mecânica dos fluidos ii

Prof. Leandro Gonçalves Dias

Depto. Ciências Térmicas e dos Fluidos –DCTEF

Mecânica dos Fluidos II

1

Programa

1 – Semelhança, análise dimensional e modelos físicos

2 – Escoamento sem atrito, perdas de carga, medidores, transição e turbulência

3 – Redes de tubulações

4 – Escoamentos externos

5 – Escoamentos compressíveis 2

Ementa

Semelhança, análise dimensional e modelos físicos

Equação de Bernoulli

Medidas de pressão e vazão

Cálculo de perdas de carga

Análise de redes de tubulações

3

Ementa

Arrasto e sustentação em corpos imersos

Transição e turbulência

Introdução ao escoamento compressível

Experimentos e demonstrações em laboratório

4

Objetivo

1 – Gerais Aprofundar os conhecimentos adquiridos pelo estudante na unidade curricular Mecânica dos Fluidos I, com vistas à aplicação em processos industriais.

5

Objetivo

2 – Específicos Conhecer e saber aplicar as ferramentas da análise dimensional Utilizar a eq. de Bernoulli para cálculos em escoamentos sem atrito Calcular perdas de carga em sistemas simples de tubulações Calcular arrasto e sustentação em escoamentos externos Conhecer e saber calcular os principais parâmetros 6

Avaliação

Listas de exercícios para as provas

Serão aplicados 3 verificações

Verificação substitutiva (matéria toda)

Controle de freqüência

Lista de exercício + verificações

7

Bibliografia

White, F. M., Mecânica dos Fluidos, McGraw Hill, 4ª edição, 2002, 570 pp., ISBN: 858680424X.

Fox, R.W.e McDonald, A.T., Introdução à Mecânica dos Fluidos, LTC, 6ª ed., 504 pp.

PotterM. C. e WiggertD.C., Mecânica dos Fluidos, Ed. Thomson, São Paulo, Trad. 3ª ed. original, 2004, 688 pp.

B. R. Munson, D. F. Young, T. H. Okiishi, Fundamentos da Mecânica dos Fluidos, Edgard Blucher, 4ª ed., 2004, 584 pp.

8

9

Revisão

Mecânica dos Fluidos

10

Fluido – tende a escoar

Sólido – deformar ou dobra

Um fluido é uma substância que se deforma continuamente sob a aplicação de uma tensão de cisalhamento (tangencial).

Fases líquidas e gasosa (ou de vapor)

Analisar qualquer sistema no qual um fluido é o meio operante.


11


12

A Mecânica dos Fluidos é o ramo da mecânica

que estuda o comportamento físico dos fluidos

e suas propriedades, ou seja, é a ciência que

estuda forças e movimento em fluidos.

Objetivo:

V (x,y,z,t)

F (x,y,z,t)


13

Mecânica dos Fluidos: Conhecimento

Estudos de modelos e projetos de todos os tipos:

1 - Aerodinâmica (edifícios, arranha-céus,estádios,

chaminés e shoppings);

2 – Bombas, sopradores;

3–Sistema de aquecimento e ventilação de

residências e edifícios comerciais

4 - Geração de energia elétrica


14



5 – Redes de tubulações

6 – Fundição

7 - Ciências atmosféricas e oceânicas

8 - Máquinas térmicas e hidráulicas


15



9 - Aquecimento e refrigeração

10 - Indústria do petróleo

11 – Lubrificação

12 – Instrumentação

13 - Bio-MFL


16

Equações básicas:

1. Conservação da massa.

2. Segunda lei do movimento de Newton.

3. Princípio da quantidade de movimento angular.

4. Primeira lei da termodinâmica.

5. Segunda lei da termodinâmica.


17

Método de Análise:

1. Definir o sistema que você está analisando

a) Sistema ou volume de controle

Sistema Aberto ou fechado (quantidade de massa )

Obter expressões matemática para cada uma das

leis


18

Sistema Aberto ou fechado (quantidade de

massa )

•Aberto existem trocas, quer de energia (calor),

quer de matéria com a vizinhança (fluxo de massa).

•Fechado é um sistema encerrado por uma

fronteira que permite trocas de energia , mas não de

matéria , entre o sistema e sua vizinhança (massa

fixa)


19

Fluido como Contínuo: a água e o ar

Meio contínuo (não podemos estar seguros da natureza molecular dos fluido, a menos que tenha equipamento especializado para identificá-las) A estrutura molecular é tal que a massa não está distribuída de forma contínua no espaço, mas está concentrada em moléculas (regiões relativamente grande). Contínuo – as propriedades variam muito pouco de ponto a ponto (base da mecânica dos fluídos clássica)


20

Fluido como Contínuo: a água e o ar

Hipótese do contínuo, cada propriedade do fluido é

considerada como tendo um valor definido em cada

ponto no espaço.

Massa específica (ρ), temperatura e velocidade, são

consideradas funções contínuas da posição e do

tempo.

Determinar a massa específica no ponto C, cujas

coordenadas são x0, y0 e z0


21


22

Campo de velocidade (descrição):

Velocidade no ponto C

V (x,y,z,t)

Pode ser escrito na forma escalar (função de x,y, z

e t).


24

Forças e Tensões:

Forças de corpo: agem sobre a totalidade do

meio, sem necessidade de contato

Forças de superfície : agem sobre a superfície

do meio, devido ao contato deste com outro


25

• Uma força qualquer pode ser dividida em seus

componentes normal e tangencial .

• Define-se:

(tensão de cisalhamento)


26

Campos

•Campo é uma distribuição contínua no espaço-tempo

de uma determinada propriedade

•Campos escalares: temperatura, pressão, massa

específica (e derivados), concentração, etc.

•Campos vetoriais: velocidade, aceleração, força,

quantidade de movimento (linear e angular), etc.

•Campos tensoriais: tensão, deformação, etc.

•Perfis são fatias 1D dos campos


27

Viscosidade

É a propriedade dos fluidos correspondente ao

transporte microscópico de quantidade de

movimento por difusão molecular . Ou seja,

quanto maior a viscosidade, menor será a

velocidade em que o fluido se movimenta.

É a propriedade física que caracteriza a

resistência de um fluido ao escoamento, a uma

dada temperatura.


28

Viscosidade


29

Viscosidade


30

Viscosidade


31

Fluidos Newtonianos

Fluidos Não Newtonianos

Tensão Superficial

Interface é a região que separa dois líquidos

imiscíveis ou um líquido de um gás;

Capilaridade

Vaporização e Evaporação

Escoamento externo e interno

Escoamento Permanente e Transiente


32


33

Camada Limite Dinâmica e Térmica

- Sendo a primeira a região do escoamento em que os

efeitos do atrito (ou viscosos) não podem ser

desprezados

Regime Turbulento e Laminar

-No regime laminar, a estrutura do escoamento é

caracterizada pelo suave movimento do fluido

-No regime turbulento, caracteriza-se pelo escoamento

no qual os fluidos em movimentos caóticos superpõem-

se ao movimento médio


34

Compressibilidade e Incompressibilidade

Atmosfera Padrão

Cone de Mach


35

Centróide de área


36

Momento de Inércia


37


38

Estabilidade


39

Teorema de Transporte de Reynolds

Lei da Conservação da Massa para um Volume de

Controle fixo

- Conservação de Massa

- Primeira e Segunda lei da Termodinâmica

Lei da Variação da Quantidade de Movimento

Para um VC

Análise dimensional, modelos

físicos e semelhança

40

Visão geral Entender os métodos experimentais em MFL

Aplicar o teorema dos Pi

Conhecer os principais grupos adimensionais em

FTR

Estudas os modelos físicos e as condições de

semelhança

41

Métodos experimentais em

MFL

42

Motivação Métodos analíticos (integral e diferencial)

resolvem problemas simples em MFL

Problemas mais complexos obrigam o pesquisador a recorrer aos dados de experimento ou de campo

Mas, experimentos são caros e difíceis de se controlar

Os dados são de difícil manuseio e análise devido ao grande número de variáveis envolvidas:

43

O que é um túnel de vento?

