md 7analisecombinatoria

Anlise Combinatria

Antonio Alfredo Ferreira [email protected]

http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro

Olga Nikolaevna [email protected]

UFMG/ICEx/DCC MD Analise Combinatoria 1

Introduo

Ramo da matemtica que trata da contagem. Em geral, a dificuldade no est em como contar mas o que contar. Em Cincia da Computao, questes de contagem so importantes j que

temos uma quantidade finita de recursos. Exemplos:

Qual a quantidade de memria que ser utilizada por um determinado pro-grama que faz alocao dinmica de memria?

Quantos usurios um determinado sistema computacional tem capacidadede atender?

Quantas computaes um determinado algoritmo executa? (Qual o custocomputacional em termos de tempo e espao de um determinado algo-ritmo?)

Alm disso, contagem a base de probabilidade e estatstica. Contagem baseada em dois princpios:

Princpio da Multiplicao Princpio da Adio


Trs portas, um prmio; Voc escolhe e troca?ou o Monty Hall Problem

In the September 9, 1990 issue of Parade magazine, the columnist Marilyn vos Savant respon-ded to this letter:

Suppose youre on a game show, and youre given the choice of three doors. Behindone door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say number 1, and the host,who knows whats behind the doors, opens another door, say number 3, which has agoat. He says to you, Do you want to pick door number 2? Is it to your advantage toswitch your choice of doors? Craig F. Whitaker, Columbia, MD

The letter roughly describes a situation faced by contestants on the 1970s game show LetsMake a Deal, hosted by Monty Hall and Carol Merrill. Marilyn replied that the contestant shouldindeed switch. But she soon received a torrent of letters many from mathematicians tellingher that she was wrong. The problem generated thousands of hours of heated debate.

Was Marilyn right?


Trs portas, um prmio; Voc escolhe uma porta edepois troca?

Suponha que voc esteja em um programa de televiso no qual voc pode ganhar umprmio. Existem trs portas (identificadas como A, B e C) e atrs de uma delas esto prmio e nas outras duas no h nada. Voc escolhe uma porta e o anfitrio, quesabe onde est o prmio, abre uma outra porta vazia. Ele lhe pergunta: Voc desejamudar de porta? O que voc faz e por que?

Problema que envolve probabilidade e, consequentemente, contagem!

Qualquer problema de probabilidade envolve algum tipo de experimento, pro-cesso ou jogo aleatrio (randmico).

Cada problema possui dois desafios distintos:1. Como modelar o problema matematicamente?2. Como resolver o problema matemtico resultante?

Estratgia a ser usada: Resolver o problema em quatro passos.


Os quatro passos

1. Determine o espao de amostragem.

2. Defina o evento de interesse.

3. Determine as probabilidades dos resultados.

4. Determine a probabilidade do evento.


Suposies para resolver o problema

1. O prmio igualmente provvel de estar em cada uma das trs portas.

2. O jogador igualmente provvel de escolher uma das trs portas.

3. Depois que o jogador escolhe uma porta, o anfitrio deve abrir uma outraporta vazia e lhe perguntar se deseja trocar ou no de porta.

4. O anfitrio tem a escolha de qual porta abrir e, assim, ele igualmenteprovvel de escolher uma porta dentre as restantes.


Passo 1: Determine o espao de amostragem

O primeiro objetivo encontrar todas as possibilidades de um experimento, ouseja, tudo que deve ser contado.

Um experimento tpico envolve diferentes quantidades aleatrias.

No caso deste problema, temos:1. A porta na qual est o prmio;2. A porta escolhida inicialmente pelo jogador;3. A porta vazia escolhida pelo apresentador;

Cada possvel combinao destas quantidades aleatrias chamada de resul-tado (outcome).

O conjunto de todas resultados o espao de amostragem do experimento.

A questo seguinte : como representar essas possibilidades? rvore de possibilidades.


rvore de possibilidades e Passo 1

rvore de possibilidades: Ferramenta grfica, que pode ser usada nas quatro etapas. Apropriada quando o nmero de resultados no muito grande ou o pro-

blema bem estruturado. Ajuda a compreender o espao de amostragem de um experimento.

Primeira quantidade aleatria: porta na qual o prmio est.

Possibilidades

Porta doprmio

A

B

C



Segunda quantidade aleatria: porta escolhida inicialmente pelo jogador.

Para cada porta possvel onde est o prmio, o jogador pode escolher inicial-mente qualquer uma das trs portas. Isso representado acrescentando umasegunda ramificao rvore.

A

C

A

C

A

B

C

B

B

Porta doprmio

Escolha inicialdo jogador

A

B

C

Possibilidades



Terceira quantidade aleatria: porta vazia escolhida pelo apresentador.

Finalmente, o anfitrio abre uma porta vazia.

Dependendo da escolha do jogador e da porta do prmio, o anfitrio tem umaou duas escolhas.

Todas essas possibilidades so apresentadas em uma terceira ramificao darvore.



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A,C,B

C,A,B

C,B,A

C,C,A

C,C,B

A,A,C

A,A,B

B,A,C

C

C

A

C

AB

A

B

B

C

C

B

A

B

B

C

A

A

Porta doprmio


A

B

C

Portarevelada

Possibilidades

Resultado

A

C

B

B,B,C

B,B,A

B,C,A

A,B,C



Veja que existe uma relao entre a rvore de possibilidades e o que foi ditoanteriormente: Cada folha da rvore representa um resultado do experimento. O conjunto de todas as folhas representa o espao de amostragem.

Neste problema, o espao de amostragem contm 12 resultados (folhas).

Para facilitar, cada folha foi identificada por uma tripla de portas que indica(porta onde est o prmio, porta escolhida inicialmente pelo jogador, portarevelada pelo anfitrio).

Desta forma, o espao de amostragem S representado por:

S =

{(A,A,B), (A,A,C), (A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,B,A),(B,B,C), (B,C,A), (C,A,B), (C,B,A), (C,C,A), (C,C,B)

}O diagrama tem uma interpretao mais ampla ainda: cada experimento podeser considerado um caminho entre a raiz da rvore e uma folha, onde o cami-nho tomado em cada passo determinado randomicamente.


Passo 2: Defina os eventos de interesse

Nosso objetivo responder a perguntas do tipo:Qual a probabilidade de . . . ?,

onde . . . representa alguma frase como: o jogador ganhar o prmio se ele mudar a porta escolhida inicialmente, o jogador escolher inicialmente a porta do prmio, ou o prmio estar na porta C.

Praticamente qualquer pergunta desse tipo pode ser modelada matematica-mente como um evento, que definido como um subconjunto do espao deamostragem.



Por exemplo, o evento que o prmio est na portaC o conjunto de resultados:

{(C,A,B), (C,B,A), (C,C,A), (C,C,B)}

O evento que o jogador escolhe inicialmente a porta do prmio o conjunto deresultados:

{(A,A,B), (A,A,C), (B,B,A), (B,B,C), (C,C,A), (C,C,B)}

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A,C,B

C,A,B

C,B,A

C,C,A

C,C,B

A,A,C

A,A,B

B,A,C

C

C

A

C

AB

A

B

B

C

C

B

A

B

B

C

A

A

Porta doprmio


A

B

C

Portarevelada

Possibilidades

Resultado

A

C

B

B,B,C

B,B,A

B,C,A

A,B,C



Neste caso, estamos interessados no evento que o jogador ganha o prmio semudar a porta escolhida inicialmente, que tem como conjunto de resultados:{(A,B,C), (A,C,B), (B,A,C), (B,C,A), (C,A,B), (C,B,A)}.

Os resultados que definem este evento esto marcados com o smbolo .

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A,C,B

C,A,B

C,B,A

C,C,A

C,C,B

A,A,C

A,A,B

B,A,C

C

C

A

C

AB

A

B

B

C

C

B

A

B

B

C

A

A

Porta doprmio


A

B

C

Portarevelada

Possibilidades

ResultadoTrocarganha?

