Material Mecânica

Professor: Carlos Eduardo

1. Na figura abaixo, dois blocos de massas 𝑚1 e 𝑚2

são conectados, respectivamente, por um molas

de constantes 𝑘1 e 𝑘2 (𝑘1 > 𝑘2). Inicialmente as

molas estão relaxadas. O bloco da esquerda é

puxado a uma distância x para baixo. Encontre a

aceleração de cada bloco imediatamente após o

bloco da esquerda ser solto. Analise todos os

casos.

Resposta:

i) Se existir tração: 𝑎 =(𝑘1+𝑘2)𝑥

2𝑚;

ii) Caso não exista tração: 𝑎1 =𝑘1𝑥

𝑚− 𝑔 e 𝑎2 =

𝑘2𝑥

𝑚+ 𝑔

2. A mola tem uma constante elástica 𝑘 e massa 𝑚.

A mola está pendurada verticalmente, e um bloco

de uma massa desconhecida é anexado a sua

extremidade inferior. É sabido que a massa do

bloco é muito maior do que a da mola. Ao

deformar, a mola passa a ter o comprimento igual

a duas vezes o seu comprimento relaxado.

Quanto tempo Δ𝑡 seria necessário para um pulso

transversal baixa amplitude para percorrer o

comprimento da mola esticada pela pendurado

bloco?

Resposta: 𝑡 = √2𝑚/𝑘

3. Uma massa m1, com velocidade inicial v0 atinge

um sistema massa-mola, cuja massa é m2,

inicialmente em repouso, mas livre para se

movimentar. A mola é ideal e possui constante

elástica k, conforme a figura. Não há atrito com o

solo.

a) Qual é a compressão máxima da mola?

b) Se, após um longo tempo, ambos os objetos, se

deslocam na mesma direção, qual serão as velocidades

finais v1 e v2 das massas m1 e m2 respectivamente?

Solução com o professor!

4. Dois corpos de massas m1 e m2 ligadas por uma

mola de rigidez k repousam sobre um

plano horizontal liso.

O corpo 2 é deslocado de uma pequena distância x para a

esquerda e, em seguida, liberado. Encontrar a velocidade

do centro de massa do sistema imediatamente após o

corpo 1 perder o contato com a parede.

Resposta: 𝑥√𝑚2𝑘

𝑚1+𝑚2

5. Duas caixas ligadas por uma mola de rigidez k e

comprimento (no estado não deformado)

𝑙0 repousam em um plano horizontal.

A força F horizontal constante começa a atuar em uma

das caixas (no caso a de massa 𝑚2), como mostrado na

figura. Encontrar as distâncias máximas e mínimas entre

as caixas durante o movimento subsequente do sistema,

se as massas de cada caixa são:

Resposta: 𝑙0 +2𝑚1𝐹

𝑘(𝑚1+𝑚2)

6. Um sistema consiste em dois cubos idênticos,

cada um de massa 𝑚, ligados entre si pela mola

sem massa e comprimida (deformação 𝑥). Os

cubos também estão ligados por uma corda que

é queimada em um determinado momento.

Encontre:

a) Qual o intervalo de valores para a deformação

inicial 𝑥 o cubo inferior vai saltar?

b) Qual altura se elevará o centro de massa do

sistema se a compressão inicial da mola for

7 𝑚𝑔/𝑥.

Resposta:

a) Δ𝑙 >3𝑚𝑔

𝑥

b) 8𝑚𝑔

𝑥

7. Um corpo de massa 𝑚 caiu de uma altura ℎ sobre

o prato de uma balança de mola em equilíbrio. As

massas do prato e da mola são desprezíveis e a

constante elástica é 𝑘. Após a colisão, o corpo fica

preso ao prato e começa a oscilar na direção

vertical.

a) Encontre a amplitude destas oscilações.

b) Resolver o mesmo problema para o caso de o

prato ter uma massa 𝑀.

Resposta:

a) 𝑚𝑔

𝑘√1 +

2ℎ𝑘

𝑚𝑔

b) 𝑚𝑔

𝑘√1 +

2ℎ𝑘

(𝑚+𝑀)𝑔

8. Aos extremos de uma mola foram ligados dois

blocos de massas 𝑀 e 𝑚 (𝑀 > 𝑚). Duas forças 𝐹

são aplicadas ao sistema como mostra a figura

abaixo. Em seguida são colocados sobre um

plano com atrito. Sabendo que o coeficiente de

atrito entre os blocos e o solo vale 𝜇, o que

acontecerá quando as forças forem retiradas

simultaneamente?

Resposta:

i) Se 𝐹 ≤ 𝜇𝑚𝑔, os blocos não se moverão;

ii) Se 𝜇𝑀𝑔 ≥ 𝐹 > 𝜇𝑚𝑔, o bloco menor irá se

mover;

iii) Se 𝐹 ≥ 𝜇𝑀𝑔, os dois blocos se moverão em

sentidos opostos.

9. Em um plano horizontal absolutamente liso, se

encontram em repouso duas barras elásticas de

massa 𝑚 unidas por uma mola de constante

elástica 𝑘. Sobre a barra da esquerda, uma

terceira barra de mesma massa colide com uma

velocidade 𝑣0.

a) Demonstre que as barras ligadas pela bola se

moverão sempre na mesma direção;

b) Determinar a velocidade das mesmas quando a

deformação for máxima.

