Mecânica (Professor: Sidclei) M.C.U.: (unidade 09)

No M.C.U.definido como sendo o tempo que o móvel demora para efetuar uma volta completa (ciclo). Como o MCU é um movimento periódico, esse tempo é constante e representado pela letra (T).

Assim, por exemplo, o período do ponteiro das horas de um relógio é 12h, o dos minutos, 1h ou 60minutos e o dos segundos, 60 segundos. O período de rotação da Terra é de 24 horas, etc. Quando expressa no Sistema Internacional de Unidades (SI), o período deve ser medido em segundos (s).

No MCU, a frequência é definida com sendo o número de voltas completas (ciclos) que um móvel ou ponto material efetua na unidade de tempo.

Unidades de frequência no SI – são normalmente usadas: (voltas)/s, ou (ciclos)/s, (oscilações)/s ou ainda (vibrações)/s, às quais denomina-se hertz, cujo símbolo é Hz

Algumas vezes pode surgir também como unidade de freqüência a rpm (rotações por minuto), cuja relação com o Hz é: 1 R.p.s (Hz) = 60 R.p.m

 

A frequência (F) está relacionada com o período(T) por:

Velocidades no Movimento Circular Uniforme:

Quando uma partícula descreve um movimento circular podemos determinar a rapidez com que ela se move de duas maneiras diferentes:· considerando a variação de posição “s” medida sobre a trajetória e· considerando a variação de ângulo “” que a partícula descreve em relação ao centro da circunferência.

Portanto para um movimento circular são definidas duas velocidades:

Velocidade escalar , linear ou tangencial ( v ):

É a razão entre a variação de posição ( arco percorrido , distância percorrida ) e o intervalo de tempo em que esta variação ocorreu. Ela indica a rapidez com que o móvel percorre a circunferência.

Como o movimento é uniforme , a partícula percorre distâncias iguais em tempos iguais , então a velocidade escalar é constante.Para 1 volta completa,temos:

ΔS = 2πR ( comprimento da circunferência que corresponde ao “s”); Δt =T  ( período do movimento que corresponde ao “t”).

Aplicando a equação acima para uma volta completa na circunferência fica:

Como      pode-se chegar em

V=2RF

A unidade de velocidade escalar ou linear no Sistema Internacional é: m/s.

Velocidade angular ():

É a razão entre o ângulo descrito “” em relação ao centro da circunferência e o intervalo de tempo gasto em descrevê-lo. Ela indica a rapidez com que o móvel descreve ângulos.

Como o movimento é uniforme a partícula descreve ângulos iguais em tempos iguais, então a velocidade angular  é constante.Aplicando a equação acima para uma volta completa na circunferência fica:

onde :“2” é o ângulo em radianos correspondente a uma volta completa ( equivalente a 360º )  e “T” é o período do movimento que corresponde ao “t”

Como         pode-se chegar em :

 = 2f

Quando é calculada a velocidade angular para uma volta , já está determinada para todas as voltas que o móvel possa fazer pois o movimento é uniforme. A unidade de velocidade angular no Sistema Internacional é: rad / s.

OBS : 2 radianos = 6,28 radianos = 360o

           radianos = 3,14 radianos = 180o

          1 radiano = 57,3o ( aprox. )

Relação entre Velocidade linear ( v ) e a Velocidade angular ():

Na figura abaixo, tem-se:

ou

O que você deve saber

a) Os dois carros A e B da figura mantêm-se lado a lado numa pista circular, no intervalo de tempo Δt. Seus raios nesse MCU são, respectivamente, RA e RB.

O carro B terá maior velocidade (escalar, linear) V=ΔS/Δt, pois deverá percorrer maior distância ΔS para, no mesmo intervalo de tempo, poder acompanhar o carro A, ou seja,VA>VB.  Mas, como “varrem” o mesmo ângulo (Δφ) no mesmo intervalo de tempo, suas velocidades angulares (W= Δφ/Δt) serão iguais, ou seja, WA=WB.

b)O trator da figura abaixo mantém velocidade escalar constante V. Observe que cada ponto da periferia das rodas da frente e de trás, possuem a mesma velocidade que a do trator, ou seja, Vf=Vt=V.

