Experimento

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Secretaria de Educação a Distância

Guia do professor

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geometria e medidas

Qual é o cone com maior volume?

Objetivos da unidadeDado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone 1. com maior volume que se poderia montar;Explorar a maximização e minimização de funções.2.

Guia do professor

SinopseReunidos em grupos, os alunos construirão seis cones diferentes usando o mesmo material inicial (um círculo de cartolina com 8 cm de raio) e tentarão organizá-los em ordem de volume. Feito isso, calcularão seus volumes a partir de suas medidas e tentarão descobrir como o cone deveria ser montado para que se obtivesse o maior volume possível.

ConteúdosGeometria Espacial – Aplicação: Problema de Otimização.

ObjetivosDado um círculo de cartolina, investigar qual seria o cone com maior volume 1. que se poderia montar;Explorar a maximização e minimização de funções.2.

DuraçãoUma aula dupla.

Material relacionadoExperimento: � Caixa de Papel;Experimento: � Qual o prismas de maior volume.

Qual é o cone com maior volume?

A otimização de embalagens, peças e recipientes é um processo frequente em indústrias de maneira geral. Normalmente, o que se quer é obter o maior volume consumindo uma quantidade fixa de material ou obter um certo volume usando a menor quantidade de material possível. Do ponto de vista matemático, o foco central é a investigação de pontos de máximos e mínimos de funções. Esses pontos podem ser extremos locais, denominados pontos críticos (onde a derivada pri-meira da função é zero ou inexistente), como no caso do ponto de mínimo da parábola , ou de máximo da função, como em

, por exemplo. Em muitas situações, os pontos procurados são extremos globais da função dentro de uma determinada região. As funções podem, ainda, ter uma, duas ou muitas variáveis. Assim, quando falamos em otimização, podemos estar nos referindo a métodos matemáticos, a algoritmos computacionais, a modelagem de um problema ou a alguma necessidade prática específica. Ou, na maioria das vezes, a tudo isso junto. O experimento proposto envolve alguns desses aspectos da otimização. Utilizando círculos de cartolina, os alunos vão construir vários cones e, a partir de algumas análises, poderão, experimentalmente, levantar hipóteses sobre como deve ser a construção do sólido para que ele tenha o maior volume possível.

Este experimento apresenta um procedimento completo de modelagem matemática com enfoque em otimização. Vários conceitos estudados no Ensino Médio, como funções, gráficos, relações métricas no plano e volume de sólidos, serão utilizados para o estudo do problema proposto. Durante as atividades, os alunos são convidados a tomar decisões, validar suas hipóteses ou modelos e, ao final, poderão comparar as respostas que obtiveram com as respostas dos diferentes grupos.

Comentários iniciais

Professor, certifique-se de que os alunos entenderam qual é o problema, a saber, cortar o círculo de cartolina e depois colar de forma a ter um cone que tenha o maior volume interno possível.

Construção dos cones

Quando os alunos cortarem o círculo (veja figura abaixo), ambas as fatias podem ser usadas para construir cones. Desta forma, cada corte pode gerar dois cones. Isto não é óbvio para os alunos inicialmente. Deixe-os fazer os cortes e peça apenas que eles guardem as fatias cortadas. Oportunamente, mostre que eles podem fazer outros cones com as fatias cortadas.

Cálculo dos volumes

No cálculo dos volumes dos cones, ambas as medidas devem ser feitas com cuidado para não ter muito erro ao final. A medida do diâmetro ou raio da base circular usualmente tem menos erro sistemático, pois os alunos os medem diretamente. No entanto, qualquer erro nesta medida vai aparecer duplamente no cálculo da área da base.

A altura do cone é uma medida que exige um pouco mais de atenção porque é indireta, mas com um pouco de zelo não deve gerar muitos erros no cálculo do volume.

fig. 1

fig. 2 Medida da altura do cone.

Θ

Na seção “Modelagem do problema” no Fechamento do experimento é deduzida a seguinte expressão para o cálculo do volume do cone em função do ângulo da fatia retirada do disco inicial:

Durante o experimento, foi mencionado o fato de que o valor máximo para o volume do cone ocorre quando é aproximadamente igual a . A seguir, vamos determinar precisamente esse valor utilizando alguns conceitos de cálculo diferencial: Fazendo a substituição

podemos escrever o volume do cone em função de ,

.

Pela natureza do problema, devemos ter e, da expressão de

,

devemos ter . Logo, o domínio da função são todos os valores reais de , tais que . Note que o valor de é uma fração que representa a porção do disco que será utilizada na construção do cone. Portanto, o raio do cone construído será igual ao raio do disco multiplicado por . De fato, conforme deduzimos no experimento,

.

O mesmo fato pode ser observado para a área lateral do cone ( ) em relação à área do disco original ( ):

.

Determinação do cone ótimo utilizando cálculo diferencialEstamos interessados em encontrar o ponto de máximo da função

.

Se elevarmos ambos os lados da igualdade acima ao quadrado, pode-mos nos livrar da raiz quadrada que aparece na equação. Assim,

,

ou ainda,.

