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Mecânica

Esmerindo Bernardes 1

L.I.A. – Laboratório de Instrumentação AlgébricaDepartamento de F́ısica e Ciência dos Materiais

Instituto de F́ısica de São CarlosUniversidade de São Paulo

www.lia.if.sc.usp.br

18 de Junho de 2010

1email: [email protected]

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Conteúdo

1 Introdução 1

2 Cinemática 32.1 O espaço Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Vetor posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 Produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 Trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.5.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Velocidade e aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.7 Espaço percorrido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.7.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Translações 253.1 Os prinćıpios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 As forças da natureza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.3 Aplicações da segunda lei de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3.1 Forças constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3.2 Forças dependentes da velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3.3 Forças dependentes da posição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Leis de conservação I 454.1 Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Energia cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3 Energia potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4 Energia mecânica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

iii

CONTEÚDO CONTEÚDO

4.5 Peŕıodos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6 Comentários gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Rotações 615.1 Cinemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2 Energia rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Dinâmica rotacional e leis de conservação II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4 As equações de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6 Gravitação 836.1 Um sistema de dois corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.2 A energia potencial de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.3 Trajetórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4 O campo gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.5 Correções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7 Relatividade restrista 937.1 Transformações de Galileu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937.2 Transformações de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947.3 Mecânica relativ́ıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A Análise dimensional 99

B Séries de Taylor 101B.1 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

C Coordenadas polares 103

iv

Caṕıtulo 1

Introdução

Estas notas de aulas não pretendem substituirqualquer livro texto sobre mecânica Newtoniana.Elas existem apenas como uma forma de orga-nização de vários tópicos importantes que são co-mumente abordados em um primeiro curso sobre asleis de Newton para o movimento e suas aplicações.Como tal, elas pretendem ser concisas e enfati-zar apenas conceitos fundamentais, indispensáveisà aquisição e manipulação de muitos outros concei-tos f́ısicos utilizados em Ciências.

Cabe a você estudante ser extremamente cŕıticoe procurar pela coerência de cada informação con-tida nestas notas. Além disto, estas notas de au-las devem ser usadas como uma extensa lista deexerćıcios. O caminho para chegar nos resultadosexibidos é sempre comentado, cabendo a você atarefa de executar os passos intermediários. As-sim, você saberá exatamente de onde veio qual-quer resultado, fórmula ou teorema, bem como suascondições de validade. Em geral, cada resultado éválido em um determinado contexto, o qual é reve-lado durante a execussão dos passos intermediários.Outro benef́ıcio decorrente da execussão dos passosintermediários é o aumento da nossa capacidade in-telectual para lidar com conhecimentos novos.

Adotaremos uma abordagem construtivista ondeas leis da mecânica serão derivadas de observaçõesmeticulosas da natureza através de experimentossimples, porém extremamente ilustrativos. Numaetapa seguinte, iremos analisar os resultados dasobservações realizadas e propor modelos que os des-crevam de forma acurada. Para que estes modelospossam ser descritos de forma elegante, prática ecom capacidade de fazer previsões, construiremosdiversas “ferramentas matemáticas”, as quais farãoparte do conjunto de ferramentas de trabalho de

qualquer profissional em Ciências Exatas. Todasestas ferramentas serão estudadas em detalhes noscursos de Geometria, Cálculo Diferencial e Integral,Equações Diferenciais, Eletromagnetismo e Termo-dinâmica. Desta forma, estas notas de aula pre-tendem criar um laboratório para promover a inte-gração de todos os demais cursos do Ciclo Básicoem Ciências. Estes cursos estão todos entrelaçados,interligados por condúıtes que permitem entrada esáıda de conhecimentos.

Em geral, desejamos usar conhecimentos adqui-ridos para tornar nossa sociedade mais agradável,justa e auto-suficiente. Hoje, vivemos em um mo-mento da história do conhecimento humano ondea taxa de transferência de conhecimentos básicospara o setor produtivo está crescendo rapidamente.Apesar deste crescimento, ainda encontramos umadistância muito longa entre a aquisição de co-nhecimentos e o uso destes. Treinamento é umaforma bastante eficaz de encurtar esta distância.Vários exerćıcios são propostos no final de cadacaṕıtulo para ressaltar aspectos importantes dosresultados obtidos, além de evidenciar como es-tes resultados devem ser utilizados. Na medida doposśıvel, procuraremos realizar exerćıcios de empre-endimento e transferência de conhecimento cons-truindo máquinas simples e/ou fazendo simulaçõescomputacionais. Procuraremos construir máquinassimples cujos prinćıpios de funcionamento depen-dam exclusivamente das leis de Newton para omovimento, como foguetes de água e giroscópios.Também simularemos via computação algébrica(ou simbólica) o movimento de objetos sujeitosàs forças elástica, gravitacional e eletromagnética,sempre agregando alguns efeitos realistas como dis-sipações e ressonâncias.

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Caṕıtulo 1. Introdução

Várias rotinas em computação algébrica serãocriadas, passo a passo, para implementarem os co-nhecimentos adquiridos através dos textos de re-ferência e notas de aula bem como aqueles adquiri-dos em sala de aula. Computação algébrica é semdúvida uma ferramenta indispensável ao ensino epesquisa. Além disto, assim como os atuais estu-dantes, este curso pretende ser pós-computadores.Os computadores serão usados para executar ta-refas que nos tomariam muito tempo, nos libe-rando para construir modelos e analisar seus re-sultados, exercitando assim ainda mais a nossa ca-pacidade intelectual. Mais especificamente, usare-mos o computador para resolver as equações dife-renciais decorrentes das leis de Newton, desenharas trajetórias decorrentes e realizar as animaçõescorrespondentes. Derivadas, integrais e soluçõesnuméricas de equações diferenciais serão efetua-das computacionalmente por um processo similarao uso de calculadoras de bolso na realização deoperações aritméticas.

Não basta sabermos resolver determinadosexerćıcios, em geral com o intuito de sermos aprova-dos em um determinado curso. Devemos aprender aaplicar nossos conhecimentos adquiridos num con-texto mais amplo. Também não podemos esperarpor um momento mágico para começarmos a desen-volver nossa capacidade empreendedora. O melhormomento para isto é agora. Ao estudar as leis deNewton para o movimento e suas aplicações, desen-volva concomitantemente a sua capacidade empre-endedora. Imagine o computador a sua fábrica euma determinada linguagem de programação comomatéria prima. Você é capaz de produzir com seusconhecimentos adquiridos? Simular o movimentode uma simples bolinha de gude sob ação da gravi-dade (com alguma dissipação) é um excelente pro-duto.

O objetivo deste curso é oferecer oportunida-des, através de exemplos e exerćıcios, para quevocê aprenda a aprender. Assim, você estará ca-minhando na direção de se tornar uma pessoa eum profissional cŕıtico, anaĺıtico, com capacidadede absorver, gerar e transmitir conhecimentos, con-forme requer o projeto pedagógico desta universi-dade.

Nestas notas, abordaremos os tópicos seguintes:

1. Cinemática. Iniciaremos estudando as pro-priedades básicas do espaço Euclidiano, palco

de quase todos os movimentos que iremos es-tudar. Precisaremos saber como representarpontos (objetos) e curvas (trajetórias) nesteespaço. Para tal, teremos que construir sis-temas de coordenadas, vetores e algumas fer-ramentas espećıficas, como os produtos esca-lar e vetorial, para lidar com vetores. Maisdetalhes serão vistos no curso de GeometriaAnaĺıtica. Em seguida, construiremos maisferramentas espećıficas (derivadas e integrais)para lidarmos com velocidades, acelerações,forças e trajetórias. Mais detalhes sobre deri-vadas e integrais serão vistos nos diversos cur-sos de Cálculo. Finalmente, faremos uso decomputao (algébrica ou simbólica) para simu-lar objetos reais em movimento. Estes tópicosestão discutidos no Cap. 2 (Cinemática) dasnotas de aulas.

2. Dinâmica. Estabeleceremos aqui as leis quegovernam um movimento geral (translação +rotação). Iniciaremos pelas leis que gover-nam as translações. Utilizaremos de algunsexperimentos para estabelecermos tais leis.Em seguida, construiremos uma estrutura ma-temática para expressarmos e manipularmostais leis. Esta estrutura matemática, comoveremos, será auto-consistente, elegante e ca-paz de fazer previsões. Em seguida, estudare-mos as leis que governam as rotações. Veja osCaps. 3 (Translações), 4 (Rotações) e 5 (Leisde Conservação) das notas de aulas.

3. Gravitação. Veremos como Newton usouo conceito de força, recém inventado porele mesmo, para explicar como objetos sãoatráıdos pela Terra, bem como nossos plane-tas orbitão o Sol. Também deduziremos as leisde Kepler da força da gravidade proposta porNewton. Finalizaremos nossas discussões es-tudando os fundamentos da Relatividade Res-trita. Veja o Cap. 6 (Gravitação).

Além das notas de aulas, as seguintes referênciaspodem ser úteis:

1. Herch Moysés Nussenzveig – Curso de F́ısicaBásica: Mecânica.

2. Alaor Silvério Chaves – Curso Básico para Es-tudantes de Ciências F́ısicas e Engenharias.Vol. 1: Mecânica.

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Caṕıtulo 2

Cinemática

Estudaremos aqui os conceitos de posição, ve-locidade e aceleração, sem nos preocupar com assuas causas, ao invés, procuraremos construir fer-ramentas matemáticas adequadas a uma descriçãoelegante e prática destas grandezas f́ısicas.

Em geral, um objeto qualquer move-se em umdeterminado espaço. Portanto, precisaremos cons-truir uma forma efetiva de representar posição, ve-locidade e aceleração deste objeto em cada ins-tante de tempo neste espaço. Para efetuarmos estaconstrução, denominada de sistemas de coordena-das, iremos precisar de ferramentas matemáticas.Precisaremos de pontos para localizar nossos obje-tos f́ısicos e de curvas para representar suas tra-jetórias. Precisaremos também de vetores (porexemplo, os vetores posição, velocidade, aceleraçãoe forças) bem com de matrizes (por exemplo, mo-mento de inércia) para representar diversas quanti-dades f́ısicas. Também iremos construir ferramen-tas espećıficas, como derivadas e integrais, além deprodutos escalares e vetorias, para modificarmosquantidades f́ısicas.

2.1 O espaço Euclidiano

O que é o espaço? Pode parecer inacreditável,mas ainda não dispomos de uma resposta concretaa esta pergunta e, talvez, nunca venhamos tê-la.No entanto, veremos que, mesmo desprovidos deuma definição, seremos capazes de usar o espaço deforma operacional. Encontraremos outras duas si-tuações análogas envolvendo os conceitos de tempoe massa. Esta capacidade de operar com conceitosdesprovidos de uma definição única é, sem dúvidas,uma das grandes conquistas humanas.

