mecânica aplicada

MECÂNICA APLICADA

CONCEITOS FÍSICOS CONCEITOS FÍSICOS GRANDEZAS FÍSICAS São elementos determinados através de valores numéricos, acompanhados de

suas respectivas unidades de medidas. As grandezas físicas são utilizadas para

enunciar e formular conceitos e leis físicas. Os quadros abaixo apresentam as

seis principais grandezas físicas que chamamos de básicas, bem como as

grandezas derivadas com suas denominações, unidades e equivalências

descritas no sistema internacional (SI).

Tabela de Grandezas Básicas: Grandezas

Básicas Comprimento Massa Tempo Corrente

Elétrica Temperatura

Termodinâmica Intensidade Luminosa

Unidades Básicas

Metro Quilograma Segundos Ampére Kelvin Candela

Símbolo m Kg s A K Cd Tabela de Grandezas Derivadas:

Grandezas Derivadas

Força Pressão Energia / Trabalho

Potência Tensão Elétrica

Unidades Derivadas

Newton Pascal Joule Watt Volt

Símbolo N Pa J W V Relação 1N = 1Kg.m/s2 1Pa = 1 N / m2 1J = 1 N. m 1W = 1 J / s 1V = 1 W / A

Tabela de Grandezas (Tempo, Massa e Pressão): Grandezas Tempo Massa Pressão Tempo Tempo Unidades Derivadas

Minuto Tonelada Megabaria Hora Dia

Símbolo Min T bar h d Relação 1min = 60s 1T = 1000Kg 1bar =

100000Pa 1h = 60min 1h = 3600s

1d = 24h 1d = 86400s

Tabela de Múltiplos e Submúltiplos:

Múltiplos/Submúltiplos do Metro:

Curso Técnico de Mecânica 4

CONVERSÃO DE UNIDADES: Para a conversão de unidades, basta que façamos a substituição do prefixo pelo

fator de multiplicação equivalente. Exemplo:

245 daN em N=> 24,1 . 1ON =>241N

54,7KJ em J=> 54,7 . 1000J=>54.700J

MEDIDAS DE COMPRIMENTO NO S.I.(Sistema Internacional):

A unidade de medida de comprimento no S.I. é o metro (m).

Exercícios: 1. Transforme:

a) 3,4 Km em cm:

b) 140 μm em mm:

c) 256 Kw em Mw:

d) 1023 bar em Mbar:

2. Efetue a soma em mm a) 244,1 cm + 10,5 mm + 16.4 μm + 8,2 dm:

b) 76 μm + 3 cm + 24 cm + 3,2 mm:

3. Converter as unidades: a) 3.345 kg em T =

b) 90 m/s em m/min =

c) 10.558 Pa em bar =

d) 282 W/A em V =

DENSIDADE( ρ )


Definição: é a relação entre a massa do corpo e o seu respectivo volume.

Assim teremos:

ρ = m / V onde: m = massa - em g ou kg

V = volume - em cm3 ou dm3

ρ = densidade ou massa específica – em g/cm3 ou

kg/dm3

Densidade é a função direta entre massa e volume e depende do material dos

corpos: Denominação / Material Densidade (g/cm3)

Água 1

Aço ( liga Fe-C) 7,89 FoFo ( liga Fe-C) 7,2 e 7,3 Aço Inox (liga Fe-C-Cr) 7,0 a 7,84 Zinco (Zn) 7,14 Estanho (Sn) 7,3 Cobre (C) 8,94 Chumbo (Pb) 11,3 Latão (liga Cu-Zn) 8,4 a 8,6 Bronze (liga Cu-Sn) 7,6 a 8,8 Alumínio (Al) 2,7 Magnésio (Mg) 2,7 Níquel (Ni) 8,9 Ouro (Au) 9,32 Fósforo (P) 1,83 Ferro (Fe) 7,85 Carbono (C) 3,51 Mercúrio (Hg) 13,6 Acetileno (C2H2) 1,17 Kg/m3 Oxigênio (O2) 1,43 Kg/m3

Hidrogênio (H2) 0,09 Kg/m3

MASSA: Cada corpo possui uma quantidade definida de material a que chamamos de

massa.

A massa é determinada através do equilíbrio numa balança como uma outra de

quantidade conhecida.

Numericamente definimos a massa como sendo o produto do volume pela

densidade desse material.

m = V . ρ

sendo: m - Massa (g) V - volume (cm3) ρ - densidade (g/cm3)

Não podemos confundir massa com peso, pois a massa é sempre constante e o

peso sempre varia com a localização devido a Força da Gravidade.


A UNIDADE PADRÃO DA MASSA É O QUILOGRAMA (KG) QUE CORRESPONDE À MASSA DE UM CILINDRO DE PLATINA IRIDIADA.

O submúltiplo e o múltiplo usuais do quilograma são, respectivamente, o grama

(g) e a tonelada (t).

1g = 1 / 1000 kg = 10 -3 kg

1t =1000 kg = lO3 kg

A medida da massa de um corpo pode ser feita por meio de uma balança, através

da comparação com massas padrão.

