) ou distendida (xgt0) ela exerce uma forccedila para restaurar o seu comprimento normal esta forccedila de restauraccedilatildeo atua sobre o bloco fazendo-o buscar a posiccedilatildeo x=0 (Figura extraiacuteda de [4])c) pequenas oscilaccedilotildees

Olhando a figura 4 levando (C-2) em conta e usando um pouco de trigonometria11 percebe-se que a forccedila resultante eacute dada por [5]

θsensdotsdotminus= gmFR (C-3)na direccedilatildeo do deslocamento do pecircndulo Isso eacute um problema pois essa equaccedilatildeo eacute muito difiacutecil de se resolver

No entanto existe uma situaccedilatildeo em que podemos simplificar (C-3) Geometricamente sabe-se que para um acircngulo muito pequeno podemos fazer a seguinte aproximaccedilatildeo12

θθ congsen (C-4)Ou seja contanto que o pecircndulo natildeo se afaste muito da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (e

nesse caso a haste pode ser substituiacuteda por uma corda) a forccedila sobre a partiacutecula de massa m eacute dada por

θsdotsdotminus= gmFR (C-5)na direccedilatildeo de deslocamento da mesma em relaccedilatildeo agrave posiccedilatildeo de equiliacutebrio

Ateacute agora consideramos o deslocamento angular θ da posiccedilatildeo de equiliacutebrio do ponto de vista do deslocamento linear θsdot= Ls a forccedila de restauraccedilatildeo eacute

( ) skLkFR sdotminus=sdotsdotminus= θ (C-6)onde

Lgmk sdot= (C-7)

Esse tipo de forccedila eacute muito comum entre os sistemas fiacutesicos Sistemas governados por essa forccedila satildeo conhecidos como ldquoosciladores harmocircnicosrdquo e executam um movimento conhecido como ldquoMovimento Harmocircnico Simplesrdquo (MHS) d) movimento harmocircnico simples

Para pequenas oscilaccedilotildees um pecircndulo executa um MHS num arco de circunferecircncia geralmente se estuda um sistemas massa-mola que execute um MHS num segmento de reta [4] Na verdade o tipo de curva em que se daacute o movimento natildeo importa para (C-6) mas para fins de simplicidade consideraremos aqui um MHS num segmento de reta13

11 Ver Apecircndice 1 item b12 Ver Apecircndice 1 item c13 Lembre-se que [eq 8] estaacute impliacutecita a ideacuteia de que FR eacute uma forccedila de restauraccedilatildeo e portanto contraacuteria ao deslocamento da partiacuteculaToda a informaccedilatildeo sobre a geometria da trajetoacuteria no caso do pecircndulo estaacute no vetor θ e no caso geral no vetor de moacutedulo 1 que daacute a direccedilatildeo e o sentido do crescimento de s (e que pode depender de s) Em [eq 8] s diz apenas qual foi a distacircncia percorrida desde o ponto de equiliacutebrio

24

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

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14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

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14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Seja um sistema fiacutesico qualquer no qual por alguma razatildeo o movimento da partiacutecula se daacute numa reta e eacute governado por (C-6) Entatildeo nos lembrando do pecircndulo podemos afirmar que1) em s=+s0 e s=ndash s0 o afastamento da posiccedilatildeo de equiliacutebrio (s=0) eacute maacutexima e a velocidade eacute nula (estes satildeo os pontos de retorno da partiacutecula)2) em s=0 a velocidade atinge a sua magnitude maacutexima3) o movimento eacute perioacutedico (ou seja depois de um certo intervalo de tempo ele passa a se repetir)4) da 2ordf Lei de Newton a aceleraccedilatildeo dessa partiacutecula eacute dada por

smka sdotminus= (C-8)

Agora supondo que esse sistema (oscilador harmocircnico) estaacute numa sala e o movimento se daacute na horizontal se o iluminarmos ldquode cimardquo a partiacutecula teraacute uma sombra no chatildeo que teraacute as mesmas caracteriacutesticas citadas acima

Figura 6 ndash Partiacutecula e sua sombra no eixo-s ambas executando MHS Nos pontos s=0 s=+s0 e s=ndash s0 estatildeo indicados os moacutedulos da posiccedilatildeo s e da velocidade v o iacutendice ldquoMrdquo indica que o moacutedulo estaacute com o seu valor maacuteximoOcorre que essa natildeo eacute a uacutenica maneira de se conseguir uma sombra que execute um MHS para satisfazer (C-1) (C-2) e (C-3) basta termos uma outra partiacutecula se movendo com velocidade constante numa curva fechada como a da figura abaixo

Figura 7 ndash Partiacutecula percorrendo uma curva fechada qualquer com uma velocidade de moacutedulo constante Apenas isso jaacute garante (C-1) e (C-3) pois nas extremidades da curva vprime eacute necessariamente vertical (e entatildeo a sombra paacutera) e apoacutes toda a curva ter sido percorrida o movimento da partiacutecula (e da sombra) passa a se repetir Para satisfazer (C-2) basta que a curva seja horizontal em todos os pontos cujas sombras coincidam com s=0 (assim vv prime= o valor maacuteximo que v pode atingir)

Esta segunda partiacutecula estaacute realizando um ldquomovimento curviliacuteeo uniformerdquo (curviliacuteneo por estar confinado a uma curva uniforme por ter uma velocidade constante em moacutedulo) para

25

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

que a sua sombra imite perfeitamente a do oscilador harmocircnico basta encontrarmos uma curva que lhe garanta (agrave sombra) (C-8) em qualquer ponto

Para encontrar essa curva comecemos com a pergunta o que poderia mudar a direccedilatildeo da velocidade de uma partiacutecula sem alterar-lhe o moacutedulo A uacutenica coisa que pode mudar qualquer caracteriacutestica da velocidade eacute a aceleraccedilatildeo (isso decorre da proacutepria definiccedilatildeo de aceleraccedilatildeo [6]) ambas satildeo grandezas vetoriais Mas neste caso a aceleraccedilatildeo deve ter uma propriedade especial ela deve ser SEMPRE perpendicular agrave velocidade14

Figura 8 ndash Velocidade e aceleraccedilatildeo da partiacutecula da figura 7 (perpendiculares) A aceleraccedilatildeo da partiacutecula faz um acircngulo φ com a horizontal o que leva a sombra a ter aceleraccedilatildeo dada por (C-9)

Sabendo que a aceleraccedilatildeo eacute um vetor natildeo eacute difiacutecil perceber que a aceleraccedilatildeo da sombra eacute a projeccedilatildeo desse vetor no chatildeo ou seja

φcosaa prime= (C-9)Isso requer que a partiacutecula tenha uma aceleraccedilatildeo aprime que satisfaccedila

2cosτ

φ sa minus=prime (C-10)

onde τ eacute uma constante com dimensatildeo de tempo Esta condiccedilatildeo eacute satisfeita se a curva for um ciacuterculo

Figura 9 ndash Partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia com velocidade de moacutedulo constante e sua sombra no eixo-s A aceleraccedilatildeo ca da partiacutecula tem moacutedulo constante e sempre aponta para o centro da circunferecircncia ela eacute proporcional e tem a mesma direccedilatildeo da posiccedilatildeo da partiacutecula em relaccedilatildeo ao centro poreacutem ambas tecircm sentidos contraacuterios Substituindo φ por (θminusπ) vecirc-se (C-10)eacute satisfeitaNeste caso para R=s0 temos15

14 Ver Apecircndice 1 item a15 Ver Apecircndice 1 item e

26

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

39

14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

40

14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

41

14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

42

14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

44

14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

rac 2ωminus= ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttsr minusminus= ωω

Tπω 2= (C-11)

Isso significa o seguinte- o MHS eacute a projeccedilatildeo do MCU (Movimento Circular Uniforme) numa reta- assim o movimento da partiacutecula no oscilador harmocircnico tem periacuteodo T e eacute descrito por16

( ) ( )

minus= 002cos ttT

sts π(C-12)

- de (C-8) e (C-11) o periacuteodo do MHS eacutekmT 2 sdot= π (C-13)

e) conclusatildeoDe (C-7) e (C-13) conclui-se que um pecircndulo simples de comprimento L executa

pequenas oscilaccedilotildees com um periacuteodo dado por

gLT 2 sdot= π (C-14)

2 ndash CorreccedilotildeesVoltemos agrave foacutermula que vocecirc encontrou empiricamente

balT =com 5251 lele a e 352 lele b Antes de pensar se a e b concordam com (C-14) ou natildeo repare que os comprimentos NAtildeO SAtildeO os mesmos O l que usamos na experiecircncia 2 eacute a quantidade de fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo (ou seja a distacircncia do corpo suspenso ao ponto de apoio) enquanto que o L ao qual (C-14) se refere eacute a distacircncia do centro de massa ao ponto de apoio (que no caso do pecircndulo estudado nas experiecircncias anteriores corresponde ao ponto de suspensatildeo) Eles soacute se igualariam se o peso fosse um ponto e se a corda natildeo tivesse massa nenhuma se vocecirc encontrou esta lei eacute porque dentro de certos limites o pecircndulo fiacutesico usado nas experiecircncias anteriores pode ser considerado aproximadamente como um pecircndulo simples

Agora que vocecirc sabe que eacute o centro de massa que deve ser considerado use as anotaccedilotildees feitas na experiecircncia 2 sobre a massa e as dimensotildees do peso e do fio para substituir l por L e corrigir os valores encontrados para os coeficientes a e b Estes novos valores se assemelham ao que (C-14) diz

16 Ver Apecircndice 1 item d

27

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

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14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

52

14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

54

14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

D ndash MEDINDO A ACELERACcedilAtildeO GRAVITACIONAL

1 ndash Aceleraccedilatildeo GravitacionalAo estudar os fenocircmenos celestes e os terrestres Newton concluiu que ambos eram

regidos pelas mesmas leis Uma delas eacute aquela conhecida como ldquoLei da Gravitaccedilatildeo Universalrdquo (ou simplesmente ldquoGravidaderdquo) que diz que dois corpos se atraem com uma forccedila diretamente proporcional ao produto das suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distacircncia entre eles Em termos matemaacuteticos isso quer dizer cada um deles estaraacute sujeito a uma forccedila que o move em direccedilatildeo ao outro com uma intensidade dada por

221

dmmGF sdot

sdot= (D-1)

onde m1 e m2 satildeo as massas dos corpos (chamados de corpo 1 e corpo 2) d eacute a distacircncia entre eles (na verdade entre os centros de massa de cada um) e G eacute a constante de proporcionalidade

A Gravidade eacute responsaacutevel por vaacuterios fenocircmenos desde o fato de uma cadeira permanecer parada no chatildeo ateacute o movimento de corpos celestes como planetas cometas ou estrelas

