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2
Matemática
Elementar
Material
Didático
Maio 2016
Equipe de Matemática: (PCNA - Maio de 2016)
José Benício da Cruz Costa
(Coordenação)
Monitores:
Daniel de Souza Avelar da Costa
Fernanda Lacerda Palheta
João Marcos Costa de Oliveira
Lucas Carvalho de Paula
Mellina Modesto Lisboa
Murilo Henrique Silva da Silva
Universidade Federal do Pará
3
Equipe de Professores
Alexandre Guimarães Rodrigues
(Coordenação Geral)
Matemática:
José Benício da Cruz Costa
(Coordenação)
Rosana Paula de Oliveira Soares
Rita de Cássia Carvalho Silva
Química:
Shirley Cristina Cabral Nascimento
(Coordenação)
Marlice Cruz Martelli
Ana Rosa C.L.M. Duarte
Marcos Vinícius de Souza Pinto
Física:
Alexandre Guimarães Rodrigues
(Coordenação)
José Benício da Cruz Costa
4
SUMÁRIO
1. Aritmética e Expressões Algébricas .... 5
1.1.Ordem de prescedência dos
Cálculos ........................................... 5
1.2. Operações com Numeros
Fracionarios .................................... 5
1.3. Expressões Algébricas ..................... 7
1.4. Potenciação ..................................... 8
1.5. Radiciação...................................... 10
1.6. Racionalização de
Denominadores. ........................... 11
1.7.Logaritmo ....................................... 13
1.8.Módulo ou Valor Absoluto ............. 15
1.9.Polinomios ...................................... 17
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ...................... 24
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
PROPOSTOS .................................. 26
2. Intervalos e Inequações ............... 2828
2.1. Intervalos ................................... 2828
2.2. Inequações ................................ 2929
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ...................... 32
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
PROPOSTOS .................................. 33
3. Função .............................................. 34
3.1. Definição ........................................ 34
3.2. Domínio, Contradomínio e
Imagem ......................................... 34
3.3. Tipo de Funções ............................. 37
3.4. Gráfico de Funções ........................ 40
3.5. Função Polinomial de 1° Grau ....... 41
3.6. Função Polinomial de 2° Grau ....... 43
3.7. Função Exponencial ...................... 46
3.8. Função Logarítmica ...................... 48
3.9. Função Inversa .............................. 48
3.10. Função Composta ....................... 50
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ...................... 51
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
PROPOSTOS .................................. 52
4. Geometria Plana e espacial .............. 54
4.1. Ponto ............................................. 54
4.2. Reta ............................................... 54
4.3. Plano ............................................. 55
4.4. Espaço ........................................... 56
4.5. Segmentos de Reta ....................... 57
4.6. Circunferência e Círculo ................ 60
4.7. Ângulo ........................................... 62
4.8. Polígono ........................................ 66
4.9. Perímetro e Área ........................... 69
4.10. Volume ........................................ 71
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .......................... 75
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
PROPOSTOS .................................. 76
5. Geometria Analítica ......................... 77
5.1. Sistema Unidimensional de
Coordenadas Cartesianas ............. 77
5.2. Sistema Bidimensional de
Coordenadas Cartesianas ............. 79
5.3. Gráfico de uma Equação ............... 83
5.4. Equação da Reta ........................... 84
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ...................... 88
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
PROPOSTOS .................................. 89
6. Trigonometria .................................. 90
6.1. Conceitos Iniciais ........................... 90
6.2. Círculo Trigonométrico ................. 92
6.3. Relações Trigonométricas
Inversas ........................................ 97
6.4. Identidades Trigonométricas ........ 98
6.5. Funções Trigonométricas .............. 99
6.6. Sist. de Coordenadas Polares ..... 102
EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................... 106
Respostas dos Exercícios Propostos .. 106
5
1. Aritmética e Expressões
Algébricas
1.1. Ordem e Precedência dos Cálculos
Para efetuar o cálculo de expressões
numéricas ou algébricas deve-se
respeitar a seguinte ordem de
prioridade:
1) Agrupamentos prévios pelo uso
de traço de frações, radical,
parênteses, chaves e colchetes.
No caso de agrupamentos com
múltiplos por parênteses
resolver do interno ao externo;
2) Potenciação e radiciação;
3) Multiplicação e divisão;
4) Adição e subtração.
Exemplos:
1) 2 + 1 × 2 −6
2 × 5 + 3
= 2 + 2 − 3 × 5 + 3 =
= 2 + 2 − 15 + 3 = −8
2) ( 2 + 1). 2 −6
2 . (5 + 3) = 3 . 2 −
6
2 . 8
=
= 6 − 3 . 8 = 6 − 24 = −18
3) (( 2 + 1) . 2 −6
2) . (5 + 3)
= (3 . 2 −6
2) . 8 =
= ( 6 − 3) . 8 = 3 . 8 = 24
4) 12
4 + 2 . √7 + 2 =
12
6 . √9 = 2 . 3
= 6
1.2.Operações com Números Fracionários
1.2.1 Soma e Subtração
Para a soma ou a subtração de duas
frações deve-se observar se os
denominadores são iguais ou
diferentes.
1º Caso: Denominadores iguais
Neste caso, os numeradores devem ser
somados ou subtraídos, de acordo com
os sinais operatórios, e o valor do
denominador mantido.
a b a b
c c c
Exemplos:
1) 2
5+
4
5 =
6
5
2) 2
3 +
5
3−
4
3 = =
2 + 5 − 4
3=
3
3 = 1
3)28
10−
3
10+
5
10=
28 − 3 + 5
10=
30
10= 3
4) 9
8+
2
8−
1
8 =
9 + 2 − 1
8=
10
8
2º Caso: Denominadores diferentes
Neste caso, deve-se determinar com
antecedência o mínimo múltiplo
comum (MMC) entre todos os
denominadores das frações envolvidas,
de modo a igualar os denominadores e
aplicar a regra acima.
Exemplos:
1) Calcular a soma das frações
6
2
3+
9
4 = ?
Solução:
O MMC é obtido a partir da fatoração
dos denominadores, como segue
abaixo:
4,3 2
2,3 2
1,3 3
1,1 2.2.3 12
O MMC então é igual a 12. Prossegue-
se adotando o MMC como denominador
comum para as duas frações. Novos
numeradores são obtidos para ambas
as frações dividindo-se o MMC pelo
antigo denominador e multiplicando este
resultado pelo antigo numerador, como
exemplificado a seguir:
2 9 (12 3) 2 (12 4) 9 8 27 35
3 4 12 12 12 12
2) Calcular a soma das frações
2
5+
8
9−
7
12 = ?
Solução:
5,9,12 2
5,9,6 2
5,9,3 3
5,3,1 3
5,1,1 5
1,1,1 2 2 3 3 5 180
2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127
5 9 12 180 180 180 180 180 180 180
2 8 7 (180 5) 2 (180 9) 8 (180 12) 7 72 160 105 127
5 9 12 180 180 180 180 180 180 180
OBS: Para efetuar a soma de frações
com denominadores diferentes
podemos utilizar qualquer múltiplo
comum. A forma mais simples de
encontrar um múltiplo comum é
multiplicar todos os denominadores.
3) Calcular a soma das frações
2
5+
8
9−
7
12
=(9 . 12) . 2 + (5 . 12) . 8 − (5 . 9). 7
5 . 9 . 12
=108 . 2 + 60 . 8 − 45 . 7
540
=216 + 480 − 315
540 =
=381
540=
3 . 127
3 . 180=
3
3 .
127
180= 1 .
127
180
=127
180
1.2.2 Multiplicação de Frações
O produto de duas ou mais frações é o
produto dos seus numeradores dividido
pelo produto dos seus denominadores.
Exemplos:
1) 1
10 .
3
5 =
1 . 3
10 . 5 =
3
50
2) 3
14 .
21
15=
3 . 21
14 . 15 =
63
210 =
3 . 21
10 . 21 =
=3
10 .
21
21=
3
10 . 1 =
3
10
3) 10 .5
3 +
2
5−
1
4 =
50
3+
2
5−
1
4=
=(5 . 4). 50 + (3 . 4 ). 2 − (3 . 5 ). 1
3 . 5 . 4 =
=1000 + 24 − 15
60=
1009
60
7
4) 10 . (5
3 +
2
5) −
1
4
= 10 (5 . 5 + 3 . 2
3 . 5 ) −
1
4=
= 10. (25 + 6
15) −
1
4= 10 .
31
15−
1
4
=310
15−
1
4=
=4 . 310 − 15 .1
15 . 4=
1240 − 15
60=
1225
60=
=5 . 245
5 . 12 =
5
5 .
245
12 = 1 .
245
12=
245
12
1.2.3. Divisão de Frações
No caso de divisão entre frações
procede-se multiplicando a primeira
fração pelo inverso da segunda:
𝑎𝑏𝑐𝑑
=𝑎
𝑏 ÷
𝑐
𝑑 =
𝑎
𝑏 ×
𝑑
𝑐 =
𝑎 × 𝑑
𝑏 × 𝑐
Exemplos:
1)
1725
=1
7 ÷
2
5=
1
7 ×
5
2 =
5
14
2)
172
=1
7÷ 2 =
1
7 ∙
1
2 =
1
14
3)4
23
= 4 ÷2
3 =
4
1 ∙
3
2 =
12
2 = 6
4)2
13
−
132
= 2 ∙ 3 −1
3∙1
2 = 6 −
1
6
=36 − 1
6 =
35
6
1.3. Expressões Algébricas
Recebe o nome de expressão
algébrica a expressão matemática na
qual se faz uso de letras, números e
operações aritméticas. As letras
constituem a parte variável da
expressão, pois elas podem assumir
qualquer valor numérico. Continuam
válidas todas as regras da aritmética.
Exemplos:
1) 2 𝑥
3−
7
𝑥 =
𝑥. (2 𝑥) − 3 . 7
3 . 𝑥 =
2 𝑥2 − 21
3 𝑥
2) 2 𝑥 + 𝑦
𝑥−
4 𝑥
𝑦=
𝑦. (2 𝑥 + 𝑦) − 𝑥 . ( 4 𝑥)
𝑥 . 𝑦=
=2 𝑥 𝑦 + 𝑦2 − 4𝑥2
𝑥 𝑦
É comum necessitar simplificar as
expressões algébricas para a resolução
de problemas. Técnicas como
agrupamento, evidência do fator
comum, etc., são normalmente
adotadas para a simplificação e/ou
fatoração das expressões.
Exemplos:
Utilize as técnicas de agrupamento e
evidência dos fatores comuns para
simplificar as expressões algébricas
abaixo:
1) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦
= (𝑥 − 3 . 𝑥) + (2 . 𝑦 + 𝑦)
=
= 𝑥(1 − 3) + 𝑦 (2 + 1)
= −2 𝑥 + 3 𝑦
2) 𝑥 + 2 𝑦 − 3 (𝑥 + 𝑦)
= 𝑥 + 2𝑦 + (−3). (𝑥 + 𝑦)
=
= 𝑥 + 2 𝑦 + (−3 𝑥 − 3 𝑦) =
= (𝑥 − 3 𝑥) + (2 𝑦 − 3𝑦) =
8
= 𝑥(1 − 3) + 𝑦(2 − 3)
= −2 𝑥 − 𝑦
3) 𝑥 − (2 𝑦 − 3 𝑥 + 𝑦 )
= 𝑥 − (2 𝑦 + 𝑦 − 3𝑥) =
= 𝑥 − (3 𝑦 − 3 𝑥) = 𝑥 + 3𝑥 − 3 𝑦
= 4𝑥 − 3𝑦
4) 𝑥 + 2 (𝑦 − (3 𝑥 + 𝑦)) =
= 𝑥 + 2 ( 𝑦 + (−1) (3𝑥 + 𝑦)) =
= 𝑥 + 2 ( 𝑦 + (−3𝑥 − 𝑦)) =
= 𝑥 + 2 ( 𝑦 − 𝑦 − 3𝑥)
= 𝑥 + 2(−3𝑥) =
= 𝑥 − 6𝑥 = −5𝑥
A fatoração consiste em representar um
número ou uma expressão algébrica
como produto, respetivamente, de
outros números ou de outras
expressões algébricas.
Exemplos:
1) 6 𝑎 𝑏 − 12 𝑏 = 6 ∙ 𝑏 ∙ (𝑎 − 2)
2) 9 𝑥 − 3 𝑥 𝑦 = 3 ∙ 𝑥 ∙ (3 − 𝑦)
3) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥 + 𝑎 𝑦 + 𝑏 𝑦
= 𝑥(𝑎 + 𝑏) + 𝑦 (𝑎 + 𝑏) =
= (𝑎 + 𝑏) ∙ (𝑥 + 𝑦)
1.3.1 Simplificação de Frações
Algébricas
Para simplificar frações algébricas
devemos seguir a seguinte regra:
1º Passo: Fatorar o numerador e o
denominador
2º Passo: Dividir o numerador e
denominador em seus fatores comuns
Só podemos “cancelar” ou “cortar”
os fatores (termos) que estejam
multiplicando tanto o numerador
quanto o denominador.
Exemplos:
1) 2𝑥 − 4𝑦
2𝑥=
2 ∙ (𝑥 − 2𝑦)
2 ∙ 𝑥=
2
2∙𝑥 − 2𝑦
𝑥=
= 1 ∙ 𝑥 − 2𝑦
𝑥=
𝑥 − 2𝑦
𝑥
2) 𝑎 𝑥 + 𝑏 𝑥
𝑎 + 𝑏=
𝑥 (𝑎 + 𝑏)
𝑎 + 𝑏= 𝑥 ∙
𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏= 𝑥 ∙ 1 = 𝑥
1.4. Potenciação
A potenciação equivale a uma
multiplicação de fatores iguais.
De um modo geral, sendo 𝑎 um número
real e 𝑛 um número natural 𝑛 ≥
2 definimos:
𝒂𝒏 = 𝒂 ∙ 𝒂 ∙ … ∙ 𝒂
= 𝒑 (𝒏 𝒗𝒆𝒛𝒆𝒔 𝒐 𝒇𝒂𝒕𝒐𝒓 𝒂)
Exemplos:
1) 24 = 2. 2 .2 .2 = 16
2) (−2)2 = (−2). (−2) = 4
3) 33 = 3 . 3. 3 = 27
4) (−3)3 = (−3). (−3). (−3) = −27
Propriedades
Considere 𝑎 e 𝑏 números reais não
nulos, 𝑛 e 𝑚 inteiros:
𝒂𝒏 = 𝒑 expoente
base potência
9
1) Potência de expoente nulo e igual a
1:
𝑎0 = 1 𝑒 𝑎1 = 𝑎
2) Potência de base igual a 1:
1𝑛 = 1
3) Potencia de expoente negativo:
𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛
4) Multiplicação de potências de mesma
base:
𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
5) Divisão de potências de mesma base:
𝑎𝑛
𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚
6)Multiplicação de potências de
expoentes iguais:
𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛
7) Divisão de potências de expoentes
iguais:
𝑎𝑛
𝑏𝑛= (
𝑎
𝑏)
𝑛
8) Potência de uma potência:
(𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎)𝑛.𝑚
Exemplos:
Nos exemplos a seguir, abserve o uso
das propriedades da potência nas
expressões.
1) 24
2+
42
22+ (−3)−3
= 24−1 + (4
2)
2
+1
(−3)3
=
= 23 + 22 +1
−27= 8 + 4 −
1
27
= 8.27 + 4.27 − 1
27
=216 + 108 − 1
27=
323
27
2) (−3)−2 − (−3
7)
−3
=1
(−3)2−
1
(−37)
3
=
=1
(−3)2− (−
7
3)
3
=1
(−3)2−
73
(−3)3=
=1
(−3). (−3)−
7 . 7 .7
(−3). (−3). (−3)
=1
9− (−
343
27) =
=1
9+
343
27=
3 . 1 + 1 . 343
27=
346
27
3) 𝑥3 𝑦 ( 𝑥 𝑦)−2 =𝑥3 𝑦
(𝑥 𝑦)2 =
𝑥3𝑦
𝑥2 𝑦2=
= 𝑥3−2 𝑦1−2 = 𝑥1 𝑦−1 = 𝑥
𝑦
4) (𝑥3 +𝑥2
𝑥−3) . 𝑥−3
= 𝑥3. 𝑥−3 +𝑥2. 𝑥−3
𝑥−3=
= 𝑥3−3 + 𝑥 2−3−(−3) =
= 𝑥0 + 𝑥2 = 𝑥2 + 1
5)2𝑥
3𝑥 . 6𝑥 = (
2
3 . 6)
𝑥
= (12
3)
𝑥
= 4𝑥
= (22)𝑥 = 22𝑥
6) 2𝑥
3−2𝑥= 2𝑥 . 32𝑥 = 2𝑥 . (32)𝑥 = 2𝑥 . 9𝑥
=
= (2 . 9) 𝑥 = 18 𝑥
7) (𝑎2
𝑏3)
−3
. 𝑎 + 𝑏 = 𝑎−3.2
𝑏−3.3 . 𝑎 + 𝑏
=𝑎−6. 𝑎1
𝑏−9+ 𝑏 =
10
=𝑎−5
𝑏−9+ 𝑏 =
𝑏9
𝑎5+
𝑏
1
= 𝑏9 + 𝑎5. 𝑏
𝑎5
8) 𝑎2. (𝑎
𝑏)
−3
.𝑎
𝑏2= 𝑎2 .
𝑎−3
𝑏−3 .
𝑎
𝑏2
=𝑎2. 𝑎−3. 𝑎
𝑏−3. 𝑏2=
=𝑎2−3+1
𝑏−3+2=
𝑎0
𝑏−1=
1
𝑏−1 = 𝑏1
= 𝑏
Nos exemplos abaixo, determine o valor
de 𝑥 :
9) 3𝑥 = 9 → 3𝑥 = 32 ∴ 𝑥 = 2
10) 2𝑥 + 2𝑥+1 = 24 → 2𝑥 + 2𝑥 ∙ 21
= 24 →
2𝑥 ( 1 + 21) = 24 → 3 ∙ 2𝑥 = 24 →
2𝑥 =24
3 → 2𝑥 = 8 → 2𝑥 = 23 ∴ 𝑥
= 3
11) 6𝑥−2 + 5 ∙ 6𝑥−1 = 6𝑥 − 5
6𝑥
62+ 5 ∙
6𝑥
6− 6𝑥 = −5
6𝑥 + 5. 62 ∙6𝑥
6− 62. 6𝑥 = −62 ∙ 5
6𝑥 ∙ (1 + 30 − 36) = −36 ∙ 5
6𝑥 ∙ (−5) = −36 ∙ 5 → 6𝑥 = 36 →
6𝑥 = 62 ∴ 𝑥 = 2
1.5. Radiciação
A radiciação é uma operação
matemática inversa da potenciação, ou
seja,
𝑠𝑒 √𝑎𝑛
= 𝑏 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏𝑛 = 𝑎
onde o símbolo √ é o radical e 𝑛 ≠ 0.
Exemplos:
1) √164
= 𝑏 ⇔ 𝑏4 = 16 ⇔ 𝑏4 = (2)4
⇔ 𝑏 = 2
Logo √164
= 2
2) √−273
= 𝑏 ⇔ 𝑏3 = −27 ⇔ 𝑏3
= (−3)3 ⇔
𝑏 = −3 𝑙𝑜𝑔𝑜 √−273
= −3
3) √−16 = 𝑏 ⇔ 𝑏2 = −16
Como não existe um número que
elevado a um expoente par seja um
número negativo então
√−16 𝑛ã𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
Obs: Não existe raiz de um radicando
negativo se o índice for par.
Propriedades
Sejam 𝑛 ≠ 0 e 𝑚 ≠ 0
1) Raiz de radicando nulo:
√0𝑛
= 0
2) Raiz de índice unitário nulo:
√𝑎1 = 𝑎
3) Produto de radicais de mesmo índice:
√𝑎𝑛
. √𝑏𝑛
. √𝑐𝑛
= √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛
4) Divisão de radicais com mesmo
índice:
√𝑎𝑛
√𝑏𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
√𝒂𝒏
= 𝒃
índice
radicando raiz
11
5) Potência de uma raiz:
( √𝑎𝑛
)𝑚 = √𝑎𝑚𝑛
6) Raiz elevada a expoente igual ao seu
índice:
( √𝑎𝑛
)𝑛 = 𝑎
7) Raiz de uma raiz:
√ √𝑎𝑛𝑚
= √𝑎𝑛.𝑚
8) Multiplicação de raiz por uma
constante
𝑎 √𝑏𝑛
= √𝑎𝑛𝑏𝑛
A raiz é apenas uma forma de
representar a potenciação com
expoente fracionário. Assim, toda raiz
pode ser escrita em forma de potência
como:
√𝑎𝑚 𝑛
= 𝑎 𝑚𝑛
Exemplos:
1) Utilizando as regras da potenciação,
demonstre as seguintes regras da
radiciação:
𝑎) √0𝑛
= 0
√0𝑛
= 01
𝑛⁄ = 0
𝑏) √𝑎1 = 𝑎
√𝑎1 = 𝑎1
1⁄ = 𝑎1 = 𝑎
𝑐) √𝑎𝑛
. √𝑏𝑛
. √𝑐𝑛
= √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛
𝑎1
𝑛⁄ . 𝑏1
𝑛⁄ . 𝑐1
𝑛⁄ = (𝑎. 𝑏. 𝑐)1
𝑛⁄
= √𝑎. 𝑏. 𝑐 𝑛
𝑑) ( √𝑎𝑛
)𝑚 = √𝑎𝑚𝑛
( √𝑎𝑛
)𝑚 = (𝑎1
𝑛⁄ )𝑚
= 𝑎1.𝑚
𝑛⁄ = 𝑎𝑚
𝑛⁄
= √𝑎𝑚𝑛
𝑒) √ √𝑎𝑛𝑚
= √𝑎𝑛.𝑚
√ √𝑎𝑛𝑚
= √𝑎1
𝑛⁄𝑚
= (𝑎1
𝑛⁄ )1
𝑚⁄
= 𝑎1
𝑛⁄ .1 𝑚⁄ =
= 𝑎1
𝑛.𝑚⁄ = √𝑎𝑛.𝑚
Nos exemplos abaixo calcule as raízes
indicadas:
2) √−273
. √108 = √(−3)33 . √22. 33 =
= (−3). √22. 32. 3 = (−3). 2. 3 . √3
= −18 . √3
3) √356 ∙
√3
√33 =
35
6⁄ ∙ 31
2⁄
31
3⁄=
356+
12
31
3⁄=
38
6⁄
31
3⁄
=
= 386−
13 = 3
66 = 31 = 3
Simplifique as expressões abaixo,
considerando 𝑎 > 0
4) √𝑎 . √𝑎 = 𝑎1
2⁄ . 𝑎1
2⁄ = 𝑎12+
12 = 𝑎1
= 𝑎
5) √𝑎3
. √𝑎3
= 𝑎1
3⁄ . 𝑎1
3⁄ = 𝑎13+
13 = 𝑎
23⁄
= √𝑎23
6) √𝑎3
. √𝑎23= 𝑎
13⁄ . 𝑎
23⁄ = 𝑎
13+
23 = 𝑎
33⁄
= 𝑎
7) (√𝑎3 )3
= (𝑎3
2⁄ )3
= 𝑎3.32 = 𝑎
92⁄
= √𝑎9 =
= √𝑎8 . 𝑎 = √𝑎8. √𝑎 = 𝑎4√𝑎
1.6.Racionalização de
denominadores
12
Racionalização de denominadores é o
processo para a obtenção de uma
fração com denominador racional
equivalente a uma anterior que possuía
um ou mais radicais no denominador.
A técnica consiste em multiplicar os
termos desta fração por uma expressão
com radical, denominada fator
racionalizante.
1° Caso: O denominador é um radical
de incide 2 (raiz quadrada)
Neste caso o denominador tem a forma
√𝑎 .
O fator racionalizante de √𝑎 é √𝑎 pois:
√𝑎 ∙ √𝑎 = 𝑎12 ∙ 𝑎
12 = 𝑎
12+
12 = 𝑎1 = 𝑎
Exemplos:
1) 30
√2=
30
√2 ∙
√2
√2=
30 ∙ √2
√2 ∙ √2=
30 √2
212 ∙ 2
12
=
= 30 √2
2 = 15 √2
2) 3
4 √6=
3
4√6 ∙
√6
√6=
3 ∙ √6
4 ∙ √6 ∙ √6=
=3 √6
4 ∙ 612 ∙ 6
12
=3 √6
4 ∙ 6 =
√6
8
3) √𝑎3
√𝑎 =
√𝑎3
√𝑎 ∙√𝑎
√𝑎 =
𝑎13 ∙ 𝑎
12
𝑎12 ∙ 𝑎
12
= 𝑎
56
𝑎
=√𝑎56
𝑎
2° Caso: Quando no denominador há
um número somado ou diminuído à
uma raiz quadrada
Neste caso o denominador tem as
formas: 𝑎 + √𝑏 ou 𝑎 − √𝑏
O fator integrante de (𝑎 + √𝑏) é
(𝑎 − √𝑏) e o fator integrante de
(𝑎 − √𝑏) é (𝑎 + √𝑏) pois:
(𝑎 + √𝑏) ∙ (𝑎 − √𝑏) =
= 𝑎 ∙ 𝑎 − 𝑎 ∙ √𝑏 + 𝑎 ∙ √𝑏 − √𝑏 ∙ √𝑏
= 𝑎2 − 𝑏
Exemplos:
1) 3
4 + √5=
3
4 + √5 ∙
4 − √5
4 − √5
=3 ∙ (4 − √5)
42 − (√5 ∙ √5)=
=12 − 3 √5
16 − 5 =
12 − 3 √5
11
2) 5
2 − √3=
5
2 − √3 ∙
2 + √3
2 + √3
=5 ∙ (2 + √3)
22 − √3 ∙ √3=
=10 + 5 √3
4 − 3 =
10 + 5 √3
1
= 10 + 5 √3
3) √𝑎 − 𝑏
√𝑎 + 𝑏=
√𝑎 − 𝑏
√𝑎 + 𝑏 ∙
√𝑎 − 𝑏
√𝑎 − 𝑏=
=(√𝑎 − 𝑏) ∙ (√𝑎 − 𝑏)
(√𝑎 + 𝑏) ∙ (√𝑎 − 𝑏)=
=√𝑎 ∙ √𝑎 − 𝑏 √𝑎 − 𝑏√𝑎 + 𝑏2
(√𝑎)2
− 𝑏2
=𝑎 − 2 𝑏 √𝑎 + 𝑏2
𝑎 − 𝑏2
3° Caso: O denominador é um radical
de índice genérico 𝒏
Neste caso o denominador tem a forma
√𝑎𝑛
.
13
O fator racionalizante de √𝑎𝑛
é √𝑎𝑛−1𝑛=
𝑎𝑛−1
𝑛 pois:
√𝑎𝑛
∙ √𝑎𝑛−1𝑛= 𝑎
1𝑛 ∙ 𝑎
𝑛−1𝑛 = 𝑎
(1𝑛
+𝑛−1
𝑛)
= 𝑎1+𝑛−1
𝑛 = 𝑎𝑛𝑛 = 𝑎1 = 𝑎
Exemplos:
1) 5
√53 =
5
513
∙ 5
23
523
=5 √5
3
513+
23
=5 √5
3
51= √5
3
2) 1
√3 √33 =
1
312 ∙ 3
13
=1
3(3+2
6)
∙ =1
35 6
=
=1
35 6
∙3
16
316
=3
16
35+1
6
=√36
3
3) 2 + √2
4
√34 =
2 + √24
314
∙3
34
334
=(2 + √2
4) ∙ √334
3(1+3
4)
=
=2 ∙ √27
4+ √2
4∙ √27
4
31
=2 √27
4+ √54
4
3
4° Caso: O denominador é um radical
de incide genérico 𝒏 e radicando
elevado a uma potência genérica 𝒎
Neste caso o denominador tem a forma
√𝑎𝑚𝑛 com 𝒎 < 𝒏
O fator racionalizante de √𝑎𝑚𝑛 é
√𝑎𝑛−𝑚 = 𝑛
𝑎𝑛−𝑚
𝑛 pois:
√𝑎𝑚𝑛 ∙ √𝑎𝑛−𝑚𝑛
= 𝑎𝑚𝑛 ∙ 𝑎
𝑛−𝑚𝑛
= 𝑎(𝑚𝑛
+𝑛−𝑚
𝑛)
=
= 𝑎𝑚+𝑛−𝑚
𝑛 = 𝑎𝑛𝑛 = 𝑎1 = 𝑎
Exemplos:
1) 21
√725 = 21
725
∙ 7
35
735
=21 √735
7(25+
35)
=21 √735
7
= 3 √735
2) 1
√373 = 1
√33 ∙ 33 ∙ 33 =
1
√333∙ √333
∙ √33
=
=1
3 ∙ 3 ∙ √33 =
1
32 ∙ √33
=
1
32 ∙ √33
=1
32 ∙ 313
∙3
23
323
=
=3
23
32 ∙ 3(13+
23)
=√323
32 ∙ 31=
√323
33=
√93
27
1.7. Logaritmo
O logaritmo de um número positivo 𝑎 na
base 𝑏, positiva e diferente de 1, é o
expoente 𝑐 que se deve elevar 𝑏 para
obter 𝑎.
𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑐 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑏𝑐
= 𝑎
onde 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 𝑒 𝑏 ≠ 1.
A notação do logaritmo decimal, de
base igual a 10, é:
log 𝑎 = log10 𝑎
logaritmo
base logaritmando
𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒂 = 𝒄
14
A notação do logaritmo natural, de
base igual ao número de Euler 𝑒 ≅
2.71828, é:
ln 𝑎 = log𝑒 𝑎
Nota: Não devemos confundir logaritmo
natural e logaritmo neperiano. Algumas
vezes ambos são tratados como
sinônimos, mas na verdade o logaritmo
neperiano refere-se a um logaritmo na
base 1 𝑒⁄ .
Exemplos:
1) log 100 = 𝑥 → 10𝑥 = 100 → 10𝑥
= 102 ∴ 𝑥 = 2
2) log 0,1 = 𝑥 → 10𝑥 = 0,1 → 10𝑥
= 10−1
∴ 𝑥 = −1
3) 𝑙𝑜𝑔2 4 = 𝑥 → 2𝑥 = 4 → 2𝑥 = 22
∴ 𝑥 = 2
4) 𝑙𝑜𝑔2 (1
32) = 𝑐 → 2𝑐 =
1
32→ 2𝑐 =
1
25
→ 2𝑐 = 2−5
∴ 𝑐 = −5
5) 𝑙𝑜𝑔3 1 = 𝑥 → 3𝑥 = 1 → 3𝑥 = 30 ∴ 𝑐
= 0
6) 𝑙𝑜𝑔14
(2√2) = 𝑥 → (1
4)
𝑥
= 2 √2 →
(1
22)
𝑥
= 2 ∙ 212 → (2−2)𝑥 = 2
(1+12)
→
2−2𝑥 = 232 ∴ −2𝑥 =
3
2 → 𝑥 = −
3
2
7) ln1
𝑒= 𝑐 → 𝑒𝑐 =
1
𝑒→ 𝑒𝑐 = 𝑒−1 ∴ 𝑐
= −1
8) ln 𝑒 = 𝑐 → 𝑒𝑐 = 𝑒 → 𝑒𝑐 = 𝑒1 ∴ 𝑐 = 1
9) Calcule o valor de log 1,4 usando a
definição de logaritmo e as
aproximações: 2 = 100,301 e 7 = 100,845.
