material de apoio exercicios resolvidos

8/19/2019 Material de Apoio Exercicios Resolvidos

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MATERIAL DE APOIO

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

PESQUISA OPERACIONAL

Prof. Alexandre Lima Marques da Silva

Maceió, outubro de 2009.

U!"#$S!%A%# %#$AL %# ALA'(AS ) U&AL&A*UL%A%# %# #*((M!A, A%M!!S+$A-( # *(+A!L!%A%# / A**U$S( %# A%M!!S+$A-( A %!S+*!A / A%M)#A%


2/28

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1: CONSTRUÇÃO DE MODELOS 03CAPÍTULO 2: MÉTODO GRÁFICO 06

CAPÍTULO 3: MÉTODO SIMPLEX 11CAPÍTULO : PRO!LEMA DOS TRANSPORTES 20REFER"NCIAS 2#

2


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CAPÍTULO 1

CONSTRUÇÃO DE MODELOS


1


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. *erta em3resa fabrica dois 3rodutos P e P2. ( lucro unit4rio do 3roduto P 5 de $6

.000,00 e o lucro unit4rio de P2 5 $6 .700. A em3resa 3recisa de 20 8oras 3ara

fabricar uma unidade de P e de 10 8oras 3ara fabricar uma unidade de P2. ( tem3o

anual de 3rodu:o dis3on;vel 3ara isso 5 de 2008oras. A demanda es3erada 3ara

cada 3roduto 5 de etiva Maximi?ar o lucro.

S$%&'($:

P@ Lucro / $6 .000,00

+em3o de 3rodu:o P@ 20 8oras

P2@ Lucro / $6 .700,00

+em3o de 3rodu:o P2@ 10 8oras

+em3o %is3on;vel de Produ:o@ 2008oras%emanda #s3erada P@


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$estriBes@

20x C 10 ≤ .200

x ≤


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CAPÍTULO 2

MÉTODO GRÁFICO


2. $esolva 3elo M5todo 'r4fico o se=uinte modelo de Pro=rama:o Linear@

D


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M ; 3 5 8

Su>eito a@

≥≤≤

≤+

0,

HI<

HI<

HID

y x

III y

II x

I y x

aH S$%&'($ 01: C$$4,)< $) P,4.a, a 4rea onde est4 a solu:o ótima do 3roblema de Maximi?a:o.

#sta 4rea define F v5rtices, cu>as coordenadas s:o@

• AI0,0H

• I0,


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D,B.).'($ S$%&'($ -. $ P4$*%,:

"amos verificar em qual v5rtice a &un:o (b>etivo atin=e o seu maior valor@

Max J K 1x C


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22 M.) ; 2 5 38

Su>eito a@

≥≤

≥+≥+

0,

7

20FF

y x

x

y x

y x

S$%&'($ 01: C$$4,)< $) P,4.a, a 4rea onde est4 a solu:o ótima do 3roblema de Minimi?a:o.

#sta 4rea define 1 v5rtices 3oss;veis 3ara a solu:o, cu>as coordenadas s:o@

• AI0,0H

• / !nterse:o das retas@

=+

=+

20F

F

y x

y x

Lo=o@


10/28

"amos verificar em qual v5rtice a &un:o (b>etivo atin=e o seu menor valor@

Min J K 2x C 1

JA K 2I0H C 1I0H K 10

J K 2IFGetivo interce3tar

ser4 o 3onto que re3resentar4 a solu:o ótima do 3roblema.

S:o re3resentadas duas retas da &un:o (b>etivo@

A 3rimeira adotando J K D, resulta x K 1 e K 2.

A se=unda adotando J K 0, resulta x K F e K 0G1.

Percebemos de forma clara que o 3rimeiro 3onto que 5 interce3tado 3ela &un:o (b>etivo 5 o

3onto *, que conforme o crit5rio anterior de fato re3resenta a solu:o ótima do 3roblema de

minimi?a:o.

0


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CAPÍTULO 3

MÉTODO SIMPLEX


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1. A 3artir do M-$$ S.=%, determine a solu:o dos se=uintes 3roblemas de Pro=rama:o

Linear.

M..4 L ; eito a@


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0 < 0 11D &0 D 1 0 2F2 &2

A 3artir do tableau 3odemos 3erceber que esse valor 5 )F. Portanto, a vari4vel dever4 entrar

na base. Lo=o temos que definir entre & e &2 quem vai sair da base. A coluna da vari4vel

que vai entrar na base 5 caracteri?ada 3or coluna)3iv.

$ P


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)< )F 0 0 0 Lin8a J0


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0 0 )G0 G10 2DGF Q

• +ransformar os demais elementos da coluna)3iv em ?ero.

ova lin8a J@ Multi3licar a lin8a x 3or 7G e somar o resultado obtido com a lin8a ?

ova lin8a N@ Multi3licar a lin8a x 3or )


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J Q N & &2 &1 L% ase )< )1 0 0 0 0 Lin8a J0 1 2 0 0 F &0 2 0 0 7 &20 0 0 0 D &1

este 3rimeiro tableau temos &, &2 e &1 na base, assumindo os valores F, 7 e D,res3ectivamente. *omo as vari4veis x e est:o fora da base os seus valores s:o 0.

*omo na Lin8a J temos elementos ne=ativos o tableau ainda n:o re3resenta a solu:o ótima.

Portanto, al=uma vari4vel tem que entrar na base e, conseqOentemente, outra vari4vel tem que

sair.

3$ P


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(bserva:o@ essa divis:o n:o 3odemos ter nmero ne=ativo como resultado ou divis:o 3or

?ero, conforme temos com o c4lculo da vari4vel &1.

@$ P4 temos o nmero ?ero n:o 3recisamos fa?er

nen8uma o3era:o.

J Q N & &2 &1 L% ase 0 ) 0 2 0 D Lin8a J0 0 G2 )1G2 0 1 &0 G2 0 G2 0 < Q0 0 0 0 D &1

#sse 5 o novo tableau que 3oder4 ou n:o re3resentar a solu:o ótima.


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7$ P


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mais a 3resena de elementos ne=ativos na lin8a J. Portanto a solu:o do 3roblema

de Pro=rama:o Linear 5 a se=uinte@

; 22 V%$4 .$

X ; 1

; 6

F1 ; 0

F2 ; F3 ; 0 V4./,.< B$4 *


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CAPÍTULO

O PRO!LEMA DOS TRANSPORTES



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cada de3ósito 3ara bairro vamos considerar as se=uintes vari4veis@

D,


22/28

D,=


23/28

% %2 %1 Su3rim.( )))

IH

)))

I7H

F

I


24/28

0 0

% %2 %1( )))

IH

)))

I7H

F

I


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O*


26/28

F*4.9 0 )))I0H

)))I0H

)))I0H

10I0H 0

D,) 20 0 F00

D0

C%9&%$ < P,)%.,<

CD 01 CD 02 CD 03 CD 0 C=9., P,)%.,F*4.9 01 IFH I1H )))

I0H

I7H


27/28

I0H I0H I0H I0H 0D,) 20 20 0 D0

P,)%., 1 7 )))C%&% , A%$9'($: &%2

CD 01 CD 02 CD 03 CD 0 C=9.,F*4.9 01 IFH 20

I1H)))

I0HI7H


28/28

Q&4$ F.)%

CD 01 CD 02 CD 03 CD 0F*4.9 01 20

IFH

20

I1H

)))

I0H

I7H

F*4.9 02 )))

IFH

F0

I2H

F0

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