Mecânica e Ondas

Estudo experimental da dinâmica da Roda de Maxwell

Objectivo Determinação da aceleração linear e do momento de inércia da roda de Maxwell. Estudo da conversão de energia potencial gravítica em energias cinéticas de translação e de rotação. 1- Estudo teórico do movimento de queda da roda de Maxwell

O sistema a estudar está ilustrado na Fig.1.

Fig.1 Foto da montagem a utilizar A roda de Maxwell é constituída por um disco solidamente ligado a um tubo cilíndrico maciço, de raio r, que passa pelo seu centro e que é perpendicular ao disco. A roda está suspensa por dois fios enrolados no tubo que, ao ser largada, irá cair desenrolando os fios. A montagem ilustra o princípio de

operação do bem conhecido brinquedo infantil “iô-iô”. Quando isto acontece a roda, fica animada de dois movimentos: o movimento linear do seu Centro de Massa (CM) que desce na vertical (eixo dos yy), e um movimento de rotação em torno do eixo de simetria do tubo cilíndrico (eixo dos zz). As forças a que a roda fica submetida quando cai (direcção y) são: a tensão 𝑇 nos fios apontando para cima e a força da gravidade 𝑀𝑔 aplicada no CM e apontando para baixo.

Fig.2 Forças aplicadas à Roda de Maxwell A equação que governa o movimento linear de roda é a seguinte 𝑀𝑔 − 𝑇 = 𝑀𝑎! (1) onde 𝑎! é a aceleração do CM. Só as forças de tensão na corda contribuem para o torque em torno do eixo de rotação uma vez que a força de gravidade tem o seu ponto de aplicação no referido eixo. O movimento de rotação é governado pela equação seguinte T r = I! α (2) Onde I! α = τ é o torque em relação ao eixo de rotação, 𝛼 é a aceleração angular da roda e 𝐼! é o momento de inércia da roda em relação ao eixo de rotação. Quando o fio se desenrola de um comprimento infinitesimal 𝑑𝑦 o disco roda de um ângulo 𝑑𝜃 tal que 𝑑𝑦 = 𝑟 𝑑𝜃 (3) e o seu CM cai de 𝑑𝑦 com uma velocidade v! = !"

!"= 𝑟 !"

!"= 𝑟 𝜔 (4)

Mg

T

𝜃

CMr

onde 𝜔 é a velocidade angular do disco. A relação entre a aceleração linear 𝑎! do CM e a aceleração angular, 𝛼, obtém-se derivando ambos os membros da eq.(4) em ordem ao tempo, vindo 𝑎! = 𝑟 𝛼 (5) Resolvendo em ordem a 𝛼 e substiuindo na eq. (2), obtemos a equação 𝑇 = 𝐼!

!!!!

(6) que introduzida na eq. (1) nos permite obter a aceleração linear do CM 𝑎! = 𝑔 !

!! !!!!

< 𝑔 (7)

Esta é constante e menor do que a aceleração da gravidade. Substituindo agora em (1) e resolvendo em ordem a T, obtemos a força de tensão nos fios 𝑇 = 𝑀𝑔 !

!! !!!!

< 𝑀𝑔 (8)

que é inferior ao peso da roda de Maxwell. A velocidade de queda do CM, v!, obtém-se integrando a eq.(7) em ordem ao tempo e tendo em atenção que a roda parte do repouso, i.e., v(0) = 0, v!(𝑡) = !

!! !!!!

𝑔 𝑡 (9)

Sendo 𝑦 = 𝑦! a posição do CM da roda em repouso, obtemos a posição 𝑦(𝑡) do CM da roda no instante t, integrando a eq.(9) em ordem ao tempo y t = !

!! !!!!

𝑔 !!

!+ 𝑦! (10)

O espaço percorrido pela roda no intervalo de tempo t será dado por ∆y t = 𝑦 𝑡 − 𝑦! = !

!! !!!!

