máximo divisor comum
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1.0 - Máximo Divisor Comum - M.D.C.
Definimos Máximo Divisor Comum - M.D.C entre dois ou mais números como sendo o maior divisor comum entre eles.
Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 18 e 30. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus divisores :
D(18) = { 1, 2, 3, 6, 9 e 18 } e D(30) = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 e 30 }
O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 18 e 30 e dentre eles o maior, ou máximo, será o 6 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18 e 30 ) = 6
Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 24, 60 e 84. Determinemos, inicialmente, seus divisores :
D(24) = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 }, D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60 } eD(84) = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 e 84 }
O Conjunto nos mostra os divisores comuns a 24, 60 e 84 e dentre eles o maior, ou máximo, será o 12 ; Com isso diremos que : M.D.C ( 18, 60 e 84 ) = 12
2.0 - Métodos para o Cálculo do M.D.C.
2.1 - 1º Método: Algoritmo de Euclides, Método das Divisões Sucessivas ou " Jogo da Velha "
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 48 e 72 .
Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.
Passo 1 - Dividimos o maior 72 pelo menor 48, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 48 e o resto da divisão 24 colocaremos abaixo do dividendo 72.
Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 24 para o espaço a direita do divisor e Dividimos este 48 por ele 24, o quociente 2 dessa divisão colocaremos acima do novo divisor e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do novo dividendo 48. Esse processo será repetido até que chequemos ao resto zero.
Passo 3 - Quando o resto se tornar igual a zero concluímos que o último divisor será o M.D.C. procurado . Assim: M.D.C. ( 48 e 72 ) = 24
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 324 e 252 .
Montemos um diagrama semelhante ao Jogo da Velha e nele colocaremos na ordem decrescente os números dados.
Passo 1 - Dividimos o maior 324 pelo menor 252, o quociente 1 dessa divisão colocaremos acima do divisor 252 e o resto da divisão 72 colocaremos abaixo do dividendo 324.
Passo 2 - Deslocamos o resto obtido 72 para o espaço a direita do divisor e dividimos este 252 por ele 72, o quociente 3 dessa divisão colocaremos acima do novo divisor 72 e o resto 36 colocaremos abaixo do novo dividendo 252.
Passo 3 - Deslocamos o resto obtido 36 para o espaço a direita do novo divisor 72 e dividimos este 72 por ele 36, o quociente 2 dessa divisão colocaremos acima do divisor 36 e o resto da divisão 0 colocaremos abaixo do último dividendo 72.
Passo 4 - Como o resto se tornou igual a zero concluímos que o último divisor é o M.D.C. procurado . Assim M.D.C. ( 324 e 252 ) = 36
2.2 - 2º Método: Decomposição em Fatores Primos
Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :
O M.D.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre os fatores primos comuns, elevados aos menores expoentes
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 96 e 360.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :
96 = 25 X 3 e 360 = 23 X 32 X 5. E aplicando a regra, teremos :
fatores comuns => 2 e 3 e elevados aos menores expoentes : 23 e 31. Com isso : M.D.C. ( 96 e 360 ) = 23 X 3 = 8 X 3 = 24
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 100, 180 e 840.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos :
100 = 22 X 52 180 = 22 X 32 X 5 e 840 = 23 X 3 X 5 X 7 E aplicando a regra, teremos :
fatores comuns => 2 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22 e 51. Com isso : M.D.C. (100, 180 e 840) = 22 X 5 = 4 X 5 = 20
Exemplo 3 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre A, B e C, sendo :
A = 22 X 35 X 54 B = 26 X 33 X 53 X 113 eC = 24 X 34 X 52 X 75
Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :
Fatores comuns => 2, 3 e 5 e elevados aos menores expoentes : 22, 33 e 52.
Com isso e deixando o resultado indicado como originalmente no exemplo : M.D.C. (A, B e C) = 22 X 33 X 52
3.0 - Características Marcantes do M.D.C.
5.04a - O M.D.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual a unidade.
5.04b - O M.D.C. entre dois números consecutivos será sempre igual a unidade.
5.04c - O M.D.C. entre dois ou mais números pares e consecutivos será sempre igual a 2.
5.04d - Se A é múltiplo de B, o M.D.C. entre A e B será igual a B.
5.04e - Se B é divisor de A, o M.D.C. entre A e B será igual a B.
5.04f - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará multiplicado por esse número.
5.04g - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido por esse número.
5.04h - Quando o M.D.C. entre dois números, não necessariamente primos, é 1, eles são chamados primos entre si.
4.0 - Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.
Definimos Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C entre dois ou mais números como sendo o menor múltiplo comum não nulo entre eles.
Exemplo 1 : Consideremos, por exemplo, os números 12 e 18. Determinemos, inicialmente, o conjunto de seus múltiplos :
M(12) = { 0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, … } e M(18) = { 0, 18, 36, 54, 72, 90, … }
O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 12 e 18 e dentre eles o menor e não nulo, ou mínimo, será o 36 ; Com isso, diremos que : M.M.C ( 12 e 18 ) = 36
Exemplo 2 : Consideremos, por exemplo, os números 6, 9 e 15. Determinemos, inicialmente, seus múltiplos :
M( 6 ) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, … } , M( 9 ) = { 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, … } eM( 15 ) = { 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, … }
O Conjunto nos mostra os múltiplos comuns a 6, 9 e 15 e dentre eles o menor e não nulo, ou mínimo, será o 90 ;
Com isso diremos que : M.M.C ( 6, 9 e 15 ) = 90
5.0 - Métodos para o Cálculo do Mínimo Múltiplo Comum - M.M.C.