Para que serve o túnel de vento?

Em que lugar é usado o túnel do vento?

44

Túneis de Vento É uma instalação que tem por objetivo simular

para estudos o efeito do movimento de ar sobre

ou ao redor de objetos sólidos.

Túneis de vento são muito utilizados em

laboratórios de modelos físicos para a

determinação de parâmetros nos projetos de

aviões, automóveis, cápsulas espaciais, edifícios,

pontes, antenas e outras estruturas de

construções civis.

45

Túneis de Vento A construção de modelos físicos, em escalas reduzidas,

embora tentada anteriormente por Arquimedes,

Leonardo Da Vinci e outros estudiosos só foi possível

após a descoberta da Teoria da Semelhança Mecânica

por Isaac Newton e do Teorema de Bridgman.

Nos modelos aerodinâmicos a semelhança mecânica

aplicada é a de Mach, nos modelos hidrodinâmicos de

escoamentos em condutos forçados utiliza-se a

chamada Semelhança de Reynolds e nos condutos

livres ( canais, usinas hidrelétricas, vertedores) utiliza-se

a chamada Semelhança Mecânica de Froude.

46

Túneis de Vento

47

Túneis de Vento

48

Construção de experimentos

49


Nasa

Purdue

University

50


Testes de

Modelo de rio

51

52

Análise Dimensional e

Semelhança


Semelhança

53

A maioria dos fenômenos em mecânica dos

fluidos apresentam dependência complexa de

parâmetros geométricos e do escoamento


Semelhança

54

Técnica para se ganhar compreensão sobre o escoamento de fluidos (fenômenos científicos e de engenharia). Antes de se fazer uma análise teórica ou experimental mais extensa, esta técnica nos capacita também a extrair tendências de dados

Desorganizados e incoerente

Análise dimensional

Mecânica do Fluidos

depende muito dos resultados experimentais, porque

são poucos os escoamentos reais que podem ser

resolvidos apenas pelos métodos analíticos.

A resolução de problemas práticos envolve a

combinação da análise com as informações

experimentais.

A análise dimensional constitui ferramenta importante.

auxilia a atingir essa meta

Depende dos parâmetros geométricos e dos de

escoamento

55


Que experimentos devem ser conduzidos para

determinar a força de arrasto sobre a esfera?

56

Manipulação de dados

Variáveis como ρ e μ não

variam contínua ou

independentemente e são

difíceis de ser variadas no

experimento

d – diâmetro

V – velocidade

ρ – densidade do

fluido

μ – viscosidade

do fluido

57

Manipulação de dados

58

A força de arrasto depende do tamanho da

esfera (D), da velocidade do fluido, V, da

viscosidade, μ.

Massa específica do fluido,ρ.


AD é um método matemático que permite reduzir o

número de variáveis envolvidas em um fenômeno

físico

Se o fenômeno depende de n variáveis

dimensionais, a AD reduzirá este número a k

variáveis adimensionais (com n > k, obviamente)

59

Vantagens

Execução dos experimentos mais rápida e mais

barata. Em certos casos, experimentos factíveis!

Serve de guia na busca de soluções analíticas e na

apresentação de resultados de simulação

Permite obter resultados testando modelos em

escala (reduzida ou ampliada)

Pode ser aplicada a todos os ramos da física

60

(Vaschy-Riabouchinsky-

Buckingham)

Teorema dos Pi

61

Lei da homogeneidade dimensional

Toda equação capaz de representar uma lei física

deve possuir termos aditivos com as mesmas

dimensões .

Se isso não ocorrer, a fórmula dependerá das

unidades escolhidas

62

Teorema do Pi

O 1º passo é listar todos os parâmetros que afetam o

dado fenômeno de escoamento.

Se achar que um fenômeno depende de um dado

parâmetro, inclua-o na listagem.

Seis passos que delineiam um procedimento um

procedimento recomendado para determinar os

parâmetros Pi

64

Teorema do Pi

Se um processo físico satisfaz a LHD e envolve

variáveis dimensionais, então ele pode ser reduzido a

uma relação entre variáveis adimensionais, ou grupo π.

Listar todas as grandezas envolvidas

Escolher o conjunto de grandezas fundamentais

(básicas), por exemplo MLT

Expressar todas as grandezas em termos das

grandezas básicas

65

Teorema do Pi

Selecionar, da listagem, as grandezas repetitivas em

número igual ao das grandezas básicas.

Estabelecer as equações dimensionais combinando

as grandezas selecionadas no passo anterior em cada

uma das grandezas em jogo para formar grupos

adimensionais. (n – m).

Verifique se cada grupo obtido é adimensional

66

Exercício

A força de arrasto, F, sobre uma esfera lisa depende

da velocidade relativa, V, do diâmetro da esfera, D, da

massa específica do fluido, ρ, e da viscosidade do

fluido, μ. Obtenha um conjunto de grupos

adimensionais que possam ser usados para

correlacionar dados experimentais.

67

Exercício da esfera lisa

Colocação do problema

Fd = f (d,V,ρ, μ); n = 5

Dimensões das grandezas envolvidas:

Fd – MLT-2; d – L; V – LT-1; ρ – ML-3; μ – ML-1T-1

Redução do número de variáveis (k = n - m)

m = 3 (L, M, T)

Escolha das variáveis repetitivas:

d, V, ρ 68


n – m = 2, resultarão em dois grupos

adimensionais.

Estabelecendo as equações

Π1 = ρa Vb Dc Fd =

Π1=(ML-3 )a(LT-1)b(L)c(MLT-2) = M0L0T0

Equacionando M, L e T vem:

M: a + 1 =0 a = -1

L: -3 a + b + c +1 c = -2 Assim

T: -b – 2 = 0 b= -2

69


70

71

Revisão

Revisão


método para reduzir o número e a

complexidade das variáveis experimentais que afetam

um dado fenômeno físico, pela aplicação de um tipo de

técnica de compactação.

Fenômeno depende de n variáveis dimmensionais, a

análise dimensional reduzirá o problema a apenas k

variáveis adimensionais.

n - k = 1, 2, 3 ou 4

Dependendo da complexidade do problema.

72

Revisão

n – k

é igual ao número de dimensões diferentes que

regem o problema.

Na mecânica dos fluidos, as quatro dimensões básicas

são consideradas como:

M massa MLTθ

L Comprimento

T tempo

Θ temperatura FLTθ

73

Revisão

Se soubéssemos que a força F sobre um corpo particular imerso em uma corrente de fluido dependesse apenas do comprimento L do corpo, da velocidade V da corrente, da massa específica ρ do fluido, e da viscosidade μ do fluido.

F = f (L,V,ρ,μ)

Temos que encontrar uma função f (L,V,ρ,μ) experimental ou numérica.

Admite-se que são necessários aproximadamente 10 pontos para definir uma curva. Para encontrarmos o efeito do comprimento do corpo, temos de executar o experimento para 10 comprimentos L.

74

Revisão

Para cada L temos 10 valore de V, 10 valores de ρ e da

valores de μ, resultando num total de 10.000

experimento. Se cada experimento for 100 dólares.

Coeficiente de força adimensional é uma função do

número de Reynolds. 75

Re

22

gC

ou

VLg

LV

F

f

Revisão

A análise dimensional ajuda no raciocínio e

planejamento para um experimento ou uma teoria.