Por enquanto vamos admitir a “existência” de

um espaço caracterizado pelas seguintes qualida-des: (i) a soma dos espaços das partes é igual aoespaço do todo contendo estas partes; (ii) o espaçoé desprovido de matéria e, portanto, desprovido dequalquer propriedade que possa influenciar no mo-vimento dos corpos; (iii) o espaço é homogêneo, istoé, qualquer posição ao longo de uma determinadadireção é sempre igual às demais; (iv) o espaço éisotrópico, isto é, estando em uma posição fixa, to-das as direções são idênticas; (v) o espaço apre-senta três dimensões independentes (por exemplo,largura, profundidade e altura) e é infinito. Comoveremos a seguir, estas propriedades tornam ope-racional o conceito de espaço.

Tendo estabelecido estas propriedades, podemosafirmar que objetos podem ser localizados nesteespaço através de coordenadas, medidas em relaçãoa alguma posição fixa, previamente escolhida, aqual chamaremos de referencial. Note, portanto,que coordenadas são medidas relativas de distância.Também é importante mencionar que espaço etempo são conceitos distintos: relógios sincroni-zados podem ser colocados simultaneamente emqualquer posição neste espaço que estamos consi-derando. Desta forma, trabalharemos com a noçãode tempo absoluto, ou seja, relógios sincronizadossempre marcarão os mesmos intervalos de tempoem qualquer posição do espaço. Discutiremos aspropriedades operacionais da noção de tempo nasegunda parte contendo as leis de Newton.

É importante ter em mente que o conceito deespaço que estamos usando aqui, comumente de-nominado de espaço Euclidiano, uma homenagemao matemático grego Euclides que viveu no Séc. IIIa.c., considerado o fundador da geometria plana, foiestabelecido somente a partir do Séc. XIV. As prin-cipais propriedades dos objetos geométricos da geo-

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2.1. O espaço Euclidiano Caṕıtulo 2. Cinemática

metria Euclidiana serão estudadas detalhadamenteno curso de Geometria Anaĺıtica. No entanto, usa-remos aqui as noções de ponto como sendo um ob-jeto adimensional, de curva como sendo um objetounidimensional (tendo apenas comprimento, comoretas, parábolas, circunferências, elipses, espirais,etc.) e de superf́ıcie como sendo um objeto bidi-mensional (tendo apenas área, como planos, cas-cas esféricas e ciĺındricas, etc.). Também utiliza-remos a noção de vetor como sendo uma flecha(segmento de reta) tendo comprimento, direção esentido. Também assumiremos que o teorema dePitágoras 1 para triângulos retângulos seja conhe-cido.

Muito bem, tendo estabelecido as principais pro-priedades do espaço Euclidiano, o qual está pron-tinho para receber objetos, devemos fixar umanotação para as coordenadas que irão localizar umdeterminado objeto. A Figura 2.1 ilustra umasituação t́ıpica: um ponto m, com coordenadasm(x, y, z), representado em um sistema de coor-denadas com eixos X, Y e Z mutuamente perpen-diculares (ortogonais), conhecido como sistema decoordenadas cartesiano, introduzido por René Des-cartes no Século XVII. Os números reais (x, y, z)são determinados graficamente da seguinte forma:primeiro traçamos uma reta paralela ao eixo Z pas-sando por m até interceptarmos o plano XY . Pas-sando por este ponto de intersecção, traçamos retasparalelas aos eixos Y e X, as quais interceptam oseixos X e Y em x e y, respectivamente. A coor-denada z é obtida traçando uma reta paralela aoplano XY até interceptarmos o eixo Z em z.

É posśıvel calcular a distância entre dois pontos,digamos A(xa, ya, za) e B(xb, yb, zb), neste espaçoEuclidiano usando somente suas coordenadas, sema necessidade de uma régua? Sim, é perfeitamenteposśıvel. Uma posśıvel maneira é definir a distânciaentre dois pontos como sendo o comprimento dosegmento de reta que os une. Por exemplo, osegmento de reta que une a origem O(0, 0, 0) eo ponto m(x, y, z) na Figura 2.1 tem um compri-

mento igual a√x2 + y2 + z2, como podemos obter

aplicando o teorema de Pitágoras duas vezes (façao Exerćıcio 2). Assim, a distância entre a origem

O e o ponto m é√x2 + y2 + z2. Este exemplo nos

ensina que em geral a distância d(A,B) entre dois

1A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadradoda hipotenusa.

Z

YX

z

yx

k̂

̂ı̂

~r

~ρ

O

m

Figura 2.1: Um objeto m localizado no espaço Eu-clidiano XY Z pelo vetor posição r⃗ com coordena-das (x, y, z). Os versores ı̂, ȷ̂ e k̂ são ortogonais eestão normalizados a unidade.

pontos quaisquer A(xa, ya, za) e B(xb, yb, zb) podeser calculada através de suas coordenadas por

d(A,B) =

=√

(xb − xa)2 + (yb − ya)2 + (zb − za)2. (2.1)

Como um vetor é formado por dois pontos noespaço (origem e ponta), então podemos usar a ex-pressão da Eq. (2.1) para calcularmos o compri-mento de vetores (faça os Exerćıcios 1–3).

2.1.1 ExerćıciosExerćıcio 1Use o teorema de Pitágoras para determinar o com-primento do vetor ρ⃗ no plano XY na Figura 2.1 emtermos das coordenadas x e y.

Exerćıcio 2Use o resultado do exerćıcio anterior e novamenteo teorema de Pitágoras para determinar o compri-mento do vetor r⃗ na Figura 2.1.

Exerćıcio 3Mostre que o comprimento do vetor r⃗ calculado noexerćıcio anterior também pode ser obtido pela ex-pressão dada na Eq. (2.1) com o ponto A sendo a

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Caṕıtulo 2. Cinemática 2.2. Vetor posição

origem O e o ponto B sendo o ponto m (veja aFigura 2.1).

2.2 Vetor posição

Na Figura 2.1 estamos usando o vetor r⃗ para indi-car a posição do objeto m. Um vetor com a ori-gem fixa na origem de um sistema de coordenadase com a ponta na posição de um objeto (em movi-mento ou não) é denominado de vetor posição. Emprinćıpio não precisamos usar um vetor para loca-lizar um ponto no espaço. No entanto, a noção develocidade requer a presença de um vetor posição,isto é, requer a especificação de uma direção e deum sentido, além do seu valor. Quando há movi-mento, é importante especificar também a direçãoe o sentido deste movimento. Em outras palavras,precisamos saber para onde estamos indo, literal-mente. Como veremos, vetores constituem umalinguagem matemática extremamente concisa, ele-gante e prática para descrevermos posições, velo-cidades, acelerações e outras quantidades f́ısicas,como forças, que necessitam de direção e sentido,além de intensidade, para serem especificadas com-pletamente.

Em geral, quando a origem de um vetor estiverna origem de um sistema de coordenadas, escrevere-mos um vetor como uma matriz linha, r⃗ = (x, y, z),formada pelas componentes x, y e z da ponta dovetor. Note que as coordenadas (x, y, z) do vetorr⃗ são as mesmas coordenadas do ponto m. Istoocorre toda vez que colocamos a origem de qualquervetor na origem do sistema de coordenadas. As co-ordenadas (x, y, z) do vetor r⃗ representam as suasprojeções (ortogonais) sobre os três eixos ortogo-nais X, Y e Z, respectivamente (veja a Figura 2.1).Também devemos lembrar que as propriedades dehomogeneidade (o epaço é o mesmo ao longo deuma dada direção) e isotropia (o espaço é o mesmoem todas as direções) nos permitem fixar a origemdo sistema de coordenadas em qualquer posição doespaço, ou, equivalentemente, nos podemos sempretransladar nossos vetores sem girá-los. Observe queesta translação deve ser feita de tal forma a mantero vetor na nova posição, sempre paralelo ao vetororiginal. Esta translação sem rotação é conhecidapor transporte paralelo.Essencialmente, o que estamos fazendo é usando

vetores para representar posições. vejamos então

algumas propriedades importantes sobre vetores.Primeiro, vamos denotar por r̂ um vetor de com-primento unitário, o qual chamaremos de versor.Sendo r o comprimento do vetor r⃗, então r̂ = r⃗/r.Observe na Figura 2.1 que o teorema de Pitágoraspara triângulos retângulos nos permite escrever ρ⃗ =x̂ı+yȷ̂, bem como r⃗ = ρ⃗+zk̂, ou seja r⃗ = x̂ı+yȷ̂+zk̂.Este resultado está nos informando que podemosfazer combinações lineares de vetores, isto é, multi-plicação de vetores por números2 e soma entre veto-res. Seja α e β dois números reais e r⃗1 = (x1, y1, z1)e r⃗2 = (x2, y2, z2) dois vetores (posição). Então,somando componentes multiplicadas por números,podemos formar um terceiro vetor,

r⃗3 = αr⃗1 + βr⃗2

= (αx1 + βx2, αy1 + βy2, αz1 + βz2). (2.2)

Note que combinação linear é uma operação entredois vetores (operação binária), fornecendo um ter-ceiro vetor. Esta propriedade, compartilhada portodos os vetores, é fundamental para atribuirmosao conjunto dos vetores a condição de “espaço ve-torial”, um dos tópicos centrais do curso de ÁlgebraLinear.

Outra caracteŕıstica de um vetor, muito impor-tante para a F́ısica, é o seu comportamento emrelação a rotações em torno de um eixo fixo e àinversões espaciais. Quando um vetor é rodado emtorno de um eixo fixo, o comprimento do vetor nãoé alterado. Apenas a sua direção (e sentido) é al-terada. Inversão espacial significa trocar simulta-neamente o sinal de todas as coordendas (“virar aoavesso”). Portanto, uma inversão espacial mantéma direção e muda apenas o sentido do vetor. Umcandidato a vetor (que tem comprimento, direção esentido) que permanece invariante a uma inversãoespacial é denominado de pseudo-vetor (exemplosde pseudo-vetores serão apresentados na Sec. 2.4,após estudarmos o produto vetorial). Por falar emvetor e pseudo-vetor, o vetor resultante r⃗3 em (2.2)tem o mesmo comportamento que os vetores r⃗1 er⃗2 mediante rotações e inversões espaciais?

2Números também são conhecidos por escalares, ou seja,quantidades que precisam apenas de sua magnitude paraserem especificados completamentes.

5

2.3. Produto escalar Caṕıtulo 2. Cinemática

2.2.1 ExerćıciosExerćıcio 4Desenhe os vetores posição R⃗1 = (1, 2, 1) e R⃗2 =(1, 1, 2) em um mesmo sistema cartesiano de coor-denadas (ortonormal). Determine as coordenadas

da soma R⃗1+R⃗2 e da diferença R⃗1−R⃗2 e represente-os no mesmo sistema de coordenadas anterior. Useo teorema de Pitágoras para determinar o compri-mento de cada vetor. Repita este procedimentopara outras combinações lineares.