5.1 - 1º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição em Fatores Primos
Nesse método iremos decompor os números em fatores primos e aplicarmos a regra :
O M.M.C. entre dois ou mais números é dado pelo produto entre todos os fatores primos, comuns e não comuns, elevados aos maiores expoentes
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 24 e 50.
Decompondo cada um dos números em fatores primos, teremos : 24 = 23 X 31 e 50 = 21 X 52. E aplicando a regra, teremos :
todos os fatores => 2, 3 e 5 e elevados aos maiores expoentes : 23, 31 e 52. Com isso :
M.M.C. ( 24 e 50 ) = 23 X 31X 52 = 8 X 3 X 25 = 600
Exemplo 2 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre A, B e C, sendo :
A = 22 X 35 X 5 B = 23 X 33 X 53 X 73
C = 24 X 34 X 52 X 74
Nesse caso os números já estão decompostos em fatores primos e aplicando a regra, teremos :
Todos os fatores => 2, 3, 5 e 7 e elevados aos maiores expoentes : 24, 35, 53 e 74. Com isso e deixando o resultado indicado como originalmente no exemplo, teremos :
M.M.C. (A, B e C) = 24 X 35 X 53 X 74.
5.2 - 2º Método para o Cálculo do M.M.C. : Decomposição Simultânea.
Nesse método iremos decompor os números simultaneamente em fatores primos :
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.M.C entre 12 e 20.
Passo 1 - Coloquemos lado a lado os números e a direita deles tracemos uma linha vertical
Passo 2 - A partir daí dividiremos cada número pela sucessão dos números primos, enquanto pelo menos um deles for divisível a
operação deve ser continuada, e nesse caso repetiremos o número não divisível até que não seja mais possível também para o outro, ou nenhum dos outros, a divisão.
Passo 3 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita nos dará o M.M.C. .
Com Isso o M.M.C. entre 12 e 20 será 22 X 3 X 5 = 60
Exemplo 2 : Calculemos, agora, o M.M.C entre 8, 14 e 20.
Com Isso o M.M.C. entre 8, 14 e 20 será 23 X 3 X 5 = 120
5.3 - 3º Método para o Cálculo do M.D.C. : Decomposição Simultânea.
Como já conhecemos como funciona o cálculo do M.M.C. pelo método da decomposição simultânea, podemos aplicá-lo também para o cálculo do M.D.C.:
Exemplo 1 : Calculemos, por exemplo, o M.D.C entre 12 e 60 e 72.
Passo 1 - Faremos exatamente com se fossemos calcular o M.M.C. entre eles
Passo 2 - Quando cada coluna a esquerda apresentar a unidade, o produto de todos os fatores encontrados a direita do traço que dividiram simultameamente todos os 3 números nos dará o M.D.C. entre eles.
12 , 60 , 72 2 <<< 6 , 30 , 36 2 <<< 3 , 15 , 18 2 3 , 15 , 9 3 <<< 1 , 5 , 3 3 1 , 5 , 1 5 1 , 1 , 1
Assinalamos com as 3 setinhas os fatores que dividiram ao mesmo tempo os 3 números. O produto desses números assinalados nos dará o M.D.C. entre eles.
Com Isso o M.D.C entre 12 e 60 e 72 será 22 X 3 = 12
6.0 - Características Marcantes do M.M.C.
5.09a - O M.M.C. entre dois ou mais números primos será sempre igual ao produto entre eles.
5.09b - O M.M.C. entre dois números consecutivos será sempre igual ao produto entre eles.
5.09c - Se A é múltiplo de B, o M.M.C. entre A e B será igual a A.
5.09d - Se B é divisor de A, o M.M.C. entre A e B será igual a A.
5.09e - Se multiplicarmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.M.C. entre eles também ficará multiplicado por esse número.
5.09f - Se dividirmos dois ou mais números por um número natural maior que zero, o M.D.C. entre eles também ficará dividido por esse número.
7.0 - Propriedade Importante entre M.D.C. e M.M.C.
Dados dois números A e B, o produto entre seu M.D.C. e o seu M.M.C. , será igual ao produto A X B entre eles. Ou seja :
M.M.C. ( A e B ) x M.M.C.( A e B ) = A X B
Tente provar essa importante propriedade. É mais fácil que você imagina.
Importante: Essa propriedade somente é válida para o M.D.C. e o M.M.C. entre dois números
8.0 - Exercícios Propostos
I - Determine o M.D.C. entre :
01) dois números pares e consecutivos 02) dois números consecutivos 03) dois números ímpares e consecutivos 04) dois números primos 05) dois múltiplos pares e naturais de 9 06) 3 números terminados em 5
07) dois múltiplos inteiros de 7, positivos e consecutivos
08) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo do menor
II - Determine pelo Algoritmo de Euclides ( Jogo da Velha ) o M.D.C. entre :
09) 24 e 60 10) 96 e 180 11) 132 e 198 12) 247 e 299 13) 624 e 720
14) Um aluno ao determinar o M.D.C. entre dois números pelo método das divisões sucessivas encontrou para M.D.C. 36 e
respectivamente os quocientes 1, 3 e 2. Cálculos esses dois números.
15) Um aluno ao determinar o M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides encontrou 21 para M.D.C. e respectivamente os quocientes 4, 2 e 2. Cálculos o maior desses números.
