• M O T I V A Ç Ã O• F U N Ç Õ E S C O M P L E X A S

• definições• propriedades (Teorema de Cauchy)

• C A M I N H O D E N Y Q U I S T• D I A G R A M A S D E N Y Q U I S T• C R I T É R I O D E E S T A B I L I D A D E D E N Y Q U I S T

• estabilidade Relativa • Margem de Ganho• Margem de Fase

• S I S T E M A S M U L T I V A R I Á V E I S

1Método de Nyquist

Motivação2

Determinação e medida da estabilidade absoluta erelativa, que outros métodos não conseguem fazer.

Aplicável a funções de transferências transcen-dentais ou determinadas experimentalmente.

Obs.: plano-s (P(s)) plano dospolos e zeros!!!

p1*

p1P(s)(plano-s)

Funções Complexas3

A variável independente (frequência) s de Laplace é dada por: s = σ+ωj

P(s)(plano-s)So

σo

ωo

ωj

σ

Funções Complexas4 Como s= σ + ωj, para representar G(s) são

necessários dois planos:P(s)(plano-s)

So

σo

ωo

ωj

σψ(s)(plano complexo)

Im(G)

Re(G)Domínio Contra-domínio

TransformaçãoG(So)

Funções Complexas: ex. 3D 5

Definições6

a) A derivada de G(s) no ponto so é dada por:

b) Se a derivada existe no interior de uma região doplano complexo, onde os extremos são finitos edefinidos, G(s) é dita analítica nesta região.

c) Pontos de G(s) que não são analíticos, sãochamados pontos singulares ou singularidades deG(s). Todo polo de G(s) é uma singularidade.

.)()(lim sossoGsG

dsdG

sossos

Definições7

d) Um curva fechada no plano complexo é uma curva contínua que começa e termina num mesmo ponto Im(G)

Re(G)

Definições8

e) Todos os pontos que ficam à direita de uma curva quando se anda no sentido pré-estabelecido são ditos contornados pela curva (pontos em amarelo).Im(G)

Re(G)

Definições9

Re(G)

Im(G) Origem contornada

Definições10

Re(G)

Im(G) Origem fora da região contornada.

Definições11

Re(G)

Im(G) Origem contornada uma vez,positivamente

f) O sentido horário (SH) será considerado o sentido positivo

Definições12

Re(G)

Im(G) Uma volta positiva ao redor da origem.

g) Uma curva fechada dá n vezes na origem positivamentequando a reta que liga a origem a um ponto da curva percorrer nx360° no sentindo horário.

θ

Definições13

Re(G)

Im(G) Volta negativa ao redor da Origem.

θ

Definições14

No=+1

Re(G)

Im(G)θ

Voltas líquidas: No= nxSH-mxSAH

Propriedades da Transformada G(s)15

Para G(s) analítica, a transformação é: Unívoca Contornos no plano-s (P(s)) excluem singularidades A transformada é conforme: ângulos e orientação

relativas no plano-s são preservadas no plano complexo do contra-domínio (ψ(s)).

Transformada conforme trajetória fechada no plano-s trajetória fechada no plano ψ(s).

Transformada conforme16P(s) ψ(s)

Teorema de Cauchy17

Também conhecido como Princípio do Argumento“ O número de voltas (No) num contornofechado ao redor da origem do plano ψ(s) éigual ao número de zeros (Zo) menos onúmero de polos (Po) de G(s) que sãocontornados por uma curva fechada noplano-s:

No= Zo-Po. ”

Teorema de Cauchy18

Ilustração:ωj

σ

P(s)(plano-s)

Domínio

Teorema de Cauchy19

Ilustração:Im(G)

Re(G)

ψ(s)

No= +1

Contra-domínio

SH

Teorema de Cauchy (cont.)20

Se a origem é contornada no sentido horário pelacurva no plano ψ(s), então No>0, caso contrárioNo≤0, isto é, a origem não é contornada ou écontornada negativamente (SAH).Im(G)