A

C

B

B,B,C

B,B,A

B,C,A

A,B,C



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A,C,B

C,A,B

C,B,A

C,C,A

C,C,B

A,A,C

A,A,B

B,A,C

C

C

A

C

AB

A

B

B

C

C

B

A

B

B

C

A

A

Porta doprmio


A

B

C

Portarevelada

Possibilidades


A

C

B

B,B,C

B,B,A

B,C,A

A,B,C

Observe que exatamente metade dos resultados est marcado. O jogador ganha em metade dos resultados.

Podemos concluir que o jogador que troca a porta ganha o prmio com probabilidade 12?

No! Cada resultado no igualmente provvel!


Passo 3: Determine as probabilidades dosresultados

At agora temos todos os resultados do experimento.

Devemos determinar a probabilidade de cada resultado, que um nmero realentre 0 and 1. A soma das probabilidades de todos os resultados deve ser 1.

As probabilidades dos resultados so determinadas pelo fenmeno que esta-mos modelando e no so quantidades que podem ser derivadas matematica-mente.

No entanto, tcnicas matemticas podem nos ajudar a calcular a probabilidadede cada resultado baseado em decises de modelagem.

Vamos resolver este problema em dois estgios:1. Clculo da probabilidade de cada aresta do caminho, e2. Clculo da probabilidade de cada resultado.


Clculo da probabilidade de cada aresta docaminho

Deve-se atribuir uma probabilidade a cada aresta de acordo com as suposiesfeitas.

No caso de haver uma nica opo, atribui-se a probabilidade 1.

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1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/21/2

1/21/2

1/21/2

1

1

1

1

1

B,B,C

B,B,A

B,C,A

A,B,C

A,C,B

C,A,B

C,B,A

C,C,A

C,C,B

A,A,C

A,A,B

B,A,C

C

C

A

C

AB

A

B

B

C

C

B

A

B

B

C

A

A

Porta doprmio


A

B

C

1/3

1/3

1/3

1

Portarevelada

Possibilidades


A

C

B

1/3

1/3

1/3

1/3


Clculo da probabilidade de cada resultado

A probabilidade de cada resultado o produto de cada probabilidade no cami-nho entre a raiz da rvore e o resultado.

Por exemplo, a probabilidade para o resultado (A,A,B) 13 13 12 = 118.

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1/3

1/3

1/3

1/3

1/3

1/21/2

1/21/2

1/21/2

1

1

1

1

1

B,B,C

B,B,A

B,C,A

A,B,C

A,C,B

C,A,B

C,B,A

C,C,A

C,C,B

A,A,C

A,A,B

B,A,C

C

C

A

C

AB

A

B

B

C

C

B

A

B

B

C

A

A

Porta doprmio


A

B

C

1/3

1/3

1/3

1

Portarevelada

Possibilidades

Probabilidade

1/18

1/18

1/18

1/18

1/18

1/18

1/9

1/9

1/9

1/9

1/9

1/9


A

C

B

1/3

1/3

1/3

1/3



Especificar a probabilidade de cada resultado significa definir um funo queatribui a cada resultado uma probabilidade. Esta funo usualmente chamada de Pr.

Assim, neste problema temos:

Pr(A,A,B) = 118Pr(A,A,C) = 118Pr(A,B,C) = 19

...

Lembre-se que a soma de todas as probabilidades dos resultados dever ser 1,i.e.,

xSPr(x) = 1.



Espao de amostragem S+

Funo de probabilidade Pr: S [0,1]

Espao de probabilidade

Espao de probabilidade: Descreve todos os possveis resultados de um experimento e a probabili-

dade de cada um. Modelo matemtico completo de um experimento.


Passo 4: Determine a probabilidade do evento

A partir da probabilidade de cada resultado, desejamos calcular a probabili-dade do evento (E) de interesse.

Probabilidade de um evento E: A soma das probabilidades dos resultados que o contm. A probabilidade de um evento E S escrita como Pr(E), que pode ser

representada como:

Pr(E) =xE

Pr(x)

Por exemplo, a probabilidade do evento E: o jogador ganhar o prmio casoele mude a porta escolhida inicialmente :

Pr(E) = Pr(A,B,C) + Pr(A,C,B) + Pr(B,A,C)+

Pr(B,C,A) + Pr(C,A,B) + Pr(C,B,A)

= 19 +19 +

19 +

19 +

19 +

19

= 23


Revisitando o problema

Neste caso, o jogador: ganha o prmio com probabilidade 23, caso mude a porta.

perde o prmio com probabilidade 13, caso mantenha a porta. Soluo correta para as suposies apresentadas.

Vamos supor que o apresentador pode abrir ou no uma porta vazia e que eles faz isso caso o jogador tenha escolhido a porta com prmio. Nesse caso, se o jogador trocar de porta ele nunca ganha!


rvore de possibilidades ePrincpio da multiplicao

Uma rvore um tipo particular de um grafo onde no existem ciclos.

uma estrutura muito til para registrar todas as possibilidades em situaesem que os eventos ocorrem em ordem.



Exemplo 1 Regras para deciso de um torneiro entre os times A e B:

Cada jogo tem sempre um vencedor O time para ser campeo deve vencer dois jogos consecutivos ou um total de

trs jogos

De quantas formas diferentes o torneio pode ser jogado?



A

A*A*

A*

A*

B*

B* B*

B*

A*

B*

AxB

A

B

AxB

AxB

A

B

A

B

AxB

AxB

B

A

B

A

AxB

AxB

B

A

B

A

AxB

AxB

B

A

B

Notao: X indica que o time X vencedor.



Exemplo 1 (continuao) Formas diferentes de o torneio ser jogado:1. AA2. ABAA3. ABABA4. ABABB5. ABB6. BAA7. BABAA8. BABAB9. BABB

10. BBOu seja, 10 formasdiferentes.

A

A*A*

A*

A*

B*

B* B*

B*

A*

B*

AxB

A

B

AxB

AxB

A

B

A

B

AxB

AxB

B

A

B

A

AxB

AxB

B

A

B

A

AxB

AxB

B

A

B



Exemplo 2 Considere um sistema computacional que possui quatro unidadesde Entrada/Sada A, B, C e D e trs processadores X, Y e Z. Qualquerunidade de E/S pode ser conectada a um processador. Quantas possibilidadesexistem de conectar uma unidade de E/S a um processador?

4 3 = 12ou seja, 12 configuraesdiferentes

Processador

BX

Y

Z

AX

Y

Z

X

Y

Z

DX

Y

Z

C

SistemaComputacional

E/S


Princpio da multiplicao

Se uma operao consiste em k passos, sendo que o primeiro passo pode ser executado de n1 formas diferentes, ou seja, exis-

tem n1 possibilidades para o passo 1, o segundo passo pode ser executado de n2 formas diferentes, e assim, su-

cessivamente, at o k-simo passo que pode ser executado de nk formas diferentes

ento toda a operao pode ser executada de

n1 n2 . . . nkformas diferentes.



Exemplo 3 Um nmero de identificao formado por uma sequncia de qua-tro smbolos escolhidos de um conjunto formado pelas 26 letras do alfabeto eos 10 dgitos. Quantos nmeros de identificao diferentes existem se repetiode smbolos permitida?

Observe que: O conjunto de smbolos formado por 36 smbolos S = {A, . . . , Z,0, . . . ,9}. A ordem de ocorrncia dos smbolos importante. Para cada posio existem 36 possibilidades.

Assim, existem

36 36 36 36 = 364 = 1 679 616nmeros de identificao diferentes.



Exemplo 4 Suponha o mesmo cenrio anterior de nmero de identificao mascom a restrio que smbolos no podem ser repetidos. Neste caso, quantosnmeros de identificao existem?

