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Matlab

Índice

1.1 Introdução ............................................................................................. 2

1.2 Operações Matriciais ............................................................................ 8

1.3 Operações de Vetores ou Array .......................................................... 10

1.4 Manipulação Matricial e Vetorial ....................................................... 13

1.5 Funções Matriciais .............................................................................. 20

1.6 Polinômios e Processamento de Sinais ............................................... 21

1.7 Funções de Funções ............................................................................ 23

1.8 Gráficos ............................................................................................... 28

1.9 Controles de Fluxo .............................................................................. 36

1.10 Arquivos M ......................................................................................... 39

1.11 Manipulação de Arquivos ................................................................... 46

1.12 Depuração ........................................................................................... 48

1.13 Toolbox de Matemática Simbólica ..................................................... 48

1.14 Toolbox de Sistema de Controle ......................................................... 59

2

1.1 Introdução

Parte do material deste texto é uma adaptação livre dos próprios manuais

disponíveis do MATLAB.

MATLAB é um ambiente de computação técnica de visualização e

processamento numérico de alto desempenho. Ele integra análise numérica,

cálculo matricial, processamento de sinais, vários aplicativos e gráficos num

ambiente amigável.

O nome MATLAB é acrônimo de laboratório de matrizes. Ele foi

originalmente escrito para permitir um acesso fácil aos programas de cálculo

matriciais desenvolvidos pelos projetos LINSPACK e EISPACK, que juntos

representavam o estado da arte em programas de cálculo matricial.

MATLAB também contempla uma família de aplicativos específicos

chamados “toolboxes” na forma de coleções de funções MATLAB, estendendo

o ambiente MATLAB na solução de problemas particulares. Entre outros, temos

os seguintes toolboxes: Processamento de Sinais; Identificação de Sistemas;

Redes Neurais; Otimização etc.

O MATLAB trabalha essencialmente com um tipo de objeto: Matriz

retangular numérica (real ou complexa). Em algumas situações existe

significado especial agregado à matrizes de dimensão 1 (escalares) e matrizes

com uma só linha ou coluna (vetores). A linguagem MATLAB não usa

declaração preliminar ou dimensionamento de variáveis. Isso é feito de forma

automática.

Matrizes podem ser adicionadas no ambiente de várias formas, contudo a

forma mais simples para matrizes pequenas é entrando com a lista dos

elementos, seguindo a seguinte convenção:

Separe os elementos com espaços ou vírgulas.

Delimite os elementos com colchetes [ ].

Use ; (ponto-e-vírgula) para indicar o final da linha.

Introdução ao MATLAB 3

Exemplo:

» A = [ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9 ]

Resulta: A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Elementos de uma matriz podem ser quaisquer expressões MATLAB. Por

exemplo:

» x = [ -1.3 sqrt(3) (1+2+3)*4/5 ]

Resulta: x =

-1.3000 1.7321 4.8000

Elementos individuais podem ser referenciados pelo seu índice (linha,coluna).

Veja o exemplo a seguir:

» x(5) = abs( x(1) )

Resulta: x =

-1.3000 1.7321 4.8000 0 1.3000

Ao atribuir um valor numérico à x(5), automaticamente x(4) é criado com valor

nulo. Você pode construir matrizes maiores usando matrizes menores como seus

elementos. Por exemplo, vamos adicionar uma linha à matriz A:

» r = [ 10 11 12 ]; » A = [ A; r ]

Isto resulta em:


A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Você pode extrair sub matrizes de uma matriz maior usando “:” (dois pontos).

Por exemplo:

» A = A( 1:3 , : );

Remove as três primeiras linhas e todas as colunas da matriz atual A e coloca o

resultado em A.

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Variáveis e Declarações do MATLAB

Declarações no MATLAB são frequentemente feitas da seguinte forma:

» variável = expressão

ou simplesmente,

» expressão

Quando o nome da variável é omitido, o nome ans é usado como variável

default.

Uma definição normalmente termina com ENTER. Se o último caracter é

um ponto-e-vírgula, ele suprime a apresentação no vídeo, embora faça a


atribuição da mesma forma. Isto é especialmente importante nas situações que o

resultado é muito grande, tal como uma matriz de 10 linhas e 10 colunas.

Se a expressão é muito grande e não cabe em uma linha, use (...) para

continuar a definição na linha seguinte. Exemplo:

» s = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 -1/6 + 1/7 ...

- 1/8 + 1/9 - 1/10 + 1/11 - 1/12;

Você pode formar uma variável ou nome de função com uma letra

seguida de qualquer quantidade de letras ou traço-baixo (underscore). O

MATLAB diferencia letras maiúsculas de minúsculas e usa somente os

primeiros 19 caracteres do nome.

Obtendo Informação da Área de Trabalho (workspace)

Para listar as variáveis ativas use o comando who. Para obter mais

informações sobre as variáveis como: nome, tamanho, número de elementos,

etc., use o comando whos.

O Utilitário de HELP

O comando help produz informações resumidas sobre funções

específicas ou sobre tópicos do MATLAB. Para listar um grupo de funções,

digite help seguido do nome do grupo de funções. Exemplo:

» help matfun

Para obter auxílio sobre uma função específica digite help e o nome da

função. Exemplo:

» help inv


Para localizar palavras-chaves em todos os arquivos do MATLAB, use o

comando lookfor. Exemplo:

» lookfor inverse

ifft - Inverse discrete Fourier transform. ifft2 - Two-dimensional inverse discrete Fourier transform. ifftn - N-dimensional inverse discrete Fourier transform. ifftshift - Inverse FFT shift. acos - Inverse cosine, result in radians.

Salvando e Saindo

Para sair do MATLAB digite exit. Encerrando uma seção do MATLAB,

apaga-se todas as variáveis da área de trabalho (workspace). Se for necessário,

salve suas variáveis digitando save. Este comando salvará todas as variáveis em

um arquivo chamado matlab.mat. Para recuperar as variáveis use o comando

load. Você também pode salvar somente algumas variáveis e usar o nome de

um arquivo qualquer. O exemplo a seguir salva as variáveis x, y e z no arquivo

temp.mat. » save temp x y z

Números e Expressões Aritméticas

O MATLAB usa notação convencional com potência de dez ou unidade

complexa como sufixo: -4.534i 1.760217e-11

O MATLAB usa 16 dígitos significativos e expressões aritméticas são

calculadas com a seguinte prioridade, de cima para baixo

^ potenciação \ divisão à esquerda / divisão à direita * multiplicação - subtração + adição


Algumas funções internas retornam valores especiais. A função pi retorna

o valor de , a função inf retorna , etc. O MATLAB dispões das funções

matemáticas elementares normalmente encontradas em calculadores científicas.

Essas funções incluem, por exemplo: abs, sqrt, log, sin. Se uma operação

resultar em infinito isso não implica em erro, simplesmente aquela variável terá

o valor infinito. O mesmo ocorre para operações inválidas como / ou 0/0. O

resultado é NaN (Not a Number).

Formato de Saída

Para alterar a formatação do número a ser apresentado na tela, utilize o

comando format. Exemplos:

» x = [ 4/3 1.2345e-6 ]

» format short

1.3333 0.0000

» format short e 1.3333e+00 1.2345e-06

Funções

Grande parte do poder do MATLAB vem do enorme conjunto de funções.

Algumas das funções são internas ao processador MATLAB e outras são

disponíveis como bibliotecas externas na forma de M-files. O conjunto de

funções aplicadas a uma área específica é denominado toolbox. Cada usuário

pode criar suas próprias funções que se comportam como se fossem funções

internas. As seções adiante discutem cada uma das diferentes categorias de

funções analíticas do MATLAB básico.

É possível combinar funções de várias formas. Exemplo:

» x = sqrt( log(z) )


Algumas funções usam dois ou mais argumentos, e cada argumento pode

ser uma expressão. Exemplo:

» angulo = atan2(y,3*x)

Existem funções que retornam dois ou mais valores. Nestes casos, os

valores de saída devem estar entre colchetes [ ] e separados por vírgula.

Exemplo:

» [ V, D ] = eig( A )

A função eig calcula os autovetores e os autovalores de A,

respectivamente.