Mas, possuem velocidades angulares diferentes, pois W=2π/R e assim, W é inversamente proporcional a R, e como o raio da roda da frente é menor, ela gira mais que a maior tendo maior velocidade angular que a mesma  ---  Wf > Wt .

c) Bicicletas: Possuem coroas dentadas dianteiras (onde estão os pedais) unidas por uma corrente às coroas dentadas traseiras (ligadas ao eixo da roda traseira).

O número de voltas efetuadas pela roda traseira a cada pedalada, que corresponde a uma volta completa dos pedais da roda dentada dianteira, depende do tamanho relativo das coroas que estão ligadas pela corrente e obedecem à relação fd.Rd=ft.Rt,, lembrando que a freqüência da roda dentada traseira (ft) é a mesma que a da roda traseira. Assim, se você quiser manter alta velocidade, você deve acionar a coroa dianteira de maior raio com a coroa traseira de menor raio e se você quiser fazer menos esforço numa subida íngreme, você deve acionar a coroa dianteira de menor raio com a coroa traseira de maior raio (veja que nesse caso a velocidade diminui)

 

Função horária do MCU

Da definição de radiano temos:

Desta definição é possível obter a relação:

E também é possível saber que o arco correspondente a 1rad é o ângulo formado quando seu arco S tem o mesmo comprimento do raio R.

A equação acima recebe o nome de equação (função) horária do MCU na forma angular, e aos termos φ e φo dá-se o nome de fases (ou ângulos) final e inicial, respectivamente

 

Exercicios de M.C.U.

1. (UFB) Um menino passeia em um carrossel. Sua mãe, do lado de fora do carrossel, observa o garoto passar por ela a cada 30 s.

Determine a frequência do carrossel em Hz e rpm.

 2. (PUC-RS) A freqüência e o período dos minutos de um relógio são, respectivamente:

a) (1/3.600) Hz e 3.600 s     b) (1/60) Hz e 3.600 s          c) (1/60) Hz e 60 min          d) 60 Hz e 60 s          e) 60 Hz e (1/60) min

 3. (CPS-SP) Para dar o efeito da saia rodada, o figurinista da escola de samba coloca sob as saias das baianas uma armação formada por três tubos plásticos, paralelos e em forma de bambolês, com raios aproximadamente iguais a r1 = 0,50 m, r2 = 0,75 m e r3 = 1,20 m.

Pode-se afirmar que, quando a baiana roda, a relação entre as velocidades angulares (W) respectivas aos bambolês 1, 2 e 3 é

 

4. (UFSM-RS) Um trator tem as rodas traseiras maiores do que as dianteiras e desloca-se com velocidade constante.

Pode-se afirmar que, do ponto de vista do tratorista, os módulos das velocidades lineares de qualquer ponto das bandas de rodagem das rodas da frente (vf) e de trás (vt) e os módulos das velocidades angulares das rodas da frente (Wf) e de trás (Wt) são

a) vf > vt e Wf > Wt     b) vf > vt e Wf < Wt                  c) vf < vt e Wf = Wt                    d) vf = vt e Wf > Wt

e) vf = vt e Wf = Wt

5. (UFB) A polia da figura abaixo está girando em torno de um eixo (ponto 0). O ponto B dista 1m de 0 e o ponto A, 0,5m de 0.

Sabendo que a polia gira com freqüência de 10Hz, Pede-se:

a) O período de rotação de cada ponto

b) a velocidade escalar de cada ponto

c) a velocidade angular de cada ponto

 6. (PUCCAMP-SP) Em uma bicicleta que se movimenta com velocidade constante, considere um ponto A na periferia da catraca e um ponto B na periferia da roda.

 Analise as afirmações:

I. A velocidade escalar de A é igual à de B.

II. A velocidade angular de A é igual à de B.

III. O período de A é igual ao de B.

Está correto SOMENTE o que se afirma em:     

a) I                           b) II                               c) III                            d) I e III                             e) II e III

 7. (FGV-SP) Toda caneta esferográfica possui em sua ponta uma pequena esfera feita de liga de tungstênio, cuja

finalidade é transferir a tinta do reservatório para o papel. Quando um desenhista traça uma linha reta, transladando sua caneta com velocidade constante v = 0,2 m/s,a pequena esfera de 0,8 mm de diâmetro gira sobre seu centro com velocidade angular ω, em rad/s, de valor:a) 160                      b) 200                        c) 250                    d) 400                         e)500

8. (CPS) Um cidadão brasileiro resolve construir uma bicicleta com objetivo de contribuir para a melhoria da qualidade do ar e de sua própria saúde. A bicicleta possui uma corrente que liga uma coroa dentada dianteira (D) movimentada pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda traseira (T). O rendimento da roda traseira depende do tamanho relativo das coroas.