Resposta:

a) Demonstração;

b) 𝑣0/2.

10. Sobre um plano inclinado de um ângulo 𝛼,

deslizam dois corpos de massas iguais a 𝑚. Os

corpos estão unidos por um mola de constante

elástica 𝑘, que a princípio não está deformada.

Determine a máxima distância entre os blocos,

sabendo que o coeficiente de atrito entre o

segundo bloco e o plano é 𝜇. Não existe atrito

entre o bloco 1 e o solo.

Resposta:

i) 𝑥 =𝜇𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼

2𝑘[1 + √1 − 2 (1 −

𝑡𝑔𝛼

𝜇)

2

] , 𝑝𝑎𝑟𝑎 tgα ≤

μ ≤ 3tgα

ii) 𝑥 =𝜇𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑘, 𝑝𝑎𝑟𝑎 μ ≤ tgα

iii) 𝑖𝑖𝑖) 2𝑚𝑔 𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑘, 𝑝𝑎𝑟𝑎 μ ≥ tgα

11. (ITA-adaptada) Um sistema é composto por duas massas idênticas ligadas por uma mola de constante 𝑘, e repousa sobre uma superfície plana, lisa e horizontal. Uma das massas é então aproximada da outra (de forma que a segunda massa permaneça apoiada sobre uma parede), comprimindo 𝑥0 = 2,0 𝑐𝑚 da mola.

Uma vez liberado, o sistema inicia um movimento com o seu centro de massa deslocando com velocidade de 18,0 cm/s numa determinada direção. O período de oscilação de cada massa é: a) 0,70 s b) 0,35 s c) 1,05 s d) 0,25 s e) indeterminado, pois a constante da mola não é

conhecida.

12. No interior de um carrinho de massa 𝑀 mantido em repouso, uma mola de constante elástica 𝑘 encontra-se comprimida de uma distância 𝑥, tendo uma extremidade presa e a outra conectada a um bloco de massa 𝑚, conforme a figura. Sendo o sistema então abandonado e considerando que não há atrito, pode-se afirmar que o valor inicial da aceleração do bloco relativa ao carrinho é:

𝑎)𝑘𝑥/𝑚 𝑏) 𝑘𝑥/𝑀 𝑐) 𝑘𝑥/(𝑚 + 𝑀) 𝑑) 𝑘𝑥(𝑀 − 𝑚)/𝑚𝑀 𝑒) 𝑘𝑥(𝑀 + 𝑚)/𝑚𝑀

13. Um elevador sobe verticalmente com aceleração constante e igual a 𝑎. No seu teto está preso um conjunto de dois sistemas massa-mola acoplados em série, conforme a figura. O primeiro tem massa 𝑚1 e constante de mola 𝑘1, e o segundo, massa 𝑚2 e constante de mola 𝑘2. Ambas as molas têm o mesmo comprimento natural (sem deformação) 𝑙. Na condição de equilíbrio estático relativo ao elevador, a deformação da mola de constante 𝑘1 é 𝑦, e a da outra, 𝑥. Pode-se então afirmar que (𝑦 − 𝑥) é:

𝑎) [(𝑘2 − 𝑘1)𝑚2 + 𝑘2𝑚1](𝑔 − 𝑎)/𝑘1𝑘2. 𝑏) [(𝑘2 + 𝑘1)𝑚2 + 𝑘2𝑚1](𝑔 − 𝑎)/𝑘1𝑘2. 𝑐) [(𝑘2 − 𝑘1)𝑚2 + 𝑘2𝑚1](𝑔 + 𝑎)/𝑘1𝑘2. 𝑑) [(𝑘2 + 𝑘1)𝑚2 + 𝑘2𝑚1](𝑔 + 𝑎)/𝑘1𝑘2 − 2𝑙. 𝐸 ( ) [(𝑘2 − 𝑘1)𝑚2 + 𝑘2𝑚1](𝑔 + 𝑎)/𝑘1𝑘2 + 2𝑙.

14. No plano inclinado, o corpo de massa m é preso a

uma mola de constante elástica k, sendo barrado à

frente por um anteparo. Com a mola no seu

comprimento natural, o anteparo, de alguma forma,

inicia seu movimento de descida com uma aceleração

constante a. Durante parte dessa descida, o anteparo

mantém contato com o corpo, dele se separando

somente após certo tempo. Desconsiderando

quaisquer atritos, podemos afirmar que a variação

máxima do comprimento da mola é dada por:

a) [𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑚√𝑎(2𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑎)]/𝑘

b) [𝑚𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑚√𝑎(2𝑔𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑎)]/𝑘

c) [𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 + 𝑚√𝑎(2𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑎)]/𝑘

d) 𝑚(𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼 − 𝑎)/𝑘

e) 𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝛼/𝑘

15. Sobre uma mesa horizontal e lisa se encontram dois

corpos iguais unidos por uma mola de constante K.

Uma força horizontal F começa a atuar no corpo da

direita. O movimento oscilatório se extingue

vagarosamente e causa fricção na mola de tal

maneira que após certo tempo os corpos se movem

com mesma aceleração uniforme. Qual a quantidade

de calor dissipada neste intervalo de tempo?

Resposta: 𝑄 = 𝐹2/8𝑘