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MEDIÇÕES EXPERIMENTAIS

Conteúdo1 Medir 2

2 A craveira e o palmer 32.1 Craveira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Palmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Incerteza nas medições experimentais 7

4 Algarismos significativos 9

5 Estimativa das incertezas aleatórias 11

6 Propagação de incertezas 13

7 Apresentação de dados e resultados 15

8 Método dos mínimos quadrados 168.1 Relação Y = AX +B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178.2 Relação Y = AX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188.3 Observações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1


Física Experimental I - 2007/2008Professor responsável: Conceição Martins

Departamento de Física da FCUL

13 de Fevereiro de 2008

1 MedirMedir é comparar uma grandeza com outra da mesma espécie que se toma comounidade. Esta comparação pode ser feita directamente, por exemplo medindoum comprimento com uma régua, ou indirectamente, como na determinação damassa volúmica de uma substância a partir das medições directas da massa e dasdimensões lineares de um corpo de forma regular constituído por uma amostradessa substância. O resultado de uma medição é um valor numérico seguido deuma unidade.Uma medida experimental exige a presença de um instrumento de medida,

que se define como um aparelho que transforma um sinal de entradaX (grandezaa medir) num sinal de saída Y (valor numérico com unidade respectiva). Aoperação de medida introduz uma interacção entre o instrumento de medida eo fenómeno caracterizado pela grandeza que se mede. Em muitos casos estainteracção pode alterar significativamente o resultado da grandeza a medir peloque é necessário quantificar essa influência e escolher o aparelho adequado. Porexemplo, não é correcto medir a temperatura de 1 cm3 de água introduzindoum termómetro de mercúrio com cerca de 1 cm3 de volume que se encontra auma temperatura diferente.Um instrumento de medida é caracterizado por:

• Intervalo de funcionamento — gama de valores para os quais o aparelhotem um funcionamento correcto (valores para os quais o aparelho não édanificado e a curva de calibração é válida).

• Resolução ou poder resolvente do aparelho - menor δX que o aparelhopode medir.

Em geral, a medição de uma determinada quantidade apenas produz, comoresultado, uma estimativa, isto é, um valor mais ou menos aproximado do ver-dadeiro valor dessa grandeza. Chama-se erro de uma medição à diferença entreo valor obtido na medição e o verdadeiro valor da grandeza ou o valor aceite(tabelado) para a grandeza. O erro absoluto é o módulo do desvio entre o valor


medido xexp e o valor verdadeiro xv da grandeza: |xexp − xv|. É mais signi-ficativo indicar o valor do erro relativo |xe x p−xv|

xv× 100% do que o seu valor

absoluto. A exactidão1 ou rigor de uma medição é tanto maior quanto menor oafastamento entre o valor medido e o valor real.

2 A craveira e o palmer

2.1 Craveira

A craveira é um instrumento que serve para medir directamente, comprimen-tos, diâmetro de fios, diâmetros interno e externo de tubos, profundidade, etc.Também é conhecida como paquímetro e utiliza um nónio.O nónio é um dispositivo, cuja invenção é atribuída a Pedro Nunes, que

nos permite efectuar a leitura das fracções de unidade, ou seja, das fracções damenor divisão de uma escala principal. O nónio é constituído por uma escalaprincipal e por uma pequena escala, que se pode fazer deslizar ao longo da escalaprincipal, e que está dividida em certo número n de partes iguais. Na figura 1(a) e (b) estão representados dois nónios.

mm0

0

10

10

mm0

0

10 20 30 40

2 4 6 8 10 14 16 18 20

(a) (b)

Escala principal

Escala auxiliar

Figura 1: (a) a 10 divisões da escala auxiliar correspondem 9 divisões da escalaprincipal (= 9 mm); (b) a 20 divisões da escala auxiliar correspondem 39 divisões daescala principal (= 39 mm).

Qual é o valor da menor divisão apreciável com cada um dos nónios repre-sentados na figura 1 (a) e (b)?Para estarmos em condições de responder a esta questão, vamos estudar em

primeiro lugar o caso mais simples do nónio representado na figura 1 (a). A 10divisões da escala auxiliar correspondem 9 divisões da escala principal, isto é,9 mm. Então, o valor da menor divisão da escala auxiliar é 9

10 mm, um poucomenos de 1 mm. A diferença entre a menor divisão da escala principal, 1 mm,e a menor divisão da escala auxiliar, 9

10 mm, é

1 mm− 9

10mm =

1

10mm

Esta diferença designa-se por natureza do nónio N .

1Accuracy em inglês.

3


Vamos agora olhar para o nónio da figura 1 (b). A 20 divisões da escalaauxiliar correspondem 39 mm. A menor divisão da escala auxiliar vale 39

20 mm,um valor próximo de 2 mm, conforme se pode ver na figura. A natureza donónio da figura 1 (b) é

2 mm− 3920mm =

1

20mm

De um modo geral, a escala auxiliar é escolhida de modo que a n das suas sub-divisões correspondem (kn− 1) divisões da escala principal conhecida, figura 2;k é um inteiro, que toma os valores 1 ou 2. No nónio representado na figura1(a) k = 1, no nónio da figura 1(b), k = 2.Sendo D o valor da menor divisão da escala principal e d o valor da menor

divisão da escala auxiliar, a natureza do nónio é a diferença entre kD e d,

N = kD − d (1)

Notemos que kD é a divisão da escala principal que mais se aproxima da menordivisão da escala auxiliar.O valor da menor divisão da escala auxiliar d é obtida de

nd = (kn− 1)D (2)

mm

0

0

10 20 30 40

2 4 6 8 10 1412 16 18 20

(kn-1)D

nd

Figura 2: A n divisões da escala auxiliar correspondem (kn−1) divisões da escalaprincipal. No nónio representado nesta figura a 20 divisões da escala auxiliar corres-pondem 39 = 2× 20− 1 divisões da escala principal, vem k = 2.

O significado desta relação está explicitada na figura 2. Vem,

d =(kn− 1)

nD = kD − D

n(3)

Substituindo (3) em (1) vem:

N = kD −µkD − D

n

¶=

D

n(4)

4


A natureza de um nónio pode assim, ser facilmente obtida, dividindo o valorda menor divisão da escala principal pelo número de divisões da escala auxiliar.A natureza de um nónio representado na figura 1(a) é, como vimos, 0.1 mme do nónio representado na figura 1(b) 0.05 mm, respectivamente, 1mm/10 e1mm/20, sendo 10 e 20 o número de divisões da escala auxiliar em cada um doscasos.Vamos agora ver como fazer a medição de um objecto de comprimento L

colocado entre as esperas fixa e móvel de uma craveira (fig. 3).

Figura 3: Medição de um objecto de comprimento L. O objecto A da figura deslocouo zero da escala auxiliar de 10 divisões da escala principal (L0 = 10 mm) e a coin-cidência entre o traço da escala auxiliar e da escala principal faz-se agora na divisãoi = 13. Como a natureza deste nónio é N = 0.05 mm, o comprimento do corpoA é L = L0+iN = 10 + 13× 0.05 = 10.65 mm.Da figura também concluímos quex+ id = kiD donde x = iD/n = iN .

Em geral, o objecto vai deslocar o zero da escala auxiliar de um númerointeiro de divisões da escala principal, a que corresponde um valor L0, maisuma quantidade x, menor que uma divisão da escala principal, que pretendemosavaliar com o nónio.

L = L0 + x

Se o zero da escala auxiliar coincidir exactamente com o traço correspondentea L0 então x = 0 e o comprimento do objecto será

L = L0

Como já dissemos (expressão 1) a natureza do nónio N mede o desvio entre adivisão da escala principal (kD) e a menor divisão da escala auxiliar (d). Seo objecto tiver um comprimento superior a L0 a coincidência entre o traço daescala auxiliar e o traço da escala principal vai estar deslocado de i divisões aque corresponde o valor iN = x e o comprimento do corpo A é

L = L0 + iN

5


Figura 4: Na prática, os nónios vêm graduados de forma a indicar directamente oproduto i.N, representado pela seta na figura, L = 10.65 mm.

Também podemos encontrar este resultado guiando-nos pela figura 3. Par-timos de,

x+ id = kiD

e substuindo d (eq. 3), vem:

x = iD

n= iN

Na figura 3 apresenta-se a medição de um objecto de comprimento L obtido doseguinte modo:

(a) Determina-se a natureza N do nónio;

(b) Desloca-se o nónio de modo a encaixar o objecto de comprimento L quese pretende medir;

(c) Lê-se o número L0 da escala principal correspondente ao traço da réguaque precede imediatamente o traço zero do nónio;

(d) Lê-se o número correspondente ao traço da escala auxiliar que coincidecom um dos traços da escala principal;

(e) O valor do comprimento L é dado por:

L = L0 + iN (5)

Na prática, os nónios vêm graduados de forma a indicar directamente oproduto iN como se indica na figura 4.

2.2 Palmer

Omicrómetro (ou palmer) é um instrumento de precisão que consta basicamentede um parafuso micrométrico capaz de se mover ao longo do próprio eixo. Éutilizado para medir espessuras de lâminas e diâmetros de fios ou tubos.

6


O parafuso micrométrico serve para medir com exactidão fracções da menordivisão de uma escala rectilínea. Quando se dá ao tambor do parafuso, repre-sentado a cinzento na figura 5, uma rotação completa, há um deslocamento nosentido longitudinal, medido na escala principal, igual ao passo do parafuso p.A natureza do parafuso é dada por:

N = p/n (6)

sendo n o número de divisões do tambor.

Figura 5: Representação esquemática das escalas de um parafuso micrométrico. Umaescala principal graduada em mm e, além desta, uma outra também graduada em mm,mas deslocada de forma a permitir leituras de 0.5 mm. Perpendicularmente a estasobservamos a escala do tambor, a cinzento na figura, que permite fazer leituras deuma pequena fracção do mm, conforme o passo do parafuso e as divisões do tambor.