2.3 Produto escalar

Há outras operações binárias que podemos realizarcom vetores, além da combinação linear (2.2)? Éposśıvel inventar uma operação entre dois vetoresque nos dê informações sobre seus comprimentose o ângulo entre eles? Sim, é posśıvel. Vejamoscomo.Também podemos realizar uma operação binária

envolvendo dois vetores cujo resultado é um númeroreal. Esta operação binária entre os vetores r⃗1 e r⃗2,denotada por r⃗1 · r⃗2, será denominada de produtoescalar. O produto escalar é definido requerendoque ele satisfaça quatro propriedades: que ele sejasimétrico e linear,

r⃗1 · r⃗2 = r⃗2 · r⃗1 ∈ R, (2.3)r⃗3 · (αr⃗1 + βr⃗2) = α r⃗3 · r⃗1 + β r⃗3 · r⃗2, (2.4)

respectivamente, onde α e β são são números reais;que ele seja positivo definido,

r⃗ · r⃗

{= 0 se r⃗ = 0⃗

> 0 se r⃗ ̸= 0⃗; (2.5)

e que o comprimento r de um vetor r⃗ qualquerpossa ser calculado por

r = ||r⃗|| =√r⃗ · r⃗. (2.6)

A propriedade (2.3) nos diz que o produto escalaré uma operação binária simétrica (ou comutativa).A propriedade (2.4) significa que o produto escalaré linear, pois obedece a propriedade distributiva.Note que os número α e β no lado direito de (2.4)podem ser retirados de dentro dos produtos escala-res. A propriedade (2.5) nos garante que o produtoescalar é bem comportado (não-degenerado), poisela evita que o produto escalar de um vetor com ele

mesmo seja nulo sem que o vetor seja nulo. A pro-priedade (2.6) nos diz que o comprimento, tambémconhecido por módulo ou norma, pode ser calcu-lado pelo produto escalar. Podemos notar entãoque a propriedade (2.5) está em sintonia com adefinição (2.6) de comprimento como sendo umaquantidade real positiva ou nula. Nula quando, esomente quando, o vetor for nulo.

Uma questão importante é: como realizar estaoperação binária, denominada de produto escalar,em termos de coordenadas? ou seja, como tornar oproduto escalar operacional? Graças à propriedadedistributiva (2.4), basta conhecermos todos os pro-

dutos escalares posśıveis entres os versores ı̂, ȷ̂ e k̂,colocados ao longo dos três eixos independentes doespaço Euclidiano (veja a Figura 2.1). Desta forma,teremos, em prinćıpio, nove produtos escalares a se-rem determinados, pois cada vetor pode ser escritocomo uma combinação linear dos versores ı̂, ȷ̂ e k̂do sistema de coordenadas escolhido. No entanto,a propriedade de simetria, presente na definição doproduto escalar em (2.3), reduz para seis o númerode produtos escalares que devemos conhecer. Umaforma eficiente de guardarmos estes produtos esca-lares é utilizando um arranjo matricial, isto é, numamatriz 3× 3,

g =

ı̂ · ı̂ ı̂ · ȷ̂ ı̂ · k̂ȷ̂ · ı̂ ȷ̂ · ȷ̂ ȷ̂ · k̂k̂ · ı̂ k̂ · ȷ̂ k̂ · k̂

. (2.7)Utilizando a matriz (2.7), contendo todos os pro-

dutos escalares entre os versores de base, deno-minada de métrica, podemos mostrar que o pro-duto escalar entre dois vetores quaisquer é calcu-lado em termos de suas componentes da seguinteforma (faça o Exerćıcio 5),

r⃗1 · r⃗2 = r⃗1 g r⃗T2 , (2.8)

na qual r⃗T2 é uma matriz coluna, obtida da matrizlinha representando o vetor r⃗2 pela transposição desuas linhas por colunas. As operações matriciaisem (2.8) são totalmente equivalentes ao uso da pro-priedade de linearidade (2.4) com os vetores escri-tos explicitamente em termos de seus versores (te-nho certeza que você irá verificar isto). Esta pareceuma estória sem fim. Afinal de contas, como po-deremos calcular os produtos escalares que apare-cem na métrica (2.7)? Não podemos! Estes produ-tos escalares devem ser fornecidos. Decepcionado?

6

Caṕıtulo 2. Cinemática 2.3. Produto escalar

Para entendermos melhor esta situação, devemosnos perguntar: qual é o significado geométrico doproduto escalar?

ı̂

̂ ı̂ + ̂

B̂

Ĉ

~B

~C

~A

θ

(a) (b)

Figura 2.2: O produto escalar está associado coma projeção geométrica de um vetor sobre o outro.Veja os teoremas 1 e 2.

Para entendermos melhor o significadogeométrico do produto escalar, devemos cal-cular primeiro o produto escalar entre dois vetoresperpendiculares (ortogonais). Vamos usar os verso-res ı̂ e ȷ̂ como dois representantes t́ıpicos de vetoresortogonais. Como indicado na Figura 2.2 (a), ocomprimento da soma vetorial ı̂ + ȷ̂ é a hipotenusado triângulo retângulo formado pelos versoresı̂ e ȷ̂. Como os versores possuem comprimentounitário, por definição, então a hipotenusa podeser calculada usando o teorema de Pitágoras,

||̂ı + ȷ̂||2 = ||̂ı||2 + ||̂ȷ||2. (2.9)

Sim, você tem razão. Naturalmente, o valor dahipotenusa também pode ser calculado usando so-mente a ferramenta (2.6) para calcular o compri-mento de um vetor,

||̂ı+ ȷ̂||2 = (̂ı+ȷ̂) · (̂ı+ ȷ̂) = ||̂ı||2+ ||̂ȷ||2+2̂ı · ȷ̂, (2.10)

onde usamos também a propriedade distributiva doproduto escalar. Comparando estes dois resulta-dos, (2.9) e (2.10), podemos concluir que ı̂ · ȷ̂ = 0.Isto significa que o produto escalar entre dois ve-tores ortogonais é nulo. Caso os vetores não se-jam unitários, seguindo o mesmo racioćınio ante-rior, este resultado continua valendo. Portanto eleé um teorema:

Teorema 1Sejam A⃗ e B⃗ dois vetores perpendiculares. Então,

A⃗ · B⃗ = 0 ⇔ A⃗ ⊥ B⃗. (2.11)

Portanto, já sabemos o significado e o valor decada elemento na diagonal da métrica (2.7) asso-ciada ao sistema de coordenadas cartesiano da Fi-gura 2.1, pois nossos versores ı̂, ȷ̂ e k̂ possuem com-primentos iguais a um (são unitários). E quandoos vetores não são perpendiculares? qual é o signi-ficado do produto escalar? Considere dois vetoresarbitrários A⃗ e B⃗, formando um ângulo θ entre eles.Dois vetores sempre estão em um plano, como mos-trado na Figura 2.2 (b). Escolha neste plano um ve-

tor C⃗ perpendicular a B⃗. Naturalmente, os versoresB̂ e Ĉ formam uma base ortonormal para o vetor A⃗,isto é, podemos escrever A⃗ = A cos θ B̂ +A sin θ Ĉ.Efetue agora o produto escalar A⃗ · B̂ e use o Teo-rema 1. Resulta que A cos θ = A⃗ · B̂. Isto é exata-mente a projeção do vetor A⃗ sobre o vetor B⃗ (ou

na direção do vetor B⃗). Note na Figura 2.1 que

r⃗ · ı̂ = x, r⃗ · ȷ̂ = y e r⃗ · k̂ = z. Naturalmente, os pa-peis de A⃗ e B⃗ podem ser perfeitamente invertidos.Assim, temos um segundo teorema:

Teorema 2Sejam A⃗ e B⃗ dois vetores formando um ângulo θ entreeles. Então,

A⃗ · B⃗ = AB cos θ. (2.12)

Note que este teorema nos permite calcular o pro-duto escalar entre dois vetores sem a necessidadede escrevê-los em um determinado sistema de coor-denadas, basta conhecermos seus comprimentos eo ângulo entre eles. Em geral, escreveremos nossosvetores em algum sistema de coordenadas (ortonor-mal, de preferência) e usaremos (2.12) para calcularo ângulo entre eles.Resumindo: além do comprimento, o produto es-

calar nos dá também uma informação sobre a ori-entação relativa entre vetores. Também é impor-tante notar que a expressão (2.12) nos fornece umaforma operacional para calcularmos o produto es-calar entre vetores quando seus comprimentos e oângulo entre eles são conhecidos previamente.Voltemos ao nosso problema original: o sistema

cartesiano da Figura 2.1. Nele, escolhemos os trêsversores ı̂, ȷ̂ e k̂ mutuamente ortogonais (perpen-diculares), isto é, os ângulos entre estes versores éde 90 graus. Portanto, usando o Teorema 2, nossamétrica (2.7) pode ser escrita explicitamente,

g =

ı̂ · ı̂ ı̂ · ȷ̂ ı̂ · k̂ȷ̂ · ı̂ ȷ̂ · ȷ̂ ȷ̂ · k̂k̂ · ı̂ k̂ · ȷ̂ k̂ · k̂

=1 0 00 1 00 0 1

, (2.13)7

2.4. Produto vetorial Caṕıtulo 2. Cinemática

ou seja, ela é a matriz identidade. Isto simplificamuito nossa vida e explica a importância prática deusarmos sistemas ortonormais (versores ortogonaise unitários) de coordenadas. Assim, podemos escre-ver o produto escalar entre dois vetores arbitráriosA⃗ = (Ax, Ay, Az) e B⃗ = (Bx, By, Bz), usando aprescrição (2.8), em um sistema de coordenadas or-tonormal cartesiano como (verifique)

A⃗ · B⃗ = A⃗gB⃗T = AxBx +AyBy +AzBz. (2.14)

Use (2.14) para calcular o comprimento do vetorposição r⃗ da Figura 2.1 e veja que é o mesmo va-lor obtido diretamente das projeções indicadas namesma figura.Também é importante ter em mente que a ex-

pressão (2.14) é válida somente em um sistema or-tonormal de coordenadas. Caso a base não sejaortonormal, devemos usar a métrica (2.7) em todasas operações envolvendo o produto escalar, comoem (2.8). Também devemos ter em mente que amétrica vem junto com a base, ela é um conjunto de“especificações técnicas” sobre a base, uma espéciede “manual de instruções”. Se alguém lhe venderuma base sem a métrica, entre em contato com oProcon mais próximo.

2.3.1 ExerćıciosExerćıcio 5Usando a propriedade distributiva (2.4) escrevaexplicitamente o produto escalar entre os vetoresr⃗1 = (x1, y1, z1) e r⃗2 = (x2, y2, z2). Verifique queeste resultado é idêntico às operações matriciais dolado direito da Eq. (2.8).

Exerćıcio 6Efetue o produto escalar entre os vetores posição

R⃗1 = (1, 2, 1) e R⃗2 = (1, 1, 2). Calcule também ocomprimento de cada um deles bem como o ânguloentre eles. Repita este procedimento para os veto-res resultantes da soma e da diferença entre R⃗1 eR⃗2. Considere um sistema ortonormal de coorde-nadas.

Exerćıcio 7Escreva uma rotina em computação algébrica paracalcular o comprimento de um vetor a partir de suascomponentes em uma base ortonormal. Use umaestrutura do tipo lista (list) para estocar as coor-denadas de um vetor. Escreva também uma rotina

para calcular o ângulo em radianos e em graus entredois vetores a partir de suas coordenadas. Verifi-que o funcionamento de suas rotinas comparandoos resultados delas com os resultados do exerćıcioanterior.

