material de apoio: análise matemática - 2º semestre

Professor Cícero José – Uniban 2011

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CAPÍTULO IV Séries – Contexto Histórico

Zenão de Eléa (490 – 425 a.C.) escreveu um livro com 40 paradoxos1 relativos ao contínuo e ao

infinito. Pelo menos quatro dos paradoxos influenciaram o desenvolvimento da matemática para

explicar os fenômenos relevantes. Infelizmente, o livro não sobreviveu até os tempos modernos, assim

conhecemos estes paradoxos a partir de outras fontes. Os paradoxos de Zenão sobre o movimento

desconcertaram matemáticos por séculos. No final eles envolvem a soma de um número infinito de

termos positivos a um número finito, o qual é a essência da convergência de uma série infinita de

números. Vários matemáticos contribuíram para o entendimento das propriedades de sequências e

séries. Este ensaio destaca as contribuições de alguns daqueles matemáticos que estudaram sequências

e séries.

Um destes paradoxos é o de Aquiles e a tartaruga. Aquiles, o herói grego, e a tartaruga decidem

apostar uma corrida de 100m. Como Aquiles é 10 vezes mais rápido que a tartaruga, esta recebe a

vantagem de começar a corrida 80m na frente da linha de largada.

No intervalo de tempo em que Aquiles percorre os 80m que o separam da Tartaruga, esta

percorre 8m e continua na frente de Aquiles.

No intervalo de tempo em que ele percorre mais 8m, a tartaruga já anda mais 0,8m... Dessa

forma, não importa quanto tempo se passe, Aquiles nunca alcançará a tartaruga.

A solução clássica para esse paradoxo envolve a utilização do conceito de limite e convergência

de séries numéricas.

O paradoxo surge ao supor intuitivamente que a soma de infinitos intervalos de tempo é infinita,

de tal forma que seria necessário passar um tempo infinito para Aquiles alcançar a tartaruga.

No entanto, os infinitos intervalos de tempo descritos no paradoxo formam uma progressão

geométrica e sua soma converge para um valor finito, em que Aquiles encontra a tartaruga. Na nossa

simbologia, temos: n

i = 1

1 1 11 + + + ... = 1 + n10 100 10� .

Zenão não foi o único matemático da Antiguidade a trabalhar com sequências. Vários dos

matemáticos gregos da Antiguidade usaram seu método de exaustão (um argumento sequencial) para

mediar áreas de figuras e regiões. Usando sua técnica refinada de raciocínio chamada de “método”,

Arquimedes (287 – 212 a.C.) alcançou vários resultados importantes envolvendo áreas e volumes de

várias figuras e sólidos. Na verdade, ele construiu vários exemplos e tentou explicar como somas

1 Um paradoxo é uma declaração aparentemente verdadeira que leva a uma contradição lógica, ou a uma situação que contradiz a intuição comum. Em termos simples, um paradoxo é "o oposto do que alguém pensa ser a verdade". A identificação de um paradoxo baseado em conceitos aparentemente simples e racionais tem, por vezes, auxiliado significativamente o progresso da ciência, filosofia e matemática.


2

infinitas poderiam ter resultados finitos. Dentre seus vários resultados estavam que a área sob um arco

parabólico é sempre dois terços da base vezes a altura. Seu trabalho não foi tão completo ou rigoroso,

como alguns matemáticos que vieram depois dele e desenvolveram sequências e séries como Newton e

Leibniz, mas foi tão impressionante quanto. Embora Arquimedes tenha sido obstruído pela falta de

precisão e notação eficiente, foi capaz de descobrir muitos dos elementos da análise moderna de

sequências e séries.

O próximo contribuinte importante para esta área da matemática foi Fibonacci (1170 – 1240). Ele

descobriu uma sequência de inteiros na qual cada número é igual à soma dos dois antecessores (1, 1, 2,

3, 5, 8,…), introduzindo-a em termos de modelagem de uma população reprodutiva de coelhos. Esta

sequência tem muitas propriedades curiosas e interessantes e continua sendo aplicada em várias áreas

da matemática moderna. Durante o mesmo período, astrônomos chineses desenvolveram técnicas

numéricas para analisar resultados experimentais. Durante os séculos XIII e XIV, matemáticos

chineses usaram a ideia de diferenças finitas para analisar tendências em seus dados. Hoje, métodos

como os deles são usados para entender o comportamento a longo prazo e os limites de sequências

infinitas. Este trabalho inicial na Ásia levou a mais investigação e análise de várias progressões e

séries, mas teve pouca influência sobre os matemáticos europeus.