Observe que: O conjunto de smbolos formado por 36 smbolos. A ordem de ocorrncia dos smbolos importante. Para a primeira posio existem 36 possibilidades. Para a segunda posio, pode-se escolher um smbolo do subconjunto S2

formado por S menos o smbolo escolhido para a primeira posio. Assim, osubconjunto S2 possui sempre 35 smbolos.

Da mesma forma, para a terceira posio, o subconjunto S3 possui 34 sm-bolos e, para a quarta posio, o subconjunto S4 possui 33 smbolos.

Assim, existem

36 35 34 33 = 1 413 720nmeros de identificao diferentes.



Exemplo 5 Suponha que A1, A2, A3, A4 so conjuntos com n1, n2, n3, n4elementos respectivamente. Mostre que o conjunto A1 A2 A3 A4 temn1 n2 n3 n4 elementos.

Cada elemento em A1 A2 A3 A4 uma tupla ordenada da forma(a1, a2, a3, a4), onde a1 A1, a2 A2, a3 A3, a4 A4. O processode construir estas tuplas ordenadas uma operao de quatro passos:

1. Selecione o primeiro elemento da tupla do conjunto A1.2. Selecione o segundo elemento da tupla do conjunto A2.3. Selecione o terceiro elemento da tupla do conjunto A3.4. Selecione o quarto elemento da tupla do conjunto A4.

Para cada um dos passos 1 a 4 acima, existem n1, n2, n3, n4 formas respecti-vamente. Assim, pela regra da multiplicao existem n1 n2 n3 n4 tuplasdistintas no conjunto A1 A2 A3 A4.



Exemplo 6 Considere o conjunto de todos os circuitos eletrnicos com duas en-tradas lgicas (P eQ) e uma sada lgica. Quantas tabelas da verdade distintas,considerando a entrada e sada, podem ser construdas para este cenrio?

Esquema de um circuito e uma possvel tabela de entrada e sada:

-

--

Q

PSada

CIRCUITO

ELETRNICO

P Q Sada1a linha 1 1 12a linha 1 0 03a linha 0 1 14a linha 0 0 0

Observe que: Cada linha de entrada corresponde a uma possvel entrada. Para cada linha existem duas possibilidades de sada. A ordem em que cada linha de entrada considerada importante.



Assim, existem

2 1a linha

2 2a linha

2 3a linha

2 4a linha

= 16

tabelas da verdade distintas.



Exemplo 7 Considere o mesmo problema do exemplo anterior mas um circuitoeletrnico com k entradas. Quantas tabelas distintas existem?

Observe que: As mesmas consideraes anteriores so vlidas. Existem 2k linhas de entrada diferentes.

Assim, existem

2 . . . 2 2k vezes

= 22k

tabelas da verdade distintas.

Note que para o exemplo anterior (k = 2), temos 222

= 24 = 16 tabelasdistintas.



Exemplo 8 Quantas vezes os comandos do trecho de programa abaixo soexecutados?for i 1 to 4 do

for j 1 to 3 doComandos a serem executados;

endfor;

endfor;

Observe que: Claramente existe uma ordem para execuo de cada comando. Veja que a combinao de variveis de controle pode ser representada por

um par ordenado (i, j) que tm os seguintes valores:

(1,1), . . . , (1,3), (2,1), . . . , (2,3), . . . , (4,1), . . . , (4,3).

Assim, os comandos so executados

(4 1) + 1 i

(3 1) + 1 j

= 4 3 = 12

vezes.UFMG/ICEx/DCC MD Analise Combinatoria 36


Exemplo 9 Considere o mesmo problema do exemplo anterior com comandosde repetio aninhados. As variveis de controle so c1, c2, . . . , cn, que podemassumir valores nas faixas [Ic1, Sc1], [Ic2, Sc2], . . . , [Icn, Scn], respectivamente(I para inferior e S para superior). Quantas vezes os comandos presentes noloop mais interno controlado pela varivel cn so executados?

Observe que: As mesmas consideraes anteriores so vlidas.

Assim, os comandos presentes no loop mais interno controlado pela varivel cnso executados

((Sc1 Ic1) + 1) c1

((Sc2 Ic2) + 1) c2

. . . ((Scn Icn) + 1) cn

vezes.



Exemplo 10 Considere o seguinte problema: As posies de presidente, te-soureiro e secretrio tm que ser escolhidas entre quatro pessoas A, B, C e D.Alm disso, existem duas restries:

(a) A no pode ser presidente;(b) C ou D deve ser o secretrio.

Quantas escolhas distintas existem?

natural tentar resolver o problema usando o princpio de multiplicao. Umapossibilidade fazer o seguinte raciocnio: Existem trs escolhas para presidente j que A no pode ser; Existem trs escolhas para tesoureiro de um conjunto de quatro candidatos; Duas escolhas para secretrio.o que daria 3 3 2 = 18 possibilidades.

Observe que: O nmero de escolhas de secretrio depende de como o presidente e o te-

soureiro so escolhidos e o valor acima no correto.UFMG/ICEx/DCC MD Analise Combinatoria 38


Exemplo 10 (continuao) A rvore abaixo mostra todas as possibilidades:

Secretrio

B

C

D

A

C

D

A

B

A

B

C

D

C

C

D

D

D

C

Chapa

Presidente Tesoureiro

Este problema ilustra a questo da rea de Combinatria: Em geral, a dificuldade no est em como contar mas o que contar.



Exemplo 10 (continuao) Estratgia para resoluo do problema usando oprincpio da multiplicao:(a) Escolha o secretrio, j que existem duas possibilidades apenas: C ou D;(b) Escolha o presidente. Neste caso, existem apenas duas possibilidades j

que A e a pessoa escolhida como secretrio no podem ser escolhidascomo presidente;

(c) Escolha o tesoureiro, que pode ser uma das duas pessoas restantes.o que d 2 2 2 = 8 possibilidades.



Exemplo 10 (continuao) A rvore abaixo mostra todas essas possibilidades:

Chapa

A

B

A

A

B

A

D

C

B

D

B

C

D

C

TesoureiroPresidenteSecretrio



Exemplo 11 Um estudante tem:

4 livros de sistemas operacionais; 7 livros de programao; e 3 livros de estruturas de dados.De quantas formas diferentes os livros podem ser colocados na prateleira deuma estante, dado que livros de um mesmo assunto devem ficar juntos?

Observe que: A ordem de ocorrncia dos conjuntos de livros na estante importante. Dentro de cada conjunto de livros a ordem tambm importante. O problema pode ser dividido em duas partes: nmero de ordenaes de

conjuntos e, dentro de cada conjunto, ordenao dos livros.



Exemplo 11 (continuao) A quantidade de ordenaes de conjuntos de livros dada por:

3 # possibilidades parao primeiro conjunto(esquerda)

2 # possibilidades parao segundo conjunto(meio)

1 # possibilidades parao terceiro conjunto(direita)

= 6

Para cada um dos conjuntos de livros, temos as seguintes possibilidades: Sistemas operacionais (4 livros): 4 3 2 1 = 4! Programao (7 livros): 7 6 . . . 1 = 7! Estruturas de dados (3 livros): 3 2 1 = 3!

Assim, temos

6 (4! 7! 3!) = 4 354 560possibilidades de colocar os livros na estante.



Exemplo 12 Quantos inteiros de trs dgitos so divisveis por 5?

Observe que: Os nmeros inteiros candidatos esto no intervalo [100,999]. Os nmeros candidatos terminam em 0 ou 5.

