Mecânica e Ondas 1º Ano -2º Semestre 2º Teste/1º Exame 05/06/2013 – 15:00h

Mestrado Integrado em Engenharia Aeroespacial Duração do Teste (problemas 3, 4 e 5): 1:30h Duração do Exame: 2:30h Leia o enunciado com atenção. Justifique todas as respostas. Identifique e numere todas as folhas da prova. Problema 1 (só Exame) Um jogador de bilhar joga uma bola de massa com velocidade fazendo-a colidir com outra bola de massa idêntica em repouso. Após o choque (idealmente elástico) as duas bolas adquirem velocidades de módulos, respectivamente e verificando-se, nas condições particulares deste choque, que os ângulos ( ) entre cada um dos vectores velocidade e e a

direcção da velocidade inicial são idênticos (ver figura). a) Escreva as expressões que descrevem a conservação das

grandezas físicas relevantes, neste caso, associadas ao choque elástico, no referencial da mesa de bilhar, indicado na figura, e determine o ângulo e os valores dos módulos das velocidades e em função de . O ângulo depende de ?

b) Calcule a velocidade do centro de massa do sistema formado pelas duas bolas antes e depois do choque, no referencial indicado na figura. Comente o resultado.

Problema 2 (só Exame) Um iô-iô é formado por um cilindro interior de raio e massa e dois cilindros exteriores idênticos de raio e massa . O fio do iô-iô de espessura e massa desprezáveis enrola-se (e desenrola-se) no cilindro interior de forma que quando o sistema roda de um ângulo o centro de massa respectivo desloca-

se de uma distância (ver figura).

a) i) Sabendo que o momento de inércia de um cilindro da massa e raio , em relação ao eixo de simetria de rotação deste, é dado por

, determine o momento de inércia

do iô-iô. ii) Escreva a expressão da energia cinética total do sistema (rotação + translação) quando este roda devido ao desenrolar do fio sob a influência do respectivo peso, em função da coordenada indicada na figura (que representa a posição do centro de massa do iô-iô). iii) Indique a expressão da energia potencial gravítica do sistema em função da coordenada .

b) i) Escreva a função de Lagrange do sistema em função do grau de liberdade correspondente à posição do centro de massa e determine a equação diferencial do movimento para essa variável. ii) Determine a aceleração do centro de massa e a expressão de . iii) Utilizando o princípio da conservação da energia, determine a expressão da velocidade do centro de massa em função de .

Problema 3 (Teste e Exame)

A carroçaria de um automóvel com uma tara de (massa do veículo sem passageiros nem carga)

baixa (relativamente à posição de equilíbrio para o carro vazio) quando um passageiro de

entra para o habitáculo. Considere, como aproximação, que a suspensão do veículo do é equivalente a uma

mola com uma constante elástica e um conjunto de amortecedores que originam uma força de atrito

proporcional à velocidade de oscilação vertical do carro (variação da posição vertical do centro de massa da

viatura) com uma constante de proporcionalidade .

a) A partir dos dados de que dispõe, determine o valor da constante elástica e do coeficiente de atrito , admitindo que a suspensão está optimizada para que o sistema se encontre no regime aperiódico limite quando o automóvel transporta 2 passageiros de e de bagagem.

b) i) Admita que a suspensão do automóvel é caracterizada pelos valores determinados na alínea a). Qual será o regime de oscilação do sistema (periódico, aperiódico ou aperiódico limite) se a viatura transportar um passageiro adicional (para além dos dois passageiros e dos de bagagem). Justifique utilizando as expressões apropriadas. ii) Se os amortecedores se avariarem de modo a que a o coeficiente de atrito se torne desprezável, qual será a frequência das oscilações livres do automóvel nas condições da alínea a) (com dois passageiros e 20 kg de bagagem).

Problema 4 (Teste e Exame)

a) Considere uma corda vibrante de comprimento fixa nos extremos. Admita que tem nessa corda

duas ondas progressivas com amplitudes, frequências e comprimentos de onda idênticos a

propagarem-se em sentidos contrários:

Mostre que a condição de corda fixa nos extremos ( ) corresponde às seguintes condições:

Nota:

b) Um elevador de uma mina ficou avariado no interior

de um túnel vertical, não havendo possibilidade de comunicação com o exterior. Para saber se se encontrava alguém no interior do elevador mediu-se a frequência de oscilação do troço horizontal do cabo representado na figura. Explique como através desta medição poderia determinar a massa do elevador e, consequentemente saber se teria ou não ocupantes (uma vez que a massa da cabina é conhecida). Suponha que sabe a densidade linear do cabo, , a massa da cabine , e a frequência correspondente ao modo fundamental de vibração

do cabo no troço de comprimento . Apresente detalhadamente a dedução das expressões a utilizar (na realidade os elevadores são suspensos por vários cabos e não apenas por um mas, conceptualmente, o problema é idêntico, considerando a carga dividida pelos cabos, considere neste caso APENAS UM cabo a sustentar a totalidade da massa da cabina e ocupantes).