Exerćıcio 8Refaça as duas rotinas do exerćıcio anterior as-sumindo que a base seja arbitrária, definida pelamétrica (2.7). Use uma estrutura do tipo matriz(Matrix ) para estocar a métrica.

Exerćıcio 9Suponha que uma determinada base tenha a se-guinte métrica:

g =

1 0.5 00.5 1 00 0 1

. (2.15)Determine os ângulos entre os versores desta basee desenhe-a. Suponha que R⃗1 = (1, 2, 1) e R⃗2 =(1, 1, 2) sejam dois vetores escritos nesta base. De-termine seus comprimentos e o produto escalar en-tre eles. Desenhe-os nesta base.

2.4 Produto vetorial

Há uma outra operação binária com vetores queé muito importante. Trata-se do produto vetorial.Neste tipo de operação, defini-se um novo produtoentre os vetores A⃗ e B⃗, denotado por A⃗ × B⃗ (ouA⃗ ∧ B⃗), denominado de produto vetorial de A⃗ porB⃗, do qual resulta um novo vetor. Lembre-se que oproduto escalar produz um número (escalar) real.O produto vetorial é definido pelas seguintes pro-priedades:

A⃗× B⃗ = −B⃗ × A⃗, (2.16)

C⃗ × (αA⃗+ βB⃗) = α(C⃗ × A⃗) + β(C⃗ × B⃗), (2.17)

A⃗× B⃗ = C⃗ ⇔ C⃗ · A⃗ = C⃗ · B⃗ = 0, (2.18)

(A⃗, B⃗, A⃗× B⃗) : destrogiro. (2.19)

A propriedade (2.16) significa que o produto ve-torial, ao contrário do produto escalar, é anti-simétrico (troca de sinal). A propriedade (2.17)significa que o produto vetorial, assim como o pro-duto escalar, é linear. Note que os escalares α eβ no lado direito de (2.17) podem ser retirados de

8

Caṕıtulo 2. Cinemática 2.4. Produto vetorial

dentro do produto vetorial. A propriedade (2.18)

significa que o vetor resultante A⃗ × B⃗ é, simulta-neamente, perpendicular aos vetores A⃗ por B⃗. Apropriedade (2.19) significa que o sentido do vetor

resultante C⃗ = A⃗×B⃗ é indicado pelo nosso polegardireito quando movimentamos os demais dedos damão direita no sentido de A⃗ para B⃗ (regra da mãodireita; veja a Figura 2.3).

~A

~B

~C

θ

Figura 2.3: O produto vetorial está associado coma área do paralelogramo formado pelos vetores A⃗ eB⃗. O sentido do vetor resultante C⃗ = A⃗×B⃗ é dadopela regra da mão direita.

Como podemos calcular as componentes do vetorresultante C⃗ = A⃗×B⃗ a partir das componentes dosvetores A⃗ = (Ax, Ay, Az) e B⃗ = (Bx, By, Bz)? Istopode ser feito em duas etapas. Primeiro observeque a propriedade (2.18) nos fornece as seguintesrelações (verifique):

CxAx + CyAy + CzAz = 0, (2.20)

CxBx + CyBy + CzBz = 0. (2.21)

Note que estamos pressupondo que estes vetores es-tejam decompostos numa base ortonormal. Casoa base não seja ortonormal, devemos efetuar osprodutos escalares usando a métrica apropriada.Das relações (2.20) e (2.21) podemos escrever, porexemplo, as componentes Cx e Cy em função de Cz(verifique),

Cx =AyBz −AzByAxBy −AyBx

Cz, (2.22)

Cy =AzBx −AxBzAxBy −AyBx

Cz. (2.23)

Naturalmente, podemos re-escrevê-las na forma(verifique)

CxAyBz −AzBy

=Cy

AzBx −AxBz

=Cz

AxBy −AyBx= β. (2.24)

Estas razões devem ser válidas para quaisquer ve-tores A⃗ e B⃗. Desta forma, temos as componentesdo vetor C⃗, resultante do produto vetorial A⃗ × B⃗,em termos das componentes dos vetores A⃗ e B⃗ e daconstante arbitrária β. Mas como esta constante βé arbitrária, então podemos escolher um valor paraela: β = 1. Não se assuste, como veremos adiante,há várias razões práticas para tal escolha. Comβ = 1 em (2.24), temos:

Teorema 3As componentes do vetor C⃗ = A⃗× B⃗ são

Cx = AyBz −AzBy,Cy = AzBx −AxBz,Cz = AxBy −AyBx.

(2.25)

Como veremos através de vários exemplos, esco-lher β como sendo um número positivo está con-dizente com a propriedade (2.19) (regra da mãodireita). Caso tivéssemos escolhido um númeronegativo para β, teŕıamos que usar uma regrada mão esquerda. Note que a disposição dosı́ndices x, y e z nas expressões dadas no Teo-rema 3 segue uma ordem ćıclica, com valores positi-vos no sentido horário, {(x, y, z), (z, x, y), (y, z, x)},e com valores negativos no sentido anti-horário,{(x, z, y), (y, x, z), (z, y, x)}. Veja a Figura (2.4)com (i, j, k) trocados por (x, y, z).Tendo as componentes (2.25), podemos calcu-

lar o módulo do vetor C⃗ usando o produto esca-lar (2.6). Após um pouco de paciência (Faça oExerćıcio 10; use computação algébrica para che-car os resultados), encontraremos

C2 = A2B2 − (A⃗ · B⃗)2, (2.26)

a qual pode ser perfeitamente re-escrita, usando apropriedade (2.12), em termos do ângulo θ entre A⃗

e B⃗,

C2 = A2B2 −A2B2 cos2 θ = (AB)2 sin2 θ. (2.27)

Portanto, temos:

9

2.4. Produto vetorial Caṕıtulo 2. Cinemática

Teorema 4O módulo do vetor C⃗ = A⃗ × B⃗ pode ser convenien-temente calculado por

C = AB |sin θ|. (2.28)

Assim, este Teorema 4 nos permite calcular o com-primento do vetor resultante de um produto veto-rial a partir dos comprimentos dos vetores iniciais edo ângulo entre eles, sem a necessidade de escrevê-los em um sistema de coordenadas. Esta situaçãoé análoga àquela relacionada com o Teorema 2.

Vimos anteriormente que um produto escalarestá associado com a projeção de um vetor sobreo outro. E o produto vetorial? ele tem algumainterpretação geométrica relevante? Sim, ele tem.Note que a expressão (2.28) é numericamente igual

à área do paralelogramo formado pelos vetores A⃗e B⃗ (veja a Figura 2.3 para se convencer disto efaça o Exerćıcio 13). Esta propriedade será usadapara derivarmos uma das leis de Kepler para o mo-vimento planetário.

Vejamos outras conseqüências do Teorema 4. Apropriedade (2.28) significa que o produto vetorialentre dois vetores paralelos (ou anti-paralelos) re-sulta em um vetor nulo, pois neste caso o ânguloentre eles é 0 graus (ou 180 graus). Esta proprie-dade, juntamente com a regra da mão direita nospermite calcular todos os produtos vetoriais entreos versores ı̂, ȷ̂ e k̂ de uma base ortonormal:

î = ȷ̂× k̂, ȷ̂ = k̂ × ı̂, k̂ = ı̂× ȷ̂. (2.29)

Notas: (1) observando os produtos vetoriais (2.29),percebemos que a regra da mão direita é equiva-lente a efetuarmos permutações circulares nos ver-sores ı̂, ȷ̂ e k̂, tomando o sentido horário como po-sitivo, como indicado na Figura (2.4); (2) podemosver em (2.29) que a escolha β = 1 em (2.24) garante

que o versor resultante î = ȷ̂ × k̂ seja unitário; (3)usando (2.29) e a propriedade de linearidade (2.17),podemos calcular o produto vetorial entre dois ve-tores arbitrários escritos explicitamente em termosde uma base ortonormal (faça o Exerćıcio 14).

ı̂

̂k̂

++

Figura 2.4: O sentido do produto vetorial é dadopela regra da mão direita. Esta regra é equivalenteà execução de permutações circulares dos versoresı̂, ȷ̂ e k̂: ı̂× ȷ̂ = k̂, ȷ̂× k̂ = ı̂ e k̂ × ı̂ = ȷ̂.

Há muitas outras propriedades importantes en-volvendo simultaneamente produtos escalares eprodutos vetoriais (numa base ortonormal) as quaisserão estudadas no curso de Geometria Anaĺıtica.Entretanto, iremos precisar em breve de umaoperação envolvendo três vetores. Nesta novaoperação iremos usar um produto vetorial e umproduto escalar. Por isto ela será denominada deproduto misto. A sua definição é: dado três vetoresA⃗, B⃗ e C⃗ quaisquer, o produto misto é um númerodefinido por C⃗ · (A⃗× B⃗) (veja a Figura 2.5). Noteque temos de executar primeiro o produto vetorialA⃗ × B⃗, o qual resultará em um vetor, para depoiscalcularmos o produto escalar com C⃗. Que acon-tece se as posições dos três vetores no produto mistoC⃗ ·(A⃗×B⃗) forem modificadas simultaneamente, porexemplo para B⃗ · (C⃗× A⃗)? Nada! O produto mistoé invariante por permutações circulares das letrasA, B e C,

A⃗ · (B⃗ × C⃗) = C⃗ · (A⃗× B⃗) = B⃗ · (C⃗ × A⃗). (2.30)

Portanto, do ponto de vista operacional, o produtomisto está muito bem compreendido. E o signifi-cado geométrico do produto misto? Muito bem,você está aprendendo rápido as regras do nossojogo. O produto misto é numericamente igual aovolume do paraleleṕıpedo formado pelos três veto-res A⃗, B⃗ e C⃗ conforme ilustrado pela Figura 2.5(estude a Figura 2.5 e faça o Exerćıcio 16).

Algumas observações importantes sobre produ-tos escalares e vetoriais a serem lembradas sempre:(1) o produto escalar é um número real e, geometri-camente, está associado à projeção de um vetor so-bre o outro; (2) o produto vetorial fornece um novo

10

Caṕıtulo 2. Cinemática 2.4. Produto vetorial

vetor (na verdade, um pseudo-vetor) cuja norma(módulo) é numericamente igual à área do parale-logramo subentendido pelos dois vetores que foramusados no produto vetorial.Mencionamos na Seção 2.2 que um pseudo-vetor

não inverte o seu sentido perante uma inversão es-pacial. Desta forma, pseudo-vetores podem ser pro-duzidos através de produtos vetoriais, pois inver-tendo os sentidos de A⃗ e B⃗, simultaneamente, oproduto vetorial A⃗ × B⃗ não altera o seu sentido,isto é, C⃗ = A⃗ × B⃗ é um pseudo-vetor. Em F́ısica,temos vários pseudo-vetores importantes. Iremostrabalhar com dois deles em Mecânica: momentumangular L⃗ = r⃗ × p⃗ e torque τ⃗ = r⃗ × F⃗ , onde r⃗ é ovetor posição, p⃗ é o momentum linear (p⃗ = mv⃗) e

F⃗ é a força resultante atuando no centro de massade um objeto de massa m. Nas nossas aplicaçõesiremos usar a força de Lorentz, F⃗L = (q/c)v⃗ × B⃗,produzida por um campo magnético B⃗ sobre umacarga q em movimento com uma velocidade v⃗, comoexemplo de outro pseudo-vetor importante.