Primeira estratgia para resolver o problema: Os nmeros divisveis por 5 nesse intervalo podem ser criados a partir da

concatenao de dgitos provenientes dos seguintes conjuntos, nessa ordem:

{1,2,3,4,5,6,7,8,9}{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}{0,5}

Assim, essa quantidade dada por:

9 # possibilidades parao primeiro conjunto(centena)

10 # possibilidades parao segundo conjunto(dezena)

2 # possibilidades parao terceiro conjunto(unidade)

= 180



Exemplo 12 (continuao) Note que o mesmo problema pode ser resolvido poroutra estratgia que no envolve o princpio da multiplicao.

Segunda estratgia para resolver o problema: Enumere os nmeros divisveis por 5 nesse intervalo:

100 . . . 105 . . . 995 . . . 999l l l

5 20 5 21 5 199

Assim, os divisores por 5 dos inteiros no intervalo [100,999] so os nmeros20,21, . . . ,199.

A quantidade de divisores dada por (199 20) + 1 = 180.



Exemplo 13 Quantos inteiros no intervalo [1,1000] so divisveis por 3 ou divi-sveis por 5?

Vamos usar a segunda estratgia do problema anterior:

(a) Enumere os nmeros divisveis por 3 nesse intervalo;(b) Enumere os nmeros divisveis por 5 nesse intervalo;(c) Enumere os nmeros divisveis por 3 e 5 (ou seja, 15) nesse intervalo.

A soluo deste problema dado por (a) + (b) (c) = 333 + 200 66 =467.

(a) Nmeros divisveis por 3 nesse intervalo: 333. 3 1,3 2, . . . ,3 333.

(b) Nmeros divisveis por 5 nesse intervalo: 200. 5 1,5 2, . . . ,5 200.

(c) Nmeros divisveis por 15 nesse intervalo: 66. 15 1,15 2, . . . ,15 66.



Exemplo 14

Quantos nmeros palndromos existem que possuem cinco dgitos?

Um nmero palndromo tem a seguinte regra de formao de dgitos:

1 = d1 2 = d2 3 = d3 4 = d2 5 = d1

Ou seja, o primeiro dgito e o quinto dgito so idnticos, assim como o segundo e quarto dgitos.

Vamos usar o seguinte raciocnio:(a) Nmero de opes para o primeiro dgito (d1) = n 1.(b) Nmero de opes para o segundo dgito (d2) = n.(c) Nmero de opes para o terceiro dgito (d3) = n.(d) Nmero de opes para o quarto dgito (d2). o mesmo valor do segundo dgito e deve

ser considerado um nico elemento que j foi contado.(e) Nmero de opes para o quinto dgito (d1). o mesmo valor do primeiro dgito e deve

ser considerado um nico elemento que j foi contado. A soluo deste problema dado por (a) (b) (c) = (n 1) n n = n3 n2



Exemplo 15 Use o princpio da multiplicao para provar que o conjunto

X = {x1, x2, . . . , xn}com n elementos possui 2n subconjuntos (que a cardinalidade do conjunto P(X)).Prova. Um subconjunto qualquer de X pode ser construdo em n passos:

1. Inclua ou no o elemento x1;2. Inclua ou no o elemento x2;...n. Inclua ou no o elemento xn;

Em cada passo existem duas possibilidades. Assim, o nmero de subconjuntos de X dadopor:

2 2 . . . 2 n fatores

= 2n

Observe, por exemplo, que o conjunto obtido quando nenhum elemento de X escolhido.


Permutao

Definio: um arranjo ordenado de objetos sem repetio. A ordem importante. Pode-se aplicar o princpio da multiplicao.

Exemplo 16 Seja o conjunto A = {a, b, c}.(a) Quantas permutaes existem?

3 # possibilidades parao primeiro elemento

2 # possibilidades parao segundo elemento

1 # possibilidades parao terceiro elemento

= 6

(b) Quais so elas?

1. abc 2. acb

3. bac 4. bca

5. cab 6. cba


Permutao: Caso I

Seja um conjunto com n elementos. Quantas permutaes existem conside-rando todos os elementos e que no h repetio?

Observe que: A ordem de ocorrncia dos smbolos do conjunto importante.

Aplicando-se o princpio da multiplicao, temos:n

# possibilidades parao primeiro elemento

(n-1) # possibilidades parao segundo elemento

. . . . . . 1 # possibilidades parao n-simo elemento

= n!


Permutao: Caso II

Seja um conjunto com n elementos. Quantas permutaes existem conside-rando r (1 r n) elementos desse conjunto e que no h repetio?

Observe que: A ordem de ocorrncia dos smbolos do conjunto importante.

Aplicando-se o princpio da multiplicao, temos:n

# possibilidades parao primeiro elemento

(n-1) # possibilidades parao segundo elemento

. . . . . . (n-r+1) # possibilidades parao r-simo elemento

=

ni=nr+1

i = (n r + 1) . . . (n 1) n =

n (n 1) . . . (n r + 1) (n r) (n r 1) . . . 2 1(n r) (n r 1) . . . 2 1 =

n!

(n r)!


Permutao: Caso genrico

Dado um conjunto com n (n 1) elementos e um valor de r (1 r n),existem

P (n, r) =n!

(n r)!permutaes de elementos desse conjunto considerando que no h repetio.

Lembre-se que na Permutao: Elementos no so repetidos. A ordem em que esses elementos aparecem importante, ou seja, a permu-

tao pode ser representada por uma tupla ordenada.



Exemplo 17 Avalie as seguintes permutaes:

(a) P (5,2).

P (5,2) =5!

(5 2)! =5 4 3!

3!= 20

(b) Quantidade de permutaes de tamanho 4 de um conjunto de 7 objetos.

P (7,4) =7!

(7 4)! =7 6 5 4 3!

3!= 840



Exemplo 18 Avalie P (n,2) + P (n,1), para n 2.

P (n,2) + P (n,1) =n!

(n 2)! +n!

(n 1)!

=n (n 1) (n 2)!

(n 2)! +n (n 1)!

(n 1)!= n (n 1) + n= n2 n + n= n2


Permutao

Exemplo 19 Permutaes de letras de uma palavra:

(a) De quantas formas diferentes as letras da palavra COMPUTER podem serarranjadas numa sequncia (fila)?Todas as letras na palavra COMPUTER so distintas. Assim, o nmero deformas distintas de arranjar as letras o nmero de permutaes de umconjunto de oito elementos, ou seja, 8! = 40 320.

(b) De quantas formas diferentes as letras da palavra COMPUTER podem serarranjadas se as letras CO devem permanecer unidas nesta ordem?Se as letras CO devem permanecer unidas existem efetivamente sete obje-tos a serem arranjados. Assim, o nmero de permutaes 7! = 5 040.


Permutao

Exemplo 20 Permutaes de objetos ao redor de um crculo:

A Numa reunio, seis pessoas vo estar sentadas mesaque tem formato circular. De quantas formas diferentesessas pessoas podem se sentar?

Identifique as pessoas como A, B, C, D, E e F. Somente as posies relativasimportam j que no existe uma identificao de assento na mesa. Por exemplo,comece com A e considere todos os arranjos das outras pessoas em relaoa A. As pessoas B a F podem se sentar em volta de A de todas as formaspossveis. Assim, existem 5! = 120 formas de arranjar o grupo.


Princpio da adio

Existem problemas de contagem que podem ser resolvidos contando o n-mero de elementos: na unio de dois conjuntos, na diferena entre dois conjuntos, e na interseco de dois conjuntos

O princpio a ser usado neste caso chamado de Princpio da Adio.


Princpio da adio

Se uma operao consiste em k passos distintos, onde os passos so mutua-mente disjuntos, sendo que o primeiro passo pode ser executado de n1 formas diferentes, ou seja, exis-

tem n1 possibilidades para o passo 1, o segundo passo pode ser executado de n2 formas diferentes, e assim su-

cessivamente at o k-simo passo que pode ser executado de nk formas diferentes

ento toda a operao pode ser executada de

n1 + n2 + . . . + nk

formas diferentes.