𝑔 !!

! (11)

Como cada um dos dois fios tem uma das pontas fixas na barra de

suspensão, não há realização de trabalho sobre a roda de Maxwell e portanto a energia total desta conserva-se. A energia total da roda no instante 𝑡 é dada por

𝐸!"!#$ = 𝐸! + 𝐸! + 𝐸! = 𝑀𝑔 𝑦(𝑡) + 𝑀𝑣𝑦2(𝑡)

2 + 𝐼𝑧ω

2(𝑡)2

(12)

onde 𝐸! =!!!!

!, é a energia cinética associada ao movimento de translacção

do CM, 𝐸!= !!!!

! é a energia cinética associada ao movimento de rotação da

roda em torno do eixo que passa por CM e lhe é perpendicular e ,𝑀𝑔 𝑦, é a energia potencial da roda. Inicialmente a roda está em repouso e a energia mecânica total é 𝐸!"!#$ = 𝐸! = 𝑀𝑔𝑦!. Lembrando que 𝑣! = 𝜔𝑟 obtemos a partir da eq.(12) a relação entre a variação da energia potencial ∆𝐸! e a variação da energia cinética, em qualquer instante 𝑡.

∆𝐸!(𝑡) = −𝑀𝑔 ∆𝑦(𝑡) = v𝑦2(𝑡)

2 𝑀 + 𝐼𝑧

𝑟2 (13)

2 – Trabalho experimental A roda está inicialmente travada por uma ponta metálica controlada por um disparador (ver Fig. 3). Quando se solta o disparador liberta-se a roda, que inicia o seu movimento de queda. Lista de material para o trabalho experimental: 1.Uma roda de Maxwell com massa M = 0.436 kg e raio do tubo cilíndrico 𝑟 = 2.5 𝑚𝑚 2. Uma barra com escala graduada e cursores 3. Ponta de travamento com disparador 4. Circuito com condensador de 0.1 𝜇𝐹 5. Sistema de cronómetro/célula fotoeléctrica (Lb)

Fig. 3 Esquema da ligação do sistema cronómetro/célula fotoeléctrica (Lb) Procedimento experimental 1 - Use o parafuso de ajuste na barra de sustentação da roda de Maxwell para colocar o eixo da roda perfeitamente na horizontal, garantindo que os dois fios verticais enrolam de forma semelhante (ver Fig. 4). Este alinhamento é crítico para garantir que a roda não se solte, partindo os fios e muito possivelmente danificando a montagem. 2 - Verifique como deve enrolar os fios (de fora para dentro, no eixo do roda)

ao rodar a roda no sentido ascendente, para garantir que na posição superior a roda fica o mais próximo possível da ponta de travamento (ver Fig. 4).

Fig.4 Foto do enrolamento no eixo da roda de Maxwell 3 - Identifique a ponta metálica de travamento (ver Fig. 4), a qual é comandada pelo disparador e é introduzida num dos buracos existentes na parte exterior da roda. Esta ponta é utilizada para libertar mecanicamente a roda de Maxwell, quando se solta o disparador. A ponta de travamento deve ser ajustada de forma que a roda não oscile depois de ser libertada. 4 - Verifique que a barra com escala graduada e cursores está posicionada o mais próximo possível do percurso da roda, mas sem que os seus cursores estejam no caminho desta. A medição da distância percorrida é efectuada através da barra com escala graduada, colocando um cursor ao nível do eixo da roda na posição onde ela é largada, e o outro cursor no fim do percurso, ao nível do feixe do sistema cronómetro/célula fotoeléctrica (Lb). 5 - Verifique que o sistema de cronómetro/célula fotoeléctrica (Lb) se encontra bem posicionado (ver Fig.1), de forma que a roda de Maxwell ao descer passe com um dos lados do seu eixo no meio do sistema cronómetro/célula, cortando o feixe luminoso. 6 - Identifique o selector de tipo de funcionamento do sistema de cronómetro/célula fotoeléctrica (Lb). Identifique a ligação do circuito do disparador à entrada “Trigger in” do sistema Lb. A escolha da posição do selector e da ligação deste circuito permite modificar o controlo do

