MATERIAL DE APOIO PESQUISA OPERACIONAL

AUTORA: ROSELI NUNES LEITE REVISÃO E AMPLIAÇÃO: MARCOS CALIL

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INTRODUÇÃO A DISCIPLINA PESQUISA OPERACIONAL De acordo com a ementa do curso apresentada pela Universidade Nove de Julho (UNINOVE) podemos dividir a disciplina Pesquisa Operacional em duas partes. A primeira aborda os fundamentos da Estatística Descritiva onde envolve todo o processo de pesquisa, aplicação e interpretação dos dados obtidos. A segunda aborda assuntos relativos a curvas de probabilidade. Nessa apostila o aluno tem todo o conteúdo respectivo a disciplina com diversos exercícios. Porém, caso desejar um maior aprofundamento no assunto, são recomendados os livros que se encontram no final dessa apostila na parte de bibliografia. A apostila é de autoria da Profa. Roseli Nunes Leite (fornecida no momento oportuno) que gentilmente cedeu o material para nosso proveito. Vale saber que essa primeira parte escrita da disciplina, assim bem como a revisão e expansão da apostila de Estatística Descritiva e Curvas de Probabilidade de autoria da Prof. Roseli Nunes Leite fora realizada pelo Prof. Ms. Marcos Calil. CRONOGRAMA O cronograma apresentado com suas respectivas datas serve apenas de apoio para que aluno e professor possam se orientar quanto o conteúdo que será abordado nas suas respectivas datas. Este poderá ser modificado, reduzido ou ampliado dependendo da necessidade da classe. Vale dizer que é de fundamental importância a decisão do professor de adaptar a ementa em prol dos seus alunos do que o inverso para não ocorrer prejuízo para o principal motivo da educação: o aluno. Porém, pela necessidade de organização estrutural da Universidade e, como conseqüência, melhor aproveitamento da vida acadêmica do aluno se faz necessário cumprir a ementa. Todo esse movimento é possível e cabível no que fora apresentado de acordo com o cronograma.

Um excelente semestre para todos nós Prof. Ms. Marcos Rogério Calil

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Agosto 12 Apresentação do professor e do curso 19 Introdução e tabela de freqüência 26 Tabela de freqüência e Média aritmética – Exercícios. Setembro 02 Mediana - Exercícios. 09 AV1 – Em dupla sem consulta e permitido uso de calculadora e

formulário 16 Correção na lousa e entrega da AV1 - Decil, quartil e percentil 23 Decil, quartil e percentil – Exercícios 30 AV2 – Em dupla sem consulta e permitido uso de calculadora e

formulário Outubro 07 Correção na lousa e entrega da AV2 - Moda - Exercícios 14 Desvio médio, variância e coeficiente de variação - Exercícios 21 Distribuição Binomial - Exercícios 28 Exercícios de revisão Novembro 04 AV3 – Prova individual sem consulta e permitido uso de

calculadora e formulário 11 Correção na lousa e entrega da AV3 - Distribuição Poisson -

Exercícios 18 Distribuição Normal - Exercícios 25 Correlação e Regressão linear – exercícios Dezembro 02 Exercícios de revisão 09 AV4 - Prova individual sem consulta e permitido uso de

calculadora e formulário – Matéria: de distribuição binomial a regressão linear.

16 Correção na lousa e entrega da AV4

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PRIMEIRA PARTE ESTATÍSTICA DESCRITIVA

CONCEITOS BÁSICOS

DEFINIÇÃO Estatística é um conjunto de métodos e processos quantitativos que serve para estudar e medir os fenômenos coletivos. Normalmente, no trabalho estatístico o pesquisador se vê obrigado a lidar com grande quantidade de valores numéricos resultantes de uma pesquisa. Estes valores numéricos são chamados dados estatísticos. No sentido de disciplina, a Estatística ensina métodos racionais para a obtenção de informações a respeito de um fenômeno coletivo, além de obter conclusões válidas para o fenômeno e também permitir tomada de decisões, através de dados estatísticos observados. Desta forma, a estatística pode ser dividida em duas áreas: a)Estatística Descritiva - é a parte da Estatística que tem por objeto descrever os dados observados. b)Estatística Indutiva - é a parte da Estatística que tem por objetivo obter e generalizar conclusões para a população a partir de uma amostra, através do cálculo da probabilidade. ESTATÍSTICA DESCRITIVA

A Estatística Descritiva, na sua função de descrição dos dados, têm as seguintes atribuições: a) A obtenção dos dados estatísticos; b) A organização dos dados; c) A redução dos dados; d) A representação dos dados; e) A obtenção de algumas informações que auxiliam a descrição do fenômeno observado.

A Estatística descritiva apresenta duas formas básicas para a redução do número de dados com os quais devemos trabalhar, chamadas de variável discreta e variável contínua.

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Podemos organizar estes dados em uma tabela simples denominada de distribuição de freqüência com variável discreta. Os dados serão organizados com suas freqüências simples. Freqüência simples ou absoluta (Fi) – é o número de vezes que o elemento aparece na amostra ou o número de elementos pertencentes a uma classe. Vide tabela ao lado.

TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Exemplo: Para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino.

Variável é o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. POPULAÇÃO E AMOSTRA População – é um conjunto de indivíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característica em comum. Amostra – é um subconjunto finito de uma população. Suponhamos que foi feita uma coleta de dados relativos às idades de 30 pessoas, que compõem uma amostra dos alunos de uma faculdade “A”: 24 23 22 28 35 21 23 33 34 25 21 25 36 26 22 30 32 25 26 3334 21 31 25 26 25 35 33 31 31 A este tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados denominamos tabela primitiva ou dados brutos. Ao arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente chamamos de rol. Logo: 21 21 21 22 22 23 23 24 25 25 25 25 26 26 26 28 30 31 31 3132 33 33 33 34 34 34 35 35 36

Idades Fi 21 3 22 2 23 2 24 1 25 4 26 3 28 1 30 1 31 3 32 1 33 3 34 3 35 2 36 1

Total (Σ) 30

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Podemos ainda agrupar os valores da variável em intervalos, sendo que, chamamos esses intervalos de classes. Logo a tabela abaixo é denominada de distribuição de freqüência com intervalos de classe ou variável contínua.

Idades de 30 alunos da Faculdade “A”

Classes Idade Freqüência 1 2 3 4 5 6

21 |---- 24 24 |---- 27 27 |---- 30 30 |---- 33 33 |---- 36 36 |---- 39

7 8 1 5 8 1

Σ 30

Quando os dados estão organizados em uma distribuição de freqüência, são comumente denominados dados agrupados.

ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

A construção de uma tabela com dados agrupados em intervalos ou variável contínua requer o conhecimento de alguns conceitos que vamos fazer em seguida e usaremos a tabela anterior para exemplificar cada item. Classes de freqüência – são os intervalos de variação da variável. As classes são representadas simbolicamente por i, sendo i = 1, 2, 3, ... k (onde k é o nº total de classes da distribuição). No nosso exemplo: o intervalo 30 |---- 33 define a quarta classe (i = 4). Como a distribuição é formada de seis classes, temos k = 6. Limites de classes – são os extremos de cada classe (li |---- Li) li – limite inferior da classe (onde começa o intervalo); Li – limite superior da classe (onde termina o intervalo); Exemplo: no intervalo 30 |---- 33, temos que li = 30 e Li = 33. Número de classes (K) – Não há uma fórmula exata para o cálculo do número de classes. As mais usadas são: 1) K = 5 para n ≤ 25 ou K ≅ n para n > 25 2) Fórmula de Sturges: K ≅ 1 + 3,22 . log n Iremos utilizar nesse curso a Fórmula de Sturges. Range, amplitude total ou amplitude amostral – é a diferença entre o maior e o menor valor da amostra. No exemplo dado: R = 36 – 21. Então R = 15

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Intervalo de classe ou amplitude do intervalo (h) – é a medida do intervalo que define a classe. Quando dado os limites de classes, pode ser obtida por h = Li – li Exemplo: No intervalo 30 |---- 33, temos h = 33 – 30. Então h = 3.

