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26/03/2012

Eliane Justino - Curso de EngenhariaCivil - UFG/Catalão 1

MECÂNICA DOS FLUIDOSCapítulo 02 - ESTÁTICA DOS

FLUIDOS– 2ª PARTE

UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁSENGENHARIA CIVIL E DE MINAS

Profa. Eliane Justino

2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA

Existem forças nas superfícies dos corpos que estão submersos nos fluidos.

O fluido exerce uma força perpendicular nas superfícies submersas quando está emrepouso, devido a ausência de tensões de cisalhamento, e a pressão varialinearmente com a profundidade se o fluido for incompressível.

hp .=

Peso Específico = γSuperfície livre

p = patm

h FR

p = patm

O módulo da força resultante sobre asuperfície inferior do tanque do líquido é:

ApF

FF

R

RV

.==∑

Onde:p = pressão da superfície inferiorA = área desta superfície

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Se a pressão atmosférica atuar na superfície livre do fluido e na superfícieinferior do tanque a força resultante na superfície inferior é devido somente aolíquido contido no tanque, porque as pressão atmosférica se anulam, já que sãoiguais mais sentidos inversos.

A força resultante atua no centróide da área da superfície inferior porque apressão é constante e está distribuída uniformemente nesta superfície.

GENERALIZANDO


SUPERFÍCIE PLANA SUBMERSA E INCLINADA

A força hidrostática aplicada em uma superfície plana e inclinada e comformato aleatório.

Vamos determinar a direção, sentido,módulo e ponto de aplicação.

Admitindo, por enquanto, que a superfícielivre do fluido está em contato com aatmosfera.

O plano coincide com a superfície que estásendo analisada intercepta a superfície livredo líquido em O e seja θ o ângulo entre osdois planos.

O sistema de coordenadas x-y é definidode modo que o O está na origem do sistemade coordenadas e y pertence ao planocoincidente com a superfície que está sendoansalisada.

A superfície que estamos analisando podeapresentar uma forma qualquer.


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A força que atua em dA (área diferenciallocalizada a uma profundidade h) é:

e é perpendicular à superfície.

O módulo da força resultante nasuperfície é determinado somando-setodas as forças diferenciais que atuam nasuperfície que é:

Onde:

dAhdF ..=

senyh .=


∫=A

R ydAsenF .

Se γ e θ são constante, logo:

∫A

ydA É o momento de primeira ordem (momento de primeira ordemda área) em relação ao eixo X. Portanto, pode escrever:

AyydA c

A

.=∫Onde:yc – coordenada y do centróide medido a partir do eixo X que passa através de O.

Portanto:

hc – distância vertical entre a superfície livre do fluido e o centróide da área.

senyAF cR ..= AhF cR ..=


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Isto significa que o módulo da força resultante é igual à pressão no centróidemultiplicada pela área total da superfície submersa.

Como todas forças diferenciais que compõem Fr são perpendiculares asuperfície, a resultante destas forças também será perpendicular a superfície.

Apesar de nossa intuição sugerir que a linha de ação da força resultantedeveria passar através do centróide da área este não é o caso.

A coordenada yr da força resultante pode ser determinada pela soma dosmomentos em torno do eixo X, ou seja, o momento da força resultante precisaser igual aos momentos das forças devidas a pressão, ou seja,

∫∫ ==AARR dAysenydFyF 2...

Como:

senyAF cR ...=Ay

dAyy

c

AR .

2∫=


∫AdAy2 É o momento de segunda ordem (momento de segunda ordem

da área ou momento de inércia da área), Ix, em relação ao eixoformado pela interseção do plano que contém a superfície e asuperfície livre (eixo X), obtem-se:

Ay

Iy

c

xR .

=

Se utilizarmos o teorema dos eixos paralelos, Ix pode ser expresso por:2. cxcx yAII +=

Onde , Ixc é o momento de segunda ordem em relação ao eixo que passa nocentróide e é paralelo ao eixo X, obtem-se:

cc

xcR y

Ay

Iy +=

.O que mostra que a força resultante não passaatravés da centróide, mas sempre atua abaixo

dele, porque Ixc/yc.A > 0

No livro pg. 54 mostra as propriedades geométricas de algumas figuras.


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PropriedadesGeométricas deAlgumas Figuras

2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA A coordenada Xr do ponto de aplicação da força resultante pode ser

determinada de forma análoga, ou seja, somando-se os momentos em relaçãoao eixo y. Desta modo:

∫=ARR xydAsenxF ...

Ay

I

Ay

xydAx

c

xy

c

AR ..

== ∫Para

senyAF cR ...=

Onde , Ixy é o produto de inércia em relação aos eixos x e y, utilizandonovamente o teorema dos eixos paralelos, escreve-se:

cc

xycR x

Ay

Ix +=

.

Ixyc é o produto de inércia em relação aosistema de coordenadas ortogonal quepassa através do centróide da área e criadopor uma translação do sistema decoordenadas x-y.

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2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANA Se a área submersa é simétrica em relação ao eixo que passa pelo centróide e

paralelo a um dos eixos (x ou y), a força resultante precisa atuar ao longo dalinha X = Xc, porque Ixyc é nulo, neste caso.

O ponto de aplicação da força resultante é denominado de centro de pressão.

Um aumento de yc provoca uma aproximação do centro de pressão para ocentróide da área.

Como

sen

hy c

c =

A distância yc cresce se o hc aumentar ou, se para uma dada profundidade, aárea for rotacionada de modo que o ângulo θ diminua.