Estudo do aparelho

1. Verificar qual o valor de cada uma das divisões da escala principal.

2. Contar o número de divisões n em que está dividido o tambor.

3. Determinar o passo do parafuso (p); para isso, dá-se uma rotação com-pleta ao parafuso, verificando-se na escala principal, qual o deslocamentolongitudinal da espera móvel.

4. Calcular a natureza do palmer (chama-se natureza do palmer, N ao menorcomprimento passível de ser medido pelo instrumento);

Para efectuar uma leitura, verificar inicialmente qual a divisão da escalaprincipal deixada a descoberto pelo tambor e mais próxima do seu bordo e,ainda, qual a divisão deste (i) que fica em coincidência com a linha de referência.A leitura será dada pela expressão:

L = L0 + iN = L0 + i(p/n) (7)

3 Incerteza nas medições experimentaisQualquer medida que efectuamos tem alguma incerteza associada. Um resul-tado é absolutamente inútil se não soubermos qual o seu grau de incerteza.Naturalmente, tentamos que as incertezas sejam tão pequenas quanto possível,mas, em qualquer caso, é necessário saber o valor dessas incertezas.

7


A incerteza na leitura de medições que usam escalas analógicas de varia-ção contínua é, como regra, metade do valor correspondente à menor divisãoapreciável (fig.6). A leitura no instrumento de medida deverá ser feita com amaior precisão possível, isto significa estimar até uma fracção da menor divisãoda escala do instrumento. Se a menor divisão for suficientemente grande parapermitir subdivisões mentais com segurança, a incerteza na leitura poderá serconsiderada como metade dessa subdivisão. Estes critérios dependem do ob-servador e terão de ser, por ele definidos, com todo o cuidado. Tomando comoexemplo os corpos representados na figura 6 poderia estimar para medidas doscorpos A, B e C, respectivamente, 2.8, 4.2 e 4.5 unidades da escala, ainda que,por segurança, continuasse a considerar como incerteza na leitura 0.5 unidadeda escala.

Figura 6: Supondo que não se faz uma estimativa, consideramos para o objectorepresentado pela seta A o valor 3 e para o objecto B o valor 4, por serem as divisões queestão, em cada um dos casos, mais próximas. No 1o caso estou a fazer uma aproximaçãopor excesso, no 2o caso por defeito. A maior incerteza que tenho numa leitura comesta escala é de metade de uma divisão e que acontece na situação representada peloobjecto C com uma dimensão que se situa sensivelmente a meio das divisões 4 e 5, aofazer uma aproximação para 4 ou para 5.

A incerteza na leitura em medições com instrumentos digitais é igual a umaunidade do último dígito representado, o algarismo menos significativo usado.As incertezas associadas à leitura numa escala ou mostrador digital de um

aparelho de medida são frequentemente designadas por erros de leitura.A incerteza de uma medição isolada é, normalmente, dada pelo erro de

leitura, relacionado com a resolução do instrumento de medida, a que serãoadicionados eventuais erros de calibração do aparelho.Em medições repetidas haverá sempre alguma dispersão de valores ainda

que, em alguns casos, seja muito pequena. A incerteza de uma medição devidaà dispersão de valores é normalmente maior que o valor que representa o errode leitura. São as incertezas aleatórias ou acidentais que se cometem aleatoria-mente nos dois sentidos e resultam do facto de a resolução dos aparelhos demedida ser finita ou da natureza estatística do próprio processo (por exemplo onúmero de núcleos que decaem numa desintegração radioactiva). O valor destasincertezas pode ser reduzido fazendo um tratamento estatístico de um número

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elevado de medidas. A precisão2 de uma medida é tanto maior quanto menorfor a dispersão δY nos valores de saída Y para o mesmo sinal de entrada X.Os resutados da medição de uma grandeza podem também estar afectados de

erros sistemáticos que originam resultados sempre no mesmo sentido (ou semprepor excesso, ou sempre por defeito). Uma má calibração do aparelho de medida,um defeito na posição do zero ou uma leitura feita de forma a originar erros deparalaxe por os raios visuais não estarem perpendiculares à escala originamerros sistemáticos que são muito diferentes das incertezas aleatórias. Os errossistemáticos podem, se detectada a sua origem, ser compensados pela aplicaçãode um factor de correcção, pela alteração de procedimentos ou, se for caso disso,pela substituição do aparelho de medida. Uma deficiente correcção dos errossistemáticos leva à perda de rigor ou exactidão da medida de que falámos nasecção 2.O resultado de uma medida experimental não é apenas um valor numérico

seguido de uma unidade, mas um intervalo de valores xexp ± ∆x, onde ∆xrepresenta uma estimativa razoável da incerteza da medição. Espera-se que ovalor exacto da grandeza esteja contido no intervalo considerado.Chamamos a atenção para a aplicação das palavras erro e incerteza. A

palavra erro é mais correctamente aplicada ao desvio entre o resultado de umamedição e o verdadeiro valor (ou ao valor aceite) de uma grandeza. A palavraincerteza é mais adequada para a dispersão de valores obtidos como resultadode medidas sucessivas. Contudo, a aplicação usual destes termos não respeitaesta ideia, e temos de tomar atenção ao contexto em que aqueles termos sãoaplicados.