16) O M.D.C. de dois números determinado pelo Algoritmo de Euclides é 27. Se os 4 quocientes encontrados são distintos e os menores possíveis, determi-ne o menor desses dois números.
17) Explique por que no cálculo do M.D.C. de dois números pelo Algoritmo de Euclides o último quociente encontrado é sempre maior que a unidade.
III - Determine o M.D.C. entre :
18) 320 e 448 19) 462 e 1.386 20) 975 e 455 21) 28, 77 e 84 22) 108, 120 e 144 22) 60, 72, 96 e 156
IV - Qual é o maior número que divide exatamente :23) 39, 65 e 143 24) 702 e 918 25) 519, 1.038 e 1.557
26) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 270 e 240 para obtermos, respectivamente, os restos 10 e 9 :
27) Qual é o maior número pelo qual devemos dividir 160, 220 e 472 para obtermos, respectivamente, os restos 7, 16 e 13
28) Ao dividirmos 167, 237, 379 e 593 pelo maior número possível, obtemos respectivamente os restos 23, 21,19 e 17. Calcule esse número.
V - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
29) Soma = 384 e M.D.C. = 24 30) Soma = 740 e M.D.C. = 37 31) Soma = 840 e M.D.C. = 56
VI - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma D e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
32) Diferença = 75 e M.D.C. = 15 33) Diferença = 108 e M.D.C. = 18 34) Diferença = 378 e M.D.C. = 42
VII - Encontrar dois números conhecendo-se seu produto P e seu M.D.C.. ( Obs : Dar todas as soluções possíveis )
35) Produto = 1 536 e M.D.C. = 12 36) Produto = 1 792 e M.D.C. = 8 37) Produto = 4 320 e M.D.C. = 6
38) Encontrar três números distintos de 2 algarismos cujo M.D.C. é 13 e cuja soma é igual a 91.
VIII - Determine o M.MC. entre :
39) dois números pares e consecutivos 40) dois números consecutivos 41) dois números ímpares e consecutivos 42) dois números primos 43) dois múltiplos pares e naturais de 3 44) dois múltiplos naturais cuja diferença é o triplo
do menor
IX - Determine o M.M.C. entre :
45) 32 e 48 46) 72 e 120 47) 26 e 6548) 6, 7 e 210 49) 8, 12 e 14 50) 21, 28 e 36
X - Qual é o menor número simultaneamente divisível por :
51) 3, 4, 5, 6, 7 e 8 52) 2, 3 , 5, 8, 9 12 e 15 53) 11, 22, 33, 44 e 55
54) pelos 5 primeiros múltiplos positivos de 3
55) pelos números naturais menores que 11
XI - Determine o menor dos números que dividido por :
56) 12, 15 e 18 deixa o resto 8 57) 15, 24 e 30 deixa o resto 11 58) 24, 30, 36 e 60 deixa o resto 16 59) 32, 38 e 42 deixa o resto 17
XII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma S e seu M.M.C..
60) Soma = 30 e M.M.C. = 36 61) Soma = 140 e M.M.C. = 240 62) Soma = 168 e M.M.C. = 288
XIII - Encontrar dois números conhecendo-se sua soma P e seu M.M.C..
60) Produto = 360 e M.M.C. = 120 61) Produto = 2 160 e M.M.C. = 360
62) Produto = 1176 e M.M.C. = 108
63) Se o M.M.C. entre 70A e 56B é igual a 3 080. Determine os pares de valores possíveis para A e B.
XIV - Calcular o M.D.C. e o M.M.C. entre :
64) A = 23 x 34 x 5 e B = 22 x 32 x 52 65) P = 22 x 33 x 7 e Q = 2 x 34 x 5
66) M = 22 x 53 x 11 e N = 23 x 72 x 132 67) E = 23 x 3 x 5 x 72 , F = 22 x 33 x 52 x 112 e G = 2 X 32 X 73 X 112 X 17
68) A = 23 x 34 x 5 x 72 , B = 22 x 32 x 52 x 112 e C = 24 x 33 x 52 x 19
69) J = 23 x 34 x 5 x 72 , K = 22 x 32 x 52 x 112 e L = 24 x 33 x 52 x 19
70) M = 4 x 64 x 5 e P = 8 x 272 x 152
XV - Calcular o valor de n para as condições dadas :
71) A = 2n x 33 x 72 ; B= 24 x 32 x 7 x 112 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 7 72) Q = 22n x 32 x 52 ; B = 23 x 3n x 5 x 73 para M.M.C. ( A e B ) = 60 73) P = 24n x 9 ; B = 27 x 35 para M.D.C. ( A e B ) = 22 x 64 74) M = 30n X 7 ; B = 22 X 9 X 352 para M.M.C. ( A e B ) = 100 X 9 X 49
XVI - Calcular o valor de n + p para as condições dadas :
75) A = 2n X 33 X 132 ; B = 24 X 3p X 11 X 13 para M.D.C. ( A e B ) = 23 X 32 X 13 76) A = 2n X 32 X 11 ; B = 24 X 3p X 7 X 112 para M.M.C. ( A e B ) = 25 X 33 X 7 X 112
77) Calcular o valor da soma m + n + p tal que o M.D.C. entre A = 2m X 33 X 5p e B = 22 X 3n
X 53 seja igual a 63 X 75
78) Dois números distintos A e B são os menores possíveis e podem ser representados, exclusivamente, pelos 3 menores fatores primos. Se os expoentes do menor deles são números consecutivos. Determine o M.D.C. e o M.M.C. entre eles.