Oresme (1325 – 1382) estudou taxas de variação, como velocidade e aceleração, usando uma

aproximação sequencial. Seu principal trabalho, “De configurationibus”, foi o primeiro a apresentar

gráficos de velocidade. O argumento que usamos para mostrar a divergência da série harmônica foi

inventado por Oresme em sua publicação. Duzentos anos depois, Stevin (1548 – 1620) avançou a

matemática providenciando uma simbologia mais fácil de compreender. Ele entendeu os conceitos

físicos e matemáticos da aceleração devido à gravidade. Somou séries e analisou sequências, mas

parou um pouco antes de definir ou explicar limites e convergência. O contemporâneo de Stevin,

Galileu (1564 – 1642), aplicou matemática às ciências especialmente na astronomia. Baseado no seu

estudo de Arquimedes, Galileu melhorou a compreensão de hidrostática, desenvolveu os resultados

para o movimento em queda livre sob a ação da gravidade e os movimentos dos planetas. Até sugeriu

que poderia existir uma terceira propriedade entre o finito e o infinito.

À medida que o desenvolvimento do cálculo foi tomando forma, o progresso no entendimento de

séries infinitas teve um papel no desenvolvimento do cálculo diferencial e integral. Pascal era

fascinado pelos resultados impressionantes que vinham das somas infinitas, mas era confundido pelo

seu conceito. Para ele, o infinito era alguma coisa para admirar, mas impossível de entender. Pascal

preferiu a abordagem geométrica de St. Vincent (1584–1667) para séries e sua convergência em vez da

nova abordagem analítica de Fermat e Descartes (1596–1650) que não conseguia visualizar ou

entender. Apesar da limitação de Pascal para entender séries, ele, junto com Descartes e Fermat, usou

cálculos com séries nas contribuições aos fundamentos do cálculo diferencial e integral.


3

Até a metade do século XVII, matemáticos tinham desenvolvido e analisado séries de números.

O tempo tinha chegado para investigar sequências e séries de funções. Tanto Newton e Leibniz

desenvolveram representações de séries para funções. Usando métodos algébricos e geométricos,

Newton calculou as séries para as funções trigonométricas sen(x) e cos(x) e para a função exponencial.

Estes resultados são encontrados nos trabalhos de Newton intitulados “Method of Fluxions and Infinite

Series” e “Analysis with Infinite Series”. Newton utilizou séries para desenvolver muitos resultados de

cálculo, tais como área, comprimento de arco e volumes. Leibniz somou sequências de recíprocas de

números poligonais e, seguindo o trabalho de St. Vincent somou e analisou várias sequências

geométricas. Leibniz usou uma abordagem seqüencial de valores infinitamente próximos para explicar

o conceito de limite. Embora nunca tenha pensado na derivada como um limite, descobriu muitos dos

resultados que agora estudamos em cálculo usando limites.

Brook Taylor (1685–1731) não foi o primeiro a inventar a estrutura e o processo que chamamos

de série de Taylor, e a série de Maclaurin não foi desenvolvida por Colin Maclaurin (1698–1746).

James Gregory (1638–1675) estava trabalhando com séries de Taylor quando Taylor tinha apenas

alguns anos de idade. Gregory também publicou a série de Maclaurin para muitas funções

trigonométricas antes que Maclaurin tivesse nascido. Taylor não conhecia o trabalho de Gregory

quando publicou seu livro “Methodus incrementorum directa et inversa”, o qual continha o que

chamamos agora de série de Taylor. Ele tinha desenvolvido independentemente um método baseado

em cálculo para gerar representações de funções em séries. Posteriormente, Maclaurin citou um

trabalho de Taylor em um livro de cálculo que escreveu em 1742. O livro de Maclaurin popularizou

representações de funções em séries, e embora Maclaurin nunca tenha afirmado que as tinha

descoberto, a série de Taylor centrada em a = 0 tornou-se posteriormente conhecida como série de

Maclaurin. Johann Bernoulli (1667–1748) também fez uma descoberta independente do teorema de

Taylor.