Quando dado o número de classes e a amplitude total, pode ser obtida por h ≅ KR

Para montar a tabela de distribuição de freqüência com intervalos devemos seguir os seguintes passos: 1º) Calcular o range. Pelo exemplo seguido anterior: R = 36 – 21 ⇒ R = 15 2º) Saber quantas classes ou quantos intervalos terá a tabela. Pelo exemplo, temos n = 30. Sabendo que log 30 ≅ 1,47, temos que:

K = 1 + 3,22 . log 30 K ≅ 1 + 3,22 . 1,47

K ≅ 1 + 4,73 K ≅ 5,73

ATENÇÃO: Como é impossível ter 5,73 linhas na tabela é convencionado que se arredonde para cima, independentemente da casa decimal. Assim, por exemplo, mesmo que K ≅ 5,15 o arredondamento é imediatamente para cima. Dessa forma, temos como resposta:

K ≅ 6

3º) Calcular qual será a amplitude do intervalo ou qual a diferença entre o li e o Li.

Como h ≅ KR , temos que h ≅

615 ⇒ h ≅ 2,5

ATENÇÃO: Em alguns casos é apropriado utilizar o arredondamento superior para facilitar a interpretação dos dados que serão calculados. Na Estatística sempre é válido o “bom senso” do pesquisador. Dessa forma, nesse caso temos então:

h ≅ 3

IMPORTANTE: 1- Iremos adotar o arredondamento imediatamente superior do intervalo de classe (h) e do número de classes (k) independentemente do valor obtido na sua casa decimal. Porém em raros casos vale o “bom senso” do pesquisador; 2- Para toda e qualquer situação serão adotadas apenas duas casas decimais, desprezando as demais que porventura surgirão.

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Outro detalhe importante de ser notado é que para a divisão de R por K foi utilizado K ≅ 6 e não K ≅ 5,73. Essa prática é comum. Portanto, temos nesse exemplo uma tabela de distribuição de freqüência com 6 classes (linhas) onde seus intervalos de classes estão distribuídos de 3 em 3 anos. Outros elementos de uma distribuição de freqüência: Pontos médios das classes (Xi) – é a média aritmética entre o limite superior e o limite inferior da classe. Assim, é dada pela formula:

Xi = 2

liLi +

Exemplo: Para 5a classe onde temos 33 |--- 36

Xi = =+2

3633 34,5

Freqüência relativa (Fri ou fi) – é dada por fi = nFi , ou seja é a porcentagem

daquele valor da amostra. Freqüência acumulada (Fac) – é a soma das freqüências dos valores inferiores ou iguais ao valor dado. Pelo exemplo, temos então:

Idades de 30 alunos da Faculdade “A”

Idade (Classes) Freqüência (Fi) Freqüência Acumulada (Fac)

Freqüência relativa (fi em %)

21 |---- 24 24 |---- 27 27 |---- 30 30 |---- 33 33 |---- 36 36 |---- 39

7 8 1 5 8 1

7 15 16 21 29 30

23,33 26,66 3,33

16,66 26,66 3,36

Σ = 30 99,97 ⇒ 100% Algumas considerações importantes: Perceba que a última linha da Freqüência Acumulada (Fac) possui o mesmo valor que a somatória da Freqüência Absoluta (Fi). Isso sempre DEVE acontecer! Na freqüência relativa, como foi ignorada a terceira casa decimal em diante, a somatória não resultou em 100% como deveria ser caso utilizássemos todas as

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casas decimais. Assim, como 100% - 99,97% = 0,03% adicionamos essa porcentagem que falta EM QUALQUER CLASSE da freqüência relativa. Perceba essa “manobra” presente, como exemplo, na sexta classe da própria tabela. Vamos agora interpretar alguns dos valores obtidos na tabela acima: ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________

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EXERCÍCIOS

1 – Considere os salários quinzenais de 100 funcionários da Empresa Yasmim Ltda (em US$):

151 152 154 155 158 159 159 160 161 161 161 162 163 163 163 164 165 165 165 166 166 166 166 167 167 167 167 167 168 168 168 168 168 168 168 168 168 168 169 169 169 169 169 169 169 170 170 170 170 170 170 170 171 171 171 171 172 172 172 173 173 173 174 174 174 175 175 175 175 176 176 176 176 177 177 177 177 178 178 178 179 179 180 180 180 180 181 181 181 182 182 182 183 184 185 186 187 188 190 190

Sabendo que log 100 = 2, determine: a) A amplitude amostral; b) O número de classes; c) A amplitude das classes; d) Construir a tabela de distribuição de freqüência com as classes, freqüências absolutas, freqüências relativas, pontos médios e freqüência acumulada; e) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valor igual ou superior a US$ 179,00; f) Qual a porcentagem de funcionários que ganham salários com valores inferiores a US$ 163,00; g) Qual o ponto médio da 3ª classe; h) Qual o fi da 2ª classe. 2 - O controle de qualidade de uma indústria selecionou 48 caixas na linha de produção e anotou em cada caixa o número de peças defeituosas, obtendo os seguintes dados: 2 0 0 4 3 0 0 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 1 1 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 Determine: a) o rol; b) a tabela de distribuição de freqüência sem intervalos; c) qual a porcentagem de caixas que apresentam duas ou mais peças defeituosas? 3 - Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou num determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Os resultados foram expressos conforme a tabela abaixo. 6 7 9 10 12 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 19 19 20 2020 20 21 21 21 22 22 23 24 25 25 26 26 28 28 30 32 32 35 39

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Pede-se dessa forma para montar a tabela de distribuição de freqüência com as classes, freqüências absolutas, freqüências relativas, pontos médios e freqüência acumulada sabendo que log 40 ≅ 1,60. Interprete a terceira classe quanto a freqüência acumulada e relativa.

EXERCÍCIOS EXTRAS

1 - Conhecidas as notas de 55 alunos (dado que log 55 ≅1,74): 33 33 35 35 39 41 41 42 45 45 47 48 50 52 53 54 55 55 56 5759 60 61 64 65 65 65 66 67 68 68 69 71 73 73 73 74 74 76 7778 80 81 84 85 85 88 89 91 94 94 98 98 98 98 Obtenha a tabela de distribuição de freqüência com intervalos, a freqüência absoluta, a freqüência relativa, o ponto médio e a freqüência acumulada. 2 – Os resultados do lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes: 6 5 2 6 4 3 6 2 6 5 1 6 3 3 5 1 3 6 3 4 5 4 3 1 3 5 4 4 2 6 2 2 5 2 5 1 3 6 5 1 5 6 2 4 6 1 5 2 4 3 Forme uma distribuição de freqüência sem intervalos e complete com as colunas do fi e Fac, interpretando a segunda classe. 3 – Considerando as notas de um teste de inteligência aplicado a 55 alunos: 64 64 64 66 66 70 70 73 73 73 73 74 75 76 76 76 78 78 78 7879 80 80 81 82 82 83 84 84 85 85 85 85 86 86 86 86 86 86 8787 89 90 90 92 92 93 95 98 101 102 103 103 103 103 Dado que log 55 ≅1,74, forme uma tabela de distribuição de freqüência com intervalos e complete com as colunas do Xi, fi, Fac e responda: a) Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota inferior a 79? b) Qual a porcentagem de alunos que obtiveram nota igual ou superior a 94? 4 – A amostra abaixo apresenta as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, durante um mês, por uma firma comercial:

14 12 11 13 14 13 12 14 13 14 11 12 12 14 10 13 15 11 15 13 16 17 14 14

Dessa forma, construa uma tabela de distribuição de freqüência sem intervalos com as colunas do fri e fac.