79) O produto de dois números A e B é igual a 360. Se o M.D.C. entre eles é 24, Calcule o seu M.M.C..
80) Uma doceria tem em estoque 150 balas de coco, 180 balas de chocolate e 240 balas de leite. Quantas balas de cada sabor se deve colocar em caixas decoradas, sabendo que essas quantidades devem ser as maiores possíveis.
81) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. O mais rápido deles dá uma volta em 10 minutos, um outro leva 15 minutos e o terceiro e mais lento demora 18 minutos para dar uma volta completa. No fim de quanto tempo os 3 automóveis voltarão a se encontrar no inicio da pista se eles partiram exatamente no mesmo instante.
82) Três automóveis disputam uma corrida em uma pista circular. Um deles dá uma volta em 18 minutos, um outro leva 20 minutos e o terceiro demora 25 minutos para dar uma volta completa. Se eles partiram exatamente às 15 horas, Que horas serão quando os 3 automóveis voltarão a se encontrar no inicio da pista após 3 horas de corrida ?
83) Três netas visitam sua avó, respectivamente, em intervalos de 5 dias, de 7 dias e de 9 dias. Se a última vez em que as três se encontraram na casa de sua avó foi no mês de Maio, em que mês do segundo semestre eles tornarão a se encontrar ?
84) Determine o menor número que ao ser dividido por por 11, 12 e 16 deixa, respectivamente, os restos 5, 6 e 10.
85) Determine o menor número de 4 algarismos que dividido por por 12, 15, 18 e 24 deixa, respectivamente, os restos 7, 10, 13 e 19.
9.0 - Questões de Concurso
86) ( CEFETQ - 1997 ) Determinar o maior número pelo qual se deve dividir os números 165 e 215 para que os restos sejam 9 e 11, respectivamente. 87)( UFMG - 1996 ) O número de três algarismos divisível ao mesmo tempo por 2, 3, 5, 6, 9 e 11 é :
(A) 330 (B) 660 (C) 676 (D) 900 (E) 996
88) ( UNIFACS - 1997 ) O número de alunos de uma sala de aula é menor que 50. Formando-se equipes de 7 alunos, sobram 6. Formando-se equipes de 9 alunos, sobram 6. Formando-se equipes de 9 alunos , sobram 5. Nessas condições, se forem formadas equipes de 8 alunos, o número de alunos que sobram é :
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
89) ( PUC/CAMPINAS - 1995 ) Numa linha de produção, certo tipo de manutenção é feito na máquina A a cada 3 dias, na máquina B, a cada 6 dias. Se no dia 2 de dezembro foi feita a manutenção das três máquinas, a próxima vez em que a manutenção ocorreu no mesmo dia foi em :
(A) 5 de Dezembro
(B) 6 de Dezembro
(C) 8 de Dezembro
(D) 14 de Dezembro
(E) 26 de Dezembro
90) ( PUC/CAMPINAS - 1998 ) Uma editora tem em seu estoque 750 exemplares de um livro A, 1200 de um livro B e 2 500 de um livro C. Deseja-se remetê-los a algumas escolas em pacotes, de modo que cada pacote os três tipos de livros em quantidades iguais e com o maior número possível de exemplares de cada tipo. Nessas condições, remetidos todos os pacotes possíveis, o número de exemplares que restarão no estoque é :
(A) 1.500 (B) 1.750 (C) 2.200 (D) 1.600 (E) 2.000
91) ( UNIARARAS - 1997 ) As cidade de Araras, Leme e Conchal realizam grandes festas periódicas, sendo as de Araras de 9 em 9 meses, as de Leme de 12 em 12 meses e as de Conchal de 20 em 20 meses. Se em Março de 1985 as festas coincidiram, então a próxima coincidência foi em :
(A) Março de 1995 (B) Março de 2000
(C) Março de 1996
(D) Dezembro de 1999
(E) Nunca mais
M.D.C. - Problemas Resolvidos
M.M.C. - Problemas Resolvidos
OPERAÇÕES ENTRE FRAÇÕES
.13 - Adição e Subtração de Frações
6.13.1 - Frações de mesmo denominador - Para adicionarmos ou subtrairmos frações de mesmo denominador devemos adicionar ou subtrair os numeradores e conservarmos o mesmo denominador.
Exemplos :
6.13.2 - Frações de denominadores diferentes - Para adicionarmos ou subtrairmos frações de denominadores diferentes devemos inicialmente transformá-las em frações de mesmo denominador e aplicarmos o que aprendemos no item anterior.
Exemplo 1 : . Calculando o M.M.C. entre 4 e 5 encontraremos 20 e assim teremos :
Exemplo 2 : Calculando o M.M.C. entre 1, 3 e 8 encontraremos 24 e assim teremos :
6.14 - Multiplicação de Frações
O Produto de 2 ou mais frações é a fração obtida ao multiplicarmos, respectivamente, numeradores e denominadores das frações dadas.
Nessa operação não é necessário termos denominadores iguais.
Exemplos :
Observação Importante : È sempre importante verificarmos se é possível a simplificação dos fatores, ainda na multiplicação inicial ; dessa forma trabalharemos com números menores, facilitando-nos o cálculo final.
6.15 - Inverso de uma Fração
Duas frações são denominadas inversas quando seu produto é igual a 1. Na prática, uma fração é o inverso de outra quando seus termos estão invertidos.