Na nossa vida diaacuteria a Gravidade age da seguinte forma estamos nas vizinhanccedilas de um corpo de massa muito grande ndash a Terra ndash e a nossa distacircncia em relaccedilatildeo a ele (aquilo a que geralmente chamamos de ldquoalturardquo ou ldquoaltituderdquo) varia muito pouco Nessas condiccedilotildees todos noacutes corpos de massa pequena estamos sujeitos a forccedilas que nos puxam em direccedilatildeo agrave Terra (ldquopara baixordquo) e que variam muito pouco em intensidade Chamamos esse tipo de forccedila de ldquopesordquo a intensidade do peso eacute dada por

gmP sdot= (D-2)onde m eacute a massa do corpo sobre o qual a Terra e g eacute o paracircmetro que conteacutem as informaccedilotildees sobre G a Terra e a distacircncia (aproximada) do corpo ao centro de massa da Terra O paracircmetro g eacute conhecido como ldquoaceleraccedilatildeo gravitacionalrdquo da Terra e conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria ao entendimento dos fenocircmenos relacionados agrave Gravidade que estatildeo presentes na nossa vida diaacuteria

Um desses fenocircmenos como vimos eacute o movimento dos pecircndulos (ver figura 3) De (C-14) temos que

( ) 222

TLg sdot= π (D-3)

Lembrando da experiecircncia 2 (corrigida) o coeficiente a que vocecirc encontrou se relaciona com g por

ga π2=A partir daiacute que estimativa vocecirc pode dar para o valor de gEmpiricamente os valores de g medidos em alguns pontos satildeo [8]

Localizaccedilatildeo g aproximado (ms2)equador 978

poacutelos 98310km de altitude 978300km de altitude 880

10 000km de altitude 194

28

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

40

14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Sabendo que o pico mais alto da Terra o do monte Everest tem menos de 89km de altitude eacute possiacutevel perceber o quanto as variaccedilotildees de g satildeo pequenas no nosso dia-a-dia Mas como essas medidas foram obtidas

Um meio para obtecirc-las eacute justamente (D-3) O valor de g que vocecirc encontrou a partir do a obtido na experiecircncia 2 (corrigida) pode ser encarado como uma estimativa inicial e sem a necessidade de estar muito proacutexima do verdadeiro valor de g pois ela foi calculada a partir de um procedimento que tinha como objetivo apenas avaliar o comportamento do pecircndulo Agora que sabemos como ele se comporta podemos usar essa informaccedilatildeo para estimar g com uma precisatildeo maior

2 ndash Usando O Pecircndulo para Encontrar A Aceleraccedilatildeo Gravitacional na sua Cidadea) material o mesmo da experiecircncia anteriorb) procedimento

Assim como na experiecircncia 2 comeccedilaremos tomando nota das dimensotildees e das massas do peso e do fio utilizados Em seguida monta-se o pecircndulo e mede-se com o maacuteximo cuidado possiacutevel o comprimento l do fio que liga o peso ao ponto de suspensatildeo Todas essas medidas preliminares seratildeo usadas na determinaccedilatildeo do centro de massa do pecircndulo fiacutesico

Desta vez manteremos l constante (sugerimos l=1m para facilitar o caacutelculo do centro de massa) e nos concentraremos em medir T 17 E aqui eacute preciso estar atento agrave imprevisibilidade da vida devido a variaccedilotildees da temperatura ambiente (que por dilataccedilatildeo ou contraccedilatildeo teacutermica alteram as caracteriacutesticas do pecircndulo) falha humana ao operar o cronocircmetro correntes de ar inesperadas entre outros fatores fora do nosso controle e da nossa capacidade de previsatildeo dificilmente duas mediccedilotildees de T encontraratildeo valores exatamente iguais Os valores medidos estaratildeo distribuiacutedos em torno do valor real de T mas quanto mais medidas tivermos mais chances teremos de eliminar essas flutuaccedilotildees aleatoacuterias Por isso eacute importante tirar o maior nuacutemero possiacutevel de medidas

Como de costume meccedila o tempo equivalente a 10 periacuteodos (se natildeo para eliminar completamente a falha humana ao menos para minimizaacute-la)

Tabela 8 ndash Medidas de Ti 10Ti (s) i 10Ti (s) i 10Ti (s)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

Tendo calculado L a partir de l e das medidas feitas antes de se montar o pecircndulo para cada valor medido para T (D-3) forneceraacute um valor para g

17 Lembrar de natildeo ultrapassar 1cm entre o peso e a reta vertical da posiccedilatildeo de equiliacutebrio e de deixar pelo menos 1m de fio no pecircndulo pois soacute temos certeza do comportamento do pecircndulo para acircngulos pequenos

29

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Tabela 9 ndash Medidas de gi gi (ms2) i gi (ms2) i gi (ms2)

01 11 2102 12 2203 13 2304 14 2405 15 2506 16 2607 17 2708 18 2809 19 2910 20 30

A partir desses valores podemos tirar uma primeira estimativa para o verdadeiro valor de g a meacutedia deles

Ngi

g sum= (D-4)

onde N eacute o nuacutemero de valores gi que temos e o siacutembolo Σ indica que estamos somando todos eles Ainda pode haver um desvio entre o verdadeiro valor de g e esta estimativa poreacutem a Estatiacutestica diz que muito provavelmente o moacutedulo desse desvio eacute menor ou igual a18

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig (D-5)

A quantidade ∆g eacute chamada de ldquodesvio padratildeordquo Assim a nossa estimativa final de g NAtildeO eacute um nuacutemero mas um intervalo

( )[ ]100100

ggggg ∆plusmn=∆plusmn= (D-6)

onde

( )ggg ∆sdot=∆ 100 (D-7)

Se o valor apresentado em [8] para o lugar mais proacuteximo da sua cidade estiver dentro do intervalo definido em (D-6) as duas estimativas (a sua e a de [8]) satildeo compatiacuteveis (no caso o valor de [8] poderia ser o valor real de g) se o valor de ∆g() for pequeno a precisatildeo da sua estimativa foi boa Uma boa estimativa possui essas duas caracteriacutesticas (compatibilidade com as estimativas anteriores e precisatildeo) se vocecirc natildeo estiver satisfeito com a sua estimativa inclua os dados de alguns colegas nos caacutelculos a fim de eliminar mais os efeitos das flutuaccedilotildees aleatoacuterias

3 ndash Influecircncias na Medida de gListamos aqui alguns fatores que podem ter interferido na sua estimativa de g

a) incerteza nas massas envolvidasApesar de o periacuteodo do pecircndulo simples natildeo depender da sua massa o L do pecircndulo

composto usado depende das massas do fio e do peso Apesar de temos medido essas

18 Ver Apecircndice 2

30

14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

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14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

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14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

49

14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

52

14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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14 ndash

massas na balanccedila temos uma incerteza na medida de cada uma que eacute igual agrave escala da balanccedila por exemplo se a balanccedila fornece valores de massa de 01g em 01g a incerteza em qualquer massa medida (ou o desvio padratildeo de cada massa) eacute 01g Essa incerteza foi desconsiderada nos nossos caacutelculosb) rotaccedilatildeo da Terra

A Terra gira em torno de seu eixo e isso gera uma aceleraccedilatildeo centriacutefuga que se opotildee agrave aceleraccedilatildeo gravitacional Este efeito diminui com a latitude e eacute responsaacutevel por exemplo pelo achatamento dos poacutelos da Terra De fato quando o nosso planeta estava em formaccedilatildeo a sua distribuiccedilatildeo de massa foi moldada pela Gravidade e pela forccedila centriacutefuga de modo que hoje a soma (vetorial) dessas duas forccedilas aponta ldquopara baixordquo em qualquer ponto da Terra Assim o valor encontrado de g eacute na verdade a aceleraccedilatildeo correspondente agrave resultante dessas duas forccedilas e eacute exatamente essa a aceleraccedilatildeo relevante no nosso dia-a-dia Para se ter uma ideacuteia da influecircncia da aceleraccedilatildeo centriacutefuga sabendo que no equador a Terra percorre 40000km em 24h e o seu raio eacute 20000kmπ a teoria do Movimento Circular Uniforme19 nos diz que a aceleraccedilatildeo centriacutefuga (que eacute o negativo da aceleraccedilatildeo centriacutepeta) tem um moacutedulo de aproximadamente 003ms2c) estrutura geoloacutegica

Um preacutedio que esteja proacuteximo do peso do pecircndulo tambeacutem exerce Gravidade sobre ele natildeo teria isso interferido no valor de g que vocecirc mediu Na verdade os geoacutelogos usam esse tipo de princiacutepio para explorar a estrutura geoloacutegica de regiotildees que lhes interessam e um dos possiacuteveis meacutetodos para essa exploraccedilatildeo consiste justamente no estudo do periacuteodo de pecircndulos20 Poreacutem influecircncias desse tipo quase sempre satildeo menores que 00001 do valor de g geralmente usado para outros propoacutesitos (98ms2) Assim esse fator tem um papel despreziacutevel no nosso caso se comparado com as outras fontes de erro (que como vocecirc deve ter visto podem gerar desvios de 1 ou ateacute mais)

Esta lista estaacute longe de ser completa mas evidencia alguns efeitos fiacutesicos interessantes que se relacionam ao movimento do pecircndulo real

19 Ver Apecircndice 1 item e20 Ver Apecircndice 3

31

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

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14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

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14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

E ndash CONCLUSOtildeES

Comeccedilou-se quase sem conhecimento algum a respeito do pecircndulo e no decorrer do caminho compreendeu-se o seu comportamento e utilizou-se esse novo conhecimento para se obter outro a aceleraccedilatildeo gravitacional g A compatibilidade entre o valor de g medido com o pecircndulo e o valor usualmente aceito reforccedila a validade da foacutermula do periacuteodo T do pecircndulo

Todo esse processo pode servir de exemplo do desenvolvimento cientiacutefico comeccedila-se com um fenocircmeno ainda inexplorado realiza-se experiecircncias (relativamente) simples para se familiarizar com o seu comportamento geral elabora-se uma teoria baseada em argumentos que pareccedilam coerentes e coloca-se a teoria agrave prova em experimentos mais complexos e minuciosos (e que talvez relacionem o fenocircmeno em exploraccedilatildeo com algum outro) Assim cria-se e sedimenta-se conhecimento novo embora ainda haja perguntas a serem respondidas soacute para citar um exemplo seraacute que a uacutenica influecircncia da rotaccedilatildeo da Terra no movimento do pecircndulo estudado nas trecircs experiecircncias realizadas se resume apenas a atenuar a aceleraccedilatildeo da gravidade e alterar T

Mais do que simplesmente propor um estudo sobre o pecircndulo este guia foi uma tentativa de propor um estudo sobre a proacutepria formaccedilatildeo do conhecimento humano Esperamos que vocecirc prezado leitor tenha feito um bom proveito de todas as ideacuteias aqui contidas

F ndash BIBLIOGRAFIA[1] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[2] httpgeocitiesyahoocombrastronalsrelogios_atomicoshtm[3] httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm[4] httpeducarscuspbrlicenciatura2002massamolamassamolahtml[5] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem06[6] GREF (Grupo de Reelaboraccedilatildeo do Ensino de Fiacutesica) ldquoLeituras em Fiacutesica