2.4.1 ExerćıciosExerćıcio 10Use as componentes dadas em (2.25) para verificar(ou provar, demonstrar) que a expressão em (2.26)está correta.

Exerćıcio 11Efetue o produto vetorial entre os vetores posição

R⃗1 = (1, 2, 1) e R⃗2 = (1, 1, 2). Calcule tambémo comprimento do vetor resultante deste produtovetorial usando (2.6) e (2.28). Calcule explicita-mente o produto escalar deste vetor resultante comos vetores posição R⃗1 e R⃗2. Considere um sistemaortonormal de coordenadas.

Exerćıcio 12Escreva uma rotina em computação algébrica paracalcular as componentes do vetor resultante de umproduto vetorial em termos das componentes dosvetores originais. Considere uma base ortonor-mal. Verifique o funcionamento de suas rotinascomparando-as com os resultados do exerćıcio an-terior.

Exerćıcio 13Calcule a área do paralelogramo formado pelos ve-

tores A⃗ e B⃗ mostrados na Figura 2.3 em termos doscomprimentos A e B e do ângulo θ entre A⃗ e B⃗.

Exerćıcio 14Efetue o produto vetorial entre A⃗ = Ax ı̂+Ay ȷ̂+Az k̂

e B⃗ = Bx ı̂+By ȷ̂+Bz k̂ explicitamente, usando ape-nas a propriedade distributiva (2.17) e os produtosvetoriais (2.29). Mostre que este procedimento nospossibilita re-obter as expressões (2.25).

Exerćıcio 15Verifique que as componentes (2.25) também po-dem ser calculadas através do determinante

A⃗× B⃗ =

∣∣∣∣∣ ı̂ ȷ̂ k̂Ax Ay AzBx By Bz

∣∣∣∣∣. (2.31)Refaça o Exerćıcio 11 usando este método para cal-cular o produto vetorial.

Exerćıcio 16Calcule o volume do paraleleṕıpedo formado pelosvetores A, B e C da Figura 2.5 e mostre que estevolume é numericamente igual ao produto mistoC⃗ · (A⃗ × B⃗). Portanto, o produto misto está re-lacionado com volume. Calcule o produto mistoentre os vetores posição A⃗ = (1, 2, 1), B⃗ = (1, 1, 2)

e C⃗ = (1, 1,−1) mostrados na Figura 2.5.

~A

~B

~C

~A× ~B

α

β

Figura 2.5: O produto misto C⃗ ·(A⃗×B⃗) é numerica-mente igual ao volume do paraleleṕıpedo tracejadoformado pelos vetores A, B e C.

11

2.5. Trajetórias Caṕıtulo 2. Cinemática

2.5 Trajetórias

Tendo estabelecido propriedades importantes sobreo espaço Euclidiano, temos que precisar a noçãode trajetória de um objeto em movimento nesteespaço. Qual é a noção cotidiana de trajetóriaque temos? Eu a vejo como um seqüência defotografias de um objeto em movimento, tiradasem intervalos de tempo muito pequenos, com asposições do objeto ligadas por retas. Se os interva-los de tempo são muito pequenos, a trajetória teráa aparência de uma curva suave em três dimensões.Isto é tudo que precisamos para estabelecer uma es-trutura matemática geral para qualquer trajetória.Portanto, nosso problema agora é como represen-tar uma curva no espaço Euclidiano de forma efici-ente, i.e., tendo um sistema de coordenadas Carte-siano (de preferência ortonormal), temos de encon-trar uma forma adequada (para a Mecânica) pararepresentarmos analiticamente uma curva em ter-mos de coordenadas.Vamos iniciar pelo começo: com uma reta. E

bem no começo: com uma reta no plano XY . Es-tamos bem familiarizados com uma reta no plano?Sim, uma reta no planoXY é descrita pela equação

y = a+ bx, (2.32)

na qual b é conhecido como o coeficiente angularda reta. Ele é calculado conhecendo-se dois pontosquaisquer (x0, y0) e (x1, y1) da reta,

b =y1 − y0x1 − x0

. (2.33)

Naturalmente, temos nenhuma dificuldade em re-presentar graficamente uma reta no plano desdeque as constantes a e b da equação (2.32) sejamdadas. Para cada valor de x, há um único valor dey. Desta forma, vários pontos (x, y) pertencentesà reta (2.32) podem ser encontrados rapidamente.Por ser uma relação direta entre as coordenadas xe y, a Eq. (2.32) é conhecida por forma direta daequação da reta em duas dimensões (mais detalhesserão vistos no curso de Geometria Anaĺıtica).Apesar de não haver dificuldades em calcular os

pontos da reta (2.32), podemos interpretar esteprocesso computacional de forma ligeiramente di-ferente, a qual será muito útil quando tivermos delidar com curvas tridimensionais. Esta nova ma-neira de ver uma reta consiste simplesmente em

introduzir um parâmetro real, o qual denotaremospor t, da seguinte forma. Primeiro, faça x = t.Então, de (2.32) devemos ter y = a + bt. Destaforma, para cada valor do parâmetro t no intervaloreal [t0, t1], teremos um ponto (x(t), y(t)) entre ospontos (x0, y0) e (x1, y1) do plano XY . Assim, areta (2.32) pode ser re-escrita como

x(t) = t, y(t) = a+ bt, t ∈ [t0, t1]. (2.34)

Esta é a forma paramétrica de uma reta no planoXY . Por exemplo, a reta y = 2x entre os pontos(0, 0) e (2, 4) pode ser representada na forma pa-ramétrica por x = t e y = 2t, na qual t ∈ [0, 2].Sim, de fato esta representação paramétrica pa-rece ser desnecessária, pelo menos para uma reta.Entretanto, esta forma paramétrica é natural emMecânica, pois em geral a posição de um objetoem movimento será uma função do tempo. Vejauma outra situação, ainda no plano, na qual a re-presentação paramétrica é inerentemente de grandevalia.

x0

y0

x

yR

θ

Figura 2.6: Uma circunferência de raio R centradaem (x0, y0).

Vamos considerar agora uma curva fechada noplanoXY . Algum palpite para uma curva fechada?Isto mesmo, uma circunferência como aquela mos-trada na Figura 2.6. Conta-se que Giotto, conside-rado o mais importante pintor da pré-renascença,ao ser indagado sobre o que é simetria, desenhouuma circunferência perfeita (a mão-livre, natural-mente). A equação de uma circunferência de raioR, centrada no ponto (x0, y0), é bem conhecida,

(x− x0)2 + (y − y0)2 = R2, (2.35)

onde (x, y) são as coordenadas de um ponto sobrea circunferência. Como proceder agora para repre-

12

Caṕıtulo 2. Cinemática 2.5. Trajetórias

sentar esta circunferência graficamente? Uma difi-culdade em fazer este desenho surge por não dis-pormos no momento de uma prescrição única decomo escrever os valores de x e y que irão satisfa-zer (2.35). Tentar isolar y em função de x,

y = y0 ±√R2 − (x− x0)2, (2.36)

não ajuda muito, pois não é qualquer valor de x quetorna a raiz quadrada real em (2.36). A solução érepresentar a circunferência (2.35) numa forma pa-ramétrica. Isto é feito como indicado na Figura 2.6com θ = ωt e t ∈ [0, 2π/ω],

x− x0 = R cos(ωt), y − y0 = R sin(ωt). (2.37)

Assim, para cada valor do parâmetro t no in-tervalo [0, 2π/ω] teremos uma circunferência com-pleta. Esta é a forma mais eficiente de desenharuma circunferência. Faça um exemplo.

Sumariando: uma trajetória é representada ma-tematicamente por uma curva γ no espaço Eucli-diano (mais tópicos de Geometria Anaĺıtica). Emgeral, a representação paramétrica

γ : t→(x(t), y(t), z(t)

), t ∈ [t0, t1], (2.38)

é a forma mais eficiente de lidarmos com tais curvas(veja a Figura 2.7). Além disto, a representação pa-ramétrica é natural em Mecânica com o parâmetrot desempenhando o papel do tempo e com as co-ordenadas

(x(t), y(t), z(t)

)de um ponto na curva

identificadas com as coordenadas do vetor posiçãor⃗(t) =

(x(t), y(t), z(t)

)do objeto no instante t.

Note que cada coordenada é também uma funçãodo tempo quando a posição é escrita em termos decoordenadas. Assim, o tempo (mecânico) desem-penha naturalmente o papel de um parâmetro naforma paramétrica de uma curva.

t1

t0

~r0

~r1

Figura 2.7: Uma trajetória entre os instantes t0 et1 representada como uma curva suave no espaçoEuclidiano.

Uma questão importante: como determinara equação de uma reta tangente em um dado pontoda curva γ? Outra questão importante: comodeterminar o comprimento da trajetória entre osinstantes t0 e t1 na Figura 2.7?

Veja como estes problemas são resolvidos naseção seguinte. As soluções destes dois problemasnos fornece uma forma eficiente para calcularmos avelocidade (bem como sua aceleração) instantâneae o espaço percorrido por um objeto conhecendo-se a forma paramétrica de sua trajetória. Assoluções destes problemas marcou o ińıcio (New-ton, novamente) do Cálculo Diferencial e Integralno Século XVII.

2.5.1 Exerćıcios

Exerćıcio 17Use computação algébrica para desenhar as seguin-tes trajetórias: (1) circular (part́ıcula carregadaem um campo magnético uniforme perpendicularao vetor velocidade), x = cos(2πt), y = sin(2πt),z = 0; (2) eĺıptica (um planeta e um satélite),x = 2 cos(2πt), y = 3 sin(2πt), z = 0; (3) helicoidal(part́ıcula carregada em um campo magnético uni-forme), x = cos(2πt), y = sin(2πt), z = t; (4) pa-rabólico (massa na presença da gravidade), x = t,y = t, z = 20t − 5t2. Em cada caso, indique nomesmo gráfico o vetor posição em três instantesdistintos: no ińıcio, no final e em algum instanteintermediário.

13

2.6. Velocidade e aceleração Caṕıtulo 2. Cinemática

2.6 Velocidade e aceleração

O que são velocidade e aceleração? É a velocidadea taxa de variação do espaço percorrido no devidointervalo de tempo? ou é ela a taxa de variaçãotemporal do vetor posição? No primeiro caso elaé um escalar enquanto que no segundo caso ela éum vetor. Em ambos os casos a velocidade temdimensão de comprimento por tempo. Veremosque estas duas definições estão corretas e intima-mente relacionadas entre si. No entanto, por sermais completa, vamos iniciar nossa discussão coma definição vetorial para a velocidade v⃗ de um ob-jeto entre os instantes t0 e t1, como mostrado naFigura 2.7,

v⃗ =r⃗1 − r⃗0t1 − t0

=

(x1 − x0t1 − t0

,y1 − y0t1 − t0

,z1 − z0t1 − t0

).