Sugere maneiras adimensionais de escrever as

equações antes de gastar dinheiro em análise numéricas

para encontrar soluções, sugerindo variáveis que podem

ser descartadas.

76

Revisão

Exemplo: O copépode é um crustáceo aquático com

aproximadamente 1 mm de diâmetro. Queremos saber

qual é a força de arrasto sobre o copépode quando ele

se move lentamente em água doce. Um modelo em

escala 100 vezes maior é construído e testado em

glicerina com V = 30 cm/s. O arrasto medido sobre o

modelo é de 1,3 N. Para condições de semelhança,

quais são a velocidade e o arrasto sobre o copépode real

na água? Temperatura de 20 oC.

Dados:

Água (protótipo): μp = 0,001 kg/m.s ρp = 998 kg/m3

Glicerina(protótipo): μp = 0,001 kg/m.s ρp = 998 kg/m3

77

Revisão

Hipótese:A equação vista anteriormente é apropriada e

estabelece semelhança, isto é, o modelo e o protótipo

têm o mesmo número de Reynolds e, portanto, o mesmo

coeficiente de força.

Abordagem: as escalas de comprimento são Lm = 100

mm e Lp = 1mm. Calcule o número de Reynolds e o

coeficiente de força do modelo e iguale-os aos valores do

protótipo.

78 p

ppp

m

mmm

pm

LVLV

ReRe

Revisão

79

001,0

998,026,25

001,0

)001,0()998(

5,1

)1,0)(3,0)(263.1(

p

p

V

V

scmsmVp /53,2/0253,0

Revisão

De maneira semelhante, usando a velocidade do

protótipo que acabamos de determinar, iguala-se os

coeficientes de força

80

2222

ppp

p

mmm

m

Fpfm

LV

F

LV

F

CC

Revisão

81

2222 )001,0()0253,0)(998()1,0()3,0)(263.1(

3,1 pF

NFp

7103,7

Revisão

82

Método para reduzir um conjunto de variáveis

dimensionais a um conjunto menor de grupos

adimensionais.

Teorema Pi Buckingham foi o primeiro método;

Pi para representar um produto de variáveis.

São produtos de potências representados por π1, π2 ,

π3, etc.

Revisão

83

Método permite que os grupos de pi sejam

determinados em ordem seqüencial sem recorrer a

expoentes livres.

Primeira Parte:

Envolve n variáveis dimensionais, ele pode ser

reduzido a uma relação entre apenas k variáveis

adimensionais ou π. A redução j = n – k é igual ao

número máximo de variáveis que não formem um pi

entre elas e é sempre menor ou igual ao número de

dimensões que descrevem as variáveis.

Revisão

84

Fd = f (L,V,ρ,μ) descritas por três dimensões {MLT}.

Assim, n = 5 e j = 3 . Portanto podemos reduzir o problema a k grupos de pi. Obtivemos duas variáveis adimensionais π1= Cf e π2 = Re

Segunda Parte:

Encontre a redução j, depois selecione j variáveis de escala que não formem um pi entre elas mesmas. Cada grupo pi desejado será um produto de potência dessas j variáveis mais uma variável adicional, à qual é atribuído qualquer expoente conveniente diferente de zero. Cada grupo pi assim encontrado é independente.

Revisão

85

v1 = f (v2, v3, v4, v5)

Três dimensões {MLT} j = 3

K = 5 – 3 = 2 Dois grupos

Escolhas três variáveis convenientes que não formem

um pi e que sejam v2, v3, v4. Então os dois grupos pi são

formados por produtos de potências dessas três

variáveis mais uma variável adicional, v1 ou v5 .

Revisão

86

π1= v2a v3

b v4c v1 = M0L0T0

π2= v2a v3

b v4c v5 = M0L0T0

Foi escolhido arbitrariamente os expoentes das variáveis

adicionais v1 e v5 como unitários. Igualando os expoentes

das várias dimensões, o teorema garante valores únicos

de a, b e c para cada pi. E eles são independentes, pois

apenas π1 contém v1 e apenas π2 contém v2

Revisão

1.Liste todas as variáveis envolvidas Se houver falta, a análise dimensional falhará Se houver sobra, o experimento ficará mais caro 2.Obtenha as dimensões de cada variável da lista anterior 3.Suponha k = n –m inicialmente 4.Selecione m variáveis repetitivas Elas aparecerão em todos os grupos Não inclua as variáveis dependentes 87

Revisão

5.Adicione uma das variáveis restantes à lista de

repetitivas e forme um grupo Pi. Calcule os expoentes

por linha-redução da matriz dos coeficientes. Repita até

exaurir as variáveis

6.Escreva a função final adimensional verifique os termos

para ter certeza de que todos os grupos são realmente

adimensionais

88

Exercício

A força de arrasto, F, sobre uma esfera lisa depende

da velocidade relativa, V, do diâmetro da esfera, D, da

massa específica do fluido, ρ, e da viscosidade do

fluido, μ. Obtenha um conjunto de grupos

adimensionais que possam ser usados para

correlacionar dados experimentais.

90



Fd = f (d,V,ρ, μ); n = 5


Fd – MLT-2; d – L; V – LT-1; ρ – ML-3; μ – ML-1T-1

Encontre j. Nenhuma variável contém a dimensão

θ , e portanto j é menor ou igual a 3 (MLT).

Verificamos a lista e vemos que D, V e ρ não

podem formar um grupo pi, pois apenas ρ contém

massa e apenas V contém o tempo. 91


Portanto j é igual a 3, e n – j = 5 – 3 = 2 = k. O

teorema de pi garante, para este problema, que

haverá exatamente dois grupos adimensionais

independentes.

Selecione j variáveis repetitivas. O grupo L, V, ρ

irá funcionar bem

Combine L,V,ρ com uma variável adicional, em

seqüência, para encontrar os dois produtos de pi.

92


Primeiro adicione a força para encontrar π1. Você

pode selecionar qualquer expoente que lhe satisfaça

para esse tempo adicional, a fim de colocá-lo no

numerador ou denominador, com qualquer potência;

Como F é a variável de saída, ou dependente, nós a

selecionamos para aparecer elevada à primeira

potência no numerador.

93



adimensionais.


Π1 = ρa Vb Dc Fd =

Π1=(ML-3 )a(LT-1)b(L)c(MLT-2) = M0L0T0


M: a + 1 =0 a = -1

L: -3 a + b + c +1 c = -2 Assim

T: -b – 2 = 0 b= -2

94



adimensionais.


Π2 = ρd Ve Df μ =

Π2=(ML-3 )a(LT-1)b(L)c(ML-1T-1) = M0L0T0


M: d + 1 =0 d = -1

L: - e - 1 e = -1 Assim π2 = μ/ρvL

T: -3d + e + f - 1 = 0 f= -1

95


96

O teorema garante que a relação funcional deve ter a

seguinte forma equivalente

Exercício de bomba centrífuga

A potência P fornecida a uma bomba centrífuga é uma

função da vazão volumétrica Q, do diâmetro do rotor,

da velocidade de rotação Ω, da massa específica ρ e

da viscosidade μ do fluido:

Sugestão: Use Ω, ρ e D como variáveis repetitivas.

97



Fd = f (Q,D,Ω,ρ, μ); n = 6


P – FLT-1; Q – L3T-1 ;d – L; Ω – T-1 ; ρ – ML-3; μ – ML-1T-1

Encontre j. O número de dimensões nesse exercício

é de j = 3 (FLT).

Verifique se essas três variáveis não formam um

grupo pi:

99

Exercício e bomba centrífuga

Somente se a =0, b = 0 e c=0

Combine (Ω, ρ e D) com a Potência para encontrar

o primeiro grupo de pi.

