material terico inss gran online 2015 lgica-josimar

1

RACIOCÍNIO LÓGICO

PROF. JOSIMAR PADILHA

“Nós somos o que fazemos repetidamente, a excelência

não é um feito, e sim, um hábito”.Aristóteles.

Sucesso!

2

01 - NOÇÕES DE CONJUNTOS

Nesta primeira aula iremos estudar sobre “noções de conjuntos”, uma vez que a mesmo trará uma

interpretação concreta dos fundamentos utilizados na lógica proposicional. É importante ressaltar que é um

conteúdo constante nas últimas provas de concursos públicos.

Introdução

Relação de Pertinência: É a relação existente entre elemento e conjunto. Caso você queira relacionar um elemento “x” a um conjunto “X”, a relação deverá ser:

O elemento x pertence a X (x X) ou o elemento x não pertence a X( x X) .

Uma outra maneira para definir conjuntos, consiste em escrever uma lista dos elementos do conjunto, entre chaves. Desse modo, escreveríamos o conjunto A da seguinte forma:

A = { I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,,X,...}

Um conjunto poderá ser representado por diagramas da seguinte forma:

Relação de Inclusão: É a relação existente entre conjunto e subconjunto ou subconjunto e conjunto. Caso você queira relacionar um subconjunto A a um conjunto B, a relação deverá ser:

Ex.: No diagrama abaixo temos que A contém o conjunto B. Logo A é um conjunto e B é um subconjunto. A relação existente entre os dois é a seguinte:

A B “A contém B” e B A “B está contido em A”

3

Número de subconjuntos

O número de subconjuntos de um conjunto como por exemplo:

A= { a, b } = { a } , { b } , {a, b } , { } ; temos neste caso 4(quatro) subconjuntos de um conjunto A com 2 elementos. Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento. E ele está contido em qualquer conjunto.

Representação: ou { }, nunca {}.

Conjunto das partes:

Denotado por P(A) e possui todos os subconjuntos de A. n(P(A)) = 2 n(A) ( número de elementos do conjunto) . C= { a,b,c } = { a } , {b} , { c } , { a,b} , { a,c} , {b,c} , {a,b,c} ,{ } = 23=8 subconjuntos.

Operações com conjuntos

REUNIÃO OU UNIÃO:

Iremos identificar uma União entre dois conjuntos quando tivermos o termo: “OU”

Conceito . Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado

pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos

dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos:

Exemplos:

{1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4}

{n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w}

A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições “x

pertence A” ou “x pertence a B” é verdadeira. Desse fato decorre que:

Propriedades da União

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência: A U A = A. A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A; 2. Comutativa: A U B = B U A; 3. Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A . O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos; 4. Associativa: (A U B) U C = A U (B U C).

4

INTERSECÇÃO

Iremos identificar uma Interseção entre dois conjuntos quando tivermos os termos:

“e”, “ simultaneamente” e “ ao mesmo tempo”

Conceito. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a

um novo conjunto, assim definido:

Exemplos:

Da definição de intersecção resulta que:

Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja:

Propriedades da Intersecção

Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades:

1. Idempotência:

2. Comutativa:

3. Elemento Neutro - O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos:

4.Associativa:

Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos

disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao

conjunto vazio.

5

DIFERENÇA

Iremos identificar uma Diferença entre dois conjuntos quando tivermos os termos :

“apenas ”, “ somente” e “ exclusivamente”, ligados ao conjunto.

Conceito. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos

elementos de A que não pertencem a B.

Exemplos:

{a, b, c} - {a, c, d, e, f} = {b}

{a, b} - {e, f, g, h, i} = {a, b}

{a, b} - {a, b, c, d, e} = Ø

Temos a seguir uma interpretação concreta por meio do diagrama de Euler-Venn em que a diferença

corresponde à parte branca de A.

COMPLEMENTAR DE B EM A

Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em

relação a A o conjunto A - B, e indicamos como:

APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS

01) (ESAF/TÉCNICO-2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O

conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2

elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a:

a) 4

6

b) 6

c) 8

d) vazio

e) 1

Nesta questão é dado dois conjuntos não vazios , ou seja, possuem elementos, mas é fornecido a quantidade de subconjuntos de cada conjunto, em que deveremos encontrar o número de elementos da seguinte maneira :

Para o conjunto X temos que : P(X)=64 , sendo P(X) = 2n . Logo,

2n=64, fatorando o número 64 temos que 64= 26

2n=26

n=6 ( o número de elementos do conjunto n(X) = 6)

Para o conjunto Y temos que : P(Y)=256 , sendo P(Y) = 2n . Logo,

2n=256, fatorando o número 256 temos que 256= 28

2n=28

n=8 ( o número de elementos do conjunto n(Y) = 8)

Para o conjunto Z , segundo o enunciado temos : Z = X ∩ Y possui 2 elementos ( n(Z)=2 ) . Logo,

7

Após construirmos os diagramas e suas respectivas operações temos que a questão solicita o

número de elementos do conjunto P = Y - X . Sendo assim, trata-se da diferença entre os conjuntos Y e X ,

em que devemos selecionar os elemento que pertencem a Y mas não pertencem a X.

De acordo com o diagrama acima temos que P= Y-X = 6 elementos .

Resposta : Letra B

02) (CESPE-2002) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou

um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia

trabalhado

I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;

II em setor de conserto de tubulações urbanas;

III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.

Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos

um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente

• 28 pessoas à alternativa I.

• 4 pessoas somente à alternativa I.

• 1 pessoa somente à alternativa III.

• 21 pessoas às alternativas I e II.

• 11 pessoas às alternativas II e III.

• 13 pessoas às alternativas I e III.

Com base nas informações anteriores, assinale a opção incorreta.

a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores.

8

b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.

c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações.

d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de

subestações.

e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de

ampliações e reformas de subestações.

Comentário :

Nesta questão é dado três conjuntos :




A questão deixa claro que todos têm experiência em pelo menos um dos setores citados, logo não

existe elementos do lado de fora. De outro lado temos candidatos que possuem experiências nos três

setores , sendo assim construiremos o diagrama para melhor interpretação.

9

Vamos agora preencher o diagrama referente ao setor de montagem :

1- O setor de Montagem possui 28 candidatos com experiência,

Ao analisar o diagrama temos que 4 candidatos têm experiência apenas no setor de Montagem,

logo podemos inferir que no espaços ( X + Y+ Z ) que estão nas cores rosa, vermelha e azul, sobraram ( 28

– 4 ) = 24 candidatos. De acordo com os valores dados de 21 candidatos nos setores (I e II) e 13

candidatos nos setores ( I e III ) , se somarmos temos: 21 + 13 = 34, mas a quantidade real das áreas

pintadas é igual 24, logo temos 10 candidatos a mais. O que passa da realidade se encontra na interseção,

pois é na interseção que os elementos são contados mais de uma vez, logo temos 10 candidatos com

experiências nos três setores ( Y=10 ).

10

Segundo os valores encontrados podemos agora preencher de forma completo o diagrama

para podemos julgar os itens, não esquecendo que o total de candidatos ,ou seja, a soma dos números

abaixo devem totalizar 44 candidatos.

Julgando os itens: Com base nas informações adquiridas iremos assinalar a opção incorreta.

a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. ( o item está de acordo)

b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.( o item está de

acordo)

c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. (o item está de

acordo)


subestações. ( o item está incorreto, pois temos 3 candidatos)


ampliações e reformas de subestações. ( o item está de acordo)

Resposta: Letra D

11

03) (CESPE – 2008- TRT 5 RG- adaptada ) No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam inglês, espanhol ou grego. Sabe-se que 60 alunos estudam espanhol e que 40 estudam somente inglês e espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem. 1- Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês. 2- Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando inglês do que espanhol. 3- Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente inglês do que espanhol. Analisando a questão acima temos que :

- 180 alunos estudam inglês, espanhol ou grego , vamos representar da seguinte maneira ( I E G ); - 60 estudam espanhol ( E= 60 ); - 40 estudam somente inglês e espanhol ( ( I ∩ E)-G).

1- Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês.

Vimos que as duas áreas pintadas acima totalizam 100 alunos, o que resta 80 para preencher os espaços em branco, supondo que a interseção de somente inglês e grego fosse igual a zero, ou seja, não tivesse nenhum aluno, mesmo assim, não teríamos 90 alunos que estudam apenas inglês. O item está errado.

12

2- Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando inglês do que espanhol.

De acordo com o diagrama acima o item está certo.

3- Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra língua mais,

então há mais alunos estudando somente inglês do que espanhol.

13

04) (ESAF/AFC-2004) Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a

três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas

como “A”, “B” e “C”) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia se declarar ou

contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos

entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50%

declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se , ainda, que 5% do

total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas. Assim, a percentagem dos

entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a:

a) 17% b) 5% c) 10% d) 12% e) 22%

14

Aproveitando a questão para uma análise mais profunda e melhor entendimento. Fiz umas inferências que poderiam ser perguntas da banca.

15

MOMENTO DE TREINAMENTO

FIXAÇÃO DE APRENDIZAGEM

01) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam

vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não

praticam futebol. O número de alunos da classe é:

A) 30 B) 35 C) 37 D) 42 E) 44

02) Em certa comunidade há indivíduos de três raças: branca, negra e amarela. Sabendo que 70 são

brancos, 350 são não negros e 50% são amarelos, responda:

A) quantos indivíduos tem a comunidade?

B) quantos são os indivíduos amarelos?

03) Numa classe de 45 alunos, 28 falam francês e 14 falam espanhol. Desses alunos, 8 não falam nem

francês nem espanhol. Quantos falam as duas línguas?

04) Numa classe de 43 alunos, 27 falam inglês, 15 falam alemão, 6 falam inglês e alemão. Quantos alunos

não falam nem inglês, nem alemão?

05) Considere o conjunto M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} e responda quantos subconjuntos tem M.

06) Quantos elementos tem o conjunto do qual se pode obter 32.768 subconjuntos?

07) (PUC-Rio) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que,

exatamente :

17% têm casa própria;

22% têm automóvel;

8% têm casa própria e automóvel

Qual o percentual dos que não tem casa própria nem automóvel?

16

08) Uma senhora que costuma fazer saladas de frutas para servir aos fregueses em seu restaurante, dispõe

de oito frutas diferentes. Sabendo que cada mistura de pelo menos duas frutas resulta numa salada

diferente, calcule o número de saladas de frutas diferentes que podem ser obtidas

09) Numa escola existem 84 meninas, 48 crianças loiras, 26 meninos não loiros e 18 meninas loiras.

Pergunta-se:

A) Quantas crianças existem na escola?

B) Quantas crianças são meninas ou são loiras?

10) Dos funcionários de uma empresa, sabe-se que existem:

35 homens;

18 pessoas que possuem automóvel;

15 mulheres que não possuem automóvel;

7 homens que possuem automóvel;

A) Qual o número de funcionários que há nessa empresa?

B) Quantos funcionários são homens ou quantos possuem automóvel?

11) Numa classe colheu-se os seguintes dados em relação as três matérias estudadas:

20 alunos foram aprovados nas 3 matérias.

35 alunos foram aprovados em Química e Física.

42 alunos foram aprovados em Matemática e Física.

22 alunos foram aprovados em Química e Matemática

O professor de Matemática aprovou 50 alunos.

O professor de Física aprovou 70 alunos.

O professor de Química aprovou 40 alunos.

Quantos alunos foram aprovados:

a) em uma matéria?

17

b) somente em uma matéria?

c) em pelo menos uma matéria?

d) em duas matérias?

e) somente em duas matérias?

f) em mais de duas matérias?

g) somente em três matérias?

h) em matemática e física?

i) em matemática ou física?

j) em matemática e física e não foram aprovados em química?

Ainda com relação a questão 11, julgue os itens,

1 seis alunos foram aprovados em matemática.

2 apenas seis alunos foram aprovados em matemática.

3 seis alunos foram aprovados somente em matemática.

4 apenas 6 alunos foram aprovados somente em matemática.

5 mais de 60 alunos foram aprovados em pelo menos 2 matérias.

18

6 o número de alunos na classe é 81.

12) Em um exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20%

optaram pelo curso de Direito. Do total de candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por direito?

A)50% B) 20% C) 10% D) 6% E) 5%

13) Numa universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23

Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta

Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade?

A) 304 B) 162 C) 146 D)154 E) n.d.a

QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS

14) (ESAF/TÉCNICO-2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O

conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X ∩ Y possui 2

elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a:

A) 4 B) 6 C) 8 D) vazio E) 1

15) (CESPE-2002) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou

um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia

trabalhado




Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos

um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente

• 28 pessoas à alternativa I.

• 4 pessoas somente à alternativa I.

• 1 pessoa somente à alternativa III.

• 21 pessoas às alternativas I e II.

• 11 pessoas às alternativas II e III.

• 13 pessoas às alternativas I e III.

19

Com base nas informações anteriores, assinale a opção incorreta.

a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores.

b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.

c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações.


subestações.


ampliações e reformas de subestações.

16) (CESPE-2003)

Vacinas Crianças Vacinadas

Sabin 5300

Sarampo 5320

Tríplice 4600

Sabin e sarampo 1020

Sabin e tríplice 900

Sarampo e tríplice 800

Sabin, sarampo e tríplice 500

Nenhuma 2000

Considerando os dados da tabela acima, que representam as quantidades de crianças de uma determinada

cidade que receberam em 2002 as vacinas Sabin, sarampo e tríplice, julgue os itens seguintes:

A) Exatamente 3880 crianças receberam apenas a vacina Sabin.

B) Exatamente 3700 crianças receberam apenas a vacina tríplice.

C) Exatamente 4300 crianças receberam apenas a vacina sarampo.

D) 2720 crianças receberam pelo menos duas vacinas.

E) Mais de 16000 crianças foram vacinadas nessa cidade em 2002.

17) (CESPE/METRÔ-2005) Uma associação de motoristas e de pilotos de trens elétricos distribui a seus

associados dois jornais periódicos A e B, que tratam de assuntos de interesse das duas categorias

profissionais. Um total de 4540 membros compõe a associação. Devido a problemas de comunicação, 75

associados não receberam nenhum dos jornais, 980 receberam os dois jornais e 2840 receberam o jornal A.

Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.

20

1 Mais de 1800 associados receberam apenas o jornal A.

2 Menos de 2500 associados receberam o jornal B.

18) (CESPE-2008) Com relação às operações com conjuntos, julgue o item abaixo.

1 Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes especialidades: 27 são

especialistas no sistema operacional Linux, 32 são especialistas no sistema operacional Windows e 11

desses candidatos são especialistas nos dois sistemas. Nessa situação, é correto inferir que o número total

de candidatos ao cargo de programador é inferior a 50.

19) (CESPE/STF-2008) Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 40 possuíam

o título de doutor, 50 possuíam o título de mestre, 20 possuíam somente o título de mestre e não eram

professores universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram professores universitários, 15

possuíam somente o título de doutor e não eram professores universitários e 10 possuíam os títulos de

mestre e doutor e não eram professores universitários. Com base nessas informações, julgue os itens

seguintes.

1 Menos de 35 desses juízes são professores universitários.

2 Mais de 10 desses juízes são professores universitários mas não têm título de doutor nem de mestre.

3 Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas não são professores

universitários.

4 Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são professores universitários.

20) (FCC-2006) Uma escola de música oferece apenas os cursos de Teclado, Violão e Canto e tem 345

alunos. Sabe-se que

- nenhum aluno estuda apenas Canto.

- nenhum aluno estuda Teclado e Violão.

-225 alunos estudam Teclado.

-90 alunos estudam Teclado e Canto.

-50 alunos estuda apenas Violão.

Quantos alunos estudam Canto e violão?

A) 70 B) 120 C) 140 D) 150 E) 160

Gabarito

21

01 E 17 CE

02 a)560 / b)280 18 C

03 5 alunos 19 ECCC

04 7 alunos 20 A

05 256

06 15 elem.

07 69%

08 247

09 a) 140 / b)114

10 a) 61 / b) 46

11 81 alunos

12 D

13 B

14 B

15 D

16 CEEE

22

02– LÓGICA DE 1ª ORDEM

“Neste segundo momento iremos dar ênfase as provas de concursos realizadas pelo CESPE e

ESAF, pois verificaremos que são as bancas que mais aprofundam em tal assunto. Mas nos capítulos

posteriores daremos uma atenção maior às demais instituições de acordo com os assuntos mais

cobrados e suas particularidades. Você não só irá aprender, mas entender o que a bancas querem de

você. Estudar o que realmente cai é bom demais!” Sucesso!

ESTRUTURAS LÓGICAS

A lógica formal não se ocupa com os conteúdos pensados ou com os objetos referidos pelo

pensamento, mas apenas com a forma pura e geral dos pensamentos, expressa através da linguagem. O

objeto da lógica é a proposição, que exprime, através da linguagem, os JUÍZOS formulados pelo

pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito.

I - SENTENÇAS

- Expressão de um pensamento completo;

- São compostas por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o

sujeito).

Ex.: José passou no concurso público.

Lógica não é difícil.

Que horas começa o filme?

Que belas flores!

Pegue essa xícara agora.

- Afirmativas;

Ex.: A matemática é uma ciência do raciocínio.

- Negativas;

Ex.: José não vai à praia.

- Imperativas;

Ex.: Faça seu trabalho com presteza.

- Exclamativas;

Ex.: Que dia lindo!

- Interrogativas.

Ex.: Qual é o seu nome?

S

e

n

t

e

n

ç

a

s

23

A - SENTENÇAS ABERTAS

São as sentenças nas quais não podemos determinar o sujeito da sentença. Uma forma mais

simples de identificar uma sentença aberta é quando a mesma não pode ser nem V(verdadeiro) nem F(

falso) .

Ex.:Ela foi a melhor atleta da competição.

Algumas sentenças são chamadas abertas porque não são passíveis de interpretação para que

possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Por exemplo, se tivermos uma proposição

expressa: “Para todo a, P(a)”, em que a é um elemento qualquer do conjunto U, e P(a) é uma propriedade a

respeito dos elementos de U, logo se torna necessário explicitar U e P para que seja possível valorar.

Ex.: { x R/ x > 2 }, neste caso x pode ser qualquer número maior que dois, ou seja, não há um

sujeito especifico.

Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: “Ele é juiz do TRT da 1.ª Região”, ou “x + 5 = 10”. O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais. Pode-se passar de uma sentença

aberta a uma proposição por meio dos quantificadores “qualquer que seja”, ou “para todo”, indicado por , e

“existe”, indicado por . Por exemplo: a proposição ( x)(x R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a

proposição ( x)(x R)(x + 3 = 9) é valorada como V.

B - SENTENÇAS FECHADAS

São as sentenças nas quais podemos determinar o sujeito da sentença. Ex.: Antônio está de férias.

Ex.: O professor Josimar foi trabalhar.

Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa” não são proposições porque a primeira é pergunta( sentença interrogativa ) e a segunda não pode ser nem V nem F.

III- PROPOSIÇÕES

Dá-se o nome de proposição a uma sentença (afirmativa ou negativa) formada por palavras ou

símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, as quais se podem atribuir um valor lógico,

ou seja, uma valoração (verdadeiro ou falso).

Esta valoração também é chamada de valor-lógico ou valor-verdade.

DIAGRAMA

24

- Uma aplicação legal! Uma questão que deixa claro a relação entre proposições e sentenças é uma questão do concurso para o cargo de analista do SEBRAE realizada pelo CESPE em 2008, onde a mesma realizou a seguinte afirmação a ser julgada: “- A seguinte proposição “Ninguém ensina ninguém” é um exemplo de sentença aberta.” RESOLUÇÃO: Esta questão é interessante, pois exige do candidato uma diferenciação entre os conceitos já citados, em que muitos iriam se deter em ficar interpretando a frase sugerida. O que se deve perceber é que quando o CESPE cita que a proposição “ Ninguém ...” é uma sentença aberta, torna-se uma contradição, uma vez que, uma proposição pode ser valorada o que não ocorre com uma é uma sentença aberta( não há como se valorar.) Logo o item está errado.


01) ( FCC –SFASP-Ag.Fis.Rendas-2006) Considere as seguintes frases:

I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.

II. (x+y) / 5 é um numero inteiro.

III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.

É verdade que APENAS.

(A) I é uma sentença aberta.

(B) II é uma sentença aberta.

(C) I e II são sentenças abertas.

(D) I e III são sentenças abertas.

(E) II e III são sentenças abertas

Comentário:

No item I temos uma sentença aberta, pois não se pode determinar quem foi o melhor

jogador do mundo em 2005, logo a sentença é aberta;

No item II vários valores podem ser atribuídos a x ou a y para que a razão possua resultado

inteiro. Ex.: x=5 e y= 10, temos ( 5 + 10 ) / 5 = 3 ( 3 pertence aos inteiros) ; pode acontecer o mesmo com x=

20 e y=10 , temos (20 + 10)= 15 e etc., logo a sentença é aberta;

No item III, aí sim, temos uma sentença fechada, pois sabemos determinar quem é o

Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000, ou seja, o Sr. João da Silva.

Logo a resposta desta questão é a letra “C”.

02) ( FCC –SFASP-Ag.Fis.Rendas-2006 Adaptada) Das quatro frases abaixo, três delas tem uma mesma

característica lógica e comum, enquanto uma delas não tem essa característica.

I. Que belo dia!

II. Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico.

III. O jogo terminou empatado?

IV. Escreva uma poesia.

A Frase que não possui essa característica comum é a

25

(A) IV.

(B) III.

(C) I.

(D) II.

Comentário:

Das frases acima temos quatro sentenças:

I - Que Belo dia! ( não possui uma interpretação lógica – sentença exclamativa- não há

como valorar.

II – Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico – sentença afirmativa - há como

valorar.

III - O jogo terminou empatado? - sentença interrogativa - não há como valorar.

IV – Escreva uma poesia. – sentença imperativa - não há como valorar.

Dentre as quatro apenas uma pode ser valorada, logo temos uma proposição. Neste caso

trata-se da segunda frase.

A resposta da questão é a letra “D”

03) UnB/CESPE – Banco do Brasil S.A. 2007

Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que

contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são

atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição “Para qualquer x,

tem-se que x - 2 > 0” possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui

interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}.

Com base nessas informações, julgue os próximos itens.

( ) A proposição funcional “Para qualquer x, tem-se que x 2 > x” é verdadeira para todos

os valores de x que estão no conjunto

( ) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é verdadeira para elementos

do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.

Comentário:

- O primeiro item está errado, pois quando atribuímos a x o valor de ½ a desigualdade torna-se falsa. Por

exemplo: “ x2 > x = V”

(½)2 > ½ ¼ > ½ (F).

- O segundo item: “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” está errado, pois se verificarmos os

elementos do conjunto, eles não são divisíveis por 2 e 3 ( ao mesmo tempo). Por exemplo: o número 10 é

divisível por 2 porém não é divisível por 3 , O número 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 2. Logo o

item está Falso. Para que o item estivesse correto a sentença deveria ser: “ Existem números que são

divisíveis por 2 ou por 3”.

04) UnB/CESPE – Banco do Brasil S.A. 2008

( ) A frase “Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos?” não pode ser considerada uma proposição.

Comentário:

O item não é uma proposição, pois não pode ser valorado. É uma sentença interrogativa. O item está

correto.

26

REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES

As proposições podem ser representadas por letras, sendo estas maiúsculas ou minúsculas.

p: O estado do Espírito Santo é produtor de Petróleo.

q: O mundo precisa de Paz.

r: Renato é um aluno dedicado.

PROPOSIÇOES SIMPLES OU BÁSICAS: São as proposições que expressam apenas um pensamento.

Ex.: Guarapari tem lindas praias.

Ex.: José passou no concurso.

PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: São as proposições que expressam mais de um pensamento. As

proposições compostas costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas.

Ex.: José passou no concurso e Guarapari tem lindas praias.


01-(CESPE –PRODEST – Técnico em Informática- adaptada) - Considere a seguinte lista de frases e

julgue o item.

- I - Rio Branco é a capital do estado de Rondônia.

- II- Qual é o horário do filme?

- III- O Brasil é pentacampeão de futebol.

- IV- Que belas flores!

- V – Marlene não é atriz e Djanira é pintora.

( ) Nesta Lista, há exatamente 4 proposições

Comentário :

Nesta questão acima temos as proposições:

- Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (uma proposição, um pensamento).

- Qual é o horário do filme? ( sentença)

- O Brasil é pentacampeão de futebol. (uma proposição, um pensamento).

- Que belas flores! ( sentença)

- Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (duas proposições- 2 pensamentos)

Logo, temos 4 proposições . O item está certo.

02-(UnB/CESPE –2008 -STF Técnico Judiciário) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes. ( ) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. ( )A segunda frase é uma proposição lógica simples. ( ) A terceira frase é uma proposição lógica composta. ( ) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos.

Comentário:

O primeiro item está errado, uma vez que temos duas sentenças imperativas (não são proposições)

ligadas por um conectivo de conjunção, logo podemos afirmar que não é uma proposição.