(2.39)

Agora observe a Figura 2.7 e compare o compri-mento do vetor diferença ∆r⃗ = r⃗1 − r⃗0 com o com-primento real da trajetória percorrida entre os ins-tantes t0 e t1, o qual podemos chamar de ∆S. Estescomprimento são iguais em geral? Qual é a únicasituação em que eles são exatamente os mesmos?Sim, numa trajetória retiĺınea. Estas observaçõesnos revela que ∆S > ||∆r⃗||, tornando assim a de-finição escalar incompat́ıvel com a definição vetorialpara a velocidade.Como podemos proceder para compatibilizar as

duas definições de velocidade? A resposta está nasmesmas observações anteriores. A única maneira decompatibilização é fazermos com que a definição ve-torial forneça como seu módulo a definição escalar.Isto ocorrerá somente quando fixarmos o instantet0 e permitirmos que o instante t1 se aproxime inde-finidamente de t0. Quando ∆r⃗ = r⃗1 − r⃗0 for muitopequeno, devido ao vetor posição r⃗1 estar muitopróximo do vetor posição inicial r⃗0, certamente ocomprimento de ∆r⃗ será confundido com o com-primento da trajetória. Portanto, a velocidade noinstante t0 deve ser definida através de um processolimite (um tópico do curso de Cálculo),

v⃗(t0) = limt1→t0

r⃗1 − r⃗0t1 − t0

= lim∆t→0

∆r⃗

∆t

∣∣∣∣t=t0

= lim∆t→0

r⃗(t+∆t)− r⃗(t)∆t

∣∣∣∣t=t0

,

(2.40)

na qual estamos escrevendo também t0 = t et1 = t0 + ∆t. Qual é o significado geométrico daexpressão (2.40)? Como podemos torná-la operaci-onal?, isto é, dada a dependência temporal das co-ordenadas do vetor posição descrevendo a trajetóriade um determinado movimento, como podemos de-terminar as respectivas componentes do vetor velo-cidade em qualquer instante de tempo? Ainda rela-cionada com a questão operacional: o limite (2.40)realmente existe? Esta pergunta é pertinente pois,se ∆t tende a zero a trajetória também tende a zero(repouso). Assim, quem vai a zero primeiro, o nu-merador ∆r⃗ ou o denominador ∆t? Numerador edenominador ambos indo a zero resultará em umarazão mensurável?

Não devemos esquecer que há três limites a seremcalculados em (2.40), pois a velocidade é um vetor.Entretanto, basta usarmos uma componente, diga-mos a componente X, para exemplificarmos comoaqueles limites devem ser calculados. Também nãoprecisamos substituir t = t0 imediatamente após olimite ter sido calculado. Assim, temos que enten-der o limite

d

dtx(t) = ẋ(t) = lim

∆t→0

x(t+∆t)− x(t)∆t

(2.41)

do ponto de vista geométrico e torná-lo operaci-onal. Note que estamos usando uma notação es-pecial para representar este limite, denominada dederivada de x(t) em relação a t. Importante: ośımbolo d/dt deve ser entendido como um śımboloúnico, contendo o argumento da função sendo deri-vada no denominador. Caso tivéssemos que derivara função f(x), escreveŕıamos d/dx. Vamos tornara derivada operacional através de alguns exemplos.

Suponha que a equação horária no eixo X sejauma constante, x(t) = a, isto é, repouso. Então,levando a função constante x(t) = a em (2.41), te-remos

d

dtx(t) = lim

∆t→0


= lim∆t→0

a− a∆t

= lim∆t→0

0

∆t= 0,

(2.42)

pois o numerador já era nulo antes de executar-mos o limite. Acabamos de aprender que a deri-vada de uma função constante é nula. Do pontode vista geométrico, devemos perceber que umafunção constante é uma reta paralela ao eixo X.

14

Caṕıtulo 2. Cinemática 2.6. Velocidade e aceleração

Assim, qualquer função constante tem uma in-clinação (ângulo formado com o eixo X) nula, cujatangente (coeficiente angular) também é nula. Por-tanto, o coeficiente angular de uma reta paralela aoeixo X, x(t) = a, é numericamente igual à sua de-rivada em qualquer ponto, ou seja, nulo. Vejamosse esta relação entre derivada e tangente é mantidaem um outro exemplo.Considere agora uma equação horária linear no

tempo, x(t) = a + bt, correspondendo a um movi-mento uniforme. Então, levando a função x(t) =a+ bt em (2.41), teremos

d

dtx(t) = lim

∆t→0


= lim∆t→0

{a+ b(t+∆t)} − {a+ bt}∆t

= lim∆t→0

b = b,

(2.43)

pois o numerador já era igual a b antes de exe-cutarmos o limite. Portanto, aprendemos que aderivada de uma função linear é igual ao seu co-eficiente angular, confirmando assim nossa conjec-tura que a derivada calculada em um ponto t é nu-mericamente igual ao coeficiente angular da retatangente à função x(t) (no mesmo ponto t). Noteque a reta tangente de uma reta coincide com aprópria reta. Para confirmar esta conjectura sobrea interpretação geométrica da derivada, vejamos opróximo exemplo.Considere agora uma função quadrática para a

equação horária, x(t) = a+bt+ct2, correspondendoa um movimento com aceleração constante. Então,levando esta função em (2.41), teremos

d

dtx(t) = lim

∆t→0


= lim∆t→0

(b+ 2ct+ c∆t

)= b+ 2ct+ lim

∆t→0c∆t = b+ 2ct,

(2.44)

pois o limite do termo c∆t é obtido substituindo∆t = 0. Uma regra para calcular limites: simpli-fique antes suas expressões. Até aqui aprendemosque a derivada de um polinômio tn parece obede-cer à regra ntn−1. Também nos parece que a deri-vada do produto de uma função f(t) por uma cons-tante c obedece à regra c df(t)/dt, isto é, a cons-tante pode sair para fora da derivada. Ao com-pararmos o resultado em (2.43) com o resultado

(2.44) podemos conjecturar que a derivada obedecea propriedade de linearidade, d(f(t) + cg(t))/dt =df(t)/dt+c dg(t)/dt. De fato, estas conjecturas po-dem ser provadas (no curso de Cálculo). Em geral,as propriedades seguintes nos permitem calcular aderivada de qualquer função suave.

Derivada de uma constante:

d

dta = 0, (2.45)

Linearidade:

d

dt

(f(t) + bg(t)

)=

d

dtf(t) + b

d

dtg(t), (2.46)

Regra do produto:

d

dt

(f(t)g(t)

)= g(t)

d

dtf(t)

+ f(t)d

dtg(t), (2.47)

Regra da função composta:

d

dtf(g(t)

)=

[d

dgf(g)

]d

dtg(t). (2.48)

Em particular, usaremos com freqüência deriva-das de funções elementares:

d

dttn = ntn−1,

d

dtet = et,

d

dtln t = 1/t,

d

dtsin t = cos t,

d

dtcos t = − sin t.

(2.49)

Estas propriedades e resultados serão demonstra-dos no curso de Cálculo. Até lá, use-as e memorize-as. Por exemplo, suponha y = sin(2t2). Esta é umafunção composta na forma y = f(g(t)), na qualf(g) = sin(g) e g(t) = 2t2. Assim, devemos usar aregra da função composta, (2.48), para efetuar suaderivada,

ẏ =dg

dt

df

dg= (4t) cos(g) = 4t cos(2t2). (2.50)

Vejamos este outro exemplo: y = cos(2t)et2

.Desta vez temos um produto de duas funções (um

15


cosseno vezes uma exponencial), na qual cada par-cela é uma função composta. Assim, devemos usarprimeiro a regra do produto, (2.47), e depois a regrada função composta, (2.48),

ẏ =

{d

dtcos(2t)

}et

2

+ cos(2t)

{d

dtet

2

}= −2 sin(2t) et

2

+ cos(2t)2t et2

= 2[t cos(2t)− sin(2t)

]et

2

.

(2.51)

Invente outros exemplos. Use computaçãoalgébrica para checar seus resultados. Pratique avontade. Faça a primeira parte do Exerćıcio 18.E sobre a interpretação geométrica de derivada?

Para fazermos esta interpretação corretamente, de-vemos resolver um outro problema (geométrico).Como determinar a equação da reta tangente emum dado ponto t0 de uma dada curva x(t)? Vejaa Figura 2.8. A única informação que temos éque esta reta tangente deve passar pelo ponto(t0, x(t0)), e somente por este ponto numa vizi-nhança muito pequena em torno de t0. No entanto,sabemos que precisaremos conhecer também o coe-ficiente angular desta reta tangente e que para istoprecisaremos de um segundo ponto. Isto mesmo,o problema é que não temos este segundo ponto.Que fazer? A única atitude sensata é usar um ou-tro ponto, digamos t1, da curva x(t), como indicadona Figura 2.8.

x1

x0

t0 t1

x

t

x(t)

θ0

θ1

Figura 2.8: A secante de uma trajetória entre osinstantes t0 e t1 e a sua reta tangente em t0.

O coeficiente angular da reta secante passandopelos pontos x0 = x(t0) e x1 = x(t1) é

tan θ1 =x1 − x0t1 − t0

. (2.52)

De fato, esta reta secante não é a mesma reta tan-gente que estamos procurando, mas se mantivermost0 fixo e aproximarmos t1 de t0, obteremos o coefi-ciente angular da reta tangente que procuramos,

tan θ0 = limt1→t0

x1 − x0t1 − t0

. (2.53)

Assim, como este processo limite é o mesmo pro-cesso limite usado para definir a velocidade ins-tantânea (2.40), podemos concluir que a derivadanos dá informação sobre retas tangentes de curvas:a derivada de uma função qualquer f(t) é numerica-mente igual ao coeficiente angular da reta tangentepassando por (t, f(t)). De fato, isto é uma gene-ralização do problema matemático de encontrar areta tangente a uma curva plana (veja a Figura 2.8).

Uma aplicação imediata desta interpretaçãogeométrica: ela é muito útil para determinarmos ospontos extremos (máximos e mı́nimos) de funções,pois, nestes pontos de máximos e mı́nimos, a retatangente é sempre horizontal (logo o seu coeficienteangular é nulo). Portanto, a derivada deve ser nulanestes pontos extremos (faça o Exerćıcio 19).

Esta interpretação geométrica de derivada émuito importante também para a Mecânica, poisela afirma que qualquer vetor velocidade

v⃗(t) =d

dtr⃗(t)

=d

dtx(t) ı̂ +

d

dty(t) ȷ̂ +

d

dtz(t) k̂

(2.54)

será sempre tangente à trajetória definida pelo ve-tor posição r⃗(t). Então devemos repetir os passosanteriores e mostrar que o vetor velocidade (2.54)está sobre a reta tangente à trajetória definida pelovetor posição r⃗(t).