Euler usou frequentemente séries infinitas em seu trabalho para desenvolver novos métodos ou

para modelar problemas aplicados. Publicou “Mechanica” em 1736, onde aplicou sistematicamente o

cálculo à mecânica e desenvolveu novos métodos para resolver equações diferenciais usando séries de

potências. Estabeleceu a notação de somatório que usamos hoje, usando sigma para o símbolo da

soma. D’Alembert (1717 – 1783) escreveu cinco artigos a respeito de métodos para integrar equações

diferenciais. Embora tenha recebido pouca educação científica formal, é claro que ele conhecia os

trabalhos de Newton, L’Hospital e dos Bernoullis. D’Alembert publicou muitos trabalhos sobre

matemática e física matemática, culminado com seu trabalho principal, “Traité de dynamique”.

Considerou a derivada como um limite da diferença de quocientes, o que o colocou à frente dos seus

pares no entendimento do cálculo. Também desenvolveu o teste da razão para determinar a


4

convergência de muitas séries. Através do trabalho de D’Alembert, a natureza da pesquisa sobre séries

estava mudando de cálculos práticos para uma fundamentação mais teórica.

Lagrange estendeu o trabalho de Euler nas equações de movimento e o entendimento da energia

potencial. Publicou “Mécanique analytique” (1787), que aplicava cálculo ao movimento de objetos. O

maior trabalho de Lagrange foi na teoria e aplicação do cálculo. Ele sentiu que a série de Taylor

desempenhava um papel fundamental no entendimento do cálculo, embora ainda evitasse o limite e as

propriedades de convergência de sequências e séries. Bolzano (1781–1848) confrontou este assunto,

apontando que a convergência era importante para entender e usar séries. Tentou explicar convergência

associando-a com a ideia de subconjuntos limitados. Bolzano acreditava no método de Lagrange para

usar séries de Taylor como a base para o cálculo. Fourier (1768–1830) fez contribuição ao estudo e

cálculo da difusão de calor e à solução de equações diferenciais. “Théorie analytique de la chaleur” (A

Teoria Analítica do Calor, 1822) contém uso extenso de séries consistindo de funções trigonométricas

que hoje chamamos de séries de Fourier. Apesar disso, contribuiu muito pouco para a teoria destas

séries, as quais eram conhecidas, muito antes, por Euler, Daniel Bernoulli e Lagrange.

Finalmente, a comunidade matemática foi motivada a estabelecer fundamentos mais teóricos para

as idéias de limite e convergência de sequências e séries. Cauchy (1789-1857) foi o primeiro a definir

por completo as ideias de convergência e convergência absoluta de séries infinitas. Este trabalho foi

feito em conjunto com o desenvolvimento de uma análise rigorosa do cálculo. Também foi o primeiro

a desenvolver uma teoria sistemática para números complexos e a transformada de Fourier para

equações diferenciais. Contudo, ambos Cauchy e seu colega Niels Henrik Abel (1802–1829) ignoraram

a utilidade das séries divergentes. Abel escreveu em 1828 “séries divergentes são a invenção do diabo,

e é uma vergonha basear nelas qualquer demonstração”.

Runge (1856 – 1927) desenvolveu o método de resolução baseado em sequências para solucionar

numericamente equações diferenciais junto com M. W. Kutta (1867 – 1944). Sequências e séries

tornaram-se ferramentas padrão para aproximar funções e calcular resultados em computação

numérica.

O matemático indiano autodidata Srinivasa Ramanujan (1887 – 1920) usou sequências e séries de

potências para desenvolver resultados em teoria de números. O trabalho de Ramanujan era teórico e

produziu numerosos resultados importantes usados por matemáticos no século XX. Seus colaboradores

britânicos Godfrey Harold (G.H.) Hardy (1877 – 1947) e John Littlewood (1885 – 1977) usaram seu

conhecimento de séries para produzir avanços importantes em teoria de números e estenderam a

utilidade das séries para muitas áreas da matemática.