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RESPOSTAS 1 – Classes Notas Fi Xi fi Fac

1 33 I---- 42 7 37,5 12,73 7 2 42 I---- 51 6 46,5 10,91 13 3 51 I---- 60 8 55,5 14,55 21 4 60 I---- 69 10 64,5 18,18 31 5 69 I---- 78 9 73,5 16,36 40 6 78 I---- 87 6 82,5 10,91 46 7 87 I---- 96 5 91,5 9,09 51 8 96 I---- 105 4 100,5 7,27 55

2 –

Faces do dado Fi fi Fac 1 6 12 6 2 8 16 14 3 9 18 23 4 7 14 30 5 10 20 40 6 10 20 50

3 – Classe Amostra Fi Xi fi Fac

1 64 I---- 69 5 66,5 9,09 5 2 69 I---- 74 6 71,5 10,91 11 3 74 I---- 79 9 76,5 16,36 20 4 79 I---- 84 7 81,5 12,73 27 5 84 I---- 89 14 86,5 25,45 41 6 89 I---- 94 6 91,50 10,91 47 7 94 I---- 99 2 96,50 3,64 49 8 99 I---- 104 6 101,5 10,91 55

3a) 36,36% 3b)14,55%

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4 –

Amostra Fi fi Fac 10 1 4,17 1 11 3 12,50 4 12 4 16,67 8 13 5 20,83 13 14 7 29,17 20 15 2 8,33 22 16 1 4,17 23 17 1 4,17 24

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MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA ( x ) 1º Caso: Dados não agrupados

x = n

x∑ (onde n é o número de elementos do conjunto)

Exemplo 1: Determinar a média aritmética simples dos valores 3, 7, 8, 10 e 11

x = n

x∑ ⇒ x = 5

1110873 ++++⇒ x = 7,8

2º Caso: Dados agrupados sem intervalos Dada a amostra 2, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 8, 8, determine a média.

Xi Fi XiFi 2 1 2 5 4 20 6 3 18 8 2 16

Total 10 56 Então a média será:

6,51056

=⇒=⇒= ∑ xxnXiFi

x

3º Caso: Dados agrupados com intervalos determine a média.

Amostra Fi Xi XiFi 2 |---- 5 1 3,5 3,5 5 |---- 8 10 6,5 65

8 |---- 11 8 9,5 76 11 |---- 14 1 12,5 12,5

20 157 Assim:

85,720

157=⇒=⇒= ∑ xx

nXiFi

x

Interpretação: O valor médio desta série é 7,85, isto é, 7,85 é o valor em torno do qual os elementos desta série se concentram.

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EXERCÍCIOS

1- Calcule a média aritmética das séries abaixo: a) 1, 2, 8, 10, 12, 16, 21, 30 b) 5, 6, 6, 10, 11, 11, 20 2 – Calcule a média para as tabelas abaixo: a) b) 3- O salário de 39 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro abaixo. Calcule o salário médio destes funcionários.

Salários(R$) nº func. 400 I---- 500 12 500 I---- 600 15 600 I---- 700 8 700 I---- 800 3 800 I---- 900 1

4- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, segundo o quadro abaixo.Calcule a média.

Aluguel (R$) nº casa0 I---- 200 30

200 I---- 400 52 400 I---- 600 28 600 I---- 800 7 800 I---- 1000 3

5- Em uma empresa temos 4 operários com salário de R$ 850,00, 2 supervisores com salário de R$ 1.200,00, 1 gerente com salário de R$ 2.000,00 e 6 vendedores com salário de R$ 1.100,00. Qual a média salarial dessa empresa? Respostas: 1a) 12,5 1b) 9,86 2a) 3,6 2b)18,84 3) 562,82 4) 335 5) R$1.107,69

Xi Fi 17 3 18 18 19 17 20 8 21 4

Total

Xi Fi 2 1 3 4 4 3 5 2

Total

16

MEDIANA ( x~ ) 1º Caso: Dados não agrupados Os valores têm que ser colocados em ordem crescente. A mediana é o número que se encontra no centro de uma série de números, ou seja, divide a amostra em duas partes iguais. 1o exemplo – Caso ímpar Determine a mediana dos valores 5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16 e 9 Colocar os valores em ordem crescente: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18

Se n = 9 logo: ==+

=+

210

219

21n 5º elemento. Portanto, x~ = 10

2º exemplo – Caso par Determine a mediana dos valores 2, 6, 7, 10, 12, 13, 18 e 21

Se n = 8 logo: 5,42

182

1=

+=

+n º elemento

Perceba que a mediana está entre o 4º e o 5º elemento. Assim, temos que:

11222

21210~ ==

+=x

2º Caso: Dados agrupados sem intervalos Dada a amostra, determine a mediana dos valores 12, 14, 14, 15, 16, 16, 17, 20 e 20

Xi Fi Fac 12 1 1 14 2 3 15 1 4 16 2 6 17 1 7 20 2 9

Total 9

Construindo a coluna da freqüência acumulada (Fac) podemos localizar com facilidade o valor mediano. Assim, temos que:

==+

=+

=2

102

192

1~ nx 5º elemento.

Portanto a mediana será 16.

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3º Caso: Dados agrupados com intervalos Dada a tabela abaixo determine a mediana.

Amostra Fi Fac 03 |--- 06 2 2 06 |--- 09 5 7 09 |--- 12 8 15 12 |--- 15 3 18 15 |--- 18 1 19

19 Para o caso de dados agrupados com intervalos devemos seguir as seguintes etapas:

1º Passo: Calcula-se a ordem 2n

2º Passo: Pela Fac identifica-se a classe que contém a mediana (classe da x~ )

3º Passo: Utiliza-se a fórmula classe

ant

Fi

hFacn

lix×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 2~

Onde: il = limite inferior da classe da mediana n = tamanho da amostra

Facanterior = freqüência acumulada anterior à classe da mediana (ou soma dos valores de fi anteriores à classe da mediana)

h = amplitude da classe da mediana Ficlasse = freqüência da classe da mediana No exemplo da tabela anterior:

1º Passo: Calcula-se 2n . Com n = 19, temos

219 = 9,5º elemento

2º Passo: Identifica-se a classe da mediana pela Fac. Neste caso, a classe da mediana é a 3ª.

3º Passo: Aplica-se a fórmula =x~classe

ant

Fi

hFacn

li×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+ 2

93,9~38

75,99~ =⇒×−

+= xx

18

b)

xi fi 17 3 18 18 19 4 20 3 21 1

c) Notas Nº de alunos

2 5 5,5 2 7,5 6 9 3 10 1

Interpretação: 50% dos valores da série são valores menores ou iguais a 9,93 e 50% dos valores da série são valores maiores ou iguais a 9,93.

EXERCÍCIOS

1- Calcule a mediana das seqüências abaixo: a) 2, 5, 8, 10, 12, 15, 18, 20 b) 3, 4, 5, 7, 8, 10, 15 2 – Calcule a mediana das distribuições abaixo: a)

xi fi 2 5 4 20 5 10 6 10 8 2

3- Determine e interprete o valor mediano da distribuição a seguir que representa os salários de 23 funcionários selecionados em uma empresa:

Salários (R$) nº funcionários 200 I---- 400 2 400 I---- 600 6 600 I---- 800 10 800 I---- 1000 5

4- Uma loja de departamentos selecionou um grupo de 53 notas fiscais, durante um dia e obteve o quadro abaixo. Pede-se que determine e interprete o valor que representa a mediana.

Consumo nº notas 0 I---- 50 10

50 I---- 100 28 100 I---- 150 12 150 I---- 200 2 200 I---- 250 1

19

5- As notas abaixo representam as notas de Estatística em uma sala. Qual valor representa a mediana? Interprete esse valor.