Princpio da adio

Exemplo 21 Uma senha de usurio de um sistema computacional pode serformada por sequncias de uma a trs letras maisculas, sendo que repetiesso permitidas. Quantas senhas diferentes existem?

Observe que: O conjunto de todas as senhas formada pelos subconjuntos de senhas de

uma, duas e trs letras.

Em cada um desses subconjuntos temos a seguinte quantidade de senhas: Uma letra: 26 Duas letras: 26 26 = 262 Trs letras: 26 26 26 = 263

Assim, pelo princpio da adio temos:

26 + 262 + 263 = 18 278

senhas de usurio diferentes.UFMG/ICEx/DCC MD Analise Combinatoria 59

Princpio da adio

Exemplo 22 Quantos nmeros inteiros mpares existem no intervalo [10,99]com dgitos distintos?

[Nmeros comdgitos distintos

]=[

Dgitos das dezenasI

][

Dgitos das unidadesII

] 5

Os cinco nmeros mpares com dgitos iguais so 11, 33, 55, 77 e 99. Logo,deve-se subtrair 5.

I |{1, 2, . . . , 9}| = 9

II |{1, 3, 5, 7, 9 }| = 5

Nmeros com dgitos distintos = 9 5 5 = 40


Princpio da adio

Uma consequncia importante do princpio da adio que se o nmero deelementos de um conjunto A (n(A)) e de um subconjunto prprio B (n(B)) deA so ambos conhecidos, ento o nmero de elementos de A que no estoem B pode ser calculado:

n(AB) = n(A) n(B)

A expresso acima verdadeira j que se B um subconjunto de A, ento

B (AB) = Ae os dois conjuntos B e A B no possuem elementos em comum. Assim,pelo princpio da adio,

n(B) + n(AB) = n(A)n(AB) = n(A) n(B)


Princpio da adio

Exemplo 23 No exemplo 3 vimos que existem 364 = 1 679 616 identificado-res formados por uma sequncia de quatro smbolos escolhidos de um conjuntoformado pelas 26 letras do alfabeto e os 10 dgitos, com repetio de smbolos.Dessa quantidade quantos identificadores possuem pelo menos um smbolo re-petido?

Observe que: A quantidade de identificadores com pelo menos um smbolo repetido dado

por:Total de identificadores de tamanho quatro com smbolos repetidos eno repetidos menos total de identificadores de tamanho quatro comsmbolos no repetidos.

Assim, o total de identificadores de tamanho quatro com pelo menos um smbolorepetido dado por

364 (36 35 34 33) = 1 679 616 1 413 720 = 265 896UFMG/ICEx/DCC MD Analise Combinatoria 62

Princpio da adio

Exemplo 24 Quantos nmeros inteiros existem no intervalo [1,100 000] quecontm o algarismo 6 exatamente uma nica vez?

O algarismo 6 pode aparecer exatamente uma nica vez nas seguintes posi-es:

6

6

6

6

6

Nas outras posies podemos escolher qualquer algarismo de 0 a 9, exceto o6, ou seja, nove possibilidades.

Assim, temos 5 94 = 32805 nmeros.


Princpio da adio

Exemplo 25 Quantos nmeros inteiros existem no intervalo [1,100 000] quecontm pelo menos um algarismo 6?

Para resolver este problema, vamos calcular a quantidade de nmeros que no tem o algarismo6 no intervalo. Neste caso, o intervalo fica alterado para [1,99 999] j que 100 000 no contmo algarismo 6.

Temos cinco posies onde podemos preencher com os algarismos de 0 a 9, exceto o 6, ouseja, temos nove possibilidades, o que gera 95 = 59 049 nmeros sem o algarismo 6. Noentanto, uma dessas sequncias formada por cinco 0s, que est fora do intervalo pedidoe, assim, temos 59 049 1 = 59 048 nmeros no intervalo [1,99 999] que no contm oalgarismo 6.

Sabemos que no intervalo [1,99 999] temos 99 999 nmeros sendo que 59 048 deles nocontm o algarismo 6. Logo, temos

99 999 59 048 = 40 951

nmeros que contm pelo menos um algarismo 6.


Princpio da adio

Exemplo 26 O segredo de um cofre requer trs nmeros no intervalo [1,39]. Suponhaque o segredo pode ser construdo de tal forma que o mesmo nmero no pode ser usadoem sequncia mas o mesmo nmero pode ser usado na primeira e terceira posies. Quantossegredos existem?

Podemos resolver este problema usando a seguinte estratgia:(a) Calcular a quantidade de segredos supondo que sequncias de nmeros idnticos so

permitidas; Isto dado por 393 = 59 319.

(b) Calcular a quantidade de segredos onde os trs nmeros so idnticos; Existem exatamente 39 segredos onde os trs nmeros so idnticos.

(c) Calcular a quantidade de segredos onde existem dois nmeros idnticos em sequncia; Existem (3938)2 = 2 964 segredos onde h dois nmeros idnticos em sequn-

cia. Estes dois cenrios podem ser representados por:

n1 n1 n2 6= n11 2 3

en2 6= n1 n1 n1

1 2 3.

sendo que n1 pode variar de 1 a 39 e n2 tambm, exceto que no pode ter o mesmovalor de n1.

Logo, o nmero de segredos que satisfazem o problema dado por

(a) (b) (c) = 59 319 39 2 964 = 56 316.


Princpio da adio

Exemplo 26 (continuao)

De uma forma genrica, o segredo de um cofre que requer trs nmeros no intervalo [1, n],onde o mesmo nmero no pode ser usado em sequncia mas o mesmo nmero pode serusado na primeira e terceira posies tem a seguinte quantidade de segredos:(a) Quantidade de segredos supondo que sequncias de nmeros idnticos so permitidas:

Isto dado por n3.(b) Quantidade de segredos onde os trs nmeros so idnticos:

Existem exatamente n segredos onde os trs nmeros so idnticos.(c) Quantidade de segredos onde existem dois nmeros idnticos em sequncia:

Existem n (n 1) 2 segredos onde h dois nmeros idnticos em sequncia.

Logo, a quantidade de segredos que satisfazem o problema dado por

(a) (b) (c) = n3 n 2n(n 1) = n3 2n2 + n.


Resolvendo o mesmo problema com o princpio damultiplicao


Este mesmo problema pode ser resolvido usando o princpio da multiplicao da seguinte forma:(a) Quantidade de nmeros que podem ser usados como primeiro nmero do segredo:

Isto dado por n.(b) Quantidade de nmeros que podem ser usados como segundo nmero do segredo:

Isto dado por n 1, j que o primeiro nmero do segredo no pode ser repetido nosegundo nmero.

(c) Quantidade de nmeros que podem ser usados como terceiro nmero do segredo: Isto tambm dado por n 1. Note que temos n opes de nmeros como terceira

opo, mas o segundo nmero no pode ser usado na terceira opo.

Logo, a quantidade de segredos que satisfazem o problema dado por

(a) (b) (c) = n(n 1)(n 1) = n(n2 2n + 1) = n3 2n2 + n.


Combinao e Permutao

Para cada combinao C(n, r), existem r! formas de permutar os r objetos.

Ou ainda, para cada permutao P (n, r) existem r! arranjos com o mesmoconjunto de r objetos distintos.

Pelo Princpio da Multiplicao, o nmero de permutaes de r objetos distin-tos escolhidos de n objetos o produto da quantidade de formas de escolheros r objetos, C(n, r), pela quantidade de formas de arranjar os r objetos, r!,ou seja,

C(n, r) r! = P (n, r)Ou ainda

C(n, r) =P (n, r)

r!=

n!

r!(n r)!


Combinao e Permutao

Exemplo 27

Enfileiramento: De quantas formas diferentes pode-se formar uma fila com sete marcianos ecinco jovianos, sendo que dois jovianos no podem ficar juntos?