EXEMPLO 2.6 – pág. 55A Figura abaixo mostra o esboço de uma comporta circular inclinada que estálocalizada num grande reservatório de água (γ = 9,8 kN/m3 ). A comporta estámontada num eixo que corre ao longo do diâmetro horizontal da comporta. Se o eixoestá localizado a 10m da superfície livre, determine: (a) o módulo e o ponto deaplicação da força resultante na comporta, e (b) o momento que deve ser aplicando noeixo para abrir a comporta.

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2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANASolução:(a) Para determinar a força resultante, AhF cR ..=

Como a distância vertical entre o centróide e a superfície livre da água é de10 m, temos:

( ) ( ) ( ) MNNxxxxFR 23,11023,1410108,9 63 ===

Localizar o ponto de aplicação da força resultante (centro de pressão):

cc

xycR x

Ay

Ix +=

.cc

xcR y

Ay

Iy +=

.

Para o sistema de coordenadas mostrado, Xr = 0 porque a superfície dacomporta é simétrica e o centro de pressão precisa estar localizado ao longoda linha A-A.

2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANASolução:O momento de inércia em relação ao eixo que passa no centróide e é paralelo ao

eixo X, é:

4

4RI xc

=

E que yc está mostrado na figura, assim:

( )( )( )( )

my

senseny

Ay

Iy

R

cc

xcR

6,1155,110866,0

60

10

4.6010

2.4

.

2

=+=°

+°

=+=

A distância entre o eixo da comporta e o centro de pressão (ao longo dacomporta) é:

myy cR 0866,0=−

RESUMINDO

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2.8 – FORÇA HIDROSTÁTICA NUMA SUPERFÍCIE PLANASolução:A força que atua sobre a comporta apresenta módulo igual a 1,23 MN, atua numponto localizado a 0,0866 m abaixo da linha do eixo e que é pertencente a linha A –A. Lembre que a força é perpendicular a superfície da comporta.

(b) O diagrama de corpo livre mostrado na figura pode ser utilizado para determinaro momento necessário para abrir a comporta. Observe que W é o peso da comporta,Ox e Oy são as reações horizontal e vertical do eixo na comporta. A somatória dosmomentos em torno do eixo da comporta é nulo,

e nos fornece,

∑ = 0cM

( ) ( )( ) mNxxyyFM cRR .1007,10866,01023,1 56 ==−=


EXEMPLO 2.7 – pág. 56A Figura abaixo mostra o esboço de umaquário de água salgada (γ = 10,0kN/m3) que apresenta profundidadeigual a 3,0 m. O reforço triangularmostrado na Figura deve ser instaladono aquário devido a um problema quesurgiu num dos seus cantos inferiores.Determine o módulo e a localização doponto de aplicação da força resultanteneste reforço triangular.

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SOLUÇÃO: As várias distâncias necessárias para resolver este problema estão mostrado na

Figura b. Como a superfície em que estamos interessados está na vertical, temosque yc = hc = 2,7 m.

Portanto:

Note que esta força não é função do comprimento do tanque. A coordenada docentro de pressão (CP) pode ser determinada pela expressão:


N10x094,1)2/9,0x9,0)(7,2)(10x10(AhF 43cR ==γ=

cc

xcR y

A.y

Iy +=

De modo que;

De modo análogo

423

10823,136

)9,0)(9,0(mxIxc

−==

mx

xyR 717,27,2

)2/9,09,0)(7,2(

10823,1 2=+=

−

cc

xycR x

Ay

Ix +=

.


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Conclui-se que o centro de pressão está localizado a 8,3 mm a direita e a 17 mmabaixo do centróide do reforço.

Note que este ponto pertence a linha mediana mostrada na Figura, isto ocorreporque a área total pode ser substituída por um número grande de pequenas tirascom área δa e, como discutido anteriormente, a resultante da forças de pressãoatua no centro de cada uma das tiras. Logo, a resultante destas forças paralelasprecisa estar localizada na linha mediana.

432

10113,9)9.0(72

)9,0)(9,0(mxIxyc

−==

m10x3,80)2/9,0x9,0)(7,2(

10x113,9x 3

3

R−

−

=+=


2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES Interpretação gráfica da força desenvolvida por um fluido numa superfície

plana.

Consideremos a distribuição de pressão ao longo da parede vertical de umtanque com largura b e que contenha um líquido que apresenta peso específicoγ.

A pressão varia linearmente com a profundidade.

A pressão relativa é nula na superfície livre dolíquido, igual a γh na superfície inferior do líquido eque a pressão média ocorre num plano comprofundidade h/2.

Assim a força resultante que atua na árearetangular (A = b.h) é:

Ah

APF medR

==

2

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2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES Esta distribuição de pressão é adequada para toda a superfície vertical então

podemos representar tridimensionalmente a distribuição de pressão doseguinte modo:

A base deste “volume” no espaço pressão – área éa superfície plana que estamos analisando e a alturade cada ponto é dada pela pressão.

Este “volume” é denominado prisma de pressão e éclaro que o módulo da força resultante que atua nasuperfície vertical é igual ao volume deste prisma.

Assim, a força resultante para o prisma é:

( )( ) Ah

bhhvolumeFR

===

22

1

Onde bh é a área da superfície retangular vertical.

2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES A linha de ação da força resultante precisa passar pelo centróide do prisma de

pressões.

O centróide está localizado no eixo vertical de simetria da superfície vertical edista h/3 da base, porque o centróide de um triângulo está localizado a h/3 desua base.