Re(G)

ψ(s)No= -1 SAH

GE(s) Y(s)

TH

Critério de Estabilidade de Nyquist21R(s)

Φ(s)GH(s)Φ(s)

GHGsT

GH(s)

de zeros MFde Polos:obs01

1)( :FTMF :FTMA

Critério de Estabilidade de Nyquist Para estabilidade em MF sabemos que os polos deMF, portanto os zeros de Φ(s), devem estar todos nosemi-plano esquerdo do plano-s (P(s)), isto é, devemter todos parte real negativa. Nyquist propôs um critério de estabilidade baseadono teorema do argumento de Cauchy e nos planosP(s) e ψ(s). Ele criou uma curva fechadaenglobando todo o semi-plano direito de P(s) eusando a equação característica Φ(s) para criar aimagem em ψ(s) pôde associar os zeros e poloscontornados em P(s) com os contornos da origem emψ(s). A curva fechada em P(s) é conhecida como oCaminho de Nyquist.

22

Caminho de Nyquist23

Caminho de Nyquist24

Caminho de Nyquist25

O Caminho de Nyquist é a curva fechada C no plano-s, que contorna todos os pontos no semi-planodireito. Se G(s) tem polos no eixo imaginário ou na origem, a curva C contorna estes pontos com pequenas circunferências de raio ρ→0.

O raio R de C tende para infinito: R ∞ , de modo que a curva engloba todo o semi-plano direito do plano-s. Evidentemente, a curva C contornará todos os polos e zeros de G(s) que estiverem no semiplano direito.

Critério de Estabilidade de Nyquist26

Im(Φ)

Re(Φ)

Caminho de Nyquist Diagrama de Nyquist

Φ(s)O

213:)(argumentoCauchy deTeorema Pelo

DDo -PZN

Critério de Estabilidade de Nyquist

origem)!da redor ao positivas (voltas MFeminstávelseria anterior slide dosistema O :Obs

(s).tica caracterís equaçãoda instáveis polos de número ao igualser deve -plano do

(SAH) horário-anti sentido no origemda redor ao voltasde número o ,para é, isto

0 para :Nyquist

MF)de polos(s) de zeros :(Obs. :Cauchy

Ψ(s)

deestabilidaPN

ZdeestabilidaZ

PZN

Do

D

D

DDo

27

Critério de Estabilidade de Nyquist

. -plano do 1 ponto doredor ao de voltasasolhar podemos -plano do

origemda redor ao de voltasas olharmos de invés Ao.1 01 )2

tica).caracterís equaçãoda polos MAde polos(0 de polos de polos

0)()(11 )1

Ψ(s)-GH(s)Ψ(s)

Φ(s)GH(s)GH(s)Φ(s)

D(s)Φ(s)GH(s)DKND

sDsNKGH(s)Φ(s)

28

Critério de Estabilidade de Nyquist29

Considerando: GH(s)=-1“Um sistema de controle em malha

fechada é estável se e somente se:N1 ≤ -PGH

isto é, o número de voltas ao redor do ponto -1no plano complexo ψ(s) seja nulo ounegativo (sentido anti-horário) e igual aonúmero de polos instáveis da função detransferência de malha aberta (GH(s))”

Critério de Estabilidade de Nyquist30

Im(GH)

Caminho de Nyquist Diagrama de Nyquist

GH(s)ORe(GH)

-1

nte)positivame contornado (-1 instávelhada Malha Fecemsistema

:Nyquist de Critério Pelo

Critério de Estabilidade de Nyquist31

Se N1>0 (ponto -1 contornado positivamente) SISTEMA INSTÁVEL. Se a FTMA (GH(s)) for instável, isto é, possuir PGHpolos instáveis no semiplano direito de P(s) e

(sistema físico), então, paraestabilidade em Malha Fechada, o diagrama deNyquist deve contornar o ponto -1 no plano ψ(s)PGH vezes no sentido anti-horário. Se N1≤0 e PGH=0 (FTMA estável) o sistema em MFé estável se e somente se N1=0 (isto é, -1 não écontornado em ψ(s).