Se dois jovianos no podem ficar juntos, a nica configurao possvel de lugares na fila dadapor:

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7

1 2 3 4 5 6 7 8

onde Mi, i = 1 . . .7, representam os marcianos e as posies vazias de 1 a 8 representam ospossveis lugares que os jovianos podem ocupar, sendo que trs delas estaro vazias j quetemos apenas cinco jovianos.

Assim, este enfileiramento pode ser feito em duas etapas:(a) Posies dos marcianos no cenrio acima:

Isto dado por 7! = 5 040.(b) Posies dos jovianos nos oito lugares acima:

Note que devemos escolher cinco posies e para cada conjunto de posies ter umapermutao. Isto dado por C(8,5) 5!, que exatamente P (8,5) = 6 720

A quantidade total de enfileiramentos dada por 5 040 6 720 = 33 868 800.UFMG/ICEx/DCC MD Analise Combinatoria 69

Combinao

Definio: Sejam n e r inteiros no negativos com r n. Uma combinaor de um conjunto de n elementos um subconjunto de r dos n elementos.

C(n, r) representa o nmero de subconjuntos de tamanho r que podem serobtidos de um conjunto de n elementos.

Formas para representao de uma combinao: C(n, r)

(nr

)

Cn,r

nCr

nCr


Combinao e Permutao

Exemplo 28 Quantas combinaes de dois elementos podem ser obtidas doconjunto {0,1,2,3}?

C(n, r) =n!

r!(n r)! =4!

2! 2! = 6

Esses seis conjuntos so:{0,1}, {0,2}, {0,3} subconjuntos que contm 0.{1,2}, {1,3} subconjuntos que contm 1 mas que no foram listados.{2,3} subconjuntos que contm 2 mas que no foram listados.


Combinao e Permutao

Exemplo 29 Quantos nmeros inteiros existem no intervalo [1,99 999] quecontm exatamente os dgitos 2, 3, 4 e 5?

Posies que os dgitos podem ser colocados:

1 2 3 4 5

Idia: Cada nmero ser representado com cinco dgitos. Assim, 1 ser escrito

como 00001.


Combinao e Permutao


Devemos:(a) Calcular a quantidade de subconjuntos de quatro posies que iro ter os quatro dgitos

obrigatrios;

Isto dado por C(5,4) = 5. Existem cinco conjuntos de quatro posies onde osdgitos obrigatrios podem ser colocados.

(b) Calcular a quantidade de permutaes que podemos ter com os quatro dgitos obrigat-rios;

Isto dado por 4! = 24. Para cada conjunto de quatro posies existem 24 permuta-es para os quatro dgitos obrigatrios.

(c) Calcular a quantidade de nmeros no intervalo que podemos ter com os dgitos obrigat-rios.

Isto dado por 5 24 = 120.(d) Calcular a quantidade de nmeros no intervalo que podemos ter incluindo os dgitos res-

tantes, ou seja, {0, 1, 6, 7, 8, 9}.

Isto dado por 6120 = 720. Existem seis outros dgitos que podem ocupar a quintae ltima posio restante para cada permutao dos quatro dgitos obrigatrios.


Combinao

Suponha que desejamos selecionar r objetos distintos de um conjunto de nelementos mas a ordem no importante.

Neste caso, estamos contando o nmero de combinaes de r (r n) obje-tos distintos escolhidos de um conjunto de n (n 1) elementos onde a ordemno importante.


Combinao

Exemplo 30 Numa escola, h 10 professores de Matemtica e 15 de Portu-gus. Pretende-se formar, com esses professores, uma comisso de sete mem-bros. Quantas comisses distintas podem ser formadas?

Observe que: O conjunto possui 25 professores. A ordem no importante.

C(25,7) =25!

7! 18!

=25 24 23 22 21 20 19 18!

7 6 5 4 3 2 18!= 2 043 500


Combinao

Exemplo 31 Suponha que times de 5 pessoas vo ser formados de um grupode 12 pessoas. Duas pessoas desse grupo (A e B) insistem em trabalhar con-juntamente. Assim, ao se formar um time, ou as duas pessoas esto presentesou no. Quantos times podem ser formados?

[No total de times

]=

[ No de times que contmA e BI

]+

[ No de times que no contmnem A nem BII

]

I C(10,3) = 10!3!7! = 120Os times que contm A e B devem ter mais 3 pessoas das 10 restantes do grupo.

II C(10,5) = 10!5!5! = 252Os times que no contm A e B devem ter 5 pessoas das 10 restantes do grupo.

No total de times = 120 + 252 = 372


Combinao

Exemplo 32 Suponha o mesmo cenrio anterior mas agora A e B no podempertencer simultaneamente a um mesmo time. Quantos times podem ser for-mados?

[No total de times

]=

[ No de times comA e sem BI

]+

[ No de times comB e sem AII

]+

[ No de times semA e sem BIII

]

I C(10,4) = 10!4!6! = 210Os times com A e sem B devem ter mais 4 pessoas das 10 restantes do grupo (10 porque

A e B esto fora e 4 porque A uma das 5 pessoas).

II C(10,4) = 10!4!6! = 210Idem ao anterior.

III C(10,5) = 10!5!5! = 252Os times que no contm A e B devem ter 5 pessoas das 10 restantes do grupo.

No total de times = 210 + 210 + 252 = 672UFMG/ICEx/DCC MD Analise Combinatoria 77

Combinao

Exemplo 32 Este problema tambm pode ser resolvido de outra forma:

[No total de times

]=

No de times com5 pessoasI

[ No de times comA e com BII

]

I C(12,5) = 12!5!7! = 792Total de times com 5 pessoas.

II C(10,3) = 10!3!7! = 120Os times que contm A e B devem ter mais 3 pessoas das 10 restantes do grupo.

No total de times = 792 120 = 672


Expresses pelo menos e no mximo

Seja um conjunto S com 5 elementos.

O que significa escolher subconjuntos com pelo menos 3 elementos de S, e no mximo 2 elementos de S?

Pelo menos 3 elementos de S: Significa escolher subconjuntos com 3, 4 ou 5 elementos.

No mximo 2 elementos de S: Significa escolher subconjuntos com 0, 1 ou 2 elementos.


Combinao

Exemplo 33 Suponha que o grupo de 12 pessoas seja formado por 5 homense 7 mulheres. Quantos times de 5 pessoas podem ser formados com 3 homense 2 mulheres?

[No total de times

]=

[ No de times com3 homensI

][ No de times com

2 mulheresII

]

I C(5,3) = 5!2!3! = 10Total de times com 3 homens.

II C(7,2) = 7!2!5! = 21Total de times com 2 mulheres.

No total de times = 10 21 = 210Note que o princpio da multiplicao deve ser aplicado j que temos possibilidades diferentes

para formao dos times.


Combinao

Exemplo 34 Suponha o mesmo grupo anterior. Quantos times de 5 pessoaspodem ser formados com pelo menos um homem?

[No total de times

]=

No de times com5 pessoasI

[ No de times comnenhum homemII

]

I C(12,5) = 12!5!7! = 792Total de times com 5 pessoas incluindo homens e mulheres.

II C(7,5) = 7!5!2! = 21O total de times com nenhum homem exatamente a quantidade de times formados ape-

nas por mulheres.

No total de times = 792 21 = 771


Combinao

Exemplo 34 Este problema tambm pode ser resolvido de outra forma:(51

)(

74

)+ {Times com 1 homem e 4 mulheres}(

52

)(

73

)+ {Times com 2 homens e 3 mulheres}(

53

)(

72

)+ {Times com 3 homens e 2 mulheres}(

54

)(

71

)+ {Times com 4 homens e 1 mulher}(

55

)(

70

){Times com 5 homens e nenhuma mulher}


Combinao

Exemplo 35 Suponha o mesmo grupo anterior. Quantos times de 5 pessoaspodem ser formados com no mximo um homem?