4 Algarismos significativosAlgarismos significativos são os dígitos conhecidos numa medição. O uso cor-recto dos algarismos significativos assegura a representação correcta da incertezanuma medição. O dígito mais à direita será o único dígito afectado pela incertezaexperimental.A contagem é feita da esquerda para a direita, começando no primeiro alga-

rismo não nulo e terminando no primeiro algarismo afectado pela incerteza. Ozero à direita do ponto decimal conta como algarismo significativo ao contráriodo que acontece com os zeros à esquerda.Os números seguintes têm 3 algarismos significativos:

0.00231 0.231 2.31 23.1 231Os zeros dão frequentemente origem a confusões. Se pretendemos escre-

ver o número 2310 o mais adequado é usar notação científica e escrevemos2.31 × 103 se o zero não tem significado físico, e temos 3 algarismos significa-tivos, ou 2.310 × 103 se a precisão do resultado inclui aquele dígito, e temos 4algarismos significativos. Quando o resultado de uma medição é correctamenterepresentado em notação científica todos os dígitos são significativos.

2Precision em inglês.

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Os registos feitos na sequência de uma medição devem indicar todos os dígi-tos que a resolução do aparelho de medida permite. Assim, num cronómetrocom décimas de segundo, se o intervalo de tempo medido foi exactamente 6segundos, deverá ser registado 6.0 s.As quantidades definidas têm um número infinito de algarismos significa-

tivos. Na expressão do perímetro da circunferência, P = 2πR, o algarismo2 é exacto tem, portanto, um número infinito de algarismos significativos e πpode sempre ser representado com um número de algarismos superior ao dasmedições efectuadas, é assim que o devemos usar, com uma precisão superior àdas medições que realizamos, para que não contribua para a incerteza no resul-tado. É, portanto, incorrecto usar π = 3.14 se a medição de R tiver 3 ou maisalgarismos significativos.As operações efectuadas com os resultados das medidas devem conduzir a

resultados em que só último dígito apresentado está afectado de incerteza ex-perimental.Numa multiplicação ou numa divisão, como vemos no exemplo, pelo facto

de cada uma das medições ter o último dígito afectado de incerteza (algarismosublinhado) o resultado da operação apresenta um conjunto de algarismos afec-tados de incerteza; no exemplo, 5 dos 6 algarismos do resultado estão afectadospela incerteza experimental. O resultado a apresentar só deverá ter um al-garismo afectado de incerteza experimental, ou seja, neste caso, 2 algarismossignificativos.

4. 7 5 2× 3. 5

2 3 7 6 01 4 2 5 61 6. 6 3 2 0

Como regra, o resultado de um produto ou divisão terá tantos algarismos si-gnificativos quantos o do factor com menor número de algarismos significativos.Como pretendemos apresentar aquele resultado, 16.6320, com 2 algarismos sig-nificativos e o algarismo a seguir a 16. é 6 arredondamos o resultado para cimae indicamos o resultado 17.A adição ou subtracção de números com diferente número de decimais deve

manter o número de decimais da parcela com menor número de decimais.

4. 7 5 2+ 3. 5

8. 2 5 2

O resultado desta operação deverá ser indicada como 8.3, estando o algarismo3 afectado da incerteza experimental.De notar que estas são as regras a seguir para uma apresentação de resulta-

dos; em cálculos intermédios, cuja apresentação não seja passível de transmitirinformação sobre a precisão da medição não requerem, do ponto de vista de

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algarismos significativos, cuidados na sua apresentação. Um determinado re-sultado que vai entrar em cálculos posteriores deve mesmo manter mais um oudois algarismos do que os estritamente significativos.

5 Estimativa das incertezas aleatóriasQuando fazemos uma medição isolada o resultado vem afectado da incerteza as-sociada à resolução do aparelho de medida. Na repetição das medições observa-se uma dispersão de valores que designámos por incertezas aleatórias.Qualquer que seja a experiência, limitamo-nos a fazer um número finito de

medições. Os nossos valores representam uma amostra do conjunto infinito depossíveis resultados da medição de uma grandeza. Embora não possamos de-terminar exactamente a quantidade x queremos descrever a distribuição cons-tituída por todos os resultados possíveis das medições. Em geral, os resulta-dos distribuem-se simetricamente em torno do valor mais provável, podendoconsiderar-se o valor médio como a melhor estimativa do valor de x.

x =

nXi=1

xi

n(8)

Admitindo que podemos desprezar ou corrigir eventuais erros sistemáticos, es-peramos que os resultados das medições, em média, se distribuam em torno dovalor correcto. Outra característica habitual do conjunto de resultados obtidos éa sua distribuição em torno da média segundo uma curva gaussiana onde os valo-res mais afastados da média são pouco prováveis. A largura da distribuição dasmedidas experimentais pode ser parametrizada pelo desvio padrão da amostra,