Mecacircnicardquo bloco 2 pg 70 disponiacutevel para download em httpaxpfep1ifuspbr~grefmecanicahtm

[7] httpwwwufsmbrgefMhshtmitem01[8] httpgeocitiesyahoocombrgalileon1quedaqueda_livrehtm

32

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

39

14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

40

14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

41

14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

42

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

G ndash APEcircNDICES

APEcircNDICE 1 ndash Trigonometria e Movimento Circular UniformeDiscutimos aqui alguns toacutepicos mencionados no estudo do pecircndulo e que estatildeo

relacionados com trigonometria Assim um conhecimento baacutesico desse tema eacute necessaacuterio para seguir a leituraa) como variar a velocidade de um corpo sem alterar o seu moacutedulo

A velocidade de um corpo eacute o paracircmetro que se usa para descrever para onde este corpo estaacute indo e com que rapidez ele vai Natildeo basta sabermos apenas quatildeo veloz eacute um corpo para sabermos a sua velocidade precisamos tambeacutem saber em qual direccedilatildeo ele se move e dentro dessa direccedilatildeo em qual sentido Por isso a velocidade eacute uma grandeza vetorial [1]

Foi dito que uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade eacute a uacutenica forma de alterar a sua direccedilatildeo sem mudar o seu moacutedulo Agora provaremos esta afirmaccedilatildeo

A aceleraccedilatildeo tambeacutem eacute um vetor dado por

tva

∆∆=

[eq 1rsquo]

Comeccedilaremos estudando o comportamento de v∆ Suponhamos que um corpo devido a uma aceleraccedilatildeo qualquer ao longo do tempo

teve a sua velocidade alterada de iv para fv com vvv fi == | as velocidades inicial e

final estatildeo mostradas na figura 1rsquo juntamente com a variaccedilatildeo v∆

Figura 1rsquo ndash Velocidades inicial e final e variaccedilatildeo da velocidade Como o moacutedulo da velocidade natildeo se alterou os trecircs vetores formam um triacircngulo isoacutesceles e por isso o acircngulo de v∆ com as duas velocidades eacute igual

As trecircs velocidades ( iv fv e v∆ ) formam um triacircngulo isoacutesceles como a soma de todos os acircngulos internos de um triacircngulo eacute sempre 180ordm na notaccedilatildeo da figura 1rsquob o acircngulo β entre

iv e v∆ eacute dado por

2180 αβ minusdeg= [eq 2rsquo]

Quanto menor for α mais proacuteximo de 90ordm seraacute β e mais proacuteximo v∆ estaraacute de ser perpendicular a iv e fv Agora se pensarmos numa aceleraccedilatildeo que NUNCA altere o moacutedulo da velocidade [eq 1rsquo] deve ser vaacutelida para ∆trsquos muito pequenos pequenos o suficiente para que α seja tatildeo pequeno quanto se queira ainda que natildeo-nulo ou seja vaacutelida para α rsquos tatildeo pequenos que seja impossiacutevel notar qualquer diferenccedila entre β e 90ordm Assim uma aceleraccedilatildeo que NUNCA altera o moacutedulo da velocidade mas muda a sua direccedilatildeo soacute permite variaccedilotildees perpendiculares agrave mesma Logo a UacuteNICA aceleraccedilatildeo que nunca varia o moacutedulo da velocidade eacute SEMPRE perpendicular a ela

33

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

39

14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

40

14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

b) seno co-seno e o ciacuterculo trigonomeacutetricoldquoSenordquo e ldquoco-senordquo satildeo dois conceitos que foram inicialmente definidos a partir das

relaccedilotildees geomeacutetricas no triacircngulo retacircngulo Num triacircngulo retacircngulo o lado oposto ao acircngulo reto eacute chamado de ldquohipotenusardquo e os outros dois satildeo chamados de ldquocatetosrdquo Cada um dos outros dois acircngulos eacute formado pela hipotenusa e um dos catetos conhecido como ldquocateto adjacenterdquo o cateto restante eacute conhecido como ldquocateto opostordquo

Figura 2rsquo ndash Exemplo de triacircngulo retacircngulo A hipotenusa estaacute simbolizada por h o cateto oposto ao acircngulo α por cO e o adjacente por cAPara o acircngulo α (0lt α lt90ordm) define-se [2]

hcsen O=α

hcA=αcos [eq 3rsquo]

Com o tempo houve a necessidade de se estender esses conceitos para acircngulos maiores que 90ordm Para isso foi criado o ldquociacuterculo trigonomeacutetricordquo [3]

Figura 3rsquo ndash O ciacuterculo trigonomeacutetrico Dado um acircngulo qualquer obtemos o seu co-seno pela projeccedilatildeo do ponto P no eixo horizontal e o seu seno pela projeccedilatildeo no vertical Na figura 0ltθ lt90ordmCom ele cosθ e senθ passaram a ser vistos como as projeccedilotildees do ponto P nos eixos horizontal e vertical respectivamente (0ltθ lt360ordm) Aleacutem disso dessa associaccedilatildeo entre acircngulos e ciacuterculo surgiu uma nova unidade de medida de acircngulos o ldquoradianordquo Se chamarmos o ponto correspondente a θ =0 de A um radiano (1rad) eacute o acircngulo correspondente ao ponto B que pode ser ligado a A por um segmento de arco AB=1

34

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

39

14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

40

14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

41

14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

42

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Figura 4rsquo ndash O acircngulo correspondente a um radianoDaiacute segue que

2πrad=360ordm [eq 4rsquo]Medir acircngulos em radianos eacute tatildeo comum que quando isso eacute feito geralmente se

omite a unidade assim dizemos que a ideacuteia do ciacuterculo trigonomeacutetrico estendeu os conceitos de ldquosenordquo e ldquoco-senordquo para 0ltθ lt2π Se quisermos pensar em acircngulos maiores basta notar que em θ =2π os valores do seno e do co-seno coincidem com os de α =0 e a partir daiacute tudo comeccedila a se repetir estendendo esse raciociacutenio tambeacutem para α lt0 podemos pensar em seno e co-seno para qualquer valor de αc) a aproximaccedilatildeo θθ congsen

Demonstraremos agora a validade da aproximaccedilatildeo

11 congrArrltltθ

θθ sen[eq 5rsquo]

usada no estudo do pecircndulo e em vaacuterias outras situaccedilotildees Do ciacuterculo trigonomeacutetrico segue que para 20 πθ lele podemos colocar o arco correspondente ao acircngulo θ dentro de um triacircngulo retacircngulo de catetos (senθ) e (1-cosθ)

(a) (b) (c)Figura 5rsquo ndash (a) Acircngulo θ no ciacuterculo trigonomeacutetrico (b) Ampliaccedilatildeo de (a) a linha vermelha eacute o segmento de reta que liga as duas extremidades do arco θ (c) Triacircngulo retacircngulo formado pelas linhas tracejadas e pela linha vermelha contendo o arco θ

Na figura 5rsquoc percebe-se trecircs caminhos diferentes entre os pontos A e B a hipotenusa do triacircngulo o arco correspondente ao acircngulo e os dois catetos Visualmente percebe-se que para θgt0 o arco eacute maior que a hipotenusa (e portanto que qualquer cateto sozinho) mas tambeacutem eacute menor que a soma dos dois catetos Assim

θθθθ cos1minus+lele sensen [eq 6rsquo]onde o igual eacute para o caso θ=0 Agora para 210 πθ ltltltlt temos

1cos11cos congrArrcongminus+rArrcongθ

θθθθθ sensensen

que eacute o que queriacuteamos demonstrar

35

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

39

14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

40

14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

41

14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

42

14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

44

14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

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14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

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Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

d) funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicasVoltando ao seno e ao co-seno jaacute sabemos como obtecirc-los para qualquer acircngulo

inclusive acircngulos negativos ou maiores que uma volta inteira Suponhamos agora que este acircngulo possa de alguma maneira variar para cada um deles temos apenas um seno e apenas um co-seno Portanto temos duas funccedilotildees

( ) θθ senf = ( ) θθ cos=gEstas funccedilotildees juntamente com outras satildeo chamadas ldquofunccedilotildees trigonomeacutetricasrdquo [2] pois surgem de conceitos da trigonometria (Estas duas funccedilotildees satildeo as funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas pois satildeo as mais simples e todas as outras satildeo obtidas a partir delas) Todas as funccedilotildees trigonomeacutetricas tecircm uma propriedade importante elas satildeo perioacutedicas isto eacute existe um intervalo P (conhecido como ldquoperiacuteodordquo) a partir do qual elas passam a se repetir

( ) ( )xPxf =+No caso das funccedilotildees seno e co-seno o periacuteodo eacute 2π

Figura 6rsquo ndash Graacutefico da funccedilatildeo f(θ)=senθ Para reforccedilar o fato de que o periacuteodo desta funccedilatildeo eacute 2π colocamos θ em unidades de π rad Assim por exemplo -1 no eixo horizontal corresponde ao acircngulo de ndashπ rad e +3 a 3π rade) o movimento circular uniforme

O MCU consiste em uma partiacutecula percorrendo uma circunferecircncia de raio R com uma velocidade de moacutedulo constante v [4]

Figura 7rsquo ndash Movimento Circular Uniforme a partiacutecula descreve uma circunferecircncia na sua trajetoacuteria Para isso a sua velocidade deve ter sempre o mesmo moacutedulo e ser sempre tangente agrave circunferecircncia ou seja ela deve ter a sua direccedilatildeo (e apenas a direccedilatildeo) variando sempre

Trata-se de um movimento bi-dimensional e por isso podemos decompocirc-lo em duas coordenadas x(t) e y(t) Como R se manteacutem constante apenas o acircngulo θ em relaccedilatildeo ao eixo x varia e entatildeo temos

( ) ( ) ( )( )tytxtr = ( ) ( )tsenRtx θsdot= ( ) ( )tRty θcossdot= [eq 7rsquo]

Agora

36

14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

37

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

38

14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

39

14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

40

14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

41

14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

42

14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

44

14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

45

14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

46

14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

47

14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

48

14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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14 ndash

cteRv

ttR

tsv ==

∆∆equivrArr

∆∆=

∆∆= θωθ

[eq 8rsquo]

onde ω eacute conhecida como ldquovelocidade angularrdquo ou seja se θ(t0)=0 temos( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( )000 cos ttsenttRtrttt minusminus=rArrminus= ωωωθ

[eq 9rsquo]Como o MCU eacute composto pelas funccedilotildees trigonomeacutetricas baacutesicas ele eacute perioacutedico no

periacuteodo T a partiacutecula percorre todo o periacutemetro 2πR do ciacuterculo Assim

TTRv πωπ 22 =rArr= [eq 10rsquo]

