Mecanica e OndasSerie 4-Exercıcios complementares

MeMEC∗Departmento de Fısica e Instituto de Plasma e Fusao Nuclear,

Instituto Superior Tecnico, Av. Rovisco Pais,& 1049-001 Lisboa, PortugalPhone: 351.1.21.841.93.22

351.1.21.846.44.55†

(Dated: March 20, 2011)

I. DINAMICA. TRABALHO. CAMPO GRAVITICO.

1) (Forcas electricas) Num tubo de raios catodicos um electrao e acelerado ao longo de uma diferenca de potencial V0

(canhao electronico). Chamaremos de eixo Oz ao eixo central do tubo e aos eixos transversais Ox e Oy. Dois pares deplacas de deflecao deflectem o electrao transversalmente para fora do eixo central de modo a incidir sobre um pontoespecıfico do ecran.

a) Qual e a componente da velocidade longitudinal vz do electrap apos abandonar o canhao electronico?

Res:) vz =√

2eV0m )

b) Depois de deixar o canhao electronico, o electrao nao se encontra mais sujeito a qualquer forca ao longo de Oz.Suponha que uma tensao V e aplicada nas placas de deflecao Oy, separadas de d. Qual e a componente da aceleracaono eixo Oy?

Res: ay = Fy

m = eVmd )

c) Qual e a amplitude da deflecao em Oy? (Depende do tempo residencia t do electrao entre as placas de comprimentol.)

Res: t = lvz

, y = V l2

4V0d )

2) (Forcas) Um dos exemplos mais importantes de movimento circular e o comportamento de partıculas electricamentecarregadas na presenca de campos magneticos:

−→F mag = q−→v ×−→B (1)

onde q e a carga electrica da partıcula (positiva ou negativa). Imagine a partıcula de carga positiva movendo-se numplano onde o campo magnetico ~B aponta perpendicularmente para baixo do plano do movimento.

a) Mostre que esta forca nao realiza trabalho sobre a carga.

b) Como se conclui da analise anterior, nao pode haver variacao no modulo de v. Mas a sua direccao varia com otempo. Mostre que a carga descreve um cırculo de raio R = mv

qB .

3) (Energia mecanica) Um bloco parte do repouso escorregando 5 m para baixo num plano inclinado que faz umangulo de 37 0 com a horizontal. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano e 0.2.

a) Qual e a velocidade do bloco depois de escorregar 5 m?

∗Electronic address: mpinheiro@ist.utl.pt†versao 1.0

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FIG. 1: Tremonha e vagao.

Res: v =√

2g(h− cos 370) = 6.6 m/s)

b) Qual seria a velocidade do bloco se o coeficiente de atrito fosse desprezavel?Res: v = 7.7 m/s.

4) (Campo gravıtico, conservacao da energia mecanica) Qual devera ser a rapidez comunicada a um foguetao de modoa escapar do campo gravıtico terrestre?

Res: v =√

2gRT )

5) Uma mola de constante k = 100 N/m esta ligada a uma massa m = 0.6 kg que pode deslizar sem atrito sobre umamesa horizontal. Comprime-se a mola fazendo-a encurtar 0.1 m. Encosta-se a massa m uma esfera de massa M = 0.4kg, liberta-se a mola. Supondo que a esfera desliza sem rolar, qual a velocidade com que se separa de m?

Res: v = 1 m/s)

6) (Aceleracao da gravidade)

a) Qual e a aceleracao da gravidade na superfıcie lunar, gl (quando comparada a aceleracao da gravidade nasuperfıcie terrestre, gt) se o diametro da Lua e 1

4 do diametro da Terra e a sua densidade e 23 do da Terra?

b) Um astronauta, com o seu fato espacial e equipamento completo,pode saltar 61 cm verticalmente na superfıcieterrestre fazendo um maximo esforco. Qual a altura maxima do salto sobre a Lua?