Assim : é a fração inversa de ou simplesmente é o inverso de
é a fração inversa de 5 ou simplesmente é o inverso de 5.
Notemos que :
6.16 - Divisão de Frações
Para dividirmos duas frações, multiplicamos a primeira fração pelo inverso da segunda fração. Nessa operação também não é necessário termos denominadores iguais.
Exemplos :
Observação Importante : Assim como já colocamos na multiplicação: É sempre importante verificarmos se é possível a simplificação dos fatores, ainda na multiplicação inicial ; dessa forma trabalharemos com números menores, facilitando-nos o cálculo final.
6.17 - Potenciação de Frações
Para elevarmos uma fração a uma potência, elevamos cada um dos termos dessa fração a essa potência.
Exemplos :
Observação Importante : A fração não é uma potência de fração, note que apenas o numerador 2 está elevado a 3.
Assim como : não é uma potência de fração, note que apenas o denominador 2 está elevado a 5.
6.18 - Radiciação de Frações
Para extrairmos uma raiz de uma fração, extrairmos a raiz de cada um dos termos dessa fração.
Exemplos :
Observação Importante : A fração não é uma radiciação de fração, note que apenas o numerador é uma raiz.
Assim como : não é uma radiciação de fração, note que apenas o denominador é uma raiz.
6.19 - Operações com Números Mistos
Antes de efetuarmos quaisquer operações envolvendo números mistos, devemos sempre transformá-los em frações impróprias.
Exemplos :
6.20 - Expressões Fracionárias
Fazemos exatamente como numa expressão aritmética: Priorizamos Chaves, colchetes e parênteses e a seguir as operações
Radiciação - Potenciação - Divisão - Multiplicação - Adições e Subtrações.
6.22 - Problemas envolvendo Frações
Não temos um mecanismo padrão para a resolução de problemas com frações, um bom começo será praticarmos com alguns exemplos clássicos :
Exemplo 1 - Calcular os 2/3 de R$ 60,00.
Resolução : Se queremos conhecer os 2/3 de um número, esse número será a fração 3/3Se 3/3 => R$ 60,00 , 1/3 => R$ 60,00 :3= R$ 20,00 e 2/3 => 2 x R$ 20,00 = R$ 40,00
Ou de uma forma mais rápida, simplesmente multiplicando 2/3 por R$ 60,00 = R$ 40,00
Exemplo 2 - Determine o número cujos 7/5 equivalem a 42
Resolução : Se falamos em 7/5 de um número, é por que esse número será a fração unidade 5/5, assim : Se 7/5 de um número equivalem a 42, 1/5 desse número equivalerá a : 42 : 7 = 6 e por fimSe 1/5 => 6 , 5/5 => 1/5 x 5 = 6 x 5 = 30 . O número procurado é 30 .
Ou mais rapidamente, simplesmente dividindo 42 por 7/5 => 42 : 7/5 = 42 x 5/7 = 30
Exemplo 3 - Gastei 2/7 do que tinha e ainda fiquei com R$ 135,00. Quanto eu tinha ?
Resolução : Se falamos em 2/7 de uma quantia, é por que essa quantia será a fração unidade 7/7, assim :Se eu tinha 7/7 e gastei 2/7, me sobrará : 7/7 - 2/7 = 5/7Se 5/7 de uma quantia equivalem a R$ 135,00, 1/7 dessa quantia equivalerá a : R$ 135,00 : 5 = R$ 27,00 e por fimSe 1/7 => R$ 27,00 , 7/7 => 1/7 x 5 = R$ 27,00 x 7 = R$ 189,00 . Eu tinha a quantia de R$ 189,00.
Exemplo 4 - Numa fruteira existem pêssegos, laranjas e 14 bananas. Se 2/5 das frutas são pêssegos e 1/4 são laranjas, quantas são as frutas nessa fruteira ?
Resolução : Calculemos, inicialmente, que fração representam pêssegos e laranjas :
, Com isso
percebemos que o total de frutas será representado pela fração : e as 14 bananas
serão a fração
Se . Existem 40 frutas nessa fruteira.Apenas como verificação : Os pêssegos serão: 2/5 de 40 = 2 x 8 = 16 e as laranjas serão: 1/4 de 40 = 1 x 10 = 10e somando-as teremos o total de frutas => 16 + 10 + 14 = 40
Exemplo 5 - Gastei 2/5 do que tinha em vestuário, com 1/3 do resto comprei um tênis. Se ainda me sobrou R$ 48,00, quantos eu tinha inicialmente ?
Resolução : Se gastei 2/5, eu tinha a fração 5/5, dessa forma me sobrou 5/5 - 2/5 = 3/5Sabemos que 1/3 do resto será : 1/3 x 3/5 = 1/5 e com isso o que sobrou foi a fração 3/5 - 1/5 = 2/5. Se 2/5 => R$ 48,00, 1/5 => R$ 48,00 : 2 = R$ 24,00 e finalmente a quantia original será : R$ 24,00 x 5 = R$ 120,00
Exemplo 6 - Determine a fração equivalente a 3/8 cuja soma dos termos é 77.Resolução : Para obtermos uma fração equivalente a 3/8, basta multiplicarmos cada um de seus termos por um mesmo número diferente de zero.