100

000421 )()()( TLFLLFTTD cbacba

0001421

1 )()()()( TLFFLTLLFTTPD cbacba


F: b + 1 =0 b = -1

L: -4b + c +1 = 0 c = -5 Assim

T: - a + 2b – 1 = 0 a = - 3

101

0001421

1 )()()()( TLFFLTLLFTTPD cbacba

CpD

PPD

53

513

1


Combine agora com Q

Fazendo o mesmo cálculo anterior encontramos o

seguinte: a = -1, b = 0 e c = -3

102

00013421

2 )()()()( TLFTLLLFTTQD cbacba

QCD

QQD

3

301

2


Combine com a viscosidade μ para encontrar o

terceiro grupo pi

Fazendo o mesmo cálculo anterior encontramos o

seguinte: a = -1, b = -1 e c = -2

103

0002421

2 )()()()( TLFFTLLLFTTD cbacba

23D


A relação original entre as seis variáveis agora é

reduzida a três grupos adimensionais

104

2353,

DD

Qf

D

P

Exercício em baixas velocidades

Em baixas velocidades (escoamento laminar), a

vazão volumétrica Q através de um tubo de

pequeno diâmetro é uma função apenas do raio R

do tubo, da viscosidade μ do fluido e da queda de

pressão por unidade de comprimento de tubo

dp/dx. Usando o teorema de pi, encontre uma

relação adimensional apropriada.

105


Solução:

Q = f (R, μ, dx/dt)

n = 4 variáveis

Lista das dimensões dessas variáveis, usando o

sistema {MLT}

Q –L3T-1; R – L; μ – ML-1T-1 ; dp/dx – ML-2T-2

107


Há três dimensões primárias (M,L,T), logo j = 3

n – j = 4 – 3 = 1.

Há apenas um grupo pi, que encontramos

combinando Q em um produto de potência com das

outras três:

108

Qdx

dpR

c

ba

1


Equacionando os expoentes

Massa : b + c = 0 a = -4

Comprimento : a – b – 2c + 3 = 0 b = 1

Tempo: - b – 2c – 1 = 0 c = -1

109

000131211 )()()()( TLMTLTMLTMLL cba


110

Qdx

dpR

1

14

1

constdxdpR

Q

)/(41

Exercício da perda de carga

A queda de pressão Δp para escoamento

permanente, incompressível e viscoso, através de

um tubo retilíneo horizontal depende do comprimento

do tubo, l, da velocidade média, V, da viscosidade do

fluido, μ, do diâmetro do tubo, D, da massa

específica do fluido, ρ, e da altura média da

“rugosidade” e. Determine um conjunto de grupos

adimensionais que possa ser usado para

correlacionar dados.

111


Dados : Δp = f (ρ, V, D, l, μ, e)

Escoamento em conduto de seção circular.

Determinar : o apropriado conjunto de grupos

adimensionais

113


Resolução:

Δp, ρ, V (velocidade média), D, l, μ, e n= 7

grandezas

Δp = ML-1T-2; ρ = ML-3; V= LT-1; D = L; l = L; e =L; μ =

ML-1T-1 r = 3 grandezas básicas

ρ, V (velocidade média), D m = r = 3 grandezas

repetitivas

114


Resolução:

Com n – m = 4 teremos quatro grupos adimensionais

Π1 = ρaVbDcΔp = (ML-3)a(LT-1)b(L)c(ML-1T-2) = M0L0T0

M: 0 = a + 1 a = - 1

L: 0 = -3 a + b + c -1 b = - 2

T: 0 = -b – 2 c = 0

115


Resolução:

Π2 = ρdVeDfμ = (ML-3)d(LT-1)e(L)f(ML-1T-1) = M0L0T0

M: 0 = d + 1 d = - 1

L: 0 = -3d + e + f -1 e = - 1

T: 0 = -b – 1 f = -1

116


Resolução:

117


118

Se só houver um grupo adimensional

Demonstração:

Seja π2 um grupo que não pertence ao problema.

Então π1 = f(π2)

Mas como π2 não pertence ao problema, f(π2 ) cte.

π1 é cte

119

Informações externas

É possível particularizar a relação funcional obtida pela AD, desde que se possua informações externas

Exemplo: viga em balanço com carga na ponta

Sabe-se que δ α P e que δ α I-1

Observando-se que δ , P e I aparecem isoladamente nos grupos, segue-se que

120

Grupos adimensionais mais

conhecidos

121


conhecidos

122


conhecidos

123


conhecidos

124

Grupos adimensionais

125

Abbe number: Dispersion in optical materials

Archimedes number: Motion of fluids due to density differences

Biot number: Surface vs volume conductivityof solids

Bodenstein number : residence-time distribution

Capillary number: fluid flow influenced by surface tension

Damköhler numbers: reaction time scales vs transport phenomena

Deborah number: Rheology of viscoelastic fluids

Drag coefficient: Flow resistance

Eckert number : Convective heat transfer


126

Ekman number: Frictional (viscous) forces in geophysics

Euler number : Hydrodynamics (pressure forces vs. inertia forces)

Darcy Friction factor: Fluid flow

Froude number: Wave and surface behaviour

Grashof number: Free convection

Hagen number: Forced convection

Knudsen number: Continuum approximation in fluids

Laplace number: Free convection with immiscible fluids

Lift coefficient: amount of lift available from given airfoil at given angle of attack.

Mach number: Gas dynamics

Molecular mass


127

Nusselt number: Heat transfer with forced convection

Ohnesorge number : Atomization of liquids

Peclet number: Forced convection

Pressure coefficient: Coefficient of pressure experienced at a point on an airfoil

Poisson's ratio: Load in transverse and longitudinal direction

Power number: Power consumption by agitators

Prandtl number: Forced and free convection

Rayleigh number: Buoyancy and viscous forces in free convection

Reynolds number: Characterizing flow behaviour (laminar or turbulent)


128

Reynolds number: Characterizing flow behaviour (laminar or turbulent)

Richardson number: whether buoyancy is important

Rockwell scale: Mechanical hardness

Rossby number: Inertial forces in geophysics

Sherwood number: Mass transfer with forced convection

Coefficient of static friction : Friction of solid bodies at rest

Coefficient of kinetic friction : Friction of solid bodies in traslational motion

Stokes number : Dynamics of particles

Strouhal number: Oscillatory flows

Weber number : Characterization of multiphase flow with strongly curved surfaces

Weissenberg number: Viscoelastic flows

Exercício Efeito Capilar

129

Quando um pequeno tubo é imerso em uma poça de

líquido, a tensão superficial causa a formação de um

menisco na superfície livre, para cima ou para baixo,

dependendo do ângulo de Contato na interface líquido-

sólido-gás. Experiências indicam que a magnitude do

efeito capilar, Δh, é uma função do diâmetro do tubo, D,

do peso específico do líquido γ, e da tensão

superficial,σ. Determine o número de parâmetro Pi

independentes que possam ser formados e obtenha um

conjunto.

Exemplo Proposto

1 - Tubo capilar

h = f (D,γ ,σs)

D = diâmetro

γ= tensão superficial

σ = tensão superficial

Determinar o número de parâmetro Π independentes que podem ser formados e estabelecer um conjunto.

130

Exercícios Proposto

White, F. M. Mecânica dos Fluidos.

Homogeneidade dimensional: 5.10, 17

5.18, 20, 23, 24, 27, 30, 35, 38

131

Modelo físico e semelhança

132

Construção de Modelos físicos Modelos podem ser construídos no

tamanho conveniente

Modelos podem ser ensaiados em condições controladas

Mas como garantir que os resultados do modelo são proporcionais ao do protótipo?