II. MOMENTO LINEAR E A SUA CONSERVACAO; COLISOES; SISTEMAS DE MASSA VARIAVEL

7) (Canhao sobre via ferrea) Um canhao instalado sobre um vagao com 70 toneladas de massa dispara um obus a 45 o

e com a rapidez de 200 m/s. Calcule a velocidade de recuo do canhao. Suponha que o vagao encontra-se inicialmenteparado.

8) Um vagao move-se sem atrito, em linha recta, sobre um plano horizontal, como ilustra a Fig. 1. A sua massa eM = 500 kg. No instante t = 0 a sua velocidade e v = 7 m/s. Nesse instante comeca a receber areia de uma tremonhafixa ao solo (ver figura). A areia cai verticalmente, em relacao ao solo. A massa de areia recebida e no total m = 200kg. Qual a velocidade do vagao a partir do instante t1 em que deixa de receber areia?

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b) No instante t2 o vagao, que continha m = 200 kg de areia alem da sua massa M = 500 kg e se movia com velocidadev1, comeca a esvaziar a reia atraves de um tubo vertical. Qual e a velocidade do vagao no instante t2 em que ja perdeu100 kg de areia?

9) Uma granada cai verticalmente e explode em dois fragmentos iguais quando se encontra a 2000 m de altura. Noinstante da explosao a velocidade e de 60 m/s. Apos a explosao um dos fragmentos desloca-se para baixo com umavelocidade de 80 m/s (em relacao ao referencial proprio da granada nesse instante). Determine:

a) A posicao do centro de massa apos 10 s da explosao.

b) A quantidade de movimento total do sistema em relacao ao centro de massa.

c) Como varia a quantidade de movimento?

10) (Partıcula de massa variavel) Uma partıcula parte do repouso em queda no campo gravıtico terrestre atravessandouma nuvem imovel. Em resultado da condensacao da agua , a massa m da partıcula aumenta ao longo da queda; asua taxa de crescimento dm

dt e igual a kmv, onde v = dzdt e a rapidez no instante t e k uma constante. Determine v em

funcao de z e z em funcao de t.Res) v2 = g

k [1− exp(−2kz)] e 1− exp(−2kz) = tanh2√kgt

11) (Sistema de massa variavel) Um foguetao com massa total M = 3.6×104 kg, eleva-se verticalmente da sua posicaode repouso. Os gases sao expelidos a velocidade de 1800 m/s relativamente ao foguetao e a taxa de variacao da massae de 580 kg/s durante os 40 s em que a combustao se processa. Determine a aceleracao ascencional do foguete nosinstantes t = 0 s, t = 20 s e t = 40 s.

Res) dvdt = −g − ve

mdmdt = 19 m/s2. No instante t = 20 s, tem-se m(t) = 2.44× 104 kg, donde resulta a = 33 m/s2;

quando t = 40 s, tem-se m(t) = 1.28× 104 kg, donde se conclui que a = 71.2 m/s2.

12) (Dinamica de um sistema de pontos materiais; centro de massa, momento angular) Considere uma massa pontual,m, com velocidade ~v0 = v0~ex e que choca com um halter parado formado pelas massas 2m e m ligadas rigidamentea uma distancia 2l por uma barra de massa desprezavel (ver Fig. ??). Depois do choque as duas massas m ficamcoladas.

a) Descreva o momento do centro de massa determinando ~RCM e ~VCM antes e depois do choque.Res) xc = vot+3x2

4 , yc = y32 ; −→r cm =

−→i vot+3x2

4 +−→j y3

2 .

b) Descreva o movimento do halter depois do choque calculando o modulo de velocidade angular da rotacao em tornodo centro de massa.