Mas como jaacute vimos se o moacutedulo da velocidade se manteacutem constante isso se deve a uma aceleraccedilatildeo sempre perpendicular agrave velocidade no caso do MCU essa aceleraccedilatildeo eacute chamada de ldquoaceleraccedilatildeo centriacutepetardquo e estaacute sempre orientada para o centro da circunferecircncia21

Figura 8rsquo ndash Velocidade no MCU aceleraccedilatildeo centriacutepeta e a forccedila que a gera e manteacutem o movimento (forccedila centriacutepeta) Para que a velocidade mude de direccedilatildeo sem alteraccedilotildees no moacutedulo a aceleraccedilatildeo deve ser perpendicular agrave velocidade para que a trajetoacuteria da partiacutecula seja uma circunferecircncia a aceleraccedilatildeo deve apontar sempre para o centro e ter o moacutedulo constante (Figura extraiacuteda de [5])Para encontrar o seu moacutedulo vejamos o comportamento da partiacutecula num intervalo ∆t ela vai do ponto A ao B separados por um arco de comprimento tv∆ e pelo segmento de reta AB e a velocidade muda de Av para Bv

Figura 9rsquo ndash (A) A partiacutecula vai de do ponto A ao B separados por um arco de comprimento R∆Θ e a sua velocidade muda de AV

para BV

(B) Triacircngulo formado por AV

BV

e a variaccedilatildeo da velocidade V

∆ (C)

21 Se esta uacuteltima afirmaccedilatildeo natildeo parece oacutebvia imagine algueacutem rodando na horizontal uma pedra amarrada num barbante A pedra descreve uma circunferecircncia e soacute natildeo escapa por causa da traccedilatildeo no barbante que a puxa para dentro da circunferecircncia Neste exemplo a traccedilatildeo corresponde agrave forccedila centriacutepeta e eacute a forccedila resultante e a aceleraccedilatildeo centriacutepeta eacute paralela a ela

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14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

52

14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

54

14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Triacircngulo formado pelo centro da circunferecircncia e os pontos A e B o arco percorrido tem comprimento V∆t (Figura extraiacuteda de [5])

Porque os triacircngulos das figuras 9rsquoB e 9rsquoC satildeo isoacutesceles e tecircm o mesmo acircngulo ∆Θ entre os seus lados iguais temos que

Rv

ABv =∆

[eq 11rsquo]

Mas ( )22 ∆Θ= RsenAB por isso para ∆Θltlt1 [eq 5rsquo] nos daacute

tvv

RvtvAB

∆∆congrArr∆cong [eq 12rsquo]

e do moacutedulo de [eq 1rsquo]

Rvac

2

= [eq 13rsquo]

onde o iacutendice ldquocrdquo indica que esta eacute a aceleraccedilatildeo centriacutepeta do MCU Vetorialmente( )trac 2ωminus= [eq 14rsquo]

f) referecircncias[1] httpservlabfisunbbrmatdid2_1999Marlon-Eduardomruhtm[2] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigon1mod114htmtrig10[3] httppessoalsercomtelcombrmatematicatrigonomtrigo02htm [4] httpwwwmundofisicojoinvilleudescbrPreVestibular2005-1mod1node20html[5] httpeducarscuspbrfisicacircteohtml

APEcircNDICE 2 ndash Sobre O Desvio entre Os Valores Real e Estimado de Uma Quantidade Fiacutesica

Ao tentarmos medir g nos deparamos com uma dificuldade a existecircncia de influecircncias externas que alteram o valor medido de forma imprevisiacutevel e das quais natildeo podemos nos livrar completamente Essas alteraccedilotildees satildeo aleatoacuterias e por isso podemos tomar como uma boa estimativa do valor real a meacutedia entre vaacuterios valores medidos22 Poreacutem essa estimativa dificilmente eacute o valor real haacute um desvio entre os dois Por isso fomos obrigados a procurar natildeo o verdadeiro valor de g mas um intervalo que (com alguma seguranccedila poderiacuteamos afirmar que) o incluiacutesse e para determinar esse intervalo tivemos que usar o desvio padratildeo definido em (D-5)

Embora (D-5) seja deduzida atraveacutes de foacutermulas estatiacutesticas eacute possiacutevel constatarmos que essa foacutermula eacute razoaacutevel Para isso comecemos pensando num caso em que soacute tiveacutessemos duas medidas a estimativa para o valor real eacute a meacutedia entre elas e queremos estimar o desvio entre a estimativa e o valor real a primeira coisa em que poderiacuteamos pensar seria calcular a metade da soma dos desvios em relaccedilatildeo agrave meacutedia

( ) ( )2

212

21 ggggggg minus+minus=+=∆ δδ

poreacutem pela proacutepria definiccedilatildeo de g obteriacuteamos zero Nesta primeira tentativa vecirc-se claramente o problema de como somar os desvios

22 Pois quanto maior o nuacutemero de medidas feitas sob ldquoas mesmasrdquo condiccedilotildees maiores seratildeo as compensaccedilotildees entre as influecircncias que aumentam e as que diminuem o resultado de cada medida para o caso ideal de infinitas medidas essas influecircncias se compensam totalmente e a meacutedia corresponde exatamente ao valor real

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

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14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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14 ndash

Para resolver este problema voltemos ao caraacuteter imprevisiacutevel das medidas se as influecircncias sobre elas satildeo aleatoacuterias o desvio de cada uma delas em relaccedilatildeo agrave meacutedia tambeacutem eacute e se os dois desvios satildeo aleatoacuterios eles satildeo independentes entre si Se focircssemos representar isso geometricamente teriacuteamos dois vetores perpendiculares

pois assim a direccedilatildeo para a qual um aponta natildeo tem relaccedilatildeo nenhuma com a direccedilatildeo do outro23 Isso significa que a forma correta de somar os desvios no nosso caso de duas medidas eacute o Teorema de Pitaacutegoras( ) ( ) ( ) 222 21 ggg δδδ +=Entatildeo uma estimativa mais razoaacutevel para o desvio seria

( ) ( )2

2122

ggggg minus+minus=∆

no caso de duas medidas e

( )N

ggig sum minus

=∆2

no caso de N medidas jaacute que uma grande quantidade de medidas deve contribuir para diminuir o desvio

Mas entatildeo um problema mais sutil se mostra para o caso de uma medida apenas a meacutedia seria a proacutepria medida e a estimativa do desvio novamente zero E isso precisamente quando natildeo eacute possiacutevel dar estimativa nenhuma para o desvio Para contornar essa dificuldade assume-se como estimativa do desvio a quantidade

( )1

2

minusminus

=∆ sumN

ggig

que eacute o desvio padratildeo apresentado em (D-5)Referecircncias

APEcircNDICE 3 ndash Gravidade e GeologiaO texto que segue eacute uma traduccedilatildeo do conjunto de textos apresentados nas

referecircncias [1-8]a) traduccedilatildeo

23 Este eacute provavelmente o argumento mais difiacutecil de se aceitar nesta ldquodeduccedilatildeordquo Para compreendecirc-lo imagine o caso em que os vetores natildeo satildeo perpendiculares entatildeo o vetor correspondente a δs2 poderia ser representado como a soma do vetor correspondente a δs1 com outro perpendicular a δs1 Assim δs2 e δs1 natildeo seriam completamente independentes a uacutenica maneira de isso acontecer portanto eacute com vetores perpendiculares entre si

39

14 ndash

Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

41

14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

42

14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

46

14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

47

14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

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14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

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14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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Como a aceleraccedilatildeo gravitacional g estaacute relacionada agrave geologia

Densidade eacute definida como massa por a unidade de volume Por exemplo se noacutes tiveacutessemos que calcular a densidade de uma sala cheia de pessoas a densidade seria dada pelo nuacutemero meacutedio de pessoas por unidade de volume (por exemplo por o peacute cuacutebico) e teria a unidade de pessoas por o peacute cuacutebico Quanto mais pessoas na sala mais proacuteximas elas estatildeo umas das outras Assim noacutes diriacuteamos que o quarto estaacute com uma densidade maior de pessoas As unidades usadas tipicamente para descrever a densidade das substacircncias eacute gramas por o centiacutemetro cuacutebico (gcm^3) massa por a unidade de volume Relacionando a nossa analogia do quarto agraves substacircncias noacutes podemos usar os pontos de massa descritos mais cedo como usamos as pessoas

Considere um exemplo geoloacutegico simples de um corpo de mineacuterio enterrado no solo Noacutes esperariacuteamos a densidade do corpo de mineacuterio d2 ser maior do que a densidade do solo circunvizinho d1

A densidade do material pode ser pensada como de um nuacutemero que quantifica quantos pontos de massa por a unidade de volume eacute necessaacuterio se reunir para representar o material assim como o nuacutemero de pessoas por o peacute cuacutebico no exemplo dado acima descrevia quatildeo lotado uma certa sala era Assim para representar um corpo de mineacuterio de grande densidade noacutes precisamos de mais pontos de massa por unidade de volume do que para o solo de uma densidade mais baixa

Nesta discussatildeo noacutes supomos que todos os pontos de massa tecircm massa igual

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Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

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14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

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14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

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14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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14 ndash

Agora vamos descrever qualitativamente a aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada por uma esfera que eacute deixada cair de uma escada Este aceleraccedilatildeo pode ser calculado medindo a taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo da esfera enquanto cai A intensidade da aceleraccedilatildeo que a esfera se submete seraacute proporcional ao nuacutemero das massas proacuteximas do ponto que estatildeo diretamente abaixo dela Noacutes nos importamos com os pontos de massa proacuteximos porque o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional diminui com o quadrado da distacircncia entre a esfera e o ponto de massa Quanto mais proacuteximos estiverem os pontos de massa diretamente abaixo da esfera maior sua aceleraccedilatildeo seraacute

Noacutes poderiacuteamos entatildeo deixar a esfera cair de um nuacutemero de posiccedilotildees diferentes e porque o nuacutemero de pontos de massa abaixo da esfera varia com a posiccedilatildeo em que eacute deixada cair mapear as diferenccedilas na intensidade da aceleraccedilatildeo gravitacional experimentada pela esfera

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14 ndash

causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

49

14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

50

14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

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e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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causadas por variaccedilotildees na geologia subjacente Um graacutefico da aceleraccedilatildeo gravitacional pela a posiccedilatildeo costuma ser chamado de perfil de gravidade

Esta experiecircncia mental simples daacute a base fiacutesica da exploraccedilatildeo da gravidade

O paracircmetro geoloacutegico relevante natildeo eacute densidade mas contraste de densidade

Ao contraacuterio do que vocecirc poderia pensar inicialmente a forma da curva que descreve a variaccedilatildeo no aceleraccedilatildeo gravitacional natildeo depende das densidades absolutas das rochas Ela depende apenas da diferenccedila entre as densidades (chamada geralmente de contraste de densidade) entre o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho Isto eacute a variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional gerada no nosso exemplo anterior seria exatamente a mesma se imaginaacutessemos densidades diferentes para o corpo de mineacuterio e o solo circunvizinho contanto que o contraste da densidade d2 - d1 entre o corpo de mineacuterio e o solo se mantenham constantes Um exemplo de modelo que satisfaccedila a esta eacute a densidade do solo ser zero e a densidade do corpo de mineacuterio ser d2 - d1