133

Construção de Modelos físicos

A semelhança geométrica requer que o modelo e o

protótipo tenham a mesma forma e que todas as

dimensões lineares do modelo sejam relacionadas

às correspondentes dimensões do protótipo por

um fator de escala constante.

Segundo requisito é que os escoamentos do

protótipo e de modelo sejam cinematicamente semelhantes.

134


Num determinado problema,

As condições de escoa para o teste de um

modelo são completamente semelhantes se

todos os parâmetros adimensionais relevantes

tiverem os mesmos valores correspondentes

para o modelo e para o protótipo.

135


Mas, a função independe do tamanho do

modelo, pois toda a geometria está embutida

nos π's

Logo, existe semelhança entre modelo e

protótipo

136


A semelhança geométrica refere-se à dimensão

de comprimento L e deve ser garantida para que

possa ser feito qualquer teste sensato de

modelo. Uma definição formal é:

Um modelo e um protótipo são geometricamente

semelhantes se e somente se todas as dimensões

do corpo nas três coordenadas tiverem a mesma

razão de escala linear

137


Em semelhança cinemática pode ser enunciada

da seguinte forma:

Os movimentos de dois sistemas são

cinematicamente semelhantes se partículas

homólogas estiverem em pontos homólogos em

instantes homólogos.

138


Existe semelhança dinâmica quando o modelo e o

protótipo têm as mesmas razões de escala de

comprimento, escala de tempo e escala de força.

A semelhança dinâmica existe, simultaneamente

com a semelhança cinemática, se os coeficientes

de pressão e de força do modelo e do protótipo

forem idênticos.

139

Condições de Semelhanças

Existe semelhança se

140

Resumo Semelhança geométrica: todas as dimensões do

escoamento sobre o modelo e o protótipo

guardam a mesma razão de comprimento

Implica dimensões do modelo e do protótipo

proporcionais

Implica ângulos iguais no escoamento do modelo

e do protótipo

Problemas

141

Resumo Semelhança cinemática: todas as velocidades do

escoamento sobre o modelo e sobre o protótipo

guardam a mesma razão

Implica escalas de tamanho e tempo

proporcionais

Logo, partículas fluidas correspondentes

encontram-se em lugares correspondentes, em

instantes correspondentes, de modo que a

evolução temporal de modelo e do protótipo é

idêntica

142

Resumo Semelhança dinâmica: todas as forças do

escoamento sobre o modelo e sobre o protótipo

guardam a mesma razão

Implica escalas de tamanho, tempo e massa

proporcionais

A equação de N-S implica que a semelhança

ocorrerá se as forças de inércia, pressão,

gravidade e atrito forem proporcionais

Isso demanda a igualdade dos números Re, Fr e

We

143

Resumo

Semelhança completa implica semelhança

geométrica, cinemática e dinâmica

Mas nem sempre isso é possível...

144

Exemplo Teste em Túnel do Vento de protótipo de sonar marítimo. Vp = 2.57 m/s, dp = 30.48, cm dm = 15.24 cm, Fm = 24.82 N. Velocidade do ar = 1,5 x10-5 e Velocidade de água = 1,5 x 10—6

Determine Vm e Fp .

145

Exemplo 7.4

146

Exercício proposto 2

147

Semelhança: 5.59, 64, 67, 73, 75, 81

Resumo do capítulo sobre Análise

Dimensional e Semelhança

Equações de governo

adimensionais

148

Motivação Existe outro método matematicamente rigoroso

de resolver o problema da semelhança.

Ele exige que se conheça as eqs. de governo do

problema.

Se dois problemas são regidos por EDP’s

idênticas com CF’s idênticas, então seus

resultados são idênticos.

149

Equações de governo

150

Variáveis adimensionais

151

Variáveis adimensionais

Se dois problemas são regidos por EDP’s

idênticas com CF’s idênticas, então seus

resultados são idênticos

Repetir o procedimento para as CF’s

152

Escoamento sem atrito

153

Visão Geral Equação de Bernoulli

Pressões de estática, dinâmica e de estagnação

Cuidados no uso da Eq. deBernoulli

154

Aplicações Região do escoamento livre, fora da CL

Linha de centro de tubulações

Diversas aproximações teóricas

155

Aplicações

156


157


158

O princípio de Bernoulli afirma que para um fluxo

sem viscosidade , um aumento na velocidade do

fluido ocorre simultaneamente com uma diminuição

na pressão ou uma diminuição na energia

potencial do fluido. O princípio de Bernoulli é

nomeado em homenagem ao matemático

neerlandês -suiço Daniel Bernoulli que publicou o

seu princípio, em seu livro Hydrodynamica em 1738.


159


160


161


162

163

Pressão Estática e Dinâmica


164

A pressão dinâmica é a diferença entre a pressão

de estagnação e a pressão estática.

A pressão estática, isto é, a que não depende do

movimento, pode ser recolhida por detectores

adequados ou ser obtida a partir de um tubo que

envolve o primeiro no sentido coaxial e possui

orifícios laterais perpendiculares ao

movimento(este tubo também é chamado tubo de

Prandtl).


165

166

Tubos de Pitot Areonáutico


167

Tubo de Pitot é um instrumento de medida de

pressão utilizado para medir a velocidade de fluidos ,

e mais concretamente a velocidade dos aviões. Deve o

seu nome ao físico francês do século XVIII Henri Pitot.

Consiste basicamente num tubo orientado para o

fluxo de fluido a medir. Visto que o tubo contém ar

pode assim ser medida a pressão necessária para

colocar o ar em repouso: a pressão de estagnação, ou

pressão total.


168

ar em repouso: a pressão de estagnação, ou pressão total.

A pressão de estagnação só por si não é suficiente para determinar a velocidade do fluido. Todavia, visto que a equação de Bernoulli determina que

Pressão de estagnação = pressão estática + pressão dinâmica Os tubos de Pitot colocados nos aviões têm normalmente elementos de aquecimento para evitar que os orifícios fiquem obstruídos com o gelo.


169

Exemplo 1 – Um tubo de Pitot é inserido em um escoamento de ar ( na condição padrão) para medir a velocidade do escoamento. O tubo é inserido apontando para montante dentro do escoamento, de modo que a pressão captada pela sonda é a pressão de estagnação. A pressão estática é medida no mesmo local do escoamento com uma tomada de pressão na parede. Se a diferença de pressão é de 30 mm de mercúrio, determine a velocidade do escoamento

170

Exemplo Dados : um tubo de pitot inserido num escoamento, conforme mostrado. O fluido é ar e o líquido do manômetro é mercúrio.

Determinar: a velocidade do escoamento.

Solução:

Equação Básica : (P/ρ) + (V2/2) + (gz) = constante

Considerações : (1) Escoamento Permanente (2) escoamento incompressível (3) escoamento ao longo de uma linha de corrente (4) Desaceleração sem atrito ao longo da linha de corrente de estagnação 171

Exemplo

Escrevendo a equação de Bernoulli para a linha de

corrente para estagnação (Δz = 0), obtêm

(P0/ρ) = (P/ρ) + (V2/2)

V = ((2 (p0 – p))/(ρar))1/2

Do diagrama

p0 – p = ρHggh = ρH2Ogh (SGHg)

V = ((2 ρH2Ogh (SGHg))/(ρar))1/2

V = ((2 x 1000kg/m3 x 9,81 m/s2 x 30 mm x 13,6 x

(m3/1,23 kg) x (m/1000 mm))1/2 = 80,8 m/s

172

Exemplo

Para T = 20 oC, a velocidade do som no ar é 300 m/s.

Portanto, M = 0,236 e a hipótese de escoamento

incompressível é válida.