Dos esquemas das coroas representadas a seguir, a roda traseira que dá o maior número de voltas por pedaladas é:

9. (UEJF-MG) Um velocímetro comum de carro mede, na realidade, a velocidade angular do eixo da roda, e indica um valor que corresponde à velocidade do carro. O velocímetro para um determinado carro sai da fábrica calibrado para uma roda de 20 polegadas de diâmetro (isso inclui o pneu).

Um motorista resolve trocar as rodas do carro para 22 polegadas de diâmetro. Assim, quando o velocímetro indica 100km/h, a velocidade real do carro é:

a) 100km/h                      b) 200km/h            c) 110km/h                      d) 90km/h                      e) 160km/h

 10. (UFPR-PR) Recentemente, o ônibus espacial Discovery levou tripulantes ao espaço para realizarem reparos na estação espacial internacional.

A missão foi bem-sucedida e o retorno ocorreu com segurança. Antes de retornar, a nave orbitou a Terra a cerca de 400 km de altitude em relação a sua superfície, com uma velocidade tangencial de módulo 26000 km/h. Considerando que a órbita foi circular e que o raio da Terra vale 6400 km, qual foi o número de voltas completas dadas em torno da Terra num período de 6,8π horas?

a) 10.           b) 12.             c) 13.                   d) 15.                   e) 17.

 11.(ENEM-MEC) Na preparação da madeira em uma indústria de móveis, utiliza-se uma lixadeira constituída de quatro grupos de polias, como ilustra o esquema ao lado. Em cada grupo, duas polias de tamanhos diferentes são interligadas por uma correia provida de lixa. Uma prancha de madeira é empurrada pelas polias, no sentido A ë B (como indicado no esquema), ao mesmo tempo em que um sistema é acionado para frear seu movimento, de modo que a velocidade da prancha seja inferior à da lixa.

O equipamento anteriormente descrito funciona com os grupos de polias girando da seguinte forma:a) 1 e 2 no sentido horário; 3 e 4 no sentido anti-horário.b) 1 e 3 no sentido horário; 2 e 4 no sentido anti-horário.c) 1 e 2 no sentido anti-horário; 3 e 4 no sentido horário.d) 1 e 4 no sentido horário; 2 e 3 no sentido anti-horário.e) 1, 2, 3 e 4 no sentido anti-horário.

  12. (UNESP-SP) Satélites de órbita polar giram numa órbita que passa sobre os pólos terrestres e que permanece sempre em um plano fixo em relação às estrelas.

Pesquisadores de estações oceanográficas, preocupados com os efeitos do aquecimento global, utilizam satélites desse tipo para detectar regularmente pequenas variações de temperatura e medir o espectro da radiação térmica de diferentes regiões do planeta. Considere o satélite a 5 298 km acima da superfície da Terra, deslocando-se com velocidade de 5 849 m/s em uma órbita circular. Estime quantas passagens o satélite fará pela linha do equador em cada período de 24 horas.

Utilize a aproximação π = 3,0 e suponha a Terra esférica, com raio de 6400 km.

 13.(UNIFESP-SP) Três corpos estão em repouso em relação ao solo, situados em três cidades: Macapá, localizada na linha do Equador, São Paulo, no trópico de Capricórnio, e Selekhard, na Rússia, localizada no círculo Pólar Ártico. Pode-se afirmar que esses três corpos giram em torno do eixo da Terra descrevendo movimentos circulares uniformes, com

A) as mesmas freqüência e velocidade angular, mas o corpo localizado em Macapá tem a maior velocidade tangencial.B) as mesmas freqüência e velocidade angular, mas o corpo localizado em São Paulo tem a maior velocidade tangencial.C) as mesmas freqüência e velocidade angular, mas o corpo localizado em Selekhard tem a maior velocidade tangencial.D) as mesmas freqüência, velocidade angular e velocidade tangencial, em qualquer cidade.E) freqüência, velocidade angular e velocidade tangencial diferentes entre si, em cada cidade. 