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A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

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14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

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14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

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14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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14 ndash 43

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

52

14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

A uacutenica diferenccedila nas aceleraccedilotildees gravitacionais produzidos pelas duas estruturas mostradas acima (uma dada pelo modelo original e uma dada ajustando a densidade do solo a zero e do corpo de mineacuterio ao d2 - d1) eacute um deslocamento na curva derivada dos dois modelos O deslocamento eacute tal que a distacircncias grandes do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproxima de zero no modelo que usa uma densidade do solo nula ao inveacutes do valor constante natildeo-nulo do qual a aceleraccedilatildeo se aproxima no modelo original Para identificar a posiccedilatildeo do corpo de mineacuterio a aceleraccedilatildeo gravitacional se aproximar de zero ou natildeo longe do corpo de mineacuterio natildeo importa O que importa eacute o tamanho da diferenccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional proacuteximo ao mineacuterio e longe do mineacuterio e a forma da variaccedilatildeo espacial da aceleraccedilatildeo gravitacional

Assim o uacuteltimo modelo que emprega somente o contraste da densidade do corpo de mineacuterio ao solo circunvizinho conteacutem toda a informaccedilatildeo necessaacuteria para identificar a posiccedilatildeo e a forma do corpo de mineacuterio

Eacute comum usar expressotildees como campo da gravitacional como um sinocircnimo para a aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

45

14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

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14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

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Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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14 ndash

Variaccedilotildees da densidade de materiais da terra

Ateacute aqui estimar a variaccedilatildeo na densidade da terra devido agraves mudanccedilas locais na geologia soa como uma proposiccedilatildeo razoavelmente simples Haacute entretanto diversas complicaccedilotildees significativas A primeira tem a ver com os contrastes de densidade medidos para vaacuterios materiais da terra

As densidades associadas com os vaacuterios materiais da terra satildeo mostradas abaixo

Material Densidade (gcm^3)Ar ~0Aacutegua 1Sedimentos 17-23Arenito 20-26Xisto 20-27Pedra calcaacuteria 25-28Granito 25-28Basaltos 27-31Rochas Metamoacuterficas 26-30

Observe que a variaccedilatildeo relativa na densidade da rocha eacute muito pequena ~08 gcm^3 e haacute uma sobreposiccedilatildeo consideraacutevel nas densidades medidas Assim o conhecimento da densidade da rocha sozinho natildeo seraacute suficiente determinar o tipo de rocha

Esta variaccedilatildeo pequena na densidade da rocha implica tambeacutem que as variaccedilotildees espaciais na aceleraccedilatildeo gravitacional observada causadas por estruturas geoloacutegica seratildeo muito pequenas e assim difiacuteceis de detectar

Uma unidade da densidade que estaacute ganhando influecircncia eacute a tonelada por o metro cuacutebico (tm^3) que eacute numericamente o mesmo que gcm^3 e conforma-se agraves convenccedilotildees do SI Esta eacute tambeacutem uma unidade uacutetil em relacionar volumes visuais com massas A unidade formal do SI eacute o quilograma por o metro cuacutebico

Um Modelo Simples

Considere a variaccedilatildeo na aceleraccedilatildeo gravitacional que seria observada num modelo simples Para este modelo vamos supor que a uacutenica variaccedilatildeo na densidade na subsuperfiacutecie eacute devido agrave presenccedila de um corpo de mineacuterio pequeno Suponha que o mineacuterio tem uma forma esfeacuterica com um raio de 10 metros e estaacute enterrado em uma profundidade de 25 metros abaixo da superfiacutecie com um contraste da densidade agraves rochas que o cercam de 05 gramas por o centiacutemetro cuacutebico Da tabela de densidades da rocha observe que o contraste escolhido da densidade eacute realmente razoavelmente grande Os detalhes de como a aceleraccedilatildeo gravitacional foi computada natildeo satildeo agora importantes

45

14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

46

14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

47

14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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14 ndash

Haacute diversas coisas a observar sobre a anomalia gravitacional produzida por esta estrutura

bull A anomalia gravitacional produzida por uma esfera enterrada eacute simeacutetrica sobre o centro da esfera

bull O valor maacuteximo da anomalia eacute extremamente pequeno Para este exemplo 0025 mGals [ 211 scmGal = ]

bull O valor da anomalia gravitacional se aproxima de zero a distacircncias horizontais pequenas (~60 metros) do centro da esfera

Mais tarde noacutes exploraremos como o tamanho e a forma da anomalia gravitacional satildeo afetados pelos paracircmetros modelo tais como o raio do corpo de mineacuterio de seu contraste da

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14 ndash

densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

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14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

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compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

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Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

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exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

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bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

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g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

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e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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densidade e de sua profundidade de enterro Por enquanto note simplesmente que a anomalia gravitacional produzida por este corpo de mineacuterio feito sob medida eacute pequena Quando comparado agrave aceleraccedilatildeo gravitacional produzida pela terra como um todo 980000 mGals a anomalia produzida pelo corpo de mineacuterio representa uma mudanccedila no campo gravitacional de somente 1 parte em 40 milhotildees

Claramente uma variaccedilatildeo na gravidade tatildeo pequena seraacute difiacutecil de medir Aleacutem disso outros fatores aleacutem da estrutura geoloacutegica poderiam produzir as variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional observada tatildeo grandes quanto essa se natildeo maiores

Noacutes usaremos frequumlentemente o termo anomalia gravitacional para descrever variaccedilotildees no campo gravitacional de fundo produzidas pela estrutura geoloacutegica local ou por um modelo da estrutura geoloacutegica local

Como noacutes medimos a gravidade

Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil construir os instrumentos capazes de medir anomalias gravitacionais tatildeo pequenas quanto 1 parte em 40 milhotildees Haacute entretanto vaacuterias maneiras pelas quais isso pode ser feito incluindo

bull Medidas de corpo caindo Estes eacute o tipo de medida que noacutes descrevemos ateacute este ponto Algueacutem deixa cair um objeto e registra diretamente a aceleraccedilatildeo que o corpo sofre medindo com cuidado a distacircncia e o tempo enquanto o corpo cai

bull Medidas de pecircndulo Neste tipo de medida a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute estimada medindo a oscilaccedilatildeo do periacuteodo de um pecircndulo

bull Medidas de massa em mola Suspendendo uma massa em uma mola e observando quanto a mola se deforma sob a forccedila da gravidade pode-se determinar uma estimativa da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como seraacute descrito mais tarde num exame de cada meacutetodo as observaccedilotildees de campo geralmente natildeo produzem medidas do valor absoluto da aceleraccedilatildeo gravitacional Ao contraacuterio noacutes podemos somente derivar estimativas das variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional A principal razatildeo para isto eacute que pode ser difiacutecil caracterizar o instrumento de registro bem o bastante para medir variaccedilotildees nos valores absolutos da gravidade de 1 parte em 50 milhotildees para baixo Esta entretanto natildeo eacute uma limitaccedilatildeo para a exploraccedilatildeo da gravidade jaacute que eacute somente a mudanccedila relativa na gravidade que eacute usada para definir a variaccedilatildeo na estrutura geoloacutegica

Medidas De Corpo Caindo

A aceleraccedilatildeo gravitacional pode ser medida diretamente deixando cair um objeto e medindo a sua taxa de variaccedilatildeo da velocidade no tempo (aceleraccedilatildeo) enquanto cai Pela tradiccedilatildeo este eacute o meacutetodo que noacutes geralmente atribuiacutemos a Galileu Galilei Nesta experiecircncia Galileu supostamente teria deixado objetos de massas diferentes caiacuterem da torre inclinada de Pisa e constatado que a aceleraccedilatildeo que gravitaciona a que um objeto se submete eacute independente de

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sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

49

14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

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14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

52

14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

sua massa Eacute dito tambeacutem que ele teria estimado o valor do aceleraccedilatildeo gravitacional nesta experiecircncia Enquanto eacute verdade que Galileu fez estas observaccedilotildees ele natildeo usou uma experiecircncia de queda do corpo fazecirc-las Ao contraacuterio usou medidas baseadas em pecircndulos

Eacute faacutecil mostrar que a distacircncia que um corpo cai eacute proporcional ao quadrado do tempo que levou para cair A constante de proporcionalidade eacute a aceleraccedilatildeo gravitacional g Consequumlentemente medindo distacircncias e intervalos de tempo conforme um corpo cai eacute possiacutevel estimar a aceleraccedilatildeo gravitacional

Para medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional de 1 parte em 40 milhotildees para baixo usando um instrumento de tamanho razoaacutevel (digamos um que permite que o objeto caia 1 metro) noacutes precisamos poder medir mudanccedilas na distacircncia de 1 parte em 10 milhotildees para baixo e mudanccedilas de tempo de 1 parte em 100 milhotildees para baixo Como vocecirc pode imaginar eacute difiacutecil fazer medidas com este niacutevel da exatidatildeo

Eacute possiacutevel poreacutem projetar um instrumento capaz de medir distacircncias e intervalos de tempo exatos e de computar mudanccedilas na gravidade absoluta menores que 1 microgal (0001 mgals esta eacute uma exatidatildeo da medida de quase 1 parte em 1 bilhatildeo) A Micro-g Solutions eacute um fabricante deste tipo de instrumento conhecido como um gravitocircmetro absoluto Ao contraacuterio dos instrumentos descritos em seguida esta classe de instrumentos eacute tem os uacutenico instrumentos de campo projetados para medir a gravidade absoluta Isto eacute este instrumento mede o tamanho da componente vertical da aceleraccedilatildeo gravitacional em um ponto dado Como descrito previamente os instrumentos geralmente usados em exploraccedilotildees satildeo

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14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

49

14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

50

14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

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14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

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14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

capazes de medir somente a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional de um ponto ao outro e natildeo o valor absoluto da gravidade em algum um ponto

Embora os gravitocircmetros absolutos sejam mais caros do que os tradicionais gravitocircmetros relativos e requeiram um tempo maior de ocupaccedilatildeo da estaccedilatildeo (de 12 dia a 1 dia por a estaccedilatildeo) o aumento de precisatildeo oferecido por eles e o fato que as estrateacutegias descritas mais tarde natildeo satildeo necessaacuterias para remover imprecisotildees do instrumento pode compensar a despesa extra em operaacute-los Isto eacute particularmente verdadeiro quando os projetos de exploraccedilatildeo requerem afastamentos grandes da estaccedilatildeo ou para as experiecircncias que necessitam de monitoraccedilatildeo contiacutenua da aceleraccedilatildeo gravitacional em um uacutenico lugar Como um exemplo desta uacuteltima aplicaccedilatildeo eacute possiacutevel observar subidas da crosta tatildeo pequenas quanto 3 mm ao longo do tempo monitorando a mudanccedila na aceleraccedilatildeo gravitacional em uma uacutenica posiccedilatildeo com um destes instrumentos