173

Exemplo

2 – Ar escoa em regime permanente e com baixa

velocidade através de um bocal horizontal ( por

definição, um equipamento para acelerar um

escoamento) que o descarrega para a atmosfera. Na

entrada do bocal, a área é 0,1 m2 e na saída, 0,02 m2.

Determine a pressão manométrica necessária na

entrada do bocal para produzir uma velocidade de saída

de 50 m/s.

174

Exemplo Dados: Escoamento através de um bocal, conforme mostrado

Determinar : p1 – patm

Solução: Equações básicas

Considerações: (1) Escoamento permanente (2) Escoamento incompressível (3) Escoamento sem atrito (4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente (5) z1 = z 2

(6) Escoamento uniforme nas seções 1 e 2 175

Exemplo

Dados:

p1 – patm = p1 – p2 = (ρ/2) (V22 - V1

2)

Aplique a equação da continuidade para determinar

V1

(-ρV1A1) + (-ρV2A2) = 0 ou V1A1 = V2A2

V1 = V2(A2/A1) = 50 m/s x (0,02 m2 / 0,1 m2 ) = 10 m/s

176

Exemplo

Para o ar na condição padrão, ρ = 1,23 kg/m3. então

p1 – patm = (ρ/2) (V22 - V1

2)

= (1/2) x(1,23 kg/m3) x ((50 m/s)2 -(10 m/s)2) x

((N.s2)/(kg.m))

p1 – patm = 1,48 kPa

177

Exemplo

3 – Um tubo em U atua como um sifão d’água. A

curvatura no tubo está 1 m acima da superfície da

água; a saída do tubo está 7 m abaixo da superfície

da água. A água sai pela extremidade inferior do

sifão como um jato livre para a atmosfera. Determine

(após listar as considerações necessárias) a

velocidade do jato livre e a pressão absoluta mínima

da água na curvatura.

178

Exemplo

Equação Básica : (P/ρ) + (V2/2) + (gz) = constante

Considerações :

(1) Atrito desprezível

(2) Escoamento permanente

(3) Escoamento incompressível

(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente

(5) O reservatório é grande comparado com o tubo

179

Exemplo

V = ( 2 x (9,81 m/s2) x ( 7 m))1/2 = 11,7 m/s

Para determinar a pressão no ponto A, escrevemos

a equação de Bernoulli entre 1 e A

(P1/ρ) + (V12/2) + (gz1) = (PA/ρ) + (VA

2/2) + (gzA)

VA= V2

(PA/ρ) = (P1/ρ) + (gz1) - (V22/2) - (gzA) =

(PA/ρ) = (P1/ρ) + g(z1 – zA) - (V22/2) =

180

Exemplo

PA = 1,01 x 105 N/m3 + 999 kg/m3 x 9,81 m/s2 x (-1m)

((N.s2)/(kg.m)) – (1/2) x 999 kg/m3 x (11,7 m/s)2 x

(N.s2/(kg.m)) =

PA = 22,8 kPa (abs)

181

Cavitação

182

A cavitação é um fenômeno originado em quedas

repentinas de pressão, geralmente observado em

sistemas hidráulicos. A combinação entre a pressão,

temperatura e velocidade resulta na liberação de

ondas de choque e micro-jatos altamente energéticos,

causando a aparição de altas tensões mecânicas e

elevação da temperatura, provocando danos na

superfície atingida.

Cavitação

183

Precauções

Escoamento sem atrito

1. Tubos muito longos e/ou estreitos

2. Camada limite, com ou sem separação

Escoamento incompressível

1. Martelo hidráulico

184

Precauções

Escoamento permanente

1. Regime turbulento

LC’s conhecidas

1. Regime turbulento

Presença de máquinas

185

Teoria da obstrução

186

Aplicações Projeto e construção de medidores para

Controle de processos industriais

Compra e venda de fluidos

187

Teoria da Obstrução

188

Teoria da Obstrução

189

Medidores mais usados

190

Medidores comerciais

191

Lista de exercício Equação de Bernoulli:

3.153, 155, 156, 157, 158, 161, 165, 169, 175

192

Escoamento com atrito em dutos

193

Aplicações Dimensionamento de tubulações para

demanda industrial e residencial

Cálculo da vazão estabelecida em sistemas

de tubulação existentes ou projetados

Dimensionamento de bombas, ventiladores,

compressores

194

Perdas de Carga

195

Perdas de Carga

196

Na engenharia trabalhamos com energia dos fluidos por unidade de peso, a qual denominamos “carga”;

O escoamento em tubulações sofre uma forte influência das paredes, dissipando energia devido ao atrito.

As partículas em contato com a parede, ou seja, velocidade nula, e passam a influir nas partículas vizinhas através da viscosidade e da turbulência, dissipando energia.

Perdas de Carga

197

Sabe-se que no escoamento de fluidos reais, parte de sua energia dissipa-se em forma de calor e nos turbilhões que se formam na corrente fluida;

Essa energia é dissipada para o fluido vencer a resistência causada pela sua viscosidade e a resistência provocada pelo contato do fluido com a parede interna do conduto, e também para vencer as resistências causadas por peças de adaptação ou conexões (curvas, válvulas, ....)

Perdas de Carga

198

Chama-se esta energia dissipada pelo fluido de PERDA DE CARGA (hp), que tem dimensão linear, e representa a energia perdida pelo líquido por unidade de peso, entre dois pontos do escoamento. A perda de carga pode ser distribuída ou localizada, dependendo do motivo que a causa:

Perda de Carga Distribuída

Perda de Carga Localizada

199

Perdas de Carga Localizada


200

Este tipo de perda de carga é causado pelos acessórios de canalização, isto é, as diversas peças necessárias para a montagem da tubulação e para controle do fluxo do escoamento, que provocam variação brusca da velocidade, em módulo ou direção intensificando a perda de energia nos pontos onde estão localizadas. O escoamento sofre perturbações bruscas em pontos da instalação tais como em válvulas curvas, etc.

Perdas de Carga Distribuída

201


202

A perda de carga distribuída a parede dos dutos retilíneos causa uma perda de pressão distribuída ao longo do comprimento do tubo, fazendo com que a pressão total vá diminuindo gradativamente ao longo do comprimento e por isso é denominado de Perda de Carga Distribuída


203

A perda de carga é uma função complexa de diversos elementos tais como:

Rugosidade do conduto;

Viscosidade e densidade do líquido;

Velocidade de escoamento;

Grau de turbulência do movimento;

Comprimento percorrido.

Efeito do atrito

Implica que p1 = p2

Considerando o atrito,

Do teorema de Buckingham

204

Efeito do atrito

Resultados originais de

Nikuradse (1933) 205

Método de Moody

O ábaco de Moody é um dos mais utilizados

para o cálculo de perda de carga distribuída.

Entra-se com o valor de e/D (rugosidade

relativa) e o número de Reynolds, obtendo-se o

falor de f (coeficiente de atrito)

206

O Diagrama de Moody

Os resultados de Nikuradse foram refinados e

modernizados

Uma equação válida para toda a faixa usual de

Re foi obtida por Colebrook (1939)

O resultado foi sintetizado no diagrama de

Moody.

207

Rugosidade de Tubos Comerciais

209

Equações para f

Para escoamento laminar:

Lembrando que

Mas,

Logo,

210

Equações para f Atualmente o diagrama não é mais utilizado

Escoamento turbulento, expressões implícitas

211

Equações para f Escoamento turbulento, expressões implícitas

212

Tubos não circulares (duto) Uso prático: dutos de ar

condicionado e ventilação, dutos de escape de gases de combustão, etc

Em geral, dutos com grande área de seção não são circulares

Também não são quando a vedação não for problema

O escoamento laminar em dutos possui solução analítica geral (via transformações conformes)

213

Tubos não circulares (duto) No caso anterior:

Aqui, como a pressão age na área e o atrito age no

perímetro molhado, tem-se

Para evitar o aparecimento de outro grupo adimensional,

criamos um diâmetro equivalente, Dh

214

Dutos A definição é de forma que na geometria circular,

Dh= D

Mas, f= fduto? O diagrama de Moody pode ser

usado?

Teoricamente não, mas na prática, diferença de

±40% no caso laminar e ±15 no turbulento, o que

justificaria o uso

Razoável. Mas porque é pior no caso laminar?

215

Dutos As soluções analíticas são:

Pode-se compensar as diferenças do caso turbulento introduzindo-se um diâmetro efetivo, Def= 0.64Dh

Coincidentemente funciona para o laminar também...

Isso também acontece com outras geometrias não-circulares além da retangular

216

Resumos: Tubos e Dutos

217


218


Acessórios de tubulação

Entradas e saídas

Expansões e contrações

Curvas e joelhos

Válvulas

Divisões (tês e cruzes)

Principal motivo das perdas?

219

Curvas, joelhos, entre outros

220

Válvulas

221

Geometria Típica de válvulas

Comerciais

222

Modelagem Matemática

Falta uma teoria bem estabelecida,

porque as geometrias são complexas

Na verdade, K = f ( Re, G), mas as

tabelas são simplificadas

Cada novo lançamento do mercado

implica em novas tabelas...

As tabelas e gráficos acabam sendo

médias para muitos fabricantes.

As incertezas podem chegar a 50%

224

Coeficiente de Perda de Carga

225

Resumo

A tabela 6.5 não deve ser utilizada, exceto em

caso de não haver outra possibilidade. Foi

apresentada apenas a título de ilustração

O comprimento L é medido pela linha de centro

da tubulação, incluindo as curvas e outros

acessórios

Na prática, valores podem variar em relação às

tabelas e aos gráficos apresentados

231

Exemplo

232

Exemplo

233

Exemplo

234

Exemplo

235

Exemplo

236

Os três tipos de Problema

243

Tipo 1 : calcular a perda de carga

Tipo 2 : calcular a velocidade ou vazão

Tipo 3 : calcular diâmetro (s) do (s) tubo (s)

Solução iterativa

Exemplo Tipo 1

244

Exemplo

245

Exemplo

246

Exemplo Tipo 2

247

Exemplo Tipo 2

248

Exemplo Tipo 2

249

Exemplo Tipo 2

250

Exemplo Tipo 2

251

Exemplo Tipo 3

253

Exemplo Tipo 3

254

Lista de exercícios propostos

255

Cálculo de perdas de carga

Problemas explícitos: 6.43

Problemas iterativos: 76,

Perdas localizadas: 102

256

Redes de Tubulações

257

Escoamentos Externos


258

São escoamentos sobre corpos imersos em um fluido sem fronteiras. escoamento sobre uma placa plana semi infinita cilindro O fluido em contato com a superfície adquire a velocidade do corpo como resultado da condição de não deslizamento Camadas limites formam-se tanto na superfície superior quanto na superfície inferior do corpo.


259

O escoamento da camada limite no início é laminar

A transição para o escoamento turbulento ocorre a alguma distância do ponto de estagnação.

Corrente livre Rugosidade da superfície

Gradiente da pressão

A camada limite turbulenta a jusante da transição cresce mais rapidamente do que a camada laminar montante

Visão Geral

260

Cálculo de forças de arrasto e sustentação

Cálculo dos coeficiente de arrasto e sustentação

Recomendação: revisar detalhes fenomenológicos da camada limite (MFL 1)

Visão Geral

261

O arrasto é uma componente da força sobre um corpo

agindo paralelamente à direção do movimento.

Fd – força de arrasto

d – diâmetro

V – velocidade

ρ – massa específica

μ - viscosidade

Aplicações

262

Aerodinâmica Transporte

Aeronaves automóveis

Foguetes ônibus e caminhões

Projéteis trens

Hidrodinâmica Carga eólica

Embarcações de superfícies edifícios

Submarino pontes

Torpedos torres

e cabos de transmissão

263

Geometria e Número de Reynolds

Justaposição de escoamento

264

Trata-se de resolver

separadamente os

escoamentos na CL e fora

dela e justapor os resultados

Boa aproximação só em alto

Re e/ou corpos alongados

Soluções analíticas existem?

100< Re < 103: não

103 < Re < 106: sim

(laminar)

106 > Re: sim (turbulento)

Justaposição de escoamento

265

Quando é válido: O deslocamento das LC é pequeno A distribuição de pressões ao redor da placa não é muito afetada pela CL –torna-se uma forçantenos cálculos O cálculo pode ser feito pela teoria sem atrito, desconsiderando a CL Válido para a maioria das aplicações em placas planas e aerofólios Inválido na maioria dos escoamentos em torno de corpos rombudos

Separação da camada limite

266

Descrição

Justaposição não

funciona: soluções

numéricas ou por

análise

dimensional

Obs: a parte não

separada pode ser

laminar ou

turbulenta; a parte

separada é sempre

turbulenta

267

Soluções analíticas

Soluções de Von Kármán (1921)

268

Von Kármán (1921)

269

Durante o período compreendido entre 1920 a

1950, onde computadores digitais nem sequer

existiam, o desenvolvimento de aplicações da teoria

da camada limite ocorreu através do

desenvolvimento e aperfeiçoamento dos métodos

integrais. Soluções aproximadas utilizando-se

equações integrais para a camada limite deve-se ao

trabalho pioneiro de Von Kármán publicado em 1921.

Von Kármán (1921)

270

Theodore von Kármán (Kármán Tódor) foi um

físico muitas vezes cognominado como 'pai da era

supersônica'.

Kármán abriu novas perspectivas para a pesquisa de

foguetes . Foi um dos primeiros a construir

helicópteros operáveis e formulou teorias e

desenhos que tornaram possível o desenvolvimento

do avião-foguete Bell X-1.


271


272

Tensões e Forças Totais

273

Resumo

274

Solução válida para

Escoamento sobre superfícies planas de pequena

espessura, pois U= cte.

Camada limite fina, i.e., δ/x= 0,1 ou Re = 2.500

Escoamento laminar –o limite é Re = 3.106,mas o

valor mais comum é Re = 5.105

Superfície lisa ou rugosa.

Exercício

275

Escoamento em CL sobre uma placa plana de 30 cm

de comprimento, U = 0,3 m/s. Calcule a espessura

da CL para ar e água a 20 C.

Exercício

276

Solução de Blasius (1908)

277

Obtida pela resolução analítico-numérica das eqs. de

Navier-Stokes simplificadas

Solução válida para

Escoamento sobre superfícies planas de pequena

espessura, pois U = cte.

Escoamento laminar –o limite é Re = 3.106, mas o

valor mais comum é Re = 5.105

Camada Limite Turbulenta

278

Exercício

279

Um aerobarco 1,2 pés de comprimento e 6 m de

largura é colocado em um fluxo de água de 40 pés

/ s, com ρ= 1,99 slug/ft3 e 𝝊= 0,000011 ft2/s.

A) Estimar a espessura da camada limite no final

da placa. Estimar o atrito para arrastar. B) fluxo

turbulento parede lisa da ponta, c) fluxo laminar

turbulento com Re trans = 5 x 105 . D) fluxo

turbulento parede áspera, com ε = 0,0004 ft

280

a)

281

b)

282

c)

283

d)

284

Resultados Experimentais

Introdução

285

Não existe teoria satisfatória para o escoamento geral em torno de um corpo qualquer

Muitos problemas específicos tem sido tratados com sucesso, mas sem generalidade.