Res) Li = Lf ⇒ lmvo = Iω ⇒ ω = lmvo

I = 2 rad/s..

c) Calcule a energia cinetica dissipada no choque.Res) ∆K = −9.4 J(Aplicacao numerica: v0 = 5 m/s, l = 0.5 m, m = 1 kg)

13) O pendulo balıstico e um sistema usado para medir a velocidade de projecteis tais como balas. A bala e disparadacontra um bloco de madeira suspenso por um fio ficando presa no bloco. Depois da colisao o bloco de madeira e abala movem-se em conjunto atingindo uma altura h.

a) Mostre que nao ha conservacao da energia cinetica nesta colisao;

b) Suponha que a altura que o bloco de madeira com a bala atingem e h = 5.0 cm, a massa da bala e mb = 5 ge a massa do bloco de madeira e Mb = 1.0 kg. Calcule a velocidade inicial da bala e a energia dissipada durante acolisao.

14) Uma espingarda de massa 7 kg dispara uma bala de 100 g que sai do cano com uma velocidade horizontal de 300

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m/s.

a) Se a espingarda se puder mover livremente, qual e a sua velocidade de recuo?

b) A bala atravessa posteriormente um bloco de metal de 2 kg que se encontra inicialmente em repouso suspensode um fio de aco inextensıvel de comprimento l = 2 m, emergindo do bloco com um quarto da velocidade inicial.Determinar a altura maxima atingida pelo bloco depois de ter sido atravessado pela bala.

c) Calcule a variacao de energia mecanica do sistema “bala + bloco” durante o choque.

15) Duas bolas de massas diferentes movem-se com velocidades iguais em modulo e em sentidos opostos colidindofrontalmente. Uma delas fica em repouso apos a colisao. Se o choque for elastico, determine a relacao entre as massasdas duas bolas.

16) Uma massa m, movendo-se na horizontal com uma velocidade vo, embate frontalmente num pendulo de massa m.

a) Se as duas massas permanecerem ligadas, qual sera a altura maxima atingida pelo pendulo?

b) Se a colisao for elastica qual sera a altura maxima atingida pelo pendulo?

17) Considere um choque frontal de uma massa m1 que se desloca com velocidade v, com uma massa m2 em repouso.Apos o choque, m1 desloca-se com velocidade v/2 e m2 com velocidade 3v/2.

a) Determine a razao entre as massas considerando o choque elastico;

b) Se o choque fosse perfeitamente inelastico (as massas ficam ligadas), qual a velocidade final do conjunto?

18) Dois vagoes de massa mA = 10 ton e mB = 20 ton chocam em frontalmente. O vagao A desloca-se com umavelocidade de 72 km/h; o vagao B esta em repouso.

a) Se o choque for elastico, qual a velocidade dos vagoes depois do choque?

b) Se os vagoes permanecerem unidos depois do choque, qual a velocidade do conjunto?

c) No caso da alınea b), calcule a energia dissipada no choque.

19) Uma massa m com velocidade v choca elasticamente contra uma parede.

a) Qual a velocidade depois do choque?

b) Calcule a transferencia de momento linear e de energia para a parede.

20) Uma bola de 20 g choca com uma parede tendo no instante do choque uma velocidade de 10 m/s na horizontal,como se mostra na Fig. ??.

a) Calcule a perda de energia cinetica no choque;

b) Se o mesmo choque se tivesse dado na Lua, onde a aceleracao da gravidade vale 1/6 da da Terra, a que distanciada parede iria cair a bola?

21) Uma bola A, de massa mA e velocidade −→v A = 6−→e x (m/s), choca com uma bola B, de massa mB = mA/2 evelocidade −→v B = −5−→e x (m/s). Sabendo que apos o choque a velocidade da bola A e de | vA |= 3 m/s e que faz umangulo de 60o com o eixo Ox, determine a velocidade da bola B depois do choque.

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FIG. 2: Bola choca com a parede.

FIG. 3: Colisao entre 3 corpos.

