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ME623 Planejamento e Pesquisa

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ME623Planejamento e Pesquisa

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Revisão de Experimentos Comparativos Simples

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Comparação de Duas MédiasAmostras Independentes

Exemplo: Suplementação alimentar ajuda emagrecimento?

Resposta: quilos perdidos

UEPessoa

j

Supl.

y1j

Placeboy2j

1 1.85 -1.62

2 2.40 -0.75

3 -1.21 1.70

4 0.35 2.12

5 3.52 3.98

6 4.04 -4.87

7 4.96 -2.34

8 0.15 3.02

9 -.59 -0.08

10 2.57 -1.27

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Análise Descritiva: Boxplot

Existe diferença nas médias dos dois grupos?

Essa diferença é estatisticamente significante?

E a variância, é a mesma?

Figura: Boxplot da dos quilos perdidos em cada grupo

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Comparar médias de 2 grupos

Qual técnica estatística podemos usar?

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Teste t (amostras independentes)

Suposições:Hipóteses:

Estatística do Teste:

onde

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Teste t (amostras independentes)

E se as variâncias forem diferentes?Estatística do Teste:

Sob Ho:

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Teste t (amostras independentes)

Exemplo do suplemento

Suplemento

Qual é o valor de

Placebo

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Teste t (amostras independentes)

No R:> y1 <- c(1.85, 2.40,-1.21, 0.35, 3.52, 4.04, 4.96, 0.15, -

0.59, 2.57)> y2 <- c(-1.62, -0.75, 1.70, 2.12, 3.98, -4.87, -2.34, 3.02,

-0.08, -1.27)> t.test(y1, y2, var.equal=FALSE)

data: y1 and y2t = 1.6815, df = 16.816, p-value = 0.1111alternative hypothesis: true difference in means is not equal

to 095 percent confidence interval: -0.46421 4.09421sample estimates:mean of x mean of y 1.804 -0.011

Conclusão?

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Exemplo

Um pesquisador quer testar se há diferença entre o tempo que homens e mulheres assistem TV.

Na pesquisa com 59 homens e 116 mulheres, o tempo médio dos homens foi de 2.37 horas e o desvio padrão amostral 1.87, o tempo médio das mulheres foi de 1.95 horas com desvio padrão amostral de 1.51.

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p-valor = 0.13

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Teste para Igualdade das Variâncias

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Checar suposições do teste t

Quais são as suposições?

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Checar suposições do teste t

Quais são as suposições?

Normalidade

Independência das populações

Observações são variávies aleatórias independentes

(Variâncias iguais)

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Checar suposições do teste t

Gráfico de Probabilidade Normal: o que podemos ver?

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Comparação de Duas MédiasAmostras Pareadas

Exemplo: Suponha que queremos testar se existe diferença no desempenho dos alunos entre a P1 e P2.

Selecionamos 10 alunos ao acaso

Alunoj

Nota P1y1j

Nota P2y2j

1 7.5 6.3

2 3.2 4.5

3 5.4 6.2

4 1.5 2.7

5 6.0 6.9

6 9.2 7.7

7 7.9 8.5

8 3.5 1.2

9 4.7 7.2

10 6.2 6.5

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Análise Descritiva: Boxplot

Houve uma melhora nas notas?

Essa diferença é estatisticamente significante?

Figura: Boxplot das notas dos alunos na P1 e P2

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Teste t (amostras pareadas)

Diferença:Hipóteses:

Estatística do Teste:

onde

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Teste t (amostras pareadas)

Para as notas da P1 e P2, calcula-se as diferenças:

Então

Qual é o valor de ?

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Teste t (amostras pareadas)

No R:> y1 <- c(7.5, 3.2, 5.4, 1.5, 6, 9.2, 7.9, 3.5, 4.7, 6.2)> y2 <- c(6.3, 4.5, 6.2, 2.7, 6.9, 7.7, 8.5, 1.2, 7.2, 6.5)> prova <- as.factor(rep(1:2, each=10))> t.test(y1, y2, paired=TRUE, equal.var=TRUE)

Paired t-test

data: y1 and y2 t = -0.5574, df = 9, p-value = 0.5909alternative hypothesis: true difference in means is not equal to

0 95 percent confidence interval: -1.3152424 0.7952424 sample estimates:mean of the differences -0.26

Conclusão: ?