O segundo item está correto, uma vez que temos apenas uma idéia completa (proposição simples).

O terceiro item está errado, pois temos apenas uma idéia completa (proposição simples).

27

O quarto item está errado uma vez que temos duas proposições simples (pensamentos) conectadas por um

conectivo condicional “Se..., então...”.

03-(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE –ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes. ( )A frase “Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE” é uma proposição simples. ( ) A proposição “João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma” é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção.

Comentário O primeiro item está correto, uma vez que temos apenas uma idéia completa (proposição simples).

O segundo item está correto, pois temos duas idéias completas conectadas (operadas) por um conectivo

de conjunção “e”.


01- MRE(CESPE -2008) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras — V —

, ou falsas — F —, mas não cabem a elas ambos os julgamentos. As proposições simples são

freqüentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são

conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A^ B é uma proposição composta que

tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nos demais casos, será F, e é lida “A e B”. A

expressão ¬A, “não A”, tem valor lógico F se A for V, e valor lógico V se A for F. A expressão AV B,

lida como “A ou B”, tem valor lógico F se ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é

V.A expressão AB tem valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre

outras, as seguintes leituras: “se A então B”, “A é condição suficiente para B”, “B é condição

necessária para A”. Uma argumentação lógica correta consiste de uma seqüência de proposições em

que algumas são premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, são

obrigatoriamente verdadeiras por conseqüência das premissas.

Considerando as informações acima, julgue o item abaixo.

- ( ) Considere a seguinte lista de sentenças:

I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores?

II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX.

III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y.

IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável.

Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição.

02 – STJ (CESPE 2008-adaptada) A lógica formal representa as afirmações que os indivíduos fazem em

linguagem do cotidiano para apresentar fatos e se comunicar. Uma proposição é uma sentença que pode ser

julgada como verdadeira (V) ou falsa (F) (embora não se exija que o julgador seja capaz de decidir qual é a

alternativa válida).

( ) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições.

A: 12 é menor que 6.

28

B: Para qual time você torce?

C: x + 3 > 10.

D: Existe vida após a morte.

GABARITO: 1 E 2 C

SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA

Símbolo Significado Símbolo Significado

~ não Pertence

/\ e Não pertence

V ou União

→ se ..., então... intersecção

↔ se e somente

se Contém

| tal que Está contido

implica = Igual

equivalente Diferente

existe, algum qualquer que

seja, todo

| existe um e

somente um ≤

Menor ou igual

que

≥ Maior ou igual

que ≡ congruente

> Maior que < Menor que

OS CONECTIVOS LÓGICOS NA LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL

Nas provas de concursos é de suma importância conhecer os significados dos símbolos, os conectivos

lógicos e suas linguagens , bem como os termos atuais que estão sendo utilizados, então neste momento

iremos nos deter à “linguagem da lógica formal”. Vamos lá...

Exemplos de proposições compostas:

P: José é irmão de Maria e André é irmão de João

Q: André é dedicado nos estudos ou José pratica esporte.

R: Se o professor Josimar Padilha é rigoroso , então seus alunos gostam de lógica.

S: Josias era um homem admirado se, e somente se, gostava muito da sua família .

29

Conectivos

Operadores

Símbolos Significados

CONJUNÇÃO /\ “e “ / “mas”

DISJUNÇÃO

INCLUSIVA V “ou”

DISJUNÇÃO

EXCLUSIVA V ◊ “ou...ou...”

CONDICIONAL → “Se...então..”/ “Quando”

BICONDICIONAL ↔ “ Se , e somente se”

APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA

( CESPE-2008) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira — V —, ou falsa

— F —, mas não como ambas. Uma proposição é denominada simples quando não contém nenhuma outra

proposição como parte de si mesma, e é denominada composta quando for formada pela combinação de

duas ou mais proposições simples. De acordo com as informações contidas no texto, julgue os itens a seguir.

1 A frase “Você sabe que horas são?” é uma proposição.

2 A frase “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul”, não é considerada uma

proposição composta.

Comentário :

Item 1- A frase “Você sabe que horas são?” trata-se de uma sentença interrogativa, logo as sentenças

interrogativas não são proposições, pois as mesmas não podem ser valoradas. Logo o item está incorreto.

Item 2 – As proposições compostas são aquelas que expressam mais de um pensamento completo, sendo

assim, os conectivos lógicos são utilizados para criar novas proposições, ou até mesmo modificá-las.

Tomando a seguinte sentença: “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul”,temos

duas idéias conectadas por um conectivo condicional “ Se,...então,...”. Logo o item está incorreto.

IMPORTANTE !!!

É obvia a necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições, que devem ser colocados a

evitar qualquer tipo de ambigüidade.

A “ordem de precedência” para os conectivos é:

1- Negação; 2- conjunção e disjunção; 3- condicional; 4 – bicondicional.

Portanto, o conectivo mais “fraco” é a negação e o mais “forte” é o bicondicional.

30


LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL

Dadas a proposições:

p: Estudo lógica.

q: Passo em concurso público.

r: Estudo com dedicação.

Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:

a) p

b) p q

c) p q

d) q ↔ p

e) p → r

f) p ↔ q

g) ~r ~q

h) ( r q ) → p

i) ~( p ~q) → p

01) (CESPE/TCU-2004) ADAPTADA - Considere que as letras P,Q e R representam proposições e os

símbolos , e → são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e então,

respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que

são avaliadas(valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão

definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais na tabela abaixo.

a) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser

corretamente representada por P → (R Q).

b) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Q.

02) (CESPE-2006) Considere que P, Q, R e S representem proposições e que os símbolos , , e

sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam “não”, “e”, “ou” e “então”,

respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor — verdadeiro (V) ou falso

(F). Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo.

P: O homem precisa de limites.

Q: A justiça deve ser severa.

R: A repressão ao crime é importante.

S: A liberdade é fundamental.

Com base nessas informações, julgue os itens.

a) A sentença “A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites”, pode ser corretamente

31

representada por P ~S.

b) A sentença “A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa”. Pode ser corretamente

representada por R → Q.

c) A sentença “Se a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental, então a repressão ao crime

não é importante”, pode ser corretamente representada por (~Q) (~S) → ~R..

d) A sentença “Ou o homem não precisa de limites e a repressão ao crime não é importante, ou a justiça

deve ser severa”, pode ser corretamente representada por ((~P) (~R)) Q.

e) A sentença “Se a justiça deve ser severa, então o homem precisa de limites” pode ser corretamente

representada por Q → P.

03) (CESPE-2006) Uma proposição pode ter valoração verdadeira (V) ou falsa (F). Os caracteres ¬, e

que simbolizam “não”, “ou” e “e”, respectivamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo,

se P e Q são proposições, então PQ, PQ e ¬P também são proposições. Considere as proposições

seguir.

A: as despesas foram previstas no orçamento

B: os gastos públicos aumentaram

C: os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único

D: a lei é igual para todos.

A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes.

a) A proposição “Ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não foram previstas no

orçamento” está corretamente simbolizada por (B)(¬A).

b) A(C(¬B)) simboliza corretamente a proposição “As despesas foram previstas no orçamento e, ou

os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram.”

c) A proposição “Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único

nem que os gastos públicos aumentaram” está corretamente simbolizada pela forma (¬C)(¬B).

04) (CESPE/PF-2004 Adaptada) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os

símbolos , , e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e

então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade),

que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.

Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir.

Considere as sentenças abaixo.

I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.

II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.

III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.

IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser

proibido.

V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido;

conseqüentemente, muitos europeus fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido.

Q Fumar deve ser

32

encorajado.

R Fumar não faz bem à

saúde.

T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.

1 A sentença I pode ser corretamente representada por P (T).

2 A sentença II pode ser corretamente representada por ( P) ( R).

3 A sentença III pode ser corretamente representada por R P.

4 A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ( T)) P.

5 A sentença V pode ser corretamente representada por T ((¬ R) (¬ P)).

05) (CESPE/TSE-2007) Na análise de um argumento, pode-se evitar considerações subjetivas, por meio da

reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam

proposições e que “”, “”, “” e “” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente “e”,

“ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir.

“Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro

trocado”

Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que

P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”,

Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”,

R= “ ele sempre leva um guarda-chuva” e

S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.

a) P (Q R) c) (P Q) (R S)

b) (PQ) R d) P (Q (R S)).

06) CESPE 2007 BANCO DO BRASIL

Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:

(I) O BB foi criado em 1980.

(II) Faça seu trabalho corretamente.

(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

07) CESPE 2008 ANALISTA JUDICIÁRIO - STF Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S: P: Nesse país o direito é respeitado. Q: O país é próspero. R: O cidadão se sente seguro. S: Todos os trabalhadores têm emprego. Considere também que os símbolos “V”, “^”, “” e “¬” representem os conectivos lógicos “ou”, “e”, “se ... então” e “não”, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 1. A proposição “Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro” pode ser representada simbolicamente por P^(¬R).

33

2. A proposição “Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego” pode ser representada simbolicamente por QS. 3. A proposição “O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado” pode ser representada simbolicamente por (Q^R)P.

GABARITO TREINAMENTO : 01-CC

a) não estudo lógica 02-EECEC

b) estudo lógica e passo em concurso público 03-EEC

c)estudo lógica ou passo em concurso público 04-ECCCE

d) passo em concurso público se e somente se estudo lógica 05-C

e) se estudo lógica então estudo com dedicação 06-C

f) estudo lógica se e somente se não passo em concurso público 07- CCE

g) não estudo com dedicação e não passo em concurso público

h) se estudo com dedicação ou não passo em concurso público, então estudo lógica.

i) se é falso que estudo lógica e não passo em concurso público, então passo em concurso público

CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA VERDADE

Se uma proposição composta é formada por n variáveis proposicionais, a sua tabela verdade

possuirá 2n linhas.

Nº de linhas = 2n Proposições

EXEMPLO 01:

Quantas linhas possuem a tabela verdade da proposição composta (P /\ Q)?

SOLUÇÃO:

O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então N° de

linhas= 2 2= 4 linhas.Veja:

P Q (P /\ Q)

V V V

V F F

F V F

F F F

EXEMPLO 02:

Quantas linhas possuem a tabela verdade da proposição composta (P/\Q) v R?

SOLUÇÃO:

34

O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 3, ou seja, n = 3, então N° de

linhas= 2 3= 8 linhas.Veja:

P Q R (P /\ Q) (P /\ Q) v R

V V V V V

V V F F V

V F V F V

F V V F V

V F F F F

F V F F V

F F V F V

F F F F F

NÚMERO DE VALORAÇÕES DISTINTAS

O número de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com n variáveis

proposicionais é igual a 2n de Linhas.

Nº. de valorações = 2n de Linhas.

Exemplo:

Qual o número de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com exatamente

duas variáveis proposicionais?

SOLUÇÃO:

O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então temos 2 2=

4 linhas, então podem ser obtidas 24 = 16 valorações distintas.


01(CESPE TCU 2004- ADAPTADA)

Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬ e → são operadores lógicos que

constroem novas proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que

trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras

(V) ou falsas (F), mas nunca ambos.

Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte.

1. O número de valorações possíveis para (Q /\ ¬R) ¬ P é inferior a 9.

Comentário :

Como já visto o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem ser obtidas

para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2n, logo temos: 23 = 8. Sendo assim temos que 8 é

inferior a 9 . O item está correto.

02 (CESPE TRT 5ª REGIÃO 2008) - Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da

proposição (AB) ↔ (CD) será superior a 15.

Comentário :

35

Como já visto o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem ser obtidas

para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2n, logo temos: 24 = 16. Sendo assim temos que

16 é superior 15 . O item está correto.

CONECTIVOS OU OPERADORES LÓGICOS

01 - DISJUNÇÃO INCLUSIVA

A disjunção inclusiva é a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas

(operadas) pelo conectivo “ou”.

O operador “ou” tem o sentido de “um ou outro, possivelmente ambos”.

O operador “ou” em operações de conjuntos dá idéia de União e uma idéia de Soma.

02- DISJUNÇÃO EXCLUSIVA

Denomina-se disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições simples que

estejam ligadas (operadas) pelo conectivo “ou...ou...”

Tabela Verdade

R S R v S

V V F

V F V

F V V

F F F

O operador “ou...ou...” tem o sentido de “um ou outro e não ambos”.

O operador “ou..ou...” em operações de conjuntos dá idéia de União dos exclusivos e uma idéia da

Soma dos exclusivos.

Quando se utilizar o “ou” no sentido exclusivo é comum adicionar no final a expressão: “ mas não os dois “.

Tabela Verdade

P Q P v Q

V V V

V F V

F V V

F F F

36


1) (ESAF) De três irmãos - José, Adriano e Caio. Sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais

moço. Sabe-se também que, ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais

moço dos três irmãos são, respectivamente:

A) Caio e José

B) Caio e Adriano

C) Adrianoe Caio

D) Adrianoe José

E) José e Adriano

Comentário :

Aplicando mão da dica acima temos que todas as proposições “premissas” são verdadeiras , logo

iremos valorá-las com “V” e aplicando a tabela verdade do conectivo utilizado na proposição iremos

valorando as proposições simples que compõem as premissas P1e P2.

P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço V

P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho . V

Para que os resultados das premissas (P1e P2) sejam verdadeiros temos que valorar as proposições

simples sublinhadas de acordo com a tabela-verdade da disjunção exclusiva. Então teremos:

F V

P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço V

F V

P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho . V

Logo, “ Conclusão (o mais velho é Caio e o mais moço é Adrinano ) ” V


Conectivos: Disjunção e disjunção exclusiva

01) (ESAF) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o

outro é azul. Sabe-se que: 1) ou gol é branco, ou o fiesta é branco, 2) ou o gol é preto, ou o corsa é azul, 3)

ou o fiesta é azul, ou o corsa é azul, 4) ou o corsa é preto, ou o fiesta é preto.

Portanto, as cores do gol, corsa e do fiesta são, respectivamente:

A) Branco, preto, azul;

37

B) Preto, azul, branco;

C) Azul, branco, preto;

D) Preto, branco, azul;

E) Branco, azul, preto.

02) (MPU/2004) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é

músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é

músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é J'professor, ou Renato é professor.

Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente,

A) Professor, médico, músico.

B) Médico, professor, músico.

C) Professor, músico, médico.

D) Músico, médico, professor.

E) Médico, músico, professor.

03) (ANEEL-2004/ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim,

A) estudo e fumo.

B) não fumo e surfo.

C) não velejo e não fumo.

D) estudo e não fumo.

E) fumo e surfo.

04) (CESPE-2007) Circuitos lógicos são estruturas que podem ser exibidas por meio de diagramas

constituídos de componentes denominados portas lógicas. Um circuito lógico recebe um ou mais de um valor

lógico na entrada e produz exatamente um valor lógico na saída. Esses valores lógicos são representados

por 0 ou 1. As portas lógicas OU e N (não) são definidas pelos diagramas abaixo.

Nesses diagramas, A e B representam os valores lógicos de entrada e S, o valor lógico da saída. Em OU, o

valor de S é 0 quando A e B são ambos 0, caso contrário, é 1. Em N, o valor de S é 0 quando A for 1, e é 1

quando A for 0. Considere o seguinte diagrama de circuito lógico.

Com base nas definições apresentadas e no circuito ilustrado acima, julgue os itens subseqüentes.

1 Considere-se que A tenha valor lógico 1 e B tenha valor lógico 0. Nesse caso, o valor lógico de S será 0.

2 A saída no ponto Q terá valor lógico 1 quando A tiver valor lógico 0 e B tiver valor lógico 1.

05 (CESPE-2007) Os símbolos que conectam duas proposições são denominados conectivos. Considere a

proposição definida simbolicamente por AB, que é F quando A e B são ambos V ou ambos F, caso contrário

38

é V. O conectivo é denominado “ou exclusivo” porque é V se, e somente se, A e B possuírem valorações

distintas. Com base nessas informações e no texto II, julgue os itens que se seguem.

1. A proposição “João nasceu durante o dia ou João nasceu durante a noite” não tem valor

lógico V.

06- (CGU-2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim,

a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel.

b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara.

c) sou amiga de Nara e amiga de Abel.

d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara.

e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara.

III-CONJUNÇÃO

Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam

ligadas (operadas) pelo conectivo "e".

Exemplo:

T: José trabalha no Tribunal. (1º Conjuntivo)

U: José mora em Brasília. (2º Conjuntivo)

I E

Tabela Verdade

I E I /\ E

V V V

V F F

F V F

F F F

Concluindo...

O operador “e” tem o sentido de “ ambos”, “simultaneidade”, “ao mesmo tempo” .

O operador “e” em operações de conjuntos dá idéia de “Intersecção” e uma idéia de

“multiplicação”.


01( FUNIVERSA-POLÍCIA CIVIL-DF 2008) Os valores lógicos – verdadeiro e falso – podem constituir uma

álgebra própria, conhecida como álgebra booleana. As operações com esses valores podem ser

representadas em tabelas-verdade, como exemplificado abaixo:

A B A e B

falso falso falso

falso verdadeiro falso

GABARITO

01 E

02 E

03 E

04 EC

05 E

06 C

39

verdadeiro falso falso

verdadeiro verdadeiro verdadeiro

As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-verdade.

Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta.

I- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão ( A e B e C), são, respectivamente, falso, falso e

verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é falso.

II- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão ( A ou B ou C), são, respectivamente, falso, verdadeiro

e falso, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro.

III- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [ A e (B ou C)], são, respectivamente, falso, verdadeiro

e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro.

IV- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [ A ou (B e C)], são, respectivamente, verdadeiro, falso

e falso, então o valor lógico dessa expressão é falso

a) Todas as afirmativas estão erradas. b) Há apenas uma afirmativa certa. c) Há apenas duas afirmativas certas. d) Há apenas três afirmativas certas. e) Todas as afirmativas estão certas.

Comentário: Esta questão trata-se apenas da aplicação da tabela verdade.

O item I - A ^B ^C F ^F ^ V = F ( certo o item )

O item II – A v B v C F v V v F = V ( certo o item )

O item III - [ A ^ (B V C)] [ F ^ ( V v V )] = F ( errado o item )

O item IV – [ A ou (B e C)] [ V v (F ^ F)] = V ( errado o item)

RESPOSTA “C”

02) (CESPE-2008)

Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa. Um argumento é

considerado válido se, sendo sua hipótese verdadeira, a sua conclusão também é verdadeira. Considerando

essas informações e a figura acima, em que estão colocadas algumas figuras geométricas conhecidas —

quadrados, triângulos e pentágonos (5 lados) — dispostas em uma grade, julgue os itens seguintes.

1 A afirmativa Existe um pentágono grande e todos os triângulos são pequenos é uma proposição falsa.

Comentário: Analisando a grade temos:

40

Existe um pentágono grande e todos os triângulos são pequenos.

V/F(?) ^ F = F

Sendo a primeira proposição “Existe um pentágono grande” verdadeiro ou falso(?), pois segundo a

grade temos apenas um tamanho de pentágono, o que não nos permite afirmar com certeza que ele é

pequeno ou grande( uma sentença aberta – não valorada- não há referencial) a segunda proposição “todos

os triângulos são pequenos” falsa, pois segundo a grade temos triângulos grandes. Logo pela conjunção

temos um resultado falso, pois se uma proposição é falsa, o resultado já é falso. O item está correto por

afirmar que a proposição é falsa.

IV-CONDICIONAL

Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam

ligadas( operadas) pelo conectivo “Se..., então...”/ “Quando”.

A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias de natureza lógica que

são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica

denotada por A B pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como A B, em que

A é o conjunto cujos objetos cumprem a condição a, e b é o conjunto cujos objetos cumprem a condição b.

A B A B

V V V

V F F

F V V

F F V

Em uma proposição condicional não existe a possibilidade de termos a primeira verdadeira e a

segunda falsa, então se sabemos que a primeira é verdadeira, a segunda, por dedução, deverá ser

considerada verdadeira e se sabemos que a segunda é falsa a primeira deverá ser considerada falsa.

Note também que: se sabemos que a primeira é falsa, não temos como deduzir o valor-lógico da

segunda, e, se sabemos que a segunda é verdadeira não temos como deduzir o valor-lógico da primeira.

Veja:

A B

Antecedente Conseqüente

Em uma proposição condicional temos as seguintes condições:

X

Antecedentes Conseqüentes

Y

X= Condicional suficiente

Y= Condicional Necessária

Ex: Se o dia estiver claro, estão José vai ao comércio.

41

Temos que:

O dia estar claro é condição suficiente para José ir ao comércio.

ou

José ir ao comércio é condição necessária para o dia estar claro


01) (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta.

Ora, o passarinho canta. Logo:

A) O jardim é florido e o gato mia;

B) O jardim é florido e o gato não mia;

C) O jardim não é florido e o gato mia;

D) O jardim não é florido e o gato não mia;

E) Se o passarinho canta então o gato não mia

Comentário :

Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras temos:

P1: O jardim não é florido O gato mia

O Operador “Se...então...” dá idéia de inclusão de dois conjuntos, em que, p→ q

pq

Uma observação muito importante para o conectivo condicional é que o mesmo não

pode (comutar) a tabela verdade ostra isto claramente nas linhas 2 e 3, em que os

resultados são diferentes.

V V V

V F F

F V V

F F V

Uma outra demonstração é por meio dos diagramas, onde temos: p → q

V

F

V

F

(V)

(V)

42

P2: O jardim é florido o passarinho não canta

P3: O passarinho canta

Partindo da premissa p3 como (V) temos as seguintes valorações para as demais proposições simples, de

acordo com a tabela verdade da condicional analisando as respostas:

a) o jardim é florido e o gato mia.

F /\ V = F

b) o jardim é florido e o gato não mia.

F /\ F = F

c) o jardim não é florido e o gato mia.

V /\ V = V

d) o jardim não é florido e o gato não mia.

V /\ F = F

e) Se o passarinho canta então o gato não mia.

V → F = F

Logo temos que a sentença “C” é verdadeira.

Obs: você percebeu que tivemos que analisar cada uma das opções para encontrar o item verdadeiro.

03) (CESPE-2008)

Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa. Um argumento é

considerado válido se, sendo sua hipótese verdadeira, a sua conclusão também é verdadeira. Considerando

essas informações e a figura acima, em que estão colocadas algumas figuras geométricas conhecidas —

quadrados, triângulos e pentágonos (5 lados) — dispostas em uma grade, julgue o item seguinte.

1 A proposição Se A é um triângulo pequeno, então A está atrás de C é verdadeira.

Comentário:

A proposição composta: “A é um triângulo pequeno A está atrás de C” será valorada pela grade

acima apresentada . Então:

(verdade) (falsa)

A é um triângulo pequeno A está atrás de C V F = F (falso)

Item errado.

(V)

43

MOMENTO DE TREINAMENTO (Conectivos: Disjunção, disjunção exclusiva, conjunção e condicional)

01) (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica

em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla, logo:

A) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória

B) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema.

C) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema.

D) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória.

E) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória.

02) (ESAF) Se não durmo, bebo. Se estiver furioso, durmo. Se dormir, não estou furioso. Se não estou

furioso, não bebo. Logo:

A) Não durmo, estou furioso e não bebo.

B) Durmo, estou furioso e não bebo.

C) Não durmo, estou furioso e bebo.

D) Durmo, não estou furioso e não bebo.

E) Não durmo, não estou furioso e bebo.

03) (ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi

efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não.

Sabe-se, ainda, que:

I. Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada;

II. Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois;

III. O mordomo não é inocente.

Logo:

A) A governanta e o mordomo são os culpados.

B) Cozinheiro e o mordomo são os culpados.

C) Somente a governanta é culpada.

D) Somente o cozinheiro é inocente.

E) Somente o mordomo é culpado.

04) (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra fogo", mas não tem certeza se o mesmo

está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís, e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está em

cartaz ou não. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está

enganado. Se Luís estiver enganado então o filme não está sendo exibido. Ora. Ou o filme "Fogo contra

fogo" está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo:

A) Filme "fogo contra fogo" está sendo exibido.

B) Luís e Júlio não estão enganados.

C) Júlio está enganado, mas não Luís.

D) Luís está enganado, mas não Júlio.

E) José não irá ao cinema.

05) (AFC) Ou lógica é fácil, ou Arthur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então

Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Arthur gosta de Lógica, então:

A) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil.

B) Lógica é fácil e Geografia é difícil.

C) Lógica é fácil e Geografia é fácil.

D) Lógica é difícil e Geografia é difícil.

E) Lógica é difícil ou Geografia é fácil.

44

06) (ESAF) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então

Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora Rui não vaia Roma, logo:

A) Celso compra um carro e Ana não vai à África;

B) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro;

C) Ana não vai à África e Luís compra um livro;

D) Ana vai à África ou Luís compra um livro;

E) Ana vai à África e Rui não vai a Roma.