Medidas De Pecircndulo

Um outro meacutetodo pelo qual noacutes podemos medir a aceleraccedilatildeo devida agrave gravidade eacute observar a oscilaccedilatildeo de um pecircndulo tal como aquele encontrado em reloacutegios antigos Ao contraacuterio da opiniatildeo popular Galileu Galilei fez suas famosas observaccedilotildees sobre a gravidade usando um pecircndulo e natildeo deixando cair objetos da torre inclinada de Pisa

Se noacutes devecircssemos construir um pecircndulo simples pendurando uma massa em uma haste e entatildeo deslocar a massa da vertical o pecircndulo comeccedilaria a oscilar em torno da vertical de uma forma regular O paracircmetro relevante que descreve esta oscilaccedilatildeo eacute conhecido como o periacuteodo da oscilaccedilatildeo

O periacuteodo da oscilaccedilatildeo eacute o tempo necessaacuterio para o pecircndulo terminar um ciclo no seu movimento Ele pode ser determinado medindo o tempo necessaacuterio ao pecircndulo para reocupar uma posiccedilatildeo dada Na figura mostrada abaixo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo eacute de aproximadamente dois segundos

49

14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

50

14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

52

14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

54

14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

A razatildeo pela qual o pecircndulo oscila sobre a vertical eacute que se o pecircndulo for deslocado a forccedila da gravidade o puxa para baixo O pecircndulo comeccedila a mover-se para baixo Quando o pecircndulo alcanccedila a vertical natildeo pode parar instantaneamente Ele continua apoacutes a vertical e para cima no sentido oposto A forccedila da gravidade retarda-o para baixo ateacute que ele eventualmente paacutera e comeccedila a cair outra vez Se natildeo houvesse nenhuma fricccedilatildeo onde o pecircndulo estaacute unido ao teto nem nenhuma resistecircncia do ar ao movimento do pecircndulo isso continuaria assim para sempre

Porque eacute a forccedila da gravidade que produz a oscilaccedilatildeo eacute de se esperar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo mude para valores diferentes da gravidade Em particular se a forccedila da gravidade for pequena haacute menos forccedila puxando o pecircndulo para baixo o pecircndulo move-se mais lentamente para a vertical e o periacuteodo observado da oscilaccedilatildeo aumenta Assim medindo o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um pecircndulo noacutes podemos estimar a forccedila ou a aceleraccedilatildeo gravitacional Para uma demonstraccedilatildeo na qual todas as quantidades relevantes podem ser variadas clique aqui [link quebrado]

Pode-se mostrar que o periacuteodo da oscilaccedilatildeo do pecircndulo T Eacute proporcional ao inverso da raiz quadrada da aceleraccedilatildeo gravitacional g A constante de proporcionalidade k depende das caracteriacutesticas fiacutesicas do pecircndulo tais como seu comprimento e a distribuiccedilatildeo da massa sobre o ponto de apoio do pecircndulo

Assim como na experiecircncia de corpo caindo descrita acima parece que seria faacutecil determinar a aceleraccedilatildeo

gravitacional medindo o periacuteodo de oscilaccedilatildeo Infelizmente poder medir a aceleraccedilatildeo a 1 parte em 50 milhotildees requer uma estimativa muito exata da constante k K natildeo pode ser determinada com precisatildeo suficiente para fazer isso

Mas nem tudo estaacute perdido Noacutes poderiacuteamos medir o periacuteodo da oscilaccedilatildeo de um dado pecircndulo em duas posiccedilotildees diferentes Embora noacutes natildeo possamos estimar k exatamente o bastante para permitir determinar a aceleraccedilatildeo gravitacional em qualquer uma destas posiccedilotildees porque noacutes usamos o mesmo pecircndulo em ambas podemos estimar a variaccedilatildeo da aceleraccedilatildeo gravitacional nas duas posiccedilotildees com bastante exatidatildeo sem saber k

As variaccedilotildees pequenas no periacuteodo do pecircndulo que noacutes necessitamos observar podem ser estimadas permitindo que o pecircndulo oscile por muito tempo contando o nuacutemero de oscilaccedilotildees e dividindo o tempo de oscilaccedilatildeo pelo nuacutemero de oscilaccedilotildees Quanto mais

50

14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

52

14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

54

14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

tempo vocecirc permitir que o pecircndulo oscile mais exata a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo seraacute Esta eacute essencialmente uma forma de calcular a meacutedia Quanto mais tempo o pecircndulo oscila mais periacuteodos vocecirc teraacute para calcular a meacutedia e obter a sua estimativa do periacuteodo do pecircndulo e melhor a sua estimativa do periacuteodo meacutedio de oscilaccedilatildeo do pecircndulo

No passado as medidas de pecircndulo foram usadas extensivamente para traccedilar as variaccedilotildees da aceleraccedilatildeo gravitacional ao redor do globo Mas como pode levar ateacute uma hora para observar oscilaccedilotildees suficientes para determinar exatamente o periacuteodo esta teacutecnica de exploraccedilatildeo foi largamente suplantada pela medidas de massa em mola descritas a seguir

Medidas da gravidade de massa em mola

O tipo o mais comum de gravitocircmetro usado em exploraccedilotildees eacute baseado em um simples sistema massa-mola Se noacutes pendurarmos uma massa em uma mola a forccedila da gravidade esticaraacute a mola por uma quantidade que seja proporcional agrave forccedila gravitacional Pode-se mostrar que a constante de proporcionalidade entre o estiramento da mola e a aceleraccedilatildeo gravitacional eacute o valor da massa pendurada na mola dividida por uma constante k que descreve a rigidez da mola Quanto maior k mais dura eacute a mola e menos ela esticaraacute para um dado valor da aceleraccedilatildeo gravitacional

Como nas medidas com pecircndulo noacutes natildeo podemos determinar k exatamente o bastante estimar o valor absoluto do aceleraccedilatildeo gravitacional a 1 parte em 40 milhotildees Noacutes podemos entretanto estimar variaccedilotildees na aceleraccedilatildeo gravitacional de um lugar ao lugar dentro desta precisatildeo Para poder fazer isto entretanto eacute usado um sofisticado sistema massa-mola que coloca a massa em um feixe24 e emprega um tipo especial de mola conhecido como mola de comprimento nulo

Os instrumentos deste tipo satildeo produzidos por diversos fabricantes incluindo LaCoste and Romberg Scintrex (IDS) e Texas Instruments (Worden Gravity Meter) Os gravitocircmetros modernos satildeo capazes de medir mudanccedilas na aceleraccedilatildeo gravitacional da terra menores que 1 parte em 1000 milhotildees Isto leva a uma precisatildeo de aproximadamente 0001 mgal Tal precisatildeo pode ser obtida somente sob circunstacircncias oacutetimas quando os procedimentos recomendados do campo satildeo seguidos com cuidado

24 Natildeo sei ao certo o que o texto quer dizer com isso Ao que me parece um feixe de laser seria usado para medir o deslocamento da massa com tanta precisatildeo quanto possiacutevel De qualquer forma o funcionamento exato desse sistema natildeo importa para quem pretende medir g atraveacutes de um pecircndulo como eacute o nosso caso (NOTA DO TRADUTOR)

51

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

52

14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

54

14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

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14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

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14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Medidor de Gravidade Worden

Medidor de gravidade da LaCoste and Romberg

Um gravitocircmetro eacute todo o instrumento projetado medir variaccedilotildees espaciais da aceleraccedilatildeo gravitacional

52

14 ndash

Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

53

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

54

14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

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14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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Figura de Introduction to Geophysical Prospecting M Dobrin e C Savit

b) referecircncias[1] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESgtogeohtml [2] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESreldenshtml [3] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESdensitieshtml [4] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESsimpmodhtml [5] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESmeasgrvhtml [6] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESfallbhtml[7] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESpendhtml [8] httpwwwearthsciunimelbeduauES304MODULESGRAVNOTESspringhtml

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Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Anexo 2 ndash Site da Internet Sobre o Pecircndulo

Reproduccedilatildeo do conteuacutedo do site httpeducarscuspbrlicenciatura2001penduloPenduloSimples_HTMLhtm

Universidade de Satildeo PauloInstituto de Fiacutesica de Satildeo Carlos

Licenciatura em Ciecircncias Exatas

Disciplina Instrumentaccedilatildeo para o Ensino

Pecircndulo Simples

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14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

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Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

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Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

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Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Este trabalho consiste em

apresentar uma breve histoacuteria

sobre a contagem do tempo e

sobre o revolucionaacuterio Pecircndulo Simples com aplicaccedilotildees fiacutesicas e

um exemplo praacutetico de como

utilizaacute-lo para medir com precisatildeo

a aceleraccedilatildeo da gravidade

Aluno Manoel Batista Pratavieira

Prof Dr Dietrich Schiel

Satildeo Carlos setembro de 2001

55

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

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faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

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compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Um pouco de Histoacuteria das incriacuteveis maacutequinas do tempo

Sol aacutegua areia pecircndulo quartzo e ceacutesio satildeo os principais meios de

que o homem jaacute utilizou para a contagem do tempo

O mais antigo instrumento para medir a duraccedilatildeo do dia foi o reloacutegio solar

como o gnocircmon egiacutepcio datado de 3500 a 3000 aC Consiste em um

mastro vertical ficando sobre uma base O tempo eacute medido de acordo

com a sombra projetada pelo mastro Por volta do seacuteculo VIII aC esses

instrumentos se tornaram mais preciosos agrave medida que marcas

passaram a ser inscritas na base onde se projetava a sombra

Os gregos integraram os reloacutegios solares a sistemas de consideraacutevel

complexidade nos quais se mediam os momentos do Sol da Lua e das

estrelas Nasceu assim o reloacutegio astronocircmico

Os progressos na Astronomia ajudaram a aprimorar a mediccedilatildeo do tempo

Com a invenccedilatildeo do astrolaacutebio por Ptolomeu no seacuteculo II dC tornou-se

possiacutevel calcular de acordo com a posiccedilatildeo do Sol a duraccedilatildeo do dia ou

da noite assim como prever o levantar e o cair de um astro no

firmamento e a hora do crepuacutesculo e da aurora

Media-se o tempo pelo ritmo de escoamento de um liacutequido Os reloacutegios

de aacutegua eram usados pelos egiacutepcios para marcar o tempo agrave noite ou

quando natildeo havia sol No Museu do Cairo existe um exemplar fabricado

na eacutepoca do faraoacute Amenoacutefis III em 1400 aC

56

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

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14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

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14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