5

CAPÍTULO V

Séries 1. Definição

Se tentarmos adicionar os termos de uma sequência infinita

a1 + a2 + a3 + ... + na + ... que é denominada uma série infinita (ou apenas uma série) e é denotada, por abreviação, pelo símbolo:

nn = 1

a∞

� ou na�

Para definir a soma de infinitas parcelas, consideram-se as somas parciais. S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3

e, em geral,

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an – 1 + na = n

ii = 1

a�

2. Sequências das somas parciais

Essas somas parciais formam uma nova sequência {Sn}, que pode ou não ter um limite. Se

nnlimS = S

→∞ existir (como um número finito), então chamaremos soma da série infinita na� .

Definição 1: Dada uma série nn = 1

a∞

� = a1 + a2 + a3 + ..., denotamos por Sn sua n-ésima soma parcial:

Sn = n

ii = 1

a� = a1 + a2 + a3 + ... + na

Se a sequência {Sn} for convergente e nnlimS = S

→∞ existir como um número real, então a série

na� é denominada convergente, e escrevemos:

a1 + a2 + a3 + ... + na = S ou nn = 1

a∞

� = S


6

O número S é chamado soma da série. Caso contrário, a série é dita divergente.

Assim, quando escrevemos nn = 1

a∞

� queremos dizer que, adicionando um número suficiente de

termos da série, podemos chegar tão próximo quanto quisermos do número S. Note que:

nn = 1

a∞

� = n

ini = 1

lim a→∞�

3. Série Geométrica Um exemplo importante de uma série infinita é a série geométrica. Série Geométrica é toda série

escrita na forma a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn – 1 + ... = n 1

n = 1

ar∞

−� , com a � 0 e r é a razão.

Cada termo é obtido a partir do anterior pela multiplicação dele por uma razão em comum r.

3.1. Soma de uma série geométrica Se r = 1, então Sn = a + a + ... + a = na → ± ∞ . Como nn

limS = S→∞

não existe, a série geométrica

diverge neste caso.

Se r � 1, temos:

Sn = a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + ... + arn – 1

e

rSn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + ar5 + ... arn – 1 + arn

Subtraindo essas equações, obtemos: Sn – rSn = a – arn

Sn(1 – r) = a(1 – rn)

Sn = ( )na 1 r

1 r

−−

Se –1 < r < 1, temos que rn � 0 quando n � �; assim,

( )n

nn n

a 1 r alimS = lim =

1 r 1 r→∞ →∞

−− −


7

Então, quando r < 1 (–1 < r < 1) a série geométrica converge e tem soma S = a

1 r−.

Para r > 1 ( r < –1 ou r > 1), a série diverge, pois a sequência {rn} é divergente.

Resumindo

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Encontre a soma da série geométrica 10 20 40

5 + + ...3 9 27

− −

Resolução: O primeiro termo é a = 5 e a razão é r = 23

− . Como r = 23

< 1, a série é convergente e

sua soma é:

10 20 40

5 + + ...3 9 27

− − = 5 5

= = 352

133

� �− −� ��

Exemplo 2: A série 2n 1 n

n = 1

2 3∞

−� é convergente ou divergente?

Resolução: Vamos reescrever o n-ésimo termo da série na forma arn – 1:

2n 1 n

n = 1

2 3∞

−� = ( ) ( )n n 12

n = 1

2 3∞

− −� = n

n 1n = 1

43

∞

−� = n

n 1n = 1

43 3

∞

−��

= n

n = 1

43

3

∞ � ��

�

Reconhecemos essa série como uma série geométrica com a = 4 e r = 43

. Como r > 1, a série

diverge.

A série geométrica n 1

n = 1

ar∞

−� = a + ar + ar2 + ...

• é convergente se r < 1 e suam soma é n 1

n = 1

ar∞

−� = a

1 r−.

• é divergente se r > 1.


8

Exemplo 3: Escreva o número 2,317 = 2,3171717... como uma razão de inteiros.

Resolução: Temos que 2,3171717... = 2,3 + 3 5 7

17 17 17 + + + ...