07) (ESAF) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se

Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo:

A) Nestor e Júlia disseram a verdade.

B) Nestor e Lauro mentiram.

C) Raul e Lauro mentiram.

D) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade.

E) Raul e Júlia mentiram.

08) (ESAF) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia

têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então

Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

A) Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais moço do que Pedro;

B) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade;

C) Carlos e João são mais moços do que Pedro;

D) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedra;

E) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade.

09) (ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico

deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não

passeio. Hoje eu passeio. Portanto, hoje:

A) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor;

B) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor;

C) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor-;

D) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor;

E) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.

10) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos /\, v e sejam

operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na

lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V)

ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a

seguir.

(1) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (. P) V (. Q) também é verdadeira.

(2) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R (T) é falsa.

(3) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P /\ R) (Q) é

verdadeira.

11) (CESPE- 2004 ) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos ¬ e → são

operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na

lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas

(valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para

cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo.

P Q ¬P P /\ Q P → Q

45

Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R

represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens

seguintes.

(1) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser

corretamente representada por ¬P→ (¬R /\ ¬Q).

(2) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P /\ ¬Q.

(3) Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como

V, então a sentença representada por ¬P → Q é falsa.

GABARITO

01 A 08 E

02 D 09 C

03 B 10 EEC

04 E 11 CCE

05 B

06 A

07 B

V - BICONDICIONAL

Denomina-se bicondicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam ligadas pelo

conectivo “se, e somente se”.

Exemplo:

A: Gosto de lógica.

B: Gosto de matemática.

A proposição bi-condicional ‘A se, e somente se, B' pode ser escrita como:

A↔ B: Gosto de lógica se, e somente se,Gosto de matemática.

Quando declaramos que esta proposição bicondicional devemos de

acordo com os axiomas da Lógica aceitar como verdadeiro que: Se é

verdade que Gosto de lógica, obrigatoriamente, é verdade que Gosto de

matemática. Se é verdade que gosto de matemática, obrigatoriamente, é verdade que Gosto de lógica. Se é

falso que gosto de lógica, obrigatoriamente, é falso que gosto de matemática, e, se é falso que gosto de

matemática, obrigatoriamente, é falso que gosto de lógica. Qualquer outra possibilidade representa um

conjunto vazio. A tabela e o diagrama abaixo representam esta situação.

V V F V V

V F F F

F V V F V

F F F V

Tabela Verdade

A B AB

V V V

46

Conclusão: Na proposição bi-condicional se a primeira das duas proposições simples que a compõem for

verdadeira a segunda será verdadeira e se a primeira for falsa a segunda será falsa. Se a segunda for falsa a

primeira será falsa e se a segunda for verdadeira a primeira será verdadeira. Veja:

Quando temos:

P→Q PQ

e Logo P=Q P↔Q

Q→P QP

Uma aplicação deste conceito foi comentada na prova do TRF 1ª REGIÃO em 2006.

Se todos nossos atos tem causas, então não há atos livres.

Se não há atos livres, então todos nossos atos tem causas.

Tomando como proposições:

P1: Todos nossos atos tem causas.

P2: Não há atos livres.

P→Q

→ P↔Q “Todos nossos atos tem causas se e somente se não há atos livres.”

Q→P

P é condição necessária e suficiente para Q

Temos que observar que em muitas questões de concursos públicos os conectivos lógicos: condicional e

bicondicional são expressões não em uma linguagem formal ( seu significado), mas por meio de condições

impostas as proposições simples que compõem uma sentença composta. Vejamos nas questões abaixo:


01-(EPPGG - MP/2005 –ESAF) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto: a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

V F F

F V F

F F V

V V

F F

47

c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha. e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha.

Comentário : Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma

conclusão verdadeira. (F) (F) P1: Alexandre ir à Alemanha Carlos não ir ao Canadá (V) (V) (V) P2: Helena não ir à Holanda Carlos ir ao Canadá (V) (F) (V) P3: Carlos não ir ao Canadá Alexandre não ir à Alemanha(V) (F) (F) P4: Helena ir à Holanda Alexandre ir à Alemanha (V) Logo partindo de que todas as premissas ( proposições ) são verdadeiras e utilizando as tabelas-

verdade valoramos as proposições simples. Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma conclusão verdadeira, temos: a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. V ^ F ^ V = F ( errado ) b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. F ^ V ^V = F ( errado ) c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. V ^ V ^V = V ( certo ) d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha. F ^ F ^ F = F ( errado ) e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. F ^F ^ F = F ( errado ) Logo temos como item correto a letra C .

02 (ESAF/TÉCNICO-2006)

Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise

dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim,

quando Carmem canta,

a) Denise não dança ou Ana não chora. b) nem Beto bebe nem Denise dança. c) Beto bebe e Ana chora. d) Beto não bebe ou Ana não chora e) Denise dança e Beto não bebe

Comentário : Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma

conclusão verdadeira. (V) (V) P1: Carmem cantar Beto beber (V) (V) (V) P2: Beto beber Denise dançar (V) (V) (V)

P3: Denise dançar ↔ Ana chorar (V)

(V) P4: Carmem cantar (V) Logo partindo de que todas as premissas ( proposições ) são verdadeiras e utilizando as tabelas-

verdade valoramos as proposições simples. Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma conclusão verdadeira, temos: (F) v (F) = (F)

a) Denise não dança ou Ana não chora

48

(F) ^ (F) = F b) Nem Beto nem Denise dançam (V) ^ (V) = V c) Beto bebe e Ana chora (F) ^ (F) =F d) Beto não bebe e Ana não chora (V) ^ (F) =F e) Denise dança e Beto não bebe. Logo temos como item correto a letra C .

Momento de Treinamento

1) (ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para

Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para

Sandra abraçar Sérgio.

Assim, quando Sandra não abraça Sérgio:

A) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo.

B) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não, abraça Paulo.

C) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo.

D) João não está feliz, e Maria não sorri e Daniela não abraça Paulo.

E) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo.

2) (ESAF) O Rei ir à caça é condição necessária para o Duque sair do castelo, e é condição suficiente para a

Duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o Conde encontrar a Princesa é condição necessária e suficiente para o

Barão sorrir e é condição necessária para a Duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu, logo:

A) A Duquesa foi ao jardim ou o Conde encontrou a Princesa.

B) Se o Duque não saiu do castelo, então o Conde encontrou a Princesa.

C) O Rei não foi à caça e o Conde não encontrou a Princesa.

D) O Rei foi à caça e a Duquesa não foi ao jardim.

E) O Duque saiu do castelo e o rei não foi à caça.

3) (ESAF) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição

suficiente para a ocorrência de D. Sabe se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e

suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre:

A) D ocorre e B não ocorre.

B) D não ocorre ou A não ocorre.

C) B e A ocorrem.

D) Nem B nem D ocorrem.

E) B não ocorre ou A não ocorre.

GABARITO

01 D

02 C

03 C

49

VI- NEGAÇÃO OU MODIFICADOR LÓGICO

O 'não' é chamado de modificador lógico porque ao ser inserido em uma proposição muda seu valor lógico,

ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos representar a negação de uma proposição, vamos

usar o sinal de til (~) ou (¬) antes da letra que representa a proposição

Proposição p Proposição ¬p

Reginaldo é

trabalhador

Reginaldo não é trabalhador

Não é verdade que

Reginaldo é trabalhador

É falso que Reginaldo é

trabalhador

Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição ¬p, é falsa. Veja:

Se a proposição... tem valor lógico...

A bola é pesada verdadeiro

então a proposição... tem valor lógico...

A bola não é pesada Falso

Se uma proposição ¬p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é falsa.Veja:

Se a proposição... tem valor lógico...

Não quero. verdadeiro

então a proposição... tem valor lógico...

Quero. Falso

Não quero, verdadeiro. Quero, falso Podemos representar as tabelas acima apenas por:

p ~ p ou ¬ p

V F

F V

50


VERDADES E MENTIRAS

As três “Leis do Pensamento” ou Princípios Fundamentais da

Lógica Proposicional

Os que definiram a Lógica como a ciência. das leis do pensamento sustentaram, freqüentemente,

que existem exatamente três leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para

que o pensar se desenvolva de maneira "correta". Essas leis do pensamento receberam, tradicionalmente,

os nomes de Princípio de Identidade, Princípio de Contradição (por vezes, Principio de Não-Contradição) e

Princípio do Terceiro Excluído. Há formulações alternativas desses princípios, apropriadas a diferentes

contextos. No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes:

O Princípio de Identidade afirma .que se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro. ,

O Princípio da Não-contradição afirma que nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso.

O Princípio do Terceiro Excluído afirma que um enunciado ou é verdadeiro, ou é falso.

O princípio da Identidade afirma que todo o enunciado da forma p p é verdadeiro, ou seja, que

todo o enunciado desse tipo é uma tautologia. O princípio de Contradição afirma que todo o enunciado da

forma p /\ ~ p é falso, ou seja, que todo o enunciado desse tipo é contraditório. O “Princípio do Terceiro

Excluído” afirma que todo o enunciado da forma p v ~ p é verdadeiro, ou seja, que todo o enunciado desse

tipo é uma tautologia.

Nas provas de concursos temos questões de analítica em que devemos aplicar

conhecimentos associados aos princípios fundamentais, onde devemos experimentar as

duas valorações possíveis para uma proposição, V ou F. Sendo que apenas uma das

hipóteses deverá dar certo, a outra resultará em uma contradição, vamos aos exemplos:


01-( CESPE –2008 –SEBRAE -ANALISTA )Com relação à lógica formal, julgue o item seqüente. ( ) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos.

51

Comentário

O item está errado, pois segundo a informação da sentença dá-se a entender que uma proposição

pode assumir uma quantidade de dois ou mais valores lógicos, o que não respeita uma das leis do

pensamento: “Princípio do Terceiro Excluído”.

02- (CESPE-2004- PF- PAPILOSCOPISTA) - Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa.

Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no

caso de uma proposição ¬R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-

se que R é verdadeira (ou ¬R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e

sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue o item

que se segue:

( ) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas — G — envolvidas em um acidente, haja apenas dois

tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o

indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos,

então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem.

Comentário :

Neste tipo de questão temos apenas dois tipos de indivíduos, logo aplicaremos o seguinte método

(experimentação): Primeiro atribuiremos a P que ele fale sempre a verdade, então iremos realizar a

análise, se houver alguma contradição, iremos atribuir a P que ele sempre fale a mentira. Uma das

hipóteses dará certo, de acordo com as leis do pensamento.

Sendo assim temos:

Indivíduo P Indivíduo Q

FALA VERDADE FALA VERDADE

1- Atribuindo a P V(verdade) acreditaremos no que ele disser , pois fala a verdade, logo ao

falar que Q fala a verdade, teremos que Q irá falar a verdade também (v).

ANALISANDO: Quando Q afirma que ele e P são tipos opostos, o mesmo entra em contradição,

o que não deveria acontecer, pois o mesmo só fala a verdade, logo esta análise está inválida.

______________________________________________________________________________________

Indivíduo P Indivíduo Q

FALA MENTIRA FALA MENTIRA

2- Atribuindo a PF(mentira), pegamos o oposto do que ele disse, pois o mesmo sempre mente,

logoQ irá mentir também, e ao mentir disse que P fala a verdade, o que é mentira, pois o Q é mentiroso,

logo os dois mentem. E assim podemos concluir que os dois mentem. O item está correto.

03-(CESPE-2004- SERPRO ANALISTA ) No final dos anos 70 do século passado, um importante lógico

chamado Smullyan descreveu, em um livro, uma ilha onde havia apenas dois tipos de pessoas: mentirosas,

pois só falavam mentiras, e honestas, pois só falavam verdades. Um visitante chega à ilha, aproxima-se de

quatro nativos, chamados Jari, Marli, Geni e Marlim, e inicia WTI a conversação da qual se relatam os

seguintes trechos.

Q fala a

verdade Eu e P somos

de tipos

opostos

Q fala a

verdade

Eu e P somos

de tipos

opostos

52

( ) De acordo com o trecho 1 da conversa, está correto que o visitante conclua que Jarí e Marli são ambos

mentirosos.

( ) De acordo com o trecho 2 da conversa, se o visitante concluiu que Geni é honesta e Marlim é mentiroso,

então o visitante chegou a uma conclusão errada.

Comentário :

Esta questão pode ser analisada da mesma forma da segunda questão (PF 2004) já comentada

anteriormente.

No trecho 1 temos: Supondo Jarí (V) fala sempre a verdade temos que Marli também falará a

verdade o que faz com que Marli entre em contradição, pois o mesmo afirmar que eles são tipos opostos.

Então iremos supor agora que Jarí (F) fala sempre a mentira o que faz com que Marli fale mentira

também segundo a contradição . Supondo Marli com (F) falando a mentira temos que sua declaração

deverá ser analisada de forma contrária o que faz com que Jari também é mentirosa. Logo os dois mentem.

No trecho 2 temos : Neste caso é melhor começarmos analisar pela Marlim ,pois sua declaração é

simples,então supondo Marlim (V) temos que Geni fala a mentira, o que faz com que este minta e ao mentir

o mesmo afirma que os dois são honestos , o que não é verdade pois ao afirmar que os dois são honestos

ele está mentindo o que deixa a questão com as seguintes valorações : Marlim(V) e Geni (F).

04-(CESPE-2007- BANCO DO BRASIL) No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e

lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se

entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan. Duas pessoas

carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala

somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a

segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala

somente verdades.

Com base no texto acima, julgue o item a seguir.

( ) Se a primeira pessoa diz “Nossas fichas não são da mesma cor” e a segunda pessoa diz “Nossas fichas

são da mesma cor”, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade.

Comentário :

Vamos resumir o texto da seguinte forma

FP= ficha preta FB= ficha branca

Supondo que a 1ª pessoa FALA A VERDADE, temos:

1ª Pessoa (Fala a verdade)

Trecho 1 Trecho 2

Jari diz: Marli é honesta

Marli diz: Jari e eu somos pessoas de tipos opostos

Geni diz a Marlim: nós dois somos honestos.

Marlim diz: a Geni é mentirosa.

53

V(Carrega ficha branca) ao falar que “nossas fichas não são da mesma cor”, isto é verdade, pois uma

pessoa que fala a verdade não pode mentir, logo a ficha da 2ª pessoa deverá ser preta. Sendo a ficha da 2ª

pessoa preta, a mesma deverá falar a verdade. Verificando temos: “Nossas fichas são da mesma cor”, diz a

2ª pessoa, o que é verdade, algo que não pode acontecer pois uma pessoa que fala a verdade não pode

mentir. “Princípio da não contradição”.

Supondo que a 1ª pessoa FALA MENTIRA, temos:

1ª pessoa (Fala mentira)

F(Carrega ficha preta) ao falar que “nossas fichas não são da mesma cor”, isto é mentira, pois uma pessoa

que fala mentira não pode falar a verdade, logo a ficha da segunda pessoa será preta. Sendo a ficha da

segunda pessoa preta, a mesma deverá falar a verdade. Verificando temos: “Nossas fichas são da mesma

cor”, diz a segunda pessoa, o que é verdade, logo os dois possuem fichas da mesma cor.

1ª Pessoa – FP (F)

2ª Pessoa – FP (V)

O item está certo

QUESTÕES COM CONTRADIÇÕES E EXPERIMENTAÇÃO

Nas provas de concursos temos questões em que as bancas cobram dos candidatos uma análise referente

à declarações realizadas em uma determinada situação procurando na maioria das vezes saber que é o

mentiroso e até mesmo o culpado de um determinado delito.Isto é notável nas ultimas provas para Polícia

Federal 2004 e Policia civil 2008. Sendo assim é necessário utilizar um método prático para resolução

dessas questões.

Nas questões com declarações onde existem pessoas que mentem e falam a verdade, em que

podemos perceber existir uma contradição entre declarações, pois não há como adivinhar quem mente ou

quem fala a verdade, sendo assim , devemos aplicar o que foi ensinado no início referente as três leis do

pensamento, onde uma proposição” declaração” não pode ser verdadeira(V) e falsa ( F)ao mesmo tempo,

daí teremos uma possível valoração para estas declarações... Vejamos as questões comentadas de 01 E 02

abaixo e a aplicação do método :


01) ESAF

Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando,

Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu:

Armando: “Sou inocente”

Celso: “Edu é o culpado.”

Edu: “Tarso é o culpado”

Juarez: “Armando disse a verdade”

Tarso: “Celso mentiu”.

54

Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se

concluir que o culpado é:

a) Edu b) Tarso c) Juarez d) Armando e) Celso

RESOLUÇÃO :

De acordo com a questão temos que as declarações de:

Celso: “Edu é o culpado”

Tarso: “Celso mentiu”.

Partindo da contradição das declarações temos que: “Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu...”,

podemos deduzir que a mentira ( adotaremos como F ) está entre Celso ou Tarso, logo podemos analisar da

seguinte forma:

- Armando: “Sou inocente” (v)

- Celso: “Edu é o culpado.”

- Edu: “Tarso é o culpado” (v)

- Juarez: “Armando disse a verdade” (v)

- Tarso: “Celso mentiu”.

Sendo verdadeiras as declarações de Armando, Edu e Juarez podemos concluir que Tarso é o

culpado. Logo por Tarso ser o culpado temos que Celso mentiu e Tarso falou a verdade.

Armando: “Sou inocente” (v)

Celso: “Edu é o culpado.” (F)

Edu: “Tarso é o culpado” (v) RESPOSTA LETRA “B”

Juarez: “Armando disse a verdade” (v)

Existe uma contradição:

Não é possível as duas serem

verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo.

Logo temos que uma é verdadeira e a

outra é falsa ou vice-versa.

Iremos valorar estas declarações de acordo

com as outras que temos certeza que são

verdadeiras, pois a única mentira irá se

encontrar na contradição.

55

Tarso: “Celso mentiu”. (v)

02) (ESAF 2000) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhado

por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:

l.

Sabendo-se que um e somente um dos colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem

pagar foi:

a) Mara d) Manuel b) Maria e) Marcos c) Mário

RESOLUÇÃO :

De acordo com a questão temos que as declarações de :

Partindo da contradição das declarações temos que: “Sabendo-se que um e somente um dos colegas

mentiu” podemos deduzir que a mentira ( adotaremos como F ) está entre Mara ou Mário, logo podemos

analisar da seguinte forma:

(v)

(v)

Sendo verdadeiras as declarações de Marcos, Manuel e Maria, podemos concluir que foi a Mara

que entrou sem pagar, segundo a afirmação de Manuel.

Existe uma contradição:

Não é possível as duas serem

verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo.

Logo temos que uma é verdadeira e a

outra é falsa ou vice-versa, pois Mara

vai contra a informação de Mário.

Iremos valorar estas declarações de acordo com

as outras que temos certeza que são verdadeiras,

pois a única mentira irá se encontrar na

contradição.

56

(v) RESPOSTA LETRA “A”

(v)

rcos”, disse Maria. (v)

57

MOMENTO DE TREINAMENTO:

CONTRADIÇÕES

TEXTO PARA AS QUESTÕES 01 E 02

Um grupo de 4 jovens foi encontrado por um policial que passava pelo local e frente a um muro recém-

pichado. O policial, tentando encontrar o autor do vandalismo, pergunta:

- Quem pichou o muro?

Jorge, um dos jovens, responde:

-Não fui eu. Eu estava apenas de passagem por aqui, assim, como o senhor.

Marcelo responde e seguia, apontando para outro:

- Quem pichou o muro foi Marcos.

Pedro defende o amigo:

-Marcelo está mentindo.

Marcos se manifesta, acusando outra pessoa:

-Eu jamais picharia o muro, quem pichou foi Pedro. O policial percebe que apenas um deles mentiu.

01 .( FUNIVERSA 2008 ) Com base no texto VI, assinale a alternativa correta.

a) Jorge mentiu

b) Marcos mentiu

c) Marcelo mentiu

d) Pedro mentiu

e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos jovens mentiu.

02 .( FUNIVERSA 2008 ) Ainda com base no texto, assinale a alternativa correta.

a) Jorge pichou o muro

b) Marcos pichou o muro

c) Marcelo pichou o muro

d) Pedro pichou o muro

58

e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos jovens é o autor do

vandalismo.

03. (CESPE-2004) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o

interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações.

• A afirmou que C matou o líder.

• B afirmou que D não matou o líder.

• C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação

no crime.

• D disse que C não matou o líder.

Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em

suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes.

a) A declaração de C não pode ser verdadeira. b) D matou o líder.

04) Quatro pessoas interrogadas pela polícia, sob suspeita de terem cometido um roubo.

- Eu não fui, diz Eduardo.

- Foi o Fábio, afirma Heitor

- Foi o Paulo, garante o Fábio

- O Heitor está mentindo, diz Paulo.

Sabendo que somente um deles mentiu e que somente um deles cometeu o roubo, quem é o ladrão?

a) Fábio c) Eduardo b) Paulo d) Heitor

05) (FGV - FNDE 2007) Quatro irmãos, André, Bernardo, Carlos e Daniel, reparam que seu pai, quando

chegou em casa, colocou em cima da mesa da sala quatro bombons. Logo ao retornar à sala, o pai viu que

um dos bombons tinha desaparecido e perguntou às crianças quem tinha sido o autor do delito.

André disse: - Não fui eu.

Bernardo disse: - Foi Carlos quem pegou o bombom.

Carlos:- Daniel é o ladrão do bombom.

Daniel:- Bernardo não tem razão.

Sabe-se que apenas um deles mentiu. Então:

(A) André pegou o bombom.

59

(B) Bernardo pegou o bombom.

(C) Carlos pegou o bombom.

(D) Daniel pegou o bombom.

(E) Não é possível saber quem pegou o bombom.

GABARITO:

1 C 2 D 3 C C 4 B 5-D

EXPERIMENTAÇÃO

Nas questões com declarações em que não há contradições entre duas ou mais declarações

devemos valorar uma declaração como verdadeira e partir dela, caso não esteja correto, devemos começar

com a declaração sendo falsa, ou seja, experimentar. Vejamos as questões comentadas de 01 e 02 abaixo e

a aplicação do método:


01- (AFC/ ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis obtiveram os quatro primeiros lugares em um

concurso de oratória julgado por uma comissão de três juizes. Ao comunicarem a classificação final,

cada Juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e outra falsa:

Juiz 1: “André foi o primeiro; Beto foi o segundo”.

Juiz 2: ”André foi o segundo; Dênis foi o terceiro”.

Juiz 3: “Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto”.

Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocado foram

respectivamente:

a) André Caio, Beto, Dênis. b) Beto, André, Caio, Dênis. c) André Caio, Dênis, Beto. d) Beto, André, Dênis, Caio. e) Caio, Beto, Denis, André.

Comentário:

Nesta questão temos duas possibilidades para cada discurso, ou seja, cada um contendo uma

informação verdadeira para o primeiro e falsa para a segunda, ou falsa para a primeira e verdadeira para a

segunda. Logo temos que realizar uma experimentação:

60

1ª SITUAÇÃO (POSSIBILIDADE)

Supondo a valoração para o primeiro juiz: “André foi o primeiro”. (verdade)

“Beto foi o segundo”. (falso)

Temos:

Juiz 1: “André foi o primeiro ( verdadeiro) ; Beto foi o segundo”. (falso)

Juiz 2: ”André foi o segundo (falso) ; Dênis foi o terceiro”. (verdadeiro)

Juiz 3: “Caio foi o segundo ( verdadeiro) ; Dênis foi o quarto”. (falso)

Supondo a valoração para o primeiro juiz: “André foi o primeiro”. (falso)

“Beto foi o segundo”. (verdade)

2ª SITUAÇÃO (POSSIBILIDADE)

Temos:

Juiz 1: “André foi o primeiro (falso) ; Beto foi o segundo”. (verdadeiro )

Juiz 2: ”André foi o segundo (verdadeiro) ; Dênis foi o terceiro”. (falso)

Juiz 3: “Caio foi o segundo ( verdadeiro) ; Dênis foi o quarto”. (falso)

NESTE CASO TIVEMOS EMPATE ENTRE BETO E CAIO, LOGO ESTA SITUAÇÃO NÃO ESTÁ DE

ACORDO. SENDO ASSIM A PRIMEIRA SITUAÇÃO ESTA CORRETA. RESPOSTA LETRA “C”.

02- (CGU/ESAF 2008) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas

vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e

as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que

Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise diz

que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa

vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são

respectivamente:

a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela.

b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela.

c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela.

d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela.

e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela.

Comentário:

Esta questão assim como a anterior devemos experimentar a partir da primeira declaração como

verdadeira, caso não haja contradição a questão estará de acordo, mas se houver deveremos começar como

falsa.

A cada valoração iremos associar a cor da blusa.

61

1ª SITUAÇÃO: Ana começando falando a verdade.

- Ana diz: Beatriz veste blusa vermelha. (se Ana fala a verdade então veste blusa vermelha, sua declaração

é verdadeira, logo Beatriz veste blusa vermelha).