14. (UFJF-MG) Na leitura de um CD (Compact Disk), a superfície do CD passa por cima  de um dispositivo de leitura com uma certa velocidade linear. Essa velocidade linear deve ser mantida constante durante toda a leitura.

 Quando o dispositivo de leitura está lendo os dados na região próxima do centro do CD, ele está a uma distância de r=20mm do centro do disco. Já para leituras na beirada, esta distância é maior e vale r=60mm.

Se a velocidade linear é 1,26m/s, podemos dizer que o número de rotações por minuto (rpm)  é (considere 2π = 6,3):

a) 600 rpm próximo ao centro e 200 rpm próximo à beirada      b) 200 rpm próximo ao centro e 600 rpm próximo à beirada

c) 300 rpm próximo ao centro e 500 rpm próximo à beirada      d) 500 rpm próximo ao centro e 300 rpm próximo à beirada 

e) 300 rpm próximo ao centro e 300 rpm próximo à beirada

 

15.  (UFSCAR-SP) Para possibilitar o translado da fábrica até a construção, o concreto precisa ser mantido em constante agitação. É por esse motivo que as betoneiras, quando carregadas, mantêm seu tambor misturador sob rotação constante de 4 r.p.m.

 Esse movimento só é possível devido ao engate por correntes de duas engrenagens, uma grande, presa ao tambor e de diâmetro 1,2 m, e outra pequena, de diâmetro 0,4 m, conectada solidariamente a um motor. Na obra, para que a betoneira descarregue seu conteúdo, o tambor é posto em rotação inversa, com velocidade angular 5 vezes maior que a aplicada durante o transporte. Nesse

momento, a freqüência de rotação do eixo da engrenagem menor, em r.p.m., é

a) 40.                    b) 45.                      c) 50.                      d) 55                      .e) 60

16. (FATEC-SP) As rodas dentadas A, B e C têm, respectivamente,32, 64 e 96 dentes, como mostra a figura.

Sabendo que C, de raio 12cm, tem velocidade angular de 6 rad/s, a velocidade linear de um ponto da periferia da roda B e a velocidade angular da roda A são, respectivamente:

a) 72 cm/s e 9,0 rad/s      b) 36 cm/s e 9,0 rad/s      c) 72 cm/s e 18 rad/s       d) 36 cm/s e 18 rad/s      e) 18 cm/s e 36 rad/s

  

17. (UFSCAR-SP) Diante da maravilhosa visão, aquele cãozinho observava atentamente o balé galináceo. Na máquina, um motor

de rotação constante gira uma rosca sem fim (grande parafuso sem cabeça), que por sua vez se conecta a engrenagens fixas nos espetos, resultando, assim, no giro coletivo de todos os franguinhos.

a) Sabendo que cada frango dá uma volta completa a cada meio minuto, determine a freqüência de rotação de um espeto, em Hz.

b) A engrenagem fixa ao espeto e a rosca sem fim ligada ao motor têm diâmetros respectivamente iguais a 8 cm e 2 cm. Determine a relação entre a velocidade angular do motor e a velocidade angular do espeto (Wmotor)/ (Wespeto).

 18. (FGV-SP) Sobre o teto da cabine do elevador, um engenhoso dispositivo coordena a abertura das folhas da porta de aço. No topo, a polia engatada ao motor gira uma polia grande por intermédio de uma correia. Fixa ao mesmo eixo da polia grande, uma engrenagem movimenta a corrente esticada que se mantém assim devido a existência de outra engrenagem de igual diâmetro, fixa na extremidade oposta da cabine.

As folhas da porta, movimentando-se com velocidade constante, devem demorar 5s para sua abertura completa fazendo com que o vão de entrada na cabine do elevador seja de 1,2m de largura.

Dados:

diâmetro das engrenagens ............ 6cm

diâmetro da polia menor ............... 6cm

diâmetro da polia maior ................ 36cm

π ....................................................... 3

Nessas condições, admitindo insignificante o tempo de aceleração do mecanismo, a freqüência de rotação do eixo do motor deve ser, em Hz, de

a) 1                         b) 2                           c) 2                          d) 4                        e) 6

 19. (FATEC-SP) Em um estádio esportivo, uma pista circular tem raio igual a 12,0 m. Dois atletas A e B percorrem a pista no mesmo sentido com velocidades constantes VA = 8 m/s e VB = 6m/s. Ambos passam por um mesmo ponto na data zero.