10 10 10

Depois do primeiro termo temos uma série geométrica com a = 3

1710

e r = 2

110

. Portanto:

2,317 = 2,3 + 3

2

1710

11

10−

= 2,3 +

171 000

99100

= 23 17

+ 10 990

= 1147495

Exemplo 4: Uma bola é solta a uma distância de 1 metro do chão. Supondo que a cada queda suba 23

da altura anterior, determine a distância total percorrida pela bola até parar.

Resolução:

Note que, a partir do segundo termo, 2 4

+ + ...3 9

é uma série como uma série geométrica com

a = 23

e r = 23

. Como a bola, quando jogada, sobe e desce a mesma altura temos:

D = 1 + 22 4

+ + ...3 9

� ��

= 1 + 2 �

23

21

3−

= 1 + 2 �

2313

D = 1 + 2 � 2 = 5

Portanto, a distância total percorrida é de 5 metros.

1 m 2 2

1 = 3 3� 2 2 4

= 3 3 9�


9

4. Teste da divergência

Teorema 1: Se a série na� converge, então x lim

→ ∞an = 0.

Prova: Seja Sn = a1 + a2 + ... + na . Então an = Sn – Sn – 1. Como na� é convergente, a sequência {Sn}

é convergente. Seja nnlimS = S

→∞. Como n – 1 � � quando n � �, também temos n 1n

limS = S−→∞.

Portanto:

( )n n n 1 n n 1n n n nlim a = lim S S = limS limS− −→∞ →∞ →∞ →∞

− − = S – S = 0

A recíproca desse teorema não é verdadeira em geral. Se nnlim a = 0

→∞, não podemos concluir que

na� seja convergente.

O Teste para Divergência vem do Teorema 1, porque, se a série não for divergente, ela é

convergente e, assim, nnlim a = 0

→∞.

Vejamos mais um exemplo:

Exemplo 5: Mostre que a série 2

2n = 1

n5n + 4

∞

� diverge.

Resolução: nnlim a

→∞ =

2

2n

nlim

5n + 4→∞ =

2

n 22

nlim

4n 5 +

n

→∞ � ��

= 1

5 + 0 =

15

� 0

Desse modo, a série diverge pelo Teste para Divergência.

Teste da divergência

Se nnlim a

→∞ não existir ou se nn

lim a 0→∞

≠ , então a série nn = 1

a∞

� é divergente.


10

4.1. Teorema de séries convergentes

Se na� e nb� forem séries convergentes, então também o serão:

(i) nn = 1

ca∞

� = nn = 1

c a∞

�

(ii) ( )n nn = 1

a + b∞

� = nn = 1

a∞

� + nn = 1

b∞

�

(iii) ( )n nn = 1

a b∞

−� = nn = 1

a∞

� – nn = 1

b∞

�

Exercícios 95) Qual é a diferença entre uma sequência e uma série? 96) O que é uma série convergente? O que é uma série divergente?

97) Explique o significado de se dizer que nn = 1

a∞

� = 5.

98) Seja n

2na =

3n + 1.

a) Determine se { na } é convergente.

b) Determine se nn = 1

a∞

� é convergente.

99) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Se for convergente, calcule sua soma.

a) 4 8

3 + 2 + + + ...3 9

b) 5 25 125

3 + + ...2 8 32

− − −

c) n 1

n = 1

25

3

−∞ � ��

�

d) ( )n 1

nn = 1

34

−∞ −�

e) n

n + 1n = 0

�

3

∞

�

f) n = 1

nn + 5

∞

�

g) 2n = 2

2n 1

∞

−�

h) 2

2k = 2

kk 1

∞

−�

i) n n

nn = 1

3 + 26

∞

�

j) n

n = 1

2∞

�

k) n = 1

arc tg n∞

�


11

100) Expresse os números abaixo como uma razão de inteiros, usando o conceito de série geométrica. a) 0,2 = 0,2222... b) 3,417 = 3,417417417... c) 0,123456 101) Encontre os valores de x para os quais a série converge. Calcule a soma da série para aqueles

valores de x.

a) n

nn = 1

x3

∞

� c) ( )n

n = 1

x 4∞

−�

b) n n

n = 0

4 x∞

� d) ( )n

nn = 0

x + 32

∞

�

102) Qual é o valor de c se n

n = 2

(1 + c) = 2∞

−� ?