- Beatriz diz: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa vermelha, então fala a verdade, sua

declaração é verdadeira, logo Carolina veste amarelo e com isto é mentirosa, pois quem veste amarelo

mente).

- Carolina diz: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina mente, então veste amarelo, sua declaração é falsa,

logo Denise veste blusa vermelha e fala a verdade, pois quem veste vermelho fala verdade).

- Denise diz: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise veste vermelho, então fala a

verdade, sua declaração é verdadeira, logo Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Como

sabemos que Beatriz veste blusa de cor vermelha, então Eduarda veste blusa de cor amarela, o que significa

que a mesma mente).

- Eduarda diz: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda mente, então veste amarelo, sua declaração é falsa,

logo Ana tem que vestir amarelo, para que Eduarda esteja mentindo).

Percebemos que Eduarda está falando a verdade o que não pode acontecer, pois ela é uma

pessoa mentirosa. Uma pessoa que mente não pode falar a verdade (entrar em contradição). Neste caso, a

1ª situação não está de acordo.

2ª SITUAÇÃO: Ana começando falando mentira .

- Ana diz: Beatriz veste blusa vermelha. (se Ana fala a mentira então veste blusa amarela, sua declaração é

falsa, logo Beatriz veste blusa amarela).

- Beatriz diz: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa amarela, então fala a mentira, sua

declaração é falsa, logo Carolina veste vermelho e com isto fala a verdade, pois quem veste vermelho fala a

verdade).

- Carolina diz: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina fala a verdade, então veste vermelho, sua

declaração é verdadeira, logo Denise veste blusa amarela e fala mentira, pois quem veste amarelo fala

mentira).

- Denise diz: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise veste amarelo, então fala a

mentira, sua declaração é falsa, logo Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores iguais. Como sabemos que

Beatriz veste blusa de cor amarela, então Eduarda veste blusa amarela, o que significa que a mesma fala

mentira).

- Eduarda diz: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda fala mentira, então veste amarelo, sua declaração é

falsa, logo Ana tem que vestir amarelo, o que realmente acontece, pois Ana é mentirosa).

Neste caso, a 2ª situação está de acordo, pois nenhuma delas entra em contradição com sua

própria declaração.

A resposta será:

Ana: Amarelo Beatriz: Amarelo Carolina: Vermelho Denise: Amarelo Eduarda: Amarelo

62

AULA 04– LÓGICA DE 1ª ORDEM

TAUTOLOGIA

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma tautologia se ela for

sempre verdadeira, independente da verdade de seus termos.

Em filosofia e outras áreas das ciências humanas, diz-se que um argumento é tautológico quando se

explica por ele próprio, às vezes redundantemente ou falaciosamente. Por exemplo, dizer que "o mar é azul

porque reflete a cor do céu e o céu é azul por causa do mar" é uma afirmativa tautológica. Da mesma forma,

um sistema é caracterizado como tautológico quando não apresenta saídas à sua própria lógica interna —

em outro exemplo, exige-se de um trabalhador que tenha curso universitário para ser empregado, mas ele

precisa ter um emprego para receber salário e assim custear as despesas do curso universitário.

Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, então teremos uma Tautologia. Ex: P(p,q)=

(p ∧ q) <=> ~(p ∨ q) Numa Tautologia, o valor lógico da proposição composta P(p,q,s)={(p ∧ q) ∨ (p ∧ s) ∨ [p

∧ ~(q ∧ s)]} → p, será sempre verdadeiro.

Exemplo:

A ~A B A→B ~A v B (A→B) ↔ (~A v B)

V F V V V V

V F F F F V

F V V V V V

F V F V V V

A proposição (A → 7 B) « (~A v B)é uma tautologia.


1) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos

termos que a compõem. Verifique se a proposição composta (p /\ ~p)→(p v q)é uma tautologia.

p ~p q p /\ ~ p p v q (p /\ ~p)→(p v q)

V F V

V F F

F V V

F V F

2) (ESAF) Um exemplo de Tautologia é:

A) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo.

B) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo.

C) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo.

D) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo.

E) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo.

3) CESPE – STF 2008 ANALISTA JUDICIÁRIO Julgue os itens seguintes relacionados à lógica proposicional. 1. Uma tautologia é uma proposição lógica composta que será verdadeira sempre que os valores lógicos das proposições simples que a compõem forem verdadeiros.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Filosofia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ci%C3%AAncias_humanas

http://pt.wikipedia.org/wiki/Fal%C3%A1cia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema

63

4) (CESPE/SENADO-2002) tautologia. S. f.

1. Vício de linguagem que consiste em dizer, por formas diversas, sempre a mesma coisa: “A gramática

usual é uma série de círculos viciosos, uma tautologia infinita.” (João Ribeiro, Cartas Devolvidas, p. 45).

2. Filos. Proposição que tem por sujeito e predicado um mesmo conceito, expresso ou não pelo mesmo

termo.

3. Filos. Erro lógico que consiste em aparentemente demonstrar uma tese repetindo-a com palavras

diferentes.

Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira.

4. Na linguagem da lógica proposicional, denomina-se tautologia a toda fórmula α (nessa linguagem) para a

qual toda valoração verdadeira ou falsa dada a seus símbolos proposicionais resulta que α é verdadeira.

Considerando as acepções listadas acima, julgue, em cada item seguir, se a proposição apresentada é uma

tautologia de acordo com a acepção que a precede.

1- Acepção 2: O sal é salgado.

2- Acepção 2: Todo indivíduo gordo ingere mais alimentos do que necessita.

3- Acepção 3: Para provar que 0 < 1, suponha que 1 > 0; como isso é claramente verdade, conclui-se que 0

< 1.

4- Acepção 4: Se 7% dos candidatos inscritos no concurso público do Senado Federal concorrem a vagas

para o cargo de Consultor de Orçamentos e 93% concorrem para Consultor Legislativo, então a maioria dos

candidatos no concurso público do Senado Federal concorre para o cargo de Consultor Legislativo.

5- Acepção 4: A gramática usual é uma série de círculos viciosos, uma tautologia infinita.

5) (CESPE 2008- SEBRAE) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente, representados por ^, v, ¬ e , respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógicos verdadeiro e falso, respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

1.A proposição [(PQ) (QR)] (PR) é uma tautologia.

6) ( CESPE – TRT 5ª RG – 2008) Se A e B são proposições, então a proposição A v B ↔ (¬A) ^ (¬B) é

uma tautologia.

64

GABARITO

1-

p ~p q p /\ ~ p p v q (p /\ ~p)→(p v q)

V F V F V V

V F F F V V

F V V F V V

F V F F F V

6-E

2- a

3- errada

4- C E C C E

5- C

CONTRADIÇÃO

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contradição ou contraválida se

ela for sempre falsa, independente da verdade de seus termos.

Exemplo:

A proposição A ↔ ~A é uma contradição


1) Uma proposição é uma contradição quando é sempre falsa. Verifique se a proposição composta P/\~P é

uma contradição.

2) (CESPE) Considere a proposição: Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro.

Simbolizando por P trecho meu cliente fosse culpado e simbolizando por Q o trecho a arma estaria no carro,

obtém-se uma proposição implicativa, ou simplesmente uma implicação, que é lida: Se P então Q, e

simbolizada por P Q. Uma tautologia é uma proposição que é sempre V (verdadeira). Uma proposição que

tenha a forma P Q é V sempre que P for F (falsa) e sempre que P e Q forem V. Com base nessas

informações e na simbolização sugerida, julgue os itens.

subseqüentes. ...

A ~A A↔~A

V F F

F V F

p ~p p /\ ~p

V F F

F V F

65

(1) A proposição "Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma

do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado." É uma tautologia.

(2) A proposição "Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu

cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro." não é uma tautologia.

CONTINGÊNCIA

Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma

contradição. Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao

final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma contradição

(só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência!

As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições

indeterminadas.

P Q R (P/\Q) (P/\Q) V R

V V V V V

V V F V V

V F V F V

V F F F F

F V V F V

F V F F F

F F V F V

F F F F F

GABARITO

01) É Contradição

p ~p p /\ ~p

V F F

F V F

02) CC

66


PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES

Duas proposições são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os

resultados das tabelas-verdade são idênticos.

A B

A) LEIS ASSOCIATIVAS

1) (A /\ B) /\ C A /\ (B /\ C)

2) (A v B) v C A v (B V C)

DEMONSTRAÇÃO: (A /\ B) /\ C A /\ (B /\ C)

A B C (A/\B) (A/\B) /\C B/\C A/\(B/\C)

V V V V V V V

V V F V F F F

V F V F F F F

V F F F F F F

F V V F F V F

F V F F F F F

F F V F F F F

F F F F F F F

Exemplo

B) LEIS DISTRIBUTIVAS

3) A /\ (B V C) (A /\ B) V (A /\ C)

4) A v (B /\ C) (A v B) /\ (A v C)

DEMONSTRAÇÃO: A /\ (B V C) (A /\ B) V (A /\ C)

A B C BVC A/\(BVC) A/\B A/\C (A/\B)V(A/\C)

V V V V V V V V

V V F V V V F V

V F V V V F V V

V F F F F F F F

F V V V F F F F

F V F V F F F F

F F V V F F F F

F F F F F F F F

Exemplo :

67

C) LEI DA DUPLA NEGAÇÃO

5) ~(~A) A

DEMONSTRAÇÃO: ~(~A) A

A ~A ~(~A)

V F V

F V F

Exemplo :

PROPOSIÇÕES PROPOSIÇÕES

EQUIVALENTES

Não é verdade que o

Prof. Josimar Padilha

não é brasiliense

O Prof. Josimar

Padilha é brasiliense

D) EQUIVALÊNCIA DA CONDICIONAL

6) ( A → B ~A v B) / ( A → B ~B → ~A )

I ) A → B ~A v B

DEMONSTRAÇÃO: A → B ~A v B

A B ~A A→B ~A vB

V V F V V

V F F F F

F V V V V

F F V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A

→ B e ~A v B são proposições logicamente equivalentes, isto é: A→ B ~A v B

II) A → B ~B → ~A ( TEOREMA DA CONTRA-RECÍPROCO OU CONTRA-POSITIVA)

DEMONSTRAÇÃO: A → B ~B → ~A

A B ~A ~B A→B ~B→~A

V V F F V V

V F F V F F

F V V F V V

F F V V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo são proposições

logicamente equivalentes, isto é:

A→ B ~B→ ~A

Essa relação é chamada de teorema contra recíproco.

Exemplos: Dizer que:

Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia.

68

É logicamente equivalente a dizer que:

Se Beatriz não briga com. Bia, então Beraldo não briga com Beatriz.

Uma relação existente entre as equivalências condicionais é dada pela inferência que se tem por meio da

intersecção das sentenças A→ B ~A v B e A→ B ~B →~A , em que podemos concluir: A v B

~A→ B ou A v B B →A.

Observe a tabela abaixo:

As três últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A V

B, ~A → B e ~B→ A são proposições logicamente equivalentes, isto é:

A V B ~A → B,

A V B ~B→ A,

~A → B ~B→A.

Exemplos:

PROPOSIÇÃO PROPOSIÇÃO

EQUIVALENTE

Se Enny tomar

remédio, ela vai ficar

boa.

Enny não toma

remédio ou fica boa

Clara anda ou corre Se Clara não anda,

então Clara corre.

E) LEI DE AUGUSTUS DE MORGAN

7) ~(A /\ B) (~A) V (~B) / ~(A v B) (~A) /\ (~B)

I) ~(A /\ B) (~A) V (~B)

DEMONSTRAÇÃO: ~(A /\ B) (~A) V (~B)

A B A /\ B ~(A /\ B ) ~A ~B (~A) V (~B)

V V V F F F F

A B ~A ~B A v B ~A→B ~B→A

V V F F V V V

V F F V V V V

F V V F V V V

F F V V F F F

69

V F F V F V V

F V F V V F V

F F F V V V V

As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições

~(A /\ B) e ( ~A ) V (~ B ) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A /\ B) ~A V ~ B .

II) ~(A v B) (~A) /\ (~B)

DEMONSTRAÇÃO: ~(A /\ B) (~A) V (~B)

A B A V B ~(A V B ) ~A ~B (~A) /\ (~B)

V V V F F F F

V F V F F V F

F V V F V F F

F F F V V V V


~(A V B) e ( ~A ) /\ (~ B ) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A V B) ~A /\ ~B .

F) EQUIVALÊNCIA DA BICONDICIONAL

8) [(AB) /\ (BA)] [AB]

DEMONSTRAÇÃO

A B AB BA (AB) /\ (BA) A B

V V V V V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V


[(AB) /\ (BA)] e [AB]

G) EQUIVALÊNCIA COMUTATIVA :

Como já visto antes, ao estudarmos as tabelas-verdade, foi comentado que os conectivos: conjuntivo,

disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a propriedade comutativa, isto é, ao trocarmos a

ordem das proposições simples, os resultados das tabelas-verdade permanecem idênticos.

Com relação ao conectivo condicional não ocorre o mesmo, uma vez que os resultados de suas tabelas-

verdade não serão os mesmos, resumindo temos que o conectivo condicional não possui a propriedade

comutativa.

(A) /\ (B) (B) /\ (A)

(A) V (B) (B) V (A)

(A ) ↔ (B) (B) ↔ (A) (A) (B) (B) (A) COMUTAM

NÃO COMUTA

70

(A) v (B) (B) v (A)

Nas últimas provas de concursos públicos temos visto a importância das equivalências lógicas,

aparecendo com maior freqüência. As leis são cobradas, mas torna-se interessante identificar quando duas

proposições são equivalentes. Então para isto, torna-se necessário construir as tabelas-verdade

possibilitando uma a análise concreta.


01. (CESPE 2008 SEBRAE ANALISTA) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente, representados por ^, V, ¬ e , respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógico verdadeiro e falso, respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte.

1. A proposição ¬(P^Q) é equivalente à proposição (¬P)V(¬Q).

Comentário:

A proposição composta: ¬(P^Q) “não é verdade que P e Q“ , ao aplicar a Lei de De Morgan temos :

(¬P)V(¬Q). As suas tabelas verdades são idênticas. “ O item está correto.

02.( CESPE/BB-2007) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não

ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A,

B, C etc. A expressão AB, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem

valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma A, lida

como “não A”, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A

expressão da forma AB, lida como “A e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B

são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma AB, lida como “A ou B”, é uma

proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas

definições, julgue os itens que se seguem.

1 Uma expressão da forma (AB) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F

da proposição AB.

Comentário: Se uma questão afirmar ou perguntar sobre proposições que possuem as mesmas valorações, está implícito que se trata de uma equivalência lógica, o que no caso podemos ganhar tempo aplicando uma das leis.

A proposição composta: (AB) “não é verdade que A e não B”, ao aplicar a Lei de De Morgan temos :(¬A)V(B), logo pela Lei Condicional [ A → B (¬A)V(B)] , “As suas tabelas verdades são idênticas.” O item está correto.

03) (ESAF/TÉCNICO-2006) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo,

71

a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar.

d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.

e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar.

Comentário: Dada a proposição temos:

Elaine não ensaia Elisa não estuda.

O antecedente (Elaine não ensaia) é condição suficiente para o conseqüente (Elisa não estuda). O conseqüente (Elisa não estuda) é condição necessária o antecedente (Elaine não ensaia). Segundo os itens da questão não temos nenhum que esteja de acordo com o comentário acima realizado. O que fazer?

Percebemos que as respostas propostas pela ESAF não satisfazem a proposição: Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Sendo assim podemos concluir que não foi utilizada esta proposição, mas outra e logo iremos lançar mãos dos nossos conhecimentos quanto a equivalências lógicas, pois utilizaremos uma proposição logicamente equivalente a dada pelo enunciado da questão.

Como sabemos que segundo a lei condicional temos duas equivalências, qual a indicada: A contra-positiva, umas vez que a mesma possuem condições o que neste caso exige a questão.

Aplicando a lei condicional:

Elaine não ensaia Elisa não estuda. Elisa estuda Elaine ensaia

Agora sim, temos que: I - Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar. II- Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar

A resposta correta é a letra E

04) (ESAF/TÉCNICO-2006) Uma sentença logicamente equivalente a “ Se Ana é bela, então Carina é feia”

é:

a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia.

b) Ana é bela ou Carina não é feia. c) Se Carina é feia, Ana é bela. d) Ana é bela ou Carina é feia.

e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela.

Comentário: Dada a proposição temos:

Ana é bela Carina é feia Segundo a lei condicional temos duas equivalências: I - Se Carina não é feia, então Ana não é bela. II – Ana não é bela ou Carina é feia. Assim temos: A resposta correta é a letra E

Momento de Treinamento 1. Demonstrar, através de tabelas-verdade, as seguintes equivalências:

72

a) P PQP )(

b) P QPQP )(

c) Q QPQP )(

d) P QPQP )(

e) (P )()() RQPRPQ

f) (P )()() RQPRPQ

g) P )()( QPQPQ

2. (CESPE) Julgue os itens:

( ) As tabelas de valorações das proposições P Q e Q P são iguais.

( ) As proposições (P SQ ) e (P )() SQS possuem tabelas de valorações iguais.

( ) Do ponto de vista lógico, dizer que “Rafael foi ao cinema ou Renata não foi ao parque” é o mesmo que dizer que “Se Rafael foi ao cinema, então Renata foi ao parque”.

( ) Do ponto de vista lógico, dizer que “Rafael foi ao cinema ou Renata não foi ao parque” é o mesmo que dizer que “Se Renata foi ao parque, então Rafael foi ao cinema”.

( ) As proposições “Quem tem dinheiro, não compra fiado” e “Quem não tem, compra” são logicamente equivalentes.

( ) A tabela de interpretação de (P PQ ) é igual a tabela de interpretação de P Q .

3. (FGV - M. COMUNICAÇÕES/2006) Suponha que “Se X=1, então Y>7”. Assinale a conclusão correta.

a) Se X 1 , então Y<7

b) Se X 1 , então Y 7

c) Se Y>7, então X=1

d) Se Y 7 , então X 1

e) Se Y=7, então X=1

4. (M. POG 2006) Dizer que “Ana não é alegre ou Beatriz é feliz” é do ponto de vista lógico, o mesmo que

dizer que:

a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. e) Se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz. 5. (GESTOR) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a dizer

que:

a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 6. (AFT) Dizer que “Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista” é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer

que:

a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 7. (ESAF) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é solteira” é:

73

a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira. e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.

8. (TRT) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista:

“Se os juros bancários são altos então a inflação é baixa”. Uma proposição logicamente equivalente à do

economista é:

a) Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. b) Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. c) Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. d) Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. e) Ou os juros bancários, ou a inflação é baixa.

9. (UM-SP) Duas grandezas x e y são tais que “Se x = 3, então y = 7”. Pode-se concluir que:

a) Se x 3, então y 7 b) Se y = 7, então x = 3

c) Se y 7, então x 3

d) Se x = 5, então y = 5 e) Nenhuma das conclusões acima é válida

10. (ANA) Sabendo-se que o símbolo denota negação e que o símbolo denota o conectivo lógico ou, a

proposição A B, que é lida “Se A, então B”, pode ser reescrita como:

a) A B

b) BA

c) A B

d) BA

e) )( BA

11. (ANPAD) Considere a sentença “Se é carnaval, os sambistas dançam nas ruas”. A contra positiva dessa

sentença é:

a) Se os sambistas não dançam nas ruas, não é carnaval. b) Se os sambistas dançam nas ruas, não é carnaval. c) Se não é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas. d) Se os sambistas dançam nas ruas, é carnaval. e) Se é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas. 12. (CESPE/SENADO-2002) O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que:

Julgue se cada um dos itens subseqüentes reescreve, de modo correto e equivalente, o enunciado acima.

1 É condição suficiente que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto

de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

2 É condição necessária que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto

de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

Se n for um número natural diferente de 1, então n pode ser decomposto como

um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores.

74

3 Se n não possuir decomposição como um produto de fatores primos, que seja única, a menos da ordem

dos fatores, então n não é um número natural diferente de 1.

4 Ou n não é um número natural diferente de 1, ou n tem uma decomposição como um produto de fatores

primos, que é única, a menos da ordem dos fatores.

5 n é um número natural diferente de 1 se puder ser decomposto como um produto de fatores primos, de

modo único, a menos da ordem dos fatores.

13 (CESPE/SENADO-2002) A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias

de natureza lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por

exemplo, a implicação lógica denotada por p q pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos,

ou seja, como P Q, em que P é o conjunto cujos objetos cumprem a condição p, e Q é o conjunto cujos

objetos cumprem a condição q. Com o auxílio do texto acima, julgue se a proposição apresentada em cada

item a seguir é equivalente à sentença abaixo.

1 Se um indivíduo não pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele não está

inscrito nesse concurso.

2 O conjunto de indivíduos que não podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal e que

estão inscritos nesse concurso é vazio.

3 Se um indivíduo pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele está inscrito nesse

concurso.

4 conjunto de indivíduos que podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal é igual ao

conjunto de indivíduos que estão inscritos nesse concurso.

5 O conjunto de indivíduos que estão inscritos no concurso do Senado Federal ou que podem ter acesso às

provas desse concurso está contido neste último conjunto.

14- (CESPE-2007) Os símbolos que conectam duas proposições são denominados conectivos. Considere a

proposição definida simbolicamente por AB, que é F quando A e B são ambos V ou ambos F, caso contrário

é V. O conectivo é denominado “ou exclusivo” porque é V se, e somente se, A e B possuírem valorações

distintas. Com base nessas informações e no texto II, julgue os itens que se seguem.

1 Considerando que A e B sejam proposições, então a proposição AB possui os mesmos valores lógicos

que a proposição (AB) (AB).

15) (CGU-2008) Um renomado economista afirma que “A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta”.

Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:

a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.

b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.

c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.

d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.

e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.

Se um indivíduo está inscrito no concurso do Senado Federal, então ele

pode ter acesso às provas desse concurso.

75

16) (CESPE- SERPRO- ANALISTA 2008) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada verdadeira (V) ou falsa (F). As proposições são normalmente representadas pelas letras maiúsculas A, B, C etc. A partir de proposições dadas, podem-se construir novas proposições compostas, mediante o emprego de símbolos lógicos chamados conectivos: “e”, indicado pelo símbolo lógico ^, e “ou”, indicado pelo símbolo lógico v. Usa-se o modificador “não”, representado pelo símbolo lógico ¬, para produzir a negação de uma proposição; pode-se, também, construir novas proposições mediante o uso do condicional “se A então B”, representado por AB. O julgamento de uma proposição lógica composta depende do julgamento que se faz de suas proposições componentes. Considerando os possíveis julgamentos V ou F das proposições A e B, tem-se a seguinte tabela-verdade para algumas proposições compostas.

Considerando-se a proposição A, formada a partir das proposições B, C etc. mediante o emprego de conectivos (^ ou v), ou de modificador (¬) ou de condicional (), diz-se que A é uma tautologia quando A tem valor lógico V, independentemente dos valores lógicos de B, C etc. e diz-se que A é uma contradição quando A tem valor lógico F, independentemente dos valores lógicos de B, C etc. Uma proposição A é equivalente a uma proposição B quando A e B têm as tabelas-verdade iguais, isto é, A e B têm sempre o mesmo valor lógico. Com base nas informações acima, julgue os itens a seguir. 1- A proposição (AB) (¬A v B) é uma tautologia.

2- Em relação às proposições A: e B: 9 é par, a proposição composta AB é uma contradição. 3- A proposição AB é equivalente à proposição ¬B¬A.

GABARITO

1. Demonstração 2. EEECEC 3. D

4. C 5. D 6. A

7. E 8. A 9. C

10. B 11. A 12. EECCE

13. CCEEC 14. E 15. D

16. CEC

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS

Duas proposições, uma é negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os

resultados das tabelas-verdade são contrários.

AF

IRM

A

ÇÃ

O

A B A/\B AVB AB A B

V V V V V V

V F F V F F

F V F V V F

76

F F F F V V

NE

GA

ÇÃ

O

¬A ¬B ¬AV¬B ¬A/\¬B A/\¬B (A/\¬B)V(B/\¬A)

F F F F F F

F V V F V V

V F V F F V

V V V V F F

De acordo com as tabelas-verdade temos o seguinte:

Afirmação Negação

P/\Q

Ex: O réu é culpado e a testemunha mente

¬PV¬Q

Ex: O réu não é culpado ou a testemunha não mente

PVQ

Ex: Bárbara come ou dorme

¬P/\¬Q

Ex: Bárbara não come e não dorme

P Q

Ex: Se molhar então vai desmanchar

P/\¬Q

Ex: Vai molhar e não vai desmanchar

P↔Q

Ex: Eu te darei um carro, se e somente se eu ficar

rico

(P/\¬Q)V(Q/\¬P)

Ex; Eu fico rico e não te dou um carro ou eu não fico

rico e te dou um apartamento

NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA

AFIRMAÇÃO NEGAÇÃO

X>A X≤A

X<A X≥A

X=A X≠A

77

APLICAÇÃO: QUESTAO DE CONCURSO COMENTADA

1.(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE –ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes. ( ) A negação da proposição “2 + 5 = 9” é a proposição “2 + 5 = 7”.

