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Medidas e ErrosMedidas e ErrosMedidas e ErrosMedidas e Erros

Tópicos

• Medidas

– Medidas e Medições

• Tipos de Medições

– Diretas.

– Indiretas.– Indiretas.

• Dados e Resultados Experimentais

• Erros

– Tipos de Erros.

• Algarismos Significativos

• Arredondamento de números

• Parâmetros Estatísticos

– Média

MedidasMedidasMedidasMedidas

“Eu frequentemente digo que quando se podemedir aquilo sobre o que se está falando eexpressá-lo em números, você sabe algo sobreele; mas quando não se sabe medi-lo, quandonão se pode expressá-lo em números, seuconhecimento é incompleto e insatisfatório;conhecimento é incompleto e insatisfatório;pode ser o inicio do conhecimento, mas seuspensamentos quase não avançam para alcançaro estágio de ciência, qualquer que seja oassunto.”

Lord Kelvin

Medição e Medida

• Medição

Ato ou efeito de medir.

• Medida• Medida

Termo usado para se referir ao valor numérico

(e unidade) resultante de uma medição.

Medições

• Tipos de medições

Medições diretas.Medições diretas.

Medições indiretas.

Medições Diretas

Resulta da comparação direta de uma

quantidade física de natureza desconhecida

com uma quantidade conhecida ou

padronizada da mesma natureza.padronizada da mesma natureza.

� Medida da velocidade do carro através do velocímetro;

� Medida do tempo com um cronometro;

� Medida da massa com uma balança;

� Medida da corrente elétrica com um amperímetro;

∂

OBS: Medição direta é feita utilizando uminstrumento.

Medições Indiretas

3

esferaπD

6

1V =

Medições indiretas

• Medições de velocidades

Tempo

DistânciaV =

Dados e Resultados Experimentais

• Dados Experimentais

Valores obtidos em repetidas medições diretas

de uma ou mais grandezas em um

experimento.experimento.

• Resultados Experimentais

Valores geralmente obtidos após serem

realizados cálculos com os dados

experimentais.

ErrosErrosErrosErros

“Não se pode medir uma grandeza física com

precisão absoluta.”

“Qualquer medição, por mais bem feita que seja,“Qualquer medição, por mais bem feita que seja,

é sempre uma aproximação.”

Resultado=(grandeza ≤ incerteza) (unidade)

Tipos de erros

• Erros sistemáticos.

–Erros sistemáticos instrumentais;

–Erros sistemáticos teóricos;–Erros sistemáticos teóricos;

–Erros sistemáticos ambientais;

–Erros sistemáticos observacionais.

• Erros aleatórios.

Tipos de erros

• Erros sistemáticos instrumentais

Erros que resultam da calibração do instrumento

de medição.

OBS: Os erros sistemáticos instrumentais podem

ser eliminados quase por completo através de

novas calibrações e aferições dos

instrumentos.

Tipos de erros

• Erros sistemáticos teóricos

Erros que resultam do uso de formulas teóricasaproximadas ou uso de valores aproximados paraeventuais constantes físicas que sejam utilizadas.

Tipos de erros

• Erros sistemáticos ambientais

Erro devido a efeitos do ambiente sobre oexperimento.

– A medida do campo magnético de um imã pode ser– A medida do campo magnético de um imã pode serinfluenciada pelo campo magnético da Terra.

– Medições da intensidade da luz em experimentos defotoluminescência é afetada pela luz ambiente.

– Outros efeitos ambientais como temperatura,umidade, pressão, ondas eletromagnéticas, entreoutros podem introduzir erros.

Tipos de erros

• Erros sistemáticos observacionais

Erro devido a falhas ou limitações do próprio

observador.

– Efeito da paralaxe na leitura de escalas instrumentais.– Efeito da paralaxe na leitura de escalas instrumentais.

– Disparar um cronometro manualmente.

Tipos de erros

• Erros aleatórios

Erros que resultam de variações aleatórias novalor medido de uma grandeza, devido afatores que não podem ser controlados ou porfatores que não podem ser controlados ou porqualquer motivo não são controlados.

Algarismos Significativos

Algarismo significativo em um número pode

ser entendido como cada algarismo que

individualmente tem algum significado,

quando é escrito na forma decimal.quando é escrito na forma decimal.

0,000 XY....ZW ABCD.......

não

significativo

significativo não

significativo

Algarismos Significativos

2 algarismos significativos - 6 certeza, 5 duvidoso

3 algarismos significativos - 6 e 7 certeza, 3 duvidoso

Operações com algarismos

significativos

•Soma

mm 83,52mm 83.4mm 83L ++=

mm 250LResultado

mm 249,92L

mm 83,52mm 83.4mm 83L

=→

=

++=

Operações com algarismos

significativos

•Multiplicação

3mm 83,52 83.4 83V ××=

35

33

mm 105,8VResultado

mm 10288,765V

×=→

×=

OBS: O número de algarismos significativos do produto de dois ou

mais números (medidas) será igual ao número de algarismos

significativos do fator menos preciso.