Notas nº de alunos0 I--- 2 12 2 I---- 4 8 4 I---- 6 15 6 I---- 8 6

8 I---- 10 2 Respostas: 1) a) 11 b) 7 2) a) 4 b) 18 c) 7,5 3) 670 4) 79,46 5) 4,2

20

MEDIDAS SEPARATRIZES

Dado o problema: Na empresa Mercury Ltda foi observada a distribuição de funcionários do setor de vendas com relação ao salário semestral (baseado em comissões sobre vendas):

salário semestral (R$) n° de funcionários 1000 I--- 3000 5 3000 I--- 5000 15 5000 I--- 7000 8 7000 I--- 9000 2

Se a empresa divide os funcionários em quatro categorias, com relação ao salário temos:

- Os 25 % menos produtivos = categoria C; - Os 25% seguintes = categoria B; - Os 25% seguintes mais produtivos = categoria A - Os 25% restantes = categoria especial.

Quais são os salários limites das categorias acima? QUARTIS Divide a amostra em quatro partes iguais. Q1 Q2 Q3 I---------------I--------------I---------------I---------------I 0% 25% 50% 75% 100% Para determinar Q1:

1° Passo: Calcula-se 4in , onde i = 1, 2, 3 ou 4. No caso i = 1 pois desejamos

determinar Q1 2° Passo: Identifica-se a classe Q1 pela Fac

3° Passo: Aplica-se a fórmula classe

ant

Fi

hFacin

liQi×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 4

21

Para determinar Q2:

1º Passo: Calcular 4

2n

2º Passo: Identifica-se a classe Q2 pela coluna do Fac

3º Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, substituindo 4

24

nporin . Assim

teremos: classe

ant

Fi

hFacn

liQi×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 42

Para determinar Q3:

1° Passo: Calcula-se 4

3n

2° Passo: Identifica-se a classe Q3 pela Fac

3° Passo: Aplica-se a mesma fórmula anterior, apenas substituindo 4

34

nporin .

DECIS A amostra é dividida em 10 partes iguais. D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I----------I 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

1° Passo: Calcula-se 10in onde i representa o decil que se quer calcular, sendo i = 0,

1, 2, 3, ..., 9,10.

Exemplo: Se D4 então temos 104n

2° Passo: Identifica-se a classe Di pela coluna do Fac

3° Passo: Aplica-se a fórmula += liDiclasse

ant

Fi

hFacni×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

10.

22

PERCENTIS Divide a amostra em 100 partes iguais: P1 P2 P3 P4 P98 P99 I----------I----------I---------I--------I . . . I---------I-------I 0% 1% 2% 3% 4% 98% 99% 100%

1° Passo: Calcula-se 100in onde i representa o percentil que se quer calcular, sendo

i = 1, 2, 3, ..., 99, 100

Exemplo: Se P58 então temos 100

.58 n

2° Passo: Identifica-se a classe Pi pela coluna do Fac

3° Passo: Aplica-se a fórmula classe

ant

Fi

hFacni

liPi×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 100.

EXERCÍCIOS

1- A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústria:

nº de acidentes nº de dias 0 I--- 2 20 2 I--- 4 15 4 I--- 6 12 6 I--- 8 10 8 I--- 10 8

Calcule e interprete cada caso: a) Q1 b) Q3 c) P92 d) P48 e) D3 f) D7

23

2- A tabela abaixo representa o número de faltas anuais dos funcionários de uma empresa:

nº faltas nº empregados 0 I--- 2 20 2 I--- 4 125 4 I--- 6 53 6 I--- 8 40 8 I--- 10 14

Se a empresa decidir fornecer no final do ano uma cesta básica para 15% dos funcionários que menos faltas tiveram, qual a quantidade máxima de faltas para não perder a cesta básica? 3- A tabela abaixo representa a venda de livros didáticos em uma editora:

Preço(R$) nº livros comercializados 0 I---- 10 4000 10 I--- 20 13500 20 I--- 30 25600 30 I--- 40 43240 40 I--- 50 26800 50 I--- 60 1750

a) Se a editora fizer uma promoção com 25% dos livros de menor preço, qual o preço máximo do livro que entrará na promoção? b) No mês seguinte a editora fez uma promoção com 45% dos livros de preço mais baixo. Qual é o preço máximo do livro para entrar na promoção? c) Para fechar o mês, na última semana, a gerência da editora fez uma promoção com 20% dos livros de maior valor. A partir de qual valor os livros entraram na promoção? 4- A tabela abaixo representa os salários dos vendedores de uma empresa baseado em comissões:

Salários(R$) nº funcionários 200 I--- 400 6 400 I--- 600 10 600 I--- 800 24 800 I--- 1000 36 1000 I--- 1200 12 1200 I----1400 4

a) A empresa colocou uma meta extra para 5% dos vendedores que pior desempenho tiveram. Até que valor de vendas o funcionário receberá a meta de vendas? b) Para premiar os melhores vendedores, a empresa resolveu conceder um abono para 3% dos funcionários que tiveram melhor desempenho. A partir de que salário o funcionário receberá o abono?

24

RESPOSTAS 1) a)1,63 b) 6,35 c) 8,7 d) 3,49 e) 1,95 f) 5,75 2) Os funcionários que tiveram até 2,28 faltas (aproximadamente 3) receberão a cesta básica. 3)a) Os livros que custam até R$ 24,38 entrarão na promoção. b) Os livros que custam até R$ 31,99 entrarão na promoção. c) Os livros que custam a partir de R$ 42,08 entrarão na promoção. 4)a) Os vendedores que tiveram o valor de vendas até R$ 353,33 receberão a meta extra. b) Os vendedores que tiveram o valor de vendas a partir de R$ 1.262,00 receberão o abono.

25

Xi Fi 0 2 2 4 3 5 4 3 6 1

MODA 1º Caso: Dados não agrupados (Variável discreta) É o valor de maior freqüência em um conjunto de dados ou que aparece mais vezes.

• Primeiro exemplo: 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 12, 15 O elemento de maior freqüência é o 10, portanto Mo = 10 Assim chamamos esse caso de unimodal.

• Segundo exemplo: 3, 5, 8, 10, 12 e 13 Todos os elementos da série apresentam a mesma freqüência, logo a série é amodal, ou seja, não temos moda.

• Terceiro exemplo: 2, 2, 5, 5, 8, 9 Nesse caso temos duas modas, sendo: Mo = 2 e Mo = 5. Assim chamamos esse caso de bimodal. 2º Caso: Dados agrupados sem intervalos (Variável discreta) Basta identificar o elemento de maior freqüência. Exemplo: 3º Caso: Dados agrupados com intervalos (Variável contínua) Dada a tabela:

Amostra Fi0 I----- 10 110 I----- 20 320 I----- 30 630 I----- 40 2

1º Passo: Identifica-se a classe modal (aquela que possui maior freqüência)

2º Passo: Aplica-se a fórmula Mo = hli ×Δ+Δ

Δ+

21

1

Portanto: Mo = 3

26

Onde:

il = limite inferior da classe modal

1Δ = diferença entre a freqüência (Fi) da classe modal e a imediatamente anterior

2Δ = diferença entre a freqüência (Fi) da classe modal e a imediatamente posterior. h = amplitude da classe No exemplo da tabela anterior: 1º Passo: Indica-se a classe modal. No caso, trata-se da 3ª classe (maior Fi = 6)

2º Passo: Aplica-se a fórmula em que Mo = 24,29x1043

320 =+

+

EXERCÍCIOS

1- Calcule a moda para as séries abaixo: a) 2, 2, 3, 4, 5, 5, 5, 7 b) 3, 4, 4, 5, 9, 12, 12 2- Calcule a moda das distribuições abaixo: a) b) 3- A distribuição abaixo representa o consumo em kg de um produto colocado em oferta em um supermercado. Calcule a moda e interprete-a:

Consumo nº de clientes0 I---- 1 12 1 I---- 2 15 2 I---- 3 21 3 I---- 4 32 4 I---- 5 20

Xi Fi 17 3 18 18 19 17 20 8 21 4

Xi Fi 2 1 3 7 4 2 5 2

27

Vendas (R$) Fi 145 10 158 9 163 8 175 4 187 2

Salários (R$) nº funcionários200 I--- 400 15 400 I--- 600 12 600 I--- 800 8 800 I--- 1000 2 1000 I--- 1200 1

Estaturas (cm) Fi 150 I---- 158 5 158 I---- 166 12 166 I---- 174 18 174 I---- 182 27 182 I---- 190 8

4- A distribuição abaixo representa o número de acidentes de trabalho por dia em uma indústria Petroquímica, verificados durante um mês. Calcule e interprete a moda.

nº de acidentes nº de dias 0 I---- 2 20 2 I---- 4 6 4 I---- 6 3 6 I---- 8 1

5- A tabela abaixo representa os salários de determinada empresa. Determinar e interpretar o salário que representa a moda.

Salários (R$) nº de funcionários200 I---- 400 5 400 I---- 600 12 600 I---- 800 16 800 I---- 1000 3

RESPOSTAS 1)a) 5 b) 4 e 12 2)a) 3 b) 18 3) 3,48 4) 1,18 5) R$ 647,06

EXERCÍCIOS EXTRAS

1- Calcule a média aritmética e interprete das distribuições abaixo: a) b) c) 2- Calcule a moda e interprete para as tabelas acima. 3- Calcule a mediana e interprete para as tabelas acima. 4- Calcule a média aritmética e interprete para as tabelas abaixo: a) b)

Notas Fi 2 5 3 8 5 148 1010 7

Salários (R$) Fi 520 18780 31940 15

1.240 3 1.590 1

28

Notas nº alunos 0 I---- 2 5 2 I---- 4 8 4 I---- 6 14 6 I---- 8 10 8 I---- 10 7

Pesos (kg) Fi 145 I---- 151 10 151 I---- 157 9 157 I---- 163 8 163 I---- 169 5 169 I---- 175 3

c) d) 5- Calcule a mediana e interprete para as tabelas acima. 6- Calcule a moda e interprete para as tabelas acima. RESPOSTAS 1- a) 5,77 b) 778,68 c) 159,09 2- a) 5 b) 780 c) 145 3- a) 5 b) 780 c) 158 4- a) 500 b) 172,40 c) 5,27 d) 156,91 5- a) 466,67 b) 174 c) 5,29 d) 156 6- a) 366,67 b) 176,57 c) 5,20 d) 150,45

29

MEDIDAS DE DISPERSÃO

São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau de variabilidade de dispersão dos valores em torno da média. Servem para medir a representatividade da média. --------------------------I-----------------------------

x Exemplo: Sejam os números: a) 10, 1, 18, 20, 35, 3, 7, 15, 11, 10 b) 12, 13, 13, 14, 12, 14, 12, 14, 13, 13 c) 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13 Concluímos que todas possuem a mesma média 13. No entanto, são seqüências completamente distintas do ponto de vista da variabilidade de dados. DESVIO MÉDIO É a análise dos desvios em torno da média. Calculamos inicialmente a média da amostra. Em seguida identificamos a distância de cada elemento da amostra para sua média. Finalmente, calculamos o desvio médio através da fórmula:

xXidi −= , logo o desvio médio será dado por:

Dm = n

Fidi∑ ou então por Dm = n

FixXi∑ −

Exemplo: Dada a amostra calcule o desvio médio.

Xi (amostra) Fi XiFi xXidi −= .Fidi 5 4 20 0,83 3,32 7 3 21 2,83 8,49 2 5 10 2,17 10,85 3 4 12 1,17 4,68 6 2 12 1,83 3,66

Total 18 75 31

Cálculo da média: == ∑nXiFi

x 4,171875

=

30

Cálculo do desvio médio: Dm = =∑ndiFi

1,721831

=

DESVIO PADRÃO Serve para medir o afastamento dos dados com relação á média e que poderá ser expresso na sua forma percentual através do Coeficiente de Variação.

Xi Fi XiFi IdiI=Ixi- x I di2 di2.Fi 5 4 20 0,83 0,69 2,76 7 3 21 2,83 8,01 24,03 2 5 10 2,17 4,71 23,55 3 4 12 1,17 1,37 5,48 6 2 12 1,83 3,35 6,70 18 75 62,52

Desvio padrão amostral: S = 1

2

−∑

nFidi

92,168,317

52,62118

52,62===

−=

2° exemplo:

Classes Fi

2 I--- 4 2

4 I--- 6 4

6 I--- 8 5

8 I--- 10 4

10 I---12 3

31

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de concentração em torno da média (expresso em porcentagens)

CV = xS X 100

Temos: Baixa dispersão: CV < 10% Média dispersão: 10% < CV < 20% Alta dispersão: CV > 20%

EXERCÍCIOS

1-Calcule o desvio médio das séries abaixo: a)

Xi Fi 2 3 4 8 5 10 6 6 8 2 10 1

2 – Calcule o desvio padrão para as tabelas abaixo: a) Idade nº de alunos 17 3 18 18 19 17 20 8 21 4 Total

b) Salários nº de vendedores 70 I---- 120 8 120 I---- 170 28 170 I---- 220 54 220 I---- 270 32 270 I---- 320 12 320 I---- 370 6 total

b) Xi Fi 0 30 1 5 2 3 3 1 4 1 Total

32

3-Calcule o desvio padrão para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos. Valor notas nº de notas 0 I---- 50 10 50 I---- 100 28 100 I---- 150 12 150 I---- 200 2 200 I---- 250 1 250 I---- 300 1 total 4-Calcule o desvio padrão para a tabela abaixo: Alturas (cm) nº de alunos 150 I---- 160 2 160 I---- 170 15 170 I---- 180 18 180 I---- 190 18 190 I---- 200 16 200 I---- 210 1 Total 5-Qual das disciplinas abaixo apresentou maior dispersão? a) Matemática: média – 8,5 e desvio padrão – 2 Estatística: média – 9 e desvio padrão – 5 b) Cálculo: média 5 e desvio padrão – 2 Álgebra: média 8 e desvio padrão – 3 RESPOSTAS: 1) a)1,13 b) 45,20 2)a) 1,04 b) 0,93 3) 49,46 4) 11,89 5) a) Estatística b) Cálculo

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EXERCÍCIOS EXTRAS 1 – Determine a média, moda e mediana nos casos abaixo, interpretando-os: a) Amostra Fi 7 I---- 10 6 10 I---- 13 10 13 I---- 16 15 16 I---- 19 10 19 I---- 22 5 Total d) Amostra Fi 30 I---- 40 10 40 I---- 50 20 50 I---- 60 35 60 I---- 70 25 70 I---- 80 10 Total 2 – Calcule o desvio médio, o desvio padrão e o coeficiente de variação para as tabelas acima, interpretando-as. Respostas: Exercício 1: a) média: 14,37 moda:14,5 mediana:14,40 b) média:6,83 moda:6,20 mediana:6,63 c) média:20,36 moda:20,18 mediana:20,35 d) média:55,5 moda:56 mediana:55,71 e) média:66,5 moda:67 mediana:66,43 Exercício 2: a) desvio médio:2,78 desvio padrão: 3,58 CV:24,91 b) desvio médio:2,43 desvio padrão: 2,95 CV:43,19 c) desvio médio:3,94 desvio padrão:4,89 CV:24,02 d) desvio médio:8,65 desvio padrão:11,23 CV:20,23 e) desvio médio:8,85 desvio padrão:10,67 CV:16,05

b) Amostra Fi 1 I---- 3 3 3 I---- 5 5 5 I--- 7 8 7 I---- 9 6 9 I---- 11 4 11 I---- 13 3 Total

c) Idade nº pessoas 10 I---- 14 15 14 I---- 18 28 18 I---- 22 40 22 I---- 26 30 26 I---- 30 20 Total

e) Amostra fi 45 I---- 55 15 55 I---- 65 30 65 I---- 75 35 75 I---- 85 15 85 I---- 95 5 Total

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SEGUNDA PARTE CURVAS DE PROBABILIDADES

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL1

Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos, um dos quais é considerado como sucesso e o outro insucesso. Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condições. As provas repetidas devem ser independentes, isto é, o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas. No decorrer do experimento, a probabilidade p do sucesso e a probabilidade de q (q = 1 - p) do insucesso, manter-se-ão constantes. Resolveremos problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter x sucessos em n tentativas. Nessas condições X é uma variável aleatória discreta que segue uma distribuição binomial.

Fórmula: P(x) = xnq.xp.xn −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

ou seja: P(X=x) = xnx qpxnx

n −

−..

)!(!!

P(x) = é a probabilidade de que o evento se realize x vezes em n provas. n = número de vezes que o experimento aleatório é repetido x = número de sucessos em n tentativas p = é a probabilidade de que o evento se realize em uma só prova = sucesso. q = é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso dessa prova = insucesso. n

x é o coeficiente binomial de n sobre x, igual a )!(!

!xnx

n−

OBS: O nome binomial é devido à fórmula, pois representa o termo geral do desenvolvimento do binômio de Newton. 1 Profa.Roseli Nunes

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Exemplo: 1- Um levantamento efetuado na carteira de uma agência bancária indicou que 50% são pagos com atraso. Se em determinado dia foram pagos 5 títulos da carteira, determine a probabilidade de que exatamente 3 títulos sejam pagos em atraso. Temos que: n = 5 x = 3 p = 50% (0,5) q = 50% (0,5)

%25,3125,0125,0105,05,0)!35(!3

!5)3( 353 ==−

== − xxxxxP

EXERCÍCIOS 1- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos. (8,23%) 2- Um exame do tipo teste é constituído de 10 questões do tipo certo e errado. Se um estudante responde as questões ao acaso, qual a probabilidade de que ele acerte 5 questões? (24,61%) 3- Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade do time A: a) ganhar dois ou três jogos; (54,87%) b) ganhar pelo menos um jogo; (91,22%) 4- A probabilidade de um atirador acertar o alvo é 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidade de acertar exatamente 2 tiros? (16,46%) 5- Seis parafusos são escolhidos ao acaso da produção de certa máquina, que apresenta 10% de peças defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles? (9,84%) 6- Num hospital 5 (cinco) pacientes devem submeter-se a um tipo de operação, da qual 80% sobrevivem. Qual a probabilidade de que todos os pacientes sobrevivam? (32,77%) 7- Se 30% das canetas de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que numa amostra de 10 canetas, escolhidas ao acaso, desta mesma marca tenhamos nenhuma caneta defeituosa. (2,82%) 8- Sabe-se que a probabilidade de um estudante que entra na Universidade de se formar é 0,3. Determine a probabilidade de que entre 6 estudantes escolhidos aleatoriamente, 1(um) se forme. (30,25%)

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9- Uma moeda é jogada 10 vezes. Calcular as seguintes probabilidades: a) de ocorrer 6 caras. (20,51%) b) de dar pelo menos 2 caras. (98,92%) c) de não dar nenhuma coroa. (0,098%) 10- Se 3% das calculadoras de certa marca são defeituosas, achar a probabilidade de que numa amostra de 10 calculadoras escolhidas ao acaso seja encontrada: a) Nenhuma defeituosa. (73,74%) b) 5 canetas defeituosas. (0,0005%) c) Pelo menos 2 defeituosas. (3,45%) d) No máximo 3 defeituosas. (99,95%) 11- Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. Encontre a probabilidade de: a) pelo menos 1 cara; (99,6%) b) no máximo 2 caras. (14,46%)

EXERCÍCIOS EXTRAS 1- Um estudante tem probabilidade p = 0,8 de acertar cada problema que tenha que resolver. Numa prova de 8 problemas, qual a probabilidade de que ele acerte exatamente 6. (R: 29,36%) 2- Uma pessoa tem probabilidade 0,2 de acertar num alvo toda vez que atira, Supondo que as vezes que ele atira, são ensaios independentes, qual a probabilidade dele acertar no alvo exatamente 4 vezes, se ele dá 8 tiros? (R: 4,6%) 3- A probabilidade de que um homem de 45 anos sobreviva mais 20 anos é 0,6. De um grupo de 5 homens, com 45 anos qual a probabilidade de que exatamente 4 cheguem aos 65 anos? (R: 25,9%) 4- Um exame consta de 10 questões tipo certo ou errado. Se o aluno “chutar” todas as respostas, qual a probabilidade dele acertar exatamente 5 questões? (R: 24,61%) 5- Na manufatura de certo artigo, sabe-se que 10% do total produzido apresenta defeito. Qual a probabilidade de que uma amostra casual de tamanho 4 contenha: a) nenhum defeituoso? (65,61%) b) exatamente um defeituoso? (29,16%) c) no máximo um defeituoso? (94,77%) 6- Uma universidade descobriu que 20% de seus estudantes retiram-se sem completar o primeiro ano. Considere que 20 estudantes tenham se matriculado este semestre. a) Qual a probabilidade de que pelo menos 2 se retirem? (93,08%) b) Qual a probabilidade de que no máximo 5 se retirem? (80,42%)

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7- Os registros de uma empresa indicam que 30% das faturas expedidas são pagas após o vencimento. De 10 faturas emitidas, qual a probabilidade de: a) exatamente 3 serem pagas com atraso? (26,68%) b) no máximo 2 serem pagas com atraso? (38,28%) c) pelo menos 3 serem pagas com atraso? (61,72%) 8- Uma pequena loja aceita cheques para pagamento de compras e sabe que 12% dos cheques apresentam algum tipo de problema (falta de fundos, roubado, etc).Se numa determinada semana ela recebeu 15 cheques, qual a probabilidade de que todos os cheques sejam bons? (14,70%)

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DISTRIBUIÇÃO NORMAL Entre as distribuições teóricas de variável aleatória contínua, uma das mais empregadas é a distribuição Normal. Muitas das variáveis analisadas na pesquisa sócio-econômica correspondem à distribuição normal ou dela se aproximam. Fórmula:

Z = S

XX −

Propriedades da distribuição normal: 1ª - A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real. 2ª - A representação gráfica da distribuição normal é uma curva em forma de sino, simétrica em torno da média, que recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 3ª - A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a variável aleatória X assumir qualquer valor real. 4ª - A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcançá-lo. 5ª - Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade de ocorrer valor maior que a média é igual à probabilidade de ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as probabilidades são iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade. Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição normal, nosso principal interesse é obter a probabilidade de essa variável aleatória assumir um valor em um determinado intervalo. Vejamos com proceder, por meio de um exemplo concreto.

39

Exemplo: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Vamos supor que essa variável tenha distribuição normal com média = 2 cm e desvio padrão = 0,04 cm. Qual a probabilidade de um parafuso ter o diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm ? P ( 2 < X < 2,05) = ? Com o auxílio de uma distribuição normal reduzida, isto é, uma distribuição normal de média = 0 e desvio padrão = 1. Resolveremos o problema através da variável z , onde z = (X -μ ) / σ Utilizaremos também uma tabela normal reduzida, que nos dá a probabilidade de z tomar qualquer valor entre a média 0 e um dado valor z, isto é: P ( 0 < Z < z) No nosso problema queremos calcular P(2 < X < 2,05). Para obter essa probabilidade, precisamos, em primeiro lugar, calcular o valor de z que corresponde a x = 2,05. z = (2,05 - 2) / 0,04 = 1,25 UTILIZAÇÃO DA TABELA Z Procuremos, agora, na tabela Z o valor de z = 1,25. Na primeira coluna encontramos o valor até uma casa decimal = 1,2. Em seguida, encontramos, na primeira linha, o valor 5, que corresponde ao último algarismo do número 1,25. Na intersecção da linha e coluna correspondentes encontramos o valor 0,3944, o que nos permite escrever: P (0 < Z < 1,25 ) = 0,3944 ou 39,44 %, assim a probabilidade de um certo parafuso apresentar um diâmetro entre a média = 2cm e x = 2,05 cm é de 39,44 %.