103) Um triângulo ABC é dado com �BAC = � e AC = 10. CD é desenhado perpendicularmente a

AB, DE é desenhado perpendicularmente a BC, EF ⊥ AB, e esse processo continua indefinidamente,

como mostrado na figura abaixo:

Calcule o comprimento total de todas as retas perpendiculares CD + DE + EF + FG + ...

10


12

5. Tipos de Testes

5.1. Teste da Integral Nem sempre conseguimos encontrar a soma exata de uma série. Conseguimos fazer isso para as

séries geométricas. Geralmente não é fácil calcular nnlim S

→∞. Por isso vamos apresentar algumas teses

que nos permitam determinar se uma série é convergente ou divergente sem encontrar sua soma

explicitamente, porém, tais métodos nos fornecerão boas estimativas de somas.

Nosso primeiro teste envolve as integrais impróprias.

Vejamos dois exemplos:

Exemplo 1: Seja a série 2n = 1

1n

∞

� , cujos termos são os recíprocos dos quadrados de inteiros positivos.

2n = 1

1n

∞

� = 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 + + + + + ...

1 2 3 4 5

Não existe uma fórmula simples para a soma Sn dos n primeiros termos, mas a tabela abaixo

sugere que as somas parciais estão se aproximando de um número próximo de 1,64 n � � e, assim,

parece que a série é convergente.

n

Sn = n

2i = 1

1i�

5 1,4636

10 1,5498

50 1,6251

100 1,6350

500 1,6429

1 000 1,6439

5 000 1,6447

Podemos confirmar geometricamente tal afirmação analisando a área dos retângulos sob a curva

y = 2

1x

(ver figura 5.1.). Nela, a base de cada retângulo é um intervalo de comprimento 1 e a altura é

igual ao valor da função y = f(x) = 2

1x

no extremo direito do intervalo.


13

Figura 5.1. Área sob a curva y = 21

x

Excluindo-se o primeiro retângulo, a área total dos retângulos remanescentes será menor do que a

área sob a curva y = 2

1x

para x � 1, que é o valor da integral 21

1dx

x

∞

� . Calculando temos:

21

1dx

x

∞

� = b

21b

1lim dx

x→∞ � = b 2

1blim x dx−

→∞ � = b1

b1

xlim

1

−

→∞ −

21

1dx

x

∞

� = b

b1

1lim

x→∞

� �−� ��

= b

1lim 1

b→∞

� �− −� ��

= –(0 – 1) = 1

Assim temos que a figura mostra que todas as somas parciais são menores do que:

1 + 21

1dx

x

∞

� = 2

Então as somas parciais são limitadas. Sabemos também que as somas parciais são crescentes

(porque todos os termos são positivos). Portanto as somas parciais convergem (pelo Teorema da

Sequência Monotônica) e, dessa maneira, a série é convergente. Logo, a soma da série (o limite das

somas parciais) é também menor que 2:

2n = 1

1n

∞

� = 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 + + + + + ...

1 2 3 4 5 < 2

NOTA: A soma exata dessa série foi calculada pelo matemático suíço Leonhard Euler (1707–1783) e é

2�

6.


14

Exemplo 2: Vamos analisar agora a série n = 1

1n

∞

� = 1 1 1 1 1

+ + + + + ...1 2 3 4 5

2n = 1

1n

∞

� = 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 + + + + + ...

1 2 3 4 5

Analogamente ao exemplo 1, temos a tabela abaixo que nos dá uma ideia do comportamento da

série.

n

Sn = n

i = 1

1i

�

5 3,2317

10 5,0210

50 12,7524

100 18,5896

500 43,2834

1 000 61,8010

5 000 139,9681

A tabela de valores de Sn sugere que as somas parciais não estão se aproximando de um número;

assim, suspeitamos que essa série possa ser divergente. Vamos, novamente, fazer uma análise gráfica

(ver figura 5.2.), porém desta vez, usaremos retângulos cujos topos estão acima da curva y = 1x

,

com base de comprimento 1 e altura y = f(x) = 1x

, à esquerda do intervalo.