1.2 Operações Matriciais

Transposta de uma Matriz

O caracter ' (apóstrofe) denota transposta de uma matriz. Se z for

complexo, z' é o transposto conjugado complexo de z. Exemplo:

» A = [ 1 2; 3 4 ]

A = 1 2 3 4

» B = A' B = 1 3 2 4


Adicionando e Subtraindo Matrizes

Os símbolos + e - denotam adição e subtração de matrizes. Portanto, a

operação é definida se as matrizes têm a mesma dimensão. Exemplo:

» C = A + B

C = 2 5 5 8

A adição e subtração são definidas também para o caso que um dos

operandos é um escalar. Exemplo:

» D = C - 2

D = 0 3 3 6

Multiplicação de Matrizes

O símbolo * denota multiplicação de matrizes e é válida sempre que

dimensões internas dos dois operandos forem iguais. Exemplo:

» E = A * B

E = 5 11 11 25

Naturalmente, um escalar (matriz de dimensão 1) pode multiplicar ou ser

multiplicado por qualquer matriz. Exemplo:

» F = 2*E

F = 10 22 22 50


Divisão de Matrizes

Existe dois símbolos de divisão de matrizes: / e \. Os significados são: X = A\B é solução do sistema A*X = B X = B/A é solução do sistema X*A = B

Funções Elementares e Transcendentais

O MATLAB considera expressões como exp(A) e sqrt(A) como operação

sobre cada um dos elementos de um vetor (linha ou coluna). Existem funções

para calculo de funções transcendentais de matrizes, quando essas são

quadradas. Exemplos:

expm exponencial de uma matriz

logm logaritmo de uma matriz

sqrtm raiz quadrada de uma matriz

Outras funções elementares sobre matrizes incluem:

poly polinômio caraterístico

det determinante

trace traço

1.3 Operações de Vetores ou Array

Refere-se às operações com vetores ou array as operações aritméticas

realizadas elemento a elemento ao invés da operação matricial algébrica usual

definida pelos símbolos * \ / ^ e '. Para indicar que a operação é elemento-a-

elemento usa-se um ponto (.) antes do símbolo da operação.


Somando e Subtraindo Arrays

Para a adição e subtração, as operações de arrays e as de matrizes são as

mesmas. Neste caso + e - podem ser usados sem o ponto.

Multiplicando e Dividindo Arrays

O símbolo .* denota multiplicação elemento-a-elemento. Se A e B têm

mesma dimensão, então A.*B resulta num array cujos elementos são o produto

dos elementos individuais de A e de B. Exemplo:

» x = [1 2 3]; y = [4 5 6]; » z = x.*y

z = 4 10 18

A expressão A./B e A.\B resulta no quociente de cada elemento. Exemplo:

» z = x.\y

z = 4.0000 2.5000 2.000

Usando Potenciação com Arrays

O símbolo .^ denota potenciação elemento-a-elemento. Exemplo:

» z = x.^y

z = 1 32 729

Operadores Relacionais

Para se comparar matrizes de dimensões idênticas, existem operadores

relacionais:


< menor <= menor ou igual > maior >= maior ou igual == igual ~= diferente

O MATLAB compara os pares de elementos correspondentes. O

resultado é uma matriz de "uns" e "zeros", onde "um" representa "verdadeiro" e

"zero" representa "falso". Exemplo:

» 2 + 2 ~= 4

ans = 0

O exemplo abaixo, ilustra como encontrar os elementos da matriz A que

são divisíveis por 3:

» A = [8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]; » G = rem(A,3); » P = (G == 0)

P = 0 0 1 1 0 0 0 1 0

A função rem(A,3) retorna a matriz dos restos da divisão por 3. Cada um

dos elementos de G informa se a operação relacional é falsa (0) ou

verdadeira (1).

A função find é muito usada em conjunto com operadores relacionais. O

exemplo abaixo ilustra como localizar todos os elementos de Y que são maiores

que 3 e substituí-los por 10.

» Y = [1 2 3 4 5 6 7 8 9]; » i = find(Y > 3.0); » Y(i) = 10*ones(size(i));


Operadores Lógicos

Os operadores &, |, e ~ são os operadores lógicos "e", "ou" e "não"

respectivamente. As funções any e all são muito utilizadas em conjunto com

operadores lógicos. A função any(x) retorna "1" se qualquer elemento de x for

não nulo e retorna "0" caso contrário. A função all(x) retorna "1" somente se

todos os elementos de x são não nulos. Essas funções são particularmente úteis

na declaração de um comando if.

if all(A < 0.5) faça alguma coisa end

Funções Matemáticas

Um conjunto de funções matemáticas elementares são aplicáveis

elemento-a-elemento. Exemplo:

» A = [ -1 2 -3; 4 -5 6]; » B = abs(A)

B = 1 2 3 4 5 6

1.4 Manipulação Matricial e Vetorial

A capacidade de indexação do MATLAB permite manipulação de linhas

e colunas, elementos individuais e submatrizes de matrizes. Os vetores são o

ponto central da indexação e eles são gerados com o uso de “:” (dois pontos).

Gerando Vetores

A declaração abaixo ilustra a criação de um vetor usando (:) dois pontos:


» x = 1:5 x =

1 2 3 4 5

Você pode também criar o vetor com incrementos diferentes da unidade.

No exemplo a seguir o passo é de /4.

» y = 0 : pi/4 : pi y =

0.0000 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416

» z = 6: -1 : 1 z =

6 5 4 3 2 1

A uso de (:) permite a criação rápida de tabelas como ilustrado a seguir:

» x = (0 : 0.2 : 3)'; » y = exp(-x) .* sin(x); » [x y]

ans = 0 0 0.2000 0.1627 0.4000 0.2610 0.6000 0.3099 0.8000 0.3223 1.0000 0.3096 1.2000 0.2807 1.4000 0.2430 1.6000 0.2018 1.8000 0.1610 2.0000 0.1231 2.2000 0.0896 2.4000 0.0613 2.6000 0.0383 2.8000 0.0204 3.0000 0.0070

Existem outras funções para a geração de vetores tal como logspace que

gera um vetor espaçado logaritmicamente:

» w = logspace(-1,1,5)

w = 0.1000 0.3162 1.0000 3.1623 10.0000


Indexando

Elementos individuais de matrizes podem ser referenciados inserindo

seus índices de linha e coluna entre parênteses. Se uma expressão for usada

como índice, o índice é aproximado paro o inteiro mais próximo.

» A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; » A(3,3) = A(1,3) + A(3,1)

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 10

Usando (:) dois pontos, podemos indexar todas as linhas ou colunas ou

uma parte:

» A(:,1)

A = 1 4 7

» A(2:3,1:2) A =

4 5 7 8

O exemplo a seguir mostra como fazer referência explícita a algumas

linhas ou colunas. Colocam-se os números das linhas e colunas dentro de

colchetes:

» A( [1 3], [1 3] )

A = 1 3 7 10

Um outro uso para os dois pontos (:) é no empilhamento das colunas de

uma matriz qualquer. No caso de vetores, obteremos sempre o vetor coluna:


» A = [1 2; 3 4; 5 6]; » B = A(:)

B = 1 2 3 4 5 6

Usando Vetores de 0 e 1 na Indexação

Você pode usar vetores de "uns", usualmente criados a partir de

operadores relacionais no referenciamento de submatrizes. Suponha que A é

uma matriz de dimensão m-por-n e L um vetor linha de "zeros" e "uns" de

dimensão m. Então,

» A(L,:)

especifica as linhas de A cujos elementos de L são não nulos. Ou seja, os uns de

L apontam para as linhas de A. O exemplo a seguir mostra como extrair de X as

linhas cuja terceira coluna é maior ou igual a 100.

» L = X(:,3) > 100; » Y = X(L,:);

Matrizes vazias

A declaração,

» X = [ ]

atribui a matriz de dimensão zero-por-zero à X, sendo possível usar a variável X

em cálculos. Criar a matriz X vazia é diferente do que apagar a variável X com o

comando clear X. Com o uso de matrizes vazias é possível remover linhas e


colunas de uma matriz, como mostra o exemplo a seguir que apaga as colunas 2

e 4 da matriz A:

» A( :, [2 4] ) = [ ]

Matrizes Especiais

Existe uma coleção de funções que geram matrizes que são normalmente

encontradas nos problemas de álgebra linear e processamento de sinais.

Exemplos:

compan - gera a matriz a partir do polinômio caraterístico

diag - matriz diagonal

pascal - constrói o triângulo de Pascal

zeros - matriz de "zeros"

ones - matriz de "uns"

eye - matriz identidade

logspace - vetores espaçados logaritmicamente

linspace - vetores espaçados linearmente

rand - elementos randômicos uniformemente distribuídos

randn - elementos randômicos normalmente distribuídos

etc ...

Construindo Matrizes a partir de Matrizes

É possível formar matrizes maiores a partir de matrizes menores,

envolvendo as matrizes menores entre colchetes. Por exemplo, se A é uma

matriz quadrada,

» C = [ A A'; ones(size(A)) A.^2 ]

cria a matriz C com o dobro do tamanho de A. Note que na construção de

matrizes usando matrizes, as dimensões das matrizes menores devem ser

compatíveis ou então aparecerá uma mensagem de erro.


Análise de Dados

Esta seção apresenta uma introdução à análise de dados usando o

MATLAB. Técnicas mais poderosas estão disponíveis usando funções de

álgebra linear e funções de processamento de sinais na seção 1.6 (polinômios e

processamento de sinais).

Convenção

Por convenção, as diferentes variáveis em um conjunto de dados são

colocadas em colunas, permitindo observação vertical dos dados através das

linhas. Portanto, um conjunto de dados de 50 amostras de 13 variáveis é

armazenado numa matriz de dimensão 50-por-13.