Exercícios: 1. Calcular a massa da peça abaixo em kg, dado densidade do material de

7,89 g/cm3

2. Calcular a densidade da peça abaixo em g/cm3 sabendo-se que sua massa

é de 44,532kg:

3. Determine para a peça de Alumínio abaixo, sua massa e peso.

PESO:


A terra exerce sobre os corpos uma atração direcionada para seu próprio centro.

Essa atração é chamada “força de gravidade” e varia em relação a altitude em

que se encontra o corpo. Além disso, em função do movimento de rotação da

terra, surge uma força centrífuga que é máxima no Equador e nula nos pólos.

Chamamos de peso a resultante dessas forças que atuam nos corpos situados na

superfície terrestre.

Observação: o peso de um corpo varia com a altitude e a posição geográfica. Isaac Newton determinou experimentalmente que qualquer corpo de massa (m)

em queda livre adquire aceleração da gravidade .

Definiu-se que peso é o produto da massa pela aceleração da gravidade. A

aceleração da gravidade depende da natureza dos corpos, mas varia de lugar

para lugar.

Observação: para nossos cálculos e aplicações técnicas consideramos

desprezíveis as diferenças de , considerando-o como 10 m/s2. EXEMPLOS DE ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE:

Equador 9,78 m/s2 Roma 9,80 m/s2

Paris 9,81 m/s2 pólos 9,83 m/s2

Lua 1,62 m/s2 Júpter 26m/s2

Unidades de peso (S.I.)

P = kg . m = N s2

Exercícios: 1. Calcule o peso de 100 g de ouro na terra e na lua.

2. Determine a massa de uma peça de 385 N de peso.

3. Determine o peso de um corpo de massa 100 kg .

4. Determine a aceleração de uma região onde uma peça possui 400N de

peso e uma massa de 25kg.

IINNÉÉRRCCIIAA EE FFOORRÇÇAA


Quando um ônibus “arranca” a partir do repouso os passageiros tendem a

deslocar-se para trás, resistindo ao movimento. Da mesma forma, quando o

ônibus já em movimento freia, os passageiros deslocam-se para frente tendendo

a continuar com a velocidade que possuíam.

Essa característica que os corpos têm de resistir às mudanças do seu estado de

repouso ou de movimento recebe o nome de inércia.

Inércia é a propriedade da matéria de resistir a qualquer variação do seu

estado de movimento ou de repouso.

Por experiência própria, sabemos que os corpos que apresentam maior inércia

são aqueles que apresentam maior massa.

Por exemplo, é mais fácil empurrar um carrinho vazio do que um cheio de

compras.

O carrinho com compras oferecem maior resistência para sair do repouso.

Podemos, então, associar a massa de um corpo a sua inércia, dizendo que a

massa de um corpo é a medida numérica de sua inércia.

VELOCIDADE E ACELERAÇÃO VELOCIDADE MÉDIA


t1 t2

s1 s 2

tsvm Δ

Δ=

12 sss −=Δ

12 ttt −=Δ

vm = velocidade média (unidade: m/s, km/h)

sΔ = deslocamento (m)

tΔ = tempo (s, h)

Transformação de Unidade de Velocidade

s/m6,3

1s3600m1000

hkm1

==

"Para transformar uma velocidade em km/h para m/s, devemos dividir a

velocidade por 3,6. Para transformar uma velocidade em m/s para km/h, devemos

multiplicar a velocidade por 3,6."

Exercícios 1- Quando o brasileiro Joaquim Cruz ganhou a medalha de ouro nas Olimpíadas

de Los Angeles, correu 800m em 100s. Qual foi sua velocidade média?

2- Suponha que um trem-bala gaste 3 horas para percorrer a distância de 750

km. Qual a velocidade média deste trem?

3- O velocímetro de um carro indica 72 km/h. Expresse a velocidade deste carro

em m/s. ACELERAÇÃO Em um movimento, quando há uma variação de velocidade uniformemente com o

tempo, dizemos que neste existe uma aceleração. Numericamente temos:


tvaΔΔ

= sendo: vΔ = v2 - v1

tΔ = t2 - t1

Onde:

a = aceleração (m/s2)

vΔ = variação da velocidade (m/s)

tΔ = variação do tempo (s)

Exercícios 1- Entre 0 e 3s, a velocidade de um helicóptero em MUV varia de 4 m/s para 21

m/s. Qual a sua aceleração?

2- Um rapaz estava dirigindo uma motocicleta a uma velocidade de 20 m/s

quando acionou os freios e parou em 4s. Determine a aceleração imprimida pelos

freios à motocicleta.

FORÇAS Quando acontece uma interação entre corpos podem ocorrer variações na

velocidade, deformações ou ambos os fenômenos.

As causas dessas variações ou deformações são denominadas forças. Quando

um corpo é abandonado de uma determinada altura, cai com movimento

acelerado devido à força de atração da Terra.