σx =

vuuuutnXi=1

(xi − x)2

(n− 1) (9)

σx é um desvio quadrático médio - raiz quadrado da soma do quadrado dosdesvios das medidas xi relativamente ao valor médio x, dividido pelo número demedições menos uma. Ao dividimos por (n− 1) e não por n estamos a corrigiro facto de a nossa amostra não ser infinita. Numa distribuição gaussiana ounormal (fig. 7) esperamos que 68% dos valores experimentais se encontrem nointervalo [x− σx;x+ σx] e 95% no intervalo [x− 2σx;x+ 2σx].Se se realizarem n conjuntos de medidas, as médias respectivas também se

distribuem segundo uma gaussiana, cuja largura, parametrizada pelo respectivodesvio padrão da média, é

σx =σx√n=

vuuuutnXi=1

(xi − x)2

n (n− 1) (10)

11


Figura 7: Distribuição de probabilidade dos resutados da medição de uma grandezaem torno de um valor médio m

que pode ser considerado a incerteza da média de um conjunto único de nmedidas.Se as medições x1, x2, ... da grandeza x forem obtidas com precisões dife-

rentes o que acontece, por exemplo, se forem usadas técnicas diferentes, se foralterado o instrumento de medida ou o observador, o valor médio de x deve sercalculado de forma a ter em conta essas diferenças de precisão; quanto maior fora precisão e, portanto, menor for a incerteza associada à medição, maior seráa sua contribuição, isto é, o peso desta medição no cálculo da média. A médiapesada ou ponderada3 é definida por:

x =

nPi=1

xiσ2i

nPi=1

1σ2i

(11)

Existem alguns critérios que permitem rejeitar um valor isolado que se afastemuito do restante conjunto de valores. Estes critérios baseiam-se nas dis-tribuições estatísticas esperadas. Por exemplo, para a distribuição gaussiana, a

3À média pesada associa-se o desvio padrão da média pesada σx =

n

i=1

(xi−x)2

σ2i

(n−1)n

i=1

1σ2i

. A

incerteza definida por σj =1n

i=1

1σ2i

reflecte a consistência interna das observações, devendo,

as incertezas definidas por estas duas relações ter valores próximos.

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probabilidade de que uma medição caia fora do intervalo definido por 3 desviospadrões é igual a 0.33% (P (x /∈ [x− 3σx;x+ 3σx]) = 0.33%) pelo que, podeconsiderar-se como critério, não conservar valores que, num conjunto de n me-didas (n > 10), se afastem mais do que 3σx do valor médio x, calculando x eσx com os restantes n− 1 valores. Quando o número de valores é pequeno4 nãose podem rejeitar valores.Se o número de medições for pequeno (n < 10) não faz sentido calcular o

desvio padrão e a incerteza é tomada igual ao módulo do maior desvio detectado,designado habitualmente por limite superior do erro.

∆x = max {|xi − x|} (12)

Dispondo de um conjunto de medições de uma grandeza podemos construircom elas um histograma para nos apercebermos do modo como se distribuemos valores. Para isso dividimos o intervalo onde se situam os resultados dasmedições em sub-intervalos a que chamamos classes e contamos o número deacontecimentos, frequência, em cada uma das classes. O gráfico do número deacontecimentos em cada classe constitui o histograma. A escolha do intervalodas classes poderá ter de ser feita por tentativas; intervalos correspondentesa σ/2 ou σ/3 conduzem, se o número de medições for elevado, normalmente,ao aparecimento evidente de certas regularidades estatísticas. Os intervalos deamplitude h são da forma ]x0 + j − h/2, x0 + j + h/2] sendo j = 0,±1,±2, · · ·e onde h é um valor aproximado de σ/2 ou σ/3 e x0 próximo de x.

6 Propagação de incertezasSuponhamos que o cálculo do resultado R envolve várias grandezas indepen-dentes x, y, z, · · · medidas experimentalmente, e com incertezas associadas: ∆x,∆y,∆z, · · · :

x±∆x, y ±∆y, z ±∆z, · · ·

A grandeza R é uma função destas variáveis, R = f(x, y, z, · · · ).Para obter a incerteza associada a R para pequenas variações de x, y, z, · · · ,

utilizamos a diferencial total

dR =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy +

∂f

∂zdz + · · ·

Agora substituímos as pequenas variações dR, dx, dy, dz, · · · pelas incertezas∆R,∆x,∆y,∆z, · · · . Além disso, como as variáveis x, y, z, · · · são completa-mente independentes, para termos a certeza de que obtemos a gama completade valores de ∆R originados por estas incertezas, tomamos os valores absolutosdas derivadas de modo que as parcelas se adicionam sempre. Obtemos

∆R =

¯̄̄̄∂f

∂x

¯̄̄̄∆x+

¯̄̄̄∂f

∂y

¯̄̄̄∆y +

¯̄̄̄∂f

∂z

¯̄̄̄∆z + · · · (13)

4Não existe um critério geral acerca do número mínimo de observações a partir do qualse pode usar a análise estatística dos dados. Vamos considerar que cerca de 10 observaçõesconstituem um limite aceitável para fazermos aquele tratamento.