O resultado é consistente com:

CONSIDERANDO QUE A SUPERFÍCIE PLANA ESTÁTOTALMENTE SUBMERSA.

cc

xycR x

Ay

Ix +=

.cc

xcR y

Ay

Iy +=

.

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2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES Neste caso a seção transversal do prisma das pressões é um trapézio.

O módulo da força resultante que atua sobre asuperfície; também é igual ao volume do prismadas pressões e sua linha de ação passa pelocentróide do volume.

O módulo da força resultante pode ser obtidodecompondo o prisma das pressões em duaspartes (ABDE e BCD). De modo que:

21 FFFR +=

A localização da linha de ação de Fr pode ser determinada a partir dasoma de seus momentos em relação a algum eixo conveniente.

2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES Por exemplo, se utilizarmos o eixo que passa através de A, tem-se:

2211 ... yFyFyF AR +=

SUPERFÍCIE PLANA INCLINADA SUBMERSA Geralmente a seção transversal, sobre a

superfície do prisma, é um trapézio.

Apesar de ser conveniente medir asdistância ao longo da superfícieinclinada, a pressão que atua nasuperfície é função da distância verticalentre o ponto que está sendo analisado ea superfície livre do fluido.

Prisma de pressões é utilizado para determinar a força em superfícies planassubmersa retangular, porque o volume e o centróide do prisma podem serdeterminado facilmente.

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2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES Quando a superfície não é retangular a determinação do volume e a localização

do centróide pode ser realizado através de integração.

EFEITO DA PRESSÃO ATMOSFÉRICA NA SUPERFÍCIE SUBMERSA

Não considerando pressão atmosférica medindo pressão relativa.

Se incluirmos a pressão atmosférica, a novadistribuição de pressão, será:

2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES A resultante da força que atua no lado da parede em contato com o fluido é

uma superposição da resultante da distribuição de pressão hidrostática com ada pressão atmosférica (Patm . A, onde A é a área da superfície).

Se consideramos a pressão atmosférica nolado da superfície que está em contato como fluido, também deve-se considerar nooutro lado, admitindo que o outro lado dasuperfície também esteja exposta aatmosfera.

A pressão atmosférica produz na superfícieque não está em contato com o fluido umaforça de mesmo módulo e direção de forçaresultante devida a pressão atmosférica nolado que está em contato com o fluido e queos sentidos destas forças são opostas.

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2.9 – PRISMA DAS PRESSÕES Assim conclui-se que a força resultante com que os fluidos atua na superfície é

devida apenas a pressão relativa.

Se a pressão na superfície do líquido for diferente da atmosférica, como o queocorre num tanque fechado e pressurizado, a força resultante que atua numaárea submersa A será igual a superposição da força devida a distribuiçãohidrostática com a Ps.A,

Onde: Ps é a pressão relativa na superfície do líquido, admitindo que o outro ladoda superfície está exposto a atmosfera.

2.9 – PRISMA DAS PRESSÕESEXEMPLO 2.8 – pág. 60

A figura abaixo mostra o esboço de um tanque pressurizado que contém óleo(densidade = SG = 0,9). A placa de inspeção instalada no tanque é quadrada eapresenta largura igual a 0,6 m. Qual é o módulo, e a localização da linha deação da força resultante que atua na placa quando a pressão relativa no topodo tanque é igual a 50 kPa. Admita que o tanque está exposto a atmosfera.

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2.9 – PRISMA DAS PRESSÕESSolução:A figura mostra a distribuição de pressão na superfície da placa. A pressão numdado ponto da placa é composta por uma parcela devido a pressão do arcomprimido na superfície do óleo, ps, e outra devida a presença do óleo (que varialinearmente com a profundidade). Nós vamos considerar que a força resultante naplaca com área A é composta pelas forças F1 e F2.

Assim,

( ) ( )( ) NxxxxxAhpF s333

11 104,2436,021081,99,01050 =+=+=

e

( ) ( ) NxxxAhh

F 33122 1095,036,0

2

6,0.1081,99,0

2=

=

−=

O módulo da força resultante, Fr, é :

kNNxFFFR 4,25104,25 321 ==+=

2.9 – PRISMA DAS PRESSÕESSolução:A localização vertical do ponto de aplicação de Fr pode ser obtida somando osmomentos em relação ao eixo que passa através do ponto O. Assim,

( ) ( )2,03,0 21 FFyF oR +=

ou

( )( ) ( )( )( ) m

x

xxyo 296,0

104,25

2,01095,03,0104,243

33

=+=

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2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS Tipos de superfície que não são planas: superfícies de barragens, Tubulações e

Tanques.

É possível determinar a força resultante em qualquer superfície por integração,mas este procedimento é trabalhoso e não é possível formular equaçõessimples e gerais.

Por isso, como alternativa, considera-se o equilíbrio deum volume de fluidos delimitado pela superfície curvaconsiderada e por suas projeções vertical e horizontal.

Para determinar a força resultante que atua sobre estaseção que apresenta comprimento unitário na direçãoperpendicular ao plano do papel.

Primeiro isola-se o volume de fluido que é delimitadopela superfície curva considerada, neste caso a BC oplano horizontal AB e o plano vertical AC.

2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS O diagrama de corpo livre deste volume é apresentado por:

Os módulos e as pressões dos pontos de aplicaçãode F1 e F2 podem ser determinados utilizando asrelações aplicáveis a superfícies planas.

O peso do fluido contido no volume, W, é igual aopeso específico do fluido multiplicado pelo volume e oponto de aplicação desta forma coincide com o centrode gravidade da massa de fluido contido no volume.

As forças FH e FV representam as componentes daforça que o tanque exerce no fluido.

Para que o sistema de forças esteja equilibrado os módulos das componente FH

e FV devem:

WFF

FF

V

H

+==

1

2 Colineares

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2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS Como três forças atuam na massa de fluidos (F2, a resultante de F1 com W e a

força que o tanque exerce sobre o fluido), estas precisam formar um sistema deforças concorrentes.

Isto é uma decorrência do seguinte princípio da estática: Quando um corpo émantido em equilíbrio por três forças não paralelas, estas precisam serconcorrentes (suas linhas de ação se interceptam num só ponto) e coplanares,assim:

E o módulo da força resultante é obtido pela equação:

A linha de ação da FR passa pelo ponto O e o ponto de aplicação pode serlocalizado somando-se os momentos em relação a um eixo apropriado.

WFF

FF

V

H

+==

1

2

( ) ( )22VHR FFF +=

2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS Assim, o módulo da força que atua na superfície curva BC pode ser calculada

com as informações do diagrama de corpo livre.

EXEMPLO 2.9 – pg. 62

A figura abaixo mostra o esboço de um conduto utilizado na drenagem de umtanque e que está parcialmente cheio de água. Sabendo que a distância entre ospontos A e C é igual ao raio do conduto, determine o módulo, a direção e o sentidoda força que atua sobre a seção curva BC (devida a presença da água). Admita queesta seção apresenta comprimento igual a 1m.

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2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS A Figura b mostra o volume de fluido

delimitado pela seção curva BC, peloplano horizontal AB e pelo plano verticalAC. Este volume apresenta comprimentoigual a 1m. As forças que atuam novolume são a força horizontal F1, que agena superfície vertical AC, o peso, W, daágua contida no volume e ascomponentes horizontal e vertical da forçaque a superfície do conduto exerce sobreo volume (FH e FV)

( ) ( ) NxxxAhF c33

1 1097,319,02

9,0108,9 =

==

E a linha de ação desta força horizontal está situada a 0,3m acima de C. O módulodo peso, W, é:

( ) NxxxvolW 32

3 1024,614

9,0.108,9. =

==

Solução

2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS

E seu ponto de aplicação coincide com o centro de gravidade da massa de fluido,de acordo com as propriedades geométricas da figura, e este ponto está localizadoa 0,382 m da linha vertical AC (figura c). As condições para equilíbrio são:

NxWF

NxFF

V

H

3

31

1024,6

1097,3

==

==

E o módulo da força resultante é:

( ) ( ) ( ) ( ) NxxxFFF VHR3232322 1040,71024,61097,3 =+=+=

Solução

O módulo da força com que a água age sobre o trecho de conduto é igual aocalculado mas o sentido desta força é oposto mostrado na figura b.

A figura c mostra a representação correta da força resultante sobre o trecho doconduto. Note que a linha de ação da força passa pelo ponto O e apresenta ainclinação mostrada na figura.

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2.10 – FORÇA EM SUPERFÍCIES CURVAS

Este resultado mostra que a linha de ação da força resultante passa pelo centro doconduto.

A mesma abordagem geral pode ser utilizada para determinar a força gerada emsuperfícies curvas de tanques fechados e pressurizados.

Note que o peso do gás normalmente é desprezível em relação as forçasdesenvolvidas pela pressão na avaliação das forças em superfícies de tanquesdedicados a estocagem de gases.

Nestes casos, as forças que atuam nas projeções horizontal e vertical da superfíciecurva em que estamos interessados (tais como F1 e F2) podem ser calculadascomo o produto da pressão interna pela área projetada apropriada.

Solução

EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE EXERCÍCIO 2.52 – pág. 80 A Figura abaixo mostra o corte transversal de uma comporta que apresenta massa

igual 363 kg. Observe que a comporta é articulada e que esta imobilizada por umcabo. O comprimento e a largura da placa são respectivamente iguais a 1,2 e 2,4 m.Sabendo que o atrito na articulação é desprezível. Determine a tensão no cabo.Sendo γH2O = 9980 N/m3.

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EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE EXERCÍCIO 2.63 – pág. 81 A comporta quadrada (1,83 m x 1,83 m) mostrada na figura abaixo pode girar

livremente em torno do vínculo indicado. Normalmente é necessário aplicar umaforça P na comporta para que ela fique imobilizada. Admitindo que o atrito novínculo é nulo, determine a altura da superfície livre da água, h, na qual o móduloda Força P seja nulo. Sendo γH2O = 9980 N/m3.

EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE EXERCÍCIO 2,70 – pág. 83 Uma comporta, com 3 m de comprimento, está localizada na parede lateral de um

tanque (veja a Figura abaixo). Determine os módulos da componentes horizontal evertical da força com que a água atua sobre a comporta. A linha de força passaatravés do ponto A? Justifique a sua resposta. Sendo γH2O = 9980 N/m3.

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EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE EXERCÍCIO 2,75 – pág. 83 O dique mostrado na figura abaixo é construído com concreto (γconcreto = 23,6

kN/m3) e é utilizado para reter um braço de mar que apresenta profundidade igual a7,3 m. Determine o momento da força com fluido (por unidade de comprimento) queatua na superfície molhada do dique em relação ao eixo horizontal que passa peloponto A. Sendo γH2O = 10.000 N/m3.

EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE EXERCÍCIO 2,75 – pág. 83

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2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE

Empuxo: força resultante gerada pelo fluido e que atua nos corpos. É uma forçalíquida vertical, com sentido para cima, e é resultado do gradiente de pressão (apressão aumenta com a profundidade).

Para sua determinação vamos considerar um corpo com a forma arbitrária:

2.11.1 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES

O volume do corpo arbitrário é Ve está imerso em fluido.

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Envolvendo o corpo com um paralelepípedo e analisando seu diagrama de corpolivre com o corpo removido do paralelepípedo.


F1, F2, F3 e F4 – são as forçasexercidas nas superfícies planas doparalelepípedo.

Para simplificar as forças na direção Xnão estão representadas.

W é peso do fluido contido noparalelepípedo (relativo a árearachurada).

FB é a força que o corpo exercesobre o fluido


Analisando as condições de Equilíbrio:

Direção Horizontal: (1)

Direção Vertical: (2)

Se o peso específico do fluido é constante: (3)

Onde: A é a área das superfícies horizontais dos paralelepípedo.

Substituindo (3) em (2): (4)

Simplificando: (5)


43 FF =

WFFFB −−= 12

( )AhhFF 1212 −=−

( ) ( )[ ]VAhhAhhFB −−−−= 1212

VFB = Onde: γ é o peso específico do fluido eV é o volume do corpo

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A força de empuxo apresenta módulo igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo,sua direção é vertical e seu sentido é para cima, isto é conhecido como PRINCÍPIODE ARQUIMEDES.


A localização da linha de ação da força de Empuxo pode ser determinadasomando-se os momentos das forças mostradas no diagrama de corpos livres emrelação a um eixo conveniente.

Exemplo: Somando os momentos em relação ao eixo perpendicular ao plano dafigura em que passa pelo ponto D, tem-se:

21112 WyyFyFyF cB −−= (6)

2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE2.11.1 – PRINCÍPIO DE ARQUIMEDES

Substituindo as forças, Eq. (3) e (5) e a contribuição do peso:

Onde: VT é o volume total definido por (h2 – h1).A

O lado direito da Eq. (7) é o primeiro momento do volume deslocado V emrelação ao plano x-z de modo que yc é igual a coordenada y do centróide doVolume V.

O mesmo procedimento é utilizado para encontrar a coordenada x, ondedemonstra que esta coincide com a centróide xc.

Assim conclui-se que o ponto de aplicação da força de empuxo coincide com ocentróide do volume deslocado. O ponto de aplicação da força de empuxo édenominada centro de empuxo.

( ) 21 yVVyVVy TTc −−= (7)

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Estes resultados também são aplicados aos corpos que flutuam, se o pesoespecífico do fluido localizado acima da superfície livre do líquido é muito pequenoem relação ao do líquido onde o corpo flutua. Normalmente esta condição ésatisfeita porque o fluido acima da superfície livre usualmente é o ar.

Como consideramos que o fluidoapresenta peso específico constante, seo corpo está imerso num fluido queapresenta variação de γ, tal como numfluido estratificado em camadas, omódulo da força de empuxo continuaigual ao peso do fluido deslocado.

Entretanto, o ponto de aplicação da forçanão coincide com o centróide do volumedeslocado, mas sim com o centro degravidade do volume descolado


EXEMPLO 2.10 – pág. 65 A figura abaixo mostra o esboço de uma bóia, com diâmetro e peso igual a 1,5m e

8,5kN, que está presa ao fundo do mar por um cabo. Normalmente, a bóia flutuana superfície do mar mas, em certas ocasiões, o nível do mar sobe e a bóia ficacompletamente submersa. Determine a força que tensiona o cabo na condiçãomostrada na figura.

Nós primeiramente vamos construir o diagrama de corpolivre para a bóia.

FB é a força de empuxo que atuasobre a bóia;W é o peso da bóia; T é força que tensiona o cabo.

Equilíbrio:

Solução

WFT B −=

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Sabe-se que:

O peso específico da água do mar é 10,1 kN/m3 e V = (π d3)/6. Substituindo,

Assim, a força que tensiona o cabo é:

Note que nós trocamos o efeito da forças de pressão hidrostática no corpo pelaforça do empuxo.

SoluçãoVFB =

( ) ( ) NxxFB433 10785,15,1.

6101,10 =

=

kNNxxxT 35,91035,91050,810785,1 334 ==−=


A figura abaixo mostra um outro diagrama de corpo livre que também estácorreto, mas que apresenta uma distribuição das forças devidas a pressão.Lembre que o efeito líquido das forças de pressão na superfície da bóia é iguala força FB (a força de empuxo).