Ao chutarmos uma bola, o pé faz sobre

ela uma força que além da deformação,

inicia - lhe o movimento. As Forças se classificam em:

FORÇA DE CONTATO - Quando as superfícies dos corpos que interagem se

tocam. Exemplo: interação pé-bola.

FORÇA DE CAMPO - Quando as superfícies dos corpos que interagem não se

tocam. Exemplo: interação terra-maçã, magnetismo.

Em Dinâmica vamos tratar com forças cujo efeito principal é causar variações na

velocidade de um corpo, isto é, aceleração.


“Forças são interações entre corpos, causando variações no seu estado de

movimento, repouso ou deformação”.

Tal qual a aceleração, a força é uma grandeza vetorial, exigindo, portanto, para

que seja caracterizada:

I. Ponto de contato II. Intensidade (módulo)

III. Direção ( θ )

IV. Sentido.

A unidade de força no SI é o Newton (N), definida no capítulo referente ao Peso.

FORÇA RESULTANTE Seja uma partícula na qual estão aplicadas várias forças. Esse sistema de forças

pode ser substituído por uma única força, a força resultante, que é capaz de

produzir na partícula o mesmo efeito que todas as forças aplicadas.

Exemplo Prático: Duas forças concorrentes F1 e F2 de intensidade 4N e 3N atuam num mesmo

ponto material, formando um ângulo α entre si. Determinar a intensidade da força

resultante para os seguintes valores de α.

a) 0º b) 60º c) 90º d) 180º

Resolução:

A força resultante é obtida vetorialmente pela soma das forças:

FR= F1 + F2


Escalarmente, cada item apresenta uma resolução particular:

a- Sendo α =0º, as forças têm mesma direção e mesmo sentido:

A intensidade da força resultante será:

FR = F1 + F2

FR = 4 + 3

FR =7N

b- Para α = 60º

Utiliza-se a expressão:

N1,6FN37F2134234F

º60cosFF2FFF

RR

22R

2122

21R

≅⇒=

×××++=

++=sendo cos 60º =

21

c- Para α = 90º aplicamos o teorema de Pitágoras:

d- Sendo α = 180º, as forças têm mesma direção e sentidos contrários:

34FFFF R21R −=⇒−=Curso Técnico de Mecânica 13

A intensidade da força resultante será:

N1FR =

Exercícios: 1- Determine a intensidade da força resultante em cada um dos sistemas de

Forças concorrentes.

EQUILÍBRIO Um ponto material está em equilíbrio quando a resultante das forças que nele

atuam é nula. Podemos distinguir dois casos:

a- Equilíbrio estático Um ponto material está em equilíbrio estático quando está em

repouso, isto é, sua velocidade vetorial é nula no decorrer do

tempo.

pousovFR Re

00

⎭⎬⎫

==

r

r

b- Equilíbrio dinâmico

O equilíbrio é dito dinâmico quando o ponto material estiver em

movimento retilíneo e uniforme, isto é, sua velocidade vetorial é

constante e diferente de zero.

MRUctev

FR

⎭⎬⎫

≠==

00

r

r

SEGUNDA LEI DE NEWTON Quando se aplica uma Força em um corpo de massa m, este adquire uma

aceleração.

F = m x a Curso Técnico de Mecânica 14

F = força (N)

m = massa (kg)

a = aceleração (m/s2)

Unidade de força no SI: Newton (N)

Exercícios 1- Um corpo com massa de 0,6kg foi empurrado por uma força que lhe

comunicou uma aceleração de 3m/s2. Qual o valor da força?

2- Um caminhão com massa de 4000kg está parado diante de um sinal luminoso.

Quando o sinal fica verde, o caminhão parte em movimento acelerado e sua

aceleração são de 2m/s2. Qual o valor da força aplicada pelo motor?

3- Sobre um plano horizontal perfeitamente polido está apoiado, em repouso, um

corpo de massa m=2 kg. Uma força horizontal de 20 N, passa a agir sobre o

corpo. Qual a velocidade desse corpo após 10 s?

4- Um corpo de massa 2 kg passa da velocidade de 7 m/s à velocidade de 13

m/s num percurso de 52 m. Calcule a força que foi aplicada sobre o corpo nesse

percurso.

FORÇA DE ATRITO "Quando um corpo é arrastado sobre uma superfície rugosa, surge uma força de

atrito de sentido contrário ao sentido do movimento".

N

M FFat


Fat = μ .N

Sendo:

Fat = força de atrito (N)

μ = coeficiente de atrito

N = normal (N), para força aplicada paralela ao plano, considera-se a Normal N,

igual à força Peso P.

Sobre um corpo no qual aplicamos uma força F, temos:

F - Fat = m.a

Exercícios 1- Um bloco de massa 8 kg é puxado por uma força horizontal de 20N. Sabendo

que a força de atrito entre o bloco e a superfície é de 2N, calcule a aceleração a

que fica sujeito o bloco. Dado: g = 10 m/s2.

2- Um bloco de massa 10 kg movimenta-se numa mesa horizontal sob a ação de

uma força horizontal de 30 N. A força de atrito entre o bloco e a mesa vale 20 N.