Solução:
log 1,4 = 𝑥 → 10𝑥 = 1,4 → 10𝑥 =14
10→
10𝑥 =2 ∙ 7
10 → 10𝑥 = 2 ∙ 7 ∙ 10−1 →
10𝑥 = 100,301 ∙ 100,845 ∙ 10−1 →
10𝑥 = 100,301+0,845−1
10𝑥 = 100,146
∴ 𝑥 = 0,146 → log 1,4 = 0,146
Propriedades
1) Logaritmo de 1 em qualquer base b é 0.
𝑙𝑜𝑔𝑏 1 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏0 = 0
2) Logaritmo da base é 1.
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑏1 = 1
3) Logaritmo de um produto
𝑙𝑜𝑔𝑏(𝑎. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 + 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
4) Logaritmo de um quociente
𝑙𝑜𝑔𝑏 (𝑎
𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 − 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑐
5) Logaritmo de uma potência
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎𝑛 = 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎
6) Mudança da base b para a base c
𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑎
𝑙𝑜𝑔𝑐 𝑏
15
7) Igualdade de logaritmos de mesma base
𝑠𝑒 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑦 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑥= 𝑦
8) Relações entre potências e logaritmos de mesma base.
log𝑏 𝑏𝑎 = 𝑎 𝑒 𝑏𝑙𝑜𝑔𝑏 𝑎 = 𝑎
Exemplos:
1) 𝑙𝑜𝑔(0,1 ∙ √10) = 𝑙𝑜𝑔 0,1 + 𝑙𝑜𝑔 √10 =
= 𝑙𝑜𝑔10−1 + 𝑙𝑜𝑔1012 = −1 +
1
2= −
1
2
2) 𝑙𝑜𝑔2 (1
16) = 𝑙𝑜𝑔2 1 − 𝑙𝑜𝑔2 16 =
= 𝑙𝑜𝑔2 20 − 𝑙𝑜𝑔2 24 = 0 − 4 = −4
3) 2𝑙𝑜𝑔2 4 = 4
4) 4𝑙𝑜𝑔2 4 = (22)𝑙𝑜𝑔2 4 = 22.𝑙𝑜𝑔2 4
= 2𝑙𝑜𝑔2 42=
= 2𝑙𝑜𝑔2 16 = 16
5) 𝑒−3 𝑙𝑛 𝑥 = 𝑒𝑙𝑛 𝑥−3= 𝑥−3
6) 3 ln(𝑎) + ln(𝑏) − ln (𝑒) = ln (𝑎3 ∙ 𝑏
𝑒)
Resolva as equações abaixo:
7) log√2 𝑥 = −3
Solução:
(√2)−3
= 𝑥 → 𝑥 =1
(√2)3 → 𝑥 =
1
√23
→
𝑥 =1
2 √2→ 𝑥 =
1
2 √2∙√2
√2 → 𝑥 =
√2
4
8) 3 ln 𝑥 = 2
Solução:
ln 𝑥 =2
3 → 𝑒
23 = 𝑥 → 𝑥 = √𝑒23
9) 2 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔2 4
Solução:
𝑙𝑜𝑔2 𝑥2 = 𝑙𝑜𝑔2 22 ∴ 𝑥2 = 4 ∴
𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2 , 𝑝𝑜𝑖𝑠 (−2)2 = (2)2 = 4
Como o logaritmando 𝑥 não pode ser
negativo, só 𝑥 = 2 é solução da
equação.
10) 3 𝑒4𝑥+8 = 1
Solução:
𝑒4𝑥+8 =1
3
Para isolar a variável 𝑥 na equação é
necessário aplicar o logaritmo ln nos
dois lados da equação, então:
ln(𝑒4𝑥+8) = ln (1
3) → 4𝑥 + 8
= ln 1 − ln 3 →
4𝑥 + 8 = 0 − ln 3 → 4𝑥 = −8 − ln 3 →
𝑥 = −8 − ln 3
4 ∴ 𝑥 = −2 −
1
4ln 3
1.8. Módulo ou Valor Absoluto
A todo número real 𝑥 associa-se um
valor absoluto, também chamado de
módulo, representado por |𝑥| definido
por :
|𝑥| = {𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
16
O módulo de um número positivo ou
nulo é o próprio número
|4| = 4 ; |0| = 0
O módulo de um número negativo é
o oposto dele mesmo
|−3| = −(−3) = 3 ; |−√5|
= −(−√5 ) = √5
De acordo com a definição acima, para
todo 𝑥 ∈ ℜ tem-se |𝑥| ≥ 0, ou seja, o
módulo de um número real é sempre
positivo ou nulo.
Geometricamente, o módulo um número
real é, na reta numérica, a distância
entre este número e a origem.
O número -2 está a 2 unidades de
medida à esquerda da origem. Assim,
sua distância à origem é 2. Dizemos,
então, que o módulo ou valor absoluto
de -2 é 2, indicado por |−2| = 2.
O número 3 está a 3 unidades de
medida à direita da origem. Assim, sua
distância à origem é 3. Dizemos, então,
que o módulo ou valor absoluto de 3 é
3, indicado por |3| = 3.
Se considerarmos dois números reais 𝑥
e 𝑦 associados aos pontos 𝑋 e 𝑌 na reta
real, então |𝑥 – 𝑦| corresponde a
distância entre os dois pontos.
Propriedades
1) |𝑥| ≥ 0
2) |𝑥| = | − 𝑥|
3) |𝑥. 𝑦| = |𝑥|. |𝑦|
4) |𝑥/𝑦| = |𝑥|/|𝑦| com 𝑦 ≠ 0
5) |𝑥| = |𝑦| 𝑠𝑒 𝑒 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑥 =
± 𝑦
6) √𝑥𝑛𝑛= {
|𝑥| 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
; 𝑥 ∈
ℛ
Observação:|𝑥 ± 𝑦| ≠ |𝑥| ± |𝑦|
Exemplos:
1) De acordo com a definição e as
propriedades do módulo, calcule:
𝑎) |−3 + 5| = | 2| = 2
𝑏) |−3 − 5| − |−3| = |−8| − |−3|
= 8 − 3 = 5
𝑐) |(−2). 3| = |−2|. |3| = 2 . 3 = 6
𝑑) √(−3)2 = |−3| = 3
𝑒) √(−3)33 = −3
𝑓) |2 𝑥 + 1
𝑥| 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = −3
|2 (−3) + 1
−3| = |
−5
−3| =
| − 5|
| − 3|
=5
3
2) Sejam |𝑎| = 10, |𝑏| = 2 e 𝑐 = −5,
calcule as expressões:
𝑎) | 𝑎2. 𝑏|
| 𝑎2. 𝑏| = |𝑎2|. |𝑏| = |𝑎|. |𝑎|. |𝑏| = 10.10.2
= 200
0 -2 3
2 3
ℜ
17
𝑏) |𝑎
𝑐| =
|𝑎|
|𝑐|=
10
| − 5|=
10
5= 2
𝑐) √𝑐22= |𝑐| = |−5| = 5
𝑑) √𝑐33= 𝑐 = −5
3) Resolva as equações abaixo:
𝑎) |𝑥 + 2| = 8
Solução:
𝑠𝑒 𝑥 + 2 ≥ 0
|𝑥 + 2| = (𝑥 + 2) = 8 ∴ 𝑥 = 8 − 2 = 6
𝑠𝑒 𝑥 + 2 < 0
|𝑥 + 2| = −(𝑥 + 2) = 8
𝑥 + 2 = −8 ∴ 𝑥 = −8 − 2 ∴ 𝑥 = −10
Portanto 𝑥 = 6 ou 𝑥 = −10
𝑏) |2𝑥 + 1| = 3.
Solução:
se (2𝑥 + 1) ≥ 0 → |2𝑥 + 1| = 2𝑥 + 1 =
3
2𝑥 + 1 = 3 → 2𝑥 = 3 − 1 → 2𝑥
= 2 →
𝑥 =2
2= 1
se (2𝑥 + 1) < 0 → |2𝑥 + 1| = −( 2𝑥 +
1) = 3
-(2𝑥 + 1) = 3 → 2𝑥 + 1 =
−3 →
2𝑥 = −4 → 𝑥 =−4
2→ 𝑥 = −2
Portanto 𝑥 = 1 ou 𝑥 = −2
𝑐) |4𝑥 + 1| = |5 − 2𝑥|
Solução:
Pela propriedade 5 temos:
4𝑥 + 1 = ±(5 − 2𝑥)
4𝑥 + 1 = 5 − 2𝑥 → 6𝑥 = 4 → 𝑥 =2
3
4𝑥 + 1 = −5 + 2𝑥 → 2𝑥 = −6 → 𝑥 =
−3
Portanto 𝑥 = −3 ou 𝑥 =2
3
𝑑) √𝑥2 = 8
Solução:
√𝑥2 = |𝑥| = 8
𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 → |𝑥| = 𝑥 = 8 ∴ 𝑥 = 8
𝑠𝑒 𝑥 < 0 → |𝑥| = −𝑥 = 8 ∴ − 𝑥 = 8
∴ 𝑥 = −8
Portanto 𝑥 = 8 ou 𝑥 = −8
1.9. Polinômios Define-se um polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛
a expressão algébrica na seguinte
forma:
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ +𝑎1𝑥 + 𝑎0
Em que os coeficientes
𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, … , 𝑎1e 𝑎0 são números reais e
𝑛 é um número inteiro. O grau do
polinômio é grau de seu termo
(monômio) de maior potência.
Exemplos:
O polinômio 𝑏(𝑥) = 3 − 5𝑥2 + 𝑥 é um
polinômio de 2º grau completo.
O polinômio 𝑐(𝑥) = 𝑥3 − 𝑥 é de 3º grau,
com coeficientes 𝑎2 = 𝑎0 = 0.
1.9.1. Adição e Subtração de
Polinômios
Para adicionar ou subtrair dois
polinômios devemos somar ou subtrair
os termos de mesmo grau.
Exemplos:
1) Sejam os polinômios:
𝑝(𝑥) = 5 − 3𝑥2 − 𝑥 + 2𝑥3
𝑞(𝑥) = 4𝑥 − 2 + 𝑥4 − 6𝑥2
18
a) Calcule 𝑟(𝑥) = 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)
Solução:
𝑟(𝑥) = [ 5 − 3𝑥2 − 𝑥 + 2𝑥3] + [4𝑥 − 2
+ 𝑥4 − 6𝑥2]
(organize por ordem decrescente do
grau)
𝑟(𝑥) = [ 2 𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 5] + [𝑥4 − 6𝑥2
+ 4𝑥 − 2]
(agrupe os termos de mesmo grau)
𝑟(𝑥) = 𝑥4 + 2 𝑥3 − 3 𝑥2 − 6 𝑥2 − 𝑥 + 4𝑥
+ 5 − 2
𝑟(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 + (−3 − 6)𝑥2
+ (−1 + 4)𝑥 +
+ (5 − 2)
𝑟(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 9𝑥2 + 3𝑥 + 3
b) Calcule 𝑠(𝑥) = 𝑝(𝑥) − 𝑞(𝑥)
Solução:
𝑠(𝑥) = [ 5 − 3𝑥2 − 𝑥 + 2𝑥3] − [4𝑥 − 2
+ 𝑥4 − 6𝑥2]
𝑠(𝑥) = [ 2 𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 5] − [𝑥4 − 6𝑥2
+ 4𝑥 − 2]
𝑠(𝑥) = 2 𝑥3 − 3𝑥2 − 𝑥 + 5 − 𝑥4 + 6𝑥2
− 4𝑥 + 2
𝑠(𝑥) = −𝑥4 + 2 𝑥3 − 3 𝑥2 + 6 𝑥2 − 𝑥
− 4𝑥 + 5 + 2
𝑠(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 + (−3 + 6)𝑥2
+ (−1 − 4)𝑥 +
+ (5 + 2)
𝑠(𝑥) = −𝑥4 + 2𝑥3 + 3𝑥2 − 5𝑥 + 7
2) Calcule 𝑟(𝑥) = 2 𝑝(𝑥) − 3 𝑞(𝑥), onde
𝑝(𝑥) = −2𝑥2 + 5𝑥 − 2
𝑞(𝑥) = −3𝑥3 + 2𝑥 − 1
Solução:
𝑟(𝑥) = 2 (−2𝑥2 + 5𝑥 − 2) − 3(−3𝑥3
+ 2𝑥 − 1)
𝑟(𝑥) = −4𝑥2 + 10𝑥 − 4 + 9𝑥3 − 6𝑥 + 3
𝑟(𝑥) = 9𝑥3 − 4𝑥2 + (10 − 6)𝑥 + (−4
+ 3)
𝑟(𝑥) = 9𝑥3 − 4𝑥2 + 4𝑥 − 1
No caso de adição e subtração de dois
polinômios podemos organizar o
polinômio por ordem decrescente do
grau de seus monômios, e efetuar estas
operações como usualmente fazemos
na forma:
Exemplos:
1) Sejam os polinômios:
𝑝(𝑥) = 2𝑥3 − 𝑥 + 5 − 3𝑥2 e
𝑞(𝑥) = −6𝑥2 − 𝑥4 + 4𝑥 − 2
a) Calcule a Soma: 𝑝(𝑥) + 𝑞(𝑥)
Solução:
+
+2𝑥3 −3𝑥2 −𝑥 +5−𝑥4 −6𝑥2 +4𝑥 −2−𝑥4 +2𝑥3 −9𝑥2 +3𝑥 +3
b) Calcule a Subtração: 𝑝(𝑥) −
𝑞(𝑥)
−
+2𝑥3 −3𝑥2 −𝑥 +5−𝑥4 −6𝑥2 +4𝑥 −2 𝑥4 +2𝑥3 +3𝑥2 −5𝑥 +7
1.9.2. Multiplicação de Polinômios
Para multiplicar dois polinômios, utiliza-
se a propriedade distributiva da
multiplicação:
(𝑎 + 𝑏)(𝑐 + 𝑑 + 𝑓) =
= (𝑎𝑐) + (𝑎𝑑) + (𝑎𝑓) + (𝑏𝑐) + (𝑏𝑑)
+ (𝑏𝑓)
Exemplos:
1) Sejam os polinômios:
𝑝(𝑥) = −𝑥 + 𝑥3
19
𝑞(𝑥) = 𝑥5 − 𝑥3
Calcule 𝑠(𝑥) = 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥)
Solução:
𝑠(𝑥) = (−𝑥 + 𝑥3)(𝑥5 − 𝑥3)
𝑠(𝑥) = (−𝑥). (𝑥5) + (−𝑥). (−𝑥3) +
+(𝑥3)(𝑥5) + (𝑥3)(−𝑥3)
𝑠(𝑥) = −𝑥. 𝑥5 + 𝑥. 𝑥3 + 𝑥3. 𝑥5 − 𝑥3. 𝑥3
𝑠(𝑥) = −𝑥6 + 𝑥4 + 𝑥8 − 𝑥6
𝑠(𝑥) = 𝑥8 + (−1 − 1) 𝑥6 + 𝑥4
𝑠(𝑥) = 𝑥8 − 2 𝑥6 + 𝑥4
2) Sejam os polinômios:
𝑝(𝑥) = 2𝑥 − 1
𝑞(𝑥) = −𝑥2 + 3𝑥
Calcule 𝑟(𝑥) = 𝑝(𝑥). 𝑞(𝑥)
Solução:
𝑟(𝑥) = (2𝑥 − 1). (−𝑥2 + 3𝑥)
𝑟(𝑥) = (2𝑥). (−𝑥2) + (2𝑥). (3𝑥)
+ (−1). (−𝑥2) +
+(−1). (3𝑥)
𝑟(𝑥) = −2. 𝑥 . 𝑥2 + 6. 𝑥. 𝑥 + 1. 𝑥2 − 3. 𝑥
𝑟(𝑥) = −2𝑥3 + 6𝑥2 + 𝑥2 − 3𝑥
𝑟(𝑥) = 2𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥
Podemos efetuar a multiplicação
de dois polinômios como usualmente
fazemos esta operação com números
reais na forma:
×
2𝑥 −1−𝑥2 +3𝑥
6𝑥2 − 3𝑥 −2𝑥3 + 𝑥2
−2𝑥3 + 7𝑥2 − 3 𝑥
1.9.3. Produtos Notáveis
Alguns produtos são utilizados
frequentemente e são chamados de
produtos notáveis. Eis alguns deles:
a) Produto da soma pela diferença de
dois termos:
(𝑥 + 𝑎). (𝑥 − 𝑎) = 𝑥2 − 𝑎2
b) Quadrado da soma de dois termos:
(𝑥 + 𝑎)2 = (𝑥 + 𝑎). (𝑥 + 𝑎)
= 𝑥2 + 2𝑎𝑥 + 𝑎2
c) Quadrado da diferença de dois
termos:
(𝑥 − 𝑎)2 = (𝑥 − 𝑎). (𝑥 − 𝑎)
= 𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 𝑎2
d) Cubo da soma de dois termos:
(𝑥 + 𝑎)3 = 𝑥3 + 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 + 𝑎3
e) Cubo da diferença de dois termos:
(𝑥 − 𝑎)3 = 𝑥3 − 3𝑥2𝑎 + 3𝑥𝑎2 − 𝑎3
Exemplos:
1) (𝑘 − 5)2 = 𝑘2 − 2. 𝑘. 5 + 52 = 𝑘2 −
10𝑘 + 25
2) (2 𝑡 + 3)2 = (2 𝑡)2 + 2. (2 𝑡). (3) +
32 = 4 𝑡2 + 12 𝑡 + 9
3) (3 − 2𝑥)(3 + 2𝑥) = (3)2 − (2𝑥)2 =
9 − 4𝑥2
4) 9𝑦2 + 𝑥2 − 6𝑦𝑥 = (3 𝑦)2 −
2. (3𝑦). (𝑥) + (𝑥)2 = (3𝑦 − 𝑥)2
1.9.4. Divisão de Polinômios
𝑎(𝑥) = 𝑏(𝑥). 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥)
𝑎(𝑥)
𝑏(𝑥)= 𝑞(𝑥) +
𝑟(𝑥)
𝑏(𝑥)
20
Para dividir dois polinômios 𝑎(𝑥) e 𝑏(𝑥),
o processo é semelhante ao da divisão
de dois números reais. Os termos do
quociente 𝑞(𝑥)são escolhidos de modo
que os termos de maior grau dos
dividendos ao longo da operação sejam
eliminados. O resto 𝑟(𝑥) é o dividendo
que tem grau menor que o divisor.
Exemplos:
Calcule
1) 𝑓(𝑥)/(𝑔(𝑥), sendo:
𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 e 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1
Solução:
𝑥3 − 2𝑥 | 𝑥 + 1
−𝑥3 − 𝑥2 𝑥2 − 𝑥 + 1
−𝑥2 − 2𝑥
+𝑥2 + 𝑥
−𝑥
+𝑥 + 1
1
Sabendo que:
(𝑥3 − 2𝑥) = ( 𝑥2 − 𝑥 + 1). (𝑥
+ 1) + 1
Tem-se:
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=
(𝑥3 − 2𝑥)
(𝑥 + 1)
= (𝑥2 − 𝑥 − 1)
+ (1
𝑥 + 1)
2) 𝑝(𝑥) = 𝑓(𝑥)/(𝑔(𝑥), sendo:
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 5𝑥2 + 8𝑥 + 4 e
𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2
Solução:
𝑥3 + 5𝑥2 + 8𝑥 + 4 | 𝑥 + 2
−𝑥3 − 2𝑥2 𝑥2 + 3𝑥 + 2
3𝑥2 + 8𝑥 + 4
−3𝑥2 − 6𝑥
2𝑥 + 4
−2𝑥 − 4
0
𝑝(𝑥) =𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= 𝑥2 + 3𝑥 + 2
1.9.5. Raiz de um Polinômio
Raízes ou zeros de um polinômio 𝑝(𝑥)
são os valores de 𝑥 que tornam 𝑝(𝑥) =
0.
Um polinômio de grau 𝑛 tem 𝑛 raízes
que podem ser reais ou complexas,
distintas ou repetidas.
Se 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são raízes de polinômio
𝑝(𝑥) de grau 𝑛, então 𝑝(𝑥1) = 0, 𝑝(𝑥2) =
0, … 𝑝(𝑥𝑛) = 0.
Um polinômio de 10 grau na forma
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
tem uma raiz 𝑥1 que pode ser calculada
como
𝑎𝑥1 + 𝑏 = 0 → 𝑥1 =−𝑏
𝑎
Um polinômio de 20 grau na forma
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
tem duas raízes 𝑥1 e 𝑥2 que podem ser
calculadas pela fórmula de Bhaskara.
𝑥 =−𝑏 ± √∆
2 𝑎 𝑜𝑛𝑑𝑒 ∆= 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐
Se ∆> 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e
distintas
Se ∆= 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes reais e
iguais
21
Se ∆< 0 então 𝑥1 e 𝑥2 são raízes
complexas
Graficamente, os zeros reais do
polinômio 𝑝(𝑥) são as interseções do
gráfico da função 𝑝(𝑥) com o eixo 𝑥.
Caso 1: Raízes reais distintas
Caso 2: Raízes reais iguais
Caso 3: Raízes complexas
Exemplos:
Verifique se 𝑥 = −3 é raiz dos
polinômios abaixo:
1) 𝑝(𝑥) = 3 𝑥 + 9
Solução:
𝑝(−3) = 3. (−3) + 9 = −9 + 9
𝑝(−3) = 0
Portanto 𝑥 = −3 é raiz de 𝑝(𝑥).
2) 𝑟(𝑥) = 𝑥2 + 6 𝑥 + 9
Solução:
𝑟(−3) = (−3)2 + 6. (−3) + 9
𝑟(−3) = 9 − 18 + 9
𝑟(−3) = 0
Portanto 𝑥 = −3 é raiz de 𝑟(𝑥).
3) 𝑠(𝑥) = 𝑥3 + 9𝑥
Solução:
𝑠(−3) = (−3)3 + 9(−3)
𝑠(−3) = −27 − 27 = −54 ∴ 𝑠(−3)
≠ 0
Portanto 𝑥 = −3 não é raiz de 𝑠(𝑥).
Encontre as raízes dos polinômios
abaixo:
4) 𝑝(𝑥) = 3𝑥 − 6
𝑝(𝑥) = 3𝑥 − 6 = 0
Solução:
3𝑥 − 6 = 0 ∴ 3𝑥 = 6 ∴ 𝑥 =6
3
∴ 𝑥 = 2
5) 𝑠(𝑡) = 6 𝑡 + 18
Solução:
𝑠(𝑡) = 6𝑡 + 18 = 0
6𝑡 + 18 = 0
22
6𝑡 = −18 ∴ 𝑡 =−18
6 ∴ 𝑡 = −3
6) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3 𝑥 + 2
Solução:
𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0
Usando Bhaskara: 𝑎 = 1, 𝑏 = −3 e
𝑐 = 2,
∆= (−3)2 − 4.1.2 = 9 − 8 = 1
∆> 0 ; raízes reais distintas
𝑥 =−(−3) ± √1
2.1=
3 ± 1
2 ∴
𝑥1 =3 + 1
2=
4
2= 2
𝑥2 =3 − 1
2=
2
2= 1
7) 𝑔(𝑥) = 4𝑥2 + 16𝑥 + 16
Solução:
4𝑥2 + 16𝑥 + 16 = 0
Usando Bhaskara: 𝑎 = 4, 𝑏 = 16 e
𝑐 = 16,
∆= (16)2 − 4.4.16 = 0
∆= 0 ; raízes reais iguais
𝑥 =−(16) ± √0
2.4=
−16 ± 0
8 ∴
𝑥1 =−16 + 0
8= −2
𝑥2 =−16 − 0
8= −2
8) 𝑝(𝑡) = 𝑡2 − 2 𝑡
Solução:
𝑡2 − 2 𝑡 = 0
Usando Bhaskara: 𝑎 = 1, 𝑏 = −2 e
𝑐 = 0,
∆= (−2)2 − 4.1.0 = 4
𝑡 =−(−2) ± √4
2.1=
2 ± 2
2
∴
𝑡1 =2 + 2
2= −2
𝑡2 =2 − 2
2= 0
Como o polinômio é incompleto (𝑐 =
0) podemos resolvê-lo diretamente
na forma:
𝑡2 − 2 𝑡 = 0
𝑡 . (𝑡 − 2) = 0
Para um produto ser zero um
dos dois fatores deve ser zero,
assim:
{𝑡 = 0
𝑜𝑢 𝑡 − 2 = 0
𝑡1 = 0
𝑡2 − 2 = 0 → 𝑡2 = 2
9) 𝑝(𝑥) = 4𝑥2 − 16
Solução:
4𝑥2 − 16 = 0
Usando Bhaskara: 𝑎 = 4, 𝑏 = 0 e
𝑐 = −16,
∆= (0)2 − 4.4. (−16) = 256
𝑡 =−(0) ± √256
2.4=
0 ± 16
8 =
± 16
8
∴
𝑥1 =+16
8= 2
𝑥2 =−16
8= −2
Como o polinômio é incompleto (𝑏 =
0) podemos resolvê-lo diretamente
na forma:
4𝑥2 − 16 = 0
𝑥2 =16
4 → 𝑥2 = 4
√𝑥2 = √4
23
|𝑥| = 2 ∴ 𝑥1 = 2 𝑜𝑢 𝑥2 = −2
10) 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥
Solução:
𝑥3 + 𝑥2 − 6𝑥 = 0
𝑥 ( 𝑥2 − 𝑥 − 6) = 0
{𝑥 = 0 → 𝑥1 = 0
𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0
Usando Bhaskara para resolver a
equação: 𝑥2 − 𝑥 − 6 = 0:
∆= (−1)2 − 4 .1. (−6) = 25
𝑥 =−(−1) ± √25
2.1=
1 ± 5
2 ∴
𝑥2 =1 + 5
2= 3
𝑥3 =1 − 5
2= −2
Assim:
𝑥1 = 0 ; 𝑥2 = 3 ; 𝑥3 = −2
1.9.6. Fatoração de Polinômios
Considere o polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ +𝑎1𝑥 + 𝑎0
Se 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são raízes de 𝑝(𝑥) então,
𝑝(𝑥) pode ser fatorado como:
𝑝(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) … (𝑥
− 𝑥𝑛−1)(𝑥 − 𝑥𝑛)
onde 𝑎𝑛 é o coeficiente do termo de
maior grau do polinômio.
Se 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 são raízes de 𝑝(𝑥) então,
𝑝(𝑥) é divisível (resto igual a zero) por
(𝑥 − 𝑥𝑖) com 𝑖 = 1, … , 𝑛 , onde 𝑥𝑖 é cada
uma de suas raízes.
Exemplos:
Fatores os polinômios abaixo:
1) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2
Solução:
Devemos primeiro encontrar as raízes
do polinômio.
𝑥 =−(−3) ± √(−3)2 − 4.1.2
2.1 ∴ 𝑥
= 3 ± 1
2
𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = 1
Para 𝑔(𝑥) tem-se que 𝑎𝑛 = 1, 𝑥1 = 2 e
𝑥2 = 1, então:
𝑔(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 2)(𝑥 − 1)
2) 𝑘(𝑥) = −8𝑥 + 2𝑥2 + 6
Solução:
Raízes:
𝑥 =−(−8) ± √(−8)2 − 4.2.6
2.2 ∴ 𝑥
= 8 ± 4
4
𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = 1
para 𝑘(𝑥) tem-se que 𝑎𝑛 = 2, 𝑥1 = 3 e
𝑥2 = 1:
𝑘(𝑥) = 𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)
𝑘(𝑥) = 2𝑥2 − 8𝑥 + 6
= 2 (𝑥 − 3)(𝑥
− 1)
3) Fatore e simplifique a expressão
2𝑥2 + 4𝑥 + 2
𝑥 + 1
Solução:
Fatorando o numerador 2𝑥2 + 4𝑥 + 2
Cálculo das raízes
𝑥 =−(4) ± √(4)2 − 4.2.2
2.2 ∴ 𝑥
= −4 ± 0
4
24
𝑥1 = −1 ; 𝑥2 = −1
Tem-se que 𝑎𝑛 = 2, 𝑥1 = −1e 𝑥2 = −1
2𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 2(𝑥 − (−1))(𝑥
− (−1))
2𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 2 (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
Calculando a expressão:
2𝑥2 + 4𝑥 + 2
𝑥 + 1
2𝑥2 + 4𝑥 + 2
𝑥 + 1=
2 (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)
𝑥 + 1= 2(𝑥 + 1)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS:
1) Encontre o valor de A
𝐴 =
1 −14
+1
1 +14
1 +14 −
1
1 +14
2) Calcule a expressão
(2𝑎
𝑥 − 3+
𝑎
𝑥−
2𝑎𝑥
𝑥2 − 3𝑥) .
𝑥
2𝑎
3) Resolva a expressão
(𝑥 + 1𝑥 − 2 +
𝑥 − 3𝑥 + 2)
2𝑥2 − 2𝑥 + 8𝑥 − 2
4) A expressão é igual a:
2(𝑥2𝑦). 3(𝑥2𝑦3)
𝑥²𝑦²
5) Simplifique, sendo 𝑎. 𝑏 ≠ 0
a) (𝑎4..𝑏2)³
(𝑎.𝑏2)²
b) (𝑎4.. 𝑏3)3. (𝑎2. 𝑏)² 6) Calcule o valor das expressões:
a) 2−1−(−2)2+(−2)−1
22+2−2
b) 32−3−2
32+3−2
c) (−1
2)2.(
1
2)3
[(−1
2)2]3
7) Simplifique os radicais
a) √643
b) √576
c) √12
d) √273
e) √324
8) Simplifique as expressões:
a) √8 + √32 + √72 − √50
b) 5√108 + 2√243 − √27 + 2√12
c) 𝑎√𝑎𝑏43+ 𝑏√𝑎4𝑏
3+ √𝑎4𝑏43
− 3𝑎𝑏√𝑎𝑏3
9) Efetue as operações:
a) √3. √12
b) √243
. √33
c) √43
√2 4
d)
√3
2
√1
2
e) (√12 − 2√27 + 3√75). √3
f) (3 + √2). (5 − 3√2)
g) (5 − 2√3)2
25
h) √20−√45+3√125
2√5
i) √√2 − 1. √√2 + 1
10) Simplifique
2𝑎√1 + 𝑥2
𝑥 + √1 + 𝑥2
Sabendo que: 𝑥 =1
2(√
𝑎
𝑏− √
𝑏
𝑎)
11) Qual o valor que se obtém ao subtrair 5
8−3√7 de
12
√7+3?