13


onde tomamos ∆x,∆y,∆z, · · · positivos. A utilização correcta dos algarismossignificativos conduz a um valor final de ∆R com 1 ou, no máximo, 2 algarismossignificativos.Esta expressão para o cálculo da incerteza ∆R é aplicada quando a determi-

nação de R = f(x, y, z, . . .) é obtida a partir de um número pequeno de medições(que aqui considerámos ser inferior a 10) de cada uma das grandezas x, y, z, . . .;os valores de ∆x,∆y,∆z, · · · que entram no cálculo de (13) são, portanto, osvalores do limite superior do erro, que, no caso de uma única medição de cadauma das grandezas x, y, z, . . . se reduz ao erro de leitura na medição daquelasgrandezas.Se a medição repetida das grandezas x, y, z, . . . permite um tratamento es-

tatístico que conduza aos valores dos desvios padrão σx, σy, σz, . . . a incertezaem R = f(x, y, z, . . .) é dada pelo desvio padrão de R definido por:

σR =

sµ∂f

∂x

¶2σ2x +

µ∂f

∂y

¶2σ2y +

µ∂f

∂z

¶2σ2z + . . . (14)

Vamos mostrar que assim é, exemplificando para uma função de 2 variáveis,f(x, y). Foram feitas n medições das grandezas x e y

x1, x2, ..., xn

y1, y2, ..., yn

tendo obtido x±σx e y±σy. A incerteza emR = f(x, y) será dada pela grandeza,desvio padrão, raiz quadrada da soma do quadrado dos desvios dividida por(n− 1),

σR =

vuuut nPi=1

(f(x, y)− f(xi, yi))2

n− 1 =

vuuut nPi=1

(dfi)2

n− 1 (15)

Vamos fazer este cálculo. Partimos da expressão da diferencial total aplicada acada uma das medições,

dfi =∂f

∂xdxi +

∂f

∂ydyi

onde³∂f∂x

´e³∂f∂y

´são calculados no ponto (x, y). Tomamos o quadrado da

expressão anterior e obtemos

(dfi)2 =

µ∂f

∂x

¶2dx2i +

µ∂f

∂y

¶2dy2i +

∂f

∂x

∂f

∂ydxidyi

Substituindo em (15) vem:

σR =

vuuut nPi=1

∙³∂f∂x

´2dx2i +

³∂f∂y

´2dy2i +

∂f∂x

∂f∂y dxidyi

¸n− 1 (16)

14


O somatório em (16) pode ser simplificado admitindo que, para um grandenúmero n de medições, a soma dos termos cruzados é nula, pois é de esperarque, sendo os desvios dxi e dyi uns positivos e outros negativos, os produ-tos dxidyi sejam, também eles, uns positivos e outros negativos e o somatórionPi=1

∂f∂x

∂f∂y dxidyi se anule, donde

σR =

vuuut nPi=1

∙³∂f∂x

´2dx2i +

³∂f∂y

´2dy2i

¸n− 1 (17)

De acordo com (9) a expressão anterior toma a forma

σR =

sµ∂f

∂x

¶2σ2x +

µ∂f

∂y

¶2σ2y (18)

como queríamos mostrar.A expressão (14) é também a expressão da incerteza a usar quando as

grandezas x, y têm uma natureza intrínseca que é estatística.

7 Apresentação de dados e resultadosO resultado final da medição de uma grandeza R, obtida directa ou indirec-tamente, e da incerteza associada é apresentado na forma R ± ∆R. ∆R e Rdevem, para facilitar a comparação, estar na mesma unidade e, quando emnotação científica, com os mesmos expoentes da potência de 10.Qualquer das seguintes formas para representar o resultado 25.32 cm, de

uma medição feita com uma régua, está correcta:(25.32± 0.05) cm(253.2± 0.5) mm(2.532± 0.005)× 10−1 m.Sempre que possível os dados devem aparecer sob a forma de tabelas. As

regras da sua apresentação são sempre regras de bom senso. Devem permitiridentificar claramente as grandezas medidas e a precisão com que foram tomadasas medidas, sem conter informação repetida.Para quê criar uma coluna em que todos os valores são iguais? Esses dados

podem fazer parte do informativo da tabela sob a forma de cabeçalho ou notaabaixo da tabela.Para quê repetir em todas as leituras a unidade em que foram feitas as

medições? Essa informação deve estar ao cimo da coluna juntamente com osímbolo da grandeza medida.A mesma tabela pode conter grandezas medidas directamente e outras in-

directamente a partir daquelas. Utilize uma folha de cálculo para estabelecerestas relações e construir a tabela.A representação gráfica dos valores obtidos é, em muitas situações, uma