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14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Era um recipiente cheio de aacutegua com um pequeno furo no fundo que

deixava escorrer o liacutequido para outro recipiente marcado com escalas

De acordo com o niacutevel da aacutegua podia-se saber o tempo

Esses instrumentos foram aperfeiccediloados por mecanismos que tornavam

constante a pressatildeo da aacutegua que escoava por exemplo a colocaccedilatildeo de

canos que jogavam continuamente liacutequido no primeiro reservatoacuterio Um

dos mais bem elaborados sistemas da Antiguumlidade foi a Torre dos

Ventos construiacuteda em 75 aC aos peacutes do Partenon em Atenas uma

torre de 20 metros de altura com nove quadrantes solares um

catavento uma clepsidra (o nome do reloacutegio a aacutegua) aleacutem de outros

instrumentos Tambeacutem os chineses apreciavam esse tipo de reloacutegio O

que foi feito jaacute no ano de 1090 para o imperador Su Sung indicava as

doze horas do dia tinha um sino que soava a cada quarto de hora e era

enfeitado com autocircmatos

Mas foi soacute no primeiro seacuteculo da era cristatilde que surgiu o mais conhecido

dos medidores de tempo anteriores ao reloacutegio mecacircnico a ampulheta

Ela mede o tempo de acordo com a passagem da areia de um recipiente

de vidro para outro atraveacutes de uma estreita ligaccedilatildeo Nos seacuteculos XVI e

XVII foram feitas ampulhetas para funcionar durante periacuteodos de quinze

e trinta minutos

Poucos inventos moldaram tanto o mundo moderno como o reloacutegio

mecacircnico surgido no seacuteculo XIV Ele tornou possiacutevel a civilizaccedilatildeo

industrial e fixou a ideacuteia de desempenho na atividade humana

Ateacute Idade Meacutedia o tempo era percebido como uma coisa natural Ao

inverno seguia-se a primavera o veratildeo a manhatilde vinha depois da

madrugada que por sua vez sucedia agrave noite a contagem do tempo se

fazia por longos periacuteodos meses e anos materializados nos calendaacuterios

57

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

58

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

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Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Nos conventos especialmente nem hora existia O dia era dividido de

acordo com o ritual dos ofiacutecios Como natildeo havia uma medida universal

cada convento tinha sua hora assim como cada cidade vivia segundo

seu ritmo

O reloacutegio mecacircnico figura entre as supremas invenccedilotildees da humanidade

sendo das mesma ordem que a da imprensa por suas consequumlecircncias

revolucionaacuterias em relaccedilatildeo aos valores culturais agraves mudanccedilas teacutecnicas

agrave organizaccedilatildeo poliacutetica e social e agrave personalidade Foi o reloacutegio que

tornou possiacutevel uma civilizaccedilatildeo atenta ao tempo portanto agrave produtividade

e ao desempenho

E o que diferenciou tecnicamente o reloacutegio mecacircnico dos que o

antecederam Antes de mais nada o reloacutegio mecacircnico eacute movido por um

peso A energia da queda desse peso eacute transmitida atraveacutes de um trem

de engrenagem formado por rodas dentadas que se encaixam umas nas

outras e movimentam as agulhas do mostrador O problema eacute que uma

forccedila aplicada continuamente produz uma aceleraccedilatildeo Logo se nada se

opusesse agrave descida do peso ele imprimiria um movimento cada vez mais

raacutepido agrave engrenagem O que os saacutebios da Idade Meacutedia descobriram foi

justamente um dispositivo de retardamento capaz de bloquear o peso e

frear o movimento das rodas e agulhas de modo a criar um movimento

de oscilaccedilatildeo com um batimento regular o vaiveacutem continuo caracteriacutestico

dos reloacutegios

Isso foi possiacutevel graccedilas a uma pecinha composta de duas palhetas presa

a um eixo horizontal moacutevel que se engrenam alternadamente sobre uma

roda em forma de coroa dentada (chamada roda de encontro) localizada

verticalmente sobre um eixo que se move sob o efeito do peso Os

impulsos alternados provocados pela roda de encontro fazem a pecinha

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oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

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14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

oscilar sobre seu eixo de maneira regular este movimento entatildeo eacute

transmitido ao trem de engrenagem que movimenta as agulhas O

aparecimento dos primeiros reloacutegios mecacircnicos causou uma febre nas

cidades europeacuteia que comeccedilavam a sacudir a modorra medieval Cada

burgo queria ter seu reloacutegio natildeo apenas por uma questatildeo de prestiacutegio

mas tambeacutem porque a atraccedilatildeo trazia viajantes portanto dinheiro para a

localidade

Jaacute para os operaacuterios das cidade mais desenvolvidas principalmente na

Itaacutelia e em Flandres onde jaacute existiam uma florescente induacutestria tecircxtil um

movimentado comeacutercio a novidade natildeo era assim tatildeo boa O reloacutegio

passou a encarnar a autoridade que impunha as horas de trabalho e

mais importante ainda exigia determinada produtividade ao longo da

jornada Em algumas cidades os operaacuterios chegaram a se rebelar contra

isso Por exemplo em Paacutedua em 1390 a torre que abrigava o reloacutegio de

Dondi foi atacada

Em 1656 na cidade de Haia Holanda Christian Huygens (1629-1695)

concebeu um reloacutegio de pecircndulo com escapo que substituiu o fuso como

instrumento regulador da forccedila da mola Ao contraacuterio dos outros

progressos da relojoaria poreacutem essa invenccedilatildeo foi antes de tudo teoacuterica

No lugar do fuso regulador da mola-motor Huygens imaginou um

pecircndulo suspenso livremente por um cordatildeo ou um fio Esse achado

reduziu a margem de erro dos reloacutegios de cerca de quinze minutos por

dia para meros dez ou quinze segundos o reloacutegio se tornara enfim um

instrumento realmente confiaacutevel para medir o tempo

A Revoluccedilatildeo Industrial do seacuteculo XVIII na Inglaterra deu uma nova

importacircncia agrave hora As relaccedilotildees de produccedilatildeo passaram a se fazer de

maneira mais sistematizada com a reuniatildeo dos operaacuterios dentro de

59

14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

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14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

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14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

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14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

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14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

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14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

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14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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14 ndash

faacutebricas Habituados ainda a trabalhar segundo seu proacuteprio ritmo de

acordo com a tradiccedilatildeo herdada das corporaccedilotildees de ofiacutecio dos artesatildeos

medievais os operaacuterios se revoltaram contra as implacaacuteveis maacutequinas

do tempo Com a desconfianccedila de que os patrotildees roubavam nas horas

adiantando ou atrasando os operaacuterios comeccedilaram a adquirir seus

proacuteprios reloacutegios com isso a induacutestria de reloacutegios cresceu e estes

tornaram-se mais baratos a medida que sua produccedilatildeo tornou-se seriada

Nada poreacutem popularizaria tanto o reloacutegio como uma descoberta de

1880 Os irmatildeos Pierre e Jacques Curie cientistas franceses

descobriram que um pedaccedilo de cristal de quartzo cortado na forma de

uma lacircmina ou de um anel e colocado a vaacutecuo num circuito eleacutetrico e em

baixa temperatura vibra 32758 vezes por segundo como um pecircndulo

ultra-raacutepido

Em 1925 pesquisadores dos Laboratoacuterios Bell nos Estados Unidos

construiacuteram o primeiro oscilador a quartzo Mas entatildeo os reloacutegios a

quartzo eram ainda quase tatildeo grandes quanto uma geladeira e assim

permaneceriam por muito tempo Pode-se considerar o 9ordm Congresso

Internacional de Cronometria em Paris em setembro de 1969 como a

verdadeira data de nascimento da induacutestria do reloacutegio a quartzo Pois foi

ali que a empresa japonesa Seiko apresentou seu primeiro modelo

eletrocircnico

O reloacutegio a quartzo tinha dado um golpe mortal na induacutestria relojoeira

claacutessica assim como o reloacutegio atocircmico a ceacutesio tiraria do observatoacuterio de

Greenwich na Inglaterra o privileacutegio de fornecer a hora oficial do mundo

A fiacutesica aplicada no Pecircndulo Simples

60

14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

61

14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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14 ndash

Um pecircndulo simples eacute um corpo ideal que consiste de uma partiacutecula

suspensa por um fio inextensiacutevel e de massa despreziacutevel Quando

afastado de sua posiccedilatildeo de equiliacutebrio e solto o pecircndulo oscilaraacute em um

plano vertical sob agrave accedilatildeo da gravidade o movimento eacute perioacutedico e

oscilatoacuterio sendo assim podemos determinar o periacuteodo do movimento

A figura acima exemplifica um pecircndulo de comprimento L sendo m a

massa da partiacutecula No instante mostrado o fio faz um acircngulo θ com a

vertical As forccedilas que atuam em m satildeo o peso mg e a traccedilatildeo da corda

T O movimento seraacute em torno de um arco de ciacuterculo de raio L por isto

escolheremos um referencial em que um dos eixos seja radial e o outro

tangente ao ciacuterculo O peso mg pode ser decomposto numa componente

radial de moacutedulo mgcosθ e numa componente tangencial mgsenθ A

componente radial da resultante eacute a forccedila centriacutepeta que manteacutem a

partiacutecula na trajetoacuteria circular A componente tangencial eacute a forccedila

restauradora onde o sinal negativo indica que F se opotildee ao aumento de θ

Note que a forccedila restauradora natildeo eacute proporcional ao deslocamento

angular θ e sim a senθ O movimento portanto natildeo eacute harmocircnico simples

Entretanto se o acircngulo θ for suficientemente pequeno senθ seraacute

aproximadamente igual a θ em radianos com diferenccedila cerca de 01 e

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14 ndash

o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

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14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

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14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

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exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

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14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

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g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

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e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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o deslocamento ao longo do arco seraacute x = L θ e para acircngulos pequenos

ele seraacute aproximadamente retiliacuteneo Por isto supondo sen θ asymp θ Obteremos

F = - mg θ = - mg (xL) = - (mgL)x (2)

Para pequenos deslocamentos a forccedila restauradora eacute proporcional ao

deslocamento e tem o sentido oposto Esta eacute exatamente a condiccedilatildeo

para se ter movimento harmocircnico simples e de fato a equaccedilatildeo (2) acima

tem a mesma forma que a equaccedilatildeo F = - k x com mgL representando

a constante k Para pequenas amplitudes o periacuteodo T (tempo de um ciclo) de um pecircndulo pode ser obtido fazendo-se k = m g LT = 2π (m k)12 = 2π (m (m g L)) 12

T = 2π (L g)12

O Pecircndulo Simples atraveacutes da equaccedilatildeo acima tambeacutem fornece um

meacutetodo para mediccedilotildees do valor de g a aceleraccedilatildeo da gravidade