[No total de times

]=

[ No de times comnenhum homemI

]+

[ No de times comum homemII

]

I C(7,5) = 7!5!2! = 21O total de times com nenhum homem exatamente a quantidade de times formados ape-

nas por mulheres.

II C(5,1) C(7,4) = 5!1!4! 7!4!3! = 5 35 = 175O total de times com um homem e quatro mulheres.

No total de times = 21 + 175 = 196


Combinao

Exemplo 36 Numa escola, h 10 professores de Matemtica e 15 de Portu-gus. Pretende-se formar, com esses professores, uma comisso de sete mem-bros. Quantas comisses distintas podem ser formadas com, pelo menos, umprofessor de Matemtica?

[No total de comisses

]=

No de comisses com7 pessoasI

N

o de comisses comnenhum professor deMatemticaII

I C(25,7) = 25!7!18! = 2 043 500

Total de comisses com 7 pessoas incluindo professores de Matemtica e Portugus.

II C(15,7) = 15!7!8! = 25 740O total de comisses com nenhum professor de Matemtica exatamente a quantidade

de comisses formadas apenas por professores de Portugus.

No total de comisses = 2 043 500 25 740 = 2 017 760


Combinao

Exemplo 36 Este problema tambm pode ser resolvido de outra forma:(101

)(

156

)+ {Comisses com 1 professor de Matemtica e 6 professores de Portugus}(

102

)(

155

)+ {Comisses com 2 professores de Matemtica e 5 professores de Portugus}(

103

)(

154


104

)(

153


105

)(

152


106

)(

151

)+ {Comisses com 6 professores de Matemtica e 1 professor de Portugus}(

107

)(

150

){Comisses com 7 professores de Matemtica e nenhum professor de Portugus}


Combinao

Exemplo 37 Suponha o mesmo grupo anterior. Quantas comisses distintas podem serformadas com, pelo menos, dois professores de Matemtica e, pelo menos, trs professores dePortugus?

Por que o raciocnio abaixo est errado? No de comisses com

2 professores de Ma-temticaI

No de comisses com3 professores de Por-tugusII

No de comisses com2 professores dentreos restantes de Ma-temtica e/ou Portu-gusIII

I C(10,2) = 10!

2!8! = 45No de comisses com 2 professores de Matemtica.

II C(15,3) = 15!3!12! = 455

No de comisses com 3 professores de Portugus.

III C(20,2) = 20!2!18! = 190

No de comisses com 2 professores dentre os restantes de Matemtica e/ou Portugus.Note que ficam 20 professores dos 25 do grupo, j que 5 foram escolhidos.

No total de comisses = 45 455 190 = 3 890 250


Combinao

Exemplo 37 (continuao) O raciocnio foi:I No de comisses com 2 professores de Matemtica II No de comisses com 3 professores de Portugus III No de comisses com 2 professores dentre os restantes de Matemtica e/ou Portugus

Um cenrio da proposio anterior pode ser representado pelos seguintes conjuntos:

II

C D E

F G H I J

d e

f g h i j

k l m n oa b c

A B

Professores de MatemticaI

Professores de Matemtica eIII

Portugus

Professores de Portugus

Neste cenrio, temos no conjunto I os elemen-tos A e B, no conjunto II os elementos a, b e c,e no conjunto III os elementos restantes.

Note que podemos escolher os professores deMatemtica C e D como os elementos do con-junto III.

No entanto, existe outro cenrio onde teremosno conjunto I os professores C e D e os pro-fessores A e B como os outros dois elementosdo conjunto III. Se os elementos do conjunto IIno mudaram ento as comisses resultantesnos dois cenrios acima so idnticas e, assim,estamos contando duas vezes a mesma comis-so.


Combinao

Exemplo 37 (continuao) Este problema pode ser resolvido da seguinteforma:

II

A B C D E

F G H I J

Professores de Matemtica

I

a b c d e

f g h i j

k l m n o

Professores de Portugus

{Comisses com 4 professores de Matemtica e3 professores de Portugus}(

104

)(

153

)+


103

)(

154

)+


102

)(

155

)No total de comisses = 95 550 + 163 800 + 135 135 = 394 485.


Combinao

Exemplo 38 Seja um baralho comum de 52 cartas que possui quatro naipes (,,,)de 13 denominaes cada (A,2,3, . . . ,10, J,Q,K).

(a) De quantas formas diferentes pode-se ter uma mo de poker (cinco cartas) todas domesmo naipe? Uma mo de poker pode ser construda em dois passos sucessivos: selecione um

naipe e, em seguida, escolha cinco cartas desse naipe. Pelo princpio da multiplicaotemos:

4 C(13,5) = 5 148.(b) De quantas formas diferentes pode-se ter uma mo de poker contendo trs cartas de

uma denominao e duas cartas de uma outra denominao? Essa mo de poker pode ser construda em quatro passos sucessivos: selecione a

primeira denominao para as trs cartas, selecione os trs naipes dessa denominao,selecione a segunda denominao para as outras duas cartas, selecione os dois naipesdessa denominao. Pelo princpio da multiplicao temos:

13 C(4,3) 12 C(4,2) = 3 744.


Combinao

Exemplo 39 Dado um grid n m, quantas rotas (caminhos) existem entre aposio (0,0) (canto inferior esquerdo) at a posio (n,m) (canto superiordireito) se os nicos movimentos possveis so mover para a direita (D) ou paracima (C)?

...

(0,0)

(n,m)

...

...

...

...

...

...

.....

.

.....

......

....


Combinao


Cada rota pode ser expressa por uma sequncia de Ds e Cs, sendo que existem exatamenten Ds e m Cs, ou seja, cada rota possui n + m passos.

Posies dos movimentos:

. . .1 2 n + m

Observe que se escolhermos as posies para os movimentos Ds as outras posies devemser preenchidas com movimentos Cs e vice-versa. Assim, temos n + m posies a serempreenchidas sendo que n delas com movimentos Ds. Observe que no estamos interessadosnuma dada ordem mas sim no conjunto de posies que iro ter o movimento D. Logo, aquantidade de rotas que satisfaz as restries de movimentos dada por(

n + mn

)=

(n + m)!

n!m!,

que o mesmo valor de (n + mm

)=

(n + m)!

m!n!

se os movimentos Cs forem escolhidos.


Combinao

Exemplo 40 Quantos strings de 8 bits existem que possuem exatamente trsbits 1s?

Posies que os bits 1s podem ser colocados:

1 2 3 4 5 6 7 8

Observe que: No estamos interessados numa ordem. Uma vez escolhido um subconjunto de trs posies contendo bits 1s de um

conjunto de oito posies, as posies restantes devem ter o bit 0. Logo, este problema equivalente a contar o nmero de subconjuntos de trs

posies escolhidos de um conjunto de oito posies.

(83

)=

8!

3! 5! = 56


Combinao

Exemplo 41 Considere formas de ordenar as letras da palavra MISSISSIPPI.Por exemplo:

IIMSSPISSIP ISSSPMIIPIS PIMISSSSIIP

Quantos strings distintos existem?

Posies que as letras podem ser colocadas:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11


Combinao

Exemplo 41 Observe que: Este exemplo generaliza o anterior. Cpias de uma mesma letra no podem ser distinguidas. Uma vez escolhidas as posies para uma certa letra, as cpias dessa letra

podem ir em qualquer posio.

Assim, construir uma ordem para as letras pode ser visto como um processoformado de quatro etapas: Escolher um subconjunto de quatro posies para a letra S. Escolher um subconjunto de quatro posies para a letra I. Escolher um subconjunto de duas posies para a letra P. Escolher um subconjunto de uma posio para a letra M.


Combinao

Exemplo 41

Observe que: Existem 11 posies e C(11,4) subconjuntos de quatro posies para a letraS.

