Técnicas Laboratoriais de Física Ano Lectivo 2010/11

Departamento de Física da FCTUC 1/2

Folha de Problemas Nº 2

Média, desvio padrão e desvio padrão da média

1 – a) Um estudante mede a densidade de um líquido 5 vezes e obtém os seguintes resultados,

todos em g.cm-3: 1.8, 2.0, 2.0, 1.9, 1.8. Com base nestes resultados, qual sugere que seja a melhor estimativa para o valor da densidade do líquido?

b) O estudante é informado que o valor aceite é de 1.85 ± 0.04 g.cm-3. Caracterize a discrepância entre a melhor estimativa do estudante e o valor aceite.

R: a) 1.90 ± 0.04 g.cm-3; b) A discrepância (= 0.05 g.cm-3) não é significativa, pois é menor do que a soma das incertezas dos dois valores (os dois intervalos experimentais interceptam-se, portanto).

2 – a) Ao realizarem-se várias medidas do tempo nas mesmas condições experimentais, foram

obtidos os seguintes resultados: 8.16, 8.14, 8.12, 8.16, 8.18, 8.10, 8.18, 8.18, 8.18, 8.24, 8.16, 8.14, 8.17, 8.18, 8.21, 8.12, 8.12, 8.17, 8.06, 8.10, 8.12, 8.10, 8.14, 8.09, 8.16, 8.16, 8.21, 8.14, 8.16, 8.13

a) Calcule a média, o desvio padrão e o desvio padrão da média das primeiras 10 medidas de tempo (1ª linha de resultados);

b) Calcule a média, o desvio padrão e o desvio padrão da média das primeiras 20 medidas de tempo (duas primeiras linhas de resultados);

c) Calcule a média, o desvio padrão e o desvio padrão da média das 30 medidas de tempo (todos os resultados);

d) Determine as variações percentuais relativas das três grandezas à medida que aumentou o nº de medidas. Compare e comente os resultados obtidos.

e) Qual o significado do desvio padrão? f) Tendo em conta todas as medidas efectuadas, qual a melhor estimativa para o tempo

medido? R: a) t =8.164 s; tσ =0.03864 s; tσ =0.01222 s; b) t =8.154 s; tσ =0.04171 s; tσ =0.009327 s;

c) t =8.149 s; tσ =0.03930 s; tσ =0.007175 s; d) t : 0.12%, 0.06%; tσ : 7%, 6%; tσ : 31%, 30%. A média varia muito pouco; o desvio padrão varia pouco; o desvio padrão da média diminui significativamente com o aumento do nº de medidas. e) É a incerteza média que podemos associar a cada medida depois de análise do conjunto de medidas. Substitui a estimativa inicial do erro de leitura associado, à partida, a cada valor. f) tt σ± =8.149(7) s.

3 - a) Tendo em conta as medidas de tempo do problema anterior, veremos mais tarde que se

espera que cerca de 68% dos valores observados estejam dentro do intervalo tt σ± . Relativamente às 30 medidas de tempo efectuadas, quantas esperaria que ficassem fora desse intervalo? E quantas ficaram, de facto, fora?

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b) Como também veremos mais tarde, espera-se que 95% dos valores medidos estejam

dentro do intervalo t2t σ± . Relativamente às 30 medidas de tempo efectudas, quantas esperaria que ficassem fora desse intervalo? E quantas estão, de facto, fora?

c) Como interpreta os resultados das alíneas a) e b)? R: a) 9.6; 8; b) 1.5; 2; c) Estatisticamente. São cálculos probabilísticos. A diferença entre

o valor esperado e o valor encontrado é tanto menor quanto maior for a probabilidade.

4) Um estudante mede 5 vezes a carga q de um condensador, obtendo os seguintes resultados (em microcoulombs): 1.2, 1.4, 1.6, 1.6 e 1.2.

a) Determine a média, o desvio padrão e o desvio padrão da média.

b) Com base nestes resultados, que valor deve ser tomado como incerteza δq das medidas posteriores da carga do condensador, se o estudante quiser estar 95% seguro de que o valor correcto está dentro do intervalo qq δ± ?

R: a) 1.40 µC, 0.2 µC, 0.09 µC; b) 2σq = 0.4 µC

5) Analise cada um dos valores da Tabela 1 de resultados de várias medições da mesma grandeza (em unidades arbitrárias):

Tabela 1 55.06 54.92 54.98 55.02 55.02 55.00 58.12 54.99 55.03 54.97

Uma vez feita essa análise, proponha um valor mais provável para a grandeza medida. R: a) 54.999±0.013 u.a.

6 - a) Calcular o desvio padrão σx de N medidas x1, …, xN de uma quantidade física x requere a

determinação da soma ( )∑=

−N

1i

2i xx . Prove que esta soma pode ser reescrita como:

( )2N

1ii

N

1i

2i

N

1i

2i x

N

1xxx

−=− ∑∑∑===

.

De facto, muitas calculadoras utilizam esta segunda fórmula no cálculo do desvio padrão, por necessitar de muito menos memória, uma vez que não precisa do cálculo valor médio.

b) Verifique a equivalência das duas fórmulas utilizando os dados do problema 4. [A sua calculadora também lhe deve fornecer os somatórios ∑

iix e ∑

i

2ix .]