O conjunto de dados armazenados na matriz count será usado para

ilustrar o uso de algumas funções

» count = [

11 57 291 43 178 1011 38 163 1095 61 420 2407 12 59 287 ]

Para esse exemplo temos 5 observações para 3 variáveis. Isso pode ser

obtido como segue:

» [n,p] = size(count)

n = 5 p = 3

Um grupo de funções (abaixo) confere a capacidade de análise de dados

básica:

max - máximo valor

min - mínimo valor

mean - valor médio

median - mediana


std - desvio padrão

sort - ordenação

sum - soma dos elementos

prod - produto dos elementos

cumsum - soma cumulativa dos elementos

cumprod - Produto cumulativos dos elementos

diff - Aproximação numérica da derivada

corrcoef - Coeficientes de correlação

cov - Matriz de covariância

var - Variância

Para argumentos vetoriais não faz diferença se o vetor é linha ou coluna.

Para arrays as funções são orientadas por colunas.

Continuando com o exemplo anterior, as declarações abaixo

» mx = max(count) » mu = mean(count) » sigma = std(count)

resultam em: mx = 61 420 2407 mu = 1.0e+003 * 0.0330 0.1754 1.0182 sigma = 21.4126 147.9503 865.7639

Ajuste de Curvas

Uma das alternativas possíveis no MATLAB para encontrarmos os

coeficientes de p(x) a partir de dados tabelados é através da função polyfit, onde n é o grau do polinômio.


p x c x c x cd d

n

1 2

1

A sintaxe usada é a seguinte, onde x é a abscissa, p o valor da função para

cada x(i) e n o grau do polinômio.

» c = polifit(x,p,n)

1.5 Funções Matriciais

Autovalores e Autovetores

Se A é uma matriz n-por-n, os n números que satisfazem a equação

Ax = x, são os autovalores de A. Eles são encontrados usando

» eig(A)

Se o comando for usado com dois parâmetros de saída, obteremos os

autovalores em D e os autovetores em X:

» [X,D] = eig(A)

Norma, Posto e Condicionamento

As funções MATLAB que calculam a norma, posto e número de

condicionamento de uma matriz são:

cond - número de condicionamento usando norma-2

norm - norma-1, norma-2, norma-F e norma-

rank - posto da matriz

rcond - estimativa do condicionamento


1.6 Polinômios e Processamento de Sinais

O MATLAB possui funções para manipulação polinomial e para o

processamento digital de sinais. Essas funções operam primordialmente com

vetores.

Representação de Polinômios

O MATLAB representa polinômios como vetores linha contendo os

coeficientes ordenados em ordem decrescente dos expoentes. Por exemplo, o

polinômio característico de

A = 1 2 3 4 5 6 7 8 0

é » p = poly(A)

p = 1 -6 -72 -27

Esta é a representação MATLAB do polinômio s s s3 26 72 27 . As raízes dessa

equação são

» r = roots(p)

r = 12.1229 -5.7345 -0.3884

Essas raízes são os mesmos que os autovalores da matriz A. Você pode

reconstruir o polinômio original com a função poly

» p2 = poly(r)

p2 = 1 -6 -72 -27


Considere os polinômios a s s s( ) 2 2 3 e b s s s( ) 4 5 62 . O produto

dos polinômios é a convolução dos seus coeficientes

» a = [1 2 3]; b = [4 5 6]; » c = conv(a,b)

c = 4 13 28 27 18

Você pode utilizar a convolução inversa para dividir dois polinômios, e

no caso do exemplo, obter b novamente.

» [q,r] = deconv(c,a)

q = 4 5 6 r = 0 0 0 0 0

A lista de funções de polinômios inclui:

poly - polinômio característico

roots - raízes de um polinômio

polyval - cálculo do valor numérico do polinômio

polyvalm - cálculo do polinômio de matrizes

conv - multiplicação (convolução)

deconv - divisão (deconvolução)

residue - expansão em frações parciais

polyder - derivada do polinômio

polyfit - ajuste polinomial de curva

Processamento de Sinais

Vetores são usados, por exemplo, para armazenar sinais de dados

amostrados, ou seqüências, para o processamento dos sinais. Para sistemas com

múltiplas entradas, cada linha da matriz corresponde a uma amostra. O

MATLAB básico contém as funções a seguir, enquanto que o Signal Processing

Toolbox contém muitas funções adicionais.


abs - magnitude complexa

angle - ângulo de fase

conv - convolução

deconv - deconvolução

fft - transformada rápida de Fourier

ifft - transformada rápida inversa de Fourier

fftshift - alterna quadrantes de matrizes

fft2 - FFT de duas dimensões

ifft2 - FFT inversa de duas dimensões

fftshift - rearranja os resultados da FFT

conv2 - convolução de duas dimensões

Filtragem de Dados

A função,

» y = filter(b,a,x)

filtra os dados do vetor x com o filtro descrito pelos vetores a e b, criando o

dado y filtrado.

x yH(z)

A estrutura do filtro é dada a seguir pela sua função de transferência de

tempo discreta

)1(1

)1(1

)()2(1

)()2()1(

)(

)()(

na

nb

znaaza

znbbzbb

zX

zYzH

1.7 Funções de Funções

A classe de funções MATLAB para cálculo que não é sobre matrizes

numéricas, mais sim com funções matemáticas é aqui designada por funções de

funções (funfun) e incluem:


Integração Numérica

Equações não lineares e Otimização

Solução de Equações Diferenciais

etc

Para o uso das funções de funções, é usual representar as funfun através

de arquivos-M (M-files). Por exemplo, a função

f xx x

( )( , ) , ( , ) ,

1

0 3 0 01

1

0 9 0 046

2 2

foi codificada num arquivo com extensão .m, por exemplo chamado humps.m,

cuja listagem é mostrada a seguir:

% listagem do arquivo humps.m function y = humps(x)

y = 1./((x-.3).^2 + .01) + 1./((x-.9).^2 + .04) - 6; end

O gráfico dessa função é obtido como segue

» x = -1:.01:2; » plot(x,humps(x))

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-20

0

20

40

60

80

100


Integração Numérica

Uma função, tal como humps, pode ser integrada numericamente pelo

processo chamado de quadratura que é uma funfun denomindada quad.

Exemplo:

» q = quad('humps',0,1)

q = 29.8583

A maioria das funções de funções permite que se use o @ em vez de

colocar o nome da função entre aspas simples.

» q = quad(@humps,0,1) q = 29.8583

Note que o primeiro argumento da função quad é o nome de uma função.

Isso mostra porque essa função é chamada função de função (é uma função que

opera com outras funções). Os outros dois argumentos são os limites de

integração.

Equações Não Lineares e Funções de Otimização

No MATLAB básico encontramos algumas funções para a manipulação

de equações não lineares e para otimizações. Exemplos:

fminsearch - mínimo de uma função multivariável

fzero - zero de uma função de uma variável

Continuando com o exemplo definido pela função humps.m, a localização

do mínimo da função na região de 0.5 a 1 é calculada com fminsearch:


» xm = fminsearch('humps',0.5, 1) xm = 0.6370

e o seu valor no mínimo é

» y = humps(xm)

y = 11.2528

A localização do zero da função que está próximo de x = 0 e de x = 1 é,

» xz1 = fzero('humps',0)

xz1 = -0.1316

» xz2 = fzero('humps',1) xz2 = 1.2995

No Optimization Toolbox há inúmeras outras funções como, por exemplo,

fgoalattain - otimização de metas

fmincon - minimização com restrições

fminsearch - minimização sem restrições

fsolve - solução de equações algébricas não lineares

fzero - busca de zeros

fminimax - solução do problema minimax

linprog - programação linear

quadprog - programação quadrática

Equações Diferenciais

Duas das funções disponíveis para a solução de equações diferenciais

ordinárias são:

ode23 - método Runge-Kutta de ordem baixa

ode45 - método Runge-Kutta de ordem média


Considere a equação diferencial de segunda ordem conhecida como

equação de Van der Pol.

( )x x x x 2 1 0

Esta equação pode ser escrita como um sistema de equações diferenciais de

primeira ordem

( )

x x x x

x x

1 1 2

2

2

2 1

1

O primeiro passo para simular este sistema é criar um arquivo que contem este

sistema de equações diferenciais. Chamaremos este arquivo de vdpol.m

function xponto = vdpol(t,x) xponto(1,1) = x(1).*(1-(x(2).^2))-x(2); xponto(2,1) = x(1); end

Para simular a equação diferencial no intervalo 0 20 t , use a função ode23.

» t0 = 0; tf = 20; » x0 = [0 0.25]'; % condições iniciais » [t,x] = ode23( 'vdpol', [t0 tf], x0 ); » plot(t,x)

0 5 10 15 20-3

-2

-1

0

1

2

3


Para a solução numérica de equações diferenciais recomenda-se também o

SIMULINK que é uma extensão gráfica do MATLAB para a simulação de

equações diferenciais.

1.8 Gráficos

O sistema gráfico do MATLAB oferece uma variedade de técnicas

sofisticadas para representar e visualizar dados. São funções gráficas em 2-D e

3-D.

Gráficos 2-D

O MATLAB fornece uma variedade de funções para a visualização de

dados em duas dimensões (2-D).