cronómetro do sistema, para realizar distintas medições. 2.1 – Medição da posição do CM em função dos tempos de queda Para medir o tempo de queda o circuito do disparador deve estar ligado à entrada “Trigger in” do sistema de cronómetro/célula fotoeléctrica (Lb) (ver figura 2) cujo selector de funcionamento deve ser colocado na posição (3 pontos). Neste caso, o cronómetro é accionado ao soltar o disparador, o feixe luminoso é restabelecido voltando a pressionar o disparador, e o cronómetro é parado quando o eixo da roda corta o feixe luminoso Medição do tempo de queda para 10 posições diferentes (medidas de 5 em 5 cm) do sistema Lb. 1 - Posicione o sistema de cronómetro/célula fotoeléctrica (Lb). Ajuste os cursores da barra com escala graduada, como indicado anteriormente, e registe os deslocamentos do CM na coluna 2 do Quadro 1 do Relatório. Na definição do número de algarismos significativos, tenha em atenção que as suas medidas serão afectadas por um erro sistemático, devido a efeitos de paralaxe, e por um erro de leitura sempre superior a metade da menor divisão da escala. 2 - Ligue o circuito do disparador à entrada “Trigger in” do sistema Lb. 3 - Posicione o selector de tipo de funcionamento do sistema Lb na posição

(3 pontos). 4 - Suba a roda de Maxwell enrolando os fios no seu eixo. Bloqueie a roda, introduzindo a ponta de travamento na roda enquanto pressiona o disparador. 5 - Pressione o botão de “set” no sistema Lb. 6 - Liberte o disparador. A ponta de travamento largará a roda que deverá começar a mover-se. 7 - Depois de a roda se ter afastado completamente da ponta de travamento, pressione novamente o disparador e mantenha-o pressionado até que o feixe de luminoso seja interrompido. 8 - Observe e registe o valor do tempo de queda indicado pelo cronómetro na coluna 1 do Quadro 1.

9 - Altere a posição do sistema Lb e repita os passos anteriores. 10 - Use o computador que está junto da montagem para gerar, numa folha Excel, um gráfico ∆𝑦(𝑡) com o conjunto de pontos experimentais. 11 - Ajuste uma função do tipo “power” (potência) a esses pontos experimentais, e utilize os parâmetros de ajuste para estimar: a) A aceleração do CM da roda de Maxwell. b) O momento de inércia da mesma (considere 𝑔 = 9,8 𝑚𝑠!!). 2.2 – Medição da velocidade e da aceleração do CM em função do tempo Para medir o tempo de passagem da roda por Lb, i.e. 𝛥𝑡 o circuito do disparador deve estar desligado da entrada “Trigger in” do sistema Lb, cujo selector de funcionamento deve ser colocado na posição (2 pontos). Neste caso, o cronómetro é accionado/parado quando o eixo da roda corta/restabelece o feixe luminoso, ao passar pelo sistema Lb no fim do percurso. Sabendo que o diâmetro do tubo cilíndrico é 2𝑟 podemos calcular a velocidade aproximada da roda na posição em que se encontra Lb v 𝑡 = ! !!!! !!(!)

!!= !!