Arredondamento de números

Regra Prática

• Algarismos 1, 2, 3 e 4 são arredondado para baixo.

Exs:

3.14 =3.1 3.14 =3.1

2.73=2.7

• Algarismos 6, 7, 8 e 9 são arredondados para cima.

•Exs:

3.16=3.2

2.78=2.8

Arredondamento de números

Regra Prática

•Algarismo 55 é arredondado para baixo sempre que o algarismo

precedente for par .

5 é arredondado para baixo sempre que o algarismo

precedente for par .

Ex: 4.65=4.6 3,325=3,32

5 é arredondado para cima sempre que o algarismo

precedente for ímpar.

Ex: 4.75=4.8 9,475=9,48

Parâmetros Estatísticos

• Média Aritmética – Conjunto de valores típicos

ou representativo de um conjunto de dados.

N medidas de Conjunto

N

x

N

N

i

i∑==

+++++=

=

1

N4321

N4321

x

xxxxxx

}xx,x,x,{xN

L

L


• Média Aritmética

xxN ∞→

= limv

Tratamento de dados

e e

Apresentação dos dados


• Média Aritmética – Conjunto de valores típicos

ou representativo de um conjunto de dados.

N medidas de Conjunto

N

x

NN

i

i∑==

+++++=

=

1

N4321

N4321

x

xxxxxx

}xx,x,x,{xN

L

L


• Média Aritmética

xxN ∞→

= limv


• Desvio padrão da média

)( 2−

=∑=

xxN

i

σ)1(

1x

−=∑=

NN

iσ

(unidade) )σx(X x±=

OBS: Ausência de erros sistemáticos


• Desvio padrão

222

rxp σσσ +=

)(Erro de Limite ao oRelacioand

ResidualErro

r

r

L

⇒σ


• Estimativa do Limite de Erro

– Leitura direta em escala -Instrumentos Analógicos

leituraMenor ou divisãoMenorLr ⇒

2

rr

L=σ


• Estimativa do Limite de Erro

– Leitura direta em escala- Instrumentos Digitais

Lr=σ

2

L

2

minmaxr

r

AA

Lr

+=

=σ

Amax e Amin são os algarismos que representam as flutuações

Parâmetros Estatísticos• Resultado Final

(unidade) )σx(X p±=

N

∑

3ou

2)1(

)(

x

rr1

2

x

2221

rr

N

i

i

rxp

N

i

i

LL

NN

xx

N

x

==−

−

=

+==

∑

∑

=

=

σσσ

σσσ

Exemplos

1. Em um experimento de física obteve-se os seguintes valores para aaceleração da gravidade,

N={9.90;9.68;9.57;9.72;9.80} m/s2

Qual é a estimativa e a respectivaincerteza no valor esperado?

Resolução: )( ggg σ±=

)1(

)(1

2

−

−

==∑∑=

NN

gg

N

g

g

N

i

i

g

N

i

i

σ

222222

m/s05.0)15(5

)80.973.9()72.973.9()87.973.9()68.973.9()90.973.9(=

−

−+−+−+−+−=gσ

2m/s)05.073.9( ±=g

2m/s73.95

9.809.729.579.689.90=

++++=g

Exemplos

2. A força eletromotriz (f.e.m) de uma pilha foi

medida 6 vezes, com um multímetro digital,

obtendo-se os resultados mostrados na tabela.

A acurácia do voltímetro na escala utilizada é

de 0.5%, conforme indicação do fabricante.de 0.5%, conforme indicação do fabricante.

Determine o valor da f.e.m da pilha.

N 1 2 3 4 5 6

V (Volts) 1.572 1.568 1.586 1.573 1.578 1.581

Resolução: )( pσ±= VV

2)1(

)(

V 1

2

222 rr

N

i

i

VrVp

N

i

iL

NN

VV

N

V

=−

−

=+==∑∑= σσσσσ

2)1(NNN −

6

581.1578.1573.1586.1568.1572.1 +++++=V

Volts5763.1=V

)16(6

)581.15763.1()573.15763.1()573.15763.1()586.15763.1()568.15763.1()572.15763.1( 222222

−

−+−+−+−+−+−=

Vσ

Volts0027.0=V

σ

Volts008.05763.1100

5.0==rL

Volts004.02== r

r

Lσ Volts004.0

2==rσ

22222 )004.0()0027.0( +=+= prVp σσσσ

Volts0048.0=pσ

Volts)005.0576.1(ouVolts)0048.05763.1( ±=±= VV

Exemplos

3. Foi realizada a medição da tensão nos

terminais de uma pilha comum com um

voltímetro digital de 5 ½ dígitos com acurácia

de 0.05% mais 1 digito. Verificou-se que o

último dígito flutuava, proporcionando leiturasúltimo dígito flutuava, proporcionando leituras

tais como mostradas na tabela. Determine o

valor do resultado final da medição.