12) As indicações R1 e R2, na escala
Richter, de dois terremotos estão
relacionadas pela fórmula
𝑅1 − 𝑅2 = log10
𝑀1
𝑀2
Em que M1 e M2 medem a energia
liberada pelos terremotos sob a forma de
ondas que se propagam pela crosta
terrestre. Houve dois terremotos: um
correspondente a R1=8 e outro
correspondente a R2=6. Calcule a razão 𝑀1
𝑀2
13) Calcule o valor de S:
𝑆 = log4 (log3 9)
+ log2( log81 3)
+ log0,8( log16 32)
14) Determine o valor de x na equação 𝑦 =
2log3(𝑥+4) para que y seja igual a 8.
15) Calcule o valor de
a) 3log3 2
b) 31+log3 4
c) 92−log3 √2
16) Desenvolva aplicando as propriedades
dos logaritmos (a, b e c são reais
positivos)
a) log22𝑎𝑏
𝑐
b) log3𝑎³𝑏²
𝑐4
17) Se 𝑙𝑜𝑔2 = 𝑎 e log 3 = 𝑏, coloque em
função de a e b os seguintes logaritmos
decimais:
a) log 6
b) log 4
c) log 0,5
d) log 5
18) Sabendo que log3(7𝑥 − 1) = 3 e que
log2(𝑦3 + 3) = 7, calcule log𝑦(𝑥2 + 9).
19) Quais os valores de x e y sabendo que:
𝑥 + 𝑦 = 13
log 𝑥 + log 𝑦 = log 36
20) Calcule o log24 6 em função de x e y,
sabendo que o log27 6 = 𝑥 que o
log27 4 = 𝑦.
21) Resolva a equação
log(𝑥 + 2) + log(𝑥 − 2) = 1
22) Resolva as equações:
a) |5𝑥 − 3| = 12
b) |3𝑥 + 2| = 5 − 𝑥
c) |3𝑥 + 1| = |𝑥 − 3|
d) |𝑥2 − 6𝑥| = 9
e) 2|𝑥|2 + 3|𝑥| = 2
f) |𝑥|2 + |𝑥| − 6 = 0
23) Elimine o módulo:
a) |𝑥 + 1| + |𝑥|
26
b) |𝑥 + 2| − |𝑥 + 1|
c) |2𝑥 − 1| + |𝑥 − 2|
d) |𝑥| + |𝑥 − 1| + |𝑥 − 2|
24) Determine ℎ(𝑥), tal que:
ℎ(𝑥) = (𝑥 + 1). (𝑥 − 2) + (𝑥 − 2). (𝑥 − 1)
+ 4(𝑥 + 1)
25) Sendo 𝑓 = 𝑥; 𝑔 = 𝑥 + 𝑥3𝑒 ℎ = 2𝑥3 + 5𝑥,
obtenha os números reais a e b tais que
ℎ = 𝑎𝑓 + 𝑏𝑔
26) Demonstre que 𝑓 = (𝑥 − 1)2 + (𝑥 −
3)2 − 2(𝑥 − 2)2 − 2 é um polinômio nulo.
27) Calcule os valores de a, b, c e d para
que o polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎(𝑥 + 𝑐)3 +
𝑏(𝑥 + 𝑑) seja idêntico a 𝑞(𝑥) = 𝑥3 +
6𝑥2 + 15𝑥 + 14.
28) Determine o quociente e o resto da
seguinte divisão
2𝑥3 − 9𝑥2 + 10𝑥 − 2
𝑥2 − 3𝑥 + 1
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
PROPOSTOS
1) 31
9
2) 1
2
3) 1
𝑋+2
4) 6𝑥²𝑦²
5)
a) 𝑎10𝑏2
b) 𝑎16𝑏11
6)
a)−16
17
b)40
41
c) 2
7)
a) 4
b)24
c) 2√3
d)4√23
e) 18
8)
a) 7√2
b) 49√3
c) 0
9)
a) 6
b) 2√93
c) 25/12
d) √3
e) 33
f) 9 − 4√2
g) 37 − 20√3
h) 7
i) 1
10) 𝑎+𝑏
2√𝑎𝑏
11) −22 − 21√7
12) 100
27
13) −5
2
14) 𝑥 = 5
15)
a) 2
b) 12
c) 9√2
2
16)
a) 1 + log2 𝑎 + log2 𝑏 − log2 𝑐
b) 3 log3 𝑎 + 2 log3 𝑏 − 4 log3 𝑐
17)
a) 𝑎 + 𝑏
b) 2𝑎
c) −𝑎
d) 𝑎 − 𝑏 + 1
18) log𝑦(𝑥2 + 9) = 2
19) 𝑥 = 4; 𝑦 = 9
20) 𝑥
𝑥+𝑦
21) 𝑥 = ±√14
22)
a) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = −9/5}
b) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3/4 𝑜𝑢 𝑥 = −7/2}
c) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = −2 𝑜𝑢 𝑥 = 1/2}
d) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 3 + 3√2 𝑜𝑢 𝑥 =
3 − 3√2 𝑜𝑢 𝑥 = −3}
e) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = ±1/2}
f) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥 = −2}
23)
a) 𝑆 = {−2𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 11, 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 02𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 0
}
b) 𝑆 = {−1, 𝑠𝑒 𝑥 < −1
−2𝑥 − 3, 𝑠𝑒 − 1 ≤ 𝑥 ≤ 21, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
}
c) 𝑆 = {−3𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 1/2
−𝑥 − 1, 𝑠𝑒 1/2 ≤ 𝑥 ≤ 23𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
}
d) 𝑆 = {
−3𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 < 0−𝑥 + 3, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1𝑥 + 1, 𝑠𝑒 1 < 𝑥 ≤ 23𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 > 2
}
24) 2𝑥2 + 4
25) 𝑎 = 3; 𝑏 = 2
26) É nulo.
27) 𝑎 = 1; 𝑏 = 3; 𝑐 = 2; 𝑑 = 2.
28) 𝑞(𝑥) = 2𝑥 − 3; 𝑟(𝑥) = −𝑥 + 1
28
2. Intervalos e Inequações
2.1. Intervalos
Definição: Intervalos são trechos
contínuos da reta numérica.
2.1.1. Intervalos Limitados
Sejam a e b números reais com a <b
a) Intervalo aberto de a até b
(𝑎, 𝑏) = ]𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
b) Intervalo fechado de a até b
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
c) Intervalo fechado em a e aberto
em b:
[𝑎, 𝑏) = [𝑎, 𝑏[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
d) Intervalo aberto em a e fechado
em b
(𝑎, 𝑏] = ]𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
2.1.2. Intervalos Não Limitados
a) Intervalo aberto de a até +∞
(𝑎, +∞) = ]𝑎, +∞[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 > 𝑎}
b) Intervalo fechado de a até +∞
[𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≥ 𝑎}
c) Intervalo aberto de −∞ até a
(−∞, 𝑎) = ]−∞, 𝑎[ = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 < 𝑎}
d) Intervalo fechado de −∞ até a
(−∞, 𝑎] = ]−∞, 𝑎] = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≤ 𝑎}
Exemplo 1: Dado o intervalo
represente-o na reta numérica
𝒂) ]−2 , 5 ]
Solução:
𝒃) [−1 , 2 ]
Solução:
𝒄) ]−∞ , 4 [
Solução:
Exemplo 2: Descreva o intervalo
indicado na reta numérica:
𝑎) 𝐼 = [−2, +∞) = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≥ −2}
a b
a b
a b
a
a
a
a
a b
29
Solução:
𝑏) 𝐼 = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≤ 1 𝑂𝑈 3 ≤ 𝑥 < 6}
Solução:
2.2. Inequações
Inequação é uma expressão algébrica
que contém sinal de desigualdade
(< ; > ; ≤ ; ≥ ).
Propriedades da desigualdade
Sejam 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 números reais:
1) Somar ou subtrair um número
qualquer em ambos os lados da
inequação não altera o sinal da
mesma.
Exemplo 1: Se 𝑎 < 𝑏 então 𝑎 + 𝑐 <
𝑏 + 𝑐. Como em: 𝑎 = −2; 𝑏 =
4; 𝑐 = −3.
Solução:
𝑎 < 𝑏 → −2 < 4
𝑎 + 𝑐 < 𝑏 + 𝑐 → −2 − 3 < 4 − 3
→ −5 < 1
Exemplo 2: Se 𝑎 > 𝑏 então 𝑎 + 𝑐 >
𝑏 + 𝑐. Como em: 𝑎 = 5 ; 𝑏 =
−4 ; 𝑐 = 2.
Solução:
𝑎 > 𝑏 → 5 > −4
𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 → 5 + 2 > −4 + 2
→ 7 > −2
2) Multiplicar ou dividir ambos os lados
da inequação por um número
POSITIVO não altera o sinal da
mesma.
Exemplo 1: Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 > 0
então 𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 e 𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐. Como
em: 𝑎 = −4; 𝑏 = 4; 𝑐 = 2.
Solução:
𝑎 < 𝑏 → −4 < 4
𝑎 ∙ 𝑐 < 𝑏 ∙ 𝑐 → −4 ∙ 2 < 4 ∙ 2 → −8
< 8
𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐→ −
4
2<
4
2→ −2 < 2
Exemplo 2: Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 > 0
então 𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 e 𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐. Como
em: 𝑎 = 4 ; 𝑏 = 2; 𝑐 = 2.
Solução:
𝑎 > 𝑏 → 4 > 2
𝑎 ∙ 𝑐 > 𝑏 ∙ 𝑐 → 4 ∙ 2 > 2 ∙ 2 → 8 > 4
𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐→
4
2>
2
2→ 2 > 1
3) Multiplicar ou dividir ambos os lados
do inequação por um número
NEGATIVO inverte o sinal da
desigualdade.
Exemplo 1: Se 𝑎 < 𝑏 e 𝑐 <
0 então 𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 e 𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐.
Como em: 𝑎 = −2; 𝑏 = 4; 𝑐 = −3.
Solução:
𝑎 < 𝑏 → −2 < 4
𝑎. 𝑐 > 𝑏. 𝑐 → −2 ∙ (−3) > 4 ∙ (−3)
→ 6 > −12
𝑎
𝑐>
𝑏
𝑐 →
−2
−3>
4
−3 →
2
3> −
4
3
30
Exemplo 2: Se 𝑎 > 𝑏 e 𝑐 <
0 então 𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 e 𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐. Como
em: 𝑎 = 4; 𝑏 = 2; 𝑐 = −2.
Solução:
𝑎 > 𝑏 → 4 > 2
𝑎. 𝑐 < 𝑏. 𝑐 → 4 ∙ (−2) < 2 ∙ (−2)
→ −8 < −4
𝑎
𝑐<
𝑏
𝑐 →
4
−2<
2
−2 → −2 < −1
Obs.: As propriedades acima continuam
válidas para as desigualdades não
estritas ≤ e ≥.
4) Desigualdade Triangular: |𝑥 + 𝑦| ≤
|𝑥| + |𝑦|
Exemplo 1: 𝑥 = 4; 𝑦 = −2.
|4 + (−2)| ≤ |4| + |−2| → |2|≤ 4 + 2 → 2 ≤ 6
Obs.: |𝑥 + 𝑦| = |𝑥| + |𝑦| somente se 𝑥 e 𝑦 forem simultaneamente positivos ou negativos.
5) |𝑥| ≤ 𝑎 ⇔ −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎
Demonstração:
Se 𝑥 for positivo:
|𝑥| = 𝑥 → 𝑥 ≤ 𝑎
Se 𝑥 for negativo:
|𝑥| = −𝑥 → − 𝑥 ≤ 𝑎 → 𝑥 ≥ −𝑎
Então: 𝑥 ≤ 𝑎 E 𝑥 ≥ −𝑎, ou seja, −𝑎 ≤
𝑥 ≤ 𝑎
6) |𝑥| ≥ 𝑎 ⇔ 𝑥 ≥ 𝑎 𝑜𝑢 𝑥 ≤ −𝑎
Demonstração:
Se 𝑥 for positivo:
|𝑥| = 𝑥 → 𝑥 ≥ 𝑎
Se 𝑥 for negativo:
|𝑥| = −𝑥 → − 𝑥 ≥ 𝑎 → 𝑥 ≤ −𝑎
Então 𝑥 ≥ 𝑎 OU 𝑥 ≤ −𝑎
7) √𝑥𝑛𝑛= {
|𝑥| 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Exemplo 1: Se 𝑥 = √222
Solução:
√42
= |𝑥| = |2| = 2
Exemplo 2: Se 𝑥 = √(−2)22
Solução:
√42
= |𝑥| = |−2| = 2
Resolver uma inequação é determinar
todos os valores da variável que torna
verdadeira a mesma. Este conjunto de
valores é chamado conjunto solução da
inequação. O conjunto solução da
inequação representa um trecho
contínuo da reta numérica, ou seja, é um
intervalo.
Exemplo 1: Determine se os valores de
𝑥 = −3; 𝑥 = 0 e 𝑥 = 2 são soluções da
inequação 𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1.
Solução:
Substituindo 𝑥 = −3 na inequação:
−3 + 3 < 5 ∙ (−3) → 0 < −15 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜
Substituindo 𝑥 = 0 na inequação
0 + 3 < 5 ∙ (0) → 3 < 0 𝐹𝑎𝑙𝑠𝑜
Substituindo 𝑥 = 2 na inequação:
2 + 3 < 5 ∙ (2) → 5 < 10 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑖𝑟𝑜
Portanto 𝑥 = 2 é uma das soluções da
inequação
Exemplo 2: Resolva as inequações
abaixo e represente o conjunto solução
na reta numérica:
𝒂) 𝑥 + 3 < 5𝑥 − 1
Solução:
31
𝑥 − 5𝑥 < −1 − 3
−4𝑥 < −4
4 𝑥 > 4
𝑥 > 1
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 > 1}
𝒃) 13 ≥ 2𝑥 − 3 ≥ 5
Solução:
Separando em duas inequações temos:
𝐴) 13 ≥ 2𝑥 − 3
13 + 3 ≥ 2𝑥
2𝑥 ≤ 16 → 𝑥 ≤ 8
𝑆𝐴 = {𝑥 ≤ 8}
E (significa a interseção)
𝐵) 2𝑥 − 3 ≥ 5
2𝑥 ≥ 8 − 𝑥 ≥ 4
𝑆𝐵 = {𝑥 ≥ 4}
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ | 4 ≤ 𝑥 ≤ 8}
𝒄) |3𝑥 + 2| ≥ 5
Solução:
Da propriedade 6 temos:
3𝑥 + 2 ≥ 5 OU 3𝑥 + 2 ≤ −5
Lembre que OU em matemática
significa união. Resolvendo as
inequações separadamente:
𝐴) 3𝑥 + 2 ≥ 5
3𝑥 ≥ 3 → 𝑥 ≥ 1
B) 3𝑥 + 2 ≤ −5
3𝑥 ≤ −7 → 𝑥 ≤ −7
3
(−∞, − 7 3⁄ ] ∪ [1, +∞)
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ | 𝑥 ≤ −7
3 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 1}
𝒅)(𝑥 − 3)4 ≤ 16
Solução:
(𝑥 − 3)4 ≤ 16 → √(𝑥 − 3)44≤ √16
4
→ |𝑥 − 3| ≤ 2
Da propriedade 7
−2 ≤ 𝑥 − 3 ≤ 2 ∴ 𝑥 − 3 ≤ 2 E 𝑥 − 3 ≥
−2
Lembre que E em matemática significa
interseção. Resolvendo as inequações:
𝐴) 𝑥 − 3 ≤ 2 → 𝑥 ≤ 5
𝐵) − 2 ≤ 𝑥 − 3 − 1 ≤ 𝑥 → 𝑥 ≥ 1
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ |1 ≤ 𝑥 ≤ 5}𝑆 = [1 , 5]
𝒆) |2𝑥 − 5| < 3.
-7/3
1
-7/3 1
1
5
1 5
1 (1, +∞)
𝑥 ≤ 8
𝑥 ≥ 4
𝑆𝐴 ∩ 𝑆𝐵
[4 , 8]
𝑥 ≥ 1
𝑥 ≤ −7
3
𝑆𝐴 ∪ 𝑆𝐵
𝑥 ≤ 5
𝑥 ≥ 1
𝑆𝐴 ∩ 𝑆𝐵
32
Solução:
Da propriedade 5 temos:
−3 < 2𝑥 − 5 < 3
Resolvendo sem separar as
inequações:
−3 + 5 < 2𝑥 < 3 + 5
2 < 2𝑥 < 8
2
2< 𝑥 <
8
2
1 < 𝑥 < 4
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ| 1 < 𝑥 < 4}
𝒇) |6 − 2𝑥| ≥ 7.
Solução:
Da propriedade 6 temos:
𝐴) 6 − 2𝑥 ≤ −7
−2𝑥 ≤ −7 − 6
−2𝑥 ≤ −13 → 𝑥 ≥13
2
OU
𝐵) 6 − 2𝑥 ≥ 7
−2𝑥 ≥ 7 − 6
−2𝑥 ≥ 1 → 𝑥 ≤−1
2
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ| 𝑥 ≤−1
2 𝑜𝑢 𝑥 ≥
13
2}
2.3 Exercícios Propostos
1) Escreva na forma de intervalo cada
representação geométrica dada abaixo.
2) Dados os conjuntos abaixo,
expresse-os na forma de intervalo e na
forma geométrica:
a) {𝑥 ∈ 𝑅|6 ≤ 𝑥 ≤ 10} b) {𝑥 ∈ 𝑅| − 1 < 𝑥 ≤ 5} c) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ −4} d) {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 1} 3) Dados os intervalos abaixo,
expresse-os na forma geométrica:
a) [1
2, +∞)
b) (0, 7] c) (−∞, 3) d)[−6, +∞) 4) Sendo A=]-3,4[ e B =[-1,6[, calcule
𝐴 ∪ 𝐵, 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 − 𝐵 𝑒 𝐵 − 𝐴.
5) Dados A = ]-3,2]; B = ]-1,4[ e
C = (-∞, +∞) determine:
a) (𝐴 𝑈 𝐶) ∩ 𝐵 b) (𝐵 𝑈 𝐶) − 𝐴 c) 𝐴 – 𝐵 d) 𝐵 – 𝐶 e) (𝐶 – 𝐴) ∩ 𝐵 f) 𝐴 ∩ 𝐵
6) Resolva a seguinte inequação:
a) 4𝑥 − 43 − 2𝑥 − 2 > 3𝑥 + 13 b) 2𝑥 − 43 + 𝑥 + 14 > 𝑥 − 12 + 𝑥
1
4
1 4
-1/2
13/2
-1/2 13/2
33
c) 𝑥² + 1 < 2𝑥² − 3 ≤ −5𝑥
7) O conjunto solução da inequação 𝑥
𝑥+6≥
1
𝑥−4 é:
8) O conjunto solução da inequação
|1 + 2𝑥 − 3𝑥2| < 5 é:
9) O conjunto solução da inequação
2𝑥² − 7𝑥 + 3 ≤ 0 é:
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
PROPOSTOS.
1) a) (−2, 3] b) [4, +∞) c) (−∞, −5) d) (0, 1)
2) a) [6, 10] b) (−1, 5] c) [4, +∞) d) (−∞, −1) 3) 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠 4) 𝐴 ∪ 𝐵 = ] − 3, 6[ 𝐴 ∩ 𝐵 = [−1, 4[ 𝐴 − 𝐵 = ] − 3, −1[ 𝐵 − 𝐴 = [4, 6[ 5)
a) 𝐵 b) ] − ∞, −3] ∪]2, +∞[ c) ] − 3, −1] d) ∅ e) ]2, 4[ f) ] − 1, 2] 6) a) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 < −58} b) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 > −17} c) 𝑆 = ∅ 7) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| 𝑥 < −6 𝑜𝑢 − 1 ≤ 𝑥 <
4 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 6} 8) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅| − 1,1 < 𝑥 < 1,7}
9) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|1
2≤ 𝑥 ≤ 3}
34
3. Função
3.1. Definição
No estudo científico e na engenharia
muitas vezes precisamos descrever
como uma quantidade varia ou depende
de outra. O termo função foi
primeiramente usado por Leibniz
justamente para indicar essa
dependência ou variação.
Dizemos que uma relação entre dois
conjuntos A e B é uma função de A em
B, representado por 𝑓: 𝐴 → 𝐵, se todos
os elementos do conjunto A estão
associados a um e somente um
elemento do conjunto B.
Vamos analisar alguns tipos de relações
e verificar se são funções de acordo
com as figuras:
Fig. 3.1
O diagrama da Fig. 3.1 não é função, pois o
elemento 3, pertencente a A, está associado
a dois elementos de B.
Fig. 3.2
Este outro exemplo da Fig. 3.2 não é uma
função, pois o elemento 1 pertencente a A,
não está associado a elemento algum de B.
Fig. 3.3
Este diagrama da Fig. 3.3 é uma função,
pois todos os elementos de A possuem uma
imagem associada em B.
3.2. Domínio, Contradomínio e Imagem
Considere a função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 indicada no diagrama de flechas da Fig. 6.4 abaixo:
Fig. 3.4 – Diagrama de flechas
Ao conjunto A damos o nome
de domínio da função. Neste nosso
exemplo o domínio da função 𝑓 é
representado por 𝐷(𝑓) = { − 3, 0, 3 },
ou seja, o domínio contém todos os
elementos do conjunto A.
Ao conjunto B damos o nome de
contradomínio da função. No exemplo
da Fig. 3.4, o contradomínio da função 𝑓
é representado por 𝐶𝐷(𝑓) = { 0, 9, 18 },
isto é, o contradomínio contém todos os
elementos do conjunto B. Segundo o
conceito de função não é necessário
que todos os elementos de B estejam
relacionados aos elementos do domínio.
Note que no conjunto B o elemento 18
não está relacionado a qualquer
elemento de A. Um elemento do
contradomínio B pode estar associado a
mais de um elemento do domínio A.
Como exemplo temos o elemento 9 que
está associado aos elementos do
domínio -3 e 3.
A
1
2
3
B
a
b
c
d
e
A
1
2
3
B
a
b
c
d
e
A
1
2
3
B
a
b
c
d
e
35
Os elementos do conjunto imagem são
todos os elementos do contradomínio
que estão associados a algum elemento
do domínio. Novamente analisando a
Fig. 3.4, o conjunto imagem é
representado por 𝐼𝑚(𝑓) = { 0, 9 }, pois
0 e 9 são todos os elementos do 𝐶𝐷(𝑓)
que estão associados a algum elemento
do 𝐷(𝑓). Nesta função, o conjunto
imagem é um subconjunto do
contradomínio, pois o elemento
18 de B não está contido no conjunto
imagem, por não estar associado a
nenhum elemento do domínio.
Na representação cartesiana temos que
Domínio é o conjunto das abscissas
dos pontos tais que as retas verticais
conduzidas por esses pontos
interceptam o gráfico de 𝑓, isto é, é o
conjunto formado por todas as
abscissas dos pontos do gráfico de 𝑓.
Imagem é o conjunto das ordenadas
dos pontos tais que as retas horizontais
conduzidas por esses pontos
interceptam o gráfico de 𝑓, isto é, é o
conjunto formado por todas as
ordenadas dos pontos do gráfico de 𝑓.
A função 𝑓 de A em B, 𝑓: 𝐴 → 𝐵, da
Fig.3.4, pode ser expressa pela
seguinte lei de associação:
𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑓(𝑥) = 𝑥2
ou ainda como:
𝑓: 𝐴 → 𝐵, 𝑦 = 𝑥2
A variável 𝑓(𝑥) ou 𝑦 é chamada de
variável dependente, pois depende de
𝑥, já a variável 𝑥 é chamada de variável
independente, pois independentemente
de y, pode representar qualquer
elemento do domínio A
IMPORTANTE: Não confundir 𝒇 e 𝒇(𝒙):
𝑓 é o “nome” da função, enquanto 𝑓(𝑥)
é o valor que a função 𝑓 assume no
ponto 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).
A definição da função leva em conta
tanto o domínio quanto o contradomínio,
relacionando-os. O conjunto imagem
Im(f), depende não só da regra de
associação, no caso f(x) = x2, como
também do D(f) e do CD(f).
Quando a função 𝑓 é definida apenas
pela lei de associação, sem
especificação dos conjuntos 𝐴 e 𝐵,
convenciona-se que o contradomínio 𝐵
seja o conjunto dos números reais. O
domínio é o conjunto dos números reais,
desconsiderando os valores de 𝑥 para
os quais não é possível obter, pela lei de
associação, uma imagem real. Diz-se,
então, que a função 𝑓 é uma função
real de variável real.
Exemplos:
1) Dada a função 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 − 2,
determine [𝑓(0) − 𝑓(2)]/𝑓(1) .
Solução:
𝑓(0) = 4.02 − 2 = −2
𝑓(2) = 4. 22 − 2 = 14
𝑓(1) = 4.12 − 2 = 2
[𝑓(0) − 𝑓(2)]
𝑓(1)=
−2 − 14
2= −
16
2= −8
2) Seja 𝑓 uma função que identifica a
letra inicial do nome de uma pessoa.
Considere esta função aplicada a um
grupo de cinco pessoas chamadas
José, Lia, Max, Naira e Vítor. Determine
o Domínio, a Imagem e o Contradomínio
da função.
𝑥 = 𝐽𝑜𝑠é
𝑥 = 𝐿𝑖𝑎
𝑥 = 𝑀𝑎𝑥
𝑥 = 𝑁𝑎𝑖𝑟𝑎
𝑥 = 𝑉í𝑡𝑜𝑟
𝑦 = 𝑓(𝐽𝑜𝑠é) = 𝐽
𝑦 = 𝑓(𝐿𝑖𝑎) = 𝐿
𝑦 = 𝑓(𝑀𝑎𝑥) = 𝑀
𝑦 = 𝑓(𝑁𝑎𝑖𝑟𝑎) = 𝑁
𝑦 = 𝑓(𝑉í𝑡𝑜𝑟) = 𝑉
36
Solução:
𝐷(𝑓) = { 𝐽𝑜𝑠é, 𝐿𝑖𝑎, 𝑀𝑎𝑥, 𝑁𝑎𝑖𝑟𝑎, 𝑉𝑖𝑡𝑜𝑟}
𝐼(𝑓) = { 𝐽, 𝐿, 𝑀, 𝑁, 𝑉}
𝐶𝐷(𝑓)= 𝑡𝑜𝑑𝑎𝑠 𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑜 𝑎𝑙𝑓𝑎𝑏𝑒𝑡𝑜
3) Encontre o Domínio e a Imagem da
função 𝑓 que calcula o quadrado de um
número.
Solução:
Como não há especificação do domínio
e do contradomínio, considera-se a
função 𝑓 como uma função real de
variável real. Chamando a variável
independente de 𝑥 e a variável
dependente de 𝑦, a função 𝑓 pode ser
representada pela equação:
𝑦 = 𝑥2.
Como para qualquer valor de 𝑥 ∈ ℜ,
(negativo, zero, positivo) é possível
calcular o valor de 𝑦, tem-se:
𝐷(𝑓) = {ℜ}
Se 𝑥 < 0 então 𝑦 = 𝑥2 > 0; se 𝑥 = 0
então 𝑦 = 0 e se 𝑥 > 0 então 𝑦 > 0.
Portanto, 𝑦 poderá ser zero ou um
número positivo, assim:
𝐼(𝑓) = {𝑦 𝜖 ℜ| 𝑦 ≥ 0} = [0, +∞)
4) Encontre o Domínio e a Imagem da
função 𝑔 que calcula a área de um
quadrado.
Solução:
Chamando o comprimento do lado do
quadrado de 𝑥 e sua área de 𝑦,
podemos calcular a área de uma secção
quadrada como 𝑥. 𝑥 = 𝑥2. Assim, a
função 𝑔 pode ser representada pela
equação 𝑦 = 𝑔(𝑥) = 𝑥2.
Só é possível calcular a área 𝑦 de um
quadrado se o tamanho de seu lado for
maior do que zero
𝐷(𝑔) = {𝑥 𝜖 ℜ| 𝑥 > 0} = (0, +∞)
Como 𝑥 é sempre maior do que zero, a
área 𝑦 calculada pela equação 𝑦 = 𝑥2
será sempre um número maior do que
zero;
𝐼𝑚(𝑔) = {𝑦 𝜖 ℜ| 𝑦 > 0} = (0, +∞)
Observe que a função 𝑓, que calcula o
quadrado de um número, e a função 𝑔,
que calcula a área de um quadrado,
podem ser expressas pela mesma
equação 𝑦 = 𝑥2, porém não são funções
iguais, pois seus domínios são
diferentes.
Duas funções 𝒇 e 𝒈 são iguais se elas
têm o mesmo domínio e se 𝒇(𝒙) =
𝒈(𝒙) para todo 𝒙 do domínio.
Exemplos:
6) Calcule o domínio da função:
Solução:
𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 4
Como √2𝑥 − 4 só é possível em IR se
2𝑥 − 4 ≥ 0, ou seja, x ≥ 2, então:
D = {x IR | x ≥ 2}
7) Calcule o domínio da função:
Solução:
𝑓(𝑥) =5
𝑥 + 1
Como o termo x + 1 é o denominador da
função, ele não pode ser nulo (pois não
existe divisão por zero). Portanto x + 1 ≠
0, ou seja, x ≠ -1.
D = {x IR | x ≠ -1}
8) Calcule o domínio da função:
𝑓(𝑥) =(√𝑥 − 2)
(√3 − 𝑥)
37
Solução:
Como visto anteriormente: √𝑥 − 2 ≥ 0.
Portanto 𝑥 – 2 ≥ 0, ou seja, 𝑥 ≥ 2
(condição 1).
Além disso, √3 − 𝑥 > 0, ou seja, x < 3.
Mas como ele está no denominador, ele
não pode ser igual a zero, portanto, x <
3 (condição 2).
Resolvendo o sistema formado pelas
condições 1 e 2 obtemos a solução
representada na figura a seguir.
Portanto, D = {x IR | 2 ≤ x < 3}.
6) Determine o domínio da função:
2
11)(
z
zzzh
Solução:
Devemos ter simultaneamente:
21/
21
)2(202
)1(101
zzzD
ssD
szz
szz
3.3. Tipos de Funções
Função Sobrejetora:
Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é sobrejetora se, e
somente se, o seu conjunto imagem for
especificadamente igual ao
contradomínio. Como no exemplo da
Fig. 3.5
Fig. 3.5 – Diagrama para uma Função
sobrejetora
Função Injetora:
Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é injetora se os
elementos distintos do domínio tiverem
imagens distintas, como exemplo a Fig.
3.6.
Fig. 3.6 – Diagrama para uma Função
injetora
Função Bijetora:
Uma função 𝑓: 𝐴 → 𝐵 é bijetora se ela é
injetora e sobrejetora. Isto é, se os
elementos distintos do domínio tiverem
imagens distintas e o conjunto imagem
for igual ao contradomínio.
Fig. 3.7 – Diagrama para uma Função
bijetora
Outros tipos de funções:
3.3.1 Função Crescente
Definição:
A função BAf : definida por
)(xfy é crescente no conjunto 𝐴1
B A
A B
B A
38
A se, para dois valores quaisquer 𝑥1
e 𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2
tivermos 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)
Em símbolos: f é crescente quando
(∀ 𝑥1; 𝑥2) → (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2))
A função é crescente em um
determinado intervalo se, ao
aumentarmos o valor atribuído a 𝑥, o
valor de 𝑦 também aumenta (coeficiente
angular positivo), segundo o gráfico da
Fig. 3.8 :
Fig. 3.8 – Gráfico de uma Função
crescente
Exemplo:
A função xxf 2)( é crescente em
:
Solução:
)(;22
:);()(
2,12121
2121
xxxxxx
assimxfxfxx
3.3.2 Função Decrescente:
Definição:
A função BAf : definida por
)(xfy , é decrescente no conjunto
𝐴1A se, para dois valores quaisquer
𝑥1 e 𝑥2 pertencentes a 𝐴1, com 𝑥1 < 𝑥2
tivermos 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2).
Em símbolos: f é decrescente quando
(∀ 𝑥1; 𝑥2) → (𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2))
A função é decrescente em um
determinado intervalo se, ao
aumentarmos o valor atribuído a 𝑥, o
valor de 𝑦 diminui (coeficiente angular
negativo), segundo o gráfico da Fig. 3.9:
Fig. 3.9 – Gráfico de uma Função
decrescente
Exemplo:
A função xxf 2)( é decrescente
em :
Solução:
)(;22
:);()(
2,12121
2121
xxxxxx
assimxfxfxx
3.3.3 Função Constante
Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) =
𝑘, com 𝑘 ∈ ℜ é denominada função
constante.
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑘
Na função constante, todos os
elementos do domínio terão sempre o
mesmo valor de imagem, isto é, ao
variarmos 𝑥 encontramos sempre o
valor 𝑘.
Segundo o diagrama de flechas da
Fig.3.10 que representa este tipo de
função.
39
Fig. 3.10 – Diagrama para uma Função
constante
O gráfico de uma função constante é
uma reta paralela ao eixo X que cruza o
eixo Y em 𝑦 = 𝑘. Ou seja, passa pelo
ponto (0, 𝑘).
Exemplo: Plote o gráfico da função
𝑓(𝑥) = 2
Solução:
Para qualquer valor de 𝑥 o valor da
imagem da função é igual a 2. Por
exemplo, se 𝑥 = 0 → 𝑓(0) = 2, se 𝑥 =
4 → 𝑓(4) = 2. Assim, o gráfico da
função é uma reta paralela ao eixo X e
que passa pelo ponto (0, 2) como na
Fig. 3.11:
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = 2
Fig. 3.11 – exemplo de gráfico de uma
função constante 𝑓(𝑥) = 2
3.3.4 Função Identidade
Uma aplicação f de em , recebe
o nome de função identidade quando a
cada elemento x associa o próprio
x , isto é:
xx
f
:
O gráfico da função identidade está
esboçado na Fig.3.12. É uma reta que
contém as bissetrizes do 1º e 3º
quadrantes, e sua imagem é Im
Fig. 3.12 – Gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥
3.3.5 Função Par e Função Ímpar
Uma função 𝑓 é dita ser uma função par
se obedecer a lei da seguinte Eq.
(3.1):
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) (3.1)
O gráfico de uma função par é simétrico
em relação ao eixo dos Y.
Uma função 𝑓 é dita ser uma função
ímpar se obedecer a seguinte lei
segundo a Eq. (3.2):
𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) (3.2)
O gráfico de uma função ímpar é
simétrico em relação à origem do
sistema cartesiano.
Exemplos:
Dada a função 𝑓 determine se ela é uma
função par ou uma função ímpar com
base nas Eq. 3.1 e 3.2
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1
Solução:
Escolhendo valores arbitrários do
domínio de 𝑓 temos :
40
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 2 → 𝑓(−2) = 𝑓(2)
= 3
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 3 → 𝑓(−3) = 𝑓(3) = 8
como 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) a função é
par
Também podemos reconhecer se uma
função é par analisando seu gráfico
como na Fig. 3.13. Observe no gráfico
da função 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1, que existe
uma simetria em relação ao eixo 𝑦. Por
exemplo, as imagens de 𝑥 = 2 e 𝑥 =
−2 são iguais (𝑦 = 3), assim os pontos
(2,3) e (-2,3) estão simétricos em
relação a Y.
Fig. 3.13 – Gráfico da Função par
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1
2) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥
Solução:
Escolhendo valores arbitrários do
domínio de f temos:
para 𝑥 = 1 → 𝑓(1) = 2 e
−𝑓(−1) = 2 ;
para 𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 4 e
−𝑓(−2) = 4 ;
como −𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) a função é
ímpar.
É possível observar que no gráfico, da
Fig. 3.14, que 𝑓(𝑥) = 2. 𝑥 possui uma
simetria em relação ao ponto da origem
do sistema cartesiano (0;0). Temos os
pontos simétricos (1;2) e (–1, -2), assim
como (2, 4) e (-2, –4). Nesse caso,
temos uma função ímpar.
Fig. 3.14: Gráfico da Função ímpar
𝑓(𝑥) = 2𝑥
3.4. Gráfico de Funções
O gráfico de uma função 𝑓 é o conjunto
de todos os pares ordenados (𝑥, 𝑦) no
plano 𝑥𝑦 tal que 𝑥 pertence ao 𝐷(𝑓) e 𝑦
pertence a 𝐼(𝑓). Assim, o gráfico de uma
função é o conjunto dos pares
ordenados (𝑥, 𝑓(𝑥)), pois 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Costuma-se dizer que uma função real
a uma variável real gera uma curva em
2.
Como não é possível a representação
de todos os pontos (𝑥, 𝑓(𝑥)), podemos
escolher alguns valores de 𝑥
pertencentes ao 𝐷(𝑓) para calcular as
correspondentes imagens 𝑓(𝑥), como
feito na Fig. 3.16. Representando estes
pontos no sistema de coordenadas
obtemos o chamado gráfico de
dispersão.
Se os pontos de dispersão são
suficientemente próximos e a forma da
função é simples ou conhecidas
podemos ligar os pontos do gráfico de
41
dispersão com uma curva como na
Fig.3.15, obtendo o gráfico da função.
Exemplo: Esboce o gráfico da função:
𝑓(𝑥) = √9 − 𝑥
9 − 𝑥 ≥ 0 ∴ 𝑥 ≤ 9
𝐷(𝑓) = (−∞, 9] 𝑒 𝐼𝑚(𝐹) = [0, +∞)
Fig. 3.15 – Gráfico de pontos de dispersão
da função 𝑓(𝑥) = √9 − 𝑥
𝑥 𝑦 = √9 − 𝑥
-16 5
-7 4
0 3
5 2
9 0
Fig. 3.16 – Tabela de pontos de dispersão
3.4.1. Análise de Gráficos
Para reconhecer se uma curva
representa ou não o gráfico de uma
função, basta verificar se qualquer reta
paralela ao eixo vertical e que passe por
um ponto do domínio intercepta a curva
em um só ponto. Se esta reta cruza a
curva do gráfico em mais de um ponto
não é função.
Na Fig. 3.17 traçamos o gráfico da
seguinte equação: 𝑦2 = 4𝑥 + 6𝑦 − 13.
Esta equação não representa uma
função, pois para um mesmo valor de x
obtém-se dois valores de y.
Fig.3.17 – Gráfico de 𝑦2 = 4𝑥 + 6𝑦 − 13
Através do gráfico da função podemos
visualizar seu domínio e sua imagem. O
domínio de uma função é o conjunto das
abscissas 𝑥 dos pontos do gráfico
(projeção no eixo X). A imagem da
função é o conjunto das ordenadas 𝑦
dos pontos do gráfico (projeção no eixo
Y).
Fig. 3.18 – Gráfico mostrando 𝐷𝑓 e 𝐼𝑓
Os valores de 𝑥 para os quais 𝑓(𝑥) = 0
chamam-se zeros da função 𝑓 ou raízes
da equação 𝑓(𝑥) = 0. Geometricamente
os zeros reais de uma função são as
abscissas dos pontos onde o gráfico
corta o eixo horizontal.
3.5. Função Polinomial de 𝟏º Grau
A função 𝑓 é dada por um polinômio de
𝟏º Grau segundo a Eq. 3.3 :
𝑓(𝑥) = 𝑎. 𝑥 + 𝑏 (3.3)
com 𝑎 e 𝑏 reais e 𝑎 ≠ 0.
42
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ
Se 𝑏 ≠ 0 na Eq. 3.3, então a função
recebe o nome de função afim. Se 𝑏 =
0 a função recebe o nome de função
linear.
O coeficiente 𝑎 determina se 𝑓 é uma
função crescente ou decrescente. Se
𝑎 > 0, 𝑓 é uma função crescente. Se 𝑎 <
0, 𝑓 é uma função decrescente.
O gráfico de uma função polinomial de
1º grau é uma reta. Para determinar
uma reta bastam 2 pontos. Uma vez
encontrados dois pontos que satisfazem
a equação da função, seu gráfico é
obtido traçando uma reta por eles.
Gráfico de uma Função Afim
Seja a função afim de equação:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 + 𝑏
com 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ≠ 0
O coeficiente linear 𝑏 é o valor que
𝑦 assume quando 𝑥 = 0, enquanto que
a raiz 𝑥 = −𝑏/𝑎 é o valor de 𝑥 que torna
𝑦 = 0. Assim, os pontos (0, 𝑏) e (−𝑏/
𝑎, 0) podem ser usados para traçar o
gráfico da função
Exemplos:
Plote o gráfico das funções dadas pelas
equações:
a) 𝑦 = 2 𝑥 + 4
Solução:
Quando 𝑥 = 0 → 𝑦 = 4 e quando 𝑦 =
0 → 𝑥 = −2. A reta passa pelos pontos
𝐴(−2,0) e 𝐵(0,4).
Fig. 3.19 – Gráfico de 𝑦 = 2𝑥 + 4
b) 𝑦 = −2 𝑥 − 2
Solução:
Para 𝑥 = 0 → 𝑦 = −2 e para 𝑦 = 0 →
𝑥 = −1. A reta passa pelos pontos
𝐴(−1,0) e 𝐵(0, −2).
Fig. 3.20 – Gráfico de 𝑦 = −2𝑥 − 2. Note que o coeficiente 𝑎 = −2, logo a reta é decrescente
Gráfico de uma Função Linear
Seja a função linear de Eq. 3.4:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥 (3.4)
com 𝑎 ≠ 0 na Eq. 3.4
A função linear é um caso particular da
função afim quando o termo
independente 𝑏 é nulo.
Uma característica das funções lineares
é que o seu gráfico passa pelo ponto
(0,0). a origem da sistema de
coordenadas cartesianas. Para o
traçado do gráfico precisamos de mais
um ponto. Este ponto pode ser obtido
43
encontrando o valor da imagem 𝑦 =
𝑓(𝑥) para qualquer valor de 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓).
Exemplo:
Plote o gráfico da função dada por:
𝑓(𝑥) = −1
2𝑥
Solução:
𝑦 = − 𝑥
2
Quando 𝑥 = 0 → 𝑦 = 0 e quando 𝑥 =
−4 → 𝑥 = 2. A reta passa pelos pontos
𝐴(0,0) e 𝐵(−4,2).
Fig. 3.21 – Gráfico de 𝑦 = −𝑥
2
Sinal de uma Função
Para se estudar o sinal de uma função,
quando a função está representada no
plano cartesiano, basta examinar se é
positiva, nula ou negativa a ordenada de
cada ponto da curva.
Exemplo:
Estudar o sinal da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) cujo
gráfico está abaixo representado.
Solução:
Preparando o gráfico com aspecto
prático temos:
Conclusão:
𝑓(𝑥) = 0 → 𝑥 = −1 𝑜𝑢 𝑥 = 2 𝑜𝑢 𝑥
= 4 𝑜𝑢 𝑥 = 7
𝑓(𝑥) > 0 → −1 < 𝑥 < 2 𝑜𝑢 2 < 𝑥
< 4 𝑜𝑢 𝑥 > 7
𝑓(𝑥) < 0 → 𝑥 < −1 𝑜𝑢 4 < 𝑥 < 7
3.6. Função Polinomial de 𝟐º Grau
Uma função 𝑓 é denominada de função
de 2º grau quando ela for dada por um
polinômio de 𝟐º Grau:
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐 (3.5)
com 𝑎, 𝑏 e 𝑐 na Eq. 3.5 pertencente aos
reais e 𝑎 ≠ 0.
O gráfico de uma função de 2º grau é
uma parábola. A parábola será côncava
para cima se 𝑎 > 0, e será côncava para
baixo se 𝑎 < 0.
Fig. 3.22 – Gráfico para 𝑎 > 0
Fig. 3.23 – Gráfico para 𝑎 < 0
y
x
y
x
44
O vértice da parábola é dado pelo ponto
(𝑥𝑣 , 𝑦𝑣) em que as coordenadas 𝑥𝑣 e
𝑦𝑣 são dadas pelas seguintes Eq. 3.6
e 3.7 :
𝑥𝑣 =−𝑏
2 𝑎 (3.6)
𝑦𝑣 =−∆
4 𝑎 (3.7)
onde ∆ = 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐.
O domínio e imagem da função de 2º
grau é:
𝑠𝑒 𝑎 > 0 , 𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)
= [𝑦𝑣 , +∞)
𝑠𝑒 𝑎 < 0 𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)
= (−∞ , 𝑦𝑣 ]
É importante notar que se a parábola for
côncava para cima, 𝑥𝑣 corresponde ao
seu ponto de mínimo e 𝑦𝑣 corresponde
ao valor mínimo da função. Se a
parábola for côncava para baixo, 𝑥𝑣
corresponde ao seu ponto de máximo e
𝑦𝑣 corresponde ao valor máximo da
função.
A função polinomial de 2º grau possui
duas raízes ou zeros, que são os pontos
𝑥1 e 𝑥2 do domínio para os quais a
imagem é nula, ou seja,
𝑓(𝑥1) = 0 𝑒 𝑓(𝑥2) = 0
As raízes da função podem ser
calculadas pela fórmula de Bháskara
segundo as Eq. 3.8 e 3.9:
𝑥1 = −𝑏 + √∆
2 𝑎 (3.8)
𝑥1 = −𝑏 − √∆
2 𝑎 (3.9)
Se ∆ > 0 a função 𝑓 tem duas raízes
reais e distintas 𝑥1 ≠ 𝑥2. Se ∆ = 0 a
função 𝑓 tem duas raízes reais iguais
𝑥1 = 𝑥2. Se ∆ < 0 a função 𝑓 não tem
raízes reais.
Se as raízes da função forem números
reais então os pontos (𝑥1, 𝑓(𝑥1)) =
(𝑥1, 0) e (𝑥2, 𝑓(𝑥2)) = (𝑥2, 0) são os
pontos que o gráfico da função
intercepta o eixo dos X.
Exemplos:
Plote o gráfico das funções:
a) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥2 − 9 𝑥 + 6
Solução:
𝑎 = 3 ; 𝑏 = −9 ; 𝑐 = 6
∆ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 = (−9)2 − 4.3.6
= 9
Substituindo estes valores nas
Eq. 3.8 e 3.9 :
𝑥1 = 9 + √9
6= 2 𝑒 𝑥2 =
9 − √9
6= 1
𝑥𝑣 = −𝑏
2𝑎=
9
6=
3
2 𝑒 𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
= −9
12= −
3
4
O gráfico da função é a parábola que
passa pelos pontos (1,0), (2,0) e (3/
2, −3/4) e que é côncava para cima,
pois 𝑎 = 3 > 0.
b) 𝑓(𝑥) = − 𝑥2 + 3 𝑥
Solução:
𝑎 = −1 ; 𝑏 = 3 ; 𝑐 = 0
45
Como o termo 𝑐 = 0, a fatoração deste
polinômio é bastante simples e
podemos utilizar este fato para
encontrar as raízes da função sem
utilizar as Eq. 3.8 e 3.9.
𝑓(𝑥) = − 𝑥2 + 3 𝑥 = 0
→ 𝑥 . (−𝑥 + 3)
= 0
Para que o produto seja nulo temos
que ou 𝑥 = 0 ou (−𝑥 + 3) = 0, assim,
𝑥1 = 0 𝑒 𝑥2 = 3.
𝑥𝑣 = −3
2(−1)=
3
2 𝑒 𝑦𝑣 = 𝑓 (
3
2) =
9
4
O gráfico da função é a parábola que
passa pelos pontos (0,0), (3,0) e (3/2 ,
9/4) e que é côncava para baixo pois
𝑎 = −1 < 0.
c) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2 − 4 𝑥 + 2
Solução:
𝑎 = 2 ; 𝑏 = −4 ; 𝑐 = 2
∆ = 𝑏2 − 4 𝑎 𝑐 = (−4)2 − 4.2.2
= 0
𝑥1 = 𝑥2 =4 ± 0
4= 1
𝑥𝑣 = −𝑏
2𝑎=
4
4= 1 𝑒 𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
= −0
8= 0
Quando ∆= 0 as raízes da função são
iguais 𝑥1 = 𝑥2. O gráfico da função é
uma parábola de vértice (𝑥1, 0)
coincidindo com o ponto que ela
intercepta o eixo dos X.
Para uma representação razoável de
uma parábola, necessitamos de no
mínimo 3 pontos.
O gráfico da função intercepta o eixo Y
quando 𝑥 = 0 então, se 𝑥 = 0 →
𝑓(0) = 2, assim o ponto (0 , 2)
pertence à parábola.
Qualquer ponto do domínio pode ser
utilizado para encontrar o terceiro ponto
da parábola. Se 𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 2,
assim o ponto (2 , 2) pertence à
parábola.
O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2 − 4 𝑥 +
2 é a parábola que passa pelos pontos
(1 , 0), (0 , 2) e (2 , 2) e que é côncava
para cima, pois 𝑎 = 2 > 0.
d) 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2 − 4 𝑥 + 3
𝑎 = 2 ; 𝑏 = −4 ; 𝑐 = 3
∆= (−4)2 − 4 .2 .3 = −8 < 0
𝑥𝑣 = −𝑏
2𝑎=
4
4= 1 𝑒 𝑦𝑣 = −
∆
4𝑎
= −(−8)
8= 1
Quando ∆ < 0 as raízes da função não
são números reais. Isto significa que o
gráfico da função não intercepta o eixo
dos X.
O gráfico da função intercepta o eixo Y
quando 𝑥 = 0 então, se 𝑥 = 0 → 𝑓(0) =
3. Quando 𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 3, assim o
ponto (2 , 3) pertence à parábola.
46
O gráfico da função 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2 − 4 𝑥 +
3 é a parábola que passa pelos pontos
(1 , 1), (0 , 3) e (2 , 3) e que é côncava
para cima, pois 𝑎 = 2 > 0.
Gráfico de uma Função
Quadrática
Para fazermos o esboço do gráfico de
uma função quadrática 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 𝑐, buscaremos, daqui para a frente,
informações preliminares que são:
1) O gráfico é uma parábola, cujo
eixo de simetria é a reta 𝑥 = −𝑏
2𝑎
perpendicular ao eixo dos 𝑥.
2) Verificar se a parábola tem
concavidade voltada para cima
ou para baixo, 𝑎 > 0 ou 𝑎 < 0.
3) Zeros da função.
Se ∆> 0, a parábola intercepta o
eixo dos 𝑥 em dois pontos distintos
𝑃1 (−𝑏+√∆
2𝑎) e 𝑃2 (
−𝑏−√∆
2𝑎)
4) Vértice da parábola é o ponto
𝑉 (−𝑏
2𝑎,−∆
4𝑎) que é máximo se
𝑎 < 0 e mínimo se 𝑎 > 0.
Seguem-se os tipos de gráficos que
poderemos obter:
Fig. 3.24 – Gráficos segundo os
parâmetros 𝑎 e ∆
Fig. 3.25 – Gráficos segundo os
parâmetros 𝑎 < 0 e ∆> 0
Fig. 3.26 – Gráficos segundo os
parâmetros 𝑎 e ∆
3.7. Função Exponencial
Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥, com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 é denominada de
função exponencial.
47
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ+∗ = (0, +∞)
O gráfico da função exponencial 𝑓(𝑥) =
𝑎𝑥 é uma curva que intercepta o eixo Y
no ponto (0 , 1), pois 𝑓(0) = 𝑎0 = 1 e
nunca intercepta o eixo dos X, pois a
imagem da função não pode ser zero
pois é estritamente positiva. A função é
crescente se a base 𝑎 > 1 e
decrescente se 0 < 𝑎 < 1.
Fig. 3.27 – Gráficos de funções
exponenciais cujas bases estão 0 < 𝑎 < 1
Observe que para valores
positivos de 𝑥,o gráfico da função se
aproxima do eixo 0x, embora sem nunca
tocá-lo. Dizemos que o eixo Ox é uma
assíntota do gráfico desta função.
Fig. 3.28 – Gráficos de funções exponencias
cujas bases são 𝑎 > 1
A função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥, cuja base é
a constante de Euler 𝑒 (𝑒 ≈ 2,718 … )
desempenha um papel muito importante
nas aplicações da engenharia.
Exemplos:
Plote o gráfico das seguintes funções:
Solução:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 e 𝑔(𝑥) = −𝑒𝑥
Como a função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 é uma função
exponencial de base igual ao número de
Euler 𝑒 = 2,7182 …, a função é
crescente, pois 𝑒 > 0.
Os valores que a função 𝑔(𝑥) = −𝑒𝑥
assume são iguais aos valores de
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 multiplicados por -1. Isto
significa que as funções 𝑔 e 𝑓 são
simétricas em relação ao eixo dos X.
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 𝑒 𝑔(𝑥) = −𝑒−𝑥
Solução: Como a função 𝑓(𝑥) =
𝑒−𝑥 = (𝑒−1)𝑥 é uma função exponencial
de base igual 𝑒−1, ela é decrescente,
pois 0 < 𝑒−1 < 1.
Os valores que a função 𝑔(𝑥) = −𝑒−𝑥
assume são iguais aos valores de
𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 multiplicados por -1. Isto
significa que as funções 𝑔 e 𝑓 são
simétricas em relação ao eixo dos X.
48
3.8. Função Logarítmica
Toda função 𝑓: ℜ → ℜ na forma
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 com 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 é
denominada de função logarítmica
𝐷(𝑓) = ℜ+ ⋆ = (0, +∞) 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ
O gráfico da função logarítmica 𝑓(𝑥) =
log𝑎 𝑥 é uma curva que intercepta o eixo
X no ponto (1, 0), pois 𝑓(1) = log𝑎 1 =
log𝑎 𝑎0 = 0. O gráfico da função nunca
intercepta o eixo dos Y, pois 𝑥 = 0 não
pertence ao domínio da função, ou seja,
∄ 𝑓(0). A função é crescente se a base
𝑎 > 1 e decrescente se 0 < 𝑎 < 1.
Fig. 3.29 – Gráficos de funções
logarítmicas cujas bases são 𝑎 > 1
Fig. 3.30 – Gráficos de funções logarítmicas
cujas bases estão 0 < 𝑎 < 1
Exemplo:
Plote o gráfico das seguintes funções:
𝑓(𝑥) = ln (𝑥) e 𝑔(𝑥) = −ln (𝑥)
Solução:
Como a função 𝑓(𝑥) = ln (𝑥) é uma
função logarítmica de base igual ao
número de Euler 𝑒 = 2,7182 …, a função
é crescente, pois 𝑒 > 0.
Os valores que a função 𝑔(𝑥) = −ln (𝑥)
assume são iguais aos valores de
𝑓(𝑥) = ln (𝑥) multiplicados por -1. Isto
significa que as funções 𝑔 e 𝑓 são
simétricas em relação ao eixo dos X.
3.9. Função Inversa
Se 𝑓: 𝐴 → 𝐵 for uma função injetora
então, ela admite uma função inversa
𝑓−1: 𝐵 → 𝐴.
Exemplo: Dados dois conjuntos 𝐴 =
{𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑒} e 𝑌 = { 𝐴, 𝐵, 𝐶 , 𝐷 , 𝐸},
define-se a função (𝑓) como sendo a lei
que associa cada letra minúscula ao seu
correspondente em maiúsculo no
diagrama da Fig.3.31
.
Fig. 3.31 – Diagrama de associação
A B
49
Observe que a função f é injetora onde
𝐷(𝑓) = 𝐴 e 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐵.
Se 𝑓 é injetora então ela admite uma
função inversa 𝑓−1: 𝐵 → 𝐴 onde 𝐷(𝑓) =
𝐵 e 𝐼𝑚(𝑓) = 𝐴.
Fig. 3.32 – Diagrama para a função inversa
de 𝑓 .
Observação 1: o que era domínio na
função 𝑓 original vira imagem na função
inversa 𝑓−1, e o que era imagem na
função original vira domínio na função
inversa.
Observação 2: Se 𝑓 tiver uma inversa,
então os gráficos de 𝑦 = 𝑓(𝑥) e 𝑦 =
𝑓−1(𝑥) são reflexões um do outro em
relação a reta 𝑦 = 𝑥.
Exemplos: Dada a função 𝑓 calcule sua
inversa 𝑓−1
1) 𝑓(𝑥) = 3 𝑥 + 6
Solução:
Fazendo 𝑦 = 𝑓(𝑥)
(I) 𝑦 = 3 𝑥 + 6
(II) 𝑥 = 3 𝑦 + 6
(III) 3 𝑦 = 𝑥 − 6
(IV) 𝑦 = 𝑓 −1
(𝑥) =𝑥 − 6
3
É fácil observar em (II) a mudança das
variáveis: o que era 𝑥 virou 𝑦, e vice-
versa. Após fazer essa substituição, é
só isolar a variável 𝑦 para encontrar a
função inversa.
Fig. 3.32 - Gráficos de duas funções
inversas, percebe-se a simetria em relação
a bissetriz dos quadrantes ímpares 𝑦 = 𝑥
2) 𝑓(𝑥) = 2𝑥
Solução:
𝑦 = 2𝑥 → 𝑥 = 2𝑦
log2(𝑥) = log2 2𝑦
𝑦 log2 2 = log2 𝑥
𝑦 = 𝑓−1(𝑥) = log2 𝑥
Observe que as funções exponenciais e
logarítmicas são funções inversas.
𝐷(𝑓) = ℜ 𝑒 𝐼𝑚(𝑓) = ℜ+ ⋆ = (0, +∞)
𝐷𝑜𝑚(𝑓−1) = ℜ+ ⋆ = (0, +∞) 𝑒 𝐼𝑚(𝑓)
= ℜ
Fig. 3.33 - Gráficos de duas funções
inversas, logarítmica e exponencial, sendo
um caso clássico de funções inversas. Veja
a simetria em relação a 𝑦 = 𝑥 .
B A
50
3.10. Função Composta
Sejam três conjuntos distintos 𝐴, 𝐵 e 𝐶
que entre eles existam as seguintes
funções:
𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑒 𝑔: 𝐵 → 𝐶
Assim, irá existir outra função ℎ ∶ 𝐴 → 𝐶
tal que ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) que é chamada
de função composta de 𝑔 e 𝑓 denotada
por (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) na Fig.3.34 :
Fig. 3.34 – Diagrama de flechas para uma
função composta
Na função (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)),
resolvemos primeiro a função interna 𝑓,
ao resultado, ou seja, à imagem de 𝑓
aplicamos a função 𝑔. Assim, o domínio
de (𝑔 ∘ 𝑓)(𝑥) é o conjunto de todos os
elementos 𝑥 no domínio de 𝑓 tal que
𝑓(𝑥) esteja no domínio de 𝑔.
𝐷𝑜𝑚(𝑔 ∘ 𝑓) = {𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)|𝑓(𝑥)
∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑔)}
É importante lembrar que as
funções (𝑔 ∘ 𝑓) e (𝑓 ∘ 𝑔) são geralmente
diferentes.
Exemplo:
Considere as funções:
𝑔(𝑥) = 2𝑥2 e 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1
a) Determine a função composta 𝑔 𝑜 𝑓.
Solução:
Como a função (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥))
agora os elementos do domínio de 𝑔
são as imagens 𝑦 = 𝑓(𝑥) da função 𝑓.
Isto significa que o "𝑥" da função 𝑔 deve
ser substituído por "𝑓(𝑥)". Então:
𝑔 𝑜 𝑓 = 𝑔(𝑓(𝑥)) = 2. 𝑓(𝑥)2 = 2. [𝑥 + 1]2
=
= 2. [𝑥2 + 2𝑥 + 1]
= 2𝑥2 + 4𝑥 + 2
∴ (𝑔 𝑜 𝑓)(𝑥) = 2𝑥2 + 4𝑥 + 2
b) Determine a função composta 𝑓 𝑜 𝑔.
Solução:
Como a função (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥))
agora os elementos do domínio de 𝑓 são
as imagens 𝑦 = 𝑔(𝑥) da função 𝑔. Isto
significa que o "𝑥" da função 𝑓 deve ser
substituído por "𝑔(𝑥)". Então:
𝑓 𝑜 𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥) + 1
= [2𝑥2] + 1 =
= 2 𝑥2 + 1
∴ (𝑓 𝑜 𝑔)(𝑥) = 2𝑥2 + 1.
c) Determine a função composta 𝑓 𝑜 𝑓.
Solução:
𝑓 𝑜 𝑓 = 𝑓(𝑓(𝑥)) = 𝑓(𝑥) + 1
= [𝑥 + 1] + 1 =
= 𝑥 + 2
∴ (𝑓 𝑜 𝑓)(𝑥) = 𝑥 + 2
d) Determine a função composta 𝑔 𝑜 𝑔.
Solução:
𝑔 𝑜 𝑔 = 𝑔(𝑔(𝑥)) = 2. [𝑔(𝑥)]2
= 2. [2𝑥2]2 =
= 2. (4𝑥4) = 8 𝑥4
∴ (𝑔 𝑜 𝑔)(𝑥) = 8 𝑥4
51
3.11. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Seja 𝑓(𝑥) =1
𝑥 , 𝑥 ≠ 0. Se 𝑓(2 +
𝑝) − 𝑓(2) =3
2. Calcule 𝑓(1 −
𝑝) − 𝑓(1 + 𝑝).
2) Esboce o lugar geométrico do
seguinte conjunto 𝐻 = {(𝑥, 𝑦) ∈
ℝ2 𝑥2⁄ + 𝑦2 − 2𝑦 = 0}. Verifique
que o conjunto esboçado não
corresponde a uma função.
3) Verifique as possibilidades para
os quais x satisfaz a inequação
(4𝑥 − 3)/(𝑥 + 1) > 2
4) Os pontos (0,0) e (2,1) estão no
gráfico de uma função
quadrática 𝑓. O mínimo de 𝑓 é
assumido no ponto de abscissa
𝑥 = −0.25. Calcule o valor de
𝑓(1).
5) O maior elemento da sequência
𝑎𝑛 = 400 + 20𝑛 − 2𝑛2, 𝑛 =1,2,3, … 50, vale:
6) Plote o seguinte gráfico ||𝑥| −
2| − 3.
7) Considere a função
𝑓(𝑥) = {1, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
−2, 𝑠𝑒 − 2 ≤ 𝑥 < 0
e 𝑔(𝑥) = |𝑓(𝑥)| − 1. Plote 𝑔(𝑥).
8) Se o conjunto:
𝑆 = {𝑥 ∈ ℜ/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 𝑐}
é a solução de
(𝑥 + 2). (2𝑥 − 𝑥2) ≤ 0
O valor de 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 é:
9) Considere a função 𝑓(𝑥) = |𝑥 −
1| + |𝑥 − 2|;
Mostre que
𝑓(𝑥) = {−2𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1
1 𝑠𝑒 1 < 𝑥 < 22𝑥 − 3 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
Em seguida esboce o gráfico de
𝑓 .
10) As soluções da equação:
𝑥 − 𝑎
𝑥 + 𝑎+
𝑥 + 𝑎
𝑥 − 𝑎=
2(𝑎4 + 1)
𝑎2(𝑥2 − 𝑎2)
Onde 𝑎 ≠ 0, são:
11) O domínio da função real 𝑓
definida por:
𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 1
1 − 3𝑥
é:
12) Seja S o conjunto de todas as
soluções da equação log0.25(𝑥 +
1) = log4(𝑥 − 1).
Mostre que S possui solução
única.
13) Seja a equação logarítmica
(log𝑚 2). (log𝑚
162) = log𝑚
642.
Calcule a soma de suas raízes.
14) Se: 6 − log𝑎 𝑚
1 + log𝑎2 𝑚= 2
Com 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1 𝑒 𝑚 > 0,
então:
√𝑚
𝑎 + √𝑚
é:
15) Encontre o domínio real da
função:
𝑓(𝑥) =√2 − 𝑥
𝑥2 − 8𝑥 + 12
16) Mostre que a inequação
10𝑥 + 10𝑥+1 + 10𝑥+2 + 10𝑥+3
+ 10𝑥+4 < 11111
Em que 𝑥 é um número real,
possui apenas solução negativa.
17) Plote:
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒−|𝑥|.
b) 𝑔(𝑥) =−2.|𝑥|
𝑥
c) 𝑓(𝑥) = −4 − 3𝑒−|𝑥|
52
d) 𝑔(𝑥) = −2|−𝑥2 + 6𝑥 − 8| +3.
18) Para −1 < 𝑥 < 0.5, o gráfico da
função 𝑦 = |𝑥 + 1| + |2𝑥 − 1|, coincide com o gráfico da função
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏. Encontre os valores
de 𝑎 e 𝑏.
19) Sejam 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ funções tais
que 𝑔(𝑥) = 1 − 𝑥 e 𝑓(𝑥) +
2𝑓(2 − 𝑥) = (𝑥 − 1)3, para todo
𝑥 ∈ ℝ. Calcule 𝑓(𝑔(𝑥)).
20) A soma das raízes reais
positivas da equação 4𝑎 − 5 ∗
2𝑎 + 4 = 0, sendo 𝑎 = 𝑥2 é:
21) Plote o gráfico de 𝑓(𝑥) =
ln(|𝑥| − 1).
22) Dadas as funções
𝑓(𝑥) =3. 𝑥
2. 𝑥 + 1
e
𝑔(𝑥) =2. 𝑥 + 1
3. 𝑥,
responda e calcule o que se pede: a) Indique o domínio das funções 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥). b) A função 𝑔(𝑥) é a inversa de 𝑓(𝑥)? Em caso negativo, encontre a
função inversa de 𝑓(𝑥). c) Determine o valor da soma 𝑓(2) + 𝑔(2). d) Determine o valor do quociente 𝑓(−3)/𝑔(−3).
23) Seja 𝑓(𝑥) a função ilustrada
abaixo:
Plote o gráfico de:
𝑔(𝑥) = (−3
2) 𝑓 ((−
1
2) 𝑥 + 2) + (
3
2).
24) Dada a função:
𝑓(𝑥) = {
|𝑥 − 3| − |𝑥 − 1|, 𝑠𝑒 − 4 ≤ 𝑥 < 0
𝑥2 + 2 , 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 20, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Faça e calcule o que se pede:
a) Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥):
b) Calcule a área formada entre
𝑓(𝑥) e o eixo das abscissas
do plano cartesiano, para
−2 ≤ 𝑥 ≤ 0.
c) Esboce o gráfico de 𝑔(𝑥) =
−2𝑓((−0.5𝑥 + 2) − 3)
53
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
PROPOSTOS
1) 12/5
2) [x² + (y – 1)² = 1]. Logo, a equação
de uma circunferência não é uma
função.
3) 𝑆 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 5/2}
4) f(1) = 3/10
5) 𝑌𝑚á𝑥 = 450
6) gráfico
7) gráfico
8) a² + b² + c² = 8
9) 𝑆 = {−2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ −1
1, 𝑠𝑒 1 < 𝑥 < 22𝑥 − 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 2
}
10) ±1/a
11) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|1/3 < 𝑥 ≤ 1/2}
12) x = +√2
13) 𝑚1 + 𝑚2= 10, sendo 𝑚1 = 6 𝑒 𝑚2 =
4
14) 1/2
15) 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℝ|𝑥 ≤ 2 𝑜𝑢 𝑥 ≠ 4}
16) x < 0
17.a) 𝑓(𝑥) = 𝑒−|𝑥| → {𝑒−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 𝑒𝑥 , 𝑠𝑒 𝑥 < 0
}
17.b) 𝑔(𝑥) = −2|𝑥|/𝑥 → {−2, 𝑠𝑒 𝑥 > 02, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
}
17.c) 𝑓(𝑥) = −4 − 3𝑒−|𝑥| →
{−4 − 3𝑒−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0−4 − 3𝑒𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
}
17.d) 𝑔(𝑥) = −2|−𝑥2 + 6𝑥 − 8| + 3 →
{2𝑥² − 12𝑥 + 18, 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 ≤ 4
−2𝑥2 + 12𝑥 − 13, 𝑠𝑒 𝑥 > 4 𝑜𝑢 𝑥 < 2}18)
a = - 1 e b = 2
19) f(g(x)) = x³; f(x) = (-x + 1)³
20) 𝑎1 = 2 e 𝑎2 = 0. Logo, 𝑎1 + 𝑎2 = 2
21) 𝑓(𝑥) = {ln (𝑥 − 1), 𝑠𝑒 𝑥 > 1
𝑙 𝑛(−𝑥 − 1) , 𝑠𝑒 𝑥 < −1}
22.a) 𝐷𝑓(𝑥) = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≠ −1/2} e
𝐷𝑔(𝑥) = {𝑥 ∈ ℝ| 𝑥 ≠ 0}
22.b) Não, a inversa é 𝐹−1(𝑥) =𝑥
3 + 2𝑥⁄
22.c) 𝑓(2) = 6/5 𝑒 𝑔(𝑥) = 5/6. Logo,
𝑓(2) + 𝑔(2) = 61/30
22.d) 𝑓(−3)
𝑔(−3)= (
9
5)
23) gráfico
24. a)
𝑆 = {
|𝑥 − 3| − |𝑥 − 1|, 𝑠𝑒 − 4 ≤ 𝑥 < 0
𝑥² + 2, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 20, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
}
b) Área = 2𝑥2 = 4 u.a ; p/ −2 ≤ 𝑥 ≤ 0
c)
54
4. GEOMETRIA PLANA E
ESPACIAL
A geometria plana ou euclidiana é
a parte da matemática que estuda as
figuras que não possuem volume. Já
a geometria espacial, por sua vez,
estuda os objetos que possuem mais
de uma dimensão e ocupam lugar no
espaço, conhecidos como sólidos
geométricos ou figuras
geométricas espaciais.
4.1. Ponto
O ponto determina uma localização
e seu conceito é adimensional.
O ponto não possui forma ou
tamanho, embora seja necessário
fazê-los, para a sua representação
gráfica (Fig. 4.1).
Figura 4.1 – Representação gráfica de
um ponto
4.2. Reta
A reta é uma linha unidimensional
ilimitada.
Embora seja necessário dar uma
espessura e um tamanho para a
representação gráfica de uma reta,
ela não tem espessura e seu
comprimento é infinito, como
exemplificado na Fig. 4.2.
Figura 4.2 – Representação dos tipos de reta
4.2.1 Postulados da Reta
Numa reta, bem como fora
dela, existem infinitos pontos.
A Fig. 4.3 define uma
representação gráfica deste
postulado.
Figura 4.3 – Pontos inclusos e exclusos à reta
Por um ponto passam infinitas
retas (Fig. 4.4).
Figura 4.4 – Representação de retas em um ponto
Dois pontos distintos determinam
uma única reta que os contém
(Fig. 4.5).
55
Figura 4.5 – Reta formada pela união de dois pontos
4.3. Plano
O plano corresponde a uma
superfície plana bidimensional
ilimitada.
Embora seja necessário dar uma
forma e tamanho para a sua
representação gráfica, o plano tem
comprimento e largura infinitos e não
tem profundidade, como
exemplificado na Fig. 4.6
Figura 4.6 – Representação de um plano
4.3.1 Postulados do Plano
Num plano, bem como fora dele,
existem infinitos pontos. A Fig.
4.7 define uma representação
gráfica deste postulado.
Figura 4.7 – Representação de
pontos inclusos e exclusos a um
plano α
Toda reta que tem dois pontos
distintos num plano fica
inteiramente contida nesse plano
(Fig. 4.8).
Figura 4.8 – Reta formada pela união de
dois pontos contida em um plano
Três pontos não situados na
mesma reta determinam um
plano (Fig. 4.9).
Figura 4.9 – Pontos determinantes de um plano α qualquer
Por uma reta passam infinitos
planos (Fig. 4.10).
Figura 4.10 – Reta com infinitos planos
4.3.2. Posições Relativas de duas
Retas no Plano
Duas retas em um mesmo plano
podem ser:
56
Retas Concorrentes: Duas retas
são ditas concorrentes quando
existe apenas um ponto comum
entre elas, ou seja, quando as retas
se interceptam.
Retas Paralelas: Duas retas 𝑎 e 𝑏,
em um mesmo plano, são ditas
paralelas quando não têm ponto
comum entre elas. Denota-se 𝑎/ /𝑏.
Retas Coincidentes: Duas retas
são ditas coincidentes quando têm
todos os pontos em comum.
A Fig. 4.11 esboça posições de duas
retas concorrentes, paralelas e
coincidentes em um mesmo plano.
Figura 4.11 – Posições relativas de retas em um plano
4.4. Espaço
O espaço tridimensional é o conjunto
de todos os pontos situados em um
plano e fora dele.
Embora seja necessário dar uma
forma para a sua representação
gráfica do plano, ele tem
comprimento, largura e profundidade
infinitos, como exemplificado na Fig.
4.12.
Figura 4.12 – Representação de espaço
4.4.1 Posições Relativas de duas
Retas no Espaço
Duas retas no espaço tridimensional
podem ser:
Retas Coplanares: Duas retas são
ditas coplanares quando existe um
plano que as contêm.
Retas Reversas: Duas retas são
ditas reversas quando não existe um
plano que as contêm.
A Fig. 4.13 aponta retas coplanares
e retas reversas.
Figura 4.13 – Posições relativas de retas em um espaço (I)
De acordo com a figura acima:
As retas 𝑟 e 𝑠 estão contidas no
plano ABCFE, portanto são
coplanares.
As retas 𝑡 e 𝑠 estão contidas no
plano EFGH, portanto são
coplanares.
57
As retas 𝑡 e 𝑟 são retas reversas,
pois não existe um plano que as
contêm.
Exemplo:
1) De acordo com a figura 4.14
abaixo, dê a classificação em
relação à posição relativa dos pares
de retas indicadas:
Figura 4.14 – Posições relativas de retas em um espaço (II)
a) Retas r e s: coplanares
paralelas
b) Retas r e t: coplanares
concorrentes
c) Retas r e x: reversas
d) Retas t e x: coplanares
paralelas
4.5. Segmento de Retas
Segmento de reta é o conjunto de
todos os pontos de uma reta que
estão limitados por dois pontos,
como exemplificado na figura 4.15.
Figura 4.15 – Representação de um segmento de reta (I)
𝐴𝐵 = medida do comprimento de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅
4.5.1. Razão entre Segmentos de
Reta
O conceito de razão é a forma mais
comum e prática de fazer a
comparação relativa entre duas
grandezas.
A razão entre dois números 𝑥 e 𝑦 é
definida pelo quociente:
𝑥
𝑦= 𝑘 𝑐𝑜𝑚 𝑘 ∈ ℜ 𝑒 𝑦 ≠ 0,
A razão 𝑘 indica o valor do número 𝑥
quando comparado ao número 𝑦,
tomando-o como unidade.
Por exemplo, a razão entre dois
números reais 𝑥 = 2 e 𝑦 = 4 é
determinada por:
𝑥
𝑦=
2
4=
1
2= 0,5
Isto significa que o número 𝑥 é 0,5
vezes o número 𝑦, ou seja, 𝑥 é a
metade de 𝑦.
Não é possível dividir um segmento
de reta por outro para determinar a
razão entre segmentos, mas é
possível realizar a divisão entre as
medidas (tamanho) dos segmentos.
Por exemplo, a razão os entre os
segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ,
respectivamente, de comprimentos 6
cm e 3 cm é determinada por:
𝐴𝐵
𝐶𝐷=
6
3= 3
𝐴𝐵 = 2 é a medida do segmento e
𝐶𝐷 = 3 é a medida do segmento
Isto significa que o segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é 3
vezes maior do que o segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ .
4.5.2. Segmentos Proporcionais
58
Proporção é a igualdade entre duas
razões equivalentes.
Quatro números 𝑥, 𝑦, 𝑎 e 𝑏 são
proporcionais, nesta ordem, se a
razão entre os dois primeiros for
igual à razão entre os dois últimos,
ou seja:
𝑥
𝑦=
𝑎
𝑏= 𝐶 ; 𝑦 ≠ 0; 𝑏 ≠ 0
O número real 𝐶 é chamado de
constante de proporcionalidade. Lê-
se 𝑥 está para 𝑦 assim como 𝑎 está
para 𝑏.
Por exemplo, se os números 𝑥 e 𝑦
são proporcionais a 2 e 3, nesta
ordem, então:
𝑥
𝑦=
2
3
onde 2/3 é a constante de
proporcionalidade.
Observe que apenas a informação
da constante de proporcionalidade
não define exatamente os valores de
𝑥 e 𝑦, pois existem infinitas soluções
para 𝑥 e 𝑦. Por exemplo, 𝑥 = 4 e
𝑦 = 6; 𝑥 = 6 e 𝑦 = 9, pois:
𝑥
𝑦=
4
6=
6
9= ⋯ =
2
3
De forma semelhante aos números
reais, é possível estabelecer a
proporcionalidade entre segmentos
de reta igualando as razões que são
equivalentes.
Os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ e 𝐺𝐻̅̅ ̅̅
são, nesta ordem, proporcionais
quando a razão entre os dois
primeiros for igual à razão entre os
dois últimos, ou seja:
𝐴𝐵
𝐶𝐷=
𝐸𝐹
𝐺𝐻
onde:𝐴𝐵 é a medida do segmento
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷 é a medida do segmento 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
, 𝐸𝐹 é a medida do segmento 𝐸𝐹̅̅ ̅̅
, 𝐺𝐻 é a medida do segmento 𝐺𝐻̅̅ ̅̅ .
Exemplos:
1) Verifique se os segmentos
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ e 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , nesta ordem, são
proporcionais, sabendo que 𝐴𝐵 =
6 𝑐𝑚, 𝐶𝐷 = 18 𝑐𝑚, 𝑀𝑁 = 4 𝑐𝑚 e
𝑃𝑄 = 12 𝑐𝑚.
Solução:
𝐴𝐵
𝐶𝐷=
6
18=
1
3 𝑒
𝑀𝑁
𝑃𝑄=
4
12=
1
3
Como
𝐴𝐵
𝐶𝐷=
𝑀𝑁
𝑃𝑄=
1
3
podemos dizer que os segmentos
são proporcionais e a constante de
proporcionalidade é de 1/3.
2) Considere os segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ,
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ e 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , proporcionais nesta
ordem. Calcule as medidas dos
segmentos 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ sabendo que
𝐴𝐵 = (𝑥 + 3) 𝑐𝑚 , 𝐶𝐷 = (𝑥 − 2) 𝑐𝑚,
𝑀𝑁 = 40 𝑐𝑚 e 𝑃𝑄 = 30 𝑐𝑚
Solução:
𝐴𝐵
𝐶𝐷=
𝑀𝑁
𝑃𝑄 →
𝑥 + 3
𝑥 − 2=
40
30 →
𝑥 + 3
𝑥 − 2=
4
3 → 3 (𝑥 + 3)
= 4 (𝑥 − 2) →
3𝑥 + 9 = 4𝑥 − 8
9 + 8 = 4𝑥 − 3𝑥
𝑥 = 17
𝐴𝐵 = (𝑥 + 3) = 17 + 3 = 20 𝑐𝑚
59
𝐶𝐷 = (𝑥 − 2) = 17 − 2 = 15 𝑐𝑚
3) Suponha que um segmento de
reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ seja dividido pelo ponto 𝑃
numa razão de 2/3, conforme figura
4.16. Calcule os comprimentos
dos segmentos 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ e 𝑃𝐵̅̅ ̅̅ sabendo
que o comprimento de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ é 20 𝑐𝑚.
Figura 4.16 – Representação de um
segmento de reta (II)
Solução:
𝑥 = 𝐴𝑃 ; 𝑦 = 𝑃𝐵 ; 𝐴𝐵 = 20
𝑥 + 𝑦 = 20 𝑒 𝑥
𝑦=
2
3
Isolando 𝑦 na pr imeira equação
tem-se:
𝑦 = 20 − 𝑥
Subst ituindo y na segunda
equação:
𝑥
20 − 𝑥=
2
3 → 3 𝑥 = 2 (20 − 𝑥)
→
3𝑥 = 40 − 2𝑥 → 5𝑥 = 40 → 𝑥 = 8
Subst ituindo o valor de 𝑥:
𝑦 = 20 − 𝑥 → 𝑦 = 20 − 8 → 𝑦 = 12
Logo,
𝐴𝑃 = 8 𝑐𝑚 ; 𝑃𝐵 = 12 𝑐𝑚
4.5.3. Teorema de Talles
“Um feixe de retas paralelas
determina, em duas retas
transversais, segmentos que são
proporcionais”.
Um feixe de retas paralelas é o
conjunto de três ou mais retas
coplanares paralelas. Uma reta
neste mesmo plano que corta o feixe
é chamada de reta transversal.
O teorema de Talles encontra-se
ilustrado na figura 4.17 abaixo.
Figura 4.17 – Representação de um
feixe de retas paralelas
𝑠𝑒 𝑟//𝑠//𝑡 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐴𝐵
𝐵𝐶=
𝑀𝑁
𝑁𝑃
Exemplos:
1) Determine o valor de 𝑥 na figura
(4.18) abaixo.
Figura 4.18 – Aplicação do teorema de
Talles (I)
Solução:
De acordo com o teorema de Talles,
temos:
11
7=
𝑥
8→ 𝑥 =
11 ∙ 8
7 → 𝑥 =
88
7
60
2) A figura (4.19) abaixo mostra dois
terrenos cujas laterais horizontais
são paralelas. Determine as medidas
𝑥 e 𝑦.
Figura 4.19 – Aplicação do teorema de Talles (II)
Solução:
De acordo com o teorema de Talles,
temos:
𝑥
𝑦=
20
50→ 𝑥 =
2
5 . 𝑦
Sendo:
𝑥 + 𝑦 = 63 𝑒 𝑥 =2 𝑦
5
Substituindo:
2 𝑦
5+ 𝑦 = 63 →
2𝑦 + 5𝑦
5= 63
→
7𝑦 = 315 → 𝑦 =315
7= 45
𝑦 = 45 𝑚
𝑥 =2 𝑦
5=
2.45
5= 18
𝑥 = 18 𝑚
As medidas são: 𝑥 = 18 𝑚 𝑒 𝑦 =
45 𝑚
3) Determine a medida do segmento
𝐴𝑃̅̅ ̅̅ , na figura (4.20) abaixo, sabendo
que 𝑀𝑃 = 20 𝑐𝑚 ; 𝑃𝑁 = 50 𝑐𝑚; 𝑃𝐵 =
60 𝑐𝑚
Figura 4.20 – Aplicação do teorema de
Talles (III)
Imaginando uma reta paralela a 𝑟 e
𝑠 passando pelo ponto A, podemos
utilizar o teorema de Talles, então:
𝐴𝑃
𝑃𝐵=
𝑀𝑃
𝑃𝑁 →
𝑥
60=
20
50→ 𝑥 =
20.60
50= 24 𝑚
4.6. Circunferência e Círculo
A circunferência é o conjunto dos
pontos de um plano que estão a uma
mesma distância (denominada raio)
de um ponto fixo situado no mesmo
plano (chamado centro). A Fig. 4.21
aponta uma representação
esquemática de uma circunferência.
Figura 4.21 – Representação de uma
circunferência
O interior da circunferência é o
conjunto de pontos que estão a uma
distância menor do que 𝑟 do centro
𝑂.
O exterior da circunferência é o
conjunto de pontos que estão a uma
61
distância maior do que do que 𝑟 do
centro 𝑂, conforme Fig. 4.22.
Figura 4.22 – Representação de um
círculo
O círculo ou disco é a superfície
plana e fechada, limitada pela
circunferência, ou seja, é o conjunto
de pontos situados na circunferência
e em seu interior. A Fig. 4.23
compara círculo e circunferência.
Figura 4.23 – Comparação entre círculo
e circunferência
4.6.1. Elementos da
Circunferência e do Círculo
Corda e Segmento Circular (Fig.
4.24).
Figura 4.24 – Representação de corda e
segmento circular
Corda é um segmento de reta que
liga dois pontos de uma
circunferência.
Segmento circular é a interseção de
um círculo com o semipleno definido
por uma corda que não contém o
centro do círculo.
Arco e Setor Circular (Fig. 4.25).
Figura 4.25 – Representação de arco e
setor circular
O arco 𝐴�̌� de uma circunferência é
o conjunto de pontos desta
circunferência compreendidos pelos
raios 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ .
O setor circular 𝐴𝑂�̌� é o conjunto de
pontos do círculo que estão
compreendidos pelos raios 𝐴𝑂̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ .
Diâmetro, Semicircunferência e
Semicírculo (Fig. 4.26).
Figura 4.26 – Representação de
diâmetro, semicircunferência e
semicírculo.
O diâmetro é uma corda que passa
pelo centro da circunferência. É a
corda de comprimento máximo e
mede o dobro do raio.
62
A semicircunferência 𝐴�̆� é o arco
definido pelos pontos 𝐴 e 𝐵
diametralmente opostos da
circunferência.
O semicírculo 𝐴𝑂�̌� é o setor circular
definido pelos raios 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ e 𝑂𝐵̅̅ ̅̅ .
4.7. Ângulo
Ângulo é a região plana limitada por
duas semirretas de mesma origem.
A Fig. 4.27 aborda uma ilustração
esquemática de um ângulo qualquer.
Figura 4.27 – Representação de ângulo
4.7.1. Unidades de Medida de
Ângulos
Duas unidades de medida de um
arco e, consequentemente, de um
ângulo são normalmente utilizadas:
o grau e o radiano.
Grau
Se uma circunferência for dividida
em 360 arcos iguais, o ângulo que
determina um destes arcos
corresponde a 1 grau (1∘), ou seja, o
arco da circunferência mede um grau
quando corresponde a 1/360 dessa
circunferência.
Um grau tem 60 minutos (60′). Um
minuto tem 60 segundos (60′′).
A medida do ângulo de uma volta
completa ou giro é de 360∘. A Fig.
4.28 representa um arco de 90°
subdivididos a cada 10°.
Figura 4.28 – ângulos de 0° a 90°
Radiano
Um Radiano (1 𝑟𝑎𝑑) é a medida de
um arco cujo comprimento (𝐿) é igual
ao raio (𝑅) da circunferência que o
contém. Como ao arco está
associado um ângulo central,
também podemos dizer que 1
radiano é a medida deste ângulo, o
qual determina um arco de
comprimento igual ao raio da
respectiva circunferência. O
comprimento de um arco qualquer
está representado na Fig. 4.29.
A medida do ângulo de uma volta
completa é de 2𝜋 𝑟𝑎𝑑, onde
𝜋 ≈3.14159265..., é um número
irracional.
Figura 4.29 – Comprimento de arco
63
Pela definição de radiano tem-se:
Se 𝛼 = 2 𝑟𝑎𝑑 então 𝐿 = 2 𝑅; se 𝛼 =
3 𝑟𝑎𝑑 então 𝐿 = 3 𝑅, etc. Se o ângulo
for dado em radianos, o
comprimento do arco fica
determinado pela Eq. 4.1:
𝐿 = 𝛼 ∙ 𝑅
(4.1)
com 𝛼 dado em radianos
Conversão de unidades
Dado um ângulo 𝛼 em grau (𝛼°)
podemos ter determinar seu valor
em radianos (𝛼𝑟𝑎𝑑), ou vice e versa
utilizando uma regra de três.
360
𝛼°=
2 𝜋
𝛼𝑟𝑎𝑑
Exemplos:
1) Determine o valor de 𝛼 = 45° em
radianos.
Solução:
360
45=
2𝜋
𝑥→ 𝑥 =
2𝜋 ∙ 45
360
= 𝜋
4
𝛼 = 45° = 𝜋
4 𝑟𝑎𝑑
2) Determine o valor de 𝛼 =
2𝜋 3⁄ 𝑟𝑎𝑑 em graus.
Solução:
360
𝑥=
2𝜋
2𝜋3
→ 2𝜋 𝑥
=2𝜋
3∙ 360 →
𝑥 = 2 𝜋 ∙ 120
2 𝜋= 120
𝛼 =2𝜋
3 𝑟𝑎𝑑 = 120°
3) Deseja-se repartir uma pizza de
30 cm de diâmetro em 11 pedaços
iguais, conforme indicado na figura
4.30. Determine o valor do ângulo 𝛼
que cada fatia deverá ser cortada.
Figura 4.30 – Aplicação da
circunferência (I) 2
Figura 4.31 – Aplicação de
circunferência (II)
Solução:
Se cada polia tem diâmetro de 20 cm
e a distância entre seus centros é de
30 cm, determine o valor aproximado
do comprimento da correia.
Podemos considerar as seguintes
partes da correia e determinar seus
comprimentos:
Parte superior de centro a centro a
polia:
𝐿1 = 30 𝑐𝑚
Parte inferior de centro a centro a
polia:
𝐿2 = 30 𝑐𝑚
64
Contorno da semicircunferência da
polia de diâmetro 𝑑 = 20 𝑐𝑚,
𝐿3 = 𝜋 ∙ 𝑅 = 𝜋 ∙𝑑
2≈ 3,14 ∙
20
2= 31,4 𝑐𝑚
Comprimento total da correia 𝐿:
𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2 + 2 ∙ 𝐿3 ≅ 30 + 30 + 2 ∙ 31,4
𝐿 ≅ 122,8 𝑐𝑚
Dizemos que o comprimento da
correia é aproximadamente igual a
122,8 𝑐𝑚, pois no cálculo tomamos
um o valor aproximado de 𝜋.
5) Determine quantas voltas por
segundo deve dar cada roda de um
automóvel na velocidade linear
constante de 31,4 𝑚/𝑠, sabendo que
o raio de cada roda é 25 cm e que a
roda não desliza durante a rolagem
(adotar 𝜋 = 3.14).
Solução:
Distância percorrida em 1 segundo:
𝐿 = 31,4 𝑚
Raio da roda: 𝑅 = 25 𝑐𝑚 = 0.25 𝑚
𝐿 = 𝛼 ∙ 𝑅 → 𝛼 =𝐿
𝑅=
31.4
0.25= 125,6
𝛼 = 125,6 𝑟𝑎𝑑
Cada volta de roda equivale a um
ângulo de 2𝜋 𝑟𝑎𝑑. Se o ângulo total
percorrido por cada roda é de 𝛼 =
125,6 𝑟𝑎𝑑, então o número de voltas
(𝑛) é:
𝑛 =𝛼
2 𝜋=
125,6
2 𝜋=
125,6
2 ∙ 3,14
= 20 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑠
3.7.2. Classificação dos Ângulos
Em relação à sua medida, a
figura 4.32 apresenta uma
relação esquemática entre
ângulos agudo, obtuso, reto,
raso, de uma volta e côncavo.
Figura 4.32 – Representação de ângulos
ângulo agudo
0° < 𝛼 < 90°
ângulo obtuso
90° < 𝛼 < 180°
ângulo reto
𝛼 = 90°
ângulo raso
𝛼 = 180°
ângulo de uma volta
𝛼 = 360°
ângulo côncavo
180° < 𝛼 < 360°
Em relação a outro ângulo:
Congruentes: Dois ângulos são
chamados congruentes quando suas
medidas forem iguais.
Complementares: Dois ângulos são
chamados complementares quando
a soma entre eles for igual a 90°.
Suplementares: Dois ângulos são
chamados suplementares quando a
soma entre eles for igual a 180°.
Replementares: Dois ângulos são
chamados replementares quando a
soma entre eles for igual a 360°.
65
Em relação à posição de ângulos
formados por duas retas
paralelas cortadas por uma reta
transversal (Fig. 4.33).
Figura 4.33 – Ângulos formados por
duas retas cortadas por uma tranversal
Os ângulos correspondentes
(mesma posição) são congruentes,
isto é, são iguais.
Exemplo: b e f
Os ângulos colaterais (mesmo lado)
são suplementares
Exemplo de colaterais
internos: h e c
Exemplo de colaterais
externos: d e g
Os ângulos alternos (lados
alterados) são congruentes.
Exemplo de alternos internos:
b e h
Exemplo de alternos
externos: a e g
Os ângulos opostos pelo vértice
(ângulos cujos lados são semirretas
opostas aos lados do outro) são
congruentes.
Exemplo de alternos internos:
b e d
Exemplos:
1) Determine o valor do ângulo 𝑎, na
figura 4.34, sabendo que ℎ = 40°.
Figura 4.34 – Aplicação de retas
cortadas por transversal (I)
Solução:
Os ângulos ℎ e 𝑑 são
correspondentes, pois ocupam a
mesma posição, portanto são iguais.
𝑑 = ℎ = 40°
Os ângulos a 𝑎 e 𝑑 são
suplementares, então:
𝑎 + 𝑑 = 180 → 𝑎 + 40 = 180
→
𝑎 = 180 − 40 = 140 ∴ 𝑎
= 140°
2) Na figura 4.35, determinar os
valores dos ângulos x , y e z.
Figura 4.35 – Aplicação de retas
cortadas por transversal (II)
Solução
Os ângulos 4𝑥 e 𝑧 são opostos pelo
vértice, portanto são iguais.
4 𝑥 = 𝑧 → 𝑥 =𝑧
4
Os ângulos 𝑥 e 𝑧 são
suplementares, então:
66
𝑥 + 𝑧 = 180 → 𝑧
4+ 𝑧 = 180
→
𝑧 + 4 𝑧 = 180 ∙ 4 → 5 𝑧
= 720 →
𝑧 = 144 ∴ 𝑧 = 144°
𝑥 =𝑧
4=
144
4= 36 ∴ 𝑥 = 36°
Os ângulos x e 2y são iguais por
serem opostos pelo vértice, assim:
𝑥 = 2𝑦 → 𝑦 =𝑥
2=
36
2= 18 ∴ 𝑦 = 18°
4.8. Polígono
Um polígono é uma figura plana
limitada por uma linha poligonal
fechada formada por segmentos
consecutivos não colineares.
Chama-se de polígono regular ao
polígono cujos lados são iguais.
Classificação quanto ao número
de lados (Fig. 4.36).
Figura 4.36 – Representação de polígonos
quanto aos lados
4.8.1. Semelhança de Polígonos
Dois polígonos de mesmo número
de lados 𝐴𝐵𝐶𝐷 … e 𝐴’𝐵’𝐶’𝐷′ …, são
ditos semelhantes
(𝐴𝐵𝐶𝐷 … ~𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ … ) se forem
satisfeitas simultaneamente ambas
as condições:
i) Ângulos correspondentes
iguais:
𝐴 = 𝐴’; 𝐵 = 𝐵’; 𝐶 = 𝐶’; …
a. Lados
correspondentes
proporcionais
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′= ⋯ = 𝑘
onde 𝑘 é a razão de
semelhança
A razão de semelhança 𝑘 pode ser
de ampliação (𝑘 > 1) ou de redução
(𝑘 < 1).
Duas figuras semelhantes têm
exatamente o mesmo formato, mas
com tamanho diferente, como
representado na Fig. 4.37.
Figura 4.37 – Semelhança de polígonos
quanto ao formato
Exemplos:
1) Determine o comprimentos x, y e
z dos polígonos da figura 4.38,
sabendo que eles são semelhantes.
Figura 4.38 – Aplicação de semelhança
de polígonos
67
Solução:
Se 𝐴𝐵𝐶𝐷 ~𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ então:
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′= 𝑘
𝑖) 𝐵𝐶
𝐵′𝐶′=
4
6=
2
3= 𝑘
𝑖𝑖) 𝐷𝐴
𝐷′𝐴′= 𝑘 →
𝑥
3=
2
3 → 3 𝑥
= 3 ∙ 3 → 𝑥 = 3 𝑐𝑚
𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐵
𝐴′𝐵′= 𝑘 →
𝑦
5,7=
2
3→ 3 𝑦
= 2 ∙ 5,7 →
𝑦 =11,4
3→ 𝑦 = 3,8 𝑐𝑚
𝑖𝑣) 𝐶𝐷
𝐶′𝐷′= 𝑘 →
2,4
𝑧=
2
3 → 2 𝑧
= 3 ∙ 2,4 →
𝑧 =7,2
2 → 𝑧 = 3,6 𝑐𝑚
3.8.2. Semelhança de Triângulos
De fato, não é necessário que sejam
conhecidos todos os lados e todos
os ângulos de dois triângulos para
que a semelhança entre eles possa
ser assegurada.
É suficiente para garantir a
semelhança de dois triângulos uma
das seguintes opções:
Se dois triângulos possuem os
seus lados correspondente
proporcionais, então eles são
semelhantes, conforme Fig. 4.39.
Figura 4.39 – Semelhança de triângulos
quanto aos lados
Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Se dois triângulos possuem dois
ângulos iguais, então eles são
semelhantes. O terceiro ângulo
fica perfeitamente determinado
porque a soma dos ângulos
internos do triângulo é de 180°,
conforme Fig. 4.40.
Figura 4.40 – Semelhança de triângulos
quanto aos ângulos
Se dois lados de um triângulo são
proporcionais aos lados
correspondentes do outro
triângulo e se o ângulo entre
estes lados for igual ao
correspondente do outro
triângulo, então os triângulos são
semelhantes (Fig. 4.41).
Figura 4.41 – Semelhança de triângulos
quanto a dois lados e um ângulo
A consequência dessa condição é
que toda reta traçada paralela a um
dos lados de um triângulo determina
outro triângulo semelhante ao
primeiro (Fig. 4.42).
68
Figura 4.42 – Demonstração de
semelhança de lado e ângulo de dois
triângulos quaisquer
𝑆𝑒 𝑟//𝐵𝐶 ⃡ 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 ∆𝐴𝐵𝐶~∆ 𝐴𝐵′𝐶′
Exemplos:
1) Determine os valores de x, y e z
indicados nas figuras abaixo.
Um dos triângulos é determinado
pelo traçado de uma reta paralela a
um dos lados do outro, então são
semelhantes.
𝑥
12=
2
2 + 4
6𝑥 = 24
𝑥 = 4
𝑦
𝑦 + 4=
6
8
6𝑦 + 24= 8𝑦
2 𝑦 = 24
𝑦 = 12
𝑧
5=
3
8
8𝑧 = 15
𝑧 =15
8
2) Determine o valor de 𝑥 na figura
4.43.
Figura 4.43 – Aplicação de semelhança
de triângulos
Solução:
Os triângulos 𝐴𝐵𝐶 e 𝐴𝐸𝐷 são
semelhantes, pois possuem dois
ângulos iguais, ambos são triângulos
retângulos e possuem o ângulo  em
comum, então:
𝐴𝐵
𝐴𝐸=
𝐶𝐴
𝐷𝐴 →
𝑥
6=
8 + 6
𝑥 + 5→ 𝑥2 + 5𝑥
= 84 →
𝑥2 + 5𝑥 − 84 = 0
Resolvendo a equação de segundo
grau:
𝑥 =−5 ± √52 − 4.1. (−84)
2.1
=−5 ± 19
2
𝑥 = −12 𝑜𝑢 𝑥 = 7
Como a medida de comprimento não
pode ser negativa tem-se:
𝑥 = 7
4.9. Perímetro e Área
Perímetro: é a medida do contorno
de um objeto bidimensional, ou seja,
é a soma dos comprimentos de
todos os lados de uma figura
geométrica.
Área: é uma função que associa a
cada figura um número positivo que
representa a medida de sua
superfície.
Exemplo:
Considere uma sala cuja planta
baixa está indicada na figura 4.44.
69
Figura 4.44 – Aplicação de perímetro e
área (I)
a) Quantos metros de rodapé serão
necessários para contornar a sala?
Solução:
Deseja-se saber a medida do
contorno da sala, isto é, o perímetro
𝑃 do retângulo.
𝑃 = 7 + 4 + 7 + 4 = 22
Serão necessários 22 m de rodapé.
b) Deseja-se revestir o piso da sala
com lajotas quadradas de 1 𝑚2 (Fig.
4.45). Quantas lajotas serão
necessárias?
Solução:
Se colocarmos sobre a sala uma
malha quadriculada na qual cada
quadrado representa uma lajota, o
número de lajotas necessárias será
a quantidades de quadrados da
malha.
Figura 4.45 – Aplicação de perímetro e
área (II)
Precisaremos de 28 lajotas.
c) Qual é a área da sala?
Solução:
Cada lajota pode ser considerada
como uma unidade de área (𝑢. 𝑎 =
1 𝑚2. Para revestir a sala são
necessárias 28 lajotas, isto é, 28
𝑢. 𝑎., então a área (𝑆) da sala é:
𝑆 = 28 𝑢. 𝑎 = 28 ∙ 1 𝑚2 = 28 𝑚2
Abaixo indicamos o perímetro (2𝑝) e
a área (𝑆) de algumas figuras
geométricas planas.
4.9.1 Círculo
2𝑝 = 2. 𝜋. 𝑟
𝑆 = 𝜋. 𝑟2
Figura 4.46 – Representação de área e
perímetro de um círculo
Observe que o perímetro do círculo
é o comprimento da circunferência
(𝐿 = 𝛼 𝑟 , 𝛼 = 2𝜋)
4.9.2 Paralelogramo
2𝑝= 2𝑎 + 2𝑏
𝑆 = 𝑏. ℎ
Figura 4.47 – Representação de área e
perímetro de um paralelogramo
70
4.9.3 Triângulo
2𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐
𝑆 =𝑏. ℎ
2
Figura 4.48 – Representação de área e
perímetro de um triângulo
Observe que a área do triângulo é
igual à metade da área do
paralelogramo.
4.9.4 Losango
2𝑝 = 4. 𝑎
𝑎
=√𝑑2 + 𝐷2
2
𝑆 =𝐷. 𝑑
2
Figura 4.49 – Representação de área e
perímetro de um losango
Observe que o losango ocupa a
metade do retângulo cujos lados têm
medidas iguais às diagonais.
4.9.5 Trapézio
Figura 4.50 – Representação de área e
perímetro de um trapézio
2𝑝= 𝑎 + 𝐵 + 𝑏 + 𝑐
𝑆 =(𝐵 + 𝑏). ℎ
2
A área do trapézio pode ser obtida
pela soma das áreas dos dois
triângulos determinados por uma de
suas diagonais.
4.9.6 Polígono Regular de 𝒏 lados
2𝑝 = 𝑛 . 𝑙
𝑆 = 𝑛. (𝑙. 𝑎
2)
Figura 4.51 – Representação de área e
perímetro de um polígono regular
Um Polígono regular de 𝑛 lados pode
ser dividido, a partir do centro, em 𝑛
triângulos isósceles congruentes de
altura 𝑎. A área do polígono será
𝑛 vezes a área deste triângulo.
Exemplos:
1) Calcule a área da superfície
composta pelas áreas hachuradas e
pontilhadas da figura 4.52.
Figura 4.52 – Aplicação de área e
perímetro em figuras planas
A unidade de área é um quadrado de
lado com comprimento igual a 1 𝑐𝑚,
então 𝑢. 𝑎. = 1 𝑐𝑚2.
Solução:
71
Cada retângulo pontilhado é formado
por 2 𝑢. 𝑎., então sua área é 𝑆𝑝 =
2 𝑐𝑚2.
A parte hachurada de baixo da figura
é uma semicírculo de raio igual a
2 𝑐𝑚 e a parte branca de cima da
figura também. Assim a parte
hachurada se encaixa perfeitamente
na parte branca da figura, formando
um retângulo hachurado com 8 𝑢. 𝑎.
Então, a área hachurada é 𝑆ℎ =
8 𝑐𝑚2.
A área total da superfície é:
𝑆𝑇 = 2 ∙ 𝑆𝑝 + 𝑆ℎ = 2 ∙ 2 + 8 = 12 𝑐𝑚2
2) Calcule a área da coroa circular de
raio 𝑅 = 20 𝑐𝑚 e largura 𝑡 = 5 𝑐𝑚,
indicada na figura 4.53, isto é,
calcule a área da superfície colorida
na figura.
Figura 4.53 – Aplicação de área e
polígno em figuras planas (II)
Solução:
Podemos observar na figura que a
área da coroa circular (𝑆𝑐) é igual à
área do círculo maior (𝑆1) diminuída
da área do círculo menor (𝑆2).
𝑆1 = 𝜋. 𝑅2 ; 𝑆2 = 𝜋. 𝑟2 ∴ 𝑆𝑐
= 𝜋. (𝑅2 − 𝑟2)
Na figura 𝑅 = 20 𝑐𝑚 e 𝑡 = 5 𝑐𝑚,
então:
𝑟 = 𝑅 − 𝑡 = 20 − 5 = 15 𝑐𝑚
𝑆𝑐 = 𝜋. (𝑅2 − 𝑟2) = 𝜋. (202 − 152)
= 175 𝜋 𝑐𝑚2
𝑆𝑐 ≅ 175 ∙ 3,14 = 549,5 𝑐𝑚2
4.10. Volume
Definição: é o espaço ocupado por
um corpo e também a capacidade do
corpo de comportar alguma
substância.
A unidade de volume no Sistema
Internacional de unidade é o metro
cúbico (𝑚3). Um metro cúbico (1 𝑚3)
pode ser representado pelo espaço
ocupado por cubo de aresta igual a
1 𝑚.
Exemplo:
Considere um tanque de água 4 𝑚 de
comprimento, 2 𝑚 de largura e 2 𝑚 de
altura, conforme indicado na figura
4.54.
Figura 4.54 – Aplicação de volume
a) Desprezando a espessura,
quantas caixas d’água de 1 𝑚 ×
1𝑚 × 1 𝑚 = 1 𝑚3 caberão dentro do
tanque?
Solução:
Traçando no tanque uma malha de
cubos na qual cada cubo representa
a caixa d’água, observa-se que
foram utilizadas 16 caixas.
b) Qual é o volume do tanque?
Solução:
72
Cada caixa d’água pode ser
considerada como uma unidade de
volume (1 𝑢. 𝑎 = 1 𝑚3). Para
preencher o tanque são necessárias
16 caixas, isto é, 16 𝑢. 𝑣., então o
volume (𝑉) do tanque é:
𝑉 = 16 𝑢. 𝑣 = 16 ∙ 1 𝑚3 = 16 𝑚3
c) Quantos litros de água serão
necessários para encher o tanque?
Solução:
1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 = 1 𝑑𝑐𝑚3 → 1 𝑑𝑐𝑚 = 10−1 𝑚
1 𝑑𝑐𝑚3 = (10−1)3 𝑚3 = 10−3 𝑚3
∴ 1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 = 10−3 𝑚3 𝑜𝑢 1 𝑚3
= 103 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑉 = 16 𝑚3 = 16 ∙ (1 𝑚3)
= 16 ∙ (103 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠)
𝑉 = 16. 000 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠
Abaixo indicamos o e o volume (𝑉)
de alguns sólidos geométricos.
4.10.1 Cubo
𝑉 = 𝐿3
Figura 4.55 – Representação de volume
de um cubo
4.10.2 Paralelepípedo
𝑉= 𝐿 ∙ 𝑙 ∙ ℎ
Figura 4.56 – Representação de volume
de um paralelepípedo
4.10.3 Prisma
𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ
Figura 4.57 – Representação de volume
de um prisma
4.10.4 Cilindro
Figura 4.58 – Representação
de volume de um cilindro
𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ
𝑉 = 𝜋. 𝑟2 ∙ ℎ
4.10.5 Pirâmide
𝑉 =𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ
3
Figura 4.59 - Representação de volume
de um pirâmide
4.10.6 Cone
𝑉 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ
3
𝑉 =𝜋 ∙ 𝑟2 ∙ ℎ
3
Figura 4.60 - Representação de volume
de um cone
73
4.10.7 Esfera
𝑉 =4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟3
3
Figura 4.61 – Representação de volume
de um esfera
Exemplos:
1) A área de uma pirâmide
quadrangular é igual a 9 𝑐𝑚2 e a sua
altura é igual ao comprimento das
laterais de sua base. Com estas
informações, determine o volume da
pirâmide.
Solução:
Uma pirâmide quadrangular é uma
pirâmide cuja base é um quadrado.
Chamando de 𝑎 o comprimento dos
lados deste quadrado, a área da
base é:
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑎2 = 9 𝑐𝑚2 → 𝑎 = 3 𝑐𝑚
A altura ℎ da pirâmide é igual ao
comprimento do lado da base, então
ℎ = 𝑎.
O volume da pirâmide é:
𝑉𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ
3=
9 ∙ 3
3= 9 𝑐𝑚3
2) Dispomos de 1300 𝑐𝑚2 de um
papel adesivo para encapar uma
caixa com a forma de um
paralelepípedo retângulo com 20 𝑐𝑚
de comprimento e 15 𝑐𝑚 de largura.
Qual deve ser o volume desta caixa
considerando que todo o papel
adesivo disponível será utilizado,
que não haverá sobreposição dele e
que toda a superfície da caixa será
encapada?
Solução:
A área total a ser encapada é:
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎
+ 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
A altura ℎ da caixa é desconhecida e
a base da caixa é um retângulo de
15 𝑐𝑚 × 20 𝑐𝑚. Assim,
𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝐴𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎 = 20 ∙ 15 = 300 𝑐𝑚3
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = (20 + 15 + 20 + 15) ∙ ℎ
= 70 ∙ ℎ
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 300 + 300 + 70 ℎ
= 1300 𝑐𝑚2
70ℎ = 1300 − 600 → ℎ =700
70→ ℎ
= 10
O volume da caixa é calculo por:
𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ ℎ = 300 ∙ 10
𝑉𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎 = 3000 𝑐𝑚3
3) Um fabricante deseja enlatar seu
produto em uma lata cilíndrica de
raio interno (𝑟) igual a 10 𝑐𝑚, como
indicado na figura 4.62.
Figura 4.62 – Aplicação de volume
74
a) Qual deverá ser a altura (ℎ) da
lata para armazenar 500 𝑚𝑙 do
produto?
Solução:
Antes de utilizar a fórmula do
volume, devemos unificar as
unidades de medidas envolvidas.
1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 = 103 𝑚𝑙
1 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜 = 1 𝑑𝑐𝑚3 = 1 ∙ (10 𝑐𝑚)3
= 103 𝑐𝑚3 ∴
1 𝑚𝑙 = 1 𝑐𝑚3
Podemos então trabalhar com
mililitros e centímetro.
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒: 𝑉 = 500 𝑚𝑙 = 500 𝑐𝑚3
O volume do cilindro é:
𝑉 = 𝜋 𝑟2 ℎ → ℎ =𝑉
𝜋 ∙ 𝑟2
ℎ =500
𝜋 ∙ (5)2 (
𝑐𝑚3
𝑐𝑚2= 𝑐𝑚)
ℎ =500
𝜋. 25=
20
𝜋 𝑐𝑚 ∴ ℎ ≅ 6,37 𝑐𝑚
b) Sabendo que as latas serão
produzidas com folhas de aço,
determine a área de aço necessária
para a construção de 1 lata.
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑏𝑎𝑠𝑒 + 𝐴𝑡𝑎𝑚𝑝𝑎 + 𝐴𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝜋 ∙ 𝑟2 + 𝜋 ∙ 𝑟2 + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ
= 2 𝜋 𝑟 (𝑟 + ℎ)
𝐴𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 5 ∙ (5 +20
𝜋)
≅ 357,08 𝑐𝑚2
4) Um cone reto e um cilindro circular
reto possuem alturas (ℎ) iguais e
bases com raios (𝑟) iguais. Uma
semiesfera é retirada do interior do
cilindro e acrescentada no topo do
cone, gerando os sólidos 𝑆1 e 𝑆2,
indicados na figura 4.63.
Determine a condição necessária
para que os volumes dos dois
sólidos sejam iguais.
Figura 4.63 – Aplicação de volume
Solução:
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑆1) = 𝑉𝑐𝑜𝑛𝑒 + 𝑉𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑓𝑒𝑟𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑆1) =𝜋 𝑟2 ℎ
3+ (
4 𝜋 𝑟3
3) ÷ 2
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑆1) =𝜋 𝑟2 ℎ
3+
2 𝜋 𝑟3
3
= 𝜋 𝑟2
3∙ (ℎ + 2 𝑟)
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑆2) = 𝑉𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 − 𝑉𝑠𝑒𝑚𝑖𝑒𝑓𝑒𝑟𝑎
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑆2) = 𝜋 𝑟2 ℎ −2 𝜋 𝑟3
3
𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑆2) =3𝜋 𝑟2 ℎ − 2 𝜋 𝑟3
3
=𝜋 𝑟2
3∙ (3ℎ − 2 𝑟)
Se 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑆1) = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 (𝑆2),
então:
𝜋 𝑟2
3∙ (ℎ + 2 𝑟) =
𝜋 𝑟2
3∙ (3ℎ − 2 𝑟)
ℎ + 2𝑟 = 3ℎ − 2𝑟 → 4 𝑟 = 2 ℎ →
75
logo: 𝑟 =1
2 ℎ .
Os sólidos terão o mesmo volume se
o raio for a metade da altura.
Exercícios Propostos
1) Na figura 4.64 abaixo, calcule o
valor de 𝑥.
Figura 4.64 – Figura ilustrativa de
exercício de geometria plana e espacial
(I)
2) Determine os valores de 𝑥, 𝑦.e 𝑧
indicados na Fig. 4.65.
Figura 4.65 – Figura ilustrativa de
exercício de geometria plana e espacial
(II)
3) Determine o valor do ângulo 𝑥 da
figura 4.66, sabendo que a soma dos
ângulos internos de um quadrilátero
é de 360°.
Figura 4.66 – Figura ilustrativa de
exercício de geometria plana e espacial
(III)
4) Testes efetuados em um pneu de
corrida constataram que, a partir de
185.600 voltas, ele passa a se
deteriorar. Sabendo que o diâmetro
do pneu é 0,5 𝑚, determine,
aproximadamente, a distância em
𝑘𝑚 que ele poderá percorrer, sem
riscos para o piloto.
5) A soma das áreas dos três
quadrados abaixo é igual a 83 𝑐𝑚2.
Determine a área o quadrado maior
(Fig. 4.67).
Figura 4.67 – Figura ilustrativa de exercício
de geometria plana e espacial (IV)
6) Na figura 4.68, 𝐴𝐵𝐶 é um
quadrante de um círculo de raio igual
a 3 𝑐𝑚 e 𝐴𝐷𝐸𝐹 é um quadrado de
lado igual a 1 𝑐𝑚. Considere o sólido
gerado pela rotação de 360° da
região hachurada da figura em torno
da reta 𝐴𝐵. Determine o volume
deste sólido de revolução.
76
Figura 4.68 – Figura ilustrativa de
exercício de geometria plana e espacial
(V)
7) Dois cubos de alumínio com
arestas medindo 10 𝑐𝑚 e 6 𝑐𝑚 são
levados juntos à fusão. A seguir, o
alumínio líquido é moldado na forma
de um paralelepípedo reto de base
quadrada de lado igual a 8 𝑐𝑚.
Determine a altura do
paralelepípedo.
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
PROPOSTOS
𝟏) 𝐱 =𝟐𝟏
𝟐 𝐜𝐦
𝟐) 𝐱 =𝟔𝟑
𝟏𝟏 ; 𝐲 =
𝟐𝟏
𝟐; 𝐳 =
𝟐𝟐
𝟗
𝟑) 𝐱 = 𝟕𝟎°
4) 𝟐𝟗𝟏, 𝟓 𝐤𝐦
5) 𝟒𝟗 𝐜𝐦𝟐
6) 𝟏𝟕𝛑 𝐜𝐦𝟑
7) 𝟏𝟗 𝐜𝐦
77
5. GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica se baseia nos
estudos da Geometria através da
utilização da Álgebra. Com isso, é
possível ter uma abordagem algébrica
para diversas questões geométricas,
como também interpretar de forma
geométrica algumas expressões
algébricas.
5.1. Sistema Unidimensional
de Coordenadas
Cartesianas
Um sistema de coordenadas é utilizado
para a localização de um ponto.
No sistema Unidimensional de
Coordenadas Cartesianas, um ponto
pode se mover livremente sobre uma
reta (no espaço unidimensional).
Para proceder a localização de pontos
sobre uma reta 𝐿 é necessário
determinar uma origem, uma escala e
uma orientação para a reta.
Marca-se sobre a reta𝑥 um ponto O
chamado de origem e adota-se uma
unidade de medida.
O ponto O divide a reta 𝑥em duas
semirretas:
Uma das semirretas é escolhida
para determinar o sentido positivo e
é chamada de semirreta positiva. É
usual marcar a semirreta positiva
com uma flecha em sua ponta.
A semirreta oposta à semirreta
positiva é chamada de semirreta
negativa e o sentido oposto ao
sentido positivo é denominado
sentido negativo.
Ao ponto O associa-se o número
zero.
Ao ponto U, localizado a uma
unidade de medida do ponto O no
sentido positivo da reta orientada,
associa-se o número um.
Fig 5.1: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
A coordenada 𝑥𝑝 de um ponto 𝑃
representa a distância orientada entre
os pontos 𝑂 e 𝑃 medida na unidade
adotada. Diz-se que 𝑃 tem coordenada
𝑥𝑝 e escreve-se 𝑃(𝑥𝑝).
Exemplo:
1) Determina as coordenadas dos
pontos indicados na figura abaixo
Fig 5.2: Fonte – Prof. Dra. Rita de
Cássia
O ponto 𝑂 é a origem do sistema e
associa-se a coordenada zero, denota-
se 𝑂(0).
O ponto 𝑃 está a 3 unidades da origem
𝑂 na semirreta positiva do sistema.
Assim, sua distância orientada em
relação à origem é +3. Logo sua
coordenada é 𝑥𝑝 = +3 e denota-se
𝑃(3).
O ponto 𝑄 está a 2 unidades da origem
𝑂 na semirreta negativa do sistema.
Assim, sua distância orientada em
relação à origem é −2. Logo sua
coordenada é 𝑥𝑄 = −2 e denota-se
𝑄(−2).
Assim, é possível estabelecer uma
correspondência biunívoca entre o
conjunto dos números reais 𝑅e os
pontos sobre a reta 𝑥, da seguinte
maneira:
78
Cada número real corresponde
a um único ponto da reta.
Cada ponto da reta corresponde
a um único número real,
chamado de coordenada do
ponto.
Quando a cada ponto da reta tiver sido
associada uma coordenada, constitui-se
um sistema de coordenadas e esta reta
é então chamada de eixo de
coordenadas, escala numérica ou reta
numérica. O conjunto das coordenadas
de todos os pontos da escala numérica
é chamado de conjunto dos números
reais 𝑅.
É usual representar o sistema
unidimensional por uma reta horizontal,
orientada para direita, e denominá-la
por eixo 𝑥ou eixo das abscissas.
5.1.1. Distância entre Dois Pontos na
Reta
Sejam 𝐴(𝑥𝐴) e 𝐵(𝑥𝐵) dois pontos de um
eixo de coordenadas unidimensional.
Denomina-se distância entre os
pontos 𝐴 e 𝐵 o número real 𝑑
dado por Eq 5.1:𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝑥𝑏 −
𝑥𝑎|
Exemplos:
1) Determine as distâncias orientadas e
as coordenadas dos pontos 𝐴 e 𝐵
indicados na figura abaixo.
Fig 5.3: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Solução:
O ponto 𝐴 se encontra a uma unidade
da origem no sentido negativo do eixo,
portanto sua distância orientada é de
−1, consequentemente, sua
coordenada é −1,denota-se 𝐴(−1).
O ponto 𝐵 se encontra a quatro
unidades da origem no sentido positivo
do eixo, portanto sua distância orientada
é de +4, consequentemente, sua
coordenada é +4,denota-se 𝐵(4).
2) Sejam os pontos:
𝐴(−4,5), 𝐵(−1,8), 𝐶(1) e 𝐷(3,3):
a) Localize os pontos no eixo de
coordenadas.
Solução:
Fig 5.4: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
b) Calcule as distâncias entre os pontos:
𝐴𝑒 𝐶 ; 𝐵𝑒𝐷; 𝐴𝑒𝐷.
Solução:
𝑑(𝐴, 𝐶) = |𝑥𝐶 − 𝑥𝐴| = |1 − (−4,5)| = 5,5
𝑑(𝐵, 𝐷) = |𝑥𝐷 − 𝑥𝐵| = |3,3 − (−1,8)|
= 5,1
𝑑(𝐴, 𝐷) = |𝑥𝐷 − 𝑥𝐴| = |3,3 − (−4,5)|
= 7,8
3) Considere um eixo𝑡 de coordenadas
para representar o tempo em anos. A
origem deste eixo é o ano do
nascimento de Cristo e o sentido
positivo indica os anos d.C. (depois de
Cristo).
a) Indique no eixo 𝑡 e determine as
coordenadas dos pontos NA e MA que
representam, respectivamente, os anos
de nascimento e de morte de uma
pessoa 𝐴 que nasceu no ano de 30 a.C.
e morreu no ano 25 d.C. Calcule a idade
que esta pessoa morreu.
Fig 5.5: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Solução:
Ponto 𝑁𝐴, 𝑡𝑁𝐴 = −30 → 𝑁𝐴(−30)
Ponto 𝑀𝐴, 𝑡𝑀𝐴 = 25 → 𝑀𝐴(25)
Tempo de vida da pessoa 𝐴:
79
𝑡𝑣𝐴 = 𝑑(𝑁𝐴, 𝑀𝐴) = |25 − (−30)|
= 55𝑎𝑛𝑜𝑠
b) Indique no eixo 𝑡 e determine as
coordenadas dos pontos 𝑁𝐵 e 𝑀𝐵 que
representam, respectivamente, os anos
de nascimento e de morte de uma
pessoa𝐵 que nasceu no ano de 20 a.C.
e morreu no ano 10 d.C. Calcule a idade
que esta pessoa morreu.
Fig 5.6: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Solução:
Ponto 𝑁𝐵, 𝑡𝑁𝐵 = −20 → 𝑁𝐵(−20)
Ponto 𝑀𝐵, 𝑡𝑀𝐵 = 10 → 𝑀𝐵(10)
Tempo de vida da pessoa 𝐵:
𝑡𝑣𝐵 = 𝑑(𝑁𝐵, 𝑀𝐵) = |10 − (−20)| =
30𝑎𝑛𝑜𝑠
c) Determine quem nasceu e quem
morreu primeiro e por quantos anos as
pessoas 𝐴e 𝐵 foram contemporâneas
(viveram na mesma época).
Fig 5.7: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
𝑁𝐴(−30)𝑁𝐵(−20)𝑀𝐵(10)𝑀𝐴(25)
Solução:
A pessoa 𝐴 nasceu primeiro e a pessoa
𝐵 morreu primeiro. As pessoas 𝐴 e 𝐵
viveram na mesma época no período
entre o nascimento da última a nascer
(𝑁𝐵) até a morte da primeira a morrer
(𝑀𝐵).
𝑇 = 𝑑(𝑁𝐵, 𝑀𝐵) = |10 − (−20)|
= 30𝑎𝑛𝑜𝑠
5.2. Sistema Bidimensional de
Coordenadas Cartesianas
Neste sistema, um ponto pode se mover
livremente em todas as direções de um
plano (no espaço bidimensional).
O sistema é formado por dois eixos
coordenados perpendiculares que se
cruzarem na origem. O ponto O de
intersecção entre os eixos coordenados
é denominado origem do sistema. Um
dos eixos é denominado de eixo das
abscissas e o outro eixo das ordenadas.
A orientação dos eixos, assim como no
sistema unidimensional depende da
convenção adotada. O eixo das
abscissas geralmente é representado
por uma reta horizontal orientada para a
direita e chamado de eixo dos 𝑥. O eixo
das ordenadas geralmente é
representado por uma reta vertical
orientada para cima e chamado de eixo
dos 𝑦
Sobre o eixo das abscissas, a partir da
origem no sentido positivo do eixo,
marca-se o ponto 𝑈𝑥, correspondente a
unidade de comprimento do eixo 𝑥 e
associa-se a abscissa 1. Analogamente,
sobre o eixo das ordenadas, a partir da
origem no sentido positivo do eixo,
marca-se o ponto 𝑈𝑦, correspondente a
unidade de comprimento do eixo 𝑦 e
associa-se a ordenada 1. Os
comprimentos 𝑂𝑈𝑥´ e 𝑂𝑈𝑦
´ , que
representam a escala utilizada,
respectivamente, no eixo 𝑥 e no eixo 𝑦
não necessitam ter exatamente a
mesma medida.
A representação gráfica do sistema
bidimensional cartesiano ou retangular
é um plano denominado plano
cartesiano.
Cada ponto 𝑃(𝑥, 𝑦),onde 𝑥 é a abscissa
e 𝑦 é a ordenada de 𝑃, pode ser
inequivocamente localizado no plano
80
cartesiano mediante um par ordenado
(𝑥0, 𝑦0).
Para cada ponto distinto 𝑃 no plano
cartesiano há um e apenas um par de
coordenadas (𝑥0, 𝑦0). Inversamente,
qualquer par de coordenadas (𝑥0, 𝑦0)
determina um e apenas um ponto no
plano coordenado. Portanto, no sistema
de coordenadas retangulares há uma
correspondência biunívoca entre ponto
e par ordenado de números reais.
Na figura abaixo indicamos a
localização de um ponto 𝑃(𝑥0, 𝑦0), de
abscissa 𝑥0 e ordenada 𝑦0, neste plano.
Fig 5.8: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
𝑃𝑥(𝑥0, 0) é a projeção do ponto 𝑃 no eixo
𝑥.
𝑃𝑦(0, 𝑦0) é a projeção do ponto 𝑃 no eixo
𝑦.
O módulo da abscissa representa a
menor distância que 𝑃está do eixo 𝑦 e o
módulo da ordenada representa a
menor distância que 𝑃 está do eixo 𝑥.
5.2.1. Distância entre Dois Pontos na
Plano
Dados dois pontos, 𝐴 e𝐵, a distância
entre eles, indicada por 𝑑(𝐴, 𝐵), é a
medida do segmento de extremidades 𝐴
e 𝐵.
Sejam 𝐴(𝑥1, 𝑦1) e 𝐵(𝑥2, 𝑦2) dois pontos
no plano cartesiano, como indicado
abaixo.
Fig 5.9: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
A distância entre os pontos 𝐴 e 𝐵 pode
ser determinada aplicando o teorema de
Pitágoras no triângulo retângulo em
destaque na figura.
Eq 5.2:[𝑑(𝐴, 𝐵)]2 = ∆𝑥2 + ∆𝑦2
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1; ∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1
𝑑(𝐴, 𝐵) =
√(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2
Exemplos:
1) Determine a distância entre os
pontos𝐴 e 𝐵 da figura abaixo:
Solução:
Fig 5.10: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Os pontos 𝐴 e 𝐵 estão em uma mesma
reta, portanto a distância pode ser
calculada de uma forma simplificada
como se faz no sistema unidimensional
𝑑(𝐴, 𝐵) = |𝑥𝐵 − 𝑥𝐴| = 5 − 1 ∨ 4.
1 5
3
x
y
A(1, 3) B(5, 3)
81
2) Determine a distância entre os
pontos𝐴 e 𝐵 da figura abaixo:
Solução:
Fig 5.11: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Neste caso são dadas as distâncias nas
direções 𝑥 e 𝑦, podemos simplificar o
cálculo utilizando diretamente o teorema
de Pitágoras (Eq 5.2).
𝑑(𝐴, 𝐵) = √∆𝑥2 + ∆𝑦2 = √32 + 42
𝑑(𝐴, 𝐵) = √25 = 5.
𝑑(𝐴, 𝐵) = √25 = 5.
3) Determine a distância entre os
pontos𝐴 e 𝐵 da figura abaixo:
Solução:
Fig 5.12: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
𝐴(−2,4); 𝐵(3,1)
𝑑(𝐴, 𝐵) = √∆𝑥2 + ∆𝑦2
∆𝑥 = 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 = 3 − (−2) = 5
∆𝑦 = 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 = 1 − 4 = −3
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(5)2 + (−3)2 = √25 + 9 =
√34
4) Considere o mapa representado na
figura abaixo e um sistema de
coordenadas cartesianas com origem
na esquina da Avenida Q com a Rua C
de eixo horizontal com orientação Oeste
e eixo vertical de orientação Norte,
sendo a unidade de medida o metro e 1
quadra=100 m.
Fig 5.13: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Uma pessoa está localizada na esquina
da Rua D com a Avenida P (ponto 𝑃) e
deseja ir para a esquina da Avenida R
com a Rua E (ponto 𝐴)
a) Determine as coordenadas dos
pontos 𝑃𝐶 e 𝐴 e represente-os no
sistema de coordenadas estabelecido.
Solução:
O Ponto𝑃, em relação à origem do
sistema, está a 100𝑚 na direção Leste
(sentido contrário ao do eixo 𝑥) e a 100𝑚
na direção Sul (sentido contrário ao do
eixo 𝑦), então 𝑃(−100, −100).
O Ponto 𝐶, em relação à origem do
sistema, está a 200𝑚 na direção Leste
(sentido contrário ao do eixo 𝑥) e a 100𝑚
na direção Sul (sentido contrário ao do
eixo 𝑦), então 𝐶(−200, −100).
y
x
.
B(3, 6)
A(6, 2)
3
4
6
2
3 6
82
O Ponto 𝐴, em relação à origem do
sistema, está a 200𝑚 na direção Leste
(sentido contrário ao do eixo 𝑥) e a 100𝑚
na direção Norte (sentido positivo de 𝑦),
logo 𝐴(−200,100).
Fig 5.14: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
b) Qual a distância percorrida se a
pessoa fizer o percurso 𝑃 → 𝐶 → 𝐴?
Solução:
𝑑(𝑃, 𝐶) = |𝑥𝐶 − 𝑥𝑃| = |−200 − (−100)|
= 100𝑚
𝑑(𝐶, 𝐴) = |𝑦𝐴 − 𝑦𝐶| = |100 − (−100)|
= 200𝑚
𝑑 = 𝑑(𝑃, 𝐶) + 𝑑(𝐶, 𝐴) = 100 + 200
= 300𝑚
c) Qual a distância percorrida se a
pessoa pudesse fazer o percurso 𝑃 →
𝐴?
Solução:
𝑑 = 𝑑(𝑃, 𝐴) = √(𝑥𝐴 − 𝑥𝑃)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝑃)2
𝑑
= √(−200 − (−100))2
+ (100 − (−100))2
𝑑 = √(−100)2 + (200)2
𝑑 ≅ 223,6𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
5) Se 𝑃1, 𝑃2𝑒𝑃3 são três pontos no plano,
então 𝑃2 pertence ao segmento de reta
𝑃1𝑃3´ se, e somente se, 𝑑(𝑃1, 𝑃2) =
𝑑(𝑃1, 𝑃2) + 𝑑(𝑃2, 𝑃3).
Fig 5.15: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Utilize esta informação e determine se
𝑃2 pertence ao segmento de reta 𝑃1𝑃3´ ,
onde 𝑃1(0,10), 𝑃2(2,6)𝑒𝑃3(7, −4).
Solução:
𝑑(𝑃1, 𝑃2) = √(2 − 0)2 + (6 − 10)2 =
√4 + 16 = √20 ≅ 4,47
𝑑(𝑃2, 𝑃3) = √(7 − 2)2 + (−4 − 6)2
√25 + 100 = √125 ≅ 11,18
𝑑(𝑃1, 𝑃2) + 𝑑(𝑃2, 𝑃3) ≅ 4,47 + 11,18
= 15,65
𝑑(𝑃1, 𝑃3) = √(7 − 0)2 + (−4 − 10)2 =
√49 + 196 = √245 ≅ 15,65
O ponto 𝑃2 pertence ao segmento de
reta 𝑃1𝑃3´ , pois 𝑑(𝑃1, 𝑃2) = 𝑑(𝑃1, 𝑃2) +
𝑑(𝑃2, 𝑃3).
6) Verifique se o triângulo de vértices
𝐴𝐵𝐶 é isósceles, equilátero ou escaleno,
sendo:
Solução:
𝐴(0,0), 𝐵(2√3, 2)𝑒𝐶(−2,2√3)
Fig 5.16: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
𝑑(𝐴, 𝐵) = √(2√3 − 0)2
+ (2 − 0)2
= √12 + 4 = √16 = 4
83
𝑑(𝐴, 𝐶) = √(−2 − 0)2 + (2√3 − 0)2
= √4 + 12 =
√16 = 4
𝑑(𝐵, 𝐶) =
√(−2 − 2√3)2
+ (2√3 − 2)2
≅ 5,66
O triângulo é isósceles, pois possui
dois lados iguais.
5.3. Gráfico de uma Equação
Traçar o gráfico de uma equação é
representar em um sistema de
coordenadas todos os pontos que
satisfazem a equação.
Não é possível representar todos os
pontos, mas podemos representar
alguns pontos que satisfazem a
equação e esse tipo de gráfico é
chamado de gráfico de dispersão.
Exemplos:
1) Analise os gráficos dados abaixo e
determine a equação da reta visualizada
no Gráfico 5
Gráfico 1 Gráfico 2
Gráfico 3 Gráfico 4
Fig 5.17: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Gráfico 5
Fig 5.18: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Solução:
No Gráfico 1 está representado o
seguinte conjunto de pontos:
𝐺1
= {(−2; −4), (−1; −2), (0; 0), (1; 2), (2; 4)}
Nos gráficos de 2 a 5 foram
acrescentados pontos intermediários
aos pontos existentes.
No Gráfico 5 os pontos estão tão
próximos que visualizamos o gráfico de
uma reta que, devido a limitações
gráficas, está representada com
comprimento finito.
Podemos observar nos gráficos que a
coordenada 𝑦 dos pontos representados
é sempre o dobro de sua coordenada𝑥,
ou seja, 𝑦 = 2𝑥. Assim, a reta
visualizada no Gráfico 5 é o gráfico da
equação:
𝑦 = 2𝑥
84
A definição algébrica desta reta,
chamaremos de reta 𝑟, é:
𝑟 ≔ {𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑦 = 2𝑥}
Lê-se a reta𝑟 é o conjunto de todos os
pontos 𝑃 de coordenadas 𝑥e 𝑦 do plano
tal que 𝑦 = 2𝑥.
2) Determine as equações das retas 𝑟 e
𝑠, indicadas no gráfico abaixo.
Identifique a interseção destas retas.
Fig 5.19: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Sabemos que uma reta é formada por
infinitos pontos, destacamos alguns
pontos das retas.
Todos os pontos da reta 𝑟 possuem
ordenada 𝑦 = 2, para qualquer valor de
abscissa𝑥. Então,
𝑟: = {𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑦 = 2}
Assim, a equação da reta𝑟, paralela ao
eixo 𝑥, é:
𝑦 = 2
Todos os pontos da reta 𝑠 possuem
abscissa 𝑥 = −3, para qualquer valor de
ordenada 𝑦. Então,
𝑠: = {𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2|𝑥 = −3}
Assim, a equação da reta 𝑠, paralela ao
eixo 𝑦, é:
𝑥 = −3
O elemento de interseção das retas 𝑟 e
𝑠 deve satisfazer as equações das retas
𝑟 e 𝑠. Então 𝑥 = −3 e 𝑦 = 2., isto
significa que é o ponto 𝑃(−3,2).
5.4. Equação da Reta
Vimos anteriormente que dois pontos
distintos determinam uma única reta que
os contém. Isto significa que bastam
dois pontos para traçar uma reta,
embora ela seja constituída por infinitos
pontos.
Considere uma reta 𝑟 que passa pelos
pontos 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) e 𝑃1(𝑥1, 𝑦1), como
indicado no gráfico abaixo.
Fig 5.20: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Denomina-se inclinação da reta 𝑟 ao
ângulo 𝛼 formado entre o eixo das
abscissas (𝑥) e a reta, considerado
positivo se medido no sentido anti-
horário, com 0° ≤ 𝛼 ≤ 180°.
Denomina-se coeficiente angular ou
declividade da reta 𝑟 ao número real
𝑚dado por:
Eq 5.3:𝑚 =∆𝑦
∆𝑥=
𝑦1−𝑦0
𝑥1−𝑥0; 𝑐𝑜𝑚𝑥0 < 𝑥1
Observe que o coeficiente angular
representa a tangente trigonométrica do
ângulo 𝛼.
Devido à variação da inclinação da reta
é possível ter uma das seguintes
situações:
85
1) Se 𝛼 = 0°𝑜𝑢𝛼 = 180°:
Fig 5.21: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 > 0; ∆𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 = 0
𝑚 =∆𝑦
∆𝑥→ 𝑚 = 0
2) Se 0° < 𝛼 < 90°
Fig 5.22: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 > 0; ∆𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 > 0
𝑚 =∆𝑦
∆𝑥→ 𝑚 > 0
3)Se 90° < 𝛼 < 180°
Fig 5.23: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 > 0; ∆𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 < 0
𝑚 =∆𝑦
∆𝑥→ 𝑚 < 0
4) Se 𝛼 = 90°,
Fig 5.24: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
∆𝑥 = 𝑥1 − 𝑥0 = 0; ∆𝑦 = 𝑦1 − 𝑦0 ≠ 0
𝑚 =∆𝑦
∆𝑥→ ∄ 𝑚 ∈ 𝑅
Quando 𝛼 = 90°, a reta é paralela ao
eixo 𝑦 e sua a declividade não é
definida, pois não podemos dividir um
número por zero. Portanto, a reta não
tem declividade.
5.4.1- Equação da Reta dados um
Ponto e o Coeficiente Angular
Sejam 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) e 𝑚, respectivamente,
um ponto da reta 𝑟e o coeficiente
angular da reta. Considere o ponto
genérico 𝑃(𝑥, 𝑦) nesta mesma reta,
como indicado na figura abaixo.
Fig 5.25: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
86
O coeficiente angular da reta 𝑟 é dado
por
𝑚 =∆𝑦
∆𝑥→ 𝑚 =
𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 𝑥0
Logo,
Eq 5.4: 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥0)
5.4.2- Equação da Reta dados Dois
Pontos
Sejam 𝑃0(𝑥0, 𝑦0) e 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) dois pontos
conhecidos de uma reta 𝑟. Para
determinar a equação da reta é
necessário calcular previamente o valor
do coeficiente angular. Posteriormente,
escolhemos um dos pontos conhecidos
e substituímos suas coordenadas e o
valor calculado do coeficiente angular
na equação da reta.
𝑚 =∆𝑦
∆𝑥=
𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥0)
Eq 5.5:𝑦 − 𝑦0 = (𝑦1−𝑦0
𝑥1−𝑥0) ∙ (𝑥 − 𝑥0)
5.4.3- Equação da Reta na Forma
Reduzida
Trabalhando algebricamente com a
equação da reta dada por 𝑦 − 𝑦0 =
𝑚(𝑥 − 𝑥0), obtém-se:
𝑦 = 𝑚𝑥 − 𝑚𝑥0 + 𝑦0
𝑦 = 𝑚𝑥 + (𝑦0 − 𝑚𝑥0)
Fazendo 𝑏 = (𝑦0 − 𝑚𝑥0), tem-se:
Eq 5.6:𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Esta forma é conhecida como equação
da reta na forma reduzida onde 𝑚 é o
coeficiente angular e 𝑏 é o coeficiente
linear da reta.
Tome nota!
1) A equação da reta é um polinômio de
primeiro grau em 𝑥.
2) Na equação da reta na forma 𝑦 =
𝑚𝑥 + 𝑏, se 𝑥 = 0 tem-se 𝑦 = 𝑏, então o
ponto 𝑃(0, 𝑏) é o ponto de interseção da
reta com o eixo dos 𝑦, onde 𝑏 é o
coeficiente linear da reta.
3) Se a reta é paralela ao eixo 𝑥, 𝑚 =
0,todos os pontos terão a mesma
ordenada 𝑦0. A equação da reta é dada
por 𝑦 = 𝑦0
4) Se a reta é paralela ao eixo 𝑦, ∄𝑚,
todos os pontos terão a mesma
abscissa 𝑥0. A equação da reta é dada
por 𝑥 = 𝑥0.
Exemplos:
1) Determine a equação da reta indicada
nos gráficos abaixo:
a)
b)
Podemos identificar dois pontos da reta: 𝑃0(−2,4); 𝑃1(0,1)
𝑚 =𝑦1 − 𝑦0
𝑥1 − 𝑥0
𝑚 =1 − 4
0 − (−2)=
−3
2
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥1)
𝑦 − 1 =−3
2(𝑥 − 0)
𝑦 =−3
2𝑥 + 1
Podemos identificar um
ponto da reta 𝑃0(2,3) e o coeficiente angular
𝑚 = 0,5 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 ∙ (𝑥 − 𝑥0)
𝑦 − 3 =1
2(𝑥 − 2)
𝑦 =𝑥
2− 1 + 3
𝑦 =𝑥
2+ 2
87
5.3.4. Retas Paralelas e Retas
Perpendiculares
Sejam 𝑟 e 𝑠 duas retas paralelas (𝑟 /⁄ 𝑠)
de inclinações 𝛼1 e 𝛼2, respectivamente.
Então:
𝛼1 = 𝛼2 ⇒ 𝑚1 = 𝑚2
Fig 5.26: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Sejam 𝑟 e 𝑠 duas retas perpendiculares
(𝑟 ⊥ 𝑠) de inclinações 𝛼1 e 𝛼2,
respectivamente. Então:
𝛼1 = 900+𝛼2 ⇒ 𝑚1 =−1
𝑚2
Fig 5.27: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Exemplos:
1) Trace o gráfico das retas 𝑟 e s e
determine a interseção entre elas.
Sabendo que:
→A reta 𝑟 é a reta de equação 𝑦 =
−0,5𝑥 + 8.
→ A reta 𝑠 é perpendicular à reta 𝑟 e um
de seus pontos é o ponto 𝑃(2,2).
Solução:
A equação da reta 𝑟 está em sua forma
reduzida, 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, então 𝑎 é o
coeficiente angular (𝑚𝑟) da reta 𝑟, ou
seja, 𝑚𝑟 = −0,5.
A reta 𝑠 é perpendicular à reta 𝑟, então
o coeficiente angular ( 𝑚𝑠) da reta 𝑠 é:
𝑚𝑠 =−1
𝑚𝑟=
−1
(−0,5)= 2
Então, a reta 𝑟 é uma reta de
coeficiente angular 𝑚𝑠 = 2 e passa
pelo ponto 𝑃(2,2). Conhecendo o
coeficiente angular e um ponto da reta
𝑠 sua equação pode ser determinada
por:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚𝑠(𝑥 − 𝑥0)
𝑦 − 2 = 2(𝑥 − (2))
𝑦 − 2 = 2𝑥 − 4
𝑦 = 2𝑥 − 2
O ponto de interseção entre as retas
pertence à ambas as retas portanto
deve satisfazer às equações das retas 𝑟
e 𝑠, ou seja,
𝑟: 𝑦 = −0,5𝑥 + 8𝑒𝑠: 𝑦 = 2𝑥 − 2 ∴
−0,5𝑥 + 8 = 2𝑥 − 2
2,5𝑥 = 10 → 𝑥 = 4
Sabendo o valor da abscissa do ponto
𝑃(𝑥, 𝑦), o valor de sua ordenada fica
estabelecido pela substituição em
qualquer uma das equações.
𝑦 = 2𝑥 − 2 = 2.4 − 2 = 6𝑜𝑢
𝑦 = −0,5𝑥 + 8 = −0,5.4 + 8 = −2 + 8
= 6
O ponto de interseção é o ponto𝑄(4,6).
O gráfico de uma reta pode ser traçado
se forem conhecidos 2 de seus pontos
pois por 2 pontos passa uma única reta.
Dois pontos da reta 𝑠 são conhecidos:
𝑃(2,2) e 𝑄(4,6).
88
O ponto da interseção 𝑄(4,6) também
pertence à reta 𝑟. Outro ponto qualquer
da reta 𝑟 pode ser obtido por sua
equação 𝑦 = −0,5𝑥 + 8.
Por exemplo, para 𝑥 = 2, 𝑦 = −0,5.2 +
8 = 7, então o ponto 𝑇(2,7) pertence à
reta 𝑟.
O gráfico das retas 𝑟 e s bem como o
ponto de interseção entre elas estão
indicados abaixo.
Fig 5.28: Fonte – Prof. Dra. Rita de Cássia
Exercícios Propostos
1) Um ponto 𝑃 do eixo das abscissas é
equidistante dos pontos 𝐴(1,4) e
𝐵(−6,3). Determine as coordenadas do
ponto 𝑃.
2) Um ponto móvel 𝑃 (−2 + 𝑡,4𝑡
3+ 2)
desloca-se no plano cartesiano e suas
coordenadas variam em função do
tempo 𝑡(com 𝑡 ≥ 0). Qual a distância
percorrida pelo ponto entre os tempos
𝑡 = 0 e 𝑡 = 6?
3) Determine o ponto de interseção das
retas 𝑥 + 2𝑦 = 3 e 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0
4) Determine a equação da reta que
passa pelo ponto 𝐴(1, −2) e que tem
coeficiente angular igual a 1.
5) Considere os pontos 𝐴(0,0), 𝐵(2,3) e
𝐶(4,1). Determine as equações das
retas 𝑟 e 𝑠 que são, respectivamente,
paralela e perpendicular à reta 𝐴�́� e que
passam pelo ponto 𝐵.
6) As retas 𝑟 e 𝑠 são perpendiculares e
se interceptam no ponto (2,4). A reta 𝑠
contém o ponto (0,5). Determine a
equação da reta 𝑟.
7) Calcule a área do triângulo formado
pela interseção das retas: 𝑟: −2𝑥 + 𝑦 =
1; 𝑠: 𝑥 = 2; 𝑡: 𝑦 = 1. Trace o gráfico das
retas em um mesmo plano cartesiano e
destaque o triângulo.
8)Determine o valor de x para que o ponto M(2 , 3) seja o ponto médio do segmento de extremos A(x , 5) e B(3 , x).
9)Num sistema de coordenadas cartesianas são dados os pontos A(0 , 0) e P(3 , h). Determine a expressão que representa a distância do ponto P ao ponto A em função de h.
89
10) Uma reta passa pelo ponto P (8, 2) e tem uma inclinação de 45º. Qual é a equação dessa
reta?
11) Os pontos A (1, 2), B (3, 1) e C (2,
4) são os vértices de um triângulo.
Determinar as equações das retas
suportes aos lados desse triângulo.
12) Determinar a posição da reta r, de
equação 2x – 3y + 5 = 0, em relação à
reta s, de equação
4x – 6y – 1 = 0.
5.5. Respostas dos
Exercícios Propostos:
1) A(-2,0)
2) 10 u.c.
3) P(1,1)
4) y = x – 1
5) r: y - x/4 = 1/2, s: y+4x = 11
6) r: y-2x = 0
7) A = 4 u.a.
8) x = 1
9) d = √9 + ℎ²
10) y = x-6
11) AB: y = -x + 5/2, AC: y = 2x, BC: y = -3x+10
12) As retas r e s são paralelas
90
6. Trigonometria
6.1. Conceitos Iniciais
6.1.1 Ângulos e Arcos
Em trigonometria, é de fundamental
importância o conhecimento de ângulos
e arcos, pois é a partir destes que os
demais conceitos da trigonometria
serão desenvolvidos. Portanto, tem-se a
seguinte definição de ângulo: “ângulo 𝛼
é a abertura entre duas retas R1 e R2 que
possuem um ponto P em comum
(vértice do ângulo)”. Esta ideia está
ilustrada na Fig. 6.1.
Fig.6.1: Representação de um ângulo α.
Adicionalmente, pode-se observar a
magnitude de um ângulo 𝛼 como sendo
a quantidade de rotação que separa R1
da R2.
Um ângulo 𝛼determina um arco (L) de
circunferência, como se observa na
Fig.6.2. Esse comprimento de arco está
relacionado, juntamente com o ângulo
(𝛼), ao Raio (R); o que é explicitado na
Eq.6.1:
𝛼 =𝐿
𝑅
(6.1)
Fig.6.2: Circunferência de raio R e
comprimento de arco L.
6.1.2. Unidades de Ângulos
As duas principais unidades de
medida de ângulo são o grau (°) e o
radiano (rad). Tais grandezas são
definidas da seguinte forma:
Grau
Ao dividir uma circunferência em 360
arcos iguais – o que é representado na
Fig.6.3 –; o ângulo que determina um
destes arcos corresponde a 1°.
Fig.6.3: Representação do ângulo que
mede 1°.
Radiano
O radiano é o ângulo que determina
um arco com comprimento igual ao raio
da circunferência, tal qual é explicitado
na Fig.6.4.
Fig.6.4: Representação do ângulo que
mede 1 rad.
6.1.3. Tipos de Ângulos
Alguns tipos de ângulos são muito
usados, e, portanto, é de fundamental
importância classificá-los. São estes:
ângulo reto (90°), ângulo raso ou de
meia-volta (180°), ângulo agudo (maior
que 0° e menor que 90°), ângulo obtuso
(maior que 90° e menor que 180°) e
91
ângulo de uma volta (360°). Os quais
estão representados na Fig.6.5:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Fig.6.5: Ângulos de comum uso: (a) ângulo
reto, (b) ângulo raso, (c) ângulo agudo, (d)
ângulo obtuso e (e) ângulo de uma volta.
Duas retas que formam um ângulo
reto entre si são chamadas de
perpendiculares ou ortogonais. Por
exemplo, o plano cartesiano é formado
por duas retas perpendiculares, como
mostra a fig.6.6.
Fig.6.6: Representação de um Plano
Cartesiano.
6.1.4. Triângulo Retângulo
Um triângulo que possui um ângulo
reto (90°) chama-se triângulo retângulo.
O maior lado a de um triângulo retângulo
é chamado de hipotenusa (lado oposto
ao ângulo reto); e os outros dois lados b
e c são chamados de catetos
(Ver Fig.6.7).
Fig.6.7: Triângulo Retângulo.
Teorema de Pitágoras
Para todo triângulo retângulo tem-se
que “o quadrado da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos catetos”, o que
pode ser explicitado pela Eq.5.2:
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2
(6.2)
Relações Trigonométricas
Pode-se obter relações
trigonométricas (da Eq.6.3 à Eq.6.8) em
um triângulo retângulo:
sen 𝜃 =𝑐
𝑎 (6.3)
cos 𝜃 =𝑏
𝑎
(6.4)
. 90°
180°
α
α
360°
92
tan 𝜃 =𝑐
𝑏 (6.5)
cotg 𝜃 =𝑐
𝑏 (6.6)
cossec 𝜃 =𝑎
𝑐 (6.7)
sec 𝜃 =𝑎
𝑏 (6.8)
Lei dos Cossenos
Para um triângulo qualquer podemos
escrever a Lei dos Cossenos como na
Eq.6.9.
𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2. 𝑏. 𝑐. cos(𝛼) (6.9)
Onde é o ângulo oposto ao lado a,
onde é possível observar na Fig.6.8.
Fig.6.8: Exemplos de Triângulos onde pode
ser aplicada a Lei dos Cossenos.
Lei dos Senos
Considerando o triângulo ABC, CH
será a altura relativa ao lado AB, como
mostrado na Fig.5.9:
Fig.6.9: Distância entre CH em um
Triângulo ABC.
No triângulo ACH, tem-se que, na
Eq.6.10:
sen 𝐴 =ℎ
𝑏 → h = b ∙ sen 𝐴
(6.10)
No triângulo BCH, tem-se que, na
Eq.6.11:
sen 𝐵 =ℎ
𝑎 → h = a ∙ sen 𝐵
(6.11)
De Eq.6.10 e Eq.6.11, obtém-se a
Eq.6.12 ou a Eq.6.13:
b ∙ sen 𝐴 = a ∙ sen 𝐵 (6.12)
𝑎
sen 𝐴=
𝑏
cos𝐵
(6.13)
Assim, pode-se concluir que:
𝑎
sen 𝐴=
𝑏
sen 𝐵=
𝑐
sen 𝐶
(6.14)
A Eq.6.14 é conhecida como Lei dos
Senos ou Teorema dos Senos.
6.2. Círculo Trigonométrico
6.2.1 – Definição
O círculo trigonométrico (ou ciclo
trigonométrico) é a circunferência que
possui raio unitário e cujo centro
coincide com a origem do plano
cartesiano.
A circunferência trigonométrica pode
ser definida como na Eq.6.15.
S = {𝐴|𝑑(𝐴, 0) = 1} (6.15)
O círculo trigonométrico é dividido em
quatro quadrantes, os quais são
limitados por um intervalo de ângulos.
Além disso, ele também pode ser
representado em graus ou radiano,
assim como mostra a Fig.6.10.
I Quadrante [0,𝜋
2] ;
II Quadrante [𝜋
2, 𝜋];
III Quadrante [𝜋,3 𝜋
2 ] ;
IV Quadrante [3𝜋
2, 𝜋].
93
(a)
(b)
Fig.6.10: Círculo trigonométrico: (a) em
radianos e (b) em graus.
Nota-se que o Sentido Positivo do
Círculo Trigonométrico é dado a partir
do Sentido Anti-horário, enquanto que o
Sentido Negativo é dado a partir do
Sentido Horário.
Além disso, é possível calcular o
Comprimento da Circunferência 𝐶 a
partir da seguinte equação Eq.6.16.
𝐶 = 2. 𝜋. 𝑅 (6.16)
6.2.2 Relações Trigonométricas no
Círculo Trigonométrico
Conhecidas as razões trigonométricas
básicas no triângulo retângulo, será
possível expandir esse conhecimento
para o círculo trigonométrico, a fim de se
determinar o seno, o cosseno e a
tangente de outros arcos importantes.
Para todo ângulo 𝛼 contido no
primeiro quadrante, tem-se um ângulo
correspondente nos demais quadrantes.
Sendo esses correspondentes obtidos a
partir de algumas regras, das quais tem-
se:
No II Quadrante: 180º − 𝛼;
No III Quadrante: 180º + 𝛼;
No IV Quadrante: 360º − 𝛼.
Tais ideias são ilustradas na Fig.6.11.
(a)
(b)
Fig.6.11: Ângulos correspondentes de α em
outros quadrantes: (a) em graus e (b) em
radianos.
Seno e Cosseno
Para a determinação dos valores de
seno e cosseno de um ângulo 𝛼, usam-
se os mesmos princípios citados no
triângulo retângulo. Como é possível
observar na Fig.6.12, raio do círculo
trigonométrico é unitário (Hipotenusa).
Portanto, o seno de 𝛼 será igual ao
próprio “cateto oposto” (C.O.) à 𝛼; e o
cosseno de 𝛼 será igual ao próprio
“cateto adjacente” (C.A.) à 𝛼. As
94
Eq.6.17, Eq.6.18 e Eq.6.19
exemplificam tais relações.
sen 𝛼 = 𝑦𝐴 (6.17)
cos 𝛼 = 𝑥𝐴 (6.18)
tan 𝛼 =sen 𝛼
cos 𝛼 (6.19)
Fig.6.12: Determinando o Seno e o
Cosseno de 𝛼
Com isso, obtém-se a Eq.6.20:
sin²(𝛼) + cos²(𝛼) = 1 (6.20)
Como o raio do círculo trigonométrico
é unitário, o maior valor de seno e
cosseno é igual a 1; e o menor valor será
−1. Ou seja, as funções seno e cosseno
estão limitadas ao intervalo [−1; 1].