Figura 5.2. Área sob a curva y = 1

x


15

Logo, a soma das áreas dos retângulos é 1 1 1 1 1

+ + + + + ...1 2 3 4 5

= n = 1

1n

∞

� , maior

do que a área sob a curva y = 1x

para x � 1, que é igual a 1

1 dx

x

∞

� . Calculando, temos:

1

1 dx

x

∞

� = b

1b

1lim dx

x→∞ � = 1

b2

1blim x dx

−

→∞ � =

b12

b

1

xlim

12

→∞

1

1 dx

x

∞

� = ( )b

2 lim b 1→∞

−� = ( )2 1∞ − = �

A integral imprópria 1

1 dx

x

∞

� é divergente, ou seja, a área sob a curva é infinita, isto conclui

que, a série estudada é divergente.

Resumindo

NOTA: Quando você usar o Teste da Integral, lembre-se de que não é necessário começar a série ou

a integral em n = 1. Por exemplo, testando a série

2n = 4

1(n 3)

∞

−� usamos 24

1 dx

(x 3)

∞

−�

Teste da Integral Suponha que f seja um função contínua, positiva e decrescente em [1, �[ e seja an =

f(n). Então a série nn = 1

a∞

� é convergente se, e somente se, a integral imprópria 1

( ) dxf x∞

�

for convergente. Em outras palavras:

i) Se 1

( ) dxf x∞

� for convergente, então nn = 1

a∞

� é convergente.

ii) Se 1

( ) dxf x∞

� for divergente, então nn = 1

a∞

� é divergente.


16

Também não é necessário que f seja sempre decrescente. O que é importante é que f seja

finalmente decrescente, isto é, decrescente para x maior que algum número N. Então, nn = N

a∞

� é

convergente, e assim nn = 1

a∞

� é convergente.

Vejamos mais dois exemplos:

Exemplo 3: Teste a série 2n = 1

1n + 1

∞

� para convergência ou divergência.

Resolução: A função f(x) = 2

1x + 1

é contínua, positiva e decrescente em [1, �[ e assim usamos o

teste da Integral.

21

1 dx

x + 1

∞

� = 21b

1lim dx

x + 1

∞

→∞ � = b

1blim (arc tg x)

→∞

21

1 dx

x + 1

∞

� = ( )blim arc tg b arc tg 1

→∞− =

� �

2 4− =

�

4

Como a integral 21

1 dx

x + 1

∞

� é convergente, temos que pelo teste da integral, a série 2n = 1

1n + 1

∞

�

é convergente.

Exemplo 4: Teste a série n

n = 1

ne∞

−� para convergência ou divergência.

Resolução: A função f(x) = xxe− é contínua, positiva e decrescente em [1, �[ e assim usamos o teste

da Integral.

x

1xe dx

∞ −� =

b x

1blim xe dx−

→∞ � (I)

Resolvendo separadamente a integral b x

1xe dx−

� por partes temos:

u = x dv = e–x dx

dudx

= 1 xdv = e−� �

du = dx v = xe1

−

− = xe−−


17

Voltando a integral temos:

b x

1xe dx−

� = x ( ) bx

1e−− – ( )b x

1e dx−−�

b x

1xe dx−

� = –(be–b – 1 � e–1) + ( ) bx

1e−−

b x

1xe dx−

� = –be–b + e–1 – (e–b – e–1) = –be–b + e–b + 2e–1

Substituindo o resultado da integral em (I) vem:

x

1xe dx

∞ −� = ( )b b 1

blim be + e + 2e− − −

→∞− = 2e–1 =

2e

Como a integral b x

1xe dx−

� é convergente, temos que pelo teste da integral, a série n

n = 1

ne∞

−� é

convergente.