A separação da CL é o grande complicador

Soluções existentes Experimentais (via variáveis adimensionais) Numéricas

Forças e Momentos

286

O escoamento cria 3 forças e 3 momentos

Arrasto e momento de rolamento

Sustentação e momento de guinada

Força lateral e momento de arfagem

Simetria em relação ao plano arrasto-sustentação:

FLat= MG= MR= 0

Simetria também em relação ao plano arrasto-lateral:

FS= 0, MA= 0

Se a simetria existir mas não nos planos da figura, os

esforços existirão. Depende da orientação de V.

Observe a linha de corda principal paralela à

intersecção entre os dois planos anteriores

Eixos e momento

288

Arrasto

289

Arrasto

290

Em geral, temos arrasto de pressão (ou de forma), arrasto de atrito

(ou de película) e arrasto de interferência

Arrasto de pressão é devido à separação da CL, que cria uma

zona de “vácuo” à jusante e não tem modelagem matemática no

caso geral

Arrasto de atrito é modelado pela teoria da tensão cisalhante

Arrasto de interferência aparece quando tentamos representar o

arrasto de um corpo composto como a soma dos arrastos das

partes

Cilindro

291

Cilindro e Esfera

292

Nenhum dos dois componentes do arrasto pode ser

desprezado

A transição Turbulenta

293

Separação ocorre em 82º

(laminar) e 120º(turbulento)

O aumento de arrasto de

atrito no caso turbulento é

compensado pela redução

do arrasto de pressão

O arrasto total é reduzido

Aplicação do efeito a bolas

esportivas

A esteira de Vórtices de Kárman

294

Em uma certa faixa de Re o escoamento emite vórtices

alternados (60 < Re <5.000)

Cada vórtice que se desprende gera uma força de

sustentação no sentido contrário que faz o cilindro/esfera

oscilar

Casos de ressonância podem gerar acidentes graves

com cabos de transmissão, etc.


295

Desde tempos imemoriais a humanidade se

confronta com os fenômenos dos vórtices.

Na Renascença, Leonardo da Vinci estudou e

desenhou o fenômeno dos vórtices ao analisar o

efeito das águas fluindo ao encontro dos pilares de

uma ponte, e provocando uma série de diferentes

vórtice .


296

Theodore von Kármán (1881 – 1963), nascido na

Hungria e falecido nos EUA, foi um grande

especialista em mecânica dos fluidos e, em

aerodinâmica, em particular. Aprofundando os

estudos de Borda, Kármán afirmou que dois corpos

movendo-se separadamente estão livres da

chamada “esteira de vórtice” (vortex street) de Von

Kármán. Entretanto, quando esses corpos são

colocados juntos, lado a lado, há a formação de

vórtice na parte posterior à incidência do fluxo.


297

Experiências e investigações adicionais sobre

vórtices têm sido conduzidos pela NASA – A

Agência Aeroespacial americana, principalmente os

relacionados aos assim chamados vórtices de

Karmann, os quais são significativamente mais

complexos, pois suas características principais se

referem à alternância da direção destes vórtices,

sendo que alguns obedecem ao sentido horário,

outros, ao sentido anti-horário

.


298

O escoamento com número de Reynolds superior a

≈ 45 induz o aparecimento de vórtices

imediatamente após o corpo rombudo, formando a

esteira de vórtices de von Karmann.

O corpo fica então sujeito a forças dinâmicas que

fazem com que o mesmo vibre com freqüências

ligadas às freqüências com que se desprendem os vórtices.

.


299

Este acontecimento foi devido a um colapso gerado por fortes

ventos.


300


301

Iteração

302

O arrasto pode ser

significativamente reduzido

pela proximidade do corpo

com outro corpo ou com

uma superfície

Isso é evidente em

aeronaves (efeito solo), no

vácuo formado atrás de

veículos rodoviários e na

deposição de partículas de

poeira

Corpos Carenados

303

O objetivo é reduzir a extensão e/ou intensidade da separação

em altos números de Re

•Arredondamento do bordo de ataque

•Afilamento do bordo de fuga

Dependendo das restrições de projeto, o carenamento:

•Sempre diminui CA,press

•Pode aumentar CA,atrito

•Pode aumentar o peso de um conjunto

•Pode aumentar ou diminuir a área de uma seção transversal

Existe, portanto, um ponto de projeto ótimo na maioria dos casos

Ponto ótimo

304

Corpos Carenados

305

Exemplo

308

Um bate estaca quadrado com 6 in é acionados por fluxo de

água a 5 ft/s e 20 ft de profundidade conforme mostra a figura

abaixo. Estimar a flexão máxima exercida pelo fluxo na parte

inferior do empilhamento

Exemplo

309

Exemplo

310

Exercício

311

Chaminé ao nível do mar, seção quadrada, h= 52 m, força

lateral máxima = 90 kN, deve suportar ventos de furacão com

145 km/h. Qual a largura máxima?

Exercício

312

Exercício

313

Mais de uma vez o cinema mostrou personagens saltando de

aviões utilizando artefatos redutores de velocidade diferentes

de um pára-quedas. Em um filme destes, os heróis utilizam

um bote inflável e chegam em segurança ao solo. Para

verificar se isto é possível, considere: o pára-quedas de alto

arrasto do US Army tem d = 8,5 m, veloc. terminal = 4,9 m/s

para carga de 200 kg. (a) Calcule o seu coef. de arrasto. (b)

Calcule a velocidade terminal de bote inflável com a mesma

área e carga.

Exercício

314

Exercício

315

Veículos de Rodagem

316

A crise do combustível gerou

interesse na redução do

consumo, inicialmente em

automóveis, posteriormente em

caminhões, ônibus e trens.

Limitações de projeto não

permitem um carenamentoideal

•Comprimento total

•Espaço interno

•Posição ao dirigir

•Visibilidade

•Altura livre do solo

•Pára-lamas


317

Também é preciso minimizar a sustentação (tração e curvas)

•Questões de estilo dificultam o uso de aerofólios

•É possível acelerar o escoamento sob o veículo

A segurança/lei não permitem retirar alguns itens geradores de

arrasto

•Limpadores de pára-brisa

•Espelhos retrovisores

•Espaço nos pára-lamas (resfriamento dos freios, limpeza)

•Placa de licença

A redução da área frontal também apresenta problemas

Pneus

•Radiadores

•Diferencial dianteiro

•Tamanho do motor


318

Área frontal também diminuiu, então FA diminuiu muito.

Por isso se usa CDA

Efeito de pequenas alterações no projeto


319


320

Atrito de Rolamento

321

Exercício

322

Um veículo circula a 80 km/h com uma placa de

propaganda fina na capota.

(a) Calcule a potência para movimentar o conjunto carro +

placa como na fig.

(b) Calcule a potência com a placa paralela ao movimento

do veículo. O carro possui área frontal de 2,5 m2 e a força

de resistência ao rolamento é 55 kgf

Efeitos da Compressibilidade

324

Conclusões Arrasto

325

Corpos de Sustentação

326

Corpos de Sustentação

327

Aerofólios - Terminologia

328

Terminologia

329

Estrutura da Aeronave

330

Asas e Empenagem

331

Forças em Vôo Reto Nivelado

332

Dispositivos de Alta Sustentação

(Flaps e Slats)

333

Flaps e Slats

334

Destruidores de sustentação(Spoilers)

335

Dispositivos de Frenagem

336

•Reversão de empuxo ou

mudança do passo

•Freios aerodinâmicos

•Freios de roda

•Destruidores de sustentação

mecânica dos fluidos ii

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