mathcad trabalho 2 boost

3 - MODELAGEM DO CONVERSOR CC-CC BOOST EQUIVALENTE

O conversor CC-CC push-pull alimentado em corrente pode ser representado peloconversor boost equivalente para facilitar o estudo do seu comportamento.

3.1 - Conversor Push-Pull Alimentado em Corrente

3.1.1 - Projeto do conversor

Especificaes do conversor push-pull alimentado em corrente:

Vi 48:= [V]

Vo 400:= [V]

Po 500:= [W]

IoPoVo

1.25=:= [A]

[A]Ii

PoVi

10.417=:=

As consideraes de projeto so:

IL 10 % Ii 1.042=:= [A]

Vc 1 % Vo 4=:= [V]

fs 20 103

:= [Hz]

D 0.7:=

Dl 1 D( ) 0.3=:=

n2 Vo 1 D( )

Vi5=:=

3.1.2 - Dimensionamento do Circuito de Potncia

Indutor de Entrada

LiVi 2D 1( )

2 IL fs4.608 10 4=:= [H]

Capacitor de Sada

CoIo 2D 1( )2 fs Vc

3.125 10 6=:= [F]

Resistncia de Carga

RoVoIo

320=:= []

Resistncia Srie Equivalente do Capacitor de Sada

RseVcIL

3.84=:= []

3.2 - Conversor Boost Equivalente

Para simplificar a anlise do conversor push-pull alimentado em corrente utilizadoo modelo do conversor boost equivalente referido para o lado secundrio do transformador. Atopologia do conversor boost equivalente mostrada na Figura 31.

+

oC. inV oRS

iL D

Figura 31 - Topologia do modelo do conversor boost equivalente.

3.2.1 - Projeto do Conversor Equivalente

Especificaes do conversor boost equivalente:

Vieq n Vi 240=:= [V]

fseq 2 fs 4 104

=:= [Hz]

Deq 2D 1 0.4=:=

Dleq 1 Deq 0.6=:=

IieqPo

Vieq2.083=:= [A]

ILeq 10 % Iieq 0.208=:= [A]

3.2.2 - Dimensionamento do Circuito de Potncia

Indutor de Entrada Equivalente

Lieq Li n2

0.012=:= [H]

Resistncia Srie Equivalente do Capacitor de Sada

RseqVc

Ii

2

0.543=:= []

Foi escolhido um capacitor da Epcos de 330uF:

Co2 330 106

:= [F]

Rse2 0.50:= []

3.3 - Conversor Boost Equivalente com o Modelo da Chave PWM

A Figura 32 mostra a topologia do conversor boost equivalente com a insero domodelo da chave PWM.

iv

D

1

isL

seR

oR

osC1

o

v

+

ci

.

DV dD

cI d

ai

apv

pi

cpv

Figura 32 - Topologia do conversor com a insero da chave PWM.

Consideraes sobre o modelo para a razo cclica constante:

ia D ic= 1( )

vcp D vap= 2( )

Consideraes sobre o modelo com pertubaes em todos os parmetros:

ia D ic Ic d+= 3( )

vapvcpD

VDD

+= 4( )

Aplicando as Leis das tenses e das correntes de Kirchhoff no modelo, obtem-se as seguintesequaes:

ia ic ip+= 5( )

Para D constante:

vo D vo+ s Li ic+ vi+ 0= 6( )

Para perturbaes em todos os parmetros:

vovo

D+

s Li ic

D

viD

+VDD

d+ 0= 7( )

As seguintes consideraes foram feitas para simplificar a nalise:

VD Vo:= [A]

Ic Iieq:= [A]

3.4 - Funes de Transferncia do Conversor Boost Equivalente

3.4.1 - Funo de transferncia para controlar a tenso de sada variando a tenso deentrada.

0

?

o

i d

v

v=

=

A Figura 33 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na razocclica igual a zero (d=0), ou seja, razo cclica constante.

iv

D

1

isL

seR

oR

osC1

ov

+

ci

oi

ai

apv

+

cpv

Figura 33 - Modelo do equivalente conversor.

Clculo da Funo de transferncia (Gvo1=vo/vi), a partir do modelo equivalente. Aplica-se aLei das Tenses de Kirchhoff:

vo D vo+ s Li ic+ vi+ 0=

vo Dls Li

Z Dl+

vi+ 0=

vo

vi

Z Dl

Z Dl2

s Li+=

Onde,

Zs Rse Co 1+( ) Ro

s Co Rse Ro+( ) 1+=

Assim,

vo

vi

s Rse Co 1+( ) Ros Co Rse Ro+( ) 1+

Dl


Dl2

s Li+

=

vo

vi

s Rse Co 1+( ) Ro Dls Li s Co Rse Ro+( ) 1+ s Ro Co 1+( ) Ro Dl2+

=

vo

vi

s Rse Co 1+( ) Ro Dls2 Li Co Rse Ro+( ) s Li Rse Ro Co Dl2+ + Ro Dl2+

=

A funo de transferncia (Gvo1=vo/vi) apresentada a seguir:

Gvo1 w( )Co2 Rse2 j w( ) 1+ Ro Dleq

Co2 Lieq Ro Rse2+( ) j w( )2 Lieq Rse2 Ro Co2 Dleq2+ j w( )+ Ro Dleq2+:=

FTMAvo1 w( ) Gvo1 w( ):=

Valores obtidos na simulao ponto-a-ponto para a funo Gvo1:

Ax

1021.54434690000000146.415888340000002

100215.44346899999999464.15888339999998

10002154.43469

4641.588834000000110000

4.81261477199999996.365402329000000115.7458782799999996.043437164000000221.01177115999999933.97798875000000245.13882943000000153.88920002999999861.190119889999998

44.11741645

0.81571793762.416635597

91.140427509999995169.99182630000001165.91874179999999

153.7097334133.79459399999999

114.3347838102.9551878118.980448

:=

Freq1 Ax 0

:= Ganho1 Ax 1

:= Fase1 Ax 2

:=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100TericoSimulao

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180TericoSimulao

(b)

Figura 34 - Diagrama de Bode da funo FTMAvo1(w): (a) ganho; (b) fase.

3.4.2 - Funo de transferncia para controlar a tenso de sada variando a razocclica.

0

?

i

o

v

v

d=

=

A Figura 35 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na tenso de entradaigual a zero (vi=0).

D

1

isL

seRoR

osC1

ov

+

ci

oi

.

DV dD

cI d

ai

Figura 35 - Modelo do conversor considerando vi=0.

Clculo da Funo de transferncia (Gvo2=vo/d), a partir do modelo equivalente.A partir das Equaes (3), (4) e considerando:

ia ic io+=

ic io+ D ic Ic d+=

icIc d

Dl

vo

Z Dl=

Aplicando a Lei das Tenses de Kirchhoff:

vovo

D+

s L ic

D

VD d

D+ 0=

vovo

D+

s L ic

D

VD d

D+ 0=

vo 11D

+

s LIc d

Dl

vo

Z Dl

D

VD d

D=

vo 1 D( ) s LIc d

Dl

vo

Z Dl

VD d=

vo Dls L Ic d

Dl

s L vo

Z Dl VD d=

vo Dls L vo

Z Dl+

s L Ic d

DlVD d=

vo Dls L

Z Dl+

s L Ic

DlVD

d=

vo

d

s L Ic

DlVD

Dls L

Z Dl+

=

vo

d

s L Ic VD Dl( )Dl2

s LZ

+

=

vo

d

s L Ic VD Dl( ) ZDl2 Z s L+( )=

Onde,

Zs Rse Co 1+( ) Ro

s Co Rse Ro+( ) 1+=

Assim,

vo

d

s L Ic VD Dl( ) s Rse Co 1+( ) Ros Co Rse Ro+( ) 1+

Dl2s Rse Co 1+( ) Ro

s Co Rse Ro+( ) 1+

s L+

=

Efetuando as devidas manipulaes matemticas encontra-se a equao:

vo

d

s2 Ro Rse Li Co Ic s Li Ro Ro Rse Co VD Dl( )+ VD Dl Ro

s2 Li Co Rse Ro+( ) s Li Ro Rse Co Dl2+ + Ro Dl2+

=

A funo de transferncia (Gvo2=vo/d) apresentada a seguir:

Gvo2 w( )j w( )2 Ro Rse2 Lieq Co2 Ic VD Dleq Ro Rse2 Co2 Lieq Ro+( ) j w( )+ VD Dleq R

Co2 Lieq Ro Rse2+( ) j w( )2 Co2 Rse2 Ro Dleq2 Lieq+ j w( )+ Ro Dleq2+:=


Valores obtidos na simulao ponto-a-ponto para a funo Gvo2:

Bx

1021.54434690000000146.415888340000002

100215.44346899999999464.15888339999998

10002154.43469

4641.588834000000110000

56.846470958.39909657999999870.69712843000000645.94797069999999930.82775403999999917.2126630799999994.05657481400000028.116652409000000317.48806683999999822.700512440000001

1.20261408399999993.198267038

79.372462870000007173.72701409999999173.80479310000001168.98126479999999158.61360479999999136.47362630000001

102.174270963.663885890000003

:=

Freq2 Bx 0

:= Ganho2 Bx 1

:= Fase2 Bx 2

:=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100TericoSimulao

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180TericoSimulao

(b)


3.4.3 - Funo de transferncia para controlar a corrente no indutor variando a razocclica (exata).

0

?

i

Li

v

id

=

=

A Figura 33 mostra o modelo do conversor com chave PWM considerando aperturbao na tenso de entrada a zero (vi=0).

D1

isL

coRoR

osC1

ov

+

ci

oi

.

DV dD

cI d

ai

Figura 37 - Topologia do conversor com vi=0.

Clculo da Funo de transferncia (GiL1=iLi/d), funo exata, a partir do modeloequivalente considerando a tenso de entrada igual a zero (vi=0).

A partir das Equaes (3), (4) e considerando:

ia ic io+=

ic io+ D ic Ic d+=

icIc d

Dl

vo

Z Dl=

Aplicando a Lei das tenses de Kirchhoff:

vo D vo s L ic VD d+ 0=

vo D 1( ) s L ic VD d+ 0=

Para,

icIcDl

dvo

Z Dl=

vo

IcDl

d ic

Z Dl=

vo Ic d Z ic Z Dl=

ic Dl Z Ic d Z+( ) Dl s L Ic VD d+ 0=

ic Dl2 Z s L+( ) Ic Dl Z VD+( ) d=

icd

Ic Dl Z VD+( )Dl2 Z s L+

=

Onde,

Zs Rse Co 1+( ) Ro

s Co Rse Ro+( ) 1+=

Assim,

icd

Ics Rse Co 1+( ) Ro

s Co Rse Ro+( ) 1+

Dl VD

Dl2 s Rse Co 1+( ) Ro

s Co Rse Ro+( ) 1+

s Li+

=

Efetuando as devidas manipulaes matemticas na equao encontra-se a funo:

icd

s Co Ro Rse Ic Dl VD Ro Rse+( )+ VD Ic Ro Dl+( )+s2 Li Co Rse Ro+( ) s Li Ro Rse Co Dl2+ + Ro Dl2+

=

A funo de transferncia GiL1 :

GiL1 w( )j w( ) Co2 Ro Rse2 Dleq Ic VD Rse2 Ro+( )+ VD Ic Ro Dleq+( )+

Lieq Co2 Ro Rse2+( ) j w( )2 Lieq Co2 Ro Rse2 Dleq2+ j w( )+ Ro Dleq+:=

FTMAiL1 w( ) GiL1 w( ):=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180

(b)

Figura 38. Diagrama de Bode da funo FTMAiL1(w): (a) ganho; (b) fase.

3.4.4 - Funo de transferncia para controlar a corrente no indutor variando a razocclica (aproximada).

0

?

o i

Lo

v v

id

= =

=

A Figura 39 mostra o modelo do conversor com chave PWM considerando perturbaes nastenses de entrada e de sada iguais a zero (vi=vo=0).

D1

isL

ci

oi

.

DV dD

cI d

ai

Figura 39 - Topologia do conversor com vi=vo=0.

D

1

isL

ci

ai

.

DV dD

Figura 40 - Modelo equivalente do conversor.

isL

ci

.DV d

Figura 41 - Desenho simplificado.

Clculo da funo de transferncia (GiL2=iLi/d), funo aproximada, a partir do modelosimplicado.

icVD d

s Li=

icd

VDs Li

=

vo

s Li=

iLd

vo

s Li=

A funo de transferncia GiL2 :

GiL2 w( )Vo

j w( ) Lieq:=

FTMAiL2 w( ) GiL2 w( ):=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180

(b)

Figura 42 - Diagrama de Bode da funo FTMAiL2(w): (a) ganho; (b) fase.

3.4.5 - Funo de transferncia para controlar a tenso de sada variando a correnteno indutor.

0

?

i

o

L v d

v

i= =

=

A Figura 43 mostra o modelo do conversor considerando as perturbaes na tenso de entradae na razo cclica iguais a zero (vi=d=0).

seRoR

osC1

ov

+

D

1

isL

ci

oi

ai

Figura 43 - Modelo simplificado do conversor.

Clculo da funo de transferncia (Gvo3=vo/iL), funo aproximada, a partir do modelosimplicado.

vo D vo+ s Li iL 0=

vo 1 D( ) s Li iL 0=

vo Dl s Li iL=

vo

iL

s Li

Dl=

A funo de transferncia (Gvo3=vo/iL) apresentada a seguir:

Gvo3 w( )Lieq j w( )

Dleq:=


w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180

(b)


3.4.6 - Funo de transferncia para Impedncia de entrada.

0in dZ =

A Figura 41 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na razo cclica iguala zero (d=0).

iv

D

1

isL

seRoR

osC1

ov

+

ci

oi

ai

Figura 45 - Modelo do conversor com d=0.

Clculo da funo de transferncia (GZin=vi/iL) a partir do modelo simplicado.

vi vo D vo+ s Li iL 0=

vi vo 1 D( ) s Li iL 0=

ic Dlvo

Z=

vo ic Dl Z= iL Dl Z=

vi iL Dl Z( ) Dl s Li iL 0=

vi iL Z Dl2

s Li+

0=

viiL

Z Dl2

s Li+=

Onde,

Zs Rse Co 1+( ) Ro

s Co Rse Ro+( ) 1+=

viiL


Dl2

s Li+=

viiL

s Rse Co 1+( ) Ro Dl2 s Co Rse Ro+( ) 1+ s Li+s Co Rse Ro+( ) 1+=

viiL

GZin=s2 Li Co Rseq Ro+( ) s Rseq Ro Co Dleq2 Li+ + Ro Dleq2+

s Co Re Ro+( ) 1+=

A funo de transferncia (GZin) apresentada a seguir:

GZin w( )Lieq Co2 Ro Rse2+( ) j w( )2 Lieq Ro Rse2 Co2 Dleq2+ j w( )+ Ro Dleq2+

Co2 Ro Rse2+( ) j w( ) 1+:=

FTMAZin w( ) GZin w( ):=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 10550

12.5

25

62.5

100

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180

(b)

Figura 46 - Diagrama de Bode da funo FTMAZin(w): (a) ganho; (b) fase.

3.4.7 - Funo de transferncia para impedncia de sada.

0 ?o vi dZ = = =

A Figura 47 mostra o modelo do conversor considerando as perturbaes na tenso deentrada e na razo cclica iguais a zero (vi=d=0).

seRoR

osC1

ov

+

D

1

isL

ci

oi

ai

Figura 47 - Modelo do conversor simplificado com vi=d=0.

Clculo da funo de transferncia (GZout=vo/io), funo aproximada, a partir do modelosimplicado.

vo Dl s LiioDl

0=

vo

io

s Li

Dl2

=

A funo de transferncia (GZout) apresentada a seguir:

GZout w( )j w( ) Lieq

Dleq2

:=

FTMAZout w( ) GZout w( ):=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180

(b)

Figura 48 - Diagrama de Bode da funo FTMAZout(w): (a) ganho; (b) fase.

3.4.8 - Funo de transferncia para controlar a tenso de entrada variando a razocclica.

0

?

o

i

v

v

d=

=

A Figura 49 mostra o modelo do conversor considerando a perturbao na tenso de sadaigual a zero (vo=0).

D

1

isL

ci

ciR

1isC

.

DV dD

cI d

ai

fI

cii

Figura 49 - Modelo equivalente do conversor.

Clculo da funo de transferncia (Gvi=vi/d) a partir do modelo equivalente.

iLvi

Rci1

s Ci+

=

vi s Ci

s Rci Ci 1+=

vi VD d s Li iL 0=

vi VD d s Livi s Ci

s Rci Ci 1+ 0=

vi 1s2 Li Ci

s Rci Ci 1+

VD d=

vid

VD

1s2 Li Ci

s Rci Ci 1+

=

( )

vid

VD s Rci Ci 1+( )s Rci Ci 1+ s

2 Li Ci

=

Para simplificar a anlise da funo de transferncia considera-se:

Rci Rse2:= [] Ci Co2:= [F]

A funo de transferncia (Gvi1=vi/d) apresentada a seguir:

Gvi1 w( )VD j w( ) Rci Ci 1+

j w( )[ ]2 Lieq Ci j w( ) Rci Ci+ 1+:=

FTMAvi1 w( ) Gvi1 w( ):=

Valores obtidos na simulao ponto-a-ponto para a funo Gvi1:

Cx

1021.54434690000000146.415888340000002

100215.44346899999999464.15888339999998

10002154.43469

4641.588834000000110000

41.935093442.82557488999999950.59422545000000335.10546416999999819.1193845799999985.70944731700000046.143861293999999715.64550400000000123.278151579999999

30.17647092

165.19663170000001171.65273440000001165.244788199999997.978810724999999810.683911419999999

20.5757743538.43142729000000259.12252218999999873.10985737999999478.803352970000006

:=

Freq3 Cx 0

:= Ganho3 Cx 1

:= Fase3 Cx 2

:=

w 6.283 30, 628318.5..:=

10 100 1 103 1 104 1 105100

50

0

50

100TericoSimulao

(a)

10 100 1 103 1 104 1 105180

90

0

90

180TericoSimulao

(b)

Figura 50 - Diagrama de Bode da funo FTMAvi1(w): (a) ganho; (b) fase.

3.5 - Resultados da Anlise em Frequncia do Conversor Boost Equivalente

Algumas funes de transferncia do conversor boost equivalente no foramvalidadas por meio da simulao e da anlise em frequncia. Mesmo assim, abaixo somostradas as figuras da simulao em frequncia de algumas funes de transferncia queficaram bem prximas dos valores toricos obtidos.

3.5.1 - Funo de transferncia para controlar a tenso de sada variando a tenso deentrada.

Frequency

10Hz 30Hz 70Hz 200Hz 500Hz 2.0KHz 6.0KHz 20KHz 50KHzP(V(Vs)/V(Ve))

-100d

0d

100d

DB(V(Vs)/V(Ve))-100

-50

0

50

100

SEL>>

Figura 51 - Resultado para a funo de controle da tenso de sada variando atenso de entrada.

3.5.2 - Funo de Transferncia para controlar a tenso de sada variando a razocclica.

Frequency

10Hz 30Hz 70Hz 200Hz 500Hz 2.0KHz 6.0KHz 20KHz 50KHzP(V(Vs)/V(Vd))

-100d

0d

100d

DB(V(Vs)/V(Vd))-100

-50

0

50

100

SEL>>

Figura 52 - Resultado para a funo de controle da tenso de sada variando arazo cclica.

3.5.3 - Funo de transferncia para controlar a corrente no indutor variando a razocclica (exata).

Frequency

10Hz 30Hz 70Hz 200Hz 500Hz 2.0KHz 6.0KHz 20KHz 50KHzP(I(Lb)/V(Vd))

-100d

0d

100d

DB(I(Lb)/V(Vd))-100

-50

0

50

100

SEL>>

Figura 53 - Resultado para a funo de controle da corrente no indutor variandoa razo cclica (exata).

3.5.4 - Funo de transferncia da impedncia de entrada.

Frequency

10Hz 30Hz 70Hz 200Hz 500Hz 2.0KHz 6.0KHz 20KHz 50KHzP(V(Ve)/I(Lb))

-100d

0d

100d

DB(V(Ve)/I(Lb))-100

-50

0

50

100

SEL>>

Figura 54 - Resultado para a funo da impedncia de entrada.

mathcad trabalho 2 boost

Documents