Determine a aceleração do corpo.

3- Um corpo de massa m = 5 kg é puxado horizontalmente sobre uma mesa por

uma força F = 15 N. O coeficiente de atrito entre o corpo e a mesa é μ = 0,2.

Determine a aceleração do corpo. Considere g = 10 m/s3.

4- Um bloco de massa 2 kg é deslocado horizontalmente por uma força F = 10 N,

sobre um plano horizontal. A aceleração do bloco é 0,5 m/s2. Calcule a força de

atrito.

TTRRAABBAALLHHOO DDEE UUMMAA FFOORRÇÇAA

O significado da palavra trabalho, em Física, é diferente do seu significado

habitual, empregado na linguagem comum.


“Trabalho, em Física, é sempre relacionado a uma força e a um deslocamento.

Uma força aplicada a um corpo realiza trabalho quando produz um deslocamento

do corpo”.

Temos dois casos:

1º caso: A força tem a mesma direção do deslocamento

Consideremos um ponto material que, por causa da força F, horizontal e

constante, se movimenta da posição A para a posição B, sofrendo um

deslocamento d.

O trabalho de F no deslocamento AB é dado por:

dFB,A ⋅=τ

A unidade de trabalho, no Sistema Internacional, é o Nxm chamado joule e se

indica J.

Se a força F tem o mesmo sentido do deslocamento o trabalho é dito motor. Tem-

se sentido contrário o trabalho é denominado resistente.

Por convenção:

0e0 resistentemotor <> ττ

Exemplo Um ponto material desliza num plano horizontal, sem atrito, submetido à ação da

força horizontal F=80N. Calcular o trabalho dessa força em um deslocamento de

7m no mesmo sentido dessa força.

Resolução:

780dF B,AB,A ⋅=⇒⋅= ττ

J560B,A =τ

2º caso: A força não tem a mesma direção do deslocamento

Consideremos um ponto material que sob a ação da força F passa da posição A para a posição B sofrendo um deslocamento d.


Decompondo a força F, temos:

O trabalho da componente Fy no deslocamento d é nulo, pois não há

deslocamento na direção y; logo, somente Fx realiza trabalho, dado por:

dFxFxFB,A ⋅=== τττ

Mas Fx = F cos α ; portanto:

α⋅⋅=τ cosdFB,A

Observação: Se a força F for perpendicular à direção do deslocamento o trabalho de F é nulo,

pois cos 90º = o.

Exemplo: Um ponto material é deslocado de 1Om pela força F = 50N indicada na figura.

Determine o trabalho realizado pela força F no deslocamento AB.

Resolução:

Curso Técnico de Mecânica 19J250B,A =τ

211050

º60cos1050

B,A

B,A

⋅⋅=

⋅⋅=

ττ

α⋅⋅=τ cosdFB,A

PROPRIEDADE Podemos calcular o trabalho de uma força F, constante, utilizando o gráfico:

A área A é numericamente igual ao módulo do trabalho da força F no

deslocamento de A para B.

Exemplo: O gráfico representa a intensidade de uma força F aplicada a um ponto material,

em função da posição sobre uma trajetória.

Sabendo que o trabalho realizado pela força no deslocamento de 0 a 5m é de

600J, calcular F.

Resolução:

Da figura, temos:

N120F6005FA 50

=

=⋅⇒= ⋅τ

Exercícios: 1- Uma caixa desliza num plano sem atrito sob a ação de uma força F de

intensidade 60N. Determine o trabalho dessa força em um deslocamento de 12m,

no mesmo sentido dessa força.


2- A força F indicada na figura tem intensidade 8N. Ache o trabalho dessa força

num deslocamento de 5m. Dado cos 30º =0,8.

3. Um ponto material, de massa 6kg tem velocidade de 8m/s quando sobre ele

passa a agir uma força de intensidade 30N na direção do movimento, durante 4s.

Determine:

a) Deslocamento durante esses 4s.

b) Trabalho realizado nesse deslocamento.

TRABALHO DA FORÇA PESO Consideremos um corpo de massa m, lançado do solo, verticalmente para cima, e

atingindo uma altura h ou abandonado da mesma altura em relação ao solo, num

local onde a aceleração da gravidade é igual a g. Como o corpo fica sujeito à

força peso P, ela realiza um trabalho resistente durante a subida e um trabalho

motor durante a descida.

Note que o trabalho da força peso independe da trajetória, isto é, depende

somente das posições inicial e final do corpo. Forças com essa característica são

chamadas forças conservativas.


Trabalho da força peso durante os trajetos AB, AC e AD são iguais, isto é:

mghD.AC.AB.A −=== τττ

Exemplo: Um homem levanta uma caixa de massa 8kg a uma altura de 2 metros em

relação ao solo, com velocidade constante. Sabendo que g = 1Om/s2, determinar

o módulo do trabalho realizado pela força peso.

Exercícios: 1- Um garoto abandona uma pedra de 0,4kg do alto de uma torre de 25 metros

de altura. Dado g=10m/s2 , calcule o trabalho realizado pela força peso de até a

pedra atingir o solo.

