matodos - tema 2 - algebra matricial

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Tema 2: Álgebra Matricial PARTE 1 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES TEORICAS 4. MATRIZES 4.1. Noção de matriz Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de transformações lineares. matriiz é uma tabela de elementos dispostos em linha e colunas. Matriz mxn é uma tabela de m.n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas (filas verticais). Consideremos os gastos de uma família (aproximadamente) - Renda Familiar Meticais Descrição Outubro Novembro Dezembro Média Supermercado 3500 3600 6400 4500 Saúde 800 400 120 440 Transporte 2000 2440 3000 2480 Vestiário 500 600 4000 1700 Higiene Pessoal 400 500 300 400 Lazer 200 600 100 300 Poupança 1200 300 00 500 Esta tabela pode ser transformda numa matriz: onde os nomes supermercado, saúde, transporte, vestiário, higiene pessoal, lazer e poupança são as linhas ( 7 ) e Outubro, Novembro, Mezembro e Média são as colunas ( 4 ). Assim a matriz 500 0 300 1200 300 100 600 200 400 300 500 400 1700 4000 600 500 2480 3000 2440 2000 440 120 400 800 4500 6400 3600 3500 , de ordem 7x4, que forma uma matriz com 28 elementos. Também podemos ver que 2440 está ocupando a posição na 3ª Linha e 2ª coluna ; e 1700 está na 4ª Linha e 4ª Coluna, etc. mn m m n n n m a a a a a a a a a A 2 1 2 22 21 1 12 11 , Uma matriz A m,n pode ser entendida como um conjunto de mn (m multiplicado por n) números, dispostos em m linhas e n colunas, conforme figura ao lado. Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou complexos), funcoes ou ainda outras matrizes. Notação de uma matriz Usamos a letra maiúscula para denotar matrizes, Por exemplo:

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  • Tema 2: lgebra Matricial

    PARTE 1

    ALGUMAS CONSIDERAES TEORICAS 4. MATRIZES

    4.1. Noo de matriz

    Matrizes formam um importante conceito em matemtica, de especial uso no estudo de transformaes

    lineares. matriiz uma tabela de elementos dispostos em linha e colunas. Matriz mxn uma tabela de m.n nmeros reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas

    (filas verticais).

    Consideremos os gastos de uma famlia (aproximadamente) - Renda Familiar Meticais

    Descrio Outubro Novembro Dezembro Mdia

    Supermercado 3500 3600 6400 4500

    Sade 800 400 120 440

    Transporte 2000 2440 3000 2480

    Vestirio 500 600 4000 1700

    Higiene Pessoal 400 500 300 400

    Lazer 200 600 100 300

    Poupana 1200 300 00 500

    Esta tabela pode ser transformda numa matriz: onde os nomes supermercado, sade, transporte,

    vestirio, higiene pessoal, lazer e poupana so as linhas ( 7 ) e Outubro, Novembro, Mezembro e

    Mdia

    so as colunas ( 4 ). Assim a matriz

    50003001200

    300100600200

    400300500400

    17004000600500

    2480300024402000

    440120400800

    4500640036003500

    , de ordem 7x4, que forma uma

    matriz com 28 elementos. Tambm podemos ver que 2440 est ocupando a posio na 3 Linha e 2

    coluna ; e 1700 est na 4 Linha e 4 Coluna, etc.

    mnmm

    n

    n

    nm

    aaa

    aaa

    aaa

    A

    21

    22221

    11211

    ,

    Uma matriz Am,n pode ser entendida como um

    conjunto de mn (m multiplicado por n) nmeros,

    dispostos em m linhas e n colunas, conforme

    figura ao lado.

    Os elementos de uma matriz podem ser nmeros

    (reais ou complexos), funcoes ou ainda outras

    matrizes.

    Notao de uma matriz

    Usamos a letra maiscula para denotar matrizes, Por exemplo:

  • 2

    1. Uma matriz de ordem 2x2:

    40

    12A ou

    40

    12 A

    1. Uma matriz de ordem 2x3:

    61

    5

    2

    034

    D onde: a11 = 4, a12 = -3, a21 =5

    2, a1 3= 0, a22 = 1, a23 =6

    4.2. Igualdade de matrizes

    Definio:Duas matrizes Am,n e Br,s so iguais, se e somente se, os elementos da mesma posio so

    iguais, ou seja, tm o mesmo numero de linhas (m = r) e colunas (n = s)os elementos correspondentes

    so iguais.

