mecânica e ondas 1º ano -2º semestre 2º teste/1º exame 21 ... · a componente da força...

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Mecânica e Ondas 1º Ano -2º Semestre 2º Teste/1º Exame 21/06/2014 11:30h Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Duração do Teste (problemas 3, 4 e 5): 1:30h Duração do Exame: 2:30h Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema 1 (só Exame) Numa unidade industrial de produtos frutícolas pretende-se regular a inclinação de uma rampa em que frutos de diferentes dimensões rolam sem escorregar. Para regular convenientemente a rampa é necessário determinar o momento de inércia de determinadas espécies de frutos (por exemplo melões) e, posteriormente regular a inclinação da rampa para obter o tempo de queda desejado. Considere, como hipótese de trabalho, que os frutos têm simetria em torno de um eixo de rotação e têm momento de inércia dado pela expressão em é a massa do fruto, é o raio associado ao movimento de rotação (distância entre o eixo de rotação e a superfície da rampa) e é uma constante adimensional que só depende da forma do fruto. a) Mostre que a aceleração linear do centro de massa associada ao movimento de queda de um fruto de determinada espécie, que rola sem escorregar ao longo de uma rampa de inclinação , é independente da massa e das dimensões do fruto, mas depende da respectiva forma, sendo dada por: Sugestão: i) Determine a energia cinética e a energia potencial do fruto em função da variável (distância entre a posição inicial do centro de massa, no topo da rampa, e a posição do mesmo num instante ) e da respectiva derivada . ii) Partindo das expressões da energia cinética e potencial escreva a equação diferencial do movimento, que lhe permitirá obter a expressão de . b) Para determinar o momento de inércia de um determinado tipo de fruto, mede-se o intervalo de tempo, , que este demora a rolar ao longo de uma rampa de comprimento e inclinação , partindo do repouso. Qual a expressão que lhe permite calcular a constante (usada na expressão do momento de inércia) em função dos valores medidos de , , (e ). Problema 2 (só Exame) Suponha que pretende efectuar exercício físico usando uma bicicleta em repouso (como num ginásio). Colocando a roda traseira num suporte, de forma que esta rode livremente, aplica com os pedais uma força constante de módulo igual a que se aplica através da corrente à cremalheira da roda, de raio . Considere, como aproximação, que a roda da bicicleta é uma aro ( ) com um raio de e uma massa .

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Mecânica e Ondas 1º Ano -2º Semestre 2º Teste/1º Exame 21/06/2014 – 11:30h

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Duração do Teste (problemas 3, 4 e 5): 1:30h Duração do Exame: 2:30h Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema 1 (só Exame) Numa unidade industrial de produtos frutícolas pretende-se regular a inclinação de uma rampa em que frutos de diferentes dimensões rolam sem escorregar. Para regular convenientemente a rampa é necessário determinar o momento de inércia de determinadas espécies de frutos (por exemplo melões) e, posteriormente regular a inclinação da rampa para obter o tempo de queda desejado. Considere, como hipótese de trabalho, que os frutos têm simetria em torno de um eixo de rotação e têm momento de inércia dado pela expressão em é a massa do fruto, é o raio associado ao movimento de rotação (distância entre o eixo de rotação e a superfície da rampa) e é uma constante adimensional que só depende da forma do fruto.

a) Mostre que a aceleração linear do centro de massa associada ao movimento de queda de um fruto de determinada espécie, que rola sem escorregar ao longo de uma rampa de inclinação , é independente da massa e das dimensões do fruto, mas depende da respectiva forma, sendo dada por:

Sugestão: i) Determine a energia cinética e a energia potencial do fruto em função da variável (distância entre a posição inicial do centro de massa, no topo da rampa, e a posição do mesmo num instante ) e da respectiva derivada . ii) Partindo das expressões da energia cinética e potencial escreva a equação diferencial do movimento, que lhe permitirá obter a expressão de .

b) Para determinar o momento de inércia de um determinado tipo de fruto, mede-se o intervalo de tempo, , que este demora a rolar ao longo de uma rampa de comprimento e inclinação , partindo do repouso. Qual a expressão que lhe permite calcular a constante (usada na expressão do momento de inércia) em função dos valores medidos de , , (e ).

Problema 2 (só Exame) Suponha que pretende efectuar exercício físico usando uma bicicleta em repouso (como num ginásio). Colocando a roda traseira num suporte, de forma que esta rode livremente, aplica com os pedais uma força constante de módulo igual a que se aplica através da corrente à cremalheira da roda, de raio . Considere, como aproximação, que a roda da bicicleta é uma aro ( ) com um raio de e uma massa .

a) Desprezando o atrito, determine a velocidade angular que a roda atinge, após ter pedalado durante

6 segundos. b) Considera agora que a bicicleta se encontra em movimento conduzida por um ciclista, tendo as

rodas respectivas uma velocidade angular de . Se a massa total do conjunto bicicleta+ciclista for de e a massa da roda dianteira for igual à da roda traseira, qual será a energia cinética total da bicicleta.