2- O carrinho indicado na figura tem massa de

100kg. Calcule o trabalho realizado para levá-lo de A

até B com velocidade constante. Adote g= 10m/s2.

3- Um bloco de massa 4,5kg é abandonado em repouso em um plano inclinado.

O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é 0,5.

a) Calcule a aceleração com que o bloco desce o plano.

b) Calcule os trabalhos da força peso e da força de atrito no percurso de A até B.

PPOOTTÊÊNNCCIIAA

A definição de trabalho não envolve o tempo gasto para realizá-lo, embora seja

um dado muito importante para estudar a eficiência da força que o realiza.

Consideremos duas pessoas que realizam o mesmo trabalho.


Se uma delas leva um tempo menor que a outra para a realização desse trabalho,

tem de fazer um esforço maior e, portanto, dizemos que desenvolveu uma

potência maior.

Uma máquina é caracterizada não pelo trabalho que efetua, mas pelo trabalho

que pode efetuar em determinado tempo; daí a noção de potência.

“Define-se como potência média o quociente do trabalho desenvolvido por uma

força e o tempo gasto em realizá-lo”. Matematicamente tem-se:

tPm Δ

=τ

A unidade de potência no Sistema Internacional é o watt ( W ). Duas outras unidades de potência são o cavalo-vapor e o horse-power cujas

relações são:

1CV ≅ 735W

1HP ≅ 746W

Como o watt é uma unidade de potência muito pequena, mede-se a potência em

unidades de 1 000W, denominada quilowatts.

1kW=1000W

Exemplo Calcular a potência média desenvolvida por uma pessoa que eleva a 20 metros

de altura, com velocidade constante, um corpo de massa 5kg em 10 segundos.

W100P10

20.10.5p

tmghP

tP

m

m

mm

=

=

Δ=⇒

Δ=τ

Exercícios: 1- Determine a potência de um dispositivo para elevar um corpo de massa 100Kg

a uma altura de 80 metros em 20 segundos. Adote g=10m/s2.


2- Um motor de um automóvel fornece uma potência de 10CV. Sabendo que o

automóvel tem a velocidade constante de 72Km/h, determine a força que ele

desenvolve.

3- O guindaste da figura eleva a cada 5s, e à altura de 4m, 10 fardos de 1470 Kg

cada um. Determine a potência desse guindaste em CV. Adote g=10m/s2.

RREENNDDIIMMEENNTTOO

Uma máquina não cria trabalho; sua função é transmiti-lo.

A força aplicada a uma máquina desenvolve um trabalho chamado trabalho motor

ou trabalho total.


Uma parte desse trabalho comunicado à máquina se perde para vencer as

resistências passivas, representadas pelo atrito. Esse trabalho perdido é chamado

trabalho dissipado.

Denominando trabalho útil aquele que a máquina nos devolve, e utilizando o

princípio da conservação do trabalho, temos:

Em que:

τt= trabalho total ou trabalho motor.

τu= trabalho útil.

τd= trabalho dissipado.

Relacionando com a potência, temos:

Pt=Pu+Pd Em que:

Pt = potência total.

Pu = potência útil.

Pd = potência dissipada.

“Denomina-se rendimento de uma máquina o quociente entre a potência útil e a

potência total e indicamos pela letra grega η (éta)”.

t

u

PP

=η

Exemplo O rendimento de uma máquina é de 80%. Sabendo-se que ela realiza um trabalho

de 1 000J em 20s, determinar a potência total consumida pela máquina.

Resolução:

O trabalho realizado pelo motor é útil, logo:

t

u

PP

=η

Para o cálculo da potência total, temos:


W5,62PP508,0

PP

t

tt

u

=

=⇒=η

Exercícios: 1- Uma máquina fornece o trabalho útil de 600J. Sabendo que seu rendimento é

de 60%, calcule o trabalho perdido.

2- Numa casa, a água é retirada de um poço de 12 metros de profundidade com

auxílio de um motor de 6kW. Determine o rendimento do motor, se para encher

uma caixa de 9000 litros decorre um tempo de 1 hora. Dados: g=10m/s2 e

μágua=1kg/l.

3- Um automóvel de massa 800kg percorre um trecho de estrada reto e

horizontal, de comprimento AB=1000m. A seguir, sobe uma rampa de declividade

constante, de comprimento BC=500m, sendo que o ponto C está 20m acima do

plano horizontal que contém AB. A velocidade do automóvel é constante e igual a

72km/h.

a) Qual o trabalho da força peso nos trechos AB e BC?

b) Qual a potência desenvolvida pelo motor do automóvel no trecho em rampa,

sabendo-se que as perdas por atrito equivalem a uma força igual a 10% do

peso do veículo?

EENNEERRGGIIAA

Quando dizemos que uma pessoa tem energia, supomos que tem grande

capacidade de trabalhar. Quando não tem energia, significa que perdeu a

capacidade de trabalho.