cte)(lim

sGHs

32

Critério de Estabilidade de NyquistQuando N1≤0, o ponto -1 não é contornado positivamente

Im(GH)

O-1

Im(GH)

ORe(GH)-1-1 Re(GH)

Diagramas polares e Diagramas de Nyquist

33 G(s) com s= σ + ωj.

No caso especial em que σ = 0, G(ωj) é a função detransferência senoidal. O plano-s torna-se a reta doeixo imaginário. G(ωj) pode ser descrita no contra-domínio em função de um único parâmetro, afrequência ω. Com o auxílio da reta ωj do plano-s,constroem-se os diagramas polares no plano ψ(s). Usando s= σ + ωj constroem-se os diagramas deNyquist, que são todos curvas fechadas em ψ(s). Os ‘softwares’ como Matlab ou Scilab constroemapenas os diagramas polares. Quando eles foremabertos deverão ser fechados ‘manualmente’, atravésde métodos analíticos ou gráficos.

34

jΦejGjwGjGjG )()()()( Diagramas polares

Im(G) ψ(s)

Re(G)

ωo)( jG

Φ

35

)()()(

)()()()(

)()()(

21

2121

21

jwGjwGjwGeejwG

jwGjwGjGjwGjwGjGjΦΦjjΦ

Diagramas polares

21GG

ΦΦ1

1GΦ22G

Diagramas polares e Nyquist36

A serem desenvolvidos em aula: Sistemas do tipo zero: 1ª e 2ª Ordem e ordem superior.

Diagramas polares fechados Sistemas do tipo um:

Diagrama polar aberto, uma semicircunferência de raio infinito. Sistemas do tipo dois:

Diagrama polar aberto, duas semicircunferências de raio infinito. Sistemas do tipo q:

Diagrama polar aberto, q semicircunferências de raio infinito.

Diagramas polares e Nyquist37

A serem desenvolvidos em aula: Sistemas do tipo zero: 1ª e 2ª Ordem e ordem superior.

Diagramas polares fechados Sistemas do tipo um:

Diagrama polar aberto, uma semicircunferência de raio infinito. Sistemas do tipo dois:

Diagrama polar aberto, duas semicircunferências de raio infinito. Sistemas do tipo q:

Diagrama polar aberto, q semicircunferências de raio infinito.

38

Exemplos

-1 MF!em estávelsistema

nte)positivame contornado é não (-1 0N caso, Neste0N :deestabilidaPara

estável ntemarginalme 10

)1(1)(

1

1

2

1

GHs

ssssGH Ψ(s)

39

r ∫B yx

D

A

Cy

xe

Estabilidade Nominal - MIMO

40Estabilidade Nominal - MIMO

0:. .)( com ],[

)4( )(,)3(

:com malha a Fechando0:. .)(

)()()2()1()(,

1

1)(

FFF

FFF

A

caractEqs

o

caractEqs

ss

o

sFTMA

AsIAsIΦIDCD)B(IAA

xxrBxAxyre

AsIAsIΦ

EDBA)C(sIYDeCxy

xxBeAxx

1o

1

o

L

41Estabilidade Nominal - MIMO

ILIL

AIAIIL

AIAIIL

ILAIAI0D

FF

F

F

de zeros MFde poloshada. Malha Fecde ticascaracterís as descreve 0

MFde de 0:raízes de tocancelamenhouver não

00

:facilidadepor

polosszerossse

ssss

Estabilidade Nominal - MIMO42

Seja: L(jw) = GK(jw) com PR polos instáveis:N = - PR (PR voltas no SAH ao redor de -1).“ O sistema em MF com matriz de transferência demalha aberta L(s) com PR polos instáveis é estável see somente se o diagrama de Nyquist do det(L(jw))não passa pelo ponto -1 e o contorna PR no SAH,quando s percorre o Caminho de Nyquist”