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EXERCÍCIOS 1- Determine as probabilidades: a) P(-1,25 < Z < 0) = b) P(-0,5 < Z < 1,48) = c) P(0,8 < Z < 1,23) = d) P(-1,25 < Z < -1,20) = e) P( Z < 0,92) = f) P(Z > 0,6) = 2- Os salários dos executivos são distribuídos normalmente, em torno da média R$

10.000,00, com desvio padrão de R$ 800,00. Calcule a probabilidade de um executivo ter o salário situado entre R$ 9.800,00 e R$ 10.400,00. (29,02%)

3- Um teste padronizado de escolaridade tem distribuição normal com média = 100

e desvio padrão = 10. Determine a probabilidade de um aluno submetido ao teste ter nota:

a) maior que 120 (2,28%) b) maior que 80 (97,72%) c) entre 85 e 115 (86,64%) d) maior que 100 (50%) 4) As alturas dos alunos de determinada escola são normalmente distribuídas com

média de 1,60m e desvio-padrão 0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno medir:

a) entre 1,50 e 1,80 m; (37,47%) b) mais de 1,75 m; (30,85%) c) menos de 1,48 m; (34,46%) 5) Faça Z uma variável com distribuição normal padronizada e encontre (use a tabela): a. P (0 ≤ Z ≤ 1,44) (42,51%) b. P (-0,85 < Z < 0)(30,23%)

c. P (-1,48 < Z < 2,05)(91,04%)

d. P (0,72 < Z < 1,89) (20,64%) e. P (Z ≥ 1,08) (14,01%) f. P (Z ≥ -0,66) (74,54%) 6) A duração de um certo componente eletrônico tem em média 850 dias e desvio-padrão de 45 dias. Calcular a probabilidade desses componentes durar: a) entre 700 e 1000 dias (99,92%) b) mais que 800 dias (86,65%) c) menos que 750 dias (1,32%)

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7) Uma fábrica de pneumáticos fez um teste para medir o desgaste de seus pneus e verificou que ele obedecia a uma distribuição normal, de média 48000 km e desvio-padrão 2000 km. Calcular a probabilidade de um pneu escolhido ao acaso: a) durar mais que 46000 km (84,13%) b) dure entre 45000 e 50000 km (77,45%) 8) O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de uma média de R$ 180,00 com desvio-padrão de R$ 25,00. Pede-se: a) encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$ 150,00 e R$ 178,00. (35,30%) b) encontre a probabilidade de um operário ter o salário semanal maior que R$200,00. (21,19%) c) encontre a probabilidade de um operário ter o salário semanal menor que R$140,00. (5,48%)

DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Na distribuição binomial, a variável definida era o número de sucessos em um certo intervalo (repetição do experimento). Entretanto, em muitas situações, poderemos estar interessados no número de sucessos em um certo intervalo (tempo, comprimento, superfície, etc) ou então o n (tamanho da amostra) se torna muito grande. Exemplo: a) Número de defeitos por metro em determinado tecido. b) Número de defeitos na impressão de certo livro. c) Número de pessoas que chegam ao caixa de um supermercado no intervalo de tempo de 3 minutos. d) Número de carros que passam por um pedágio no intervalo de 30 minutos, etc.

P(X = x) = !!

)(x

ex

npe xxnp λλ ×=

× −−

onde n.p = λ - representa o nº médio de eventos ocorrendo no intervalo considerado P(X = x) – é a probabilidade de ocorrência do evento desejado x = nº de sucessos e = base do logaritmo natural (2.718281...)

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Exemplo: Um posto telefônico recebe em média, 10 chamadas por minuto. Pede-se: a) Qual a probabilidade de não ocorrer nenhuma chamada em 1 minuto? b) Qual a probabilidade de ocorrer 1 chamada em meio minuto?

EXERCÍCIOS 1 – Uma loja atende em média 2 clientes por hora. Calcular a probabilidade de em uma hora: a) atender 2 clientes (27,07%) b) atender 3 clientes (18,04%) 2 – Suponha que 2% dos itens produzidos por uma fábrica sejam defeituosos. Encontre a probabilidade de existirem 3 defeituosos em uma amostra de 100.(18,04%) 3 – Certo posto de bombeiros recebe em média 3 chamadas por dia. Calcular a probabilidade de receber 4 chamadas num dia. (16,80%) 4 – Suponha que haja em média 2 suicídios por ano numa população de 50.000 hab. Em uma cidade de 100.000 hab, encontre a probabilidade de que em um dado ano tenha havido: a) 0 suicídio (1,83%) b) 1 suicídio (7,32%) c) 2 suicídios (14,65%) 5 – Sabendo-se que a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa à injeção de determinado soro é 0,001, determine a probabilidade de que, em 3000 indivíduos, exatamente dois acusem reação negativa (22,40%).

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6 – Supondo que o nº de carros que chegam a uma fila de guichê de um pedágio possua distribuição de Poisson a uma taxa de 3 carros por minuto, determine a probabilidade de chegarem 4 carros nos próximos 2 minutos. (13,39%)

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TABELA - PROBABILIDADE (ÁREAS) DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2518 0,2549 0,7 0,2580 0,2612 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4014 1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4766 0,4761 0,4767 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4936 2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981 2,9 0,4981 0,4982 0,4983 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993 3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995 3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,499 Exemplo: Para z = 1,96 a área sombreada é 0,4750 da área total de 1,0000

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EXERCÍCIOS DE REVISÃO - ESTATÍSTICA

1) A tabela abaixo demonstra o valor gasto por clientes numa certa loja:

Valor gasto Fi Fac fi (%) 0,00 |-- 20,00 10

20,00 |-- 40,00 25

40,00 |-- 60,00 42

Sendo assim, determine na tabela: a) A freqüência acumulada de todas as classes. b) A freqüência relativa em porcentagem. 2) Considere as notas de um teste de inteligência aplicado a 28 alunos:

Amostra Fi Fac fi (%) 64 |---- 69 5

69 |---- 74 6

74 |---- 79 9

79 |---- 84 8

Sendo assim, determine na tabela: a) A freqüência acumulada de todas as classes. b) A freqüência relativa em porcentagem. 3) A tabela abaixo demonstra o valor gasto por clientes numa certa loja:

Valor gasto Fi Fac fi (%) 0,00 |-- 20,00 22

20,00 |-- 40,00 47

40,00 |-- 60,00 66

60,00 |-- 80,00 35

Sendo assim, determine na tabela: a) A freqüência acumulada de todas as classes. b) A freqüência relativa em porcentagem.

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4) Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 40 revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados: 6 7 9 10 12 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 19 19 20 2020 20 21 21 21 22 22 23 24 25 25 26 26 28 28 30 32 32 35 39 Sendo assim: a) Determine a amplitude total b) Determine o número de classes (dado log 40 ≅ 1,6) c) Calcule a amplitude das classes d) Determine as classes Repostas: a) R = 33 b) K ~ 7 c) h ~ 5 5) Uma empresa automobilística selecionou ao acaso, uma amostra de 37 revendedores autorizados em todo o Brasil e anotou em determinado mês o número de unidades adquiridas por estes revendedores. Obteve os seguintes dados: 10 12 14 15 15 15 16 16 17 18 18 18 18 19 19 20 2020 20 21 21 21 22 22 23 24 25 25 26 26 28 28 30 32 32 35 39 Sendo assim: a) Determine a amplitude total b) Determine o número de classes (dado log 37 ≅ 1,55) c) Calcule a amplitude das classes d) Determine as classes Repostas: a) R = 29 b) K ~ 6 c) h ~ 5 6) Observe a tabela abaixo: 15 20 20 20 20 23 23 23 23 24 25 25 30 30 35 35 35 40 40 4050 50 50 50 50 55 56 56 56 56 60 60 60 60 60 60 62 62 62 6262 62 63 63 63 64 65 65 65 67 68 69 70 70 70 70 70 75 75 75 Sendo assim: a) Determine a amplitude total b) Determine o número de classes (dado log 60 ≅ 1,77) c) Calcule a amplitude das classes d) Determine as classes Repostas: a) R = 60 b) K ~ 7 c) h ~ 9

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7) Determine a mediana da distribuição a seguir que representa os salários de 23 funcionários selecionados em uma empresa:

Salários (R$) Número de funcionários 200 |-- 400 2

400 |-- 600 6

600 |-- 800 10

800 |-- 1000 5

Resposta: Mediana = 670 8) Dada a distribuição amostral, calcule a moda: Tempo (min) Freqüência 40 |-- 50 8

50 |-- 60 44

60 |-- 70 23

Resposta: Moda = 56,31 9) Calcule a média da distribuição amostral: Classe Fi

45 |-- 55 12

55 |-- 65 18

65 |-- 75 14

75 |-- 85 6

Resposta: Média = 62,8

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10) Calcule a média da distribuição amostral: Classe Fi

45 |-- 55 10

55 |-- 65 15

65 |-- 75 12

75 |-- 85 7

Resposta: Média = 63,63 11) Dada a distribuição amostral, calcule a moda: Tempo (min) Freqüência 50 |-- 60 8

60 |-- 70 33

70 |-- 80 23

Resposta: Moda = 67,14 12) Dada a distribuição amostral, calcule a moda: Classe Freqüência 150 |-- 250 30

250 |-- 350 100

350 |-- 450 50

Resposta: Moda = 308,33

49

13) Calcule P45 para as médias finais de uma determinada sala que obteve as seguintes pontuações em Métodos Quantitativos:

Médias Quantidade de alunos

10 |-- 24 44

25 |-- 39 70

40 |-- 54 92

55 |-- 69 147

Resposta: P45 = 46,72 14) Calcule P70 para as médias finais de uma determinada sala que obteve as seguintes pontuações em Métodos Quantitativos:

Médias Quantidade de alunos

10 |-- 24 44

25 |-- 39 70

40 |-- 54 92

55 |-- 69 147

70 |-- 84 115

85 |-- 99 32

Resposta: P70 = 68,58

50

15) Os visitantes de um determinado parque consideram uma erupção de um gêiser uma atração imperdível. A tabela de freqüências resume os intervalos de tempos (em minutos) entre as erupções: Tempo (min) Freqüência

40 |-- 50 8

50 |-- 60 44

60 |-- 70 23

a) a média b) o desvio padrão c) o coeficiente de variação, respondendo se essa distribuição apresenta uma baixa, média ou alta dispersão. Resposta: a) 57 b) 6,15 c) 10,78% Média dispersão 16) Os visitantes de um determinado parque consideram uma erupção de um gêiser uma atração imperdível. A tabela de freqüências resume os intervalos de tempos (em minutos) entre as erupções:

Tempo (min) Freqüência

40 |-- 50 10

50 |-- 60 50

60 |-- 70 30

a) a média b) o desvio padrão c) o coeficiente de variação, respondendo se essa distribuição apresenta uma baixa, média ou alta dispersão. Resposta: a) 57,22 b) 6,31 c) 11,02% Média dispersão

51

MAIS E MAIS EXERCÍCIOS - ESTATÍSTICA

(Sem respostas) 1) Dado o rol de 50 notas, faça o que se pede: 33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97 a) Determine a amplitude total b) Determine o número de classes (dado log 50 ~ 1,69) c) Calcule a amplitude de cada classe d) Construa a tabela de distribuição de freqüência. 2) As notas de 32 alunos estão relacionadas a seguir: 6,0 0,0 2,0 6,5 5,0 3,5 4,0 7,0 8,0 7,0 8,5 6,0 4,5 0,0 6,5 6,0 2,0 5,0 5,5 5,0 7,0 1,5 5,0 5,0 4,0 4,5 4,0 1,0 5,5 3,5 2,5 4,5 Sendo assim: a) Determine a amplitude total b) Determine o número de classes (dado log 32 ~ 1,50) c) Calcule a amplitude de cada classe d) Construa a tabela de distribuição de freqüência. 3) A tabela abaixo demonstra o valor gasto por clientes numa certa loja: Valor gasto Fi Fac fi (%) 0,00 |-- 19,99 24

20,00 |-- 39,99 32

40,00 |-- 59,99 43

60,00 |-- 79,99 35

Sendo assim, determine: a) A freqüência acumulada de todas as classes (complete a tabela). b) A freqüência relativa em porcentagem (complete a tabela utilizando apenas duas casas decimais).

52

4) A tabela abaixo demonstra o valor gasto por clientes numa certa loja: Valor gasto Fi Fac fi (%) 2 |-- 4 5

4 |-- 6 10

6 |-- 8 14

8 |-- 10 8

10 |-- 12 3

Sendo assim, determine: a) A freqüência acumulada de todas as classes (complete a tabela). b) A freqüência relativa em porcentagem (complete a tabela utilizando apenas duas casas decimais). 5) Dada a distribuição amostral, calcule a mediana: Classe Fi 35 |-- 45 5

45 |-- 55 12

55 |-- 65 18

65 |-- 75 14

75 |-- 85 6

85 |-- 95 3

6) Dada a distribuição amostral, calcule a moda: Classe Fi 0 |-- 1 3

1 |-- 2 10

2 |-- 3 17

3 |-- 4 8

4 |-- 5 5

53

7) Vinte reuniões de um clube de dança tiveram as seguintes freqüências de seus membros: 26 25 28 23 25 25 25 21 23 26 28 26 24 32 25 27 25 23 24 22 Sendo assim, determine a moda. 8) Calcule P50 para as médias finais de uma determinada sala que obteve as seguintes pontuações em Métodos Quantitativos:

Médias Quantidade de alunos

10 |-- 24 44

25 |-- 39 70

40 |-- 54 92

55 |-- 69 147

70 |-- 84 115

85 |-- 99 32

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FORMULÁRIO:

nFi.Xix Σ

= h.Fi

Fac100

n.i

liPiclasse

ant ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+= 2

liLiXi += fi = 100.

nFi

k ≅ 1 + 3,22 . log n h ≅ kR

h.Fi

Fac2n

lix~classe

ant ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

h = Li – li h.lMo21

1i Δ+Δ

Δ+=

1Δ = diferença entre a freqüência (Fi) da classe modal e a imediatamente anterior.

2Δ = diferença entre a freqüência (Fi) da classe modal e a imediatamente posterior. R = diferença entre o maior e menor número observado no Rol

S = 1nFidi2

−∑ CV = 100.

xS

Baixa dispersão: CV ≤ 10%

Média dispersão: 10% < CV < 20% di = xXi − Alta dispersão: CV ≥ 20%

P(X=x) = xnx qpxnx

n −

−..

)!(!! Z =

σμ−x

BIBLIOGRAFIA: CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil, Ed. Saraiva, 1999 BUSSAB, Wilton de Ol., MORETTIN, Pedro A. Estatística Básica. Ed. Saraiva, 2002 PEREIRA, Wilson., TANAKA, Oswaldo K. Estatística – Conceitos Básicos , Makron Books, 1990 JAIRO, Simon da Fonseca, MARTINS, Gilberto de Andrade, Curso de Estatística, Ed. Atlas, 1996 MEDEIROS, Estatística para os Cursos de Economia, Administração, Ciências Contábeis, Ed. Atlas, Volumes 1 e 2, 1999