16


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 00.2

0.40.6

0.81

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

xy

z

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z

xy

z

Figura 2.9: As secantes da trajetória r⃗(t) =(t2, t3, t) coincidirão com o vetor velocidade emt = 0.25 s.

A Figura 2.9 mostra a trajetória definida pelovetor posição r⃗(t) = (t2, t3, t) entre os instantest = 0 s e t = 1 s. Esta figura também mostrao vetor velocidade em t0 = 0.25 s (calcule este ve-tor). Esta mesma figura também mostra duas retassecantes passando por t0 = 0.25 s (mantido fixo),t1 = 0.5 s e t1 = 0.75 s. Como no caso bidimensi-onal, à medida que t1 se aproxima de t0, a secantese aproxima do vetor velocidade. Note que a tra-jetória da Figura 2.9 não é uma reta e nem é plana.Como podemos mostrar matematicamente o que

estamos vendo na Figura 2.9? Estamos vendo naFigura 2.9 que o vetor velocidade se aproxima dareta tangente em t0 à medida que t1 se aproximade t0. Comecemos com a equação da reta em trêsdimensões na forma paramétrica (mais GeometriaAnaĺıtica):

x̄(t) = b1t+ c1,

ȳ(t) = b2t+ c2,

z̄(t) = b3t+ c3,

(2.55)

na qual x̄, ȳ e z̄ representam as coordenadas de umareta arbitrária. Os três números bi são os coefici-entes angulares desta reta. Note que as funções do

parâmetro t em (2.55) são lineares. Cada ponto natrajetória tem coordenadas r⃗(t) = (x(t), y(t), z(t)).O nosso problema agora é: dado um ponto na tra-jetória, digamos em t = t0, qual é a reta tan-gente (em três dimensões) passando por este ponto?Qualquer reta, mesmo em três dimensões, é deter-minada por dois pontos. Um ponto foi dado em t0,(x0, y0, z0). Como no caso bidimensional, vamosescolher (note bem, estamos fazendo uma escolha)um segundo ponto também sobre a trajetória emt = t1, com t1 > t0, (x1, y1, z1). Levando estes doispontos nas equações (2.55), podemos determinar oscoeficientes angulares (faça os detalhes):

b1 =x1 − x0t1 − t0

,

b2 =y1 − y0t1 − t0

,

b3 =z1 − z0t1 − t0

.

(2.56)

Estes são os coeficientes angulares de uma reta se-cante passando pelos pontos da trajetória determi-nados por t = t0 e t = t1. Matendo t0 fixo e per-mitindo que t1 se aproxime indefinidamente de t0,encontraremos a reta tangente que estamos procu-rando. Note que este processo envolve três limitesidênticos ao limite (2.41) que usamos para definiro operador derivada. Portanto, os coeficientes an-gulares da reta tangente que estamos procurandopodem ser calculados por derivadas,

b1 =d

dtx(t)

∣∣∣∣t=t0

,

b2 =d

dty(t)

∣∣∣∣t=t0

,

b3 =d

dtz(t)

∣∣∣∣t=t0

.

(2.57)

Os coeficientes angulares (2.57) são da reta tan-gente à trajetória r⃗(t) = (x(t), y(t), z(t)) no pontot = t0. Em qualquer instante de tempo, o ve-tor velocidade desta trajetória arbitrária é v⃗(t) =(ẋ(t), ẏ(t), ż(t)), isto é, a derivada do vetor posição.Podemos observar agora que os coeficientes angu-lares (2.57) são exatamente iguais às componentesdo vetor velocidade avaliado em t = t0, mostrandoassim que o vetor velocidade está de fato sobre areta tangente em t = t0, mesmo em três dimensões.

17


De forma análoga à definição de velocidade, aaceleração (instantânea) é a taxa de variação tem-poral do vetor velocidade,

a⃗(t) =d

dtv⃗(t) =

d2

dt2r⃗(t), (2.58)

ou, equivalentemente, a derivada segunda do ve-tor posição. Note como a derivada segunda é in-dicada em (2.58). A taxa de variação temporal dovetor aceleração não tem um nome espećıfico, poisé apenas a aceleração que aparece explicitamentena segunda lei de Newton, a qual estabelece umarelação entre cinemática e dinâmica (forças), for-mando assim a mecânica. Faça a segunda parte doExerćıcio 18.Questões são sempre bem vindas. Qual é a in-

terpretação geométrica da aceleração? Vamos ten-tar entender esta pergunta estudando alguns exem-plos. Primeiro, consideremos uma trajetória re-tiĺınea: r⃗ = (t, 1+t, 0). Os vetores velocidade e ace-leração são v⃗ = (1, 1, 0) e a⃗ = (0, 0, 0), respectiva-mente. Obviamente, o produto vetorial v⃗×a⃗ é nulo.Vejamos se este mesmo produto vetorial é nulo parauma trajetória que não é retiĺınea. Consideremosa parábola r⃗ = (t, 1 + t2, 0) com v⃗ = (1, 2t, 0) ea⃗ = (0, 2, 0). Desta vez, o produto vetorial v⃗ × a⃗não é nulo, v⃗ × a⃗ = (0, 0, 2) (faça a terceira partedo Exerćıcio 18). A quantidade escalar

κ =||v⃗ × a⃗||v3

, v = ||v⃗||, (2.59)

denominada de curvatura, com dimensão de in-verso de comprimento, é nula para uma reta (qual-quer) e vale κ = 2/

√1 + 4t2 para a parábola r⃗ =

(t, 1+t2, 0). Note que uma parábola se aproxima deretas (asśımptotas) para valores muito grandes de t(t≫ 1) e que a curvatura κ = 2/

√1 + 4t2 é nula no

limite t → ∞. Note também que κ(0) = 2. Faça oExerćıcio 21 para perceber o significado geométricoda curvatura: a parábola r⃗ = (t, 1 + t2, 0) se apro-xima muito de uma circunferência de raio 1/κ(0),centrada em (0, 3/2), na região em torno de t = 0.Assim, a curvatura em t = 0 está nos informandoo quanto a parábola se desvia de uma reta.A curvatura tem uma interpretação bastante

simples e direta em uma trajetória circular. Emgeral,

r⃗ = (R cosωt,R sinωt, 0) (2.60)

representa uma circunferência de raio R, cen-trada na origem. Conseqüentemente (faça o

Exerćıcio 22),

v⃗ = (−ωR sinωt, ωR cosωt, 0), (2.61)a⃗ = (−ω2R cosωt,−ω2R sinωt, 0). (2.62)

Assim, recuperamos três informações importantessobre um movimento circular qualquer: (i) a ace-leração em um movimento circular é voltada para ocentro (centŕıpeta), pois a⃗ = −ω2r⃗; (ii) o vetor ve-locidade é sempre perpendicular ao vetor posiçãor⃗ · v⃗ = 0; e (iii) os módulos dos vetores posição(R), velocidade (Rω) e aceleração (v2/R) perma-necem constantes durante o movimento (apenassuas direções e sentidos é que variam no tempo).A informação (ii) é equivalente à interpretaçãogeométrica do vetor velocidade como sendo tan-gente à trajetória. A curvatura (2.59) neste casoé (faça o Exerćıcio 22)

κ =1

R. (2.63)

Note que a curvatura é constante e seu inverso éigual ao raio da trajetória circular. Desta forma,podemos afirmar que a curvatura é um escalar quemede o quanto uma curva desvia-se de uma reta, aqual possui uma curvatura nula (raio infinito). Háuma outra maneira de ver a relação entre curvaturae aceleração ainda mais frut́ıfera (veja as discussõessubsequentes).

Seja v o módulo do vetor velocidade e v̂ o seuversor, v⃗ = vv̂. Note que o versor v̂ é sempre tan-gente à trajetória r⃗, pois v⃗ = ˙⃗r (derivada do vetorposição). Por isso, v̂ também é conhecido por ver-sor tangente da curva r⃗. Então, o vetor aceleraçãocorrespondente, calculado pela derivada do vetorvelocidade, é

a⃗ = ˙⃗v =d

dt(vv̂) = v̇v̂ + v ˙̂v. (2.64)

Embora não esteja indicado, mas todas as quan-tidades aqui dependem explicitamente do tempo.Podemos ver em (2.64) que a aceleração possuiuma componente tangencial (na direção do versortangente) igual a v̇. Em que direção está a de-rivada ˙̂v do versor tangente? Podemos encontraresta direção facilmente se usarmos o fato de que v̂é um versor, v̂ · v̂ = 1, pois derivando os dois ladosdesta igualdade, temos

d

dt(v̂ · v̂) = 2v̂ · ˙̂v = 0. (2.65)

18


Este resultado nos mostra que ˙̂v é perpendicular av̂. Note que este resultado vale para qualquer ver-sor (dependente do tempo), ou para qualquer vetorcujo módulo não varia com o tempo. É comum de-nominarmos de normal a direção perpendicular aoversor tangente. O versor n̂ na direção normal é co-nhecido por versor normal. Como o versor normaln̂ e a derivada ˙̂v são paralelos, podemos esolher

˙̂v = vκn̂, (2.66)

onde κ é um escalar, em geral dependente dotempo, denominado de curvatura, o mesmo esca-lar dado em (2.59). Portanto, a aceleração (2.64)pode ser re-escrita como

a⃗ = ˙⃗v = v̇ v̂ + v2κ n̂. (2.67)

Fizemos acima a escolha (2.66). Vejamos como estaescolha é compatibilizada com a expressão (2.59)para a curvatura. Multiplique vetorialmente os doislados da aceleração (2.67) por v⃗. Como o produtovetorial entre vetores paralelos é nulo, então

v⃗ × a⃗ = v̇ v⃗ × v̂ + v2κ v⃗ × n̂ = v3κ b̂, (2.68)

onde fizemos b̂ = v̂ × n̂, (versor binormal). Assim,calculando o módulo dos dois lados, podemos isolara curvatura para re-obter a expressão (2.59).Como vimos anteriormente, a curvatura de uma

circunferência é o inverso de seu raio (κ = 1/R).Lembrando que o módulo do vetor velocidade nãomuda em um movimento circular, então v̇ = 0.Desta forma, para um movimento circular, a ace-leração (2.67) reduz-se à aceleração centŕıpeta a⃗ =−(v2/R)r̂, com n̂ = −r̂.Curvas também podem ser classificadas como

pertencentes a um plano, como uma circunferênciaou uma parábola, para citar dois exemplos conhe-cidos, ou não pertencentes a um plano, como umahélice, outro exemplo bem conhecido. Considerenovamente uma trajetória circular. Nela, o vetorvelocidade (tangencial) é sempre perpendicular aovetor aceleração (centŕıpeta), ambos contidos noplano da trajetória circular. Desta forma, o pro-duto vetorial entre os versores tangencial (veloci-dade) e normal (aceleração centŕıpeta) do movi-mento circular é sempre perpendicular ao plano datrajetória, portanto nunca muda de direção. Sendoum pouco mais preciso, é a taxa de variação doversor binormal b̂ = v̂ × n̂ que mede o quanto uma