ferramenta de trabalho indispensável, quer porque nos pode permitir conhecer

15


o tipo de relação entre duas grandezas: linear, quadrática, exponencial, .... ,quer porque, admitindo conhecida a relação entre aquelas duas grandezas, nospermite conhecer outras grandezas físicas envolvidas. Um gráfico é também ummeio poderoso para, de uma forma rápida, transmitirmos a informação maisrelevante de um determinado processo. Destas premissas advêm os cuidadosque devemos pôr no seu traçado.Em cada um dos eixos deve aparecer claramente a grandeza e a unidade

em que está expressa, além de uma escala de leitura fácil (note-se que é sóuma escala, não pretende dar informação sobre os algarismos significativos dasmedições, essa informação consta da tabela). Um outro aspecto muito im-portante: os pontos experimentais são um elemento fundamental do gráfico,portanto, eles não podem ficar encobertos por qualquer linha, mesmo o traçadocorrespondente a uma função fisicamente significativa ajustada aos pontos ex-perimentais, deve ser feito em traço fino de forma a respeitar a visualização dospontos experimentais.

8 Método dos mínimos quadradosFrequentemente, a relação entre duas grandezas é linear ou pode ser tratada deforma a ser traduzida por uma relação linear. Vamos restringir-nos às situaçõesque possam ser descritas por relações lineares.O movimento de um corpo lançado de cima de uma torre com velocidade

horizontal v0x é descrito pelas equações,

x = x0 + v0xt

y = y0 + gt2/2

onde a direcção do eixo dos yy foi escolhida como a direcção da aceleração dagravidade e (x0, y0) são as coordenadas do ponto de onde é feito o lançamento.A primeira equação exprime uma relação linear entre o espaço percorrido

x−x0 e o intervalo de tempo t necessário para o percorrer; o traçado do gráfico,posição x em função de t é traduzido por uma recta cujo declive é v0x e aordenada na origem x0. Na 2a equação o espaço percorrido y−y0 é uma funçãoquadrática do tempo t mas a relação de y com t2 é uma recta cujo declive é g/2e a ordenada na origem y0.Um modo de obter os parâmetros da recta Y = AX + B que melhor des-

creve a relação entre os pontos experimentais (Xi, Yi) é representar em papelmilimétrico os valores da grandeza Y em função dos valores deX e traçar a rectaque melhor parece minimizar as distâncias aos pontos experimentais (Xi, Yi).Nesta situação, os desvios médios à recta dos pontos experimentais situadosacima e abaixo dessa recta, deverão ser aproximadamente iguais. O declive Ada recta é obtido com base em dois pontos (X1, Y 1) e (X2, Y 2) da recta,

A =Y 2− Y 1

X2−X1(19)

16


A ordenada na origem B é o valor de Y onde a recta cruza o eixo dos yy (valorde Y para X = 0).Matematicamente, o método para encontrar os parâmetros A e B da recta

que melhor se ajusta aos pontos experimentais (Xi, Yi), no pressuposto de queentre as grandezas X e Y se pode estabelecer uma relação linear, é o métododos mínimos quadrados.

8.1 Relação Y = AX +B

Vamos apresentar as bases do método dos mínimos quadrados usado no ajustede uma recta Y = AX +B aos pontos experimentais (Xi, Y i) para determinaros parâmetros A e B.Dado um conjunto de pontos experimentais (Xi, Yi) pretendemos conhecer

os parâmetros A e B da recta Y = AX + B que melhor se ajusta aos pontosexperimentais, o mesmo é dizer, tal que a diferença entre os valores Y 0

i determi-nados, para cada Xi, a partir da recta ajustada e os valores experimentais Yi ,Di = Yi − Y 0

i = Yi − (AXi +B) seja a menor possível. Isto é feito minimizandoa soma do quadrado das diferenças,

nXi=1

D2i

n

=Xi=1

(Yi − Y 0i )2 =

nXi=1

¡Y 2i +A2X2

i +B2 + 2ABXi − 2YiB − 2AXiYi¢

(20)relativamente a A e B,

∂

∙nPi=1

D2i

¸∂A

= 0 (21)

∂

∙nPi=1

D2i

¸∂B

= 0 (22)

Vem

AnXi=1

X2i +B

nXi=1

Xi −nXi=1

XiYi = 0 (23)

Bn+AnXi=1

Xi −nXi=1

Yi = 0 (24)

Prosseguindo o desenvolvimento5 obtemos

A =

nnPi=1

XiYi −nPi=1

Xi

nPi=1

Yi

∆(25)

B =

nPi=1

X2i

nPi=1

Yi −nPi=1

Xi

nPi=1

XiYi

∆(26)

5 em adenda

17


onde ∆ = nnPi=1

X2i −

µnPi=1

Xi

¶2.