N 1 2 3 4 5 6 7

V (Volts) 1.4435 1.4438 1.4434 1.4436 1.4432 1.4433 1.4437

Resolução: )( pσ±= VV

2)1(

)(

V 1

2

222 rr

N

i

i

VrVp

N

i

iL

NN

VV

N

V

=−

−

=+==∑∑= σσσσσ

2)1(NNN −

Volts4435.1=V

Volts001.0=V

σ

Volts0008.00001.04435.1100

05.0=+=rL

Volts0004.02

0008.0

2=== r

r

Lσ

22222 +=+= σσσσ 22222 )0004.0()0001.0( +=+= prVp σσσσ

Volts004.0=pσ

Volts)0004.04435.1( ±=V

Apresentação de dados experimentais

• Tabelas.

• Histogramas.• Histogramas.

• Gráficos .

• Tabelas


• Histogramas

Representação gráfica de

Apresentação de

dados experimentais

Idade (anos) No de alunos

17-18 2

18-19 9

19-20 15

20-21 14

21-22 12

22-23 5

23-24 2

24-25 2

25-26 5

Representação gráfica de

uma distribuição de

frequências.

25-26 5

26-27 1

27-28 1

29-30 0

30-31 0

31-32 0

32-33 1

34-35 1

35-36 0

36-37 0

37-38 2

Apresentação de dados experimentaisHistograma


Gráfico

Propagação de erros

x

yy

A=xy

Atotal=2x+2y


Como determinar o valor médio e

a respectiva incerteza da área (A) e

da área total (A ) após variasda área total (Atotal) após varias

medições de x e y?

Propagação de erros• Grandezas que envolvem apenas adição e subtração

),(

byaxu

yxfu

±=

=

2222

yxu ba

ybxau

byaxu

σσσ +=

±=

±=

OBS: Erros nas variáveis x e y independentes

Propagação de erros• Grandezas que envolvem apenas multiplicação e divisão

),(

==

=

y

xauouaxyu

yxfu

22

+

=

=

yxu

yxau

y

yxuσσσ



x

yy

A=xy

Atotal=2x+2y

luis

Realce

PERÍMETRO


Como determinar o valor médio e

a respectiva incerteza da área (A) e

da área total (A ) após variasda área total (Atotal) após varias

medições de x e y?

luis

Realce

Perímetro


• Grandezas que envolvem apenas adição e subtração

),(

byaxu

yxfu

±=

=

2222

yxu ba

ybxau

byaxu

σσσ +=

±=

±=



• Grandezas que envolvem apenas multiplicação e divisão

),(

==

=

y

xauouaxyu

yxfu

22

+

=

=

yxu

yxau

y

yxuσσσ



• Erros que envolvem varias grandezas – Expressão Geral

zyxfu

zyxfu

.......),,(

.......),,(

=

=

unidadeuu

z

u

y

u

x

u

u

zyxu

)(

....2

2

2

2

2

2

σ

σσσσ

±=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=


1.Utilizando a expressão geral para o desvio padrão

da propagação de erro mostre que

Se

=),(= yxfu

Se

2222

),(

yxu ba

ybxau

byaxu

yxfu

σσσ +=

±=

±=

=

22

),(

+

=

=

==

=

yxu

yxau

y

xauouaxyu

yxfu

yxuσσσ


2. Suponha que você realizou uma série de

medições do diâmetro de uma esfera e

obteve o valor final D=(18,31≤0.02)cm. Você

deseja calcular o valor do volume da esferadeseja calcular o valor do volume da esfera

usando o valor do diâmetro medido. Qual o

valor obtido?


3. Considerando, que durante a medição do

volume de um cilindro regular, fazemos as

medidas do diâmetro da área da secção reta

e da altura do cilindro, cujos resultados dase da altura do cilindro, cujos resultados das

medições foram os seguintes:

D=(5.34≤0.03)cm

H=(10.35≤0.05)cm

Determine o volume do cilindro e sua

respectiva incerteza.

Gráficos4. Para um gás a volume constante foram

realizadas medições da pressão e

temperatura, os dados obtidos são

mostrados na tabela.

P (mmHg) T(∞C)a) Represente os dados

P (mmHg) T(∞C)

45 -96,5

50 -77,5

65 -20

75 17

85 42

95 84

a) Represente os dados

experimentais em um

gráfico T versus P.

b) Determine o valor da

temperatura quando a

pressão for nula.

Método dos mínimos Quadrados


h(x)


h(x)

f(x) – h(x)


Melhor Reta

baxy +=

Coeficientes da melhor reta

∑

∑

=

=

−

−

=

−=

N

i

i

N

i

ii

xx

xxy

b

xbya

1

2

1

)(

)(

Coeficientes da melhor reta

Método dos Mínimo Quadrados

5. Para os dados do exercício 4

encontre a melhor reta que se

ajusta aos dados mostrados naajusta aos dados mostrados na

tabela.

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