Problema 3 (Teste e Exame)

Imagine que era escavado um túnel rectilíneo que atravessava a Terra, como indicado na figura. Sendo a força gravítica exercida sobre uma massa num ponto no interior da Terra dada por

em que é um versor com a direcção radial, é a distância ao centro da Terra, é massa da Terra e é o raio da Terra.

a) Considere uma massa que pode deslizar sem atrito, no interior do túnel. Mostre que a componente da força gravítica segundo (distância ao centro do túnel) é dada por:

b) Escreva a equação diferencial do movimento de um corpo pontual de massa colocado no interior do túnel e mostre que o respectivo período de oscilação é dado por:

em que é a aceleração da gravidade à superfície da Terra. Determine o valor de .

Problema 4 (Teste e Exame)

a) Determine a tensão com que deve ser afinada uma corda de violino com o comprimento de (entre extremidades fixas) e uma densidade linear de para produzir o som correspondente à nota Sol de referência (196 Hz) no modo fundamental. Qual o comprimento de onda (no ar) do som produzido por este violino? (velocidade do som no ar: .

b) Um violinista executa uma peça de música numa carruagem ao ar livre enquanto esta se desloca a uma velocidade de . Qual o comprimento de onda e a frequência do som que uma pessoa em repouso numa estação ouve quando o violinista produz a nota referida na alínea anterior nas seguintes situações: i) quando o comboio se aproxima da estação; ii) quando o comboio se afasta da estação;

Problema 5 (Teste e Exame)

Numa colisão entre dois protões (um em movimento e outro em repouso no referencial do laboratório) é produzido um par protão ( ), anti-protão ( ) adicionais (o antiprotão tem a mesma massa em repouso do que o protão).

No referencial do centro de massa (CM) os dois protões iniciais têm velocidades de igual módulo e sentido contrário (o momento linear total é zero no referencial do CM). (represente as velocidades em função de velocidade da luz c)

a) Qual a velocidade mínima que os protões devem ter no referencial do CM para que a reacção indicada seja possível?

b) Mostre que a energia mínima do protão em movimento no referencial do laboratório para produzir a reacção referida é dada por em que é a massa do protão.

Sugestão: lembre-se que o protão em repouso no referencial do laboratório desloca-se com a velocidade determinada na alínea a) relativamente ao referencial do CM (portanto, o referencial do CM desloca-se com esta velocidade em módulo (e em sentido contrário) no referencial do laboratório); deste modo, repare que sabe: 1) a velocidade do referencial do CM relativa ao referencial do laboratório; 2) a velocidade do protão em movimento relativa, ao referencial do CM ...

Tf

2.2

amF

vmP

2

2

1mvT

dt

pdF

C

rdFW

UTL 0

ii q

L

dt

d

q

L

i

ii PrL

i

ii FrN

Ndt

Ld

IL

i

ii RmI 2

2

2

1ITROT

UF

rer

MmGF

2

Soluções Problema 1 a)

b)

Integrando a equação diferencial do movimento obtida na alínea a)

, obtemos

Sendo a posição e velocidade iniciais dadas por e , temos

Nas condições do problema, quando o objecto chega ao fim da rampa temos:

Problema 2 a)

Sendo , o que é uma boa aproximação neste caso, temos

Uma vez que o momento da força aplicada é constante:

(uma vez que a velocidade angular inicial da roda é nula)

b)

Ou

Problema 3

a)

=

b)

Esta equação do movimento é uma equação do tipo

Característica de um oscilador harmónico, sem atrito, cuja frequência própria (oscilações livres) é

Por outro lado, a aceleração da gravidade à superfície da Terra pode ser obtida, a partir de:

Substituindo na expressão de , obtemos:

Problema 4

a)

No modo fundamental

Por sua vez:

Logo

b)

Comprimento de onda observado quando a fonte se encontra em movimento:

quando a fonte se aproxima do observador (comboio aproxima-se da estação)

quando a fonte se afasta do observador (comboio afasta-se da estação)

No caso presente: ; ;

: quando a fonte se aproxima do observador

: quando a fonte se aproxima do observador

Ou, utilizando o valor de determinado na alínea a)

quando a fonte se aproxima do observador

quando a fonte se afasta do observador

Problema 5

a)

Velocidade mínima dos protões produzidos no referencial do CM (após a colisão):

Energia mínima de cada protão (ou antiprotão) produzidos no referencial do CM (após a colisão):

Antes da colisão, uma vez que as partículas têm a mesma massa (e que a soma dos momentos lineares é

nula no ref. do CM), as partículas terão velocidades com o mesmo módulo e sentido contrário. Logo:

b)

Uma vez que a partícula em repouso no laboratório tem uma velocidade de módulo

no

referencial do CM, esta será a velocidade do CM (em módulo) no referencial do laboratório. Ou seja,

designando por o referencial do CM, a velocidade de relativamente ao referencial do laboratório

será:

A velocidade do protão em movimento no referencial do laboratório, , será dada pela composição das

velocidades entre a velocidade do referencial do CM (no ref. do Laboratório) e da velocidade do protão

no referencial do CM, .

Utilizando o teorema da adição das velocidades:

Ou, considerando a situação limite após a colisão, as quatro partículas estão em repouso no referencial do

CM e portanto têm cada uma, uma de velocidade

no referencial do laboratório. Logo a energia total no

referencial do laboratório (após o choque) será:

Logo, pelo princípio da conservação da energia:

A energia do protão em movimento no referencial do laboratório será dada pela diferença entre a energia

total e a energia do protão em repouso: