Mapa de KarnaughOrigem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

Mapa de Karnaugh é um método de simplificação gráfico criado por Edward Veitch (1952) e aperfeiçoado pelo engenheiro de telecomunicaçõesMaurice Karnaugh. Chamamos esse diagrama de mapa, visto este ser um mapeamento biunívoco a partir de uma tabela verdade da função que estáa ser analisada.

Ele é utilizado para simplificar uma equação lógica ou para converter uma tabela verdade no seu circuito lógico correspondente.

O método de leitura por "mapa de Karnaugh" é considerado mais simples que a "álgebra booleana", pois elimina o problema de erro nassimplificações. Porém quando utilizado mais de 6 entradas, esse metódo se torna complicado, pois fica difícil identificar as células adjacentes nomapa. Para esse caso são utilizados soluções algorítmicas computacionais.

Índice

1 Exemplos1.1 Mapa de Karnaugh para duas váriaveis1.2 Mapa de Karnaugh para três váriaveis1.3 Mapa de Karnaugh para quatro váriaveis

1.3.1 Explicando a denotação do mapa1.4 Mapa de Karnaugh para cinco váriaveis

1.4.1 Explicando a denotação do mapa com 5 variáveis2 Ligações externas

Exemplos

Mapa de Karnaugh para duas váriaveis

Utiliza­se a seguinte tabela­verdade para montar o mapa de Karnaugh, onde A e B são as entradas e F a saída:

A B F 0. 0 0 S0=1 1. 0 1 S1=0 2. 1 0 S2=1 3. 1 1 S3=1

Quando utilizada duas variáveis, o mapa de Karnaugh apresenta a seguinte configuração. Onde cada espaço será completado com seu nível lógicoequivalente.Como já possuímos as saídas da tabela verdade do exemplo, colocaremos as mesmas no mapa de Karnaugh.

Com o mapa já construído, deve­se diferenciar os mintermos, ou seja, considerar somente os campos que possuem 1 como solução final. Elesdevem ser agrupados em pares, para isso ocorrer os elementos tem que estar lado­a­lado, pode ser tanto na horizontal como na vertical. Separandoem pares, obtem­se:

Os campos selecionados com a cor azul, estão respectivamente na coluna B(negado). Já os campos selecionados com a cor laranja estão na linha A.Formando assim a expressão simplificada:

Mapa de Karnaugh para três váriaveis

Utiliza­se a seguinte tabela­verdade para esse exemplo, onde A, B e C são entradas e F a saída:

A B C F 0. 0 0 0 S0=0 1. 0 0 1 S1=1 2. 0 1 0 S2=0 3. 0 1 1 S3=1 4. 1 0 0 S4=1 5. 1 0 1 S5=1 6. 1 1 0 S6=1 7. 1 1 1 S7=0

Selecionando os elementos que estão no nível lógico 1, obtemos a seguinte expressão ,

na qual é possível simplificar pelo mapa de Karnaugh. Quando utilizarmos três variáveis, o mapa apresenta a configuração apresentada abaixo,completando o mapa com as saídas obtidas da tabela verdade, teremos:

Os campos selecionados com a cor amarela, estão na coluna da variável C e linha da variável A(negado). Já os elementos com a cor verde,pertencem à coluna da variável C(negado) e linha da variável A. Os elementos circundados de rosa, são da coluna B(negado) e C. Sendo assim, asimplificação da equação é:

Mapa de Karnaugh para quatro váriaveis

Primeiramente vamos pegar os resultados da tabela verdade para continuarmos o exemplo.

A B C D F 0. 0 0 0 0 S0 = 0 1. 0 0 0 1 S1 = 1 2. 0 0 1 0 S2 = 1 3. 0 0 1 1 S3 = 1 4. 0 1 0 0 S4 = 0 5. 0 1 0 1 S5 = 1 6. 0 1 1 0 S6 = 0 7. 0 1 1 1 S7 = 1 8. 1 0 0 0 S8 = 1 9. 1 0 0 1 S9 = 1 10. 1 0 1 0 S10 = 0 11. 1 0 1 1 S11 = 1 12. 1 1 0 0 S12 = 1 13. 1 1 0 1 S13 = 1 14. 1 1 1 0 S14 = 0 15. 1 1 1 1 S15 = 1

Nesta tabela pode­se observar os valores das variáveis "A", "B", "C", "D" e o resultado final("F") da expressão. Agora que já possuímos as saídasda tabela verdade, colocaremos as mesmas no mapa de Karnough. A tabela mostrada acima possui 16 saídas, assim, o arranjo mais conveniente, éuma matriz 4x4, desta forma.

Com o mapa já construído, o que devemos fazer agora, é diferenciar os mintermos dos maxtermos, ou seja, considerar somente os locais que

possuem 1 como solução final.

Explicando a denotação do mapa

Cada “símbolo” sendo eles A, B, C, D ou suas respectivas negações, correspondem a 8 campos cada. A visão pelo mapa, depende desses campos,sendo assim, as maiores aglomerações de valores 1, vão ser a solução final da expressão. Essas aglomerações devem ser quadrados ou retângulos etambém devem conter quantidades baseadas em potências de 2, ou seja, 2, 4 ou 8.