Então, podemos dizer que um sistema ou um corpo tem energia quando tem a

capacidade de realizar trabalho.

O vocábulo energia vem do grego ergon, que quer dizer trabalho.

A energia manifesta-se sob várias formas, segundo o agente que a produz.

Energia mecânica: na queda dos corpos.

Energia térmica: na máquina a vapor.

Energia elétrica: na pilha.

Na Mecânica, estudaremos a energia que pode se apresentar, basicamente, sob

duas formas:

Energia cinética ou de movimento;

Energia potencial ou de posição.

I. Energia cinética A água que corre, o vento que sopra, um corpo que cai, a bala que sai da boca de

um canhão etc. têm energia, pois podem produzir trabalho quando encontram

algum obstáculo.

A água corrente pode acionar uma turbina, o vento impulsiona barcos a vela, faz

girar moinhos, a bala de um canhão derruba prédios.

Esse tipo de energia que os corpos têm devido ao movimento é denominado

ENERGIA CINÉTICA.

Fórmula matemática da Energia Cinética Suponha um corpo de massa m, inicialmente em repouso, sobre o qual passa a

agir uma força de intensidade F durante um tempo t.

Após esse tempo a velocidade do corpo é v e o deslocamento é d.

A energia adquirida pelo corpo é igual ao trabalho realizado por F.

E = τ = F.d = m.a.d


Mas o deslocamento é dado por:

2at21d =

Substituindo em , vem:

222 tma21Emaat

21E =⇒=

Como v = a.t, temos:

2mv21E = ou 2

c mv21E =

Esta é a fórmula matemática da energia cinética de um corpo de massa m e

velocidade v e representa o trabalho realizado pela força F para aumentar a

velocidade do corpo desde zero até v.

Exemplo: Consideremos um ponto material de m assa 6kg, inicialmente em repouso sobre

um plano horizontal liso. No instante t = 0, passa a agir sobre o ponto material

uma força F = 12N, durante 10s.

a) Qual o trabalho realizado por F?

b) Qual a energia cinética do ponto material no instante 10s?

1) Cálculo da aceleração:

a612maF =⇒= 2s/m2a =

2) Cálculo do deslocamento:


m100d

102210d

at21tvssat

21tvss

2

200

200

=

⋅⋅+=

+=−⇒++=

3) Cálculo do trabalho:

J12001012dF

=⋅=⇒⋅=

τττ

4) Cálculo da velocidade:

s/m20v1020vatvv 0

=

⋅+=⇒+=

5) Cálculo da energia cinética:

J1200E

20621Emv

21E

c

2c

2c

=

⋅⋅=⇒=

Exercícios: 1- Calcule a energia cinética de um corpo de massa 8kg no instante em que sua

velocidade é de 72km/h.

2- Consideremos um ponto material de massa 8kg, inicialmente em repouso,

sobre um plano horizontal liso. Sabendo que sobre ele passa a agir uma força

horizontal de intensidade 32N, calcule:

a) o trabalho realizado pela força horizontal durante 10s.

b) a energia cinética do ponto material no instante 16s.

II. Energia potencial A água parada em uma represa, uma pedra suspensa no ar, uma mola

comprimida.


Esse tipo de energia armazenada pelos corpos devido a suas posições é

denominado ENERGIA POTENCIAL.

Fórmula matemática da Energia Potencial Um corpo ou um sistema de corpos pode ter forças interiores capazes de

modificar à posição relativa de suas diferentes partes, realizando assim um

trabalho.

Dizemos, então, que o corpo ou o sistema de corpos tem energia potencial.

Como exemplo podemos citar a água contida numa represa a certa altura.

Abrindo as comportas, a água atraída pela gravidade coloca-se em movimento e

realizará trabalho.

Um outro exemplo é o de uma mola comprimida ou esticada.

Ficando livre da força do operador, a força elástica da mola fará o corpo se

movimentar produzindo trabalho.

A energia potencial é denominada também energia de posição, porque se devem

à posição relativa que ocupam as diversas partes do corpo ou do sistema.

A ENERGIA POTENCIAL devida à gravidade é chamada energia potencial gravitacional e aquela devida à mola é denominada energia potencial elástica.

a. Energia potencial gravitacional Consideremos um corpo de massa m, sobre o solo, num local onde a aceleração

da gravidade é g.


O trabalho para uma pessoa (força F) elevar o corpo até a altura h, com

velocidade constante, fica armazenado no corpo sob forma de energia potencial

gravitacional dada por:

mghEmghhP

gravP ==⇒⋅= ττ

Observação: Para o cálculo da energia potencial gravitacional adotamos o solo como nível de

referência, isto é, nesse nível a energia potencial gravitacional é nula.

b. Energia potencial elástica Consideremos uma mola de constante elástica k, presa a uma parede por uma

extremidade não distendida.

Consideremos também um agente externo puxando essa mola.