Comentário

A negação da sentença “2+5 = 9” é” 2+5 ≠ 9”, sendo assim temos que o item está errado.


01. Dê a negação para cada uma das proposições abaixo.

a) O dia está quente e seco. b) Ela trabalhou muito ou teve sorte na vida. c) Maria não é ruiva ou Regina é loira d) Se o tempo está chuvoso então está em dezembro. e) Faz sol se, e somente se, a família foi à praia.

02. A negação de “O gato mia e o rato chia”é:

a) O gato não mia e o rato não chia. b) O gato mia ou o rato chia. c) O gato não mia ou o rato não chia. d) O gato e o rato não miam nem chiam. e) O gato chia e o rato mia.

03. A negação de “Hoje é segunda feira e amanhã não choverá” é:

a) Hoje não e segunda feira e amanhã choverá.

b) Hoje não é segunda feira ou amanhã choverá.

c) Hoje não é segunda feira, então amanhã choverá.

d) Hoje não é segunda feira nem amanhã choverá.

e) Hoje é segunda feira ou amanhã não choverá.

04. (ANPAD/02) A negação da proposição “A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo, mas

não jogou bem” é:

a) A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo e não jogou bem. b) A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo ou não jogou bem. c) A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo, mas jogou bem. d) A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo ou jogou bem. e) A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo e não jogou bem.

05. (M. AGR) A negação da afirmativa “Me caso ou compro sorvete” é:

c) Me caso e não compro sorvete d) Não me caso ou não compro sorvete

78

e) Não me caso e não compro sorvete f) Não me caso ou compro sorvete g) Se me casar, então não compro sorvete

06. (AFT/97) A negação da afirmação condicional “Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.” é:

a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) Se não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) Não está chovendo e eu não levo o guarda chuva. d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) Está chovendo e eu não levo o guarda chuva. 07. (ANEEL 2006) A negação da afirmação condicional “Se Ana viajar, Paulo vai viajar” é:

a) a)Ana não está viajando e Paulo vai viajar. b) Se Ana não viajar, Paulo vai viajar. c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar. d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar. e) Se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar.

08. (GEFAZ) A afirmação “Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris” é

logicamente equivalente a afirmação:

a) É verdade que “Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris”. b) Não é verdade que “Pedro está em Roma ou Paulo está não está em Paris”. c) Não e verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris” d) É verdade que “Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris”.

09. (ANPAD/02) Considere a seguinte sentença: “Não é verdade que, se os impostos baixarem, então

haverá mais oferta de emprego”. Pode-se concluir que:

a) Haverá mais oferta de emprego se os impostos baixarem. b) Se os impostos baixarem, não haverá mais oferta de emprego. c) Os impostos baixam e não haverá mais oferta de emprego. d) Os impostos baixam e haverá mais oferta de emprego. e) Se os impostos não baixarem, não haverá mais oferta de emprego.

10. (CESPE-PETROBRÁS) As sentenças S1, S2 e S3 a seguir são notícias acerca da Bacia de Campos-RJ,

Extraídas e adaptadas da revista comemorativa dos 50 anos da Petrobrás.

S1: Foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974.

S2: Foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade de 905 m, no campo de Marlim,

em 1995.

S3: Foi iniciada a produção em Moréia e foi iniciado o programa de desenvolvimento tecnológico em águas

profundas (Procap), em1986.

Quanto às informações das sentenças acima, julgue os itens subseqüentes.

( ) A negação da união de S1 e S2 pode ser expressa por: Se não foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974, então não foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade de 905 m, no Campo de Marlim, em 1995.

79

( ) A negação de S3 pode ser expressa por: Não foi iniciada a produção em Moréia ou não foi iniciado o programa de desenvolvimento tecnológico em águas profundas (procap), em 1986.

11. A negação de “x ≥ -2” é:

a) x ≥ 2 b) x ≤ -2 c) x < -2 d) x < 2 e) x ≤ 2

12. (GESTOR/02)

Se m = 2x + 3y, então m = 4p + 3r

Se m = 4p + 3r, então m = 2w – 3r

7 m = 2x + 3y ou m = 0

Se m = 0, então m + h = 1

Ora, m + h ≠ 1. Logo:

a) 2w - 3r = 0 b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r c) m ≠ 2x +3y d) 2x +3y ≠ 2w - 3r e) m= 2w – 3r 13. (OF. CHANC./02) se x ≥ y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤ T. Se S ≤ T, então Q ≤ R. Ora, Q >

R, logo:

a) S > T e Z ≤ P. b) S ≥ T e Z >P. c) X ≥ Y e Z ≤ P d) X > Y e Z ≤ P e) X < Y e S < T. 14. (AFC/04) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações:

I- X > Q e Z < Y;

II-X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z;

III-R ≠ Q, se e somente se Y = X.

Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que:

a) X> Y> Q> Z b) X> R> Y> Z c) Z< Y< X< R d) X> Q> Z> R e) Q< X< Z < Y

GABARITO

1-

a) O dia não está quente e não seco.

80

b) Ela não trabalhou muito e não teve sorte na vida.

c) Maria é ruiva e Regina não é loira.

d) O tempo está chuvoso e não está em dezembro.

e) Faz sol e a família não foi à praia ou a família foi à praia e não faz sol.

2- c

3- b

4- d

5- c

6- e

7- c

8- a

9- c

10 e c

12 –e

13- a

14- b

81

06– DIAGRAMAS LÓGICOS

No estudo das operações com conjuntos e das soluções de problemas envolvendo conjuntos, os

diagramas ajudam a visualizar e contribuem para a compreensão de vários assuntos em Lógica.

Um tipo especial de proposição são as proposições categóricas. Podemos identificá-Ias facilmente

porque são precedidas pelos quantificadores lógicos: “Todo ( )”, “Nenhum (¬ )”, “Algum ( )”. Na lógica

clássica (também chamada de lógica aristotélica) o estudo da dedução era desenvolvido usando-se as

proposições categóricas.

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE, (RETIRADA DE UMA PROVA):

Na linguagem falada ou escrita, o elemento primitivo é a sentença, ou proposição simples, formada basicamente por um sujeito e um predicado. Nessas considerações, estão incluídas apenas as proposições afirmativas ou negativas, excluindo, portanto, as proposições interrogativas, exclamativas etc. Só são consideradas proposições aquelas sentenças bem definidas, isto é, aquelas sobre as quais pode decidir serem verdadeiras (V) ou falsas (F). Toda proposição tem um valor lógico, ou uma valoração, V ou F, excluindo-se qualquer outro. As proposições serão designadas por letras maiúsculas A, B, C etc.

Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: “Ele é juiz do TRT da 5.ª Região”, ou “x + 3 = 9”. O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais.

Pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição por meio dos quantificadores “qualquer

que seja”, ou “para todo”, indicado por , e “existe”, indicado por . Por exemplo: a proposição (x)(x

R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a proposição (x)(x R)(x + 3 = 9) é valorada como V.

Exemplos:

"Todos os homens são mortais" se torna "Para todo x, se x é homem, então x é mortal.", o

que pode ser escrito simbolicamente como: ))()(( xMxHx

"Alguns homens são vegetarianos" se torna "Existe algum (ao menos um) x tal que x é

homem e x é vegetariano", o que pode ser escrito simbolicamente como: ))()(( xVxHx

.

As proposições categóricas podem ser universais ou particulares, cada uma destas subdividindo-se

em afirmativa ou negativa. Temos, portanto, quatro proposições categóricas possíveis.

As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas no quadro seguinte:

Proposições Afirmativas Proposições Negativas

Proposições Universais (A) Todo “A” é “B“ (E) Nenhum “A” é “B”

Todo A não é B

Proposições Particulares (I) Algum “A” é “B” (O) Algum “A” não é “B”

82

Entre parênteses estão as vogais que as representam quantificação

Podemos observar no quadro acima que cada uma das proposições categóricas na forma típica

começa por “Todo” ou “Nenhum” (chamados de quantificadores universais) ou por “Algum” (chamado de

quantificador particular ).

Sujeito e predicado de uma proposição categórica

Dada uma proposição categórica em sua forma típica chamamos:

- Sujeito: Elemento da sentença relacionado ao quantificador da proposição

- Predicado: Elemento que se segue ao verbo

Exemplo:

PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS SUJEITO PREDICADO

Todo estudante dedicado é bem sucedido Estudante Bem sucedido

Nenhum animal é imortal Animal Imortal

Algum atleta é artista Atleta Artista

Algum policial não é idôneo Policial Idôneo

Exemplos:

Todo pássaro voa.

Alguns computadores travam.

Nenhuma mulher é feia.

83

01- Particular afirmativo: Algum A é B

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos

públicos: - Ao menos um

- Pelo menos um

- Existe

- Alguém

O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B simultaneamente.

(A B) = {x / x A e x B}

Simbologicamente: x (A(x) ^B(x)) x (B(x) ^A(x))

02- Universal Negativo: Nenhum A é B

CONJUNTOS DISJUNTOS

O termo “nenhum” pode ser substituído pela a palavra “não existe” nas provas de concursos

públicos:

Simbologicamente: ¬x (A(x) ^B(x)) ¬x (B(x)^A(x))

INTERSEÇÃO (A B) = {u} Conjunto unitário

A e B são disjuntos se A B = Ø.

Conjunto vazio

Relação de qualidade

Algum A é B

Relação de quantidade


Nenhum A é B


84

A e B

B - A

~A e ~B

U

A B

03- Particular negativo: Algum A não é B

Alguns termos que podem substituir a palavra “algum” nas provas de concursos públicos:

- Ao menos um

- Pelo menos um

- Existe

- Alguém

Simbologicamente: X (A(X)^¬B(X))

04- Universal Afirmativor: Todo A é B

Alguns termos que podem substituir a palavra “todo” nas provas de concursos públicos:

- Para todo;

- Qualquer que seja.

Simbologicamente:

CB

A = A - B = {x / x A e x B}

COMPLEMENTAR

A U B = B A ∩ B = A

INCLUSÃO DE CONJUNTOS (A C B)


Algum A não é B



Todo A é B


85

OBS.: ))()(())()(( xAxBxxBxAx NÃO POSSUI A PROPRIEDADE COMUTATIVA.

LINGUAGEM (SIMBOLOGIA) DAS PROPROSIÇÕES CATEGÓRICAS

Nesses últimos concursos as bancas têm cobrado dos candidatos um conhecimento mais amplo referente à

simbologia e a escrita das proposições categóricas. Sendo assim torna-se importante verificarmos algumas

questões de concursos.


1) (INSS – 2008 – CESPE)

Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser

julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma x P(x), lida como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou como F. A partir das definições acima, julgue os itens a seguir. 1( ) Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é funcionário do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade.”

(i) (se Q(x) então P(x))

(ii) (P(x) ou Q(x))

(iii) (se P(x) então Q(x))

2( ) Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade “x é funcionário do

INSS”, então é falsa a sentença P(x).Comentário: Item 1 – A proposição: “Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade” é um quantificador

Universal Afirmativo, em que temos a seguinte simbologia: ((P(x) Q(x)) ou pode ser escrita (se

P(x) então Q(x)). Sendo assim analisaremos os seguintes itens:

(i) (se Q(x) então P(x)) : Esta forma não simboliza corretamente a

proposição pois o quantificador universal afirmativo não permite a propriedade comutativa.

(ii) (P(x) ou Q(x)): Esta forma não simboliza corretamente a proposição, pois

o quantificador universal afirmativo não se trata de uma união de conjuntos, mas sim de uma inclusão de conjuntos.

(iii) (se P(x) então Q(x)): Esta forma está correto.

Logo o item 1 está errado pois não temos duas formas que representam o proposição encontrada no enunciado.

Item 2 - Construindo um diagrama para representar sentença P(x), temos:

U (Conjunto de todos os funcionários públicos)

P (conjunto dos funcionários do INSS)

x

x

86

O elemento x pode pertencer ao conjunto P, o que pertence também ao conjunto U, mas temos a possibilidade do elemento x pertencer somente ao conjunto U, o que torna a sentença falsa, uma vez que ser funcionário público não garante ser funcionário do INSS. Logo o item 2 está correto.

Momento de Treinamento 1) ( BB – 2008 – CESPE) Julgue os itens :

01 Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja a propriedade “x é mulher” e que D(x) seja a propriedade “x é desempregada”. Nesse caso, a proposição “Nenhuma mulher é desempregada”

fica corretamente simbolizada por ¬ (M(x)^D(x)). 02 A proposição “Não existem mulheres que ganham menos que os homens” pode ser corretamente

simbolizada na forma x (M(x) G(x)).

03- ( TRT 5ª RG 2008) Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição ( )(x R)( y)(y R)(x + y = x) é valorada como V.

GABARITO 1 – C 2- E 3- C

87

NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGORICAS

Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo predicado ou não poderão

ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou as duas coisas.

Dizemos que estarão sempre em oposição.

Todo A é B Nenhum A é B

Algum A é B Algum A não

Nega qualidade, mas não quantidade.

CONTRÁRIAS

Nega quantidade, mas não qualidade.

SUBCONTRÁRIAS

88

Todo A é B Algum A não é B

Algum A é B ↔ Nenhum A é B

Nega quantidade e qualidade


01-(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE -ANALISTA Considere a seguinte proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.” Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição. 1 ( ) A proposição “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento” é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. 2 ( ) “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima.

Comentário: Item 1 – A negação da proposição: “Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento.” será pela negação contraditória: “Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento”, uma vez que nega quantidade e qualidade. Logo o item está correto. Item 2 – Tomando como base o item anterior podemos concluir que “Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento” não é a negação da proposição proposta pela questão. Logo item está correto.

02-(UnB/CESPE –2008 –SEBRAE -ANALISTA Com relação à lógica formal, julgue o item subseqüente. ( ) A negação da proposição “Ninguém aqui é brasiliense” é a proposição “Todos aqui são brasilienses”

Comentário A proposição: “Ninguém aqui é brasiliense” trata-se de quantificador universal negativo. Se quisermos a negação torna-se viável negarmos pela contraditória, uma vez que termos a certeza que será por quantidade e qualidade. Logo a negação será: “Alguém aqui é brasiliense”. O item está errado.

MOMENTO DE TREINAMENTO 01. Dê a negação para cada uma das proposições abaixo:

a) Todos os corvos são negros. b) Nenhum triangulo é retângulo. c) Alguns sapos são bonitos. d) Algumas vidas não são importantes.

CONTRADITÓRIAS

89

02. (FCC) Considere que S seja a sentença: “todo político é filiado a algum partido”. A sentença equivalente

á negação da sentença S acima é:

a) Nenhum político é filiado a algum partido. b) Nenhum político não é filiado a qualquer partido. c) Pelo menos um político é filiado a algum partido. d) Pelo menos um político não é filiado a qualquer partido.

03. (TRT) A correta negação da proposição “Todos os cargos deste concurso são de analista judiciário” é:

a) Alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. b) Existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. c) Existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. d) Nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. e) Os cargos deste concurso são ou de analista, ou de judiciário.

04. (ANPAD/02) A negação da proposição “Todos os homens são bons motoristas”é:

a) Todas as mulheres são boas motoristas. b) Algumas mulheres são boas motoristas. c) Nenhum homem é bom motorista. d) Todos os homens são maus motoristas. e) Ao menos um homem é mau motorista.

05. (CVM/00) Dizer que a afirmação “Todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico,

equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) Pelo menos um economista não é médico. b) Nenhum economista é médico. c) Nenhum médico é economista. d) Pelo menos um médico não é economista. e) Todos os não médicos são não economistas.

06. (M. AGR) A negação da afirmativa “Todo tricolor é fanático” é:

a) Existem tricolores não fanáticos b) Nenhum tricolor é fanático c) Nem todo fanático é tricolor d) Nenhum fanático é tricolor e) Existe pelo menos um fanático que é tricolor

07. (Medicina – ABC) A negação de “Todos os gatos são pardos” é:

a) Nenhum gato é pardo b) Existe gato pardo c) Existe gato não pardo d) Existe um e só um gato pardo e) Nenhum gato é não pardo.

08. (ESAF) Fábio, após visitar uma aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela

aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Fábio seja

verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição:

a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta.

90

b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta.

09. (ANPAD/02) negação da sentença “Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola” é:

a) Todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola. b) Todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola. c) Algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola. d) Algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola. e) Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola.

10. (ESAF) Se não é verdade que “alguma professora universitária não dá aulas interessantes”, portanto é

verdade que:

a) Todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. b) Nenhuma professora universitária dá aulas interessantes. c) Nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária. d) Nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. e) Todas as aulas não interessantes são dadas por professoras universitárias.

11. (OF.CHANC./02) Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de Inglês nem a

professora de Francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português

foi à reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo

menos um problema não foi resolvido. Logo,

a)A professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula. b) A professora de matemática e a professora de português não foram à reunião. c) A professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião. d) A professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião. e) A professora de inglês e a de francês não deram aula. GABARITO :

1)

a) Pelo menos um corvo não é negro.

b) Algum triângulo é retângulo

c) Nenhum sapo é bonito

d) Todas as vidas são importantes.

2) D

3) B

4) E

5) A

6) A

7) C

8) C

9) C

10) A

11) B

91

07– INFERÊNCIAS

INFERÊNCIA LÓGICA

É uma operação mental pela qual extraímos uma nova proposição denominada conclusão, de proposições já conhecidas, denominadas premissas P1: Proposição Premissa (Hipótese) P2: Proposição Premissa (Hipótese) P3: Proposição Premissa (Hipótese) P4: Proposição Premissa (Hipótese) P5: Proposição Premissa (Hipótese) Pn: Proposição Premissa (Hipótese) C: Proposição Conclusão (Tese) Regras de inferência 1. Modus Ponens

A, AB B 2. Generalização Universal

A Teoremas Nos teoremas abaixo:

- As premissas estão sempre à esquerda do sinal (Lê-se portanto); - Uma vírgula separa duas premissas - Rec. Significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior.

T1: A A

T2: ~(~A) A

REC: A ~(~A)

T3: A, B A/\B

T4: A AVB

T5: A/\B A

T6: AVB, ~A B

T7: AB, BC AC

T8: A, (AB) B

T9: (AVB), BC (AVC)

T10: AB ~B~A

REC: ~B~A AB

T11: AB, (~AB) B

T12: (A/\B)C A(BC)

REC: A(BC) (A/\B)C

92

T13: (A/\~B) (C/\~C) AB (Princípio a não-contradiçao)

T14: A(BVC, ~B AC)

Nestes últimos concursos públicos temos observado que as bancas têm cobrado do candidato uma interpretação do que é uma inferência lógica, onde questões bem elaboradas fazem parte do processo seletivo. Sendo assim torna-se necessário entendermos que uma inferência lógica é constituída de premissas verdadeiras para se deduzir uma conclusão também verdadeira, uma vez que a lógica afirma: Se as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante afirmação da verdade da conclusão, então o raciocínio é correto.


(SEBRAE – 2008 – CESPE) Considere as seguintes proposições: I Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança. II Joaquina não tem garantido o direito de herança. III Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte. Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que 1 ( ) Joaquina não é cidadã brasileira. 2 ( ) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros. 3 ( ) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte.

Comentário: Segundo as premissas podemos construir o diagrama acima, vamos lá... Pela premissa I temos a inclusão de dois conjuntos: Todo cidadão brasileiro têm garantido o direito de herança. Cidadão brasileiro está contido no conjunto garantia de direito de herança. Pela premissa II temos que Joaquina não pode pertencer ao conjunto “Garantia de direito de herança”, podendo assim ficar nas duas posições indicadas no diagrama. Pela premissa III temos que o conjunto: Cidadãos de muita sorte pode possui ou não Joaquina. Julgando os itens : 1( C ) certo o item, pois Joaquina não pertence ao conjunto : Cidadão brasileiro. 2( E ) errado o item, pois comutou o quantificador universal afirmativo,onde o mesmo não aceita tal propriedade. 3( E ) Temos um conectivo condicional , em que podemos valorar as proposições dadas: Se Joaquina não é cidadã brasileira, então não é de muita sorte. V (V / F) = V / F Sendo assim, temos que o item está errado, pois não podemos garantir a verdade da proposição dada.

Cidadãos de muita sorte

Cidadão brasileiro

Joaquina

Joaquina

Garantia de direito de herança

93

02) (ESAF) Nenhum matemático é aluno. Algum administrador é aluno, logo:

a) Algum administrador é matemático

b) Todo administrador é matemático

c) Nenhum administrador é matemático

d) Algum administrador não é matemático.

e) Todo administrador não é matemático.

Comentário: Da mesma forma que analisamos as premissas formadas com os conectivos lógicos (utilizando as tabelas-verdade) para que possamos encontrar uma conclusão verdadeira, iremos analisar as premissas formadas com os quantificadores lógicos. Cada premissa será representada pelo seu diagrama lógico, sendo cada um deles verdadeiro para que tenhamos uma conclusão verdadeira. O que analisar? Vamos construir os diagramas para cada premissa: P1: Nenhum matemático é aluno. (Não há nada em comum)

P2: Algum Administrador é aluno ( Pelo menos um {X}. Conjunto unitário )

Relacionando as duas premissas (diagramas lógicos), temos:

A conclusão será fruto da relação das premissas acima, sendo que deverá ser uma nova proposição conseqüência de uma certeza. Não podemos concluir o que não temos certeza, e é desta forma que podemos afirmar que a resposta da questão será: Algum Administrador não é matemático. Letra “d”.

94

04) ( CESPE- PF – Escrivão 2004) para se preparar para o concurso, utilizou um site de busca da internet e

pesquisou em uma livraria virtual, especializada ns áreas de direito, administração e economia, que vende

livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte

dos produtos nacionais. Além disso, não há livro nacional disponível de capa dura.

Julgue os itens com base nas informações acima. É possível que Pedro em sua pesquisa tenha:

a) Encontrado um livro de administração de capa dura.

b) Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível.

c) Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura.

d) Comprado um livro importado de direito de capa flexível.

Comentário

P1: Alguns livros de Direito são produtos nacionais:

P2: Todos os livros de Administração são produtos nacionais.

P3: Não há livro nacional disponível de capa dura. (não há nada em comum)

Relacionando as premissas acima temos:

Julgando os itens, temos:

95

a.( E ) Não é possível encontrar um livro de administração de capa dura, pois pelos diagramas acima

percebemos que não há elemento comum.

b. (C) Como não limitamos o conjunto dos livros de economia quanto capa dura ou não, torna-se possível ser

flexível. Não tivemos premissas que explicitaram sobre tal pensamento.

c. (E) Um livro nacional de Direito se encontra na intersecção entre Produtos Nacionais ( mostrado no

diagrama acima), a região hachurada, logo não há elementos comuns entre estes elementos e capa dura.

d. (C) Podemos ter elementos (livros) importados de direito de capa flexível, uma vez que só alguns de

direito podem ter capa dura e também só alguns são produtos nacionais.

05) (IPEA -2008 CESPE) julgue o item seguinte, a respeito de lógica.

Considere que as proposições “Alguns flamenguistas são vascaínos” e “Nenhum botafoguense é vascaíno” sejam valoradas como V. Nesse caso, também será valorada como V a seguinte proposição: “Algum flamenguista não é botafoguense”.

Comentário

O item está correto .


01) (CESPE 2006) Considere que os diagramas abaixo representam conjuntos nomeados pelos seus tipos de elementos. Um elemento específico é marcado com um ponto.

96

O diagrama da esquerda representa a inclusão descrita pela sentença “Todos os seres humanos são bípedes”. O diagrama da direita representa a inclusão descrita pela sentença “Miosótis é bípede”. Nessas condições, é correto concluir que “Miosótis é um ser humano”.

02) Todo cristão é monoteísta. Algum cristão é luterano logo:

a) Todo monoteísta é luterano.

b) Algum luterano é monoteísta

c) Algum luterano não é cristão

d) Nenhum monoteísta é cristão

e) Nenhum luterano é monoteísta.

03) (ESAF) Todo professor é graduado. Alguns professores são pós-graduados, logo:

a) Alguns pós-graduados são graduados

b) Alguns pós-graduados não são graduados

c) Todos pós-graduados são graduados

d) Todos pós-graduados não são graduados

e) Nenhum pós-graduado é graduado

04) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo:

(A) se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.

(B) Rodrigo é culpado.

(C) se Rodrigo não mentiu. então ele não é culpado.

(D) Rodrigo mentiu. (E) se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.