22) Considere os tres corpos indicados na Fig. 3 e admita que o movimento se da no plano horizontal.

a) Supondo que os corpos A e B tem uma massa m = 1 kg, que o corpo A colide frontalmente com B e o choque eelastico. Calcule as velocidades no referencial do laboratorio dos corpos A e B depois do choque, bem como a fracaoda energia cinetica de A que passa para B, isto e, EBfinal/EAinicial.

b) Se o corpo B apenas tivesse 0.5 kg de massa, quais seriam agora as velocidades de A e B apos o choque, e qualseria a fracao de energia que e transmitida de A para B?

c) Um corpo A e lancado contra o corpo B (de massa 0.5 kg), o qual, por sua vez, ira colidir com o objecto C.Sabendo que existe um atrito constante dado por | −→F atrito |= 2 | −→P |, em que P e o peso do corpo, e supondo elasticoo choque entre os dois corpos, calcule a velocidade mınima com que deve ser lancado o corpo A para que o objecto Cseja atingido.

23) Uma granada cai verticalmente e explode em dois fragmentos quando se encontra a 2000 m de altura. No instanteda explosao a velocidade e de 60 m/s. Apos a explosao, um dos fragmentos desloca-se para baixo com uma velocidadede 80 m/s (em relacao ao referencial proprio da granada nesse instante). Determine:

a) A posicao e a velocidade do centro de massa 10 s apos a explosao;

b) A quantidade de movimento do sistema em relacao ao referencial do centro de massa;

c) Como varia a quantidade de movimento total do sistema?

24) Uma bomba em queda vertical rebenta em dois fragmentos que se afastam fazendo ambos o mesmo angulo coma vertical. Os dois fragmentos chegam ao mesmo tempo ao solo. Mostre que os dois fragmentos tem a mesma massa.

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FIG. 4: Plano inclinado.

FIG. 5: Roldanas.

25) Um corpo de massa 2m e lancado de um aviao a uma altura de 2000 m do solo com uma velocidade de −→v o =90−→e x − 7.7−→e y (m/s). Quando se encontra a 320 m do solo, o corpo fragmenta-se em dois pedacos iguais que sedeslocam verticalmente no seu referencial proprio. O fragmento lancado para baixo (no referencial proprio) atinge osolo 1.5 s apos a fragmentacao. Determine:

a) A posicao do centro de massa do corpo em funcao do tempo ata atingir o solo;

b) Em que ponto cai o centro de massa?

c) O intervalo de tempo e a distancia entre os pontos de queda dos dois fragmentos.

26) Um bloco de massa m1 = 3 kg desliza sem atrito num plano inclinado. O bloco esta ligado por meio de um fio demassa desprezavel a outro bloco, de massa m2 = 2 kg, suspenso de uma roldana. Calcule a aceleracao de cada blocoe a tensao no fio.

27) Considere o sistema de roldanas de massa desprezavel representado na Fig. 5.

a) Determine as acelera¸ coes das massas m1 e m2;

b) Determine as tensoes nos fios.

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FIG. 6: Tres pendulos de massa m e comprimentos iguais.

28) Dois astronautas jogam a bola no espaco em condicooes de ausencia de peso. O primeiro astronauta, que tem 80kg, lanca a bola ao outro, que tem 70 kg. Sabendo que a massa da bola e de 8 kg e que esta e lancada com umavelocidade de 10 m/s. Calcule:

a) A velocidade de recuo do primeiro astronauta depois de ter lancado a bola?

b) A velocidade do conjunto “bola + segundo astronauta” apos este ter recebido a bola?

29) Uma crianca de massa mc = 30 kg sentada num carrinho de massa mv = 50 kg lanca para tras pedras de massamp = 2 kg com velocidade v = 5 m/s (medida no referencial do centro de massa do sistema). Admita que o carrinhopode rolar sem atrito e que no instante inicial se encontra em repouso e contem 20 pedras.

a) Calcule a velocidade do carrinho apos a crianca ter lancado a primeira pedra;

b) Calcule a velocidade do carrinho apos a crianca ter lancdo a segunda pedra;

c) Teria sido mais vantajoso (para aumentar a velocidade do carrinho) ter lancado as duas pedras ao mesmo tempo(admitindo que as pedras saem ambas com a mesma velocidade v)?

d) Calcule a velocidade do carrinho apos a crianca ter lancado a n-esima pedra.

