FACULDADE PITÁGORAS – CAMPUS BETIM

ENGENHARIA MECÂNICA

MECÂNICA GERAL

PROF.: ROGÉRIO GONDIM COSTA

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1. INTRODUÇÃO

Partícula: um corpo de dimensões desprezíveis. Uma partícula representa um elemento

infinitesimal de um corpo.

Corpo rígido: aquele que não se deforma. As deformações que realmente ocorrem são

pequenas e não alteram sensivelmente as condições de equilíbrio ou de movimento do

sistema.

Estática

Corpo em equilíbrio: Repouso ou movendo em velocidade

constante.

Dinâmica

Trata do movimento acelerado

de um corpo.

MECÂNICA

Ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso ou

movimento de corpos sujeitos à ação de forças.

Cinemática

Trata somente dos movimentos

dos corpos, independentemente

das forças que os produzem.

Cinética

Análise das forças que

causam o movimento.

3

Sistema Internacional de unidades:

Prefixos:

4

2. VETORES DE FORÇA

Grandezas escalares: possui apenas intensidade. Ex: massa, potência, temperatura, tempo,

volume, trabalho.

Grandeza Vetorial: possui intensidade, direção e sentido. Ex: velocidade, aceleração, força,

movimento cinético, quantidade de movimento, torque.

Vetor Â

2.1. Operações Vetoriais

- Multiplicação e divisão escalares:

- Adição de vetores – Lei do paralelogramo:

- Adição de vetores colineares:

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- Subtração de vetores:

A – B = R’

2.2. Trigonometria

- Triângulo retângulo:

a2 = b2 + c2

sen α = c/a

cos α = b/a

tg α = c/b

- Triângulos não retângulos:

Lei dos cossenos: 𝐶 = √𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵 cos 𝑐

Lei dos senos: 𝐴

𝑠𝑒𝑛 𝑎=

𝐵

𝑠𝑒𝑛 𝑏=

𝐶

𝑠𝑒𝑛 𝑐

2.3. Decomposição de vetores

Considere o vetor Â:

AX = A cos α AY = A sen α

O módulo de  em função de suas componentes é (teorema de Pitágoras):

𝑨 = √(𝑨𝑿)𝟐 + (𝑨𝒀)𝟐

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O ângulo α que o vetor faz com o eixo x é:

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐴𝑌

𝐴 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (

𝐴𝑌

𝐴) 𝑜𝑢,

𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 𝐴𝑋

𝐴 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 (

𝐴𝑋

𝐴) 𝑜𝑢 𝑎𝑖𝑛𝑑𝑎,

𝑡𝑔 𝛼 = 𝐴𝑌

𝐴 → 𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (

𝐴𝑌

𝐴𝑋).

2.4. Determinação da Força Resultante

As duas forças componentes F1 e F2 agindo sobre o pino da figura abaixo (a) podem ser somadas

para ser formada a força resultante FR (figuras b e c). Aplicando a lei dos senos ou dos cossenos,

pode-se determinar a intensidade, direção e sentido de FR.

Exemplos

1. Determine a intensidade da força componente F da figura e a intensidade da força resultante se

FR estiver direcionada ao longo do eixo y positivo.

Aplicando a lei dos senos: 𝑭

𝑠𝑒𝑛60°=

200𝑁

𝑠𝑒𝑛 45° ⇒ 𝑭 = 244,95N

𝑭𝑹

𝑠𝑒𝑛75°=

200𝑁

𝑠𝑒𝑛 45° ⇒ 𝑭𝑹 = 273,21N

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2. O gancho da figura está sujeito a duas forças F1 e F2. Determine a intensidade e a direção da força

resultante.

FR será calculado através da lei dos cossenos:

𝑭𝑹 = √(100𝑁)2 + (150𝑁)2 − 2(100𝑁)(150𝑁) ∙ 𝑐𝑜𝑠115° ⇒ 𝑭𝑹 = 212,55N

A direção de FR a partir da horizontal será φ, sendo que φ = θ – 15o.

θ será calculado através da lei dos senos:

150𝑁

𝑠𝑒𝑛𝜃=

212,55𝑁

𝑠𝑒𝑛115° ∴ 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0,64 ⇒ 𝜃 = 39,76°

φ = θ + 15o = 39,76o + 15o = 54,76o

Exercícios

1. Determine a intensidade da força resultante que atua sobre a argola e sua direção, medida no

sentido horário a partir do eixo x.

2. Duas forças atuam sobre o gancho. Determine a intensidade da força resultante e sua direção.

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3. Determine a intensidade da força resultante e sua direção, medida no sentido anti-horário a

partir do eixo x positivo.

4. Na figura abaixo, se θ = 30o e T = 6 kN, determine a intensidade da força resultante que atua

sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo.