Se multiplicarmos ambos por 2 encontraremos a fração 6/16, cuja soma dos termos é 22, ou seja 2 x a soma dos termos da fração original 3/8, se multiplicarmos por 3 teremos a fração 9/24, cuja soma dos termos é 33, ou seja 3 x a soma a soma dos termos da fração original 3/8 e assim por diante. Notemos que essa família de frações, conhecida por classe de equivalência, tem essa propriedade interessante : A soma de seus termos é sempre um múltiplo de 11. Se a soma dos termos da fração procurada é 77, basta dividirmos esse valor pela soma dos termos da fração original, e assim encontrarmos o número que multiplicou cada um dos termos da fração original => 77 : 11 = 7.
E a fração equivalente será: 3 x 7 / 8 x 7 = 21/56
Exemplo 7 - Uma torneira enche um tanque em 2 horas, uma segunda torneira o enche em 3 horas. Se abertas no mesmo instante, em quanto tempo encherão, juntas, o tanque ?
Resolução : Se a primeira torneira enche o tanque em duas horas, em uma hora ela encherá 1/2 do tanque; se a segunda torneira enche o tanque em 3 horas, em uma hora ele encherá 1/3 do tanque. Quando abertas simultaneamente, elas completarão em
uma hora a fração de 5/6 do tanque, dessa forma calculado: Se em uma hora ( 60 minutos ) as suas torneiras enchem 5/6 do tanque, 1/6 do tanque será completo em 1/5 da hora. => 60 x 1/5 = 12 minutosE todo o tanque será completo em 6 x 1/6 = 6 x 12 minutos = 72 minutos, ou 1 hora e 12 minutos =>1 h 12 min
Frações - Parte III
Expressões Fracionárias - Exercícios Resolvidos
Expressões Fracionárias - Exercícios Propostos
Respostas das Expressões Propostas
Problemas Sobre Frações - Exercícios Propostos
01) Com 12 litros de leite, quantas garrafas de 2/3 de litro poderão ser cheias ?
02) Coriolano faz um cinto com 3/5 de um metro de couro. Quantos cintos poderão ser feitos com 18 metros de couro ?
03) Qual é o número cujos 4/5 equivalem a 108 ?
04) Distribuíram-se 3 1/2 quilogramas de bombons entre vários meninos. Cada um recebeu 1/4 de quilograma. Quantos eram os meninos ?
05) Para ladrilhar 2/3 de um pátio empregaram-se 5 456 ladrilhos. Para ladrilhar 5/8 do mesmo pátio, quantos ladrilhos seriam necessários ?
06) Dona Solange pagou R$ 5.960,00 por 4/7 de um terreno. Quanto pagaria por 4/5 desse terreno?
07) Luciano fez uma viagem de 1.210 km, sendo 7/11 de aeroplano; 2/5 do resto, de trem, 3/8 do novo resto, de automóvel e os demais quilômetros, a cavalo. Calcular quantos quilômetros percorreu a cavalo ?
08) A terça parte de um número adicionado a seus 3/5 é igual a 28. Calcule a metade desse número ?
09) Carolina tinha R$ 175,00. Gastou 1/7 de 1/5 dessa importância. Quanto sobrou ?
10) Que número é necessário somar a um e três quartos para se obter cinco e quatro sétimos ?
11) A soma de dois números é 850. Um vale 12/5 do outro. Quais são eles ?
12) Se dos 2/3 de um número subtrairmos seus 3/7, ficaremos com 45. Qual é o número?
13) A soma de três números é 30. O primeiro corresponde aos 2/3 do segundo e este, aos 3/5 do terceiro. Calcular o produto destes três números.
14) Se 7/8 de um terreno valem R$ 21.000,00, qual é o valor de 5/48 do mesmo terreno?
15) Qual é o número que se da metade subtrairmos 8 unidades ficaremos com 1/3 dele mesmo ?
16) Da terça parte de um número subtraindo-se 12, fica-se com 1/6 do mesmo número. Que número é esse ?
17) Qual é o número que retirando 48 unidades de sua metade, encontramos a sua oitava parte ?
18) A diferença entre dois números é 90; um é 3/13 do outro. Calcular os números.
19) A soma de dois números é 345; um é 12/11 do outro. Calcule-os.
20) Seu Áureo tendo gasto 4/7 do dinheiro que possuía, ficou com 1/3 dessa quantia mais R$ 164,00. Quanto tinha o velho Áureo?
21) Divida R$ 1590,00 em três partes de modo que a primeira seja 3/4 da segunda e esta 4/5 da terceira.
22) Se eu tivesse apenas 1/5 do que tenho, mais R$ 25,00. teria R$ 58,00. Quanto tenho ?
23) A nona parte do que tenho aumentada de R$ 17,00 é igual a R$ 32,50. Quanto possuo ?
24) Zé Augusto despendeu o inverso de 8/3 de seu dinheiro e ficou com a metade mais R$ 4,30. Quanto possuía ?
25) Repartir 153 cards em três montes de forma que o primeiro contenha 2/3 do segundo o qual deverá ter 3/4 do terceiro.
26) Distribuir 3.717 tijolos por três depósitos de tal maneira que o primeiro tenha 3/4 do segundo e este 5/6 do terceiro.
27) O diretor de um colégio quer distribuir os 105 alunos da 4ª série em três turmas de modo que a 1ª comporte a terça parte do efetivo; a 2ª, 6/5 da 1ª, menos 8 estudantes e a 3ª, 18/17 da 2ª. Quantos alunos haverá em cada turma ?
28) Dividiu-se uma certa quantia entre três pessoas. A primeira recebeu 3/5 da quantia, menos R$ 100,00; a segunda, 1/4 , mais R$ 30,00 e a terceira, R$ 160,00. Qual era a quantia ?