O corredor mais veloz estará com uma volta de vantagem sobre o outro na data: (considere π=3)

a) 35s             b) 15s               c) 20s              d) 60s                e) 360s

20. (Fuvest-SP) Dois corredores A e B partem do mesmo ponto de uma pista circular de 120 m de comprimento com velocidades escalares constantes e de módulos: |vA|= 8 m/s e |vB| = 6 m/s.

a) Se partirem em sentidos opostos, qual será a menor distância entre eles, medida ao longo da pista, após 20 s ?b) Se partirem no mesmo sentido, após quanto tempo o corredor A estará com uma volta de vantagem sobre B?

 21. (PUC-RJ-09) Um satélite geoestacionário encontra-se sempre posicionado sobre o mesmo ponto em relação à Terra.

Sabendo-se que o raio da órbita deste satélite é de 36 × 103 km e considerando-se π= 3, podemos dizer que sua velocidade é:

a) 0,5 km/s.        b) 1,5 km/s.       c) 2,5 km/s.      d) 3,5 km/s.       e) 4,5 km/s.

 22. (FGV-SP- 010)  Fazendo parte da tecnologia hospitalar, o aparelho representado na figura é capaz de controlar a administração

   

de medicamentos em um paciente.Regulando-se o aparelho para girar com frequência de 0,25 Hz, pequenos roletes das pontas da estrela, distantes 6 cm do centro desta, esmagam a mangueira flexível contra um anteparo curvo e rígido, fazendo com que o líquido seja obrigado a se mover em direção ao gotejador. Sob essas condições, a velocidade escalar média imposta ao líquido em uma volta completa da estrela é, em m/s,

Dado: π = 3,1

a) 2,5.10-2.                 b) 4,2.10-2.                   c) 5,0.10-2.                     d) 6,6.10-2.         e) 9,3.10-2. 

 

23. (UEL-PR-011) O cavalo anda nas pontas dos cascos. Nenhum animal se parece tanto com uma estrela do corpo de balé quanto um puro sangue em perfeito equilíbrio, que a mão de quem o monta parece manter suspenso. Degas pintou-o e procurou concentrar todos os aspectos e funções do cavalo de corrida: treinamento, velocidade, apostas e fraudes, beleza, elegância

suprema. Ele foi um dos primeiros a estudar as verdadeiras figuras do nobre animal em movimento, por meio dos instantâneos do grande Muybridge. De resto, amava e apreciava a fotografia, em uma época em que os artistas a desdenhavam ou não ousavam confessar que a utilizavam.

Suponha que a sequência de imagens apresentada na figura da esquerda foi obtida com o auxílio de câmeras fotográficas dispostas a cada 1,5 m ao longo da trajetória do cavalo.

Sabendo que a frequência do movimento foi de 0,5 Hz, a velocidade média do cavalo é:

a) 3 m/s             b) 7,5 m/s                     c) 10 m/s                   d) 12,5 m/s             e) 15 m/s

 24. (UEL-PR-011) Uma pista de corrida de 400 m é constituída por trechos retos e semicirculares, conforme  a figura a seguir:

Suponha que dois atletas, nas curvas, sempre se mantenham na parte mais interna de suas raias, de modo a percorrerem a menor distância nas curvas, e que a distância medida a partir da parte interna da raia 1 até a parte interna da raia 8 seja de 8 m.

Para que ambos percorram 400 m, quantos metros o atleta da raia mais externa deve partir à frente do atleta da raia mais interna?

Dado: π = 3, 14

a) 10,00 m            b) 25,12 m                  c) 32,46 m           d) 50,24 m                     e) 100,48 m

  GABARITO DO M.C.U.

01- T=30s  ---  f=1/T=1/30  ---f=1/30Hz  ---  f=(1/30).60  ---  f=2rpm

02- f=1/1h=1/3.600Hz  ---  T= 3.600s  ---  R- A

03 - W=2π/T  ---  como as grandezas 2π e T são constantes, W também será  ---  R- C

04- Observe que cada ponto da periferia das rodas da frente e de trás, possuem a mesma velocidade que a do trator, ou seja, Vf=Vt=V.