Problema 5 (Teste e Exame)

Numa experiência de Física da Partículas pretende-se medir o tempo de decaímento de um muão. Observa-

se que esta partícula percorre, no referencial do laboratório uma distância de cerca de 1500m antes de

decair e (observando o raio de curvatura da partícula num campo magnético conhecido) sabe-se que esta

tem um momento linear de . A massa do muão é

.

a) i) Com que velocidade se desloca o muão relativamente ao laboratório? ii) Atendendo ao valor da distância percorrida, determine o tempo de vida desta partícula no referencial do laboratório.

b) i) Com base nos resultados da alínea a) determine o tempo de vida do muão no seu referencial próprio. ii) Determine a energia do muão e compare-a com a parte da energia associada à respectiva massa (em repouso).

Soluções:

Problema 1

a)

Da segunda equação obtemos (para ) :

Substituindo nas outras equações do sistema, temos:

e finalmente:

não depende de .

b)

Antes do choque:

Depois do choque

A velocidade do centro de massa é igual antes e depois do choque uma vez que não existem forças

exteriores aplicadas ao sistema e portanto a aceleração do centro de massa é nula.

Problema 2

a) i)

ii)

ou

iii)

b) i)

ii)

iii) Supondo que o iô-iô parte do repouso para temos

Para uma coordenada teremos:

Problema 3

a) i)

-

ii) Regime aperiódico limite

Sendo a massa total do sistema (automóvel + passageiros + bagagem):

O coeficiente de atrito dos amortecedores será:

b) i) Se o automóvel transportar um passageiro adicional de de massa, teremos:

;

regime periódico

De facto:

Isto é, quando a massa aumenta (mantendo-se os valores da constante elástica e do coeficiente de atrito) a

frequência própria das oscilações livres cresce mais do que o coeficiente de atenuação (de um factor ).

Ou seja: quando a massa aumenta, tanto a frequência como o coeficiente de atenuação diminuem mas o

coeficiente de atenuação diminui mais porque varia com enquanto varia com .

ii) Nas condições da alínea a), a frequência angular própria das oscilações livres sem atrito será:

A frequência própria das oscilações livres sem atrito será:

Verificação:

Considerando o valor do coeficiente de atrito calculado na alínea a), o coeficiente de atenuação será:

Verificando-se portanto:

Problema 4

a)

(atendo ao facto do coseno ser uma função par).

; para

; com

para

Nota: a solução trivial para não tem interesse físico pois corresponde à condição uniforme e

estática (ausência de variação com e, consequentemente com ), i.e.: ; .

b) De acordo com a expressão

obtida na alínea anterior, o comprimento de onda do modo

fundamental (correspondente a ) pode ser determinado através da expressão:

A frequência do modo fundamental pode ser obtida a partir do comprimento de onda respectivo através da

expressão:

em que representa a velocidade de propagação de uma vibração transversal no cabo (corda vibrante) sendo

dada por:

em que é a massa do cabo por unidade de comprimento e é a tensão do cabo dada por:

sendo a massa da cabine do elevador e a massa dos ocupantes.

Assim a frequência do modo fundamental pode ser relacionada com a massa do elevador através da seguinte

expressão:

Finalmente, a massa dos ocupantes será dada pela expressão:

Problema 5

a) i)

ii) Tempo de vida do muão no referencial do laboratório:

b) i) Dilatação do tempo:

: tempo de vida do muão no referencial do laboratório.

: tempo de vida do muão no referencial no referencial próprio.

ii)

ou

Parte da energia do muão associada à massa:

Verificação:

Tf

2.2

amF

vmP

2

2

1mvT

dt

pdF

C

rdFW

UTL 0

ii q

L

dt

d

q

L

i

ii PrL

i

ii FrN

Ndt

Ld

IL

i

ii RmI 2

2

2

1ITROT

UF

rer

MmGF

2