29) Um número é tal que, se de seus 2/3 subtrairmos 1.036, ficaremos com 4/9 do mesmo. Que número é esse?
30) Das laranjas de uma caixa foram retirados 4/9, depois 3/5 do resto, e ficaram 24 delas. Quantas eram as laranjas ?
31) Marieta tinha R$ 240,00. Gastou um quinto dessa quantia, e, depois, a terça parte do resto. Com quanto ficou ?
32) Repartir R$ 671,00 entre três pessoas de modo que a primeira seja contemplada com 2/5 do que receber a segunda e esta, 3/8 do receber a terceira.
33) Dividir R$ 480,00 por três pessoas, de modo que as partes da primeira e da segunda sejam, respectivamente, 1/3 e 4/5 da parte a ser recebida pela terceira
34) Argemiro tinha R$ 375,00. Despendeu 2/5, menos R$ 6,00; depois a terça parte do resto, mais R$ 18,00. Quanto sobrou ?
35) Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 12 horas. Que fração do reservatório encherão em uma hora, as duas juntas ?
36) Uma torneira enche um reservatório em 2 horas e outra em 3 horas. Ambas, em que tempo enchê-lo-ão ?
37) Uma torneira enche uma cisterna em 1/8 da hora e uma válvula o esvazia em 1/4 da hora. Abertas, em que tempo o reservatório ficará completamente cheio ?
38) Uma torneira enche um depósito d'água em 1/14 da hora enquanto uma válvula pode esvaziá-lo em 1/9 da hora. Trabalhando juntas, em quanto tempo o líquido contido no depósito atingirá seus 5/6 ?
39) Um reservatório é alimentado por duas torneiras. A primeira pode enchê-lo em 15 horas e a segunda, em 10 horas. A primeira é conservada aberta durante 2/3 da hora e a segunda durante 1/2 hora. Que fração do reservatório ficará cheia ?
40) Claudia fez 2/9 de um trabalho em 12 horas e Mariana, 4/7 do resto em 8 horas. Quantas horas levarão para fazer a mesma obra, se trabalharem juntas ?
41) Taninha fez 2/5 de um bordado em 8 horas e Clarisse, 1/3 do resto em 6 horas. Em quanto tempo poderão concluí-lo, se trabalharem juntas ?
42) Vó Marieta é capaz de fazer um bordado em 16 horas e tia Celeste, 5/7 do resto em 15 horas. Em quanto tempo aprontarão o bordado todo, se operarem juntas ?
43) Roberval, um investidor no mercado de capitais, perdeu a quarta parte de um capital. Em outros negócios, ganhou o quíntuplo de R$ 30.000,00. Sendo a fortuna atual o dobro do capital inicial. Que capital era esse ?
44) Um quitandeiro vendeu ao primeiro freguês 3/5 das melancias que tinha, mais quatro, e ao segundo, 1/3, também do total. Tendo o primeiro ficado com mais duas dúzias de melancias do que o outro, pergunta-se quantas melancias o comerciante possuía e com quantas ficou ?
45) Andréa tem 2/9 do dinheiro necessário para comprar um apartamento, e seu marido, 3/11 dessa quantia. Se a essa importância o casal adicionar R$ 3.500,00 poderão comprar a casa própria. Qual é o preço do imóvel ? Quanto tem cada um deles ?
46) Uma torneira enche um reservatório em 6 horas e outra, em 2 horas. Ambas, funcionando conjuntamente, em que tempo encherão o reservatório ?
47) Uma torneira enche um tanque em duas horas e outra o esvazia em dez horas. O tanque estando vazio e abrindo-se as duas torneiras, em que tempo ficará ele completamente cheio ?
48) Silvana executa um bordado em nove horas de trabalho e Fernanda, em doze horas. Com auxílio de Eliane, aprontam-no em quatro horas. Calcular o tempo em que Eliane faria o mesmo bordado sozinha.
49) Alfredo pode pintar uma casa em sete horas de trabalho e seu irmão, em cinco horas. Juntos, que fração do trabalho executarão em uma hora ? Em quanto tempo farão todo a pintura da casa ?
50) Um trem partiu do Rio com um certo número de passageiros. Na primeira parada, saltaram 3/7 dos passageiros e na quarta entraram 40 pessoas. Em outras estações saltaram 5/8 dos passageiros restantes. O trem chegou à estação final com 36 passageiros. Com quantos passageiros o trem partiu do Rio ?
51) Um número vale 8/5 de um segundo ou 2/3 de um terceiro. Calcular os três números sabendo que sua soma é igual a 500.
52) Cuidadosamente, Severina, a empregada dos “Cavalcante” arruma uma bela cesta de maçãs. O patriarca ao ver as maçãs toma para si 1/6 das frutas, sua esposa pega 1/5 das restantes, o filho mais velho pega para si 1/4 do restante, o filho do meio e o mais novo pegam, respectivamente 1/3 e 1/2 dos restantes. Quando Severina chega e percebe o cesto praticamente vazio, fica magoada com a gulodice dos patrões e decide pegar para si as 3 frutas restantes. Quantas eram as maçãs arrumadas originalmente por Severina ?