Solução

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EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE

EXERCÍCIO 2.84 – pág. 84

O Lago formado pela construção da barragem de Tucuruí cobriu uma vasta regiãoonde existiam muitas árvores nobres. Infelizmente, não houve tempo disponívelpara remover todas estas árvores antes do início da formação do lago. Foi detectadoque os corpos de muitas árvores ainda estavam muito bem conservadas após de 15anos da formação do lago e algumas pessoas iniciaram a operação de remoçãodestas árvores. O primeiro passo utilizado no processo de remoção consiste em fixá-las ao fundo com âncoras e cabos. O Segundo passo consiste em cortar os troncosna altura das raízes. A ancoragem é necessária para evitar que as árvores cheguemna superfície livre do lago com uma velocidade alta. Admita que uma árvore grande(altura = 30 m) possa ser modelada como um tronco de cone de cone com diâmetroinferior e superior iguais a 2,4 e 0,6 m, respectivamente. Determine o módulo dacomponente vertical da força resultante que os cabos devem resistir quando aárvore é cortada e ainda está completamente submersa. Admita densidade damadeira igual a 0,6 e γH2O = 10000 N/m3

EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE EXERCÍCIO 5 (a) Considere o material cilíndrico poroso (material não maciço, ou seja, possui vazios

em sua composição) mostrado na Figura abaixo, este tem densidade igual a 0,60quando seus poros não estão preenchidos com fluido líquido, 1,0 m de diâmetro e0,80 m de comprimento, este cilindro estaria estável a que altura, h, se fosse imersoem um fluido com densidade igual a 1,05? Considere g = 9,81 m/s2 e ρH204

oC=1000

kg/m3. b) E se após certo tempo o fluido subir nos poros por capilaridade e preencheros vazios dos poros do material num valor que chega até 0,30 do volume deste, qualseria a nova altura de equilíbrio, h, sendo que não haverá alteração de volume domaterial? Considere g = 9,81 m/s2 e ρH204

oC=1000 kg/m3.

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Se um corpo está totalmente mergulhado em umlíquido, e em uma posição de equilíbrio (estático), seupeso é igual ao empuxo que ele está recebendo (E=P).Neste caso, será nula a resultante destas forças ecorpo ficará em repouso na posição em que foiabandonado. É isto que acontece com um submarinosubmerso, em repouso, a uma certa profundidade.

O valor do empuxo é menor que o peso do corpo (E<P).Neste caso, a resultante destas forças estará dirigidapara baixo e o corpo afundará, até atingir o fundo dorecipiente. É isto que acontece quando, por exemplo,abandonarmos uma pedra dentro d’água.

CONDIÇÕES PARA UM CORPO FLUTUAR EM UM LÍQUIDO

2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE O valor do empuxo é maior do que o peso do corpo

(E>P). Neste caso, a resultante destas forças estarádirigida para cima e o corpo sobe verticalmente nointerior do líquido. É isto o que acontece quando, porexemplo, abandonarmos uma bloco de madeira nointerior de um líquido. O bloco de madeira ira submergiraté que a resultante das forças se iguale, ou seja (E=P),assim, nesta posição é que o corpo flutuará, emequilíbrio.

Destas considerações podemos concluir que, quandoum navio está flutuando, em equilíbrio, na água, eleesta recebendo um empuxo cujo o valor é igual ao seupróprio peso, isto é, o peso do navio está sendoequilibrado pelo empuxo que ele recebe da água.

Devemos perceber que o volume imerso no fluido não é o volume total do corpo.

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2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE CENTRÓIDE – é o ponto no interior de uma forma geométrica que define seu centro

geométrico.

CENTRO DE MASSA - é o ponto onde pode ser pensado que toda a massa do corpoestá concentrada para o cálculo de vários efeitos. O centro de massa não precisacoincidir com o centro geométrico ou o centro de gravidade. O centro de massanem ao menos precisa estar dentro do corpo. Para n partículas, cada uma composição ri e massami, o centro de massa é dado por:

CENTRO DE GRAVIDADE – é o ponto onde pode ser considerada a aplicação daforça de gravidade de todo o corpo. O significado a palavra baricentro é de origemgrega (BARI = peso)e designa o centro dos pesos. No caso da força de gravidaderesultar de um campo de gravidade uniforme, o centro de gravidade é coincidentecom o centro de massa. Esta é a aproximação natural no estudo da física deobjetos de pequenas dimensões sujeitos ao campo gravidade terrestre.

iirmM

1R ∑=

2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE2.11.2 – ESTABILIDADE Um corpo está numa posição de equilíbrio estável se, quando perturbado,

retorna a posição de equilíbrio original.

O corpo está em posição de equilíbrio instável se ele se move para uma novaposição de equilíbrio após ser perturbado, mesmo que a perturbação sejabastante pequena.

A importância de se analisar o equilíbrio dos corpos submersos e flutuantes éque o centro de empuxo e de gravidade necessariamente não são coincidentes,assim uma pequena rotação pode resultar num momento de restituição ouemborcamento.

Exemplo:

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2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE2.11.2 – ESTABILIDADE Exemplo:

Corpo totalmente submerso.

O centro de gravidade está localizadoabaixo do centro de empuxo, uma rotação apartir do ponto de equilíbrio criará ummomento de restituição formado pelo peso(W) e pela força de empuxo (FB).

Note que o binário provocará uma rotaçãono corpo para a sua posição original. Assimo equilíbrio é estável.

Isso sempre acontece se o centro de gravidade estiver localizado abaixo docentro de empuxo, mas se o centro de gravidade estiver acima do centro deempuxo?

2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE2.11.2 – ESTABILIDADE Exemplo:

Centro de gravidade estiver acima docentro de empuxo:

O binário formado pelo peso e pela forçade empuxo causará o emborcamento(tombamento) do corpo e ele semovimentará para uma nova posição deequilíbrio.

Assim o corpo está numa posição deequilíbrio instável.

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2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE2.11.2 – ESTABILIDADEConsiderando um corpo que flutua num fluido em repouso

O problema é mais complicado porque a localização do centro de empuxo (quecoincide com o centróide do volume deslocado) pode mudar quando o corporotaciona.

Consideremos uma barcaça com calado pequeno.

2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE2.11.2 – ESTABILIDADE A barcaça pode estar em uma posição estável mesmo que o centro de

gravidade esteja acima do centróide, porque a força de empuxo, FB, na posiçãoperturbada (relativa ao novo volume deslocado) combina com o peso paraformar um binário de restituição (que levará o corpo para a posição de equilíbriooriginal).

.

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2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE2.11.2 – ESTABILIDADE

Entretanto se impusermos uma pequena rotação num corpo esbelto que flutua,como mostra a fig. a seguir, a força de empuxo e o peso podem formar umbinário de emborcação.

2.11 – EMPUXO, FLUTUAÇÃO E ESTABILIDADE2.11.2 – ESTABILIDADE A análise da estabilidade dos corpos submersos e flutuantes pode ser

dificultada tanto pela geometria quando pela distribuição de peso no corpoanalisado.

As vezes, também, é necessário considerar outros tipos de forças externa queatuam no corpo que está sendo analisado (tais como a induzida pelas rajadasde vento ou correntes no fluido).

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2.12 – VARIAÇÃO DE PRESSÃO NUM FLUIDO COM MOVIMENTODE CORPO RÍGIDO

Equação Geral do Movimento: (1)

Desenvolvida para fluidos que estão em repouso ou num movimento que nãoapresenta tensões de cisalhamento.

Admitindo um sistema de coordenadas cartezianas, com o eixo z apontandopara cima (o sentido da gravidade é negativo).

Desmembrando a Eq. (1):

(2)

O movimento do fluido que não apresenta tensão de cisalhamento é aqueleonde a massa de fluido é submetida a um movimento de corpo rígido.

akp =−∇− ˆ

xax

P =∂∂− ya

y

P =∂∂− za

z

P +=∂∂−


Exemplo: Se um recipiente de fluido acelera ao longo de uma trajetória retilínea,o fluido se moverá como uma massa rígida (depois que o movimento transitórioinicial tiver desaparecido) e cada partícula apresentará a mesma aceleração.Como não existe deformação neste tipo de movimento, as tensões decisalhamento serão nulas e a Eq. (1) é adequada para descrever o movimento.

Da mesma maneira, se o fluido contido num tanque rotaciona em torno de umeixo fixo, o fluido simplesmente rotacionará com o tanque como um corpo rígidoe, de novo, a Eq. (1) pode ser utilizada para determinar a distribuição depressões no fluido.

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2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR Considerando o movimento retilíneo e uniformemente acelerado de um

recipiente aberto que contém um líquido.


Figura – Aceleração linear deuma massa de líquido comsuperfície livre.

Como ax = 0 , tem-se que o gradiente de pressão na direção x (dp/dx) é nulo.

0=∂∂

x

P (3)

2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR Os gradientes de pressão nas direções y e z são:

A variação de pressão entre dois pontos próximos, localizados em (y, z) e (y + dy,z + dz) pode ser expressão por:

Substituindo (4) em (5) em (6)


yay

P.−=

∂∂

(4) ( )zagz

P +−=∂∂

. (5)

dzz

Pdy

y

Pdp

∂∂+

∂∂= (6)

( )dzagdyadp zy +−−= (7)

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2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR Como dp = 0 ao longo de uma linha de pressão constante. Assim, a inclinação

destas linhas é dada por:

A pressão ao longo da superfície livre, é constante, assim, a superfície livre damassa de fluido será inclinada se ay ≠ 0. Note que, neste caso, todas as linhasde pressão constante serão paralelas a superfície livre.

No caso especial onde ay = 0 e az ≠ 0 que corresponde a uma massa de fluidoacelerado na direção vertical, a superfície do fluido será horizontal. Entretanto,tem-se que a distribuição de pressão não será a hidrostática, mas fornecidapela equação:


z

y

ag

a

dy

dz

+−=

( )zagdz

dp +−=

(8)

2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR Se a massa específica for constante, a pressão variará linearmente com a

profundidade.

Exemplo: A pressão no fundo de um tanque que contém um líquido e que estáapoiado no chão de um elevador com movimento acelerado para cima é maiorque aquela medida quando o tanque está em repouso (ou em movimento comvelocidade constante)

Se uma massa de fluido está em queda livre (az = -g), o gradiente de pressãonas três direções é nula.

Assim, se a pressão no ambiente onde está localizada esta massa de fluido ézero, a pressão no fluido também será nula.

A pressão interna nua gota de suco de laranja localizada num veículo espacialem órbita (uma forma de queda livre) é zero e a única força que mantém olíquido coeso é a tensão superficial.


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2.12.1 – MOVIMENTO LINEAR EXEMPLO 2.11 – pág. 68 A figura abaixo mostra a seção transversal retangular do tanque de combustível

instalado num veículo experimental. O tanque é ventilado (a superfície livre dolíquido está em contato com a atmosfera) e contém um transdutor de pressão(veja a figura). Durante o teste do veículo, o tanque é submetido a umaaceleração linear constante em ay. (a) Determine uma expressão que relacioneay e a pressão medida no transdutor para um combustível que apresentadensidade (SG) igual a 0,65. (b) Qual é o valor máximo da aceleração ay paraque o transdutor fique acima do nível do líquido?


2.12.1 – MOVIMENTO LINEARSolução (a) Se a aceleração é horizontal e constante, o fluido se movimentará como um

corpo rígido e a inclinação da superfície livre do fluido pode ser determinadacomo Eq. (8).