5. Na figura do exercício 4, se θ = 60o e T = 5 kN, determine a intensidade da força resultante que

atua sobre a argola e sua direção, medida no sentido horário a partir do eixo x positivo.

6. Na figura do exercício 4, se a intensidade da força resultante deve ser 9 kN direcionada ao longo

do eixo x positivo, determine a intensidade da força T que atua sobre a argola e seu ângulo θ.

7. A chapa está submetida a duas forças em A e B, como mostrado na figura abaixo. Se θ = 60o,

determine a intensidade da resultante das duas forças e sua direção medida no sentido horário a

partir da horizontal.

8. Na figura do exercício 7, determine o ângulo θ para conectar o membro A à chapa de modo que a

força resultante de FA e FB seja direcionada horizontalmente para a direita. Além disso, calcule a

intensidade da força resultante.

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9. A caminhonete da figura abaixo precisa ser rebocada usando duas cordas. Determine as

intensidades das forças FA e FB que atuam em cada corda para produzir uma força resultante de

950N, orientada ao longo do eixo x positivo. Considere θ = 50o.

10. A caminhonete do exercício 9 precisa ser rebocada usando duas cordas. Se a força resultante

deve ser de 950N, orientada ao longo do eixo x positivo, determine as intensidades das forças FA

e FB que atuam sobre cada corda e o ângulo θ de FB, de modo que a intensidade de FB seja

mínima. FA atua a 20o do eixo x.

11. A tora deve ser rebocada por dois tratores A e B, conforme figura abaixo. Determine as

intensidades das duas forças de reboque FA e FB, levando-se em conta que a força resultante

tenha uma intensidade de 10kN e seja orientada ao longo do eixo x. Considere θ = 15o.

12. A resultante FR das duas forças que atuam sobre a tora (figura do exercício 11) deve estar

orientada ao longo do eixo x positivo e ter uma intensidade de 10kN. Determine o ângulo θ do

cabo acoplado a B para que a intensidade da força FB nesse cabo seja mínima. Qual é a

intensidade da força em cada cabo, nessa situação?

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2.5. Notação Vetorial Cartesiana

É possível representar as componentes x e y de um vetor Força utilizando os vetores cartesianos

unitários i e j. Cada um desses vetores unitários possui intensidade adimensional igual a um e,

portanto, podem ser usados para designar as direções dos eixos x e y respectivamente.

2.6. Resultante de Forças Coplanares

Cada força é decomposta em suas componentes x e y e representada como um vetor cartesiano:

F1 = F1xi + F1yj

F2 = – F2xi + F2yj

F3 = F3xi – F3yj

O vetor resultante é, portanto,

FR = F1 + F2 + F3

FR = F1xi + F1yj – F2xi + F2yj + F3xi – F3yj = (F1x – F2x + F3x) i + (F1y + F2y – F3y) j

FR = (FR x) i + (FR y) j

A intensidade da força será:

𝐅𝐑 = √(FR x)2 + (FR y)2

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Exercícios

1. Determine as componentes x e y de F1 e F2 da figura abaixo:

2. O olhal da figura está submetido a duas forças F1 e F2. Determine a força resultante e sua

intensidade utilizando notação vetorial cartesiana.

3. Determine a força resultante e sua intensidade.

4. Se a intensidade da força resultante que atua sobre a argola é 600 N e sua direção no sentido

horário do eixo x positivo é θ = 30o, determine a intensidade de F1 e o ângulo φ.

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3. EQUILÍBRIO DE UMA PARTÍCULA

3.1. Condição de equilíbrio de uma partícula

Uma partícula está em equilíbrio quando está em repouso ou quando tem velocidade constante se

originalmente estava em movimento. Para manter o equilíbrio, é necessário satisfazer a primeira lei

de Newton, segundo a qual a força resultante que atua sobre uma partícula deve ser igual a zero:

ΣF = 0

onde ΣF é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a partícula.

Isso decorre da segunda lei de Newton, que pode ser descrita como ΣF = m.a. Como a partícula está

em repouso ou com velocidade constante, tem-se que a = 0, portanto, m.a = 0 e então ΣF = 0.

3.2. Diagrama de Corpo Livre (DCL)

Para aplicar a equação de equilíbrio, devemos considerar todas as forças que atuam sobre a partícula

(ΣF). Um esboço mostrando a partícula com todas as forças que atuam sobre ela é chamado de

diagrama de corpo livre (DCL) da partícula. Exemplos:

Para solução de exercícios consideramos que todos os cabos ou fios tem peso desprezível e não se

deformam (esticam). Além disso, um cabo ou fio pode suportar apenas a força de tração que atua

sempre em sua direção.

As molas serão consideradas linearmente elásticas e a intensidade da força exercida sobre ela será:

FMola = k.x

Onde k é sua rigidez ou constante da mola e x o alongamento ou encurtamento.