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Determinar o tamanho amostralQual o tamanho da amostra a ser

usada? Esse é um dos aspectos mais importantes de um experimento

Duas formas de calcular o tamanho da amostra:1. Intervalo de Confiança2. Curva OC (Operating Characteristic)

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Poder de um teste

H0

Decisão sobre H0

Verdadeira Falsa

Rejeitar Erro Tipo I (α) OK

Não Rejeitar OK Erro Tipo II (β)• P(Rejeitar H0|H0 é verdadeira)=α: P(Erro Tipo I)• P(Não Rejeitar H0|H0 é falsa)=β: P(Erro Tipo II)

• Poder do TesteP(Rejeitar H0|H0 é falsa) = 1 - P(Erro Tipo II) = 1-β

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Poder de um teste

Exemplo: em R

simulacoes = 1000rejeicoes = 0for (i in 1:simulacoes){ amostra1 = rnorm(100) amostra2 = rnorm(100) if (t.test(amostra1,amostra2)$p.value < 0.05) rejeicoes = rejeicoes + 1}alpha = rejeicoes/simulacoes

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Determinar o tamanho amostral pelo Intervalo de Confiança

Voltemos ao caso em que estamos testando

e a diferença entre as médias é .

Um Intervalo de Confiança (IC) para é:

Qual a probabilidade de que, sob Ho, este intervalo contém a diferença populacional?

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Determinar o tamanho amostral pelo Intervalo de Confiança

Especificar um limite máximo para a margem de erro

e resolver a equação para o tamanho de amostra:

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Determinar o tamanho amostral pelo Intervalo de Confiança

Exercício:

Para o exemplo do suplemento, calcule o tamanho da amostra necessário para um intervalo de confiança de no máximo 1.3

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Tamanho da AmostraExemplo: Se uma população tem variancia

, o número de pessoas que posso entrevistar é n = 80, e queremos um I.C. para a média amostral com margem de erro m = 0.5, qual a será a confiança deste I.C.?

Adriano Zambom

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Determinar o tamanho amostral pela curva OC

A escolha do tamanho amostral e a P(Erro Tipo II) = βestão diretamente ligadas

Quando é falsa, não queremos erradamente não rejeitar H0.

β depende da verdadeira diferença entre as médias

Curvas OC (Operating Characteristic Curves): gráfico de βversus δpara um tamanho amostral particular

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Determinar o tamanho amostral pela curva OC

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Determinar o tamanho amostral pela curva OC

A curva anterior é para as hipóteses de igualdade das médias com mesma variância (desconhecida),α=0.05 e dados balanceados

O tamanho amostral para construir as curvas é na realidade n*=2n-1.

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Determinar o tamanho amostral pela curva OC

O parâmetro no eixo horizontal é:

Dividir por 2sigma, permite usar o mesmo conjunto de curvas, sem se preocupar com a variância. Assim, a diferença das médias é expressa por unidades de desvio padrão!

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Determinar o tamanho amostral pela curva OC

Voltando a curva:

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Determinar o tamanho amostral pela curva OC

Quanto maior a diferença das médias, menor é a probabilidade de erro tipo II, para um tamanho amostral n e um dado alpha.

O teste detecta diferenças maiores com mais facilidade!

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Determinar o tamanho amostral pela curva OC

Quando o tamanho amostral aumenta, a probabilidade do erro tipo II diminui.

Conclusão: Quando o poder do teste

aumenta?

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Determinar o tamanho amostral

Exemplo: argamassa de cimentoSuponha que se a diferença é no

mínimo 0.5, gostaríamos de detectá-la com probabilidade 0.80. Assuma que σ=0.25

Poder é 0.80, então β=0.20.Pela figura n*=10. Então 10 = 2n-1 => n = 6

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