A partir da Fig.6.13 é possível notar
que: o seno do ângulo correspondente
de 𝛼 no II quadrante é igual ao seno de
𝛼; o seno dos ângulos correspondentes
de 𝛼 no III e no IV quadrantes são iguais
ao oposto do seno de 𝛼; o cosseno dos
ângulos correspondentes de 𝛼 no II e no
III quadrantes são iguais ao oposto do
cosseno de 𝛼; e o cosseno do ângulo
correspondente de 𝛼 no IV quadrante é
igual ao cosseno de 𝛼.
(a)
(b)
Fig.6.13 - Representação gráfica das
funções seno e cosseno dos ângulos
correspondentes de α nos demais
quadrantes: (a) sen (α) e – sen (α); (b) cos
(α) e – cos (α).
Observa-se que a função sen(𝛼) é
uma função ímpar, pois tem-se
que sen(𝛼) = −sen(−𝛼). E nota-se,
também, que a função cos(𝛼) é uma
função par, pois tem-se que cos(𝛼) =
cos(−𝛼), tal como é ilustrado na
Fig.6. 14.
95
(a)
(b)
Fig.6.14: Classificação das funções
(𝑎) sin(𝛼) e (b) cos(𝛼) como ímpar e par,
respectivamente.
Na Tab.6.1, são indicados os valores
do seno e do cosseno de alguns ângulos
notáveis.
Ângulo sen(α) cos (𝛼)
𝛼 =0° 0 1
𝛼 = 30° 1
2
√3
2
𝛼 = 45° √2
2
√2
2
𝛼 = 60° √3
2
1
2
𝛼 = 90° 1 0
𝛼 = 180° 0 -1
𝛼 = 270° -1 0
𝛼 = 360° 0 1
Tab.6.1: Tabela dos valores de seno e
cosseno dos ângulos notáveis.
Exemplo 1: Determine o valor de:
a) sen (−𝜋
3)
Solução:
O ângulo −𝜋
3 rad está no IV quadrante
e está relacionado ao ângulo 𝜋
3 rad,
portanto:
sen (−𝜋
3) = sen (
𝜋
3) , logo: sen (
−𝜋
3)
= −√3
2
b) cos (−𝜋
3)
Solução:
cos (– 𝜋
3) = cos (
𝜋
3) , logo: cos (
– 𝜋
3)
=1
2
c) sen (5.𝜋
4)
Solução:
O ângulo 5.𝜋
4 rad está no III quadrante
e está relacionado ao ângulo 𝜋
4 rad,
portanto:
sen (5. 𝜋
4) = − sen (
𝜋
4) , logo: sen (
5. 𝜋
4)
=−√2
2
d) cos (5.𝜋
4)
Solução:
Eixo dos cossenos
α
-α
-π/2
π/2
Eixo dos senos sentido positivo
sentido negativo
sen (α)
-sen (α)
Eixo dos cossenos
α
-α
-π/2
π/2
Eixo dos senos sentido positivo
sentido negativo
cos (α)
96
cos (5. 𝜋
4) = − cos (
𝜋
4) , logo: cos (
5. 𝜋
4)
=−√2
2 .
e) sen (5. 𝜋
6)
Solução:
E o ângulo 5.𝜋
6 rad está no II quadrante
e, portanto, está relacionado ao ângulo 𝜋
6 rad, portanto:
sen (5. 𝜋
6) = sen (
𝜋
6) , logo: sen (
5. 𝜋
6)
=1
2
f) cos (5.𝜋
6)
Solução:
cos (5. 𝜋
6) = −cos (
𝜋
6) , logo: cos (
5. 𝜋
6)
=−√3
2 .
Tangente
Para a representação do valor da
tangente de um ângulo α no círculo
trigonométrico, acrescenta-se uma reta
tangente t ao círculo trigonométrico,
assim como é indicado na figura
Fig.6.15. A tangente de α será dada pelo
comprimento do segmento AB.
Nota-se que não existe tan(α) se α é
igual a 𝜋/2 ou 3𝜋/2, pois as reta 𝑟3 e t
não se interceptam para os ângulos 𝛼 =
𝜋/2 e 𝛼 = 3𝜋/2.
Fig.6.15: Definição gráfica da função
tan(α).
Ao analisar a Fig.6.16, conclui-se que
a tangente do ângulo correspondente de
α no III Quadrante é igual à tangente de
α; e a tangente dos ângulos
correspondentes de α no II e no IV
quadrantes são iguais ao oposto da
tangente de α.
Fig.6.16:Representação gráfica da função
tangente dos ângulos correspondentes de α
nos demais quadrantes.
Exemplo 2: Determine o valor de:
a) tan (7. 𝜋
6)
Solução:
O ângulo 7.𝜋
6 rad está no III quadrante
e está relacionado ao ângulo 𝜋
6 rad,
portanto:
Eixo dos senos
Eixo dos cossenos
α
3π/2
π/2
t
A
BO
tgα
r3
97
tan (7. 𝜋
6) = tan (
𝜋
6) , logo: tan (
7. 𝜋
6)
=√3
3 .
b) tan (3. 𝜋
4)
Solução:
O ângulo 3.𝜋
4 rad está no II quadrante
e está relacionado ao ângulo 𝜋
4 rad,
portanto:
tan (3. 𝜋
4) = − tan (
𝜋
4) , logo: tan (
3. 𝜋
4)
= −1.
c) tan (5. 𝜋
3)
Solução:
O ângulo 5.𝜋
3 rad está no IV quadrante
e está relacionado ao ângulo 𝜋
3 rad,
portanto:
tan (5. 𝜋
3) = − tan (
5. 𝜋
3) , logo:
tan (5. 𝜋
3) = −√3.
d) tan (5. 𝜋
2)
Solução:
O ângulo 5.𝜋
2 rad é côngruo de
𝜋
2 rad (o
ângulo 5.𝜋
2 rad está na mesma posição
de 𝜋
2 rad após uma volta completa no
círculo trigonométrico). Portanto, a
função tan (5.𝜋
2) não existe tal qual
função tan (𝜋
2).
6.3. Relações Trigonométricas
Inversas
Definem-se as seguintes razões
inversas: “a secante de um ângulo α
(sec(𝛼)) é dada pelo inverso do cosseno
deste ângulo”; “a cossecante de um
ângulo α (cossec(𝛼)) é dada pelo inverso
do seno de α”; e “a cotangente de um
ângulo α (cotg(𝛼)) é dada pelo inverso
da tangente deste ângulo”. Assim, têm-
se as Eq.6.21, Eq.6.22 e Eq.6.23:
sec(𝛼) = 1
cos(𝛼)
(6.21)
cossec (𝛼) = 1
sen (𝛼)
(6.22)
cotg (𝛼) = cos (𝛼)
sen (𝛼)
(6.23)
Exemplo 3: Se sen(𝛼) =1
2 , com 0 <
𝛼 <𝜋
2 . Determine o valor de sec(𝛼).
Solução:
sen2(𝛼) + cos2(𝛼) = 1, portanto:
(1
2)
2
+ cos2(𝛼) = 1 →1
4+ cos2(𝛼) = 1
→ cos2(𝛼)
= 1 −1
4, então:
cos2(𝛼) =3
4
cos (𝛼) = ±√(3
4) → cos (𝛼) = ±
√3
2 ,
e como 0 < 𝛼 <𝜋
2 ,
tem − se que α está no I quadrante, logo:
cos (𝛼) =√3
2 .
Portanto:
sec(𝛼) = 1
cos(𝛼)→ sec(𝛼) =
2
√3→
sec(𝛼) = 2
√3.√3
√3 , logo:
98
sec(𝛼) = 2. √3
3 .
Exemplo 4: Se sen(𝛼) =−2
3 , com
3.𝜋
2<
𝛼 < 2𝜋. Determine o valor de cotg(𝛼).
Solução:
sen2(𝛼) + cos²(𝛼) = 1, portanto:
(−2
3)
2
+ cos2(𝛼) = 1 →4
9+ cos2(𝛼)
= 1 → cos2(𝛼)
= 1 −4
9, então:
cos2(𝛼) =5
9→ cos (𝛼) = ±√(
5
9) →
cos (𝛼) = ±√5
3 ,
e como 3𝜋2
< 𝛼 < 2. 𝜋 ,
tem
− se que α está no IV quadrante, logo:
cos (𝛼) =√5
3 .
Portanto:
cotg (𝛼) = cos (𝛼)
sen (𝛼)
→ cotg (𝛼)
=
(√53 )
(−23 )
, logo:
cotg (𝛼) =
(√53 )
(−23 )
= (√5
3) . (
3
−2)
=√5
−2
∴ cotg (𝛼) =−√5
2 .
6.4. Identidades Trigonométricas
Algumas identidades trigonométricas
facilitam a resolução de alguns
problemas., tal como as Eq.6.24,
Eq.6.25 e Eq.6.26.
sen2(𝛼) + cos2(𝛼) = 1 (6.24)
1 + tg2(𝑥) = sec2(𝑥) (6.25)
1 + cotg2(𝑥) = cossec2(𝑥) (6.26)
Dados dois ângulos a e b; os valores
de seno, cosseno e tangente dos arcos
obtidos pela soma ou pela subtração de
a e b serão as equações de Eq.6.27 à
Eq.6.34:
sen(𝑎 + 𝑏) = sen(𝑎). cos(𝑏)
+ sen(𝑏) . cos(𝑎) (6.27)
sen(𝑎 − 𝑏) = sen(𝑎). cos(𝑏)
− sen(𝑏) . cos(𝑎) (6.28)
cos(𝑎 + 𝑏) = cos(𝑎). cos(𝑏)
− sen(𝑎). sen(𝑏) (6.29)
cos(𝑎 − 𝑏) = cos(𝑎). cos(𝑏)
+ sen(𝑎). sen(𝑏) (6.30)
sen(2𝑥) = 2. sen(𝑥). cos(𝑥) (6.31)
cos(2𝑥) = cos²(𝑥) − sen²(𝑥) (6.32)
sen (𝑥
2) = √
1−cos (x)
2
(6.33)
cos (𝑥
2) = √
1+cos (x)
2
(6.34)
Dados dois ângulos p e q, os valores
da soma e da subtração dos senos e
dos cossenos destes ângulos serão
obtidos a partir das seguintes relações
de Eq.6.35 à Eq.6.38:
sen(p) + sen(q)
= 2. sen(p+q
2) . cos(
p−q
2)
(6.35)
sen(p) − sen(q)
= 2. sen (p−q
2) . cos (
p+q
2)
(6.36)
cos(p) + cos(q)
= 2. cos (p+q
2) . cos(
p−q
2)
(6.37)
99
cos(p) − cos(q)
= −2. sen (p+q
2). sen (
p−q
2)
(6.38)
Exemplo 5: Determine o valor de
sen(105°) e cos(15°).
Solução:
Como 105º é igual a 60º + 45º, tem-se
que:
sen(105°) = sen(60° + 45°). Portanto,
sen(105°) = sen(60°). cos(45°) +
sen(45°). cos(60°). Então:
sen(105°) =√3
2.√2
2+
√2
2.1
2=
√6
4+
√2
4, logo:
sen(105°) =√6 + √2
4 .
E como 15º é igual a 60º − 45º, tem-
se que:
cos(15°) = cos(60° − 45°). Portanto:
cos(15°) = cos(60°). cos(45°) +
sen(60°). sen(45°)
cos (15º) =1
2.√2
2+
√3
2.√2
2=
√2
4+
√6
4, logo:
cos (15º) =√2+√6
4 .
6.5. Funções Trigonométricas
6.5.1 Função Seno:
Admitindo y como uma variável
independente, é possível representar a
função seno da Eq.6.39:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) (6.39)
A partir dessa representação, devem-
se constatar as seguintes definições:
O domínio da função (D(f)) está
compreendido sob todo o conjunto
dos números reais, ou seja, a variável
x pode assumir qualquer valor real.
Para cada valor de x existe um
valor correspondente de y que varia
de -1 a 1, isto é, a imagem da função
(Im(f)) compreende o
intervalo[−1, 1].
A cada volta que se completa no
círculo trigonométrico, os valores de
y repetem-se oscilando, o que
significa dizer que a função
apresenta caráter oscilatório e
periódico, de período igual a 2𝜋
A Fig.6.17 representa a curva
conhecida como senoide.
Fig.6.17: Gráfico da Senoide.
Se a função se apresentar na forma da
Eq.6.40:
𝑓(𝑥) = sen(𝑎. 𝑥) (6.40)
o período T da função será igual a
Eq.6.41.
𝑇 =2𝜋
𝑎
(6.41)
Se 𝑎 > 1, ocorre uma compressão
horizontal no gráfico de ordem a (Ver
Fig.6.18).
Fig.6.18: Gráfico da Função 𝑓(𝑥) =
sen(2𝑥).
100
Podem haver casos nos quais a
função é apresentada sob a forma 𝑦 =
𝐴. 𝑠𝑒𝑛 𝑥, o que provocará um
alongamento (𝐴 > 1) ou um
encurtamento vertical (𝐴 < 1).
Fig.6.19: Gráfico da Função 𝑓(𝑥) =
0.5 sen(𝑥).
Percebe-se também a existência de
deslocamentos verticais ou horizontais
sob as respectivas formas: 𝑦 = 𝐴 +
sen(𝑥) para os deslocamentos verticais
e 𝑦 = sen(𝑥 + 𝑎) para os
deslocamentos horizontais.
Sendo assim, é possível chegar a uma
nova fórmula genérica (Eq.6.42) para a
função seno levando-se em
consideração os deslocamentos
supracitados.
𝑓(𝑥) = 𝐴 + 𝐵. sen(𝑐𝑥 + 𝑑) (6.42)
Em que A, B, c e d são constantes
reais.
Fig.6.20:Gráfico da
Função f(x) = −0.5 + 0.5sen(2𝑥 + 𝜋)
6.5.2 Função Cosseno:
Assumindo y como uma variável
independente, é possível também
representar a função cosseno na
Eq.6.43:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 (6.43)
A partir dessa representação, deve-se
atentar às seguintes definições:
O Domínio da função (D(f)) está
compreendido sob todo o conjunto
dos números reais, ou seja, a variável
x pode assumir qualquer valor real.
Para cada valor de x existe um
valor correspondente de y que varia
de -1 a 1, isto é, a imagem da função
(Im(f)) compreende o intervalo
[−1, 1].
A cada volta que se completa no
Círculo Trigonométrico, os valores de
y se repetem oscilando, o que
significa dizer que a função
apresenta caráter oscilatório e
periódico, de período igual a 2𝜋.
O gráfico contido na Fig.6.21
representa a curva conhecida como
cossenóide.
Fig.6.21: Gráfico da Função f(x) = cos(𝑥).
Caso a função seja apresentada sob a
forma 𝑓(𝑥) = cos(𝑎. 𝑥),analogamente à
função seno, o período T da função será
igual a Eq.6.44
𝑇 =2𝜋
𝑎
(6.44)
101
Neste caso também ocorre uma
compressão horizontal no gráfico de
ordem a.
A função cosseno também pode ser
𝑦 = 𝐴 cos(𝑥),o que provocará um
alongamento (𝐴 > 1) ou encurtamento
(𝐴 < 1) vertical (variação da amplitude).
Percebe-se igualmente a existência
de deslocamentos verticais ou
horizontais sob as respectivas formas:
𝑦 = 𝐴 + cos(𝑥) para os deslocamentos
verticais e 𝑦 = cos(𝑥 + 𝑎) para os
deslocamentos horizontais.
Sendo assim, é possível obter a uma
formulação genérica (Eq.6.45) para a
função cosseno levando em
consideração os deslocamentos
mencionados:
f(x) = A + B. cos(𝑐. 𝑥 + 𝑑) (6.45)
Em que A, B, c e d são constantes
reais.
6.5.3 Função Tangente:
Tal qual as funções seno e cosseno, a
função Tangente também pode ser
presentada, de acordo com a Eq.6.46;
tendo, igualmente, y como uma variável
independente:
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 (6.46)
Com isso, constatam-se as seguintes
definições:
A variável x, ao contrário do que
ocorre nas funções seno e cosseno,
não pode assumir os valores 𝜋
2 e
3𝜋
2 (e
seus respectivos correspondentes
em “N” voltas no círculo
trigonométrico). Desta forma, o
domínio (D(f)) corresponde ao
intervalo
[0; 𝜋
2 [ U ]
𝜋
2;
3𝜋
2 [ U ]
3𝜋
2; 2𝜋] +
N. 2𝜋.
Para cada valor de x pertencente
ao domínio, existe um valor de y que,
ao se aproximar dos valores de
indefinição da função, apresentarão
assíntotas, as quais podem ser visto
no gráfico da Fig.6.22 na forma de
linhas verticais tracejadas.
Assim como nas funções seno e
cosseno, a função tangente também
apresenta caráter periódico, porém a
descontinuidade dos valores, devido
às assíntotas, torna a função não
oscilatória.
Fig.6.22: Gráfico da Função 𝑓(𝑥) =
tan(𝑥).
Assim como nas funções
anteriormente comentadas, na função
tangente também podem ocorrer
deslocamentos no gráfico. Sendo estes
generalizados pela Eq.5.47:
𝑓(𝑥) = 𝐴 + 𝐵 tan(𝑐𝑥 + 𝑑) (6.47)
Sendo que o novo período T será dado
ela Eq.6.48:
𝑇 =𝜋
𝑎 (6.48)
6.5.4. Função Arco-Seno
O arco-seno (arcsen(𝑥))é um ângulo
definido pela variável dependente de
um valor x tal que para arcsen(𝑥) =
𝛼isto é, sen(𝛼) = 𝑥.
102
Exemplo 6: Para um triângulo retângulo
de hipotenusa 2 cm e cujo ângulo é
oposto a um cateto de 1cm, determine o
valor de
Solução:
sen(𝛼) =1
2logo:
𝛼 = arcsen(1
2). Como:
sen (𝜋
6) =
1
2, então:
𝜋 =𝝅
𝟔𝑟𝑎𝑑 = 30°
6.5.5 Função Arco-Cosseno
O arco-cosseno (arccos(𝑥)) é um
ângulo cujo valor de seu cosseno vale
x, isto é, depende de x tal que
arccos(𝑥) = 𝛼cos(𝛼) = 𝑥.
Exemplo 7: Sabe-se que um triângulo
retângulo possui um ângulo tal que o
cateto adjacente a este ângulo vale 2 cm
e a hipotenusa do respectivo triângulo
possui valor de 4 cm. Determine o
ângulo
Solução:
cos(𝛼) =2
4=
1
2, logo:
𝛼 = arccos(1
2)
Como:
cos (𝜋
3) =
1
2:
𝛼 =𝜋
3𝑟𝑎𝑑 = 60°
6.5.6 Função Arco-Tangente
O arco-tangente (arctan(𝑥)) de um
valor x, é o ângulo𝛼 cuja a tangente é
igual ao valor x. Ou seja, se tan(𝛼) = 𝑥,
tem-se que α = arctan(𝑥) .
Exemplo 8: Um triângulo retângulo
possui um ângulo o qual tem como
cateto oposto b = 2.√2, e o cateto
adjacente c =2. √2. Determine o ângulo
Solução:
tan(𝛼) =2√2
2√2= 1logo:
α = arctan(1)
Como:
tan (𝜋
4) = 1, então:
𝛼 =𝜋
4𝑟𝑎𝑑 = 45°
6.6. Sistema de Coordenadas Polares
O sistema de coordenadas polares no
plano tem como referenciais um ponto
fixo 𝑂 denominado polo e uma semirreta
orientada fixa com origem em 𝑂
denominada eixo polar; e um raio 𝑟,
como é representado na Fig.6.23.
Fig.6.23: Representação de um eixo polar
Considere 𝑃 um ponto genérico no
plano e seja o raio r a distância entre o
polo 𝑂 e o ponto 𝑃, assim 𝑟 = |𝑂𝑃̅̅ ̅̅ |. Se
𝑃 ≠ 𝑂, então 𝑃 pertence a uma única
semirreta determinada com a origem em
𝑂. Tais descrições são representadas
na Fig.6.23
O Eixo polar
103
Fig.6.23: Semirreta formando um ângulo 𝜃
com o Eixo Polar.
Seja 𝜃 o ângulo formado entre o eixo
polar e esta semirreta, medido a partir
do eixo polar. Como o ângulo 𝜃 tem
vértice no pólo 𝑂 e o seu lado inicial é o
eixo polar, ele é dito estar na posição
padrão ou fundamental. Assim, a
semirreta constitui o lado terminal do
ângulo 𝜃 na posição fundamental. Os
ângulos são geralmente medidos em
radiano e são considerados positivos
quando medidos no sentido anti-horário.
A cada ponto 𝑃 do plano, pode-se
associar um par de números reais 𝑟 e 𝜃
denominados coordenadas polares de
𝑃. Denota-se 𝑃(𝑟 , 𝜃), onde 𝑟 é a
coordenada radial (raio) de 𝑃, que é a
distância de 𝑃 em relação ao pólo, e 𝜃 é
a coordenada angular ou ângulo polar
de 𝑃.
As coordenadas polares (𝑟, 𝜃)
estabelecem a posição do ponto 𝑃 em
relação a uma “grade” formada por
círculos concêntricos com centro em 𝑂
e semirretas partindo de 𝑂. O valor de 𝑟
localiza P num círculo de raio 𝑟, o valor
de 𝜃 localiza 𝑃 numa semirreta que é o
lado terminal do ângulo na posição
fundamental, e 𝑃 é determinado pela
interseção do círculo com a semirreta,
como é mostrado na Fig.6.24.
Fig.6.24: “Grade” formada por círculos
concêntricos e semirretas partindo de 0.
6.6.1 Conversão de Coordenadas
Para converter coordenadas polares
(𝑟, 𝜃) em cartesianas (𝑥, 𝑦), ou vice-
versa, é usual considerar que o polo do
sistema polar coincidente com a origem
do sistema cartesiano e o eixo polar do
sistema polar coincidente com o eixo x,
tais como as Eq.6.49 e Eq.6.50. Assim,
o eixo positivo 𝑦 é a semirreta 𝜃 = 𝜋/2.
{𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦 = 𝑟 sen 𝜃
(6.49)
ou
{𝑟 = ± √𝑥2 + 𝑦2
tan 𝜃 = 𝑦 𝑥⁄ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 0
(6.50)
Se 𝜃 está na posição fundamental
então 𝑟 = +√𝑥2 + 𝑦2
Se 𝜃 = arctan(𝑦 𝑥⁄ )então tan(𝜃 +
𝑛 𝜋) = 𝑦 𝑥⁄ para 𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑛 ∈ 𝐼
104
Fig.6.25. Representação Gráfica do Eixo
Polar P coincidindo com o eixo x do
Sistema Cartesiano.
Exemplo 9: Converta as coordenadas
polares dadas para coordenadas
cartesianas:
(𝑟, 𝜃) → (𝑥, 𝑦) = (𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 , 𝑟 sen 𝜃)
a) (𝑟, 𝜃) = (2 ,3𝜋
2 )
Solução:
𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 (3𝜋
2) = 2 .0 = 0
𝑦 = 2 sen (3𝜋
2) = 2. (−1)
(𝑥, 𝑦) = (0 , −2)
𝑏) (𝑟, 𝜃) = (−4 ,−𝜋
3)
Solução:
𝑥 = (−4 ). 𝑐𝑜𝑠 (−𝜋
3) = (−4). (
1
2) = −2
𝑦 = (−4). sen (−𝜋
3) = (−4). (
−√3
2)
= 2√3
(𝑥, 𝑦) = (−2 , 2√3)
𝑐) (𝑟, 𝜃) = (1 ,2𝜋
3)
Solução:
𝑥 = (1 ). 𝑐𝑜𝑠 (2𝜋
3) = (1). (−
1
2) = −
1
2
𝑦 = (1). sen (2𝜋
3) . (
√3
2) = √3 2⁄
(𝑥, 𝑦) = (−1
2,√3
2)
Exemplo 10: Converta as coordenadas
cartesianas dadas para coordenadas
polares.
(𝑥, 𝑦) → (𝑟, 𝜃) {𝑟 = ± √𝑥2 + 𝑦2
tan 𝜃 =𝑦
𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≠ 0
𝑎) (𝑥, 𝑦) = (4 , 4)
Solução:
𝑟 = + √42 + 42 = √25 = 4√2
tan 𝜃 =4
4= 1 → 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan(1) {
𝜋
45𝜋
4
Como o ponto está no primeiro
quadrante 0 ≤ 𝜃 ≤𝜋
2, logo 𝜃 =
𝜋
4
(𝑟 , 𝜃) = (4√2 ,𝜋
4)
𝑏) (𝑥, 𝑦) = (−1 , −√3)
Solução:
𝑟 = + √(−1)2 + (√3)2
= √4 = 2
tan 𝜃 =−√3
−1= √3 →
→ 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan(√3) {
𝜋
34𝜋
3
Como o ponto está no terceiro
quadrante 𝜋 ≤ 𝜃 ≤3𝜋
2, logo 𝜃 =
4𝜋
3
(𝑟 , 𝜃) = (2 ,4𝜋
3)
𝑐) (𝑥, 𝑦) = (3√3, −3)
Solução:
𝑟 = + √(3√3)2
+ (−3)2 = √36 = 6
tan 𝜃 =−3
3√3= −
1
√3 →
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan (−1
√3) {
−𝜋
6 =
11𝜋
65𝜋
6
Como o ponto está no quarto quadrante –𝜋
2≤ 𝜃 ≤ 0, logo 𝜃 =
−𝜋
6
𝑃 {
(𝑟 , 𝜃 ) 𝑝𝑜𝑙𝑎𝑟
(𝑥, 𝑦) 𝑐𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠𝑖𝑎𝑛𝑜
105
(𝑟 , 𝜃) = (6 ,−𝜋
6)
d) (𝑥, 𝑦) = (0, −4)
Solução:
𝑟 = + √(0)2 + (−4)2 = 4
tan 𝜃 =−4
0= ∄ → 𝜃 = {
𝜋
23𝜋
2
Como 𝑦 < 0 o ponto pertence ao eixo
negativo 𝑦 logo 𝜃 =3𝜋
2= −
𝜋
2
(𝑟 , 𝜃) = (4 , −𝜋
2)
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Na figura, 𝐴𝐵 = 5𝑑𝑚, 𝐴𝐷 =
5√7 𝑑𝑚, 𝐷𝐵𝐶 = 60º e 𝐷𝐶𝐴 = 90º.
Determine a medida de CD em
decímetros.
2) Calcule o comprimento L do arco
BA
definido numa circunferência de
raio r=10 cm, por um ângulo central de
60°.
3) Calcule m de modo a obter sen(𝑥) =
2m + 1 e cos(𝑥) = 4m + 1
4) Dado quesin(𝑥). cos(𝑥) = 𝑚, calcule
o valor de 𝑦 = sen4(𝑥) + cos4(𝑥) e 𝑧 =
sen6(𝑥) + cos6(𝑥)
5) Dois lados de um triângulo que
medem 8m e 12m e formam entre si
um ângulo de 120°.Calcule o terceiro
lado.
6) Um triângulo tem lados a = 10m, b =
13m e c= 15m.Calcule o ângulo o
menor, A
, do triângulo.
7) Determine o período e a imagem e
faça o gráfico de um período completo
das funções abaixo:
a) :f dada por 𝑓(𝑥) =
− sen 𝑥.
b) :f dada por |𝑓(𝑥) =
| sen 𝑥|
c) :f dada por 𝑓(𝑥) =
sen(𝑥 +𝜋
3)
d) :f dada por 𝑓(𝑥) =
−3. cos 𝑥
e) :f dada por 𝑓(𝑥) =
cos(𝑥 −𝜋
4)
8) Simplifique:
x
x
x cos1
cos1.
sec1
1
9) Calcule o valor da expressão
sen105° - cos 75°
10) Sabendo que sen 𝑎 =3
5 e cos 𝑎 =
4
5, calcule sen(2𝑎) + cos(2𝑎)
11) Calcule o valor numérico da
expressão: 𝑦 = sen (13𝜋
12) . cos(
11𝜋
12)
12)Transforme em produto:
a) 𝑦 = 1 + sen(2𝑥)
b) 𝑦 = 1 + cos(𝑥)
c) 𝑦 = sen(5𝑥) + sen(3𝑥)
d) 𝑦 = cos(3𝑥) + cos(𝑥)
13) Ache os valores de 2 cos2(𝑥) +
5 sen(𝑥) − 4 ≥ 0
106
14) Demarcar os seguintes pontos no
sistema de coordenadas polares e
encontrar suas coordenadas
cartesianas:
a) P1= (3,𝜋
3) c) P4=
(−3, −𝜋
3)
b) P2= (3, −𝜋
3) d) P3=
(−3,𝜋
3)
15) Encontrar as coordenadas
cartesianas dos seguintes pontos
dados em coordenadas polares.
a) (−2,2𝜋
3) d) (−10,
𝜋
2)
c) (4, 5𝜋
8) e) (−10,
3𝜋
2)
d) (3,13𝜋
4)
16) Encontrar um par de coordenadas
polares dos seguintes pontos:
a) (1, 1)
b) (-1, 1)
c) (-1, -1)
d) (1, -1)
17) Identificar e transformar as
seguintes equações para coordenadas
polares.
a) 𝑥2 + 𝑦2 = 4
b) 𝑥 = 4
c) 𝑦 = 2
d) 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥 = 0
e) 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑦 = 0
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS
PROPOSTOS
1) 𝐷𝐶 = 5√3
2) 𝐿 = 10𝜋/3𝑐𝑚
3) 𝑚1 = −1/10𝑜𝑢 𝑚2 = −1/2
4) 𝑦 = 1 − 2𝑚2𝑒 𝑧 = 1 − 3𝑚²
5) 𝑙𝑎𝑑𝑜 3 → 𝑥 = 4√19
6) 𝐴 = arccos49
65
7)
a) 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ| − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1}; 𝑃 = 2𝜋
b) 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ| 0 ≤ 𝑦 ≤ 1}; 𝑃 = 𝜋
c) 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ| − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1}; 𝑃 = 2𝜋
d) 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ| − 3 ≤ 𝑦 ≤ 3}; 𝑃 = 2𝜋
e) 𝐼𝑚𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ| − 1 ≤ 𝑦 ≤ 1}; 𝑃 = 2𝜋
8) 𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥
9)√2/2
10)31/25
11)𝑌 = 1/4
12)
a) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +𝜋
4) cos (
𝜋
4− 𝑥)
b) 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠2 (𝑥
2)
c) 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛4𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥 d) 𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥
13)1
2≤ 𝑠𝑒𝑛𝑥 ≤ 1
14)
a) (3
2,3√3
2)
b)(−3
2,−3√3
2)
c)(3
2,−3√3
2)
d) (−3
2,3√3
2)
15)
a) (1, -√3) b) (-1.507, 3.6955)
c) (−3√2
2,−3√2
2)
d) (0, -10) e) (0, 10) 16
a) (√2, 𝜋/4)
b) (√2, 3𝜋/4)
c) (√2, 5𝜋/4)
d) (√2, 7𝜋/4) 17)
a) 𝑟 = ±2 b) 𝑟 cos 𝜃 = 4
c) 𝑟 sin 𝜃 = 2 d) 𝑟 = 2 cos 𝜃 e) 𝑟 = 6 sin 𝜃