Lembrando que az = 0, temos:

A mudança de profundidade do líquido no lado direito do tanque, z1, provocadapor uma aceleração ay, pode ser determinada pela equação.


g

az y−=−230,0

g

adz y−=−230,0

ou ( )

=

g

adz y230,0

z

y

ag

a

dy

dz

+−=

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2.12.1 – MOVIMENTO LINEARSolução Como az é nula, a pressão ao longo da parede varia hidrostaticamente (veja a

Eq. (5). Então, a pressão no transdutor é dada pela relação p = γ.h onde h é adistância vertical entre o transdutor e a superfície livre do líquido. Deste modo,

Observe que esta equação só é válida para z1 < 0,15m e que a pressão é dadaem Pa.


( )( ) ( )

−=

−=

g

axxp

g

axp

y

y

22

3

10200,210565,9

23,015,01081,965,0

2.12.1 – MOVIMENTO LINEARSolução (b) O valor da aceleração ay para que o nível do líquido atinja o transdutor pode

ser calculado com a equação

Se o valor da aceleração da gravidade é o padrão, temos:

Note que, neste exemplo, a pressão nos planos horizontais não é constante. Istoocorre porque dp/dy = -ρ .ay ≠ 0. Por exemplo, a pressão no ponto (1) édiferente daquela no ponto (2).


( )

=

g

ay230,015,0 gay 652,0=ou

2/40,681,9652,0 smxay ==

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EXERCÍCIOS DO CAPÍTULO 2 – 2ª PARTE

EXERCÍCIO 2,94– pág. 86

Um tanque retangular e aberto (largura e comprimento respectivamente iguais a 1 e2 m) contém gasolina. A superfície livre do fluido se encontra a 1 m do fundo dotanque. Qual deve ser a aceleração imposta ao tanque para que a gasolina vazesabendo que a altura do tanque é igual a 1,5 m, sendo o peso específico dagasolina a 7910 N/m3.

2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO Após o período transitório inicial, o fluido contido num tanque que gira com uma

velocidade angular, ω, constante em torno do eixo, também rotacionará comoum corpo rígido em torno do mesmo eixo.


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2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO O módulo da aceleração de uma partícula localizada, a uma distância r do eixo

de rotação é igual a:

Como as trajetórias das partículas de fluido são circulares, é conveniente utilizaro sistema de coordenadas cilíndricas polar r, θ e z.

O gradiente de pressão neste sistema de coordenadas é expresso por:

Então, para este sistema de coordenadas:


rar .2= A direção desta aceleração é radial e que é dirigido para o eixode rotação.

zr ez

pe

p

re

r

pp ˆˆ1ˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

rr era ˆ.2−= 0=a 0=za

2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO Como:

A pressão é função das variáveis r e z quando o fluido executa um movimentode rotação de corpo rígido.

Portanto, o diferencial de pressão é dado por:

Ao longo de uma superfície com pressão constante tal como a superfície livre,dp = 0.


akp =−∇− ˆ

2rr

p =∂∂ 0=

∂∂p −=

∂∂

z

p

dzz

pdr

r

pdp

∂∂+

∂∂= dzrdrdp −= 2

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2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO

Se aplicarmos nesta superfície e utilizarmos γ = ρg, tem-se:

Assim, a equação para as superfícies que apresentam pressão constante é:

Esta equação revela que as superfícies com pressão constante são parabólicas.


dzrdrdp −= 2

g

r

g

r

dr

dz

gdzdzrdr22

2

==

==

cteg

rz +=

2

2


A integração da equação:

Fornece:

Ou

A constante de integração pode ser determinada em função da pressão emalgumas posição arbitrária (por exemplo r0, z0).

Este resultado mostra que a pressão varia com a distância em relação ao eixode rotação, mas para um dado raio, a pressão, varia hidrostaticamente nadireção vertical.


dzrdrdp −= 2

∫∫∫ −= dzrdrdp 2

ctezr

p +−= 2

22

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2.12.2 – ROTAÇÃO DE CORPO RÍGIDO Exemplo 2.12 – pag. 72 - Foi sugerido que a velocidade angular de um corpo

rígido, como um eixo, pode ser medida conectando-se um cilindro aberto e quecontém um líquido ao corpo (do modo mostrado na figura) e medindo-se, comum sensor de distância, a depressão H – h0 provocada pela rotação do fluido.Qual é a relação entre a mudança do nível do líquido e a velocidade angular docorpo?



Solução: A altura h da superfície livre para r = 0 pode ser determinada pelaequação:

Assim,

O volume de fluido no tanque, Vi, é constante e igual a:


cteg

rz +=

2

2

0

2

2h

g

rh +=

HRVi2=

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Solução:O volume de fluido contido no tanque, quando este está com movimento derotação, pode ser calculado com a ajuda do elemento diferencial. A casca cilíndricaé tomada em algum raio arbitrário r e seu volume é:

O volume total é dado por:

Como o volume de fluido no tanque é constante (admitindo que não hajatransbordamento), temos.


rhdrdV 2=

02

42

0

0

22

422 hR

g

Rdrh

g

rrV

R

+=

+= ∫

02

422

4hR

g

RHR += ou

g

RhH

4

22

0

=−


O tubo U da figura abaixo está parcialmente preenchido com mercúrio e pode girarem torno do eixo a – a. Quando o tubo está em repouso as alturas das colunas demercúrio são iguais a 150 mm. Qual deve ser a velocidade angular do tubo para quea diferença entre as alturas das colunas se tone igual a 75 mm.

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