Vamos denotar por a função que representa o quadrado do volume do cone, isto é, . Do ponto de vista da otimização, maximizar um volume é equivalente a maximizar o seu quadrado. Ou seja, podemos considerar a função ao invés da função . De fato, se um ponto é um ponto de máximo (ou de mínimo) para a função , também será um ponto de máximo (ou de mínimo) para . Obviamente, os valores das imagens e são diferentes. Expandindo a multiplicação em , podemos escrever

.

Sabemos que os extremos locais de função diferenciável ocorre onde a derivada primeira é nula ou inexistente. Derivando em relação a , obtemos,

,

ou ainda,.

Para encontrar seus pontos críticos, devemos resolver a equação .

ou

Como a derivada está definida para todos os valores de ( é uma função polinomial), temos que os únicos pontos críticos de são

, e . Como não pertence ao domínio que nos interessa, simplesmente vamos descartar esse valor. Um ponto crítico pode ser um máximo local, um mínimo local ou ainda um ponto de inflexão da função. Para classificarmos os pontos críticos de , vamos analisar sua deri-vada segunda:

.

Avaliando os pontos críticos na segunda derivada, obtemos:

<

O teste da derivada segunda não é conclusivo para o ponto . Mas, claramente, implica , isto é, o volume do cone é igual a zero. Como o volume do cone é um número não negativo, o valor é, certamente, mínimo absoluto para . Como < , o ponto é um ponto de máximo local da função .

O ângulo que deve ser retirado para obtenção do cone ótimo é encon-trado após desfazermos a substituição

.

Assim,, .

Portanto, o valor máximo para o volume do cone será obtido quando o ângulo da fatia retirada for igual a

, .

Isso equivale a um volume aproximado de

, cm .

Interpretação geométrica para o cone ótimoJá dissemos que o valor de

representa a fração do disco que será retirada para a construção do cone. Deduzimos que, para obter o maior volume possível, , é neces-sário que a altura deste cone seja igual a . Portanto, o cone de maior volume que pode ser construído retirando uma fatia de um disco circular possui raio da base igual a e altura igual a . Note que , ou seja, a relação entre o raio e a altura do cone ótimo é a mesma relação existente entre o lado de um quadrado e sua diagonal interna.

Isso signifi ca que um cone ótimo pode ser construído com régua e compasso, conforme ilustrado na figura 3: baixando a diagonal para formar o raio da base do cone e mantendo o lado do quadrado como altura do cone.

Considerações fi naisConforme sugerido no experimento, o fechamento da atividade será feito com um desafi o proposto aos alunos:

Quem consegue obter o cone de maior volume?

Esperamos que os alunos utilizem os resultados de seus experimentos para estimar valores de cada vez mais próximos de , , obtendo cones com volumes que convirjam para , cm . O professor pode ainda propor um desafi o adicional:

fig. 3

Questão para os alunos

Quantos cones com 1. cm de volume podem ser construídos?Se houver mais de um desses cones, calcule qual possui a menor área 2. lateral.

A resposta exata da questão 1. envolve a resolução da equação

,

que, mesmo escrita na forma

,

ainda não tem solução analítica trivial. No entanto, uma análise do gráfi co construído através do experimento permite concluir que existem dois cones com volumes iguais a cm . Um deles tomando , e outro tomando .

Questão para os alunos

0

30

60

90

120

150

180

210

0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

fig. 4

Da relação ,

concluímos que, para , , a fatia de disco utilizada para formar o cone terá área igual a

,, cm .

De forma análoga, para , a fatia de disco utilizada para formar o cone terá área igual a

, cm .

Portanto, o cone formado a partir da retirada da fatia de disco com ângulo possui a menor área lateral. Finalmente, uma embalagem com volume igual a cm , em forma de cone, produzida a partir de um disco circular de raio cm, seria a opção mais econômica em termos de área lateral.

Uma variação deste experimento pode ser encontrada no software “Cone de volume máximo”, no qual os alunos modelam o problema e desenham o gráfi co da função no computador.

Lima, Elon Lages; Carvalho, Paulo Cezar Pinto; Wagner, Eduardo; Morgado, Augusto César. A matemática do Ensino Médio. Coleção do professor de matemática. Vol. 2. Sociedade Brasileira de Matemática. Impa. Rio de Janeiro – RJ, 2003.

Ficha técnica

Ministério da Ciência e Tecnologia

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Matemática MultimídiaCoordenador GeralSamuel Rocha de OliveiraCoordenador de ExperimentosLeonardo Barichello

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (imecc – unicamp)DiretorJayme Vaz Jr.Vice-DiretorEdmundo Capelas de Oliveira

Universidade Estadual de CampinasReitorJosé Tadeu JorgeVice-ReitorFernando Ferreira da Costa

Grupo Gestor de Projetos Educacionais (ggpe – unicamp)CoordenadorFernando ArantesGerente ExecutivaMiriam C. C. de Oliveira

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AutorCristiano Torezzan

RevisoresMatemáticaAntônio Carlos PatrocínioLíngua PortuguesaCarolina Bonturi PedagogiaÂngela Soligo

Projeto gráfico e ilustrações técnicasPreface Design FotógrafoAugusto Fidalgo Yamamoto