05) (TCU) Se é verdade que “alguns escritores são poetas” e que “nenhum músico é poeta”, então, também

é necessariamente verdade que:

a) Nenhum músico é escritor

b) Algum escritor é músico

c) Algum músico é escritor

d) Algum escritor não é músico

e) Nenhum escritor é músico

06) (TCU) Em uma pequena comunidade sabe-se que: “nenhum filosofo é rico” e que “alguns professores

são ricos”. Assim pode-se afirmar, corretamente, que nesta comunidade:

a) Alguns filósofos são professores

b) Alguns professores são filósofos

c) Nenhum filosofo é professor

d) Alguns professores não são filósofos

e) Nenhum professor é filosofo

97

07) Considere verdadeiras as seguintes proposições:

I Quem sabe colecionar selos não é ocioso

II Macacos não sabem dirigir automóvel

III Quem não sabe dirigir automóvel é ocioso

Dentre as sentenças a seguir, diga qual pode ser conclusão das proposições:

a) Quem não sabe dirigir automóvel é macaco.

b) Quem sabe dirigir automóvel não é ocioso.

c) Quem não sabe colecionar selos é ocioso.

d) Macacos não sabem colecionar selos.

e) As pessoas ociosas não sabem dirigir automóveis.

08) Em uma prova, nem todos os alunos obtiveram aprovação. Sabemos que todos os alunos aprovados

fizeram a lista de exercícios proposta pelo professor do curso. Podemos concluir, com absoluta certeza, que:

a) Existem alunos que não fizeram a lista de exercícios;

b) Se algum aluno não fez a lista de exercícios, ele foi reprovado;

c) Existem alunos que não fizeram a lista de exercícios e foram aprovados;

d) Todos os alunos que fizeram a lista de exercícios foram aprovados;

e) Todos os alunos fizeram a lista de exercícios.

09) Considere as seguintes sentenças:

I Nenhum esportista é alcoólatra

II Osmar é pescador

III Todos os pescadores são Alcoólatras

Admitindo que as três sentenças são verdadeiras, verifique qual das sentenças a seguir é certamente

verdadeira.

a) Todos os alcoólatras são pescadores.

b) Algum esportista é pescador.

c) Alguns pescadores são esportistas

d) Osmar não é esportista

10) Todos os artistas são belos.

Alguns artistas são indigentes.

a) Alguns indigentes são belos

b) Alguns indigentes não são belos

c) Todos os indigentes são belos

d) Todos os indigentes não são belos

e) Nenhum indigente é belo.

11) (SERPRO) Todos os alunos de Matemática são, também, alunos de Inglês, mas nenhum aluno de Inglês

é aluno de História. Todos os alunos de Português são também alunos de Informática, e alguns alunos de

Informática são também alunos de História. Como nenhum aluno de Informática é aluno de Inglês, e como

nenhum aluno de Português é aluno de História, então:

a) Pelo menos um aluno de Português é aluno de Inglês

b) Pelo menos um aluno de Matemática é aluno de História.

c) Nenhum aluno de Português é aluno de Matemática.

d) Todos os alunos de Informática são alunos de matemática.

e) Todos os alunos de Informática são alunos de Português.

12) Todas as plantas verdes têm clorofila. Algumas plantas que tem clorofila são comestíveis, logo:

a) Algumas plantas verdes são comestíveis

b) Algumas plantas verdes não são comestíveis

98

c) Algumas plantas comestíveis têm clorofila.

d) Todas as plantas que têm clorofila são comestíveis.

e) Todas as plantas verdes são comestíveis.

13) (SERPRO) Todas as amigas de Aninha que foram à sua festa de aniversário estiveram, antes na festa

de aniversário de Betinha. Como nem todas amigas de Aninha estiveram na festa de aniversário de Betinha,

conclui-se que, das amigas de Aninha:

a) Todas foram à festa de Aninha e algumas não foram à festa de Betinha.

b) Pelo menos uma não foi à festa de Aninha.

c) Todas foram à festa de Aninha e nenhuma foi a Festa de Betinha.

d) Algumas foram à festa de Aninha mas não foram à festa de Betinha

e) Algumas foram à festa de Aninha e nenhuma foi à festa de Betinha.

14) Todos os marinheiros são republicanos. Assim sendo: (A) o conjunto dos marinheiros contém o conjunto dos republicanos. (B) o conjunto dos republicanos contém o conjunto dos marinheiros. (C) todos os republicanos são marinheiros. (D) algum marinheiro não é republicano. (E) nenhum marinheiro é republicano.

15) (AFC) Considere as seguintes premissas (onde A, B, C e D são conjuntos vazios):

Premissa 1: “A está contido em B e em C, ou A está contido em D”

Premissa 2: “A não esta contido em D”.

Pode-se, então concluir corretamente que:

a) B esta contido em C

b) A está contido em C

c) B está contido em C ou em D

d) A não está contido nem em D nem em B

e) A não está contido nem em B e nem em C.

16) (TTN) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro

que:

a) Algum A não é G

b) Algum A é G

c) Nenhum A é G

d) Algum G é A

e) Nenhum G é A

17) (ESAF) Nenhum M é K. Alguns R são K, logo:

a) Nenhum R é M

b) Todo R é M

c) Algum R não é M

d) Algum R é M

e) Todo R não é M.

18) Considere as premissas:

P1: Os bebês são ilógicos

P2: Pessoas ilógicas são desprezadas

P3: Quem sabe amestrar um crocodilo não é desprezado.

99

Assinale a única alternativa que é uma conseqüência lógica das três premissas.

a) Bebês não sabem amestrar crocodilos.

b) Pessoas desprezadas são ilógicas

c) Pessoas desprezadas não sabem amestrar crocodilos

d) Pessoas ilógicas não sabem amestrar crocodilos

e) Bebes são desprezados.

19 - Valter tem inveja de quem é mais rico do que ele. Geraldo não é mais rico do que quem o inveja. Logo: (A) quem não é mais rico do que Valter é mais pobre do que Valter. (B) Geraldo é mais rico do que Valter. (C) Valter não tem inveja de quem não é mais rico do que ele. (D) Valter inveja só quem é mais rico do que ele. (E) Geraldo não é mais rico do que Valter.

20) (ANPAD) Considere as seguintes proposições:

I Todo artista é simpático.

II Todo político não é simpático. Pode-se afirmar que:

a) Alguns artistas são políticos.

b) Algumas pessoas simpáticas são políticos.

c) Nenhum artista é simpático

d) Nenhum artista é político

e) Nenhuma pessoa simpática é artista.

GABARITO

1. E 2. B 3. A 4. A 5. D 6. D 7. D

8. B 9. D 10. A 11. C 12. C 13. B 14. B

15. B 16. A 17. C 18. B 19. E 20. D

100

08– ARGUMENTAÇÃO LÓGICA

A Lógica formal também chamada de lógica simbólica preocupa-se, basicamente, com a estrutura do

raciocínio. Os conceitos são rigorosamente definidos, e as sentenças são transformadas em notações

simbólicas precisas, compactas e não ambíguas.

Argumento é a relação que associa um conjunto de proposições P1,P2,P3,..Pn , chamadas

premissas( hipóteses) , a uma proposição C , chamado de conclusão(tese) do argumento.

ESTRUTURA DO ARGUMENTO:

SILOGISMO:

Quando temos um argumento formado por três proposições, sendo duas premissas e um

conclusão trata-se então de um SILOGISMO.

P1: premissa

P2: premissa

C: conclusão

Exemplos :

I- P1 :Todos os professores são dedicados (V)

P2: Todos os dedicados são bem sucedidos (V)

Todos os professores são bem sucedidos (V)

p 1 ^ p 2 ^ p 3 ^ p 4 ^ p 5 ... p n C

(Premissas/Hipóteses) (Conclusão/Tese)

101

II – P1: Todos os professores são dedicados (V)

P2: Josimar é dedicado ( V)

C: Josimar é professor ( V / F)

Representação por diagrama:

SILOGISMO CATEGÓRICO:

Um silogismo é denominado categórico quando é composto por três proposições

categóricas, e as três proposições categóricas devem conter ao todo, três termos e cada um dos

termos devem estar exatamente em duas das três proposições que compõem o silogismo.

Ex.: No silogismo

P1: Todo aluno dedicado é aprovado

P2: Josilton é um aluno dedicado

C : Josilton será aprovado

EXEMPLOS DE ARGUMENTOS:

P1: De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta.

Dedicados

Professores

Dedicados

Josimar

Josimar

102

P2: O réu roubou um carro.

C: Portanto, o réu não roubou uma motocicleta.

P1: Se juízes fossem deuses, então juizes não cometeriam erros.

P2: Juízes cometem erros.

C: Portanto, juízes não são deuses.

P1: Todo cachorro é verde.

P2: Tudo que é verde é vegetal.

C: Logo, todo cachorro é vegetal.

A Lógica não se preocupa com o valor lógico das premissas e da conclusão, se preocupa

apenas com a forma e a estrutura que as premissas se relacionam com a conclusão, ou seja, se o

argumento é válido ou inválido. Isto quer dizer que para ser argumento é necessário possui

FORMA.

VALIDADE DE UM ARGUMENTO

Um argumento será Válido, legítimo ou bem construído quando a conclusão é uma

conseqüência obrigatória do seu conjunto de premissas.

Sendo as premissas de um argumento verdadeiras, isto implica necessariamente que a

conclusão será verdadeira.

A validade de um argumento depende tão somente da relação existente entre as premissas

e a conclusão.

p 1 (V)^ p 2 (V) ^ p 3 ( V) ^ p 4 (V) ^ p 5 (V) ... p n (V) C( V)

103

Percebemos que existe um conectivo de conjunção que opera as premissas, logo para que

a conclusão seja verdadeira torna-se necessário as premissas serem verdadeiras, até mesmo

porque se uma das premissas for falsa tornará a conclusão falsa. Logo temos que a verdade das

premissas garante a verdade da conclusão o argumento.

APLICAÇÃO

ANALISANDO ALGUNS ARGUMENTOS ABAIXO :

I - Se estudo, obtenho boas notas. Se me alimento bem, me sinto disposto. Ontem

estudei e não me senti disposto, logo obterei boas notas mas não me alimentei bem.

Temos:

P1: estudo obtenho boas notas.

P2: me alimento bem me sinto disposto.

P3: Ontem estudei ^ não me senti disposto

logo C: Obterei boas notas ^ não me alimentei bem.

Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras, temos:

P1: estudo (V) obtenho boas notas. (V) = (V)

P2: me alimento bem (F) me sinto disposto. (F) = (V)

P3: Ontem estudei (V) ^ não me senti disposto (V) = (V)

Após a valoração das premissas podemos verificar se a verdade das premissas

realmente garante a verdade da conclusão? Vejamos:

logo C: Obterei boas notas ( VERDADE) ^ não me alimentei bem. (VERDADE)

VERDADE

Sendo assim temos que o argumento é válido.

104

II- Se ontem choveu e estamos em junho, então hoje fará frio. Ontem choveu e hoje

fez frio. Logo estamos em junho.

Temos:

P1: (ontem choveu ^ estamos em junho) hoje fará frio.

P2: ontem choveu ^ fez frio

logo C: estamos em junho


P1: (ontem choveu(V) ^ estamos em junho(V/F) hoje fará frio. (V) = (V)

P2: ontem choveu(V) ^ fez frio(V) = (V)

logo C: estamos em junho(V/F)



logo C: estamos em junho(V/F)

Sendo assim temos que o argumento é inválido.

III- Choveu ontem ou segunda-feira é feriado. Como não choveu ontem, logo

segunda-feira não será feriado.

Temos:

P1: (choveu ontem V segunda-feira é feriado).

P2: não choveu ontem

logo C: segunda-feira não é feriado


105

P1: choveu ontem (F) v segunda-feira é feriado(V). = (V)

P2: não choveu ontem = (V)

logo C: segunda-feira não é feriado (F)



logo C: segunda-feira não é feriado=F

Sendo assim temos que o argumento é inválido.

IV - (IPEA -2008 CESPE) Julgue o item seguinte, a respeito de lógica.

Considere o argumento formado pelas proposições A: “Todo número inteiro é par”; B: “Nenhum número par é primo”; C: “Nenhum número inteiro é primo”, em que A e B são as premissas e C é a conclusão. Nesse caso, é correto afirmar que o argumento é um argumento válido.

COMENTÃRIO:

106

Um desafio para você... Responda: ( CESPE 2008- DELEGADO POLICIA CIVIL/TO) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa, mas não ambos. Uma dedução lógica é uma seqüência de proposições, e é considerada correta quando, partindo-se de proposições verdadeiras, denominadas premissas, obtêm-se proposições sempre verdadeiras, sendo a última delas denominada conclusão. Considerando essas informações, julgue os itens a seguir, a respeito de proposições. 01- Considere verdadeiras as duas premissas abaixo: O raciocínio de Pedro está correto, ou o julgamento de Paulo foi injusto. O raciocínio de Pedro não está correto. Portanto, se a conclusão for a proposição, O julgamento de Paulo foi injusto, tem-se uma dedução lógica correta. 02- Considere a seguinte seqüência de proposições: (1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foi preso. (2) O criminoso não foi preso. (3) Portanto, o crime foi perfeito. Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a seqüência é uma dedução lógica correta.

03- (CESPE – MCT 2008) Considere as seguintes proposições.

A: Nenhum funcionário do MCT é celetista. B: Todo funcionário celetista foi aprovado em concurso público. C: Nenhum funcionário do MCT foi aprovado em concurso público. Nesse caso, se A e B são as premissas de um argumento e C é a conclusão, então esse argumento é válido.

Resposta: 1 E 2 C 3 E


INFERÊNCIAS E ARGUMENTAÇÕES LÓGICAS

(1) Todos os bons estudantes são pessoas tenazes. Assim sendo:

A) Alguma pessoa tenaz não é um bom estudante.

B) O conjunto dos bons estudantes contém o conjunto das pessoas tenazes.

C) Toda pessoa tenaz é um bom estudante.

D) Nenhuma pessoa tenaz é um bom estudante.

E)O conjunto das pessoas tenazes contém o conjunto dos bons estudantes.

(2) Todo baiano gosta de axé music. Sendo assim:

A) Todo aquele que gosta de axé music é baiano.

B) Todo aquele que não é baiano não gosta de axé music .

C) Todo aquele que não gosta de axé music não é baiano.

107

D) Algum baiano não gosta de axé music.

E) Alguém que não goste de axé music é baiano.

(3) Todo atleta é bondoso. Nenhum celta é bondoso. Daí pode-se concluir que:

A) Algum atleta é celta;

B) Nenhum atleta é celta;

C) Nenhum atleta é bondoso;

D) Alguém que seja bondoso é celta;

E) Ninguém que seja bondoso é celta.

(4) Se chove então faz frio. Assim sendo:

A) Chover é condição necessária para fazer frio.

B) Fazer frio é condição suficiente para chover.

C) Chover é condição necessária e suficiente para fazer frio.

D) Chover é condição suficiente para fazer frio.

E) Fazer frio é condição necessária e suficiente para chover.

(5) (Gestor-2000) A partir das seguintes premissas:

Premissa 1: "X é A e B, ou X é C"

Premissa 2: "Se Y não é C, então X não é C"

Premiss8:3: "Y não é C"

Conclui-se corretamente que X é:

A) A e B

B) Não A ou C

C) Não A e B

D) A e não B

E) Não A e não B

108

(6) (AFC - 2004) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações:

"X> Q e Z < Y",

"X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z";

"R> Q, se e somente se Y = X".

Sabendo que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que:

A) X>Y>Q>Z

B) X>R>Y>Z

C) Z<Y<X<R

D) X>Q>Z>R

E) Q<X<Z<Y

CESPE

P v Q

¬P

P v Q

¬Q

P→Q

P

P→Q

¬Q

Q P Q ¬P

I II III IV

As letras P, Q e R representam proposições, e os esquemas acima representam quatro formas de

dedução, nas quais, a partir das duas premissas (proposições acima da linha tracejada), deduz-se

a conclusão (proposição abaixo da linha tracejada).Os símbolos ¬ e → são operadores lógicos que

significam,respectivamente,não e então, e a definição de v é dada na seguinte tabela-verdade.

P Q P v Q

V V V

V F V

109

F V V

F F F

Considerando as informações acima e as do texto, julgue os itens que se seguem, quanto à

forma de dedução.

(7) Considere a seguinte argumentação.

Se juízes fossem deuses, então juízes não cometeriam erros. Juízes cometem erros. Portanto,

juízes não são deuses.

Essa é uma dedução da forma IV.

(8) Considere a seguinte dedução.

De acordo com a acusação, o réu roubou um carro ou roubou uma motocicleta. O réu roubou um

carro.

Portanto, o réu não roubou uma motocicleta.

Essa é uma dedução da forma 11.

(9) Dadas as premissas P → Q; ¬Q; R → P,é possível fazer uma dedução de ¬R usando-se a

forma de dedução IV.

(10) Na forma de dedução I, tem-se que a conclusão será verdadeira sempre que as duas

premissas forem verdadeiras.

(CESPE)

A seguinte forma de argumentação é considerada válida. Para cada x, se P(x) é verdade, então

Q(x) é verdade e, para x = c, se P(c) é verdade, então se conclui que Q(c) é verdade. Com base

nessas informações, julgue os itens a seguir.

110

(11) Considere o argumento seguinte.

Toda prestação de contas submetida ao TCU que expresse, de forma clara e objetiva, a exatidão

dos demonstrativos contábeis, a legalidade, a legitimidade e a economicidade dos atos de gestão

do responsável é julgada regular. A prestação de contas da Presidência da República expressou,

de forma clara e objetiva, a exatidão dos demonstrativos contábeis, a legalidade, a legitimidade e a

economicidade dos atos de gestão do responsável. Conclui-se que a prestação de contas da

Presidência da República foi julgada regular.

Nesse caso, o argumento não é válido.

(12) Considere o seguinte argumento.

Cada prestação de contas submetida ao TCU que apresentar ato antieconômico é considerada

irregular. A prestação de contas da prefeitura de uma cidade foi considerada irregular. Concluí-se

que a prestação de contas da prefeitura dessa cidade apresentou ato

antieconômico.

Nessa situação, esse argumento é válido.

(CESPE)

A forma de uma argumentação lógica consiste de uma seqüência finita de premissas seguidas por

uma conclusão. Há formas de argumentação lógica consideradas válidas e há formas

consideradas inválidas.

A respeito dessa classificação, julgue os itens seguintes.

(13) A seguinte argumentação é inválida.

Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.

Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.

Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.

111

(14) A seguinte argumentação é válida.

Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos. .

Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.

Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.

(CESPE)

A. lógica proposicional trata das proposições que podem ser interpretadas como verdadeiras (V) ou

falsas

(F). Para as proposições (ou fórmulas) P e Q, duas operações básicas, "¬” e “→", podem ser

definidas de acordo com as tabelas de interpretação abaixo.

P Q P → Q

V V V

V F F

F V V

F F V

Com base nessas operações, novas proposições podem ser construídas. Uma argumentação é

uma seqüência finita de proposições. Uma argumentação é válida sempre que a veracidade (V) de

suas (n - 1) premissas acarreta a veracidade de sua n-ésima – e última - proposição.

Com relação a esses conceitos, julgue os itens a seguir.

(15) A seqüência de proposições.

Se existem tantos números racionais quanto números irracionais, então o conjunto .dos números irracionais é infinito.

O conjunto dos números irracionais é infinito.

P ¬P

V F

F V

112

Existem tantos números racionais quanto números irracionais. é uma argumentação da forma

P→Q Q P

(16) A argumentação

Se lógica é fácil, então Sócrates foi mico de circo. Lógica não é fácil. Sócrates não foi mico de circo.

é válida e tem a forma

(17) A tabela de interpretação de (P → Q)→¬P é igual à tabela de interpretação de P → Q.

GABARITO

01 E 15 C

02 C 16 E

03 B

04 D

05 A

06 B

07 C

08 E

09 C

10 C

11 E

12 E

13 E

14 E

113

09– ANÁLISE COMBINATÓRIA

Nesta parte, serão apresentados métodos para resolução de questões de concursos públicos

relacionados a problemas de Análise Combinatória, propõe-se desenvolver, gradualmente, o raciocínio

lógico e criativo, promovendo maior independência na busca de soluções de problemas aprendendo a

interpretar tais questões por meio da prática.

Quando um número de agrupamentos é pequeno, é fácil realizar sua contagem; porém, quando

aumenta o número de elementos dados e o número de elementos em cada agrupamento, o processo

intuitivo de formá-los, para depois realizar sua contagem, torna-se difícil e, muitas vezes, impreciso; por

isso, partindo do concreto, tentar-se-á chegar à compreensão de como determinar exatamente quantos

são os agrupamentos que se quer realizar e quais são eles.

Frente a essa realidade nos concursos públicos e a necessidade de agilidade para resolver as

questões, a estratégia será a resolução de problemas de Análise Combinatória, com poucos cálculos,

apenas aplicando dois princípios básicos: O princípio Aditivo e o princípio Multiplicativo.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Os princípios de contagem, na matemática, incluem:

I Princípio da Soma: se um evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, E2, de N2 maneiras distintas,

..., EK, de Nk maneiras distintas, e se quaisquer dois eventos não podem ocorrer simultaneamente, então um

dos eventos pode ocorrer em N1 + N2 + ... + Nk maneiras distintas.

II Princípio da Multiplicação: considere que E1, E2, ..., Ek são eventos que ocorrem sucessivamente; se o

evento E1 pode ocorrer de N1 maneiras distintas, o evento E2 pode ocorrer de N2 maneira distintas, ..., o

evento Ek pode ocorrer de Nk maneiras distintas, então todos esses eventos podem ocorrer, na ordem

indicada, em N1 × N2 × ... × Nk maneiras distintas.

O poder da palavra “POSSIBILIDADES”.

114

Princípio Multiplicativo: Iremos resolver algumas questões neste momento para que você possa

entender o Princípio Multiplicativo.

Exemplo 01: Uma pessoa vai ao Shopping e compra 03 blusas ( B1, B2 e B3 ) , 2 sapatos ( S1 e S2 ) e

2 calçados( C1 e C 2 ). Logo ao chegar em casa ele se pergunta: - “De quantas maneiras distintas eu posso

me arrumar com as compras realizadas”? Bem, vamos então resolvermos tal problema:

No esquema construído acima temos 12 maneiras distintas dessa pessoa se arrumar. O raciocínio utilizado é

o seguinte: Quantas possibilidades têm-se para blusas? Nesta situação temos 3(três) . Quantas

possibilidades têm-se para sapatos? Nesta situação temos 2(dois) . Quantas possibilidades têm-se para

calças? Nesta situação temos 2(dois). Logo podemos concluir que:

Pelo Princípio Multiplicativo, temos que multiplicar as POSSIBILIDADES.

____3____ X ____2____ X ____2_____= 12( maneiras distintas )

Possibilidades Possibilidades Possibilidades

O que devemos perceber é que temos que estar sempre nos baseando na palavra “Possibilidades”,

pois é ela trará o raciocínio correto.

Vamos resolver algumas questões aplicando apenas o conceito do PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO

utilizando a palavra “POSSIBILIDADES”:

Em algumas questões de concursos, apenas utilizando o Princípio Multiplicativo já é o suficiente para

resolvermos as mesmas. Verifique que a cada instante iremos utilizar a palavra: POSSIBILIDADES.


SAPATO 1

SAPATO 2

SAPATO 1

SAPATO 2

SAPATO 1

SAPATO 2

BLUSA 1

BLUSA 2

BLUSA 3

12 MANEIRAS DISTINTAS

Calça 01

Calça 02

115

01 (ESAF/TÉCNICO-2006) Em um campeonato de tênis participam 30 duplas, com a mesma probabilidade

de vencer. O número de diferentes maneiras para a classificação dos 3 primeiros lugares é igual a:

a) 24.360 b) 25.240 c) 24.460 d) 4.060 e) 4.650

Comentário: Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem temos uma novo agrupamento, logo a ordem altera a natureza. Para os três primeiros colocados temos : 30 x 29 x 28 = 24.360 (maneiras diferentes) Resposta : A

02) (ESAF/AFC-2002) Em uma cidade, os números dos telefones têm 7 algarismos e não podem começar

por 0. Os três primeiros números constituem o prefixo. Sabendo-se que em todas as farmácias os quatro

últimos dígitos são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o número de telefones que podem ser

instalados nas farmácias é igual a:

a) 504 b) 720 c) 684 d) 648 e) 842

Comentário: Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem temos

uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos algumas restrições, em que devemos iniciar pelas mesmas.

Os números telefônicos possuem 7 algarismos, então termos 7 posições: ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ RESTRIÇÕES : Os números não podem começar com zero e o quatro últimos algarismos são

iguais a zero. ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

Possibilidades

Nesta posição

o zero não é

possibilidade.

Nesta s 4 posições

somente o número

1 é possibilidade.

Neste caso as possibilidades vão diminuindo, uma vez que a

possibilidade utilizada( dupla de tênis) , não tem como ser

utilizada novamente ( ninguém pode ocupar duas posições

simultaneamente).