!! (14)

Note que 𝑡 é o tempo de queda correspondente a essa posição. Para as mesmas 10 posições do sistema Lb consideradas em 2.1 vamos medir 𝛥𝑡 e calcular a velocidade aproximada do CM da roda através da eq.(13). 1 - Posicione o sistema de cronómetro/célula fotoeléctrica (Lb). Ajuste os cursores da barra com escala graduada, como indicado anteriormente, e registe as suas posições. 2 - Desligue o circuito do disparador à entrada “Trigger in” do sistema Lb. 3 - Posicione o selector de tipo de funcionamento do sistema Lb na posição

(2 pontos). 4 - Suba a roda de Maxwell enrolando os fios no seu eixo. Bloqueie a roda,

introduzindo a ponta de travamento na roda enquanto pressiona o disparador. 5 - Pressione o botão de “set” no sistema Lb. 6 - Liberte o disparador. A ponta de travamento largará a roda que deverá começar a mover-se. 7 - Observe e registe na coluna 3 do Quadro 1, o valor de 𝛥𝑡 indicado pelo cronómetro, quando o eixo da roda passa pelo feixe luminoso em Lb. 8 - Altere a posição do sistema Lb e repita os passos anteriores. 9 – Para cada valor de 𝑡 calcule a velocidade aproximada do CM da roda, v(𝑡), usando a eq. (14) e registe o valor na coluna 4 do Quadro 1. 10 - Use o computador que está junto da montagem para gerar, numa folha Excel, o gráfico v(𝑡) a partir dos valores experimentais do Quadro 1. 11 – Ajuste uma função de tipo “Power” aos pontos experimentais e utilize os parâmetros de ajuste para estimar um novo valor de: a) A aceleração do CM da roda de Maxwell. b) O momento de inércia da mesma (considere 𝑔 = 9,8 𝑚𝑠!!).

Relatório

Estudo da dinâmica da Roda de Maxwell

(Imprima e destaque para entregar no fim da aula ao docente)

Data Turno

Número Nome

2.1 Medição dos tempos de queda, do espaço percorrido, de

∆𝒕 e da velocidade

Quadro 1

Tempo de queda

𝑡(𝑠)

Variação da

Posição do CM

∆ 𝑦(𝑚)

Tempo de

passagem

Δ𝑡 (s)

Velocidade do CM

v(𝑚𝑠!!)

a) Determinação dos parâmetros 𝐴 e 𝐵 de ajuste da função, 𝑦 = 𝐴 𝑡! , aos

pontos experimentais, usando o programa EXCEL.

𝐴=__________________________ 𝐵=___________________________

Imprima o gráfico e junte-o ao relatório.

b) Usando o parâmetro A determine a aceleração do CM da roda

𝑎! =____________________________

c) Exprima o momento de inércia da roda 𝐼! . em função de 𝑎! , de 𝑀, e de 𝑟.

𝐼! =

Determine o valor experimental de

𝐼! =____________________________

d) Com o valor experimental de 𝑎! determine a razão

!!!=

e) Determine os parâmetros 𝐴! e 𝐵! de ajuste da função, v = 𝐴! 𝑡!! , aos

pontos experimentais, usando o programa EXCEL.

𝐴!__________________________ 𝐵!=___________________________

Imprima o gráfico e junte-o ao relatório.

f) A partir de 𝐴! determine a aceleração do CM da roda

𝑎! =____________________________

g) Determine o momento de inércia da roda

𝐼! =____________________________

2.2 Conservação da energia mecânica

a) Escolha um dos tempos 𝑡! medidos experimentalmente 𝑡! =

e calcule:

𝐸! 𝑡! =

𝐸! 𝑡! =

𝐸!(𝑡!) =

b) Calcule

!!(!!)!!(!!)

=

e diga qual é a componente mais significativa da energia cinética?

c) Meça os raios maior 𝑅! = __________________________________

e menor 𝑅! = ____________________________________

da roda de Maxwell e calcule o seu momento de inércia aproximado usando a

expressão

𝐼! =!!𝑅!! + 𝑅!! =_________________________________________

d) Compare os valores experimentais do momento de inércia, obtidos a partir

da função posição 𝑦 𝑡 e da função velocidade v 𝑡 , com o valor obtido na

alínea anterior. Quais lhe parecem mais fiáveis? Porquê?

e) Exprima

!!!!=

em função de 𝑟 de 𝑀 e de 𝑅! e 𝑅!.