Mas, possuem velocidades angulares diferentes, pois W=2π/R e assim, W é inversamente proporcional a R, e como o raio da roda da frente é menor, ela gira mais que a maior tendo maior velocidade angular que a mesma  ---  Wf > Wt   ---  R- D

05- a) T=1/f=1/10  ---  T=0,1s  ---  esse é o tempo que qualquer ponto da polia demora para efetuar uma volta completa.

b) WA=WB=2π/T=2π/0,1  ---  WA=WB=20π rad/s

c) VA=2πRA/T=2π0,5/0,1  ---  VA=10π m/s  ---  VB=2πRB/T=2π.1/0,1  ---  VB= 20π m/s  (observe que VB > VA, pois está mais afastado do centro 0)

06- Observe a figura abaixo:

I- falsa  ---  o ponto B está mais afastado do centro e VB > VA

II- correta  ---  descrevem o mesmo ângulo no mesmo tempo

III- correta  ---  demoram o mesmo tempo para efetuar uma volta completa

R- E

07 - V=0,2=2.10-1m/s  ---  R=0,8/2  ---  R=0,4mm=0,4.10-3  ---  R=4.10-4 m  ---  W=V/R=2.10-1/4.10-4  ---  W=0,5.103 rad/s  ---  W=500 rad/s  ---  R- E

08. R- D – (veja teoria)

09. - Veja na expressão W=V/R, que W é constante (o eixo do carro gira com a mesma velocidade angular) e, assim, V é diretamente proporcional a R  ---  como o diâmetro e consequentemente o raio teve um aumento de 10%, a velocidade também deverá ter o mesmo aumento, passando de 100km/h para 110km/h  ---  R- C

10 - R=6.400 + 400=6.800km  ---  em Δt=6,8πh ele percorreu  ---  ΔS=V. Δt=26.000.6,8π  ---  ΔS=176.800π km  ---  para efetuar uma volta completa ele percorre l=2πR=2π.6.800  ---  l=13.600π km  ---  regra de três  ---  1volta – 13.600π km  ---  n voltas – 176.800 km  ---  n=176.800/13.600  ---  n=13 voltas  ---  R- C

11. Nos pontos de contato entre a prancha e os pontos da periferia de cada polia, a velocidade tangencial é a mesma tendo, em cada polia, o sentido em que a prancha está se movendo  ---  R- C

12. R=6.400 + 5.298  ---  R=11.698km  ---  comprimento da órbita  ---  ΔS=2πR=2.3.11.698  ---  ΔS=70.188km  ---  velocidade escalar do satélite  ---  V=5.849m/s  ---  V= ΔS/Δt  ---  5.849=70.188/Δt  ---  Δt=12.000s/3.600  ---  Δt=3,33h  ---  e um dia ele efetua 24/3,33=7,2 voltas completas  ---  como em cada volta completa ele passa duas vezes pela linha do equador, ele efetuará 2.7,2=14,4 passagens  ---  14 passagens completas

13.  Em um corpo em rotação:

Em um corpo em rotação todos os pontos apresentam mesmo período (T), freqüência (f) e velocidade angular (ω), que são os mesmos que da Terra.. Logo: TMacapá  = TSão Paulo = TSelekhard  ---   fMacapá = fSão Paulo = fSelekhard  ---  WMacapá=WSão Paulo=W Selekhard  ---   A velocidade escalar de um ponto é dado pela expressão v = ω ⋅ r.

 Logo, sendo a velocidade angular será a mesma para todos os pontos, a velocidade escalar (intensidade da tangencial) será maior quanto maior for o raio (r) em relação ao eixo de rotação. Portanto: VMacapá > VSão Paulo > _ VSelekhard  ---  R- A

14. Próximo ao centro  ---  R=20mm=20.10-3  ---  R=2.10-2m  ---  W=V/R  ---  uma volta completa  ---  W=2π/T=2πf  ---  V/R=2πf  ---  1,26/2.10-2=6,3f  ---  f=10Hz x 60  --- f=600rpm

15.  Velocidade angular do tambor antes de descarregar  ---  Wa=2πfa=2π4  ---  Wa=8π rad/min  ---  ao descarrega Wd=5Wa=5.8π  --- Wd=40π rad/min  ---  freqüência ao descarregar  ---  Wd=2πfd  ---  40π=2πfd  ---  fd=20 rad/min  ---  fdRd=fmenor.Rmenor ---  20.0,6=fmenor.0,2   ---  fmenor=60 rpm  ---  R- E