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Exemplo: A esfera da figura tem massa de 6kg e está apoiada como mostrado. Desenhe o diagrama

de corpo livre da esfera, da corda CE e do nó em C.

Exercícios

1. Determine a tração nos cabos BA e BC necessária para sustentar o cilindro de 60 kg da figura.

2. A caixa da fig. Tem peso de 2,75 kN. Determine a força em cada cabo de sustentação.

3. Determine a força em cada corda para o equilíbrio da caixa de 200 kg. A corda BC permanece

na horizontal devido ao rolete em C, e AB tem um comprimento de 1,5 m e y = 0,75m.

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4. Se a massa da viga é 3000 kg e seu centro de massa está localizado no ponto G, determine a

tração desenvolvida nos cabos AB, BC e BD para o equilíbrio.

5. O pendente do reboque AB está submetido à força de 50 kN exercida por um rebocador.

Determine a força em cada um dos cabos de amarração BC e BD, se o navio está se movendo

para frente em velocidade constante.

6. Os membros AC e AB suportam a caixa de 100 kg. Determine a força de tração desenvolvida

em cada membro.

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7. Determine a tração desenvolvida nos cabos CA e CB necessária para o equilíbrio do cilindro

de 10 kg, sendo que θ = 40o.

8. Se o bloco B pesa 1 kN e o bloco C pesa 0,5 kN, determine o peso do bloco D e o ângulo θ

para o equilíbrio.

9. Determine alongamento nas molas AC e AB para o equilíbrio do bloco de 2 kg. As molas são

mostradas na posição de equilíbrio.

10. Utilizando a figura do exercício 9, se a mola AB deforma 2 m e o bloco é mantido na posição

de equilíbrio mostrada, determine a massa do bloco em D.

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4. MOMENTO DE UMA FORÇA

Quando uma força é aplicada a um corpo, ela produzirá uma tendência de rotação em torno de um

ponto que não está na linha de ação da força. Essa tendência é chamada de momento ou torque.

Se é aplicada uma força F no cabo da chave da figura abaixo ela tenderá a girar o parafuso em torno

do ponto O. A intensidade do momento (Mo) será proporcional à intensidade de F e à distância

perpendicular da força ao ponto O (d).

A intensidade é:

Mo = F.d

onde d é o braço do momento ou distância perpendicular do eixo no ponto O até a linha de ação da

força.

O momento resultante será a soma de todos os momentos sendo que os momentos positivos têm

sentido anti-horário e os negativos têm sentido horário.

MR = ΣF.d

Exercícios:

1. Determine o momento da força em relação ao ponto O para cada caso abaixo:

1.1.

1.2.

17

1.3.

1.4.

1.5.

2. Determine o momento resultante das quatro forças que atuam na barra da figura abaixo:

3. Dois homens exercem forças de F = 400 N e P = 250 N sobre as cordas. Determine o

momento de cada força em relação a A e indique o sentido que o poste girará.

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4. Na figura do exercício 3, se o homem B exerce uma força P = 150 N sobre sua corda,

determine a intensidade da força F que o homem em C precisa exercer para impedir que o

poste gire, ou seja, para que o momento resultante em relação a A devido às duas forças seja

zero.

5. Determine o momento resultante produzido pelas forças em relação ao ponto O.

6. Se θ = 45o, determine o momento produzido pela força de 4 kN em relação ao ponto A.

7. O cabo do martelo está sujeito a uma força de F = 1000 N. Determine o momento dessa força

em relação ao ponto A.

8. Utilizando a figura do exercício 7; para arrancar o prego em B, a força F exercida sobre o cabo

do martelo precisa produzir um momento no sentido horário de 60 Nm em relação ao ponto

A. Determine a intensidade necessária da força F.

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5. VETORES EM TRÊS DIMENSÕES

Sistema de coordenadas destro:

Componentes retangulares do vetor A:

Em três dimensões, os vetores cartesianos unitários i, j e k são usados para designar as direções dos

eixos x, y e z, respectivamente. O vetor A pode ser representado como:

A intensidade de A será a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas componentes:

A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α, β e γ, medidos entre a origem de

A e os eixos x, y e z positivos.

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Seja uA o vetor unitário na direção de A, então A = A uA.

onde

então

A adição ou subtração de vetores expressos em componentes cartesianas é bastante simplificada.

Por exemplo, se A = Axi + Ayj + Azk e B = Bxi + Byj + Bzk, o vetor R = A + B será:

então

Exercícios

1. Expresse a força F de cada figura como um vetor cartesiano.

1.1.

1.2.

1.3.

21

1.4.

2. Determine a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante que atua

sobre o anel da figura.

3. Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique o vetor F2, sua

intensidade e seus ângulos coordenados, de modo que a força resultante FR atue ao longo do

eixo y positivo e tenha intensidade de 800 N.