Exemplos

As maiores quantidades de locais com valor 1 que conseguimos verificar são:

Os campos selecionados com a cor azul, estão respectivamente na coluna da variável C e na linha das variáveis B(negado) e A(negado). A cor roxaseleciona todos os campos da variável D. A cor verde seleciona alguns campo na linha da variável A e coluna da negação da variável C(negado).Sendo assim, a expressão simplificada para este exemplo é a seguinte:

Mapa de Karnaugh para cinco váriaveis

O mapa de Karnaugh utilizando 5 variáveis, é representado por 25 soluções, ou seja, 32 saídas da função. Para esta representação, utilizamos duasmatrizes 4x4. Veremos abaixo um exemplo, para melhor entendimento e utilização desse método.

A B C D E F 0. 0 0 0 0 0 S0 = 0 1. 0 0 0 0 1 S1 = 1 2. 0 0 0 1 0 S2 = 0 3. 0 0 0 1 1 S3 = 0 4. 0 0 1 0 0 S4 = 0 5. 0 0 1 0 1 S5 = 1 6. 0 0 1 1 0 S6 = 0 7. 0 0 1 1 1 S7 = 0 8. 0 1 0 0 0 S8 = 1 9. 0 1 0 0 1 S9 = 1 10. 0 1 0 1 0 S10 = 1 11. 0 1 0 1 1 S11 = 0 12. 0 1 1 0 0 S12 = 0 13. 0 1 1 0 1 S13 = 1 14. 0 1 1 1 0 S14 = 1 15. 0 1 1 1 1 S15 = 0 16. 1 0 0 0 0 S16 = 0 17. 1 0 0 0 1 S17 = 0 18. 1 0 0 1 0 S18 = 0 19. 1 0 0 1 1 S19 = 0 20. 1 0 1 0 0 S20 = 0 21. 1 0 1 0 1 S21 = 1 22. 1 0 1 1 0 S22 = 0 23. 1 0 1 1 1 S23 = 0 24. 1 1 0 0 0 S24 = 0 25. 1 1 0 0 1 S25 = 0 26. 1 1 0 1 0 S26 = 0 27. 1 1 0 1 1 S27 = 0 28. 1 1 1 0 0 S28 = 1 29. 1 1 1 0 1 S29 = 1 30. 1 1 1 1 0 S30 = 0

31. 1 1 1 1 1 S31 = 1

Nesta tabela podemos observar os valores das variáveis “A”, “B”, “C”, “D”, “E” e o resultado final(F) da expressão.

Agora que já possuímos as saídas da tabela verdade, colocaremos as mesmas no mapa de Karnaugh da seguinte forma:

Com o mapa já construído, o que devemos fazer agora, é diferenciar os mintermos dos maxtermos, ou seja, considerar somente os locais quepossuem 1 como solução final.

Explicando a denotação do mapa com 5 variáveis

Cada “símbolo” sendo eles A, B, C, D, E ou suas respectivas negações, correspondem a 16 campos cada. A visão pelo mapa, depende dessescampos, sendo assim, as maiores aglomerações de valores 1, vão ser a solução final da expressão. Essas aglomerações devem ser quadrados ouretângulos e também contendo quantidades baseadas em potências de 2, ou seja, 2, 4, 8 ou 16.

Solução do exemplo

Os campos selecionados com a cor amarela estão respectivamente no lado

correspondente a variável A(negado), pertencendo ás linhas das variáveis B e C(negado) e na coluna da variável D(negado).

A cor roxa seleciona campos que pertencem ao lado correspondente á variável A(negado), nas colunas das variáveis D e E(negado) e também nalinha da variável B. A cor verde seleciona campos tanto em A(negado) quanto A, pertence a linha da variável C e as colunas das variáveisD(negado) e E. A cor azul seleciona os campos no lado correspondente á variável A, nas linhas das variáveis C e B.

A cor laranja seleciona campos que pertencem ao lado correspondente á variável A, nas colunas das variáveis D e E(negado) e também na linha davariável C. Sendo assim, a expressão final para este exemplo é a seguinte:

Ligações externas

Karma (http://www.inf.ufrgs.br/logics/) Software acadêmico para visualização e solução de mapas de Karnaugh de 2 até 8 variáveis, além deoutras ferramentas relacionadas a síntese lógica. LogiCS, UFRGS.Gorgeous Karnaugh K­Maps minimization software (http://purefractalsolutions.com/show.php?a=xgk/gkfree) um dos melhores no softwarede redução ao mínimo de K­mapas mundialMapas de Karnaugh (http://www.inf.ufsc.br/ine5365/mapkarn.html) na página da disciplina de Circuitos Lógicos(http://www.inf.ufsc.br/ine5365/) da Universidade Federal de Santa CatarinaMapa de karnaugh em Java (http://www­ihs.theoinf.tu­ilmenau.de/~sane/projekte/karnaugh/embed_karnaugh.html)Calculadora de Veitch Karnaugh (http://mangesemeletrica.webnode.com.br/softwares/)

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