116

Preenchendo as posições temos:

__9__x __9__ x __8__ x __1__x __1__ x __1__ x __1__ Desta forma aplicando o Princípio Multiplicativo ( multiplica as possibilidades) temos :

__9__x __9__ x __8__ x __1__x __1__ x __1__ x __1__= 648 ( números telefônicos) Resposta : D

03) (CESPE/TSE-2007) Para aumentar a segurança no interior do prédio do TSE, foram distribuídas senhas

secretas para todos os funcionários, que deverão ser digitadas na portaria para se obter acesso ao prédio.

As senhas são compostas por uma seqüência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de

uma seqüência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9). O número de senhas distintas que podem ser

formadas sem que seja admitida a repetição de letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos, é igual a

a) 26³ x 10³ b) 26 x 25 x 24 x 10 x 9 x 8 c) 26 x 25 x 24 x 10³ d) 26³ x 10 x 9 x 8

Comentário: Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova

ordem temos uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos algumas restrições, em que devemos iniciar pelas mesmas.

As senhas são compostas por uma seqüência de três letras (retiradas do alfabeto com 26 letras), seguida de uma seqüência de três algarismos (escolhidos entre 0 e 9).

Os códigos possuem 6 posições, três letras( 26 possibilidades) e três algarismos( 10

possibilidades) : ____ ____ ____ e(x) ____ ____ ____ O número de senhas distintas que podem ser formadas sem que seja admitida a repetição de

letras, mas admitindo-se a repetição de algarismos. Quanto aos três primeiras posições temos: 26 x 25 x 24

Não podemos ter algarismos repetidos, logo a possibilidade

que foi utilizada não poderá ser usada novamente, com

este pensamento temos para a primeira posição 9

possibilidades, pois o zero não pode ser utilizado, na

segundo temos 9 possibilidades, pois o zero neste caso

voltou a ser possibilidade e na terceira posição temos 8

possibilidades, um vez que já foram usadas duas

possibilidades.

Neste caso todos os algarismos utilizados serão iguais a

zero, logo temos que perceber que não é o número zero

que será colocado nas posições, e sim, quantas

possibilidades para a posição, logo temos 1(uma)

possibilidade para cada posição, isto é, o número zero.

Nestas 3 posições temos: 26

possibilidades na primeira, 25

possibilidades na segunda

uma vez que uma já foi

utilizada e por último 24

possibilidades.

117

Quanto aos três últimos algarismos temos: 10 x 10 x 10

Concluindo: Os códigos possuem seis posições, três letras (26 possibilidades) e três algarismos ( 10 possibilidades) :

__26__x __25__ x __24__ e(x) __10__ x __10__x __10__ = 26x25x24x103

Resposta: Letra C

04) (CESPE) Para a codificação de processos, o protocolo utiliza um sistema com cinco símbolos, sendo

duas letras de um alfabeto com 26 letras e três algarismos, escolhidos entre os de 0 a 9. Supondo que as

letras ocupem sempre as duas primeiras posições, julgue os itens que se seguem.

1 O número de processos que podem ser codificados por esse sistema é superior a 650.000.

2 O número de processos que podem ser codificados por esse sistema utilizando-se letras iguais nas duas

primeiras posições do código é superior a 28.000.

3 O número de processos que podem ser codificados por esse sistema de modo que em cada código não

haja repetição de letras ou de algarismos é superior a 470.000.

Comentário:

Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem temos uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos que as letras do código ocupam as duas primeiras posições. Item 1 – O número de processos que podem ser codificados é dado por cinco símbolos , logo cinco posições : __26___x __26___x __10___x __10___x __10___= 676000 Item 2 - 26___x __1___x __10___x __10___x __10___= 26000

Nestas 3 posições temos: 10 possibilidades na

primeira,10 possibilidades na segunda e por último 10

possibilidades. O número que foi utilizado pode ser

utilizado novamente, logo temos as mesmas

possibilidades para as três posições.

Nessas 6 posições temos: 26 possibilidades na primeira,26 possibilidades na segunda e por último 10

possibilidades nas três ultimas posições . A letra e o número que foi utilizado pode ser utilizado

novamente, logo temos as mesmas possibilidades para as duas posições de letras e para as três

posições de algarismos.

Nessas 6 posições temos: 26 possibilidades na primeira,01 possibilidade na segunda( devido as duas

letras serem iguais, o que faz com que a segunda seja a mesma que a primeira) e nas três ultimas

posições 10 possibilidades, uma vez que a questão não exige que os códigos possuam algarismos

distintos.

118

Item 3- Esse item significa que as letras e os algarismos devem ser distintos. Logo temos: __26___x __25___x __10___x __09___x __08___= 468000 Gabarito: 1 - C 2 - E 3- E

05) (FCC-2007) Teófilo foi a um caixa eletrônico retirar algum dinheiro e, no instante em que foi digitar a sua

senha, não conseguiu lembrar de todos os quatro algarismos que a compunham. Ocorreu-lhe, então, que

sua senha não tinha algarismos repetidos, era um número par e o algarismo inicial era 8.

Quantas senhas poderiam ser obtidas a partir do que Teófilo lembrou?

(A) 224 (B) 210 (C) 168 (D) 144 (E) 96

Comentário:

Trata-se de uma questão em que a ordem dos elementos importa, ou seja, a cada nova ordem temos uma novo agrupamento, logo a “ordem” altera a “natureza”. Nesta questão temos algumas restrições, em que devemos iniciar pelas mesmas. As senha a ser digitada possui 04 ( quatro) algarismos , logo teremos 04(quatro) posições:

_____x _____x _____x _____=

1__x __8__ x __7__ x __4__= 224

Resposta : letra a

06-(CESPE/TCU-2004) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a entrada

e saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos caracteres pertencem ao

Nessas 6 posições temos: 26 possibilidades na primeira,25 possibilidades na segunda( devido as duas

letras não serem iguais, o que faz com que a possibilidade da segunda seja menor que a primeira, uma

vez que uma possibilidade já foi utilizada) e nas três ultimas posições 10 possibilidades na primeira, 09

na segunda e 08 na terceira posição, uma vez que a questão traz a idéia de que os códigos possuam

algarismos distintos.

Nessas 4 posições temos: algarismos distintos ; o número formado é par( a restrição é na ultima posição

, pois um número par é aquele que termina em { 0,2,4,6,8} ) e que a senha começa com o número 8

(oito), ou seja, uma possibilidade.

Nessa posição temos

apenas (01)uma

possibilidade que o

número 8(oito) .

Nessa posição temos

(04) possibilidades, uma

vez que o número

08(oito) já foi utilizado

na primeira posição.

Após preenchermos as posições que se

tratam das restrições, vamos colocar as

possibilidades sabendo que os algarismos

não se repetem.

119

conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5 vogais. Com base nessas informações, julgue os

itens que se seguem.

1 Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então

podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.

2 Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1,2 ou 3 letras, sendo

permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 11000 códigos distintos.

3 O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a 15000.

Comentário:

Item 1 : 26 x 26 x 26 x 26 = 456.976 Permitida a repetição de caracteres Número de Protocolos distintos

Este item da prova de técnico de controle externo do TCU-2004, que no gabarito preliminar o CESPE considerou o item errado e no gabarito definitivo alterou o gabarito para CERTO, com o entendimento de que se podem ser gerados 456.976 protocolos, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos. Iremos verificar mais a frente (provas mais recentes) que o CESPE não continua com este mesmo raciocínio.

Item 2: Neste item temos 21 possibilidades, uma vez que não serão utilizadas as vogais, sendo permitida a repetição de caracteres. Os códigos serão formados com 1 , 2 e 3 letras , logo após iremos somar tais formações.

21 = 21 Permitida a repetição de caracteres

21 x 21 = 441 Permitida a repetição de caracteres 21 x 21 x 21 = 9261 Permitida a repetição de caracteres Agora somaremos as quantidades de códigos com 1, 2 e 3 letras: 21 + 441 + 9261 = 9723.

Item errado. Item 3 : O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é dado por : 26 x 25 x 24 = 15 600. Não sendo permitida a repetição de caracteres Item certo.

120

Nas questões que envolvem a formação de senhas, códigos, números, protocolos etc., temos uma

observação importante referente a interpretação correta de uma questão. Por exemplo:

01- Com os números(algarismos) {1, 2, 4, 5 e 7 }, quantos códigos(senhas)distintas de 3 dígitos

podem ser formadas ?

02- Com os números( algarismos) {1, 2,4 ,5 e 7 }, quantos códigos (senhas) de

3 dígitos distintos podem ser formadas?

Qual a diferença entre esses dois exemplos?

A primeira vista parece serem equivalentes, ainda mais durante a realização de uma

prova, em que o candidato às vezes fica imperceptível a tais detalhes. Vamos interpretar tais situações:

01 – Quando a questão solicita que as senhas sejam distintas, temos que interpretar senhas distintas e não dígitos distintos, uma vez que mesmo repetindo dígitos, os códigos (senhas) permanecerão distintos. Ex. os códigos 224 e 222 repetem dígitos entre si, porém permanecem códigos (senhas) distintos. Sendo assim a resolução da questão será: 5 x 5 x 5 = 125. (códigos distintos de 3 dígitos) Mesmo com a repetição de algarismos os códigos permanecem distintos. 02 – Quando a questão solicita que as senhas sejam formadas com dígitos distintos, temos que interpretar que além de senhas distintas teremos dígitos distintos, uma vez que os códigos (senhas) permanecerão distintos. Ex. os códigos 243 e 57 não repetem dígitos entre si, além de possuírem códigos (senhas) distintos. Sendo assim a resolução da questão será: 5 x 4 x 3 = 60. (códigos distintos de 3 dígitos) Sem a repetição de algarismos e os códigos são também distintos. Faça você agora ! QUESTÃO DE CONCURSO: CESPE - Considere que se deseja produzir códigos de 7 caracteres, em que os 3 primeiros caracteres sejam letras escolhidas entre as 26 do alfabeto os 4 últimos sejam algarismos, de 0 a 9. Com relação a essa construção de códigos , julgue os itens subseqüentes. 1- A quantidade de códigos que começam com a letra Z, terminam com o algarismo 0 e têm todos os caracteres distintos é inferior a 300 000. 2- A quantidade de códigos distintos que começam com AMX é inferior a 104.

Gabarito: E E

121

Iremos neste instante estudar os seguintes assuntos que fazem parte de Análise Combinatória:

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com todos os n elementos distintos.

Fórmula: P(n) = n!, n= número de elementos a serem permutados.

Cálculo para o exemplo: P(5) = 5!= 5x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.

Exemplo: Seja C={A,B,C} e n=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

TREINANDO

Com relação à palavra LÓGICA: a)quantos anagramas existem?

b)quantos anagramas começam por G?

c)quantos anagramas possuem as vogais juntas?

d)quantos anagramas possuem as vogais juntas em ordem alfabética?

e)quantos anagramas possuem as vogais em ordem alfabética?

gabarito : a- 720 b – 120 c – 144 d – 24 e- 120


01) (CESPE/AGENTE/PF-2004) Conta-se na mitologia grega que Hércules, em um acesso de loucura,

matou sua família. Para expiar seu crime, foi enviado à presença do rei Euristeu, que lhe apresentou uma

série de provas a serem cumpridas por ele, conhecidas como Os doze trabalhos de Hercules. Entre esses

trabalhos, encontram-se: matar o leão de Neméia, capturar a corça de Cerinéia e capturar o javali de

Erimanto. Considere que a Hércules seja dada a escolha de preparar uma lista colocando em ordem os

doze trabalhos a serem executados, e que a escolha dessa ordem seja totalmente aleatória. Além disso,

considere que somente um trabalho seja executado de cada vez. Com relação ao número de possíveis listas

que Hércules poderia preparar, julgue os itens subseqüentes.

“Vimos que na permutação iremos utilizar

todos os elementos (DISTINTOS) do grupo,

realizando uma permutação (troca) dos

elementos, em que a ordem irá influenciar.”

“A ORDEM ALTERA A NATUREZA”

122

1 O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10!

2 O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é

inferior a 240 x 990 x 56 x 30.

3 O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e

“capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 x 42 x 20 x 6.

4 O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o

javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8!.

COMENTÁRIO:

1 O número máximo de possíveis listas que Hércules poderia preparar é superior a 12 x 10!

Pn= n! = 12 X 11 X 10 X 9 X 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1= 12! ( Número máximo de diferentes listas).

12 X 11 X 10 X 9 X 8 X 7 X 6 X 5 X 4 X 3 X 2 X 1 = 12x 10!

(simplificando dos dois lados da igualdade):

12 X 11 > 12 ( item certo)

2 O número máximo de possíveis listas contendo o trabalho “matar o leão de Neméia” na primeira posição é

inferior a 240 x 990 x 56 x 30.

A restrição é na primeira posição, ou seja, temos 01(uma) possibilidade.

1 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 < 240 x 990 x 56 x 30.

(simplificando dos dois lados da desigualdade):

1 x 4 x 3 x 2 x 1 < 240

24< 240 ( item certo )

3 O número de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” na primeira posição e

“capturar o javali de Erimanto” na terceira posição é inferior a 72 x 42 x 20 x 6.

1 x 10 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 < 72 x 42 x 20 x 6.


1 x 10 x 1 x 1 < 1 ( item errado)

4 O número máximo de possíveis listas contendo os trabalhos “capturar a corça de Cerinéia” e “capturar o

javali de Erimanto” nas últimas duas posições, em qualquer ordem, é inferior a 6! x 8!.

10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 < 6! x 8!

Matar o leão de

Neméia

Capturar a corça

de Cerinéia

Capturar o Javali

de Erimanto

Nas duas últimas posições em qualquer ordem ( a corça e o javali )

123


10 x 9 x 2 x 1 < 6!

10x 9x 2 x1 < 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

180 < 720 ( item certo )

02)(ESAF/ANEEL-2006) Um grupo de amigos formado por três meninos – entre eles Caio e Beto – e seis

meninas – entre elas Ana e Beatriz – compram ingressos para nove lugares localizados lado a lado, em uma

mesma fila no cinema. Ana e Beatriz precisam sentar-se juntas porque querem compartilhar do mesmo

pacote de pipocas. Caio e Beto, por sua vez, precisam sentar-se juntos porque querem compartilhar do

mesmo pacote de salgadinhos. Além disso, todas as meninas querem sentar-se juntas, e todos os meninos

querem sentar-se juntos. Com essa informações, o número de diferentes maneiras que esses amigos

podem sentar-se é igual a:

a) 1920 b) 1152 c) 960 d)540 e) 860

COMENTÁRO:

De acordo com a questão sabemos que todos os meninos(HOMENS)devem sentar-se juntos,

como as meninas também(MULHERES) , logo façamos a seguinte ilustração:

H H H M M M M M M

Sendo que Caio e Beto, assim como Ana e Beatriz devam ficar sempre juntas, então

consideraremos como se cada um dos dois sejam apenas um, ou seja, uma possibilidade.

Temos então:

H H M M M M M

2 X ( 2 X 1 ) X ( 5 X 4 X 3 X 2 X 1) X 2 = 960

Devemos ainda perceber que o resultado 960 deverá ser multiplicado por dois, devido a

possibilidade de termos os homens e as mulheres juntas em qualquer ordem:

H M = 960

M H = 960

TOTAL = 1920 Letra “a”

Considerando que sejam

Caio e Beto


Ana e Beatriz


Caio e Beto em qualquer

ordem .


Ana e Beatriz em qualquer

ordem.

124

Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que

existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA, AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA, ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

TREINANDO

Com relação às palavras abaixo, calcule a quantidade de anagramas : a)quantos anagramas possui a palavra ANA?

b) quantos anagramas possui a palavra ARARA?

c) quantos anagramas possui a palavra CASA ?

d) quantos anagramas possui a palavra BANANA?

e) Uma prova de português é constituída de 10 questões em que 3 são verdadeiras e 7 são falsas. De quantas

maneiras distintas esta prova pode ser respondida?

f) Para ter acesso a uma seção de uma repartição, os funcionários precisam digitar uma senha na portaria que é

constituída por 5 dígitos, em que 3 são iguais a 1(um) e 2 são iguais a 0(zero). Quantas senhas distintas podem ser

formadas seguindo tais exigências?

Gabarito: a- 3 b- 10 c- 12 d- 60 e- 120 f- 10


“Vimos que na permutação com repetição iremos utilizar todos os

elementos (DISTINTOS E NÃO DISTINTOS ) do grupo, realizando uma

permutação (troca) dos elementos, em que a ordem irá influenciar

parcialmente( algumas vezes- isto é , quando não for os elementos

repetidos). Agora é importante ressaltar que alguns elementos são

idênticos o que não trará um novo agrupamento, logo devemos

perceber que existirão grupos repetidos, então deveremos retirar

aqueles que se repetem”.

“A ORDEM DE ALGUNS ELEMENTOS NÃO ALTERA A

NATUREZA”

125

01) (CESPE/PAPILOSCOPISTA-2004-adaptada) A respeito de contagem, que constitui um dos principais

fundamentos da matemática, julgue o item abaixo.

- O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da

palavra PAPILOSCOPISTA é inferior a 108.

COMENTÁRIO:

A palavra : PAPILOSCOPISTA possui letras repetidas, em que serem permutadas não formarão uma

novo anagrama, logo se trata de permutação com letras repetidas.

Calculando temos: 12121212123

1234567891011121314

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx

12121212123

1234567891011121314

xxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxx < 108

14x13x11x10x9x7x6x5x4x3x2x1< 108 ( item errado)

02) (CESPE/BB-2007- adaptada) Julgue o item que se segue quanto a diferentes formas de contagem.

- Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as

verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e

indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá

produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.

COMENTÁRIO:

Na questão temos 7 faixas que deverão ser permutadas para se adquirir novas decorações, mas temos faixas de mesma cor , onde a troca de posição não produzirá decorações novas. Logo é interessante fazermos uma analogia como uma palavra com letras repetidas, da seguinte maneira:

V V V A A A B Temos 7 letras( faixas) sendo permutadas: P7=7! = 7x6x5x4x3x2x1

Haverá uma divisão para que possamos retirar as palavras que se repetem,

e de acordo com a quantidade de letras repetidas iremos calcular o fatorial, por

exemplo: (letra P: 3x2x1) ; ( letra O: 2x1 ); (letra A: 2x1 ); ( letra I: 2x1 ) ;

(letra S: 2x1 ) .

126

Sabendo que algumas decorações são as mesmas( devido algumas faixas serem iguais) temos que retirar as decorações que se repetem, logo se o princípio utilizado é a multiplicação que gera as novos agrupamentos, logo temos que dividir para retirar aquilo que se repete, da seguinte maneira:

Número de decorações = 123123

1234567

xxxxx

xxxxxx, sendo que no denominador temos ( 3x2x1( 3! ) que se

refere as cores verdes que se repetem e logo após 3x2x1 (3!) que se referem as cores amarelas que se repetem) .

Uma estratégia é que iremos dividir pelo fatorial da quantidade de letras que se repetem. Isto é temos nesta questão três letras “V” e três letras “A” que se repetem.

Calculando temos: 123123

1234567

xxxxx

xxxxxx= 140 formas diferentes de decorações. O item está correto.

Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com n elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

Fórmula: Pc(n)=(n-1)!, (n-1) = número total de elementos a serem permutados.

Cálculo para o exemplo: P(5)=4!=24

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC, BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA, CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD ACBD=CBDA=BDAC=DACB ACDB=CDBA=DBAC=BACD ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}

127


( CESPE – BB-2007) Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de

uma reunião. Nessa situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os

participantes da reunião é superior a 102.

Nesta questão temos uma permutação circular:

P6 = (6-1)! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Sendo assim o item está correto.

Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (p<n) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: A(n,p) = )!(

!

pn

n

, n = número total de elementos/ p = número de elementos a serem arranjados.

Cálculo para o exemplo: A(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

“Vimos que na permutação circular a troca de alguns elementos não

cria um novo agrupamento, então deveremos retirar aqueles que se

repetem”.

“A ORDEM DE ALGUNS ELEMENTOS NÃO ALTERA A

NATUREZA”

128


01) (CESPE-2006- adaptada) Em uma promotoria de justiça, há 300 processos para serem protocolados.

Um assistente da promotoria deve formar os códigos dos processos, que devem conter, cada um deles, 7

caracteres. Os 3 primeiros caracteres são letras do conjunto{d, f, h, j, l, m, o, q} e os outros 4 caracteres são

números inteiros de 1024 a 1674.

Com base nessa situação, julgue o item subseqüente.

( ) É superior a 340 o número máximo de possibilidades de se formar a parte do código referente às 3

letras iniciais, sem que haja repetição de letra.

COMENTÁRIO:

Referente as três letras iniciais temos seguinte :

I – Maneira : ( Pela fórmula)

Temos como p= 8 , {d,f,h,j,l,m,o,q} e n= 3 , primeira parte do código.

336678!5

!5678

)!38(

!5678

)!(

!

xx

xxxxxx

pn

n

II- Maneira : ( Pelo princípio multiplicativo )

8 x 7 x 6 = 336

O item está errado.

“Vimos no começo deste capítulo algumas questões comentadas

utilizando o princípio multiplicativo, em que os agrupamentos são

realizados com elementos do conjunto, por meio da troca dos

elementos. No caso do Arranjo para formar os grupamentos, não

será utilizado todos os elementos do conjunto e é importante

ressaltar que a cada nova ordem dos elementos do agrupamento,

será formado um novo grupo( arranjo) , logo a ordem é importante.

“A ORDEM DOS ELEMENTOS ALTERA A NATUREZA”

Temos 8 possibilidades para a primeira posição, 7

possibilidades para a segunda e 6 possibilidades

para a terceira posição , uma vez que não há

repetição de caracteres.

129

02)(CESPE/BB-2007- adaptada ) O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados

no Rio de Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e

19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

( ) Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da

América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de

classificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6.

COMENTÁRIO:

Referente as três primeiras posições :

I – Maneira : ( Pela fórmula)

Temos como p= 3 , {países da America do Norte} e n= 3 , { três primeiras classificações.}

,61

6

!0

123

)!33(

123

)!(

!

xxxx

pn

nsabendo que 0! = 1

II- Maneira : ( Pelo princípio multiplicativo )

3 x 2 x 1 = 6

O item está certo.

Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) = !)!(

!

ppm

m

, m= número total de elementos / p= número de elementos a serem

combinados

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Temos 3 possibilidades para a primeira posição, 2 possibilidades para a segunda e 1

possibilidade para a terceira posição , uma vez que as possibilidades vão diminuindo,

pois não há como um atleta ocupar duas posições simultaneamente .

130

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}


Exemplos: 01- Em uma festa com 20 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez, dessa forma são

possíveis quantos apertos de mão?

Nessa questão a ordem não altera a natureza, uma vez que se a pessoa “A” cumprimentar a pessoa

“B” , não torna necessário a pessoa “B” cumprimentar a pessoa “A”. Para que haja um aperto de mão é

necessário duas pessoas ( p= 2 )

Sendo assim, trata-se de combinação, onde iremos resolver de duas maneiras:

I – Maneira: ( Pela fórmula )

Cm,p=!)!(

!

ppm

m

= C20,2 =

!2)!220(

!20

=

!2!18

!181920

x

xx =

12

1920

x

x= 190 apertos de mão.

II- Maneira : ( Sem fórmula )

Para obter um aperto de mão é necessário a presença de duas pessoas, logo iremos utilizar dois

espaços : “_____X_____”; e para que possamos retirar os grupamentos que se repetem iremos dividir pelo

fatorial da quantidade de espaços utilizados.

12

1920

x

x= 190, o numerador expressa 20 possibilidades para a primeira pessoa, e 19 para a segunda

pessoa. No denominador temos 2 x 1 , uma vez que representa o fatorial de 2= 2! .O denominador tem a

função de retirar os grupamentos repetidos.

02- Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os outros com um

“Nas questões que relatarem sobre os termos:

- Equipes; Times; Diretorias; Grupos; Comissões, turmas etc. Todos os termos que indicam idéia de conjunto. Logo teremos grupos que se a ordem for modificada não formaremos um novo grupamento.

É comum não utilizar todos os elementos para construção de novos grupos, uma vez que, se forem utilizados todos os elementos obteremos apenas um grupo.

“A ORDEM DOS ELEMENTOS NÃO ALTERA A NATUREZA”

131

aperto de mão apenas uma vez. Quantas pessoas haviam na reunião, se foram trocados 55 apertos de

mão?

COMENTÁRIO:

Essa questão apresenta a quantidade de apertos de mão e solicita a quantidade de pessoas

presentes na reunião. Logo iremos resolver das seguintes maneiras:

I- Método ( com fórmula) :

C x,2 = 55 Cx,2=!2)!2(

!

x

x=

!2)!2(

)!2).(1.(

x

xxx= 55

1.2

)1.(

xx

1102 xx equação do 2 grau. 01102 xx , resolvendo a equação teremos:

S{ -10,11} , logo iremos considerar a solução positiva. A reunião possui 11 participantes.