Existem sete posies restantes e C(7,4) subconjuntos de quatro posiespara a letra I.

Existem trs posies restantes e C(3,2) subconjuntos de duas posiespara a letra P.

Finalmente, existe apenas uma posio restante para a letra M.

Assim, pelo princpio da multiplicao temos:(114

)(

74

)(

32

)(

11

)=

11!

4!7! 7!4!3!

3!2!1!

1!1!0!

=11!

4! 4! 2! 1! = 34650


Combinao: Teorema

Suponha uma coleo formada por n objetos dos quais: n1 so do tipo 1 e no podem ser distinguidos; n2 so do tipo 2 e no podem ser distinguidos; . . . nk so do tipo k e no podem ser distinguidos;sendo que n1 +n2 + . . .+nk = n. Assim, o nmero de permutaes distintasdos n objetos :(

nn1

)(n n1n2

)(n n1 n2

n3

) . . .

(n n1 n2 . . . nk1

nk

)=

n!

n1! n2! n3! . . . nk!


Combinao com repetio

Quantas formas existem de escolher r elementos sem considerar a ordem deum conjunto de n elementos se repetio permitida?

Estratgia: Considere cada um dos n elementos como uma categoria de objeto do qual

vrias selees podem ser feitos.

Exemplo: suponha um conjunto com os elementos {1,2,3,4}. Se trs ele-mentos devem ser escolhidos, ento podemos ter: [3,3,1], [2,2,1], [1,2,4], . . .

Como a ordem no importa, temos que [3,3,1] = [3,1,3] = [1,3,3].



Definio: Uma combinao de r elementos com repetio permitida, ou mul-ticonjunto de tamanho r, escolhida de um conjunto X de n elementos umaseleo no ordenada de elementos de X com repetio permitida.

Se X = {x1, x2, . . . , xn}, escreve-se uma combinao de r elementos comrepetio permitida, ou multiconjunto de tamanho r, como

[xi1, xi2, . . . , xir]

tal que xij X e algum xij pode ser igual a um outro elemento.



Exemplo 42 Seja o conjunto X com os elementos {1,2,3,4}. Liste todas ascombinaes de 3 elementos com repetio permitida.

[1,1,1] [1,1,2] [1,1,3] [1,1,4] Todas as combinaes que incluem 1,1

[1,2,2] [1,2,3] [1,2,4] Todas as combinaes que incluem 1,2

[1,3,3] [1,3,4] Todas as combinaes que incluem 1,3

[1,4,4] Todas as combinaes que incluem 1,4

[2,2,2] [2,2,3] [2,2,4] Todas as combinaes que incluem 2,2






Ou seja, existem 20 combinaes de trs elementos com repetio permitida.



Codificando os resultados de uma combinao de r elementos com repetiopermitida de um conjunto de n elementos.

Algumas combinaes:

Categoria 1 Categoria 2 Categoria 3 Categoria 4 Resultado

| | | [2,4,4] | | | [1,3,4]

| | | [1,1,1]



Cada seleo de n elementos (categorias) pode ser representada por umstring formado pelos smbolos | e . Existem r smbolos e n 1 smbolos |. Resolver o problema de contar o nmero de combinaes de r elementos

com repetio permitida de um conjunto de n elementos equivalente adeterminar o nmero de combinaes de r elementos de um conjunto de(n 1) + r smbolos, ou seja, (

r + n 1r

)



Exemplo 43 Uma pessoa quer comprar 15 latas de refrigerante de cinco mar-cas diferentes. Quantas combinaes de latas podem ser feitas?

Neste caso temos r = 15 e n = 5. Assim temos(r + n 1

r

)=

(15 + 5 1

15

)=

(1915

)=

19!

15! 4! = 3876



Exemplo 44 Considere o mesmo exemplo anterior, mas a pessoa deseja levarpelo menos seis latas do refrigerante Guaran da Amaznia. Quantas combi-naes de latas podem ser feitas?

Observe que: A pessoa precisa escolher mais nove latas das cinco restantes. Em cada combinao, estaro presentes as seis latas de Guaran da Amaz-nia.

Assim, temos r = 9 e n = 5

(r + n 1

r

)=

(9 + 5 1

9

)=

(139

)=

13!

9! 4! = 715



Exemplo 45 Seja n um inteiro positivo. Quantas triplas de inteiros (i, j, k) exis-tem sendo que 1 i j k n?

Observe que: Qualquer tripla de inteiros (i, j, k) com 1 i j k n pode ser represen-

tada por um string de n1 smbolos | j que existem n categorias para seremescolhidas (n nmeros inteiros) e trs smbolos que so os trs nmerosda tripla, e as suas posies indicam quais so esses trs nmeros.

A garantia da restrio 1 i j k n obtida simplesmente fazendouma leitura da esquerda para a direita. Exemplo para n = 5:

Categoria

1 | 2 | 3 | 4 | 5 Resultado

| | | | (1,2,4)| | | | (3,3,5)



Exemplo 45 Assim, o nmero de triplas o mesmo nmero de strings de n1smbolos | e trs smbolos , e dado por:(

3 + (n 1)3

)=

(n + 2

3

)

=(n + 2)!

3! (n + 2 3)!

=(n + 2) (n + 1) n (n 1)!

3! (n 1)!

=n(n + 1)(n + 2)

6


Sumrio

ORDEMSIM NO

SIM nr

n + r 1r

R

EP

ET

I

O

NO P (n, r)

nr


lgebra de combinaes

(nn

)=

n!

n!(n n)! = 1

Um conjunto com n elementos s possui um subconjunto de tamanho n, que ele prprio.

(n0

)=

n!

0!(n 0)! = 1

Um conjunto com n elementos s possui um subconjunto de tamanho 0, que o conjunto vazio.


lgebra de combinaes

(nr

)=

(n

n r), n, r|0 < r n

(nr

)=

n!

r!(n r)!(n

n r)

=n!

(n r)!r!

A quantidade de subconjuntos de tamanho r e de tamanho nr a mesma. Isto significa que cada subconjunto de C(n, r) pode ser associado a cada

subconjunto de C(n, n r). Raciocnio combinatorial onde o resultado obtido contando objetos que so

combinados de formas diferentes. Este raciocnio diferente de uma provaalgbrica.


Frmula de Pascal

(n + 1r

)=

(n

r 1)

+

(nr

)onde, 0 < r n.


Frmula de Pascal(

nr 1

)+

(nr

)=

n!

(r 1)!(n r + 1)! +n!

r!(n r)!

=n![r!(n r)!] + n![(r 1)!(n r + 1)!]

r!(n r + 1)!(r 1)!(n r)!

=n!r!(n r)! + n!(r 1)!(n r + 1)!

r!(n r + 1)!(r 1)!(n r)!

=n!r(r 1)!(n r)! + n!(r 1)!(n r + 1)(n r)!

r!(n r + 1)!(r 1)!(n r)!

=n!r + n!(n r + 1)

r!(n r + 1)!

=n!(r + n r + 1)r!(n r + 1)!

=n!(n + 1)

r!(n r + 1)!

=(n + 1)!

r!(n r + 1)!

=

(n + 1r

)UFMG/ICEx/DCC MD Analise Combinatoria 110

Frmula de PascalOutra estratgia de correo

Frmula de Pascal: (nr

)=

(n 1r

)+

(n 1r 1

).

Obviamente temos que(n 1r

)+

(n 1r 1

)=

(n 1)!(n 1 r)!r! +

(n 1)!(n 1 (r 1))!(r 1)!.

Ao invs de multiplicar cada frao pelo denominador da outra, existe um caminho mais fcil:

multiplicar o numerador e o denominador da primeira por (n r), e da segunda por r. Os doisdenominadores resultam em (n r)!r!, e a soma dos numeradores torna-se mais fcil.


md 7analisecombinatoria

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