A força que a mola opõe à sua deformação é dada por:

F = k.x, onde:

x é a deformação sofrida pela mola;

Podemos representar esta deformação x graficamente, como:


Eixo Y – Deformação da mola;

Eixo X – Força aplicada na mola;

Sendo:

O trabalho que o agente externo realiza para vencer a resistência da mola (área

A) é igual à energia que ele transfere para ela, e fica armazenada como energia

elástica, dada por:

2Kx

2Kxx

2

FxA

2

=

⋅=

⋅⇒=

τ

τ

ττ

ou 2

KxE2

Pelástica

=

-

Exemplo 1 Um corpo de massa 4kg encontra-se a uma altura de 1 6 metros do solo.

Admitindo o solo como nível de referência e supondo g = 1 Om/s2, calcular sua

energia potencial.

Resolução:

J640E

16104EmghE

grav

gravgrav

P

PP

=

⋅⋅=⇒=

Exemplo 2 Uma mola de constante elástica k = 400N/m é comprimida de 5cm. Determinar

sua energia potencial elástica.

Resolução:

( )

J5,0E2

05,0400E2

KxE

elástica

elásticaelástica

P

2

P

2

P

=

⋅=⇒=

Exemplo 3 Um trem cuja massa é m= 50 toneladas passa por uma estação A, no topo da

serra do Mar, com velocidade vA= 20m/s e pára numa estação B situada na


baixada santista. Sabe-se que a altura da serra do Mar é h = 700m e o percurso

realizado pelo trem entre as estações A e B é d = 10km.

Dado g = 1Om/s2, determinar a intensidade do valor médio da força dissipativa

atuante no trem durante a descida.

Resolução:

Tomando como nível de referência a baixada santista, pelo teorema da energia

cinética, temos:

( )

N36000F1000F35000

20500002110000F7001050000

mv210Fdmgh

mv21mv

21

EE

2

2A

2A

2Badissipativ.forçapeso

CCtotal inicialfinal

=−=−

⋅⋅−=⋅−⋅⋅

−=−

−=+

−=

τττ

Exercícios: 1- Um corpo de massa 20Kg está localizado a 6 metros de altura em relação ao

solo. Dado g=9,8m/s2, calcule sua energia potencial gravitacional.

2- Uma mola de constante elástica k= 600N/m tem energia potencial elástica de

1200J. Calcule a sua deformação.

ENERGIA MECÂNICA TOTAL Denominamos energia mecânica total de um corpo a soma das energias cinética

e potencial, isto é:

EM=EC+EP

Nesta fórmula, a parcela EP inclui a energia potencial gravitacional e a energia

potencial elástica.

MMOOMMEENNTTOO DDEE UUMMAA FFOORRÇÇAA

INTRODUÇÃO


Ë mais fácil abrir uma porta quando aplicamos a força cada vez mais distante do

eixo de rotação.

Portanto há uma relação entre a força aplicada e a distância do ponto de

aplicação ao eixo de rotação.

A grandeza física que relaciona essa distância com a força aplicada é

denominada momento.

DEFINIÇÃO “Momento de uma força F, em relação a um ponto O fixo, é o produto da

intensidade da força F pela distância d do ponto à reta suporte da força”.

Consideremos a força F aplicada a uma chave, encaixada no parafuso preso a

um suporte.

Sob a ação da força F a chave gira em torno do ponto O. O momento da Força F

em relação ao ponto O é dado por:

MF.O = F . d Em que:

d = braço do momento.

O = pólo do momento.

A unidade de momento no Sistema Internacional é o N.m.

Observações: I. O momento de uma força tende sempre a causar um movimento de

rotação, sob a ação desta força, em torno do ponto O considerado.


II. O momento de uma força F, em relação a um ponto O, pode ser negativo

ou positivo. A convenção de sinais é arbitrária, porém adotaremos a seguinte:

Rotação no sentido anti-horário - Momento positivo.

Rotação no sentido horário - Momento negativo.

EXEMPLO 1 A pessoa indicada na figura aplica-se uma força F vertical, para cima, de inten-

sidade 40N em uma chave disposta horizontalmente, para girar um parafuso.

Achar o momento dessa força em relação ao ponto O.

Resolução:

⎩⎨⎧

===

m2,0cm20dN40F

DADOS

Nm82,040dFM OF =⋅=⋅=⋅

Exemplo 2 Uma régua de 30cm de comprimento é fixada numa parede no

ponto O, em torno do qual pode girar.


Calcular os momentos das forças F1 e F2 de intensidades 50N e 6ON,

respectivamente, em relação ao ponto O.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

====

m3,0cm30dN60FN50F

DADOS 2

1

Resolução:

O momento de F1, em relação a O é nulo, pois a distância do ponto O até a linha

de ação de F1, é nula.

Nm18M

0M

Nm183,060dFM

02F

0F

20F

1

2

−=

=

−=⋅−=⋅−=

⋅

⋅

⋅

Exercícios: 1- O menino indicado na figura aplica uma força F vertical, para baixo, de

intensidade 20N em uma chave disposta horizontalmente para girar um parafuso.

Calcule o momento dessa força em relação ao ponto O.