II- Método( sem fórmula) :

03- ESAF/AFC-2002) Na Mega-Sena são sorteadas seis dezenas de um conjunto de 60 possíveis

(as dezenas sorteáveis são 01, 02, ... , 60). Uma aposta simples (ou aposta mínima), na Mega-Sena,

consiste em escolher 6 dezenas. Pedro sonhou que as seis dezenas que serão sorteadas no próximo

concurso da Mega-Sena estarão entre as seguintes: 01, 02, 05, 10, 18, 32, 35, 45. O número mínimo de

apostas simples para o próximo concurso da Mega-Sena que Pedro deve fazer para ter certeza matemática

que será um dos ganhadores caso o seu sonho esteja correto é:

a) 8 b) 28 c) 40 d) 60 e) 84

04-(ESAF/ANEEL-2006) Em um plano são marcados 25 pontos, dos quais 10 e somente 10

desses pontos são marcados em linha reta. O número de diferentes triângulos que podem ser formados com

os vértices em qualquer dos 25 pontos é igual a:

a) 2180 b) 1180 c) 2350 d) 2250 e) 3280

05- (CESPE/ESCRIVÃO/PF-2004) Para uma investigação a ser feita pela Policia Federal, será

necessária uma equipe com cinco agentes. Para forma essa equipe, a coordenação da operação dispõe de

29 agentes, sendo 9 da superintendência regional de Minas Gerais, 8 da regional de São Paulo e 12 da

regional do Rio de Janeiro. Em uma equipe todos os agentes terão atribuições semelhantes, de modo que a

ordem de escolha dos agentes não será relevante. Com base nesta situação hipotética, julgue os itens

seguintes.

1 Poderão ser formadas, no máximo, 19 x 14 x 13 x 7 x 5 x 3 equipes distintas.

2 Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, o número máximo de

132

equipes distintas que a coordenação dessa operação poderá é inferior à 19 x 17 x 11 x 7.

3 Se a equipe deve conter exatamente 2 agentes da regional do Rio de Janeiro, 1 agente da regional de São

Paulo e 2 agentes da regional de Minas Gerais, então a coordenação da operação poderá formar, no

máximo, 12 x 11 x 9 x 4 equipes distintas.

TREINANDO

FIXAÇÃO DE APRENDIZAGEM

01)Quantos números de 4 algarismos podemos formar com os algarismos 2,3,4,5,7?

02)Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1,2,3,4,5?

03)Quantos números naturais de 4 algarismos distintos menores que 5000, e divisíveis por 5 podemos

formar com os algarismos 2,3,5,6,7,e 8?

04)Com oito tipos de salada e 5 tipos de grelhado, de quantas formas distintas um cliente pode fazer um

pedido de uma salada acompanhada de um grelado?

05)Em um torneio de futebol, participam 20 times. Quantos resultados são possíveis para os três primeiros

lugares.

06)Com relação à palavra TEORIA:

a)quantos anagramas existem?

b)quantos anagramas começam por T?

c)quantos anagramas possuem as vogais juntas?

d)quantos anagramas possuem as vogais juntas em ordem alfabética?

e)quantos anagramas possuem as vogais em ordem alfabética?

07) Quantos anagramas possui a palavra ASSESSORIA?

08)Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma

diretoria com 5 sócios, 3 brasileiros e 2 japoneses?

09)Em uma festa com 50 pessoas, todas se cumprimentam uma só vez, dessa forma são possíveis quantos

apertos de mão?

10)Ao término de uma reunião, cada um dos participantes cumprimentou os outros com um aperto de mão

apenas uma vez. Quantas pessoas haviam na reunião, se foram trocados 45 apertos de mão?

11) Para entrar na sala da diretoria de uma empresa é preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é aberto

por meio de uma senha. Cada senha é constituída por 3 algarismos distintos. Nessas condições, o número

máximo de tentativas para abrir os cadeados é

133

a) 518.400 b) 1.440 c) 720 d) 120 e) 54


01) (CESPE/ANALISTA/SERPRO-2004) No item a seguir, é apresentada uma situação, seguida de uma

assertiva a ser julgada.

1 Em um centro de pesquisas onde atuam 10 pesquisadores, deverá ser formada uma equipe com 5 desses

pesquisadores para desenvolver determinado projeto. Sabe-se que 2 dos 10 pesquisadores só aceitam

participar do trabalho se ambos forem escolhidos; caso contrário, não participam. Nessa situação, há menos

de 250 maneiras diferentes de se montar a equipe.

02) (CESPE/PAPILOSCOPISTA-2004) A respeito de contagem, que constitui um dos principais fundamentos

da matemática, julgue os itens que se seguem.

1 Considere que, na disputa entre duas equipes, a primeira que vencer 4 jogos será considerada vencedora.

Se uma das equipes – A – tiver vencido os 3 primeiros confrontos, então o gráfico a seguir é capaz de

representar todas a possibilidades de A vencer a disputa.

2 O número de cadeias distintas de 14 caracteres que podem ser formadas apenas com as letras da palavra

PAPILOSCOPISTA é inferior a 108.

3 Uma grande empresa cataloga seus bens patrimoniais usando códigos formados por uma cadeias de 6

caracteres, sendo três letras iniciais, escolhidas em um alfabeto de 26 letras, seguidas de 3 dígitos, cada

uma escolhido no intervalo de 0 a 9, não se permitindo códigos com 3 letras iguais e(ou) 3 dígitos iguais.

Nessa situação, a empresa dispõe de até 107

códigos distintos para catalogar seus bens.

03) (CESPE-2006) Em uma promotoria de justiça, há 300 processos para serem protocolados. Um assistente

da promotoria deve formar os códigos dos processos, que devem conter, cada um deles, 7 caracteres. Os 3

primeiros caracteres são letras do conjunto{d, f, h, j, l, m, o, q} e os outros 4 caracteres são números inteiros

de 1024 a 1674.

Com base nessa situação, julgue os itens subseqüentes.

1 É superior a 340 o número máximo de possibilidades de se formar a parte do código referente às 3 letras

iniciais, sem que haja repetição de letra.

2 Para a parte numérica do código, o assistente da promotoria dispõe de exatamente 650 números distintos.

3 Se o assistente da promotoria construir os códigos para protocolar os 300 processos citados escolhendo a

134

parte numérica em seqüência consecutiva, a partir do primeiro número disponível, então o último processo

terá o número 1.323 em seu código.

04) (CESPE-2002) O lanche vespertino dos empregados de uma empresa consiste de uma xícara de café,

um biscoito e um sanduíche. O café é servido com açúcar ou sem açúcar. Há três tipos de sanduíche e

quatro tipos de biscoitos. Considerando que um empregado faça um lanche completo usando apenas uma

de cada opção oferecida, o número possível de maneiras diferentes de ele compor o seu lanche é

a) menor que 13.

b) maior 13 e menor que 17.

c) maior que 17 e menor que 20.

d) maior que 20 e menor que 23.

e) maior que 23.

05) (CESPE/TRT-2007) Julgue os itens.

1 Os tribunais utilizam códigos em seus sistemas internos e, usualmente, os processos protocolados nesses

órgãos seguem uma codificação única formada por 6 campos. O terceiro desses campos, identificado como

código da vara jurídica correspondente à região geográfica, é constituído por 3 algarismos com valores, cada

um, entre 0 e 9. Supondo-se que, nesses códigos, os três algarismos não sejam todos iguais, conclui-se que

podem ser criados, no máximo, 90 códigos distintos para identificar as varas jurídicas.

2 Um órgão especial de um tribunal é composto por 15 desembargadores. Excetuando-se o presidente, o

vice-presidente e o corregedor, os demais membros desse órgão especial podem integrar turmas, cada uma

delas constituída de 5 membros, cuja função é julgar os processos. Nesse caso, o número de turmas

distintas que podem ser formadas é superior a 104.

06) (CESPE/BB-2007) O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de

Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América do Sul e 19 do

Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.

1 Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada país da América

do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades diferentes de

classificação no 1.º, 2.º e 3.º lugares foi igual a 6.

2 Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de cada país da

América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de possibilidades distintas de dois

atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.

3 Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7 países

diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da América Central e 2 do

Caribe.

4 Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes dos Jogos

Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos contendo pelo menos

3 países da América Central é inferior a 180.

07) (CESPE/BB-2007) Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de contagem.

135

1 Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma propaganda

na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa etc. Suponha, também, que a

quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que, em cada inserção da

propaganda na TV, sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse caso, a quantidade de inserções

com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é inferior a 70.

2 Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em 3 agências, de

modo que cada agência receba 4 funcionários.

3 Se 6 candidatos são aprovados em um concurso público e há 4 setores distintos onde eles podem ser

lotados, então há, no máximo, 24 maneiras de se realizarem tais lotações.

4 Considere que um decorador deva usar 7 faixas coloridas de dimensões iguais, pendurando-as

verticalmente na vitrine de uma loja para produzir diversas formas. Nessa situação, se 3 faixas são verdes e

indistinguíveis, 3 faixas são amarelas e indistinguíveis e 1 faixa é branca, esse decorador conseguirá

produzir, no máximo, 140 formas diferentes com essas faixas.

08) (CESPE/BB-2007) Julgue os itens seguintes quanto aos princípios de contagem.

1 Considere que 7 tarefas devam ser distribuídas entre 3 funcionários de uma repartição de modo que o

funcionário mais recentemente contratado receba 3 tarefas, e os demais, 2 tarefas cada um. Nessa situação,

sabendo-se que a mesma tarefa não será atribuída a mais de um funcionário, é correto concluir que o chefe

da repartição dispõe de menos de 120 maneiras diferentes para distribuir essas tarefas.

2 Uma mesa circular tem seus 6 lugares que serão ocupados pelos 6 participantes de uma reunião. Nessa

situação, o número de formas diferentes para se ocupar esses lugares com os participantes da reunião é

superior a 102

3 Um correntista do BB deseja fazer um único investimento no mercado financeiro, que poderá ser em uma

das 6 modalidades de caderneta de poupança ou em um dos 3 fundos de investimento que permitem

aplicações iniciais de pelo menos R$ 200,00. Nessa situação, o número de opções de investimento desse

correntista é inferior a 12.

4 Considere que, para ter acesso à sua conta corrente via Internet, um correntista do BB deve cadastrar uma

senha de 8 dígitos, que devem ser escolhidos entre os algarismos de 0 a 9. Se o correntista decidir que

todos os algarismos de sua senha serão diferentes, então o número de escolhas distintas que ele terá para

essa senha é igual a 8!.

5 Considere que o BB oferece cartões de crédito Visa e Mastercard, sendo oferecidas 5 modalidades

diferentes de cartão de cada uma dessas empresas. Desse modo, se um cidadão desejar adquirir um cartão

Visa e um Mastercard, ele terá menos de 20 possíveis escolhas distintas.

6 Sabe-se que no BB há 9 vice-presidências e 22 diretorias. Nessa situação, a quantidade de comissões que

é possível formar, constituídas por 3 vice-presidentes e 3 diretores, é superior a 105

09) (CESGRANRIO-2007) Quantas são as possíveis ordenações das letras da palavra BRASIL, tais que a

letra B figure na 1ª posição ou a letra R figure na 2ª posição?

(A) 120 (B) 184 (C) 216 (D) 240 (E) 360

10) (CESGRANRIO-2005) Para ter acesso a um arquivo, um operador de computador precisa digitar uma

seqüência de cinco símbolos distintos, formada de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos,

mas não da seqüência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode

fazer para acessar o arquivo é

136

A) 240 B) 216 C)120 D)360 E)200

11)(CESGRANRIO-2007) Uma empresa tem um quadro de funcionários formado por 3 supervisores e 10

técnicos. Todo dia, é escalada para o trabalho uma equipe com 1 supervisor e 4 técnicos. Quantas equipes

diferentes podem ser escaladas?

(A) 15120 (B) 3780 (C) 840 (D) 630 (E) 510

12) (ESAF/MPU-2004) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila no

teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que: a) homens e mulheres

sentem-se em lugares alternados; e que b) todos os homens sentem-se juntos e que todas as mulheres

sentem-se juntas, são, respectivamente,

a) 1112 e 1152 b) 1152 e 1100 c) 1152 e 1152 d) 384 e 1112. e) 112 e 384.

13) (ESAF/MPU-2004) Paulo possui três quadros de Gotuzo e três de Portinari e quer expô-los em uma

mesma parede, lado a lado. Todos

os seis quadros são assinados e datados. Para Paulo, os quadros podem ser dispostos em qualquer ordem,

desde que os de Gotuzo apareçam ordenados entre si em ordem cronológica, da esquerda para a direita. O

número de diferentes maneiras que os seis quadros podem ser expostos é igual a

a) 20 b) 30 c) 24 d) 120 e) 360.

14) (ESAF/CGU-2008) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele ─ o

cliente ─ exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras

horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8

cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:

a) 56 b) 5760 c) 6720 d) 3600 e) 4320

15) (ESAF/CGU-2008) Ana precisa fazer uma prova de matemática composta de 15 questões. Contudo,

para ser aprovada, Ana só precisa resolver 10 questões das 15 propostas. Assim, de quantas maneiras

diferentes Ana pode escolher as questões?

a) 3003 b) 2980 c) 2800 d) 3006 e) 3005

16) (CESPE-2006) No departamento de eventos de uma empresa trabalham 9 homens e 6 mulheres e, para

a organização da festa junina, será formada uma comissão composta por 3 dessas pessoas. Nesse caso,

1 se a comissão tiver apenas uma mulher, então será possível formar 198 comissões diferentes.

2 se não houver qualquer restrição quanto ao sexo dos membros da comissão, então será possível formar

455 comissões diferentes.

137

17) (CESPE-2007) Com as letras que formam o nome da capital RIO BRANCO,

pode-se formar diversos anagramas — anagrama é qualquer palavra, com significado ou não, que pode ser

formada a partir das letras fornecidas. Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.

1 A quantidade de anagramas que é possível formar com as letras de RIO BRANCO de modo que as letras

R, I, e O fiquem juntas e nesta ordem é inferior a 5.000.

2 A quantidade de anagramas que é possível formar com as letras de RIO BRANCO é superior a 360.000.

18) (FCC) Considere todos os números de 3 algarismos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}. Em quantos desses números a soma dos algarismos é ímpar? (A) 8 (B) 12 (C) 16 (D) 24 (E) 48

19)(CESGRANRIO-2004) Sebastiana faz doces de cupuaçu, de açaí, de tucumã, de cajá e de banana. Ela

quer preparar embalagens especiais, cada uma com dois potes de doce de sabores diferentes, para vender

na feira. Quantas embalagens diferentes Sebastiana poderá preparar?

(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 14 (E) 20

20) (CESPE/BB-2008) O código de acesso exigido em transações nos caixas eletrônicos do Banco do Brasil

é uma seqüência de letras, gerada automaticamente pelo sistema. Até o dia 17/12/2007, o código de acesso

era composto por 3 letras maiúsculas. Os códigos de acessos gerados a partir de 18/12/2007 utilizam,

também, sílabas de 2 letras — uma letra maiúscula seguida de uma letra minúscula. Exemplos de código de

acesso no novo modelo: Ki Ca Be; Lu S Ra; T M Z.

Na situação descrita no texto, considere que o número de letras maiúsculas disponíveis para a composição

dos códigos de acesso seja igual a 26, que é igual ao número de letras minúsculas. A partir dessas

informações, julgue os itens a seguir.

1 É superior a 18 × 107 a quantidade de códigos de acesso compostos por 3 sílabas de 2 letras, nos quais

cada sílaba é formada por exatamente 1 letra maiúscula e 1 letra minúscula nessa ordem, não havendo

repetições de qualquer uma das letras em um mesmo código.

2 Considere que um cliente do Banco do Brasil deseje que seu código de acesso comece com a sílaba Lu e

que cada uma das outras duas posições tenha apenas 1 letra maiúscula, distinta das demais, incluindo-se as

letras L e u. Nesse caso, esse cliente terá menos de 600 escolhas de código.

3 Até 17/12/2007, o número de códigos de acesso distintos, que eram compostos por exatamente 3 letras

maiúsculas e que podiam ser gerados pelo sistema do Banco do Brasil para transações nos caixas

eletrônicos, era inferior a 18 × 103.

4 Se um cliente do Banco do Brasil decidir formar seu código de acesso com 3 letras maiúsculas usando

somente as 4 letras iniciais de seu nome, então ele terá, no máximo, 12 escolhas de código.

21) (CESPE/BB-2008) Ao visitar o portal do Banco do Brasil, os clientes do Banco do Brasil Estilo podem

verificar que, atualmente, há 12 tipos diferentes de fundos de investimento Estilo à sua disposição, listados

138

em uma tabela. Com respeito à quantidade e diversidade de fundos disponíveis, julgue os itens

subseqüentes.

1 Se o Banco do Brasil decidir oferecer os fundos de investimento Estilo em 4 pacotes, de modo que cada

pacote contemple 3 fundos diferentes, então a quantidade de maneiras distintas para se montar esses

pacotes será superior

a 350 mil.

2 Considere que, entre os fundos de investimento Estilo, haja 3 fundos classificados como de renda fixa, 5

fundos classificados como de multimercado, 3 fundos de ações e 1 fundo referenciado. Considere, ainda,

que, no portal do Banco do Brasil, esses fundos sejam exibidos em uma coluna, de modo que os fundos de

mesma classificação aparecem juntos em seqüência. Sendo assim, a quantidade de maneiras diferentes que

essa coluna pode ser formada é inferior a 4.500.

3 Um cliente do Banco do Brasil Estilo que decidir escolher 3 fundos diferentes para realizar seus

investimentos terá, no máximo, 13.200 escolhas distintas.

4 Considere que os 12 fundos Estilo mencionados sejam assim distribuídos: 1 fundo referenciado, que é

representado pela letra A; 3 fundos de renda fixa indistinguíveis, cada um representado pela letra B; 5 fundos

multimercado indistinguíveis, cada um representado pela letra C; e 3 fundos de ações indistinguíveis, cada

um representado pela letra D. Dessa forma, o número de escolhas distintas que o banco dispõe para listar

em coluna esses 12 fundos, utilizando-se apenas suas letras de representação — A, B, C e D —, é inferior a

120 mil.

22)(CESGRANRIO-2008) Em certa universidade, o número de matrícula dos estudantes é formado por 7

dígitos, repetidos ou não. Os números seguem um padrão: o primeiro dígito não pode ser zero, o anti-

penúltimo indica em que semestre (primeiro ou segundo) foi iniciado o curso e os dois últimos, o ano da

matrícula. Por exemplo, “4234.207” é um número de matrícula atribuído a um estudante que iniciou seu

curso no segundo semestre de 2007. Se dois estudantes matriculados num mesmo ano devem ter,

obrigatoriamente, números de matrícula diferentes, qual é o número máximo de estudantes que podem ser

matriculados em 2008?

(A) 6.046 (B) 9.000 (C) 10.080 (D) 18.000 (E) 20.000

23)(CESGRANRIO-2008) Certa operadora de telefonia celular só pode habilitar telefones de 8 dígitos, que

comecem por 9 e tenham como segundo dígito um algarismo me nor ou igual a 4. Qual a quantidade máxima

de números telefônicos que essa operadora pode habilitar em uma mesma cidade?

(A) 3 × 106 (B) 4 ×106 (C) 5 × 106 (D) 4 ×C9,6 (E) 5 × C9,6

24)(CESGRANRIO-2008) Certo campeonato estadual de futebol será realizado com 14 clubes divididos em

dois grupos iguais. Dentro de cada grupo todos os times se enfrentarão uma única vez. Em seguida, serão

realizadas as partidas semifinais, quando o primeiro colocado de cada grupo enfrentará o segundo colocado

do outro grupo. A final será realizada com os vencedores desses dois jogos. No total, quantos jogos serão

realizados nesse campeonato?

(A) 87 (B) 84 (C) 65 (D) 45 (E) 42

139

25) (ESAF/GESTOR-2005) Um grupo de estudantes encontra-se reunido em uma sala para escolher

aleatoriamente, por sorteio, quem entre eles irá ao Simpósio de Matemática do próximo ano. O grupo é

composto de 15 rapazes e de um certo número de moças. Os rapazes cumprimentam-se, todos e apenas

entre si, uma única vez; as moças cumprimentam-se, todas e apenas entre si, uma única vez. Há um total de

150 cumprimentos. O número de moças é, portanto, igual a:

a) 10 b) 14 c) 20 d) 25 e) 45

26) (ESAF/GESTOR-2005) Pedro e Paulo estão em uma sala que possui 10 cadeiras dispostas em uma fila.

O número de diferentes formas pelas quais Pedro e Paulo podem escolher seus lugares para sentar, de

modo que fique ao menos uma cadeira vazia entre eles, é igual a:

a) 80 b) 72 c) 90 d) 18 e) 56

27) (CESPE-2007) Em um concurso público promovido pela prefeitura de uma capital brasileira, foram

aprovados 11 candidatos, dos quais 5 são naturais do Espírito Santo, 4 de Minas Gerais e 2 de São Paulo.

Entre estes, três serão selecionados para atendimento exclusivo ao prefeito e seu secretariado. Acerca da

situação hipotética acima, é correto afirmar que o número de maneiras distintas de selecionar os três

servidores que irão atender ao prefeito e a seu secretariado de forma que

1 os dois servidores paulistas estejam entre eles é igual a 11.

2 todos sejam naturais do Espírito Santo é igual a 10.

3 nenhum deles seja do Espírito Santo é igual a 20.

4 um seja capixaba, um mineiro e um paulista é igual a 30.

Texto para as questões de 40 a 42

No TRT da 1.ª Região, o andamento de processo pode ser consultado no sítio www.trtrio.gov.br/Sistemas,

seguindo as orientações abaixo:

Consulta processual pelo sistema de numeração única – processos autuados a partir de 2002: nesse tipo de

consulta, a parte interessada, advogado ou reclamante/reclamada, poderá pesquisar, todo trâmite

processual. Para efetuar a consulta, é necessário preencher todos os campos, de acordo com os seguintes

procedimentos (os dígitos são sempre algarismos arábicos):

campo 1: digite o número do processo – com 5 dígitos;

campo 2: digite o ano do processo – com 4 dígitos;

campo 3: digite o número da Vara do Trabalho onde a ação se originou – com 3 dígitos. Os números das

Varas do Trabalho são codificados conforme tabela anexa do sítio e, nas ações de competência dos TRTs,

esse campo receberá três zeros;

140

campo 4: digite o número do TRT onde a ação se originou – com 2 dígitos. No caso do TRT da 1.ª Região,

“01”, que virá digitado;

campo 5: digite o número seqüencial do processo – com 2 dígitos. Na 1.ª autuação do processo,

independentemente da instância em que for ajuizada, este campo deverá ser preenchido com “00”.

Após o preenchimento de todos os campos, clique o botão “consultar” e será apresentada a tela relacionada

aos tipos de processos. Clique o tipo de processo desejado, por exemplo: RT, RO, AP, e será apresentada a

tela de Consulta Processual, com todo o trâmite do processo.

Exemplo de Número Novo: RT: 01100-2002-010-01-00

28) (CESPE/TRT-2008) Se for estabelecida a restrição de que no campo 1, referente ao número do

processo, até 4 dos 5 dígitos poderão ser iguais, então a quantidade de possibilidades para esse número é

igual a

A) 69.760. B)99.990. C)32.805. D) 59.049. E) 65.610.

29) (CESPE/TRT-2008) Considere que no campo 3, correspondente ao número da Vara do Trabalho onde o

processo se originou, a numeração possa variar de 001 até 100. Nesse caso, a quantidade dessas Varas

que podem ser numeradas somente com números divisíveis por 5 é igual a

A) 15. B) 20. C) 22. D) 25. E) 28.

30) (CESPE/TRT-2008) Considere um lote de processos especificados no Sistema de Numeração Única, em

que os 2 dígitos do campo 5 formam um número par ou um número divisível por 3 e varia de 01 a 12. Nesse

caso, a quantidade de possíveis números para esse campo 5 é igual a

A) 11. B) 10. C) 8. D) 6. E) 4.

31) (CESGRANRIO-2008) Em uma urna há 5 bolas verdes, numeradas de 1 a 5, e 6 bolas brancas,

numeradas de 1 a 6. Dessa urna retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas. Quantas são as

extrações nas quais a primeira bola sacada é verde e a segunda contém um número par?

(A) 15 (B) 20 (C) 23 (D) 25 (E) 27

141

Gabarito


01 CCEC 21 C

02 EEE 22 D

03 A 23 C

04 A 24 D

05 CEC 25 C

06 C 26 A

07 CCE 27 EC

08 EECE 28 EE

09 A 29 D

10 E 30 A

11 B 31 E

12 D

13 C

14 EC

15 EE

16 CEE

17 CCEE

18 CEEC

19 ECCEEC

20 C

material terico inss gran online 2015 lgica-josimar

Documents