    Por exemplo:

    542

    0909

    522

    1lg13

    2

    2sen

    4.3. Tipos de matrizes

    4.3.1 Matriz quadrada aquela cujo o nmero de linhas igual ao numero de colunas (m = n)

    Exemplo:

    20

    71A uma matriz quadrada de ordem 2x2 (matriz quadrada de ordem 2).

    654

    103

    021

    B uma matriz quadrada de ordem 3x3 (matriz quadrada de ordem 3).

    7A uma matriz quadrada de ordem 1x1 (matriz quadrada de ordem 1).

    4.3.2. Matriz nula aquela em que ija = 0, para tudo i e j.

    Exemplo:

    00000

    00000

    00

    00

    5322BeA

    4.3.3. Matriz coluna aquela que possui uma nica coluna (n = 1).

    Exemplo:

    y

    xBeA

    9

    7

    2

    4.3.4. Matriz linha aquela onde (m = 1).

    Exemplo: 0054,019 BeA

    4.3.5. Matriz diagonal uma matriz quadrada (m = n) onde ija = 0, para

    i j, isto os elemaentos que no esto na diagonal so nulos.

    Exemplo:

    800

    070

    002

    A ;

    10000

    0300

    0040

    0009

    B e

    000

    000

    000

    C

  • 3

    4.3.6. Matriz Indentidade ou Matriz Unidade uma matriz quadrada em que iia = 1 e ija =

    0, para i j.

    Exemplo:

    10

    01

    2I , matriz identidade de ordem 2;

    100

    010

    001

    3I , matriz identidade de ordem 3;

    1000

    0100

    0010

    0001

    4I , matriz identidade de ordem 4, e etc.

    4.3.7. Matriz triangular superior uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da

    diagonal so nulos, isto m = n e ija = 0, para i > j

    Ex:

    c

    baeA

    0

    6000

    5300

    7410

    8012

    B

    4.3.8. Matriz triangular inferior aquela que m = n e ija = 0, para i < j.

    Exemplo:

    574

    032

    001

    4501

    0221

    0011

    0002

    BeA

    4.3.9. Matriz simtrica aquela que m = n e ija = jia .

    Exemplo:

    kigd

    ihfc

    gfeb

    dcba

    BeA

    501

    023

    134

    4.4. Operaes sobre Matrizes

    4.4.1. Adio de matrizes

    A soma de duas matrizes ij

    aA e ij

    bB a matriz ijij

    baBA , ambas do mesmo tipo

    mxn .

    Exemplo: Dadas as matrizes

    95

    61A e

    43

    20B , calcular A + B.

    A + B =

    95

    61 +

    43

    20 =

    132

    41

  • 4

    Propriedades da Adio de Matrizes:

    Sejam A , B e C matrizes de mesma ordem mn, ento: 1. A adio de matrizes comutativa: A + B = B + A 2. A adio de matrizes associativa: (A + B) + C = A+ (B +C)

    3. A matriz nula neutra na adio: A + O = O + A = A , onde O denota a matriz nula mn.

    4.4.2. Transposio de Matrizes Quando se troca ordenadamente as linhas pelas colunas de uma matriz, a nova matriz chamada

    matriz transposta.

    Exemplo:

    0110

    864

    752

    A a sua transposta

    087

    165

    1042

    tA .

    Propriedades da Matriz Transposta

    Sejam A e B matrizes mn e k um escalar. Ento:

    1. AAt

    t

    2. ttt

    BABA

    3. tt

    AkAk ..

    Obs: Se A simtrica ento tAA .

    4.4.3. Matriz Anti-simtrica

    Uma matriz quadrada nxnij

    aA , diz-se anti-simtrica quando jiij

    aa para todo i, ni 1 , para

    todo j, nj 1 .

    Obs: Se A simtrica ento tAA ; os elementos da diagonal principal so todos nulos.

    Exemplo: A matriz

    0

    0

    0

    cb

    ca

    ba

    A anti-simtrica

    4.4.4. Multiplicao de uma Matriz por uma Constante

    Seja a matriz Am,n e k um escalar (k IR). A matriz P = k A uma matriz mn tal que cada elemento de P dado por: pij = kaij.