2- Determine o momento das forças F1 , F2 e F3 de intensidades,

respectivamente, iguais a 5N, 6N e 8N, em relação ao pólo O.

MMOOMMEENNTTOO RREESSUULLTTAANNTTEE


Se um corpo está sob a ação de várias forças, o momento resultante desse

sistema de forças em relação a um ponto é a soma algébrica dos momentos das

forças componentes em relação ao mesmo ponto.

Exemplo: Considerar as forças atuantes sobre a barra AB de peso desprezível indicadas na

figura.

Determinar:

a) Momento de cada uma das forças em relação ao ponto O.

b) Momento resultante em relação ao ponto O.

Resolução:

a)

Nm547,.220OBFM

Nm122,110ODFM

Nm616COFM

Nm2438AOFM

40F

30F

20F

10F

4

3

2

1

−=⋅−=⋅−=

=⋅=⋅−=

=⋅=⋅+=

−=⋅−=⋅−=

⋅

⋅

⋅

⋅

b)

Nm60M

5412624M

MMMMM

0

0

0F0F0F0F0 4321

−=

−++−=

+++=

∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅

Se o momento resultante é negativo, isto significa que a barra gira no sentido

horário.

Exercício: 1- Determinar para o eixo árvore ao

lado, as reações R1 e R2:

MMÁÁQQUUIINNAASS SSIIMMPPLLEESS


O Homem com suas descobertas e criações, lentamente começou a compreender

a natureza e aprendeu a controlá-la e a aproveitá-la.

Para levantar e locomover grandes pesos acima de sua capacidade muscular, o

homem criou dispositivos que facilitam sua ação.

Esses dispositivos práticos são chamados de máquina simples.

As mais comuns são a talha exponencial e a alavanca:

I. Talha exponencial Consiste em uma associação de polias móveis com uma só polia fixa, como

indica a figura.

Para que a talha permaneça em equilíbrio, temos: O peso R é equilibrado por duas forças de intensid. R/2.

nm 2R

=F

Onde: Fm = força motriz.

R = força resistente.


VANTAGEM MECÂNICA (VM) Denomina-se vantagem mecânica da talha a relação entre a força resistente e a

força motriz.

VM mF

R=

Neste exemplo, se R = 3200N, a força que a pessoa deveria exercer para

equilibrar o sistema seria Fm = 200N, isto é, dezesseis vezes menor que o peso R.

Logo, a vantagem mecânica dessa máquina seria igual a 16.

EXEMPLO O corpo indicado na figura está em equilíbrio estático.

Calcular a intensidade da força e a vantagem mecânica da talha exponencial.

Resolução:

N10008

80002

80002RF 3n ==⇒=

810008000VM

FRVM ==⇒=


Exercícios: 1- Ache a intensidade da força Fm que o homem está fazendo para equilibra o

peso de 400N. O fio e a polia são ideais.

2- Considere o esquema representado na figura. As roldanas e a corda são

ideais. O corpo suspenso da roldana móvel tem peso P=600N

a) Qual o módulo da força vertical (para baixo) que o homem deve exercer sobre

a corda para equilibrar o sistema?

b) Para cada 1 (um) metro de corda que o homem puxa, quanto se eleva o corpo

suspenso?


II. Alavanca “É uma barra que pode girar em torno de um ponto de apoio”.

Existem três tipos de alavancas:

alavanca interfixa; alavanca inter-resistente; alavanca interpotente

a. Alavanca interfixa

Em que: Fm = força motriz ou força potente.

R = força resistente ou resistência.

N = força normal de apoio.

AO = braço da força motriz.

OB = braço da força resistente.

Como exemplos, podemos citar as balanças e as tesouras.

b. Alavanca inter-resistente

Como exemplos, temos o carrinho de mão e o quebra-nozes.

c. Alavanca interpotente

Exemplos: pinça e o pegador de gelo.


CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO DE UMA ALAVANCA Considere a alavanca interfixa da figura.

Para que a alavanca permaneça em equilíbrio, na posição horizontal, devemos

ter:

0AOF0BOR

0MMM0M 0F0N0R0

=⋅−+⋅

=++⇒= ⋅⋅⋅∑

AOFBOR ⋅=⋅

Note que o produto da força resistente pelo seu braço é igual ao produto da força

motriz pelo seu braço.

Esta relação, embora demonstrada para a alavanca interfixa, é válida também

para as alavancas inter-resistentes e interpotentes.

Exemplo: Considerar a alavanca de peso desprezível indicada na figura.

Sabendo-se que ela está em equilíbrio e disposta horizontalmente, determinar a

intensidade de F.

Resolução:

Representando as forças sobre a alavanca, temos:

Para que ela fique em equilíbrio, devemos ter:

N100F4004F

22004FBCRACF

==⋅

⋅=⋅⇒⋅=⋅

Exercícios:


1- Calcule o peso do garoto indicado na figura para que a barra de peso

desprezível permaneça em equilíbrio na posição horizontal.

2- A barra indicada na figura tem peso desprezível e está em equilíbrio na

posição horizontal. Determine X.


mecânica aplicada

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