A forma de determinar a precisão de um ajuste dos dados experimentais àfunção respectiva mede-se pelo coeficiente de correlação linear, r. Este é definidopor:

r =

nnPi=1

XiYi −nPi=1

Xi

nPi=1

Yivuut∆"n nPi=1

Y 2i −

µnPi=1

Yi

¶2# (27)

Se houver um ajuste perfeito, ou seja, se todos os pontos coincidirem sobre arecta, então r = 1; se os dados estiverem dispersos, então r afasta-se de 1 etende para 0.Certamente que as medições experimentais das grandezas X,Y que conduzi-

ram aos n pontos experimentais (XiYi) estão afectadas de incertezas. Paranão dificultar o entendimento das ideias fundamentais do método dos mínimosquadrados linear optámos por não incluir, nesta apresentação, as incertezas nospontos experimentais. Do ponto de vista de valores obtidos no cálculo dosparâmetros A e B, isto é idêntico a considerar que a incerteza é a mesma paratodos os pontos.As incertezas que afectam os parâmetros A e B pode provir das incertezas as-

sociadas à medição das grandezas X,Y 6 e das incerteza proveniente dos desviosentre a recta ajustada e os pontos experimentais, estas são dadas por:

σA =

snδ2Y∆

(28)

σB =

vuutδ2YnPi=1

X2i

∆(29)

onde δ2Y =

n

i=1(Yi−AXi−B)2

n−2 .

8.2 Relação Y = AX

Para o caso de a recta a ajustar ser do tipo Y = AX o mesmo tipo de raciocínioconduz a:

A =

nPi=1

XiYi

nPi=1

X2i

(30)

6Se todas as medições Yi tiverem a mesma incerteza σ e a incerteza nas medições da

grandeza X poder ser desprezada vem: σA = σ/n

i=1X2i e σB = σ/

√n.

18


e a incerteza no parâmetro A é dada por

σA =

vuuuuutn

i=1(Yi−AXi)

2

n−1nPi=1

X2i

(31)

8.3 Observações

O método dos mínimos quadrados permite obter os parâmetros da recta quemelhor se ajusta aos pontos experimentais. Se o número de pontos experimentaisfôr pequeno podemos ainda usá-lo para encontrar a recta que melhor se ajustaaos pontos experimentais. Contudo, as expressões que apresentámos para ocálculo das incertezas nos parâmetros é baseado num tratamento estatístico dosdados e, os valores, deste modo obtidos, terão sempre de ser tomados como umaestimativa muito optimista da incerteza que afecta os parâmetros.

19


Adenda

• Obtenção das expressões (25) e (26) dos parâmetros A e B que minimizamnPi=1

D2i onde Di = Yi − Y 0

i = Yi − (AXi +B)

nXi=1

D2i =

nXi=1

(Yi − (AXi +B))2

=nXi=1

³Y 2i + (AXi +B)

2 − 2Yi (AXi +B)´

=nXi=1

¡Y 2i +A2X2

i +B2 + 2ABXi − 2YiB − 2AXiYi¢

=nXi=1

Y 2i +A2

nXi=1

X2i + nB2 + 2AB

nXi=1

Xi − 2AnXi=1

XiYi − 2BnXi=1

Yi

(32)

Condições de minimização denPi=1

D2i :

∂

∙nPi=1

D2i

¸∂A

= 2AnXi=1

X2i + 2B

nXi=1

Xi − 2nXi=1

XiYi = 0 (33)

∂

∙nPi=1

D2i

¸∂B

= 2Bn+ 2AnXi=1

Xi − 2nXi=1

Yi = 0 (34)

Desta última relação vem:

B =

nXi=1

Yi −AnXi=1

Xi

n(35)

que, substituindo em (33) conduz a

2AnXi=1

X2i +

2

n

ÃnXi=1

Yi −AnXi=1

Xi

!nXi=1

Xi − 2nXi=1

XiYi = 0

A

⎛⎝ nXi=1

X2i −

1

n

ÃnXi=1

Xi

!2⎞⎠ =nXi=1

XiYi −1

n

nXi=1

Xi

nXi=1

Yi

20


donde

A =

nXi=1

XiYi − 1n

nXi=1

Xi

nXi=1

Yi

nXi=1

X2i − 1

n

ÃnXi=1

Xi

!2ou

A =

n

nXi=1

XiYi −nXi=1

Xi

nXi=1

Yi

nnXi=1

X2i −

ÃnXi=1

Xi

!2 (36)

Substituindo a expressão de A em (35) vem

B =1

n

nXi=1

Yi −

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝nXi=1

XiYi − 1n

nXi=1

Xi

nXi=1

Yi

nnXi=1

X2i −

ÃnXi=1

Xi

!2⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠

nXi=1

Xi

B =

nXi=1

X2i

nXi=1

Yi − 1n

ÃnXi=1

Xi

!2 nXi=1

Yi −nXi=1

Xi

nXi=1

XiYi +1n

ÃnXi=1

Xi

!2 nXi=1

Yi

nnXi=1

X2i −

ÃnXi=1

Xi

!2

=

nXi=1

X2i

nXi=1

Yi −nXi=1

Xi

nXi=1

XiYi

nnXi=1

X2i −

ÃnXi=1

Xi

!2

21

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