determinada curva afasta-se de um plano. Elabo-rando um pouco mais este exemplo, podemos cons-truir uma ferramenta para medir o quanto umacurva se afasta de um plano, ou seja, para mediro grau de torcimento de uma curva espacial.Antes de mais nada, é importante notar que os

três versores v̂, n̂ e b̂, com b̂ = v̂ × n̂, são orto-normais e obedecem a regra da mão-direita, assimcomo os versores î, ĵ e k̂ de um sistema ortonor-mal de coordenadas. Os três versores {v̂, n̂, b̂} sãoconhecidos por tŕıade de Frenet. Note que estes ver-sores são funções (vetoriais) do tempo, ou seja, ao

contrário dos versores {̂i, ĵ, k̂} que estão fixos, atŕıade de Frenet é móvel. Note também que osversores da tŕıade de Frenet são linearmente inde-pendentes. Sendo linearmente independentes, po-demos escrever a primeira derivada de qualquer umdeles como uma combinação linear deles mesmos,como fizemos em (2.66). Como eles são versores,então podemos usar o que aprendemos em (2.65),isto é, ˙̂n · n̂ = 0 (perpendiculares). Assim, ˙̂n deveser uma combinação linear da forma ˙̂n = αv̂ + βb̂,com α e β sendo dois números reais. Multiplicandoescalarmente esta combinação linear por v̂, obte-remos α = ˙̂n · v̂ = −n̂ · ˙̂v = −vκ, onde usamostambém a derivada (2.66). De forma análoga, mul-

tiplicando ˙̂n = αv̂ + βb̂ escalarmente por b̂, obte-

remos β = ˙̂n · b̂ = −n̂ · ˙̂b. Infelizmente ainda nãodecompusemos a derivada

˙̂b em termos da tŕıade de

Frenet.Procedendo de forma similar ao parágrafo an-

terior, sabemos que˙̂b · b̂ = 0. Assim, devemos ter

˙̂b = ᾱv̂+ β̄n̂. Multiplicando escalarmente esta com-

binação linear por v̂ obteremos ᾱ =˙̂b · v̂ = −b̂ · ˙̂v =

−vκb̂ · n̂ = 0, onde usamos também a derivada(2.66). Portanto,

˙̂b = β̄n̂. Levando esta informação

em β = −n̂· ˙̂b, obtida no final do parágrafo anterior,teremos que β = −β̄. Desta forma, temos que fazeruma escolha para β̄. A mais utilizada é β̄ = −vτ ,

˙̂b = −vτ n̂, (2.69)

onde o número τ , geralmente uma função do tempo,é conhecido por torção da curva r⃗. Tendo escolhidoo valor de β̄, a primeira derivada ˙̂n torna-se em

˙̂n = −vκ v̂ + vτ b̂. (2.70)

As equações (diferenciais) (2.66), (2.69) e (2.70) são

19

2.7. Espaço percorrido Caṕıtulo 2. Cinemática

conhecidas por equações de Frenet. Elas determi-nam univocamente uma curva a partir do conheci-mento de apenas duas funções escalares: a curva-tura κ = κ(t) e da torção τ = τ(t).Podemos deduzir uma expressão bastante con-

veniente para calcular a torção de forma análogaà expressão (2.59), usada para calcular a curva-tura. Para isto, precisamos da derivada do vetoraceleração,

˙⃗a = (v̈ − κ2v3)v̂ +[κvv̇ +

d

dt(κv2)

]n̂

+ κτv3b̂. (2.71)

Multiplicando escalarmente esta expressão por v⃗×a⃗ = v3κ b̂, obtida em (2.68), teremos

τ =v⃗ × a⃗ · ˙⃗av6κ2

, (2.72)

ou, numa forma mais simétrica,

τ =v⃗ × a⃗ · ˙⃗a||v⃗ × a⃗||2

=˙⃗r × ¨⃗r ·

...r⃗

|| ˙⃗r × ¨⃗r||2. (2.73)

Faça o Exerćıcio 23 para ver que a torção de cur-vas planas (retas, parábolas, circunferências, etc.)é nula, como deveŕıamos esperar. No entanto, noteque a torção de uma curva como uma hélice é dife-rente de zero.Estes conceitos bastante intuitivos de curvatura e

torção são fundamentais na concepção moderna deespaço e tempo. Como você está percebendo, existeuma relação muito ı́ntima entre F́ısica e Geometria.Esta relação é confirmada em muitas outras áreasda F́ısica e atinge seu cĺımax na Teoria da Relati-vidade Geral elaborada por Albert Einstein.

2.6.1 ExerćıciosExerćıcio 18(1) Calcule os vetores velocidades, e seus respec-tivos módulos, usando todos os vetores posição doExerćıcio 17. (2) Calcule os vetores acelerações, eseus respectivos módulos, usando todos os vetoresposição do Exerćıcio 17, ou, equivalentemente, osvetores velocidades do item anterior. (3) Calculetambém os produtos vetoriais entre os vetores ve-locidade e aceleração. As trajetórias planas estãorelacionadas de que forma com estes produtos veto-riais? Reveja a discussão apresentada no parágrafoanterior.

Exerćıcio 19Determine os pontos extremos da função f(t) =1 − t + 2t2 + t3. Desenhe esta função e localizeestes pontos extremos e classifique-os (máximos oumı́nimos). Observe o valor da segunda derivada def(t) nestes pontos.

Exerćıcio 20Determine, usando derivadas e condições f́ısicas,o tempo gasto para um objeto atingir a alturamáxima na trajetória parabólica do Exerćıcio 17.

Exerćıcio 21Desenhe a curva r⃗ = (t, 1 + t2, 0) (parábola)no intervalo t ∈ [−0.5, 0.5] e guarde este dese-nho na variável g1. Desenhe a circunferência deraio 1/κ(0), com κ(t) = 2/

√1 + 4t2, centrada em

(0, 3/2), e guarde este desenho numa variável g2(coloque este desenho no plano z = 0.1). Mos-tre estes dois desenhos simultaneamente e tire suasconclusões a respeito da curvatura em t = 0.

Exerćıcio 22Deduza as expressões (2.61)–(2.62) diretamente de(2.60). Determine o ângulo entre os vetores r⃗ e v⃗dados em (2.60) e (2.61), respectivamente. Calculea curvatura (2.59) para estes dois vetores. Combase no exerćıcio anterior e neste, interprete a cur-vatura geometricamente.

Exerćıcio 23Use a expressão (2.73) para calcular a torção dacircunferência r⃗(t) = (R cos(ωt), R sin(ωt), 0) e dahélice circular r⃗(t) = (R cos(ωt), R sin(ωt), αt).

2.7 Espaço percorrido

Pronto para o nosso último problema? Estabe-lecer uma ferramenta eficiente para determinar oespaço percorrido. Observe a trajetória da Fi-gura 2.7. A não ser no caso de uma trajetória re-tiĺınea, em geral o comprimento de uma trajetória(espaço percorrido) não é obtido calculando-se omódulo da diferença entre vetores posição. Noentanto, podemos subdividir a trajetória em mui-tos pedaços pequenos de forma que cada pedaçopossa ser considerado um trajetória retiĺınea muitopequena. Sendo retiĺıneos, podemos calcular seuscomprimentos através do módulo do vetor diferençaassociado a cada um deles. O comprimento total

20

Caṕıtulo 2. Cinemática 2.7. Espaço percorrido

da trajetória será a soma desses inúmeros compri-mentos retiĺıneos pequenos (veja a Figura 2.10).Pode não parecer, talvez por envolver uma soma

com muitos termos, mas este mecanismo é extre-mamente eficiente. Vamos torná-lo operacional.Para isto precisaremos de um intervalo pequeno datrajetória, digamos, entre os instantes t e t + ∆t,com ∆t muito pequeno, ∆r⃗(t) = r⃗(t + ∆t) − r⃗(t).Para ∆t infinitesimalmente pequeno (isto significaque a trajetória foi dividida em infinitas partes) érazoável imaginarmos que este trecho da trajetóriaserá praticamente retiĺıneo (veja a Figura 2.10).Assim, seu comprimento será praticamente igualao módulo de ∆r⃗,

||∆r⃗(t)|| =√∆r⃗ ·∆r⃗ =

√v⃗ · v⃗∆t

= ||v⃗||∆t,(2.74)

na qual aproveitamos para introduzir o vetor velo-cidade no instante t, v⃗ = ∆r⃗/∆t. É na verdadeuma velocidade média, mas será a velocidade ins-tantânea no limite ∆t→ 0.Agora estamos numa posição muito confortável,

pois o comprimento total da trajetória entre os ins-tantes t0 e t1 pode ser obtido somando-se todos osintervalos (2.74). Esta soma pode ser efetuada nolimite ∆t → 0, ou seja, sub-dividindo a trajetóriaem infinitos intervalos. A nossa capacidade em exe-cutar estas somas infinitas é simplesmente incŕıvel.Como estamos lidando com uma soma muito espe-cial, precisaremos de uma notação especial. Estasoma será denominada de integral e denotada por

S01 =

∫ t1t0

v(t) dt = S(t)

∣∣∣∣10

= S(1)− S(0), (2.75)

onde fizemos ||v⃗|| = v(t). Note que o limite ∆t→ 0foi indicado simplesmente por dt. O śımbolo dt (di-ferencial) em (2.75) indica que a integral (soma)está sendo feita na variável t (variável de inte-gração). A integral (2.75) é denominada de defi-nida, t0 indicando o limite inferior e t1 indicando olimite superior. Sem os limites de integração, umaintegral é denominada de indefinida e, em geral,fornece uma nova função da variável de integração.Vejamos um exemplo. Suponha que o movimento

seja em uma dimensão, r⃗ = x(t) î com x(t) = t(movimento uniforme). Portanto, usando (2.54),o vetor velocidade é v⃗ = ẋ ı̂ com ẋ = 1. Assim,v(t) = ||v⃗|| = 1 e o espaço percorrido (em metros)

entre os instantes t0 = 0 e t1 = 1 (em segundos) é

S01 =

∫ 10

v(t) dt =

∫ 10

dt = t

∣∣∣∣10

= 1− 0 = 1.(2.76)

Note que este resultado coincide com o módulo dadiferença entre os vetores posição nos instantes ini-cial e final, S01 = x(1) − x(0) = 1 − 0 = 1, pois atrajetória aqui é retiĺınea.Suponha agora que a trajetória seja uma

parábola no plano XY , r⃗ = t î+ (1 + t2) ĵ. Assim,o vetor velocidade é v⃗ = î + 2t ĵ, cujo módulo év(t) =

√1 + 4t2. Quem é o espaço percorrido entre

os instantes t0 = 0 s e t1 = 1 s? Devemos efetuar aintegral (2.75) (via computação algébrica),

S01 =

∫ 10

v(t) dt =

∫ 10

√1 + 4t2 dt

= 1.479m.

(2.77)

Note agora que este espaço percorrido é diferentede ||r⃗(1)− r⃗(0)|| = 1.414 m, pois a trajetória não e�

mec^anica - portal ifscfcm0101/mecanica.pdf · exerc´ıcios, em geral com o intuito de sermos...

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