Podemos determinar L e T usando equipamentos de um laboratoacuterio de

ensino obtendo precisatildeo melhor do que 01

g = 4π 2L T2

Note que o periacuteodo T eacute independente da massa m da partiacutecula suspensaDurante os uacuteltimos trecircs seacuteculos o pecircndulo foi o mais confiaacutevel medidor

de tempo sendo substituiacutedo apenas nas uacuteltimas deacutecadas por oscilaccedilotildees

atocircmicas ou eletrocircnicas Para um reloacutegio de pecircndulo ser um medidor de

tempo preciso a amplitude do movimento deve ser mantida constante

apesar de as perdas por atrito afetarem todo o sistema mecacircnico

Variaccedilotildees na amplitude tatildeo pequenas quanto 4deg ou 5deg fazem um reloacutegio

adiantar cerca de 15 segundos por dia o que natildeo eacute toleraacutevel mesmo em

um reloacutegio caseiro Para manter constante a amplitude eacute necessaacuterio

62

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

compensar com um peso ou mola fornecendo energia automaticamente

compensando as perdas devidas ao atrito

Determinando a aceleraccedilatildeo da gravidadeUtilizando material muito simples pode-se medir com boa precisatildeo a

aceleraccedilatildeo da gravidade local bem como introduzir o meacutetodo cientiacutefico a

partir de situaccedilotildees experimentais esta experiecircncia eacute muito interessante

para os alunos

MATERIAL

bull Chumbadas de pesca com diferentes pesos por ex 50 100 e 200

g bull Linha de pesca que seja inextensiacutevel com os pesos citados acima bull Uma fita meacutetrica ou outro meio para medir em (mm) bull Um transferidor para medir o acircngulo

MEacuteTODO

Os pesos de chumbo jaacute satildeo perfurados ao meio o que torna-os faacutecil de

serem amarrados por uma linha de pesca Uma vez fixado o peso de

chumbo corte a outra extremidade da linha maior que 2m amarrando-a

com um laccedilo em um prego fixo na parede ou numa taacutebua com altura

acima de 2m deixando um comprimento L entre o centro do chumbo e o

ponto amarrado 2m de extensatildeo constituindo-se num bom pecircndulo

simples Estas operaccedilotildees satildeo muito simples e podem ser feitas pelos

alunos sem restriccedilatildeo quanto ao diacircmetro de linha de pesca (identificado

pelo nuacutemero no carretel e os pesos utilizados)

63

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

Eacute bom que os aluno jaacute tenham experiecircncias preacutevias de mediccedilatildeo de

espaccedilo com fita meacutetrica e de tempo com reloacutegio de pulso que marque

segundos caso contraacuterio pode-se solicitaacute-los a fazer algumas medidas

de dimensotildees de alguns objetos e de tempo de algum movimento

Com o pecircndulo em funcionamento pode-se pedir aos alunos que

relacionem as variaacuteveis envolvidas no fenocircmeno tais como o tempo de

ida e volta ou seja o periacuteodo o comprimento do fio a massa das

chumbadas (tendo-se uma balanccedila por perto podem ser aferidas) o

acircngulo entre o fio e a vertical o diacircmetro do prego de sustentaccedilatildeo a

hora do dia a temperatura da sala etc Com o universo de grandezas

definido pede-se que definam quais delas satildeo relevantes para o periacuteodo

T Natildeo eacute necessaacuterio que o professor imponha suas preferecircncias Se um

determinado grupo de alunos (eacute aconselhaacutevel no maacuteximo 3 por

experimento) considerar que o comprimento do pecircndulo eacute uma variaacutevel

irrelevante sugira-lhe que meccedilam o periacuteodo para dois comprimentos

bem diferentes de 2m e 05m por exemplo

Qual a melhor maneira de medir o periacuteodo Coloque este problema aos

alunos numa situaccedilatildeo onde o comprimento do pecircndulo eacute menor que

20cm Discuta os erros cometidos ao se medir visualmente periacuteodos da

ordem de 1s e o fato de que o periacuteodo varia muito pouco com 10

oscilaccedilotildees

Uma das soluccedilotildees eacute medir o tempo de 10 oscilaccedilotildees 3 vezes As 3

medidas natildeo devem discordar muito entre si e a meacutedia dessas 3

medidas deve ser utilizada Este tempo meacutedio deve ser dividido por 10

que satildeo as 10 oscilaccedilotildees do resultado temos com boa precisatildeo o valor

do periacuteodo de uma oscilaccedilatildeo mesmo se utilizando de um simples reloacutegio

de pulso Pode ser que um aluno vaacute anotando os dados conforme

64

14 ndash

exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

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Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

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exemplo da tabela 1 abaixo outro contando o nuacutemero de vezes em que o

pecircndulo vai e volta e outro cronometrando sugere-se que a cada

mediccedilatildeo revezem suas funccedilotildees

Determinando o conjunto de observaccedilotildees (ou variaacuteveis) relevantes resta

saber de quais delas depende o periacuteodo Para fixarmos ideacuteias vamos nos

deter nas variaacuteveis principais comprimento do fio massa do chumbo

diacircmetro do fio e o acircngulo (θ ) entre a vertical e o deslocamento inicial do

fio Para conhecer quais variaacuteveis que influenciam o fenocircmeno deve se

fixar 3 quaisquer variaacuteveis a outra apesar do periacuteodo soacute depender do

comprimento do fio geralmente os aluno acreditam que a massa da

chumbada influencia o periacuteodo Agraves vezes eacute conveniente solicitar de

antematildeo que o acircngulo θ seja inferior a 20ordm o que pode ser descoberto

pelos proacuteprios alunos pois se abaixo de 15ordm o periacuteodo natildeo depende do

acircngulo inicial para grandes valores do acircngulo θ isto jaacute eacute verdade basta

ver o caso limite de θ =180ordm quando o peso torna-se um objeto de queda

livre simplesmente

Em uma folha separada os alunos podem anotar os dados conforme tabela 1

Tabela 1

L(m) T1(s) T2(s) T3(s) T=(T1+T2+T3)3 (s) t(s)=T10 variaacuteveis

m=

d=

D=

Fazer alteraccedilotildees em uma variaacutevel por vez e manter as outras fixas

bull m = massa da chumbada

65

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

bull d = diacircmetro da linha

bull D = diacircmetro do prego

Caso exista tempo suficiente pode-se pedir que cada grupo varie as

grandezas que fixou anteriormente Caso isto natildeo seja possiacutevel deve-se

comparar o resultado com outros grupos que fizeram a experiecircncia com

massas diferentes acircngulos θ diferentes e fios diferentes onde deve ficar

claro para o aluno que este procedimento eacute equivalente a variar a massa

o acircngulo e o diacircmetro da linha por exemplo

DISCUSSAtildeO

Deve ficar claro para o aluno que o periacuteodo de um pecircndulo que a

princiacutepio poderia depender de muitas observaacuteveis soacute depende do

comprimento Essa dependecircncia natildeo eacute qualquer mas a razatildeo de Tsup2L eacute

aproximadamente constante ou seja Tsup2 = k L Apesar de que a experiecircncia pode ser desenvolvida para estudantes de

qualquer niacutevel a discussatildeo dos resultados e a teoria envolvida depende

do conhecimento preacutevio do aluno De qualquer modo a confecccedilatildeo de um

graacutefico linear com y = Tsup2 ou y = m x em funccedilatildeo de x = L eacute de grande

interesse para alunos de 2ordm grau

A aceleraccedilatildeo da gravidade g pode ser obtida atraveacutes do coeficiente

angular m dos graacuteficos com os valores de x e y acima e aplicando na

equaccedilatildeo abaixo

g = 4π 2mCom a equaccedilatildeo abaixo do periacuteodo T do pecircndulo simples podemos

determinar a aceleraccedilatildeo da gravidade g

T = 2π (L g)12

66

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

g = 4π 2L T2

Uma deduccedilatildeo matemaacutetica rigorosa das foacutermulas acima natildeo eacute de todo

simples Em analogia com o movimento harmocircnico simples pode-se

seguir o desenvolvimento em Fiacutesica Vol 1 - Beatriz Alvarenga e Antocircnio

Maacuteximo - pg (146) para alunos universitaacuterios a deduccedilatildeo proposta por

Fiacutesica -II-I Halliday-Resnick - seccedilatildeo 15-5 ou outros livros que abordam

este assunto

Apesar da simplicidade de construccedilatildeo pode-se discutir muitos outros

conceitos fundamentais tais como

a) Equivalecircncia entre massa inercial e gravitacional na deduccedilatildeo das

equaccedilotildees acima citadas

b) O fato de que o pecircndulo simples eacute um modelo de uma massa pontual

pode-se levar em consideraccedilatildeo a que o comprimento medido do pecircndulo

deve ser entre o ponto de fixaccedilatildeo e o ponto meacutedio da massa ou seja o

centro de gravidade Aqui eacute uma boa oportunidade de se introduzir o

conceito de centro de massa ou gravidade

c) Apesar do fato de que o periacuteodo soacute depende do comprimento jaacute ser do

conhecimento de Galileu o desenvolvimento do pecircndulo simples e a

construccedilatildeo do primeiro reloacutegio deve-se ao cientista amador holandecircs

Cristian Huygens por volta de 1656 Sua preocupaccedilatildeo principal era

construir um aparelho que solucionasse um problema fundamental na

navegaccedilatildeo mariacutetima que era a determinaccedilatildeo da longitude em qualquer

lugar no oceano Pode-se discutir entre os alunos de como agraves vezes

alguns desenvolvimentos teacutecnicos e cientiacuteficos partiram da necessidade

humana de resolver problemas concretos

d) A construccedilatildeo de um pecircndulo que bate segundos poderaacute ser uma oacutetima

atividade para casa

67

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

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Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

69

14 ndash

e) A discussatildeo do pecircndulo composto do pecircndulo de Foucault eacute outro

desenvolvimento possiacutevel

f) Eacute de grande utilidade uma discussatildeo sobre algarismo significativos e

graacuteficos atraveacutes de uma anaacutelise de dados obtidosCom esta praacutetica podemos explicitar aos alunos algumas observaccedilotildees como o periacuteodo do pecircndulo depende da gravidade e que uma das principais propriedades do pecircndulo eacute a regularidade das suas oscilaccedilotildees Por este motivo os pecircndulos eram usados em reloacutegios Observamos tambeacutem que a massa do pecircndulo natildeo influencia no resultado do periacuteodo mas o comprimento sim por isso eacute que os reloacutegios de maior precisatildeo possuem o pecircndulo de maior comprimento

Referecircncias Bibliograacuteficas

bull Veriacutessimo Suzana Maacutequinas do Tempo Super Interessante - SUPER nuacutemero 9 ano 2 setembro de 1988

bull Ralliday David Resnick Robert Krane kenneth S Fiacutesica 2 4degediccedilatildeo Rio de Janeiro LTC - Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos Editora SA 1996

bull Brito AA O Pecircndulo Simples httpwwwufpeltchebr~histfispendulohtm

bull Pesquise mais sobre Pendulum httpwwwhowstuffworkscomclockhtm

68

14 ndash

Anexo 3 ndash Introduccedilatildeo ao Caacutelculo Diferencial

Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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Texto inicialmente concebido para servir de apecircndice para o guia [EM SEPARADO]

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