Funções Gráficas Elementares

A lista abaixo sumariza as funções gráficas básicas. Elas diferem apenas

na escala dos eixos. Cada entrada pode ser um vetor ou uma matriz e as escalas

são ajustadas automaticamente para acomodar os dados de entrada.

plot - gráfico de vetores ou de colunas de matrizes

loglog - escala logarítmica nos dois eixos

semilogx - escala logarítmica no eixo x e linear em y

semilogy - escala logarítmica no eixo y e linear em x

title - adiciona um título ao gráfico

xlabel - adiciona um nome ao eixo x

ylabel - adiciona um nome ao eixo y

text - mostra um texto na posição especificada

gtext - coloca o texto no gráfico usando o mouse

grid - coloca linhas de grid

Criando um Gráfico


Se y é um vetor, plot(y) produz um gráfico linear dos elementos de y em

função do indexador de y. Se você especificar dois vetores como argumentos,

plot(x,y) produz um gráfico de y versus x. Você pode também especificar vários

conjuntos de dados e definir o estilo da linha e sua cor para cada conjunto de

dados, tudo isso num mesmo comando:

» t = 0:pi/100:2*pi; » x = sin(t); » y1 = sin(t + 0.25); » y2 = sin(t + 0.5); » plot(x,y1,'r-',x,y2,'g--') » title('Defasagem') » xlabel('x=sin(t)') » ylabel('y=sin(t+)')

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x=sin(t)

y=sin(t+)

Defasagem

Estilos de Linhas, Marcadores e Cores

Tal como se mostrou no exemplo anterior, você pode passar um caractere

como um argumento à função plot para especificar um dos vários estilos de


linha, símbolos e cores. Na declaração plot(X,Y,S), S é uma string de 1, 2 ou 3

caracteres (delimitados por apóstrofes) com as funções definidas pela tabela a

seguir. Se você não especificar uma cor, ele usa as cores da tabela

automaticamente.

Símbolo Cor Símbolo Linha

y

m

c

r

g

b

w

k

amarela

magenta

ciano

vermelha

verde

azul

branca

preta

.

o

x

+

*

-

:

-.

--

s

d

v

^

<

>

P

h

ponto

círculo

marca x

marca +

marca *

sólida

pontilhada

traço-ponto

tracejada

quadrado

diamante

triângulo (p/ baixo)

triângulo (p/ cima)

triângulo (p/esquerda)

triângulo (p/diereita)

pentragrama

hexagrama

Adicionando Linhas num Gráfico Existente

Você pode adicionar outras curvas em um gráfico que já foi construído

usando o comando hold. Quando você seleciona hold on, o MATLAB não

remove as linhas atuais, ao invés disso ele adiciona as linhas atuais ao gráfico

atual.

O que ele pode fazer é mudar a escala dos eixos automaticamente se os novos

dados não se acomodarem dentro da escala anterior. Exemplo:


» plot(x) » hold on » plot(y1,'--') » plot(y2,'-.') » hold off

Resulta,

0 50 100 150 200 250-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Dados Imaginários e Complexos

Quando os argumentos da função plot são complexos, isto é, eles têm

parte imaginária diferente de zero, a parte imaginária é ignorada exceto quando

plot é usado com um único argumento. Nesta situação, o comando é um

comando gráfico resumido da parte real versus a parte imaginária. Portanto,

plot(z), quando z é um vetor ou matriz complexa, é equivalente à,

plot(real(z),imag(z)). Para ilustrar isso, o exemplo a seguir usa a distribuição dos

autovalores de uma matriz 20-por-20 randômica:

» plot(eig(randn(20,20)),’x’)


-4 -2 0 2 4 6-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Distribuição de Autovalores

Exibindo Gráficos de Matrizes

A função plot pode ter um único argumento, como plot(Y). Ela desenha

uma curva para cada coluna de Y. O eixo x é formado pelo índice de cada linha.

Se X e Y são matrizes, plot(X,Y) exibe o gráfico das colunas de X versus colunas

de Y. » X = 0:pi/50:2*pi; » Y = sin(X); Z = cos(X); W = log(X); » A = [Y' Z' W']; » plot(A)

Resulta,

0 20 40 60 80 100 120-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


Importando Dados

Você pode importar e exibir o gráfico de dados gerados fora do

MATLAB. Suponha você tenha um arquivo chamado dados.dat contento

valores de duas funções e da variável independente:

2.3 1.0 1.0 3.1 1.9 2.0 4.5 2.2 3.0 5.6 2.6 4.0 4.8 3.5 5.0 4.7 4.7 6.0 4.4 5.3 7.0 4.0 6.0 8.0 4.2 7.1 9.0

O comando load dados.dat produz uma matriz chamada dados, 9-por-3. A

seguir, mostra-se como renomear cada uma das variáveis e como exibir o

gráfico de cada função separadamente.

» load dados.dat » F1 = dados(:,1); » F2 = dados(:,2); » X = dados(:,3); » subplot(211), plot(X,F1) » subplot(212), plot(X,F2)

Resulta,

0 2 4 6 8 102

3

4

5

6

0 2 4 6 8 100

2

4

6

8


Funções Gráficas Especializadas em 2-D

O MATLAB inclui uma variedade de funções especializadas, conforme

descrito resumidamente a seguir.

bar - gráfico de barras

compass - gráfico de ângulos com setas

errorbar - gráfico de barras de erros

feather - gráfico de ângulos

fplot - calcula e exibe o gráfico de uma função

hist - cria um histograma

polar - gráfico em coordenadas polares

quiver - cria um gráfico de um gradiente

rose - histograma em ângulo

stairs - gráfico similar ao de barras sem linhas internas

fill - desenha um polígono e preenche o interior

Gráfico de Funções Matemáticas

Você pode exibir o gráfico de uma função, y f x ( ). A solução pela força

bruta é calcular a função para algumas centenas de pontos no intervalo de

interesse. Por exemplo, a função a seguir oscila com freqüência tendendo para

infinito quando x 0 5, .

» x = (0:1/2000:1)'; » plot(x,cos(tan(pi*x)))

Resulta,


0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1- 1

- 0 . 8

- 0 . 6

- 0 . 4

- 0 . 2

0

0 . 2

0 . 4

0 . 6

0 . 8

1y = c o s ( t a n ( p i* x ) )

No exemplo, a função é exibida no intervalo [0,1]. Neste caso, a função

fplot é mais efetiva para obtermos a representação gráfica da função, pois ela

escolhe automaticamente uma quantidade maior de pontos na faixa que é

necessário maior resolução gráfica. Para usar a função fplot, primeiro crie um

arquivo que conterá a função a ser exibida por meio de um gráfico, por exemplo

com o nome fofx.m

function y = fofx(x) y = cos(tan(pi*x)); end

Agora basta passar o nome da função como argumento de fplot.

» fplot('fofx',[0 1], 25,20,10)

Resulta,


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 y = cos(tan(pi*x))

Gráficos 3-D

O MATLAB oferece uma variedade de funções para a visualização de

dados em 3-D. Contudo, não faremos um detalhamento, visto que o assunto é

longo e pouco interessante para os nossos objetivos.

1.9 Controles de Fluxo

O MATLAB possui declarações para controle de fluxo tal como aqueles

encontrados na maioria das linguagens de computador. O controle de fluxo

torna o MATLAB mais do que uma calculadora científica, permitindo que seja

usado como uma linguagem de programação de alto nível completa.

FOR

O MATLAB possui a sua versão própria dos loops DO ou FOR. Com isso

é possível repetir um grupo de declarações por um número predeterminado de

vezes. Por exemplo,

» for i = 1:n, x(i) = 0, end


impõe o valor "0" para todos os primeiros n elementos de x. Se n é menor que

"1", a construção ainda é permitida, mas as declarações internas ao loop não são

executadas. Se x não existe ou tem menos elementos que x, então espaços

adicionais são alocados automaticamente.

Você pode criar loops dentro de loops e pode fazer as declarações

diretamente no prompt do MATLAB, embora o uso de um M-file seja

recomendado nestes casos.

» for i = 1:1:m » for j = 1:1:n » A(i,j) = 1/(i+j-1); » end » end » A

A expressão do for é usualmente do tipo m : i : n, onde m é o valor inicial,

n o final e i o incremento, sendo que esse pode ser negativo.

WHILE

Tal como o for, a declaração while também é para realizar um grupo de

declarações um certo número de vezes. A diferença básica é que no while, o

controle do loop é feito por uma condição lógica. Para ilustrar, vamos resolver

um problema: Qual é o primeiro inteiro n para o qual n! (fatorial de n) é um

número de 100 dígitos ?

» n = 1; » while prod(1:n) < 1.e100, n = n+1; end » n

A função prod realiza os produtos dos elementos do argumento. Logo, prod(1:n)

é o fatorial de n.


IF e BREAK

Os exemplos a seguir ilustram a utilização da declaração if. O primeiro

exemplo mostra como um cálculo pode ser dividido em três casos dependendo

do sinal e da paridade de n.

if n < 0 A = -1; elseif rem(n,2) == 0 A = 0 else A = 1 end

O segundo exemplo envolve um problema não resolvido da teoria dos números:

"Pegue um número inteiro. Se ele for par, divida por dois; se for impar,

multiplique ele por 3 e some 1. Repita esse processo até que o inteiro seja igual

a um. O problema é saber se existe algum inteiro para o qual o processo nunca

termina".

Este programa MATLAB ilustra as declarações while e if. Também é mostrado

o uso da função input que interrompe a execução para a entrada de dados e da

declaração break que permite interromper um loop.

% Problema clássico "3n+1" da teoria dos números while 1 n = input('Entre com n [negativo aborta] = '); if n <= 0, break, end while n > 1 if rem(n,2) == 0 n = n/2 else n = 3*n+1 end end end


1.10 Arquivos M

A maneira mais simples de se usar o MATLAB é no modo de comando.

Quando você entra com uma linha de comando, ele processa e imediatamente

mostra o resultado. O MATLAB também pode executar uma sequência de

comandos que está armazenada num arquivo. Os arquivos que contém

declarações MATLAB são chamados M-files porque usam a extensão “.m”. Por

exemplo, o arquivo bessel.m contém declarações MATLAB para o cálculo de

funções Bessel.

Um M-file consiste de uma sequência de declarações MATLAB normais,

podendo incluir referencias a outros M-files. Um M-file pode chamar ele

próprio de forma recursiva. Você pode criar um M-file usando um editor de

texto tal como o Bloco de Notas do Windows, ou outro qualquer. Dois tipos

usuais de M-files são: lotes (scripts) e funções (functions). Arquivos scripts

automatizam uma sequência de comandos. Arquivos de função permitem criar

novas funções às existentes. Ambos, scripts e funções são arquivos texto tipo

ASCII.

Arquivos Scripts

O exemplo a seguir ilustra como calcular os primeiros 16 números de

Fibonacci usando um arquivo script. Suponha que o nome do arquivo seja

fibno.m. Digitando fibno (sem a extensão) no prompt do MATLAB, faz com os

comandos contidos no arquivo sejam executados. Note que depois da execução

do programa as variáveis f e i permanecem na área de trabalho (workspace) do

MATLAB. Verifique isso com who. Isso acontece porque os scripts operam

globalmente com dados no workspace. Os demos fornecidos junto como

MATLAB são bons exemplos de como usar scripts para realizar tarefas mais

complexas. Para chamar os demos digite demo no prompt do MATLAB.


% M-file (script) para calcular números de Fibonacci menores de 1000 f = [ 1 1]; i = 1; while f(i) + f(i+1) < 1000 f(i+2) = f(i) + f(i+1); i = i + 1; end plot(f)

Arquivos de Funções

Um M-file que contém a palavra function no início da primeira linha é um

arquivo de função. Uma função difere de um script no fato de que argumentos

podem ser passados; variáveis definidas e manipuladas no arquivo são locais à

função e não operam globalmente no workspace. A função listada a seguir tem

o nome media1.m.

function y = media1(x) % calculo da média % soma / m % inicio do programa [m,n] = size(x); if m == 1 m = n; end y = sum(x) / m; end

Por exemplo, se z é um vetor de inteiros de 1 a 99, sua média pode ser calculada

como segue:

» z = 1:99; » media1(z)

ans = 50


A seguir, descreve-se alguns detalhes de mean.m:

A primeira linha declara o nome da função, os argumentos de

entrada e os de saída. Sem esta linha, o arquivo é um script ao

invés de função;

O símbolo % indica que o resto da linha é um comentário e

deve ser ignorado;

As primeiras linhas documentam um M-file e são mostradas

quando pedimos help media1;

As variáveis m, n e y são locais à função e não existem no

workspace depois que do término da função. (Caso a variável

já existisse antes da chamada de media1, ela continuaria

existindo depois e inalterada);

Não foi necessário colocar os inteiros de 1 a 99 numa variável

chamada x. De fato, nós usamos media1 com uma variável

chamada z. O vetor z foi passado ou copiado dentro da função

onde ela tornou-se uma variável local chamada x.

Você pode criar uma função um pouco mais complexa que media1,

chamada stat, que também calcula o desvio padrão. Neste exemplo ilustramos o

uso de múltiplos argumentos de saída.

function [mean,stdev] = stat(x) [m,n] = size(x); if m == 1 m = n; end mean = sum(x) / m; stdev = sqrt(sum(x.^2)/m - mean.^2); end

Uma função que calcula o posto de uma matriz usa múltiplos argumentos

de entrada: No caso geral teríamos múltiplos argumentos de entrada e de saída.


function r = rank(x,tol) % rank (posto em Português) da matriz s = svd(x); if (nargin == 1) tol = max(size(x)) * s(1) * eps; end r = sum(s > tol); end

Este exemplo também mostra o uso da variável permanente nargin para

encontrar o número de argumentos de entrada. A variável nargout, embora não

usada neste exemplo, contém o número de argumentos de saída.

Criando um Help para Seus Arquivos Pessoais

você pode criar um help online para os seus M-files pessoais entrando o

texto em uma ou mais linhas de comentário, começando sempre pela segunda

linha do arquivo. Por exemplo, o arquivo da função angle,

function p = angle(h) % ANGLE Phase angle. % ANGLE(H) returns the phase angles, in radians, of a matrix with % complex elements. % % Class support for input X: % float: double, single % % See also ABS, UNWRAP. % Copyright 1984-2010 The MathWorks, Inc. % $Revision: 5.7.4.2 $ $Date: 2010/04/21 21:31:19 $ p = atan2(imag(h), real(h));

têm 8 linhas contíguas de comentário a partir da segunda linha. Quando

digitamos help angle, todo esse bloco é mostrado. O mecanismo de help ignora

linhas de comentário que aparecem mais a frente, depois de uma declaração ou

mesmo uma linha em branco.


Informações Úteis

Quando você chama uma função pela primeira vez, o MATLAB compila

a função e a coloca na memória. Ela estará então disponível para os usos

subsequentes sem a necessidade de ser compilada. Permanecerá na memória até

o final da seção ou até que você fique com pouca memória, acarretando na sua

eliminação automática.

O comando what mostra uma listagem dos M-files no diretório atual do

disco. O comando type lista os M-files.

De uma maneira geral, quando você digita um nome de algo no

MATLAB, por exemplo, whoopie, o interpretador do MATLAB executa os

seguintes passos:

1. Procura por whoopie como variável;

2. Verifica se whoopie é uma função interna;

3. Procura um o arquivo whoopie.m no diretório atual;

4. Procura um o arquivo whoopie.m nos diretórios especificados

pelo path do MATLAB.

INPUT e PAUSE

A função input permite obter dados do usuário. por exemplo,

n = input('Entre com o valor de n = ')

interrompe a execução, mostra a frase na tela, espera, e então atribui o valor ou

expressão digitada para a variável n.

O comando pause interrompe a execução até que o usuário pressiona

uma tecla qualquer. pause(n) interrompe por n segundos antes de continuar.


Variáveis Globais

Cada função MATLAB possui suas próprias variáveis locais que são

separadas daquelas de outras funções e daquelas que estão no workspace.

Contudo, se você declarar uma variável como global, todas as funções e o

workspace vão enxergar a mesma variável. Para diferenciar das demais

variáveis, costuma-se identificar uma variável global declarando-a com um

nome longo e em letras maiúsculas, embora isso não seja uma imposição.

Suponha que você queira estudar o comportamento dos coeficientes e

no problema do modelo predador-vítima de Latka-Volterra.

1222

1211

yyyydt

d

yyyydt

d

Crie o arquivo lotka.m:

function yp = lotka(t,y) % modelo Votka-Voltera global ALFA BETA yp = [y(1) - ALFA*y(1)*y(2); -y(2) + BETA*y(1)*y(2)]; end

Interativamente, entre como as seguintes declarações:

» global ALFA BETA » ALFA = 0.01; » BETA = 0.02; » [t,y] = ode23( 'lotka', [0 10], [1; 1] ); » plot(t,y)

Uma vez que ALFA e BETA são globais você pode alterá-las interativamente e

novas soluções podem ser obtidas sem ter que editar nenhum arquivo e sem

passar os valores como argumentos.


Variáveis Alfanuméricas

Variáveis do tipo texto são introduzidas no MATLAB envolvendo o texto

com quotas simples (apóstrofos). Por exemplo,

» s = 'Ola'

s = Ola

O texto é armazenado num vetor, um caracter por elemento. Desejando

concatenar textos, use colchetes:

» s = [s, ' Pessoal']

s = Ola Pessoal

Valores numéricos são convertidos em variáveis do tipo texto via

sprintf, num2str e int2str. Exemplo,

» c = 23; » title(['A temperatura é ',num2str(c),' graus C'])

A Função EVAL

A função eval é usada com variáveis do tipo texto para implementar

recursos de macros de texto. A função eval(t) força que o texto contido na

variável t seja "resolvido". O exemplo a seguir mostra como usar o comando

load para carregar 10 arquivos sequencialmente numerados: dados1.mat,

dados2.mat, ...

» fname = ‘dados’; » for i = 1:10 » eval( [ 'load ', fname, int2str(i) ] ) » end

A função eval é especialmente útil na passagem de argumentos de

funções cujo parâmetro é um nome de outra função. Um exemplo típico é o


função fplot que passa como argumento o nome da função a ser exibida,

exemplo:

» fplot( 'sin', [0 10] )

1.11 Manipulação de Arquivos

Os comandos load e save recuperam e armazenam dados do workspace

em disco.

Os comandos dir, type, delete e cd servem à manipulação de arquivos.

Para a maioria desses comandos devemos especificar o path, wildcards e o

drive de destino como normalmente se faz no DOS.

O comando type difere do comando type usual de uma forma importante.

Se nenhuma extensão é especificada, o MATLAB considera a extensão “.m”

como default. Portanto, esse comando é normalmente usado para obtermos uma

rápida listagem de um M-file na teta do computador.

O comando diary cria um diário (log) da sua seção MATLAB na forma

de um arquivo ASCII. Todos os comandos e resultados, exceto gráficos, são

automaticamente acrescentados ao arquivo de diário.

Transferência de Dados

Você pode introduzir dados de outros programas dentro do MATLAB.

Similarmente, você pode exportar dados do MATLAB para outros programas.

Também é possível usar o formato que o MATLAB usa para armazenar dados:

MAT-files.

Importando Dados

O melhor método de importar dados depende de quantos dados existem,

qual o seu formato, etc. A seguir, listamos algumas opções:


Entre com os dados como uma lista explícita dos elementos. Se

o número de elementos for pequeno (10-15 elementos) é mais

simples digitar os dados explicitamente usando colchetes.

Crie um M-file e escreva os dados de forma explícita usando

um editor de texto.

Carregue os dados de um arquivo ASCII.

Escreva um programa em C para converter seus dados no

formato dos MAT-files e então use o comando load.

Importe os dados do Excel.

Exportando dados do MATLAB

Para exportar dados também existem várias opções, das quais algumas

são listadas a seguir:

Para matrizes pequenas use o comando diary para criar uma

arquivo de diário e então liste as variáveis neste arquivo. Você

pode, mais tarde, usar um editor de texto para manipular os

dados.

Salve os dados num formato ASCII usando o comando save

com a opção -ascii. Por exemplo,

» A = rand(4,3); » save temp.dat A -ascii

cria um arquivo ASCII chamado temp.dat

Salve os dados como MAT-files usando o comando save e

então escreva um programa em C ou FORTRAN para

reformatar os dados conforme necessário para a aplicação.

Exporte os dados para o Excel.


1.12 Depuração

Embora o MATLAB seja uma linguagem menos complexa que outras

linguagens de programação, ele tem sua sintaxe própria e você pode precisar

corrigir alguns erros. O MATLAB encontra erros de sintaxe durante a fase de

compilação e esses erros, em geral, são simples de corrigir. O MATLAB

também encontra erros na fase de execução do programa; esses erros tendem a

ser mais difíceis de solucionar por causa do workspace local às funções ser

perdido quando um erro interrompe a execução. Quando isto ocorre, retornamos

ao workspace base do MATLAB. Se você usou ponto-e-vírgula para suprimir os

resultados intermediários da tela, não terá como saber onde o erro ocorreu.

Para mostrar os resultados intermediários, você pode usar um dos

métodos a seguir:

Remova os ponto e vírgula de interesse;

Use a declaração keyboard para permitir que o workspace seja

examinado no ponto da declaração;

Torne a primeira linha da função uma linha de comentário de

tal forma que a função possa ser executada como um script,

fazendo com que os resultados intermediários sejam acessíveis

no workspace base do MATLAB;

Use o depurador do MATLAB.

1.13 Toolbox de Matemática Simbólica

Com o Toolbox de processamento simbólico é possível resolver e

manipular expressões matemáticas simbólicas resolvendo analiticamente, por

exemplo, diferenciações, integrações, simplificações, transformadas, solução de

equações etc.

Variáveis Simbólicas

Para declarar, por exemplo, as variáveis x e y como objetos simbólicos

use o comando syms:


» syms x y

Depois de criados os objetos simbólicos, se podem realizar cálculos

matemáticos tais como:

» z = x + x + y

z = 2*x + y

Matriz de variáveis simbólicas

Depois de declarar as variáveis simbólicas elas podem fazer parte da

definição de uma matriz. Exemplo:

» syms a b c d e f g h i » A = [ a b c ;d e f; g h i ]

A = [ a, b, c ] [ d, e, f ] [ g, h, i ]

Note que não é necessário declarar explicitamente a matriz A como um

objeto simbólico. Agora podemos operar simbolicamente com a matriz A. Veja

alguns exemplos:

» determinante = det(A)

determinante = a*e*i - a*f*h - b*d*i + b*f*g + c*d*h - c*e*g

» B = A + A B = [ 2*a, 2*b, 2*c ] [ 2*d, 2*e, 2*f ] [ 2*g, 2*h, 2*i ]


Simplificações

Existem algumas funções que alteram a forma de uma função simbólica.

Os exemplos a seguir ilustram alguns desses comandos: pretty, collect,

expand, horner, factor, simplify.

» syms x » f = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6;

» pretty (f) % visualização elegante

3 2 x - 6 x + 11 x – 6

» syms x » f = (x-1)*(x-2)*(x-3);

» collect (f) % agrega potências iguais

x^3 - 6*x^2 + 11*x – 6

» syms a x y » f = a*(x + y);

» expand (f) % distributiva

a*x + a*y

» syms x » f = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6;

» horner (f) % forma aninhada

x*(x*(x - 6) + 11) - 6

» syms x » f = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6;

» factor (f) % fator de menor ordem

(x - 3)*(x - 1)*(x - 2)

* syms x y * f = exp(x) * exp(y);

* simplify (f) % simplificação

exp(x + y)


Substituições

Use o comando subs para realizar substituições diversas. Exemplos:

» syms x » f = 2*x^2 - 3*x + 1;

» subs( f, {x}, {1/3} ) % x 1/3 ans = 2/9

» syms x y » f = x + y;

» subs( f, {x, y}, {2,-3} ) % x 2, y -3 ans = -1

» syms x y m » f = x + y;

» subs( f, {x, y}, {2, m} ) % x 2, y m ans = m+2

Diferenciação Simbólica

Use o comando diff para realizar diferenciações. Veja alguns exemplos:

» syms x » f = sin(x)^2;

» diff(f) ans = 2*cos(x)*sin(x)


» syms x y » f = sin(x)^2 + cos(y)^2;

» diff(f, y) % derivada parcial de f em relação a y ans = -2*cos(y)*sin(y)

Integração Simbólica

Use o comando int para realizar integrações simbólicas. Veja alguns

exemplos:

» syms x y » f = x^2 + y^2;

» int(f, y) % integral indefinida de f em relação a y ans = x^2*y + y^3/3

» syms x y » f = x^2 + y^2;

» int(f, y, 3, 5) % integral definida desde 3 até 5 ans = 2*x^2 + 98/3

Solução de Equações Algébricas

Use o comando solve para determinar a solução de equações ou sistemas

de equações. Veja alguns exemplos a seguir e note que ao definir a equação

utiliza-se o sinal (==). Caso o sinal (==) seja omitido, o lado direito da equação é

suposto nulo. Veja os dois casos a seguir

» syms x » f = ( x^2 + 5*x == -6 );

» solve( f ) ans = -3 -2


» syms x » f = ( x^2 + 5*x - 6 );

» solve( f ) ans = -3 -2

Nas equações com múltiplas variáveis simbólicas, pode-se especificar

para qual variável a equação deve ser resolvida. No exemplo a seguir a função

depende de x e y e sua solução é determinada em relação a y.

» syms x y

» solve ( 6*x^2 - 6*x^2*y + x*y^2 - x*y + y^3 - y^2 == 0, y ) ans = 1 2*x -3*x

No exemplo a seguir mostra-se uma forma possível de representar e

resolver um sistema de duas equações e duas incógnitas.

» syms x1 x2 » f1 = ( x1*x2 + x2 == 3 ); » f2 = ( x1 - x2 == 1 );

» [ xx1, xx2 ] = solve( f1, f2, x1, x2 ) xx1 = xx2 =

2 1 -2 -3

A verificação da exatidão da solução pode ser feita com o comando subs,

atribuindo os valores numéricos das soluções encontradas nas funções.

» subs( f1, {x1,x2}, { xx1(1), xx2(1) } ) » subs( f2, {x1,x2}, { xx1(2), xx2(2) } )

ans = ans = 3 == 3 1== 1


Gráficos de Funções Simbólicas

O comando ezplot é uma das formas mais imediatas para se exibir o

gráfico de uma função explícita ou mesmo implícita. Veja os exemplos a seguir:

» syms x

» ezplot(x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6) » title('Função Explícita: y = x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6')

-6 -4 -2 0 2 4 6

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

x

Função Explícita: y = x3 - 6*x2 + 11*x - 6

» syms x y

» ezplot( (x^2 + y^2)^4 == (x^2 - y^2)^2, [-1 1] ) » title( 'Função Implícita no intervalo [-1,1] ' )

x

y

Função Implícita no intervalo [-1,1]

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1


Solução de Equações Diferenciais

Para ilustrar como usar o comando dsolve, considere a equação

diferencial ordinária de 1ª ordem com condição inicial (0) 1y .

( ) ( )d

y t y tdt

» syms x(t) » f(t) = (diff(x) == -x);

» [xx] = dsolve(f(t), x(0) == -1) xx = -exp(-t)

Considere agora a equação diferencial ordinária de 2ª ordem com

condições iniciais (0) 1y e (0) 0y .

2

2( ) cos 2 ( )

dy t t y t

dt

» syms y(t) » Dy = diff(y);

» y(t) = dsolve( diff(y, 2) == cos(2*t) - y, y(0) == 1, Dy(0) == 0 ); » y(t) = simplify(y); » pretty( y(t) )

/ t \ 4 8 sin | --- | \ 2 /

1 - ---------------- 3


Muitas vezes as equações diferenciais estão na forma de um sistema de

equações. Para ilustrar um caso desses considere o sistema a seguir com 1(0) 1x

e 2 (0) 0x .

1 2

2 1 2

( ) ( )

( ) 6 ( ) 5 ( )

dx t x t

dt

dx t x t x t

dt

» syms x1(t) x2(t) » f1(t) = ( diff(x1) == x2 ); » f2(t) = ( diff(x2) == -6*x1 -5*x2 );

» [xx1, xx2] = dsolve( f1(t), f2(t), x1(0) == 1, x2(0) == 0 ) xx1 = (exp(-3*t)*(18*exp(t) - 12))/6 xx2 = -exp(-3*t)*(6*exp(t) - 6)


Transformada de Laplace

Os comandos laplace e ilaplace determinam a transformada e anti-

transformada de Laplace, respectivamente. Veja os exemplos:

Função dada Comandos MATLAB

syms s t

F = laplace( 2*exp(-5*t) - 5*exp(-2*t) ) F = collect(F)

F = (- 3*s - 21)/(s^2 + 7*s + 10)

syms s t

F = laplace( exp(-t)*cos(3*t) ) F = (s + 1)/((s + 1)^2 + 9)

syms s t

f = ilaplace ( s/(s^2 + 4*s + 5) ) f = exp(-2*t)*(cos(t) - 2*sin(t))

syms s t

f = ilaplace( 5/((s+1)*(s+2)^2) ) f = 5*exp(-t) - 5*exp(-2*t) - 5*t*exp(-2*t)


Transformada Z

Os comandos ztrans e iztrans determinam a transformada Z e anti-

transformada Z, respectivamente. Veja os exemplos:

Função dada Comandos MATLAB

( ) ( )f k sen k

syms k z f = sin(k);

F = ztrans(f, k, z) (z*sin(1))/(z^2 - 2*cos(1)*z + 1)

( )

0,2 0,5 1

zF z

z z z

syms z k F = z / ( (z+0.2)*(z+0.5)*(z-1) );

f = iztrans(F,k); disp('f(k) = ') pretty(f)

f(k) = k k 20 (-1/2) 25 (-1/5) ------------ - ------------ + 5/9 9 9


1.14 Toolbox de Sistema de Controle

No Toolbox de Sistema de Controle, os modelos de sistemas Lineares e

Invariantes no Tempo (LTI) são representados por Objetos. Os objetos de

modelos são estruturas de dados e atributos que permitem a manipulação de

sistemas LTI com entidades únicas. Os objetos de modelos podem representar

sistemas escalares, ou seja, de entrada e saída únicas (SISO) e sistemas vetoriais

de entradas e saída múltiplas (MIMO), tanto de tempo contínuo como de tempo

discreto.

Os sistemas LTI podem ser especificados no espaço de estados (objeto

SS), por meio e funções de transferência (objeto TF) e modelos dados pelos

seus zeros, polos e ganho (objeto ZPK).

Função de Transferência

Uma função de transferência SISO é caraterizada pelo seu numerador e

denominador. Por exemplo, a função de transferência

2( )

2 10

sF s

s s

é representada por um objeto TF que contém os coeficientes do polinômio do

numerador e do denominador:

» numerador = [ 1 0 ]; » denominador = [ 1 2 10 ]; » F = tf ( numerador, denominador )

F = s -------------------- s^2 + 2 s + 10 Continuous-time transfer function.

Matrizes de transferência (funções de transferência MIMO) são formadas

por elementos que são funções de transferência. Exemplo:


21

2

( )2 10

( )

( )1

1

s

F ss s

F s

F ss

s

» F1 = tf ( [ 1 0 ], [ 1 2 10 ] ); » F2 = tf ( [ 1 -1 ], [ 1 1 ] ); » F = [ F1 ; F2 ]

F = From input to output... s #1: --------------------- s^2 + 2 s + 10 s - 1 #2: ------- s + 1 Continuous-time transfer function.

Uma maneira talvez mais visual de definir uma função de transferência é

definindo primeiro a função “s”. Por exemplo, veja como isso seria feito para o

caso da função de transferência

2( )

2 10

sF s

s s

» S = tf ('s'); » F = S / (S^2 + 2*S + 10)

F = s -------------------- s^2 + 2 s + 10 Continuous-time transfer function.


Zero-Polo-Ganho

Um modelo SISO pode ser caraterizado pelos seus zeros, polos e ganho.

Por exemplo, a função de transferência

1 2( ) 5

3 4

s sF s

s s

é representada por um objeto ZPK por meio dos valores de seus zeros, polos e

ganho:

» zeros = [ -1 -2 ]; » polos = [ -3 -4 ]; » ganho = [ 5 ]; » F = zpk( zeros, polos, ganho )

F = 5 (s+1) (s+2) --------------------- (s+3) (s+4) Continuous-time transfer function.

Espaço de Estados

Um modelo SISO ou MIMO pode ser caraterizado pelas Matrizes A, B, C

e D da representação no espaço de estados. Exemplo, seja

dxAx Bu

dt

y Cx Du

em que,


0 1 0 1

2 3 1 0

1 1 0 0

0 3 0 0

A B

C D

é representada por um objeto SS pelas matrizes A, B, C, D:

» A = [ 0 1 ;-2 -3 ]; » B = [ 0 1 ; 1 0 ]; » C = [ 1 1 ; 0 3 ]; » D = [ 0 0 ; 0 0 ]; » sist = ss( A,B,C,D )

sist = a = x1 x2 x1 0 1 x2 -2 -3 b = u1 u2 x1 0 1 x2 1 0 c = x1 x2 y1 1 1 y2 0 3 d = u1 u2 y1 0 0 y2 0 0 Continuous-time transfer function.

Tempo Discreto

Para criar modelos LTI de tempo discreto, simplesmente adicione um

parâmetro referente ao tempo de amostragem Ts (em segundos) aos objetos TF,

ZPK, e SS:


sist = tf ( num, den, Ts )

sist = zpk ( z, p, k, Ts )

sist = ss (A, B,C,D,Ts )

por exemplo, o comando a seguir cria um função de transferência de tempo

discreto com um período de amostragem de 0,1 segundos:

» G = tf( [1 -1], [1 -0.5], 0.1 )

G = z - 1 ------- z - 0.5 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function.

Uma maneira talvez mais visual de definir uma função de transferência de

tempo discreto é definindo primeiro a função “z” e o período de amostragem.

Por exemplo, veja como isso seria feito para o caso da seguinte função de

transferência para Ts = 0,1s.

1( )

0,5

zG z

z

» Ts = 0.1; » Z = tf ( 'z', Ts ); » G = (Z - 1) / (Z - 0.5)

G = z - 1 ------- z - 0.5 Sample time: 0.1 seconds Discrete-time transfer function.


Dados do Objeto LTI

As funções TF, ZPK, e SS colocam todos os dados modelo numa

estrutura LTI. Para se extrair os dados de um objeto LTI utilizam-se os

seguintes comandos, onde Ts é o período de amostragem. Estas funções fazem

uma conversão de modelos automática (veja a seção a seguir):

[ num, den, Ts ] = tfdata (sist)

[ z, p, k, Ts ] = zpkdata (sist)

[ A, B, C, D, Ts ] = ssdata (sist)

O exemplo a seguir ilustra o uso desses comandos. Note que como o

sistema é de tempo contínuo, Ts retorna nulo indicando isso.

» zeros = [ -1 -2 ]; » polos = [ -3 -4 ]; » ganho = [ 5 ]; » F = zpk ( zeros, polos, ganho );

» [ A, B, C, D, Ts ] = ssdata (F) A = -3.0000 -2.0000 0 -4.0000 B = 2.8284 2.8284 C = -3.5355 -3.5355 D = 5 Ts = 0


Conversão de Modelos

Para converter um objeto para um tipo específico de modelo LTI use as

próprias funções TF, ZPK, e SS:

sist_novo = tf (sist)

sist_novo = zpk (sist)

sist_novo = ss (sist)

O exemplo a seguir mostra como converter de espaço de estados para

zero-polo-ganho e função de transferência.

» sist = ss ( -2, 1, 1, 3 );

» zpk ( sist )

ans = 3 (s+2.333) ----------------- (s+2)

» tf ( sist )

ans = 3 s + 7 ----------- s + 2

Para a conversão do tempo contínuo para o tempo discreto utilizam-se as

funções específicas c2d e d2c, respectivamente. A sintaxe dos comandos é:

sysd = c2d ( sysc, Ts ) % Ts = periodo de amostragem (s)

sysc = d2c ( sysd )


Na conversão presume-se o uso de um segurador de ordem zero (ZOH).

Para usar um método de conversão diferente, deve-se especificar o método num

terceiro parâmetro de entrada:

sysd = c2d ( sysc, Ts, 'zoh' ) % Segurador de ordem zero

sysd = c2d ( sysc, Ts, 'foh' ) % Segurador de 1ª ordem

sysd = c2d ( sysc, Ts, ‘impulse’ ) % Invariância ao impulso

sysd = c2d ( sysc, Ts, 'tustin' ) % Aproximação de Tustin

sysd = c2d ( sysc, Ts, 'matched' ) % Equivalência polo-zero

sysc = d2c ( sysd, 'zoh' ) % Segurador de ordem zero

sysc = d2c ( sysd, 'foh' ) % Segurador de 1ª ordem

sysc = d2c ( sysd, 'tustin' ) % Aproximação de Tustin

sysc = d2c ( sysd, 'matched' ) % Equivalência polo-zero

Operações com Modelos

Os objetos de modelos permitem as diversas operações aritméticas.

Exemplos:

» sist = sist1 + sist2

» sist = sist1 * sist2


» sist2 = inv ( sist1 )

» sist = [ H1 H2 ]

» sist = [ H1

H2 ]

Resposta Temporal

Existem várias funções que permitem investigar o comportamento

temporal de sistemas LTI:


Resposta Temporal

impulse Resposta à função impulso unitário

initial Resposta à condição inicial

gensig Resposta ao gerador de sinal

lsim Resposta a uma entrada arbitrária

step Resposta ao degrau unitário

As funções step, impulse e initial podem gerar automaticamente um

horizonte temporal de simulação. A sintaxe associada a essas três funções é:

step ( sist )

impulse ( sist )

initial ( sist, x0 ) % x0 = vetor de condições iniciais

Exemplo:

» sist = [ tf ( 1, [1 1 1] ) , tf ( 1, [1 1] ) ] » step ( sist )

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

From: In(1)

0 2 4 6 8 10 12

From: In(2)

Step Response

Time (seconds)

Am

plitu

de


» step( sist,10 ) % simula de 0 até 10 segundos

» t = 0 : 0.1 : 10 % vetor temporal a cada 0,1s

» step ( sist, t ) % simula em função do t especificado

» t = 0 : 0.1 : 10

» u = sin ( t ) % entrada particular

» lsim ( sist, u, t ) % simula para a entrada especificada

Resposta em Frequência 102

O quadro a seguir resume algumas das funções disponíveis para a análise

em frequência de sistemas LTI:

Resposta em Frequência

bode Diagramas de Bode

margin Margens de Ganho e de Fase

nyquist Diagrama de Nyquist

nichols Carta de Nichols

As funções podem gerar os valores das frequências para os quais a

resposta será calculada. A escolha da faixa desses valores é feita em função dos

polos e zeros da função. Para impor uma dada faixa particular de frequências

num interval [wmin, wmax], use a seguinte sintaxe.

bode( sist, { wmin , wmax } ) % Atenção às ‘chaves’

O exemplo a seguir plota os diagramas de Bode da função no intervalo

que vai de 0,1 até 10 rad/s


» sist = tf (1, [1 1 1] ) » bode( sist, { 0.1 , 10 } )

-40

-30

-20

-10

0

10M

agnitu

de (

dB

)

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

É possível também especificar um vetor particular de pontos com

espaçamento logaritmo, por exemplo, desde 10^(-1) até 10^(+1) e com 100

pontos:

» w = logspace( –1, +1, 100) » bode( sist, w )

Resposta Numérica 105

Para se obter os valores numéricas das respostas temporais e frequenciais

deve-se usar as variáveis de retornos das funções. Veja alguns exemplos de

sintaxes a seguir:

[ y, t ] = step( sist )

[ ganho, fase, w ] = bode( sist )

[ real, imaginario, w ] = nyquist( sist )


O exemplo a ilustra mostra como criar gráficos customizados a partir dos

dados numéricos de respostas temporais e frequenciais:

» F = tf ( [1 -1], [1 0.1 1] ) » [ganho,fase,w] = bode(F) » [ y , t ] = step(F,15) » [ p , z ] = pzmap(F)

» subplot( 221 ) » semilogx( w, 20*log10(ganho(:))), grid on

» title('Diagrama de Bode de Ganho (dB)' ) » subplot(223) » semilogx(w,fase(:)), grid on

» title('Diagrama de Bode de Fase (graus)')

» subplot(222) » plot(t,y), grid on

» title('Resposta ao Degrau unitário')

» subplot(224) » plot(z,'ro'), hold, plot(p,'bx'), grid on » axis([-0.5 1.5 -1.5 1.5])

» title('Diagrama de Polos e Zeros')

10-2

100

102

-40

-20

0

20

40 Diagrama de Bode de Ganho (dB)

10-2

100

102

-100

0

100

200Diagrama de Bode de Fase (graus)

0 5 10 15-3

-2

-1

0

1Resposta ao Degrau unitário

-0.5 0 0.5 1 1.5

-1

0

1

Diagrama de Polos e Zeros


Redução de Ordem

Recomenda-se usar a função mineral para se obter a mínima realização

de um modelo e forçar o cancelamento de polos e zeros nos objetos. O exemplo

a seguir mostra seu efeito cancelando o zero em -1 com o polo em -1 da função

T(s) de malha fechada.

» G = tf ( 1, [1 1] ) » T = G / (1 + G) T = s + 1 ------------------- s^2 + 3 s + 2

» T = mineral ( T ) T = 1 ---------- s + 2

Lugar Geométrico das Raízes

Uma análise bastante comum nos problemas de controle é a determinação

da estabilidade e do desempenho de sistemas lineares em função de um dado

parâmetro. Este costuma ser um ganho, uma taxa de amostragem etc. Um caso

típico é o ajuste fino da sintonia de um controlador através do ganho. Desta

forma é interessante conhecermos a priori a influência deste ganho na resposta.

Temos duas possibilidades: (i) Simular o comportamento da saída temporal para

todos os valores possíveis do ganho; (ii) Inferir o comportamento da saída

através dos valores dos polos de malha fechada (admitindo que a resposta é

mais influenciada pelos polos que pelos zeros).

A opção pelo cálculo dos polos nos parece mais razoável mesmo com o

auxílio do computador. A resposta temporal poderá ser mal condicionada

(dificuldades numérica) e poderá ser difícil percebermos tendências e

propriedades. Uma dificuldade na avaliação da resposta por meio dos polos de

malha fechada é que as contribuições de cada polo não podem ser somadas.

Devemos estabelecer um critério de dominância e relacionar o comportamento


da saída ao comportamento destes polos dominantes. Para suprir tal problema

utiliza-se a simulação temporal na validação do projeto. O Matlab possui a

função rlocus que automatiza a construção do lugar das raízes a partir da

função de transferência de malha aberta. Exemplo:

k (s - 2)

s3 + 2s

2 + 3s + 4

r(t) C(t)

» G = tf( [1 -2], [1 2 3 4] ) » rlocus( G) »

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Root Locus

Real Axis (seconds-1)

Imagin

ary

Axis

(seconds-1

)


Interfaces Gráficas

O Toolbox de controle do MATLAB possui uma interface gráfica

denominada sisotool que permite o projeto gráfico iterativo de sistemas de

controle escalares (SISO) por meio de ferramentas como: Lugar das raízes,

Diagrama de Bode, Carta de Nichols e Resposta Temporal. A estrutura geral

admitida pelo ambiente de projeto possui quadro funções de transferência (F, C,

G, H) onde C e F são funções ajustáveis e representam o controlador e o pré-

filtro, respectivamente. A função G é relativa ao modelo da planta e H é o

modelo do sensor. A sintaxe do comando é:

» sisotool

r -->[ F ]-->O--->[ C ]--->[ G ]----+---> y - | |

+-------[ H ]----------+

Outra dessas interfaces que é bastante útil na análise de sistemas de

controle é a denominada ltiview que permite todo tipo análise de respostas no

domínio do tempo e da frequência de sistemas LTI (step, impulse, lsim, initial,

bode, bodemag, nyquist, nichols, sigma, pzmap, iopzmap). A sintaxe do

comando é:

» ltiview

matlabfabrizio/downloads/controle essencial/matlab.pdf · 2 1.1 introdução parte do material...

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