16. Como as rodas giram acopladas cada ponto da periferia de cada uma delas possui a mesma velocidade linear (escalar) VA=VB=VC  ---  para cada roda o número de dentes é diretamente proporcional ao comprimento de cada circunferência, que por sua vez é diretamente proporcional a cada raio  ---  RA/32=RB/64=RC/92  ---  RA=RB/2=RC/3  ---  RA=RC/3=12/3  ---  RA=4 cm  ---  RB=8cm  ---  RA=4cm  ---  RB=8cm e RC  ---  RC=12cm  ---  WC=VC/RC  ---  6=VC/12  ---  VC=72 cm/s=VA=VB  ---  WA=VA/RA  ---  WA=72/4  ---  WA=18 rad/s  ---  R- C

17.  a) T=0,5min=30s  ---  f=1/T=1/30  ---  f=1/30 Hz

b) We=2π/30  ---  We=π/15 rad/s  --- Ve=Vm=WeRe=(π/15).4  ---  Ve=Vm=4π/15 cm/s  ---  Wm=Vm/Rm = 4π/15.1 ---  Wm=4π/15 rad/s  ---  Wm/We=4π/15 x π/15  ---  Wm/W=4

18. As duas polias menores têm a mesma velocidade dada por V=ΔS/Δt=0,6/5  ---  V=0,12m/s  ---  freqüência de rotação das polias menores  ---  V=2πfR  ---  0,12=2.3.f.3.10-2  ---  f=2/3Hz  ---  A polia

maior e as menores tem a mesma freqüência (acopladas pelo mesmo eixo)  ---  relação entre a polia maior e a que está acoplada à ela  ---  f1R1=f2R2  ---  f1.3.10-2=2/3.18.10-2  ---  f1=4Hz  ---  R- D

19. Parando o corredor B, o A estará se afastando dele com velocidade relativa de VR=8 – 6=2m/s e para ficar com uma volta de vantagem sobre ele deverá a distância correspondente a uma volta completa d=2πR=2.3.12,0=72,0m  ---  VR=d/t  ---  2=72,0/t  ---  t=36, 0s  ---  ou, na forma angular  ---  φA=VA/R=8/12,0=1/1,5 rad/s  ---  φB=VB/R=6/12,0=1/2 rad/s  ---  velocidade angular relativa  ---  WR=WA – WB=1/1,5 – 1/2  ---  WR=1/6 rad/s  ---  WR=Δφ/Δt  ---  1/6=2π/t  ---1/6=2.3/t  ---  t=36,0s  ---  ou ainda  ---  φA= φo + WA.t=0 + 1/1,5.t  ---  φA= 1/1,5.t  ---  φB= φo + WB.t=0 + 1/2.t  ---  φB= 1/2.t  ---  φA - φB=2π  ----  1/1,5t – 1/2t = 2π  ---  t=36,0s  

20. a) SA =So + VA.t  ---  SA = 0 + 8.20  ---  SA = 160m  ---  SB =So + VB.t  ---  SB = 0 + 6.20  ---  SB=120m  ---  ΔS=160 – 120  ---  ΔS=40m

21. V=2πR/T=2.3.36.103/3.600 x 24  ---  V=216.103/86.400  ---  V=2,5km/s  ---  R- C

22. Dados: R = 6 cm = 6.10-2 m; f = 0,25 Hz; π= 3,1.

v = 2 p R f = 2 (3,1) (6.10-2) (0,25)  ---  v = 9,3.10-2 m/s.

R- E

23.  Observe na figura abaixo que a segunda e última foto são idênticas (repetidas), e que entre elas o cavalo percorreu 15m  ---

  ΔS=15m   ---  o período (T) do movimento é o tempo decorrido entre duas repetições  ---  freqüência  ---  f=0,5Hz  --- T=1/f  ---  T=1/0,5  ---  T=2s  ---  V=ΔS/Δt= ΔS/T=15/2  ---  V=7,5m/s  ---  R- B

24. Observe que nos trechos retos as distâncias percorridas pelos atletas das partes interna e externa é a mesma  ---  o acréscimo é devido apenas à distância devida ao trecho externo de raio R=8m   ---  ΔS=πR + πR=2πR=2.3,14.8  ---  ΔS=50,24m  --- 

R- D