    Exemplo:

    0210

    282

    1464

    015

    141

    732

    2 A

    Propriedades da multiplicao de uma matriz por um escalar

    Sejam A e B matrizes mn e k1 e k2 escalares. Ento:

    1. k1 (A + B) = k1A + k1B

    2. k2 (k1A) = (k2 k1)A.

    3. k2A + k1A = (k2 + k1)A

  • 5

    4. Se k1A = k1B ento A = B.

    4.4.5. Matriz Oposta Matriz oposta de uma matriz A uma que somada com a matriz A, resulta na matriz Nula.

    Exemplo:

    13

    07A a sua oposta :

    13

    07A

    4.4.6. Multiplicao de Matrizes

    Sejam nmij

    aA

    e pnrs

    bB

    . Definimos pmuv

    cAB

    , onde nvunvu

    n

    k

    kvukuvbababac

    11

    1

    Observao: preciso que o nmero de colunas da primeira matriz seja igual ao nmero de linhas da

    segunda matriz. Caso isso no acontea a multiplicao impossivel.

    Assim, por exemplo:

    a) 4332 xx

    XBA 42 x

    C , isso significa que se voc multiplica uma matriz de ordem 2x3 por uma matriz

    3x4, o resultado, ou seja, o produto uma matriz de ordem 2x4;

    b) 1443

    .xx

    AM 13 x

    D

    Exemplo:

    1. Dadas as matrizes

    3

    2

    5

    4

    12

    23A e

    40

    11

    22B Calcule BA

    Resoluo:

    23

    2223 75

    44

    22

    43150315

    42)1(40214

    41120112

    40

    11

    3

    2

    5

    4

    12

    BA

    2. Dadas as matrizes

    012

    123

    111

    A e

    321

    642

    321

    B Calcule BA e AB

    Resoluo:

    012

    123

    111

    BA

    321

    642

    321

    =

    000

    000

    000

    321

    642

    321

    AB

    012

    123

    111

    =

    1611

    21222

    1611

    Obs. BA AB e que BA = O, sem que A = O ou B = O.

    Propriedades de multiplicao de matrizes

  • 6

    1. A multiplicao de matrizes no comutativa. 2. A multiplicao de matrizes associativa: (A.B).C=A.(B.C)

    3. A multiplicao de matrizes distributiva em relao adio: A.(B+C)=A.B+A.C

    4. Multiplicao de um nmero real por uma matriz: BABA ....

    5. Multiplicao pela matriz identidade: AAIIAnn

    6. Multiplicao pela matriz nula: OOIOAn

    7. n

    IA 0 , se A 0

    8. A1=A

    9. ,.1 AAA pp para p N

    10. AP=A.A.A..A, p fatores

    11. ttt

    ABBA ..

    Matrizes especiais

    Uma matriz A nilpotente de ndice k natural, se: Ak = 0

    Uma matriz A peridica de ndice k natural, se: Ak+1= A

    Uma matriz A idempotente, se: A2 = A

    As matrizes A e B so comutativas, se: A B = B A

    As matrizes A e B so anti-comutativas, se: A B = - B A

  • BIBLIOGRAFIA

    [1] A. C. Chiang, Matemtica para Economistas, Editora McGraw-Hill, So Paulo, 1982. [2] L. D. Hoffmann, Clculo: Um Curso Moderno e Suas Aplicaes, Livros

    Tcnicos e Cientficos Editora, Rio de Janeiro, 1995.

    [3] M. Rosser, Basic Mathematics for Economists, Editora Routledge, Londres, 1993.

    [4] Ayres, Frank Jr. & Mendelson, Elliott; Clculo Diferencial e Integral.

    [5] Beiro, Joo carlos, Intoduo Anlise Matemtica, Textos Editores, 2006

    [6] Nhze, Ismael Cassamo, Matemtica 10 Classe, Textos Editores, 2006

    [7] N. Piskounov, Clculo Diferencial e Integral, Volume I, Lopes da Silva Editora, 1986

    [8] Bucchi, Paulo, Matemtica Volume nico, Editora Moderna, So Paulo,1992 [9] Boldrini, Jos; Costa, Sueli; Figueredo, Vera; Wetzeler, Henry; gebra Linear,

    3 Edio, Editora Harbra, 1980