30) Uma bola de borracha de massa m = 2 kg e deixada cair na vertical de uma altura ho = 1.5 m e no primeiroressalto atinge uma altura h1 = 1.2 m. Para um choque deste tipo, em que um dos corpos envolvidos (neste caso osolo) e considerado como tendo uma massa infinita (pelo que nao se move), define-se coeficiente de restituicao ε pelarelacao v′ = −εv em que v e (v′) sao, respectivamente, as velocidades antes e depois do choque.

a) Calcule o coeficiente de restituicao do primeiro ressalto;

b) Calcule o intervalo de tempo que decorre ate a paragem da bola, admitindo que o coeficiente de restituicao dochoque da bola com o solo se manteem constante;

c) Nas condicoes da alınea anterior, calcule a energia dissipada no n-esimo choque.

31) O sistema representado na Fig. 6 e constituıdo por tres pendulos de massas e comprimentos iguais. No instanteinicial, A e largado da altura h com velocidade inicial nula.

a) Se os choques forem elasticos, qual e a altura maxima atingida pelo pendulo C? Que acontece aos outros pendulosapos o choque?

b) Se apoos o choque da esfera A as tres esferas ficarem ligadas entre si, qual a altura maxima atingida peloconjunto?

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32) Considere a seguinte colisao no plano xy. O corpo de massa m1 = m, com velocidade inicial −→v 1 = 2−→e x (m/s),paralela ao eixo x, colide elasticamente (mas nao frontalmente) com o corpo de massa m2 = m, inicialmente emrepouso. Determine o angulo α2 que o vector velocidade de m2 depois da colisao faz com o sentido positivo de eixo xe o seu modulo u2, sabendo que a velocidade final do primeiro corpo, −→u 1, faz um angulo de 30o com o eixo Ox.

33) Um foguete com uma massa inicial M0 (em que esta incluıda a massa do combustıvel) e lancado verticalmente dasuperfıcie da Terra. O foguete queima combustıvel a uma taxa constante a (kg/s) e os gases produzidos na combustaosao ejectados com velocidade u (relativamente ao foguete).

a) Mostre que a velocidade do foguete no instante t e dada por

v(t) = −gt + v logMo

M(t), (2)

onde M(t) = M0 − at e a massa do foguete nesse instante. Para deduzir esta formula, bem como as das restantesalıneas, despreze a variacao de g com a altitude e a rotacao da Terra;

b) Por integracao da velocidade obtida na alınea a), obtenha a expressao que da a altura do foguete no instante t:

z(t) = ut− uM(t)

alog

Mo

M(t)− 1

2gt2. (3)

c) Se o combustıvel se gastar no instante t1 ficando o foguete a partir daı com uma massa M1, verifique que a alturamaxima atingida pelo foguete e dada por:

zmax =u2

2g

(log

Mo

M1

)2

− ut1

(Mo

Mo −M1log

Mo

M1− 1

). (4)

34) Uma nave espacial espacial desloca-se com uma velocidade de 3.0×103 m/s relativamente a Terra. A certa alturaos motores sao ligados e expelem combustıvel para o exterior, no sentido oposto ao do movimento da nave, com umavelocidade de 5.0× 103 m/s relativamente a nave.

a) Qual a velocidade da nave relativamente a Terra quando a sua massa se reduz a metade, relativamente aoinstante em que foram ligados os motores (suponha que pode desprezar as forcas exteriores, tal como a forca gravıticada Terra).

b) Calcule a forca de propulsao sabendo que os motores queimam o combustıvel e o comburente a uma taxa de 50kg/s.