Respostas - Problemas Sobre Frações
Frações - Parte IV
Exercícios Resolvidos e Questões de Concurso
Exercícios Propostos - Questões de Concurso
Respostas - Questões de Concurso
Propriedade das Proporções
Primeira Propriedade
Em toda proporção a soma (ou diferença) entre o primeiro e o segundo termo está para o primeiro (ou o segundo)
assim como a soma (ou diferença) entre o terceiro e o quarto termo está para o terceiro ( ou o quarto ).
Segunda Propriedade
Em toda proporção a soma (ou diferença) entre os antecedentes está para o soma (ou diferença) entre os conseqüentes assim como cada antecedente está para seu conseqüente.
Terceira Propriedade
Em toda proporção o produto entre os antecedentes está para o produto entre os conseqüentes
assim como o quadrado de cada antecedente está para o quadrado de seu conseqüente .
Proporções Múltiplas
Fator ( ou razão ) de proporcionalidade
Proporções - Exercícios Propostos
Proporções - Questões de Concurso
Proporções - Respostas dos Exercícios Propostos
Equação do Segundo Grau - Parte I
Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida :
ax2 + bx + c = 0
onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero.
Dessa forma : a é o coeficiente de x2 , b é o coeficiente de x e c é o termo independente.
Vejamos alguns exemplos :
Na equação : 2x2 + 3x - 5 = 0 o coeficiente a é 2 ; o coeficiente b é 3 e o termo
independente c é - 5
Na equação, expressa na incógnita m : 4m2 - 11m - 9 = 0 o coeficiente a é 4 ; o coeficiente b é - 11 e o termo independente c é - 9
Na equação : 5x2 - 7x = 0 o coeficiente a é 5 ; o coeficiente b é - 7 e o termo independente c é zero
Na equação : - x2 + 16 = 0 a = - 1 ; b = zero e c = 16
Na equação : 4x2 = 0 a = 4 ; b = zero e c = zero
Equações do Segundo Grau Completas
Quando uma equação do 2º grau apresentada em sua forma reduzida, possuir todos os coeficientes diferentes de zero, dizemos que é uma equação completa do 2º grau.
As equações : 7x2 + 8x - 1 = 0 , - 5x2 - 8x + 1,6 = 0 e - 0,4 x2 + x - 1,9 = 0 são equações completas do 2º grau, já que nas três equações os coeficientes de x2, de x e o termo independente são diferentes de zero.
Equações do Segundo Grau Incompletas
Quando uma equação do 2º grau apresentada em sua forma reduzida, possuir b = 0 ou c = 0 ou ainda b = c = 0, dizemos que é uma equação incompleta do 2º grau.
A equação: 4x2 - 1 = 0 é incompleta já que o valor do coeficiente b de x é igual a zero
A equação: 2x2 - 5x = 0 é incompleta já que o valor do coeficiente c é igual a zero
A equação: - 7x2 = 0 é incompleta já que o valor dos coeficientes b e c são iguais a zero
Raízes de uma Equação do Segundo Grau
Raiz ou solução de uma equação do 2º grau é todo o valor de x que torna verdadeira a igualdade ax2 + bx + c = 0
Se na equação x2 - 7x + 12 = 0, substituirmos x por 3 encontraremos:( 3 )2 - 7( 3 ) + 12 9 - 21 + 12 21 - 21 = 0 e com isso podemos afirmar que :3 é raiz da equação.
Se na equação x2 - 7x + 12 = 0, substituirmos x por 4 encontraremos:( 4 )2 - 7( 4 ) + 12 16 - 28 + 12 28 - 28 = 0 e com isso podemos afirmar que :4 é raiz da equação.
Se na equação x2 - 7x + 12 = 0, substituirmos x por 6 encontraremos:( 6 )2 - 7( 6 ) + 12 36 - 42 + 12 48 - 42 = 6 e com isso podemos afirmar que : 6 não é raiz da equação.
Os valores x = 3 e x = 4 são as duas raízes ou a solução da equação x2 - 7x + 12 = 0
Resolução de Equações Incompletas do Segundo Grau
Resolução de Equações Completas do Segundo Grau
Equações Literais do Segundo Grau
Equações Fracionárias do Segundo Grau
Toda equação do segundo grau que apresentar sua incógnita em denominador é denominada uma equação fracionária do segundo grau.
Os métodos de obtenção de suas raízes são exatamente os mesmo das equações já vistas nesse capítulo. No entanto, precisamos verificar as limitações que as incógnitas em denominador nos impõem.
Equação do Segundo Grau - Parte II
Resumo do Estudo das Raízes de uma Equação do Segundo Grau
Aplicações do Estudo das Raízes de uma Equação do Segundo Grau
Relação entre Raízes e Coeficientes de uma Equação do Segundo Grau
Soma das Raízes de uma Equação do Segundo Grau
O Produto das raízes de uma equação do segundo grau é igual ao quociente
entre o termo independente e o coeficiente do termo de 2º grau.
Equação do Segundo Grau em função da Soma e do Produto de suas Raízes
Relação Importante I - Quando as raízes de uma equação do 2º grau forem simétricas, a sua soma será nula.
Relação Importante II - Quando as raízes de uma equação do 2º grau forem inversas, o seu produto será igual a 1.
Aplicações das Relações entre Coeficientes e Raízes de uma Equação do 2º Grau
Equação do Segundo Grau - Parte I - Exercícios Propostos
Equação do Segundo Grau - Parte II - Exercícios Propostos
I - Compor, em x, as equações do 2º grau cujas raízes sejam:
Equação do Segundo Grau - Parte II - Questões de Concurso
Equação do Segundo Grau - Parte II - Respostas dos Exercícios