Exercícios 104) Use o Teste da Integral para determinar se a série é convergente ou divergente.

a) 4n = 1

1n

∞

�

b) n = 1

13n + 1

∞

�

c) n

n = 1

ne∞

−�

d) 1 1 1 1

1 + + + + + ...8 27 64 125

e) 3n = 1

5 2 nn

∞ −�

f) 2n

n = 1

ne∞

−�

g) k = 2

1n ln n

∞

�

h) 3n = 1

1n + n

∞

�


18

105) A medida do lado de um triângulo equilátero mede 10 cm. Unindo-se os pontos médios de seus

lados, obtém-se um segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados do novo

triângulo equilátero obtém-se um terceiro, e assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos

perímetros de todos esses triângulos.

106) Divide-se um segmento de comprimento m em três partes iguais e retira-se a parte central. Para

cada um dos segmentos restantes repete-se o processo, retirando-se suas partes centrais e assim

sucessivamente. Determine a soma dos comprimentos retirados.

107) (UEL-PR) Na figura abaixo, a aresta do cubo maior mede a, e os outros cubos foram construídos

de modo que a medida da respectiva aresta seja a metade do cubo anterior.

Imaginando que a construção continue indefinidamente, determine a soma dos volumes de todos os

cubos será:

a) 3a

2 b)

37a8

c) 38a

7

d) 2a3

108) Quando n cresce, a fração n

n

1 1 1 11 + + + + ... + + ...

2 4 8 21 1 1 1

1 + + + + ... + + ...3 9 27 3

tende a:

a) 3 b)

43

c) �

d) zero

109) O limite da soma S = 1 2 1 2

1 2 + + + + ...2 2 4 4

− − quando o número de parcelas tende ao

infinito é:

a) 2 + 2 2

b) 2 – 2 2

c) 4 2 d)

2 22

3−


19

5.2. Teste da Razão (Teste de D’Alembert)

Dada qualquer série na� , podemos considera a série correspondente

nn = 1

a∞

� = 1 2 3a + a + a + ...

cujos termos são os valores absolutos dos termos da série original.

Definição: Uma série na� é chamada absolutamente convergente se a série de valores na� for

convergente.

Note que, se na� for uma série com termos positivos, então na = an e assim a convergência

absoluta é a mesma coisa que a convergência nesse caso.

Demonstração (i) A ideia é comparar a série dada com uma série geométrica convergente. Como L < 1, podemos

escolher um número r tal que L < r < 1. Como n + 1

nn

alim

a→∞ = L e L < r, o quociente n + 1

n

aa

será

Teste da Razão

Seja nn = 1

a∞

� uma série de termos não nulos e seja L = n + 1

nn

alim

a→∞. Então:

i) Se L < 1, a série é absolutamente convergente, logo convergente.

ii) Se L > 1, (incluindo L = �), a série é divergente.

iii) Se L = 1, o teste não é conclusivo; isto é, nenhuma conclusão pode ser tirada

sobre a convergência ou divergência de na� .


20

finalmente menor que r; isto é, existe um inteiro N tal que n + 1

n

aa

< r sempre que n � N, ou,

equivalentemente,

n + 1a < na r sempre que n � N (1)

Colocando n sucessivamente igual a N, N + 1, N +2, ... em (1), obtemos

N + 1a < Na r

N + 2a < N + 1a r < Na r2

N + 3a < N + 2a r < Na r3

e, em geral, N + ka < Na rk para todo k � 1 (2)

Agora a série

kN

k = 1

a r∞

� = Na r + Na r2 + Na r3 + ...

é convergente porque é uma série geométrica com 0 < r < 1. Assim a desigualdade (2), mostra que a

série

nn = N + 1

a∞

� = N + kk = 1

a∞

� = N + 1a + N + 2a + N + 3a + ...

é convergente também. Segue-se que a série nn = 1

a∞

� é convergente. (Lembre-se de que um número

finito de termos não afeta a convergência.) Portanto, na� é absolutamente convergente.

(ii) Se n + 1

n

aa

� L > 1 ou n + 1

n

aa

� �, então o quociente n + 1

n

aa

será finalmente maior que 1; isto é,

existe um inteiro N tal que n + 1

n

aa

> 1 sempre que n � N. Isso significa que n + 1a > na quando n � N,

e assim nnlim a

→∞ � 0. Portanto, na� diverge pelo Teste da Divergência.


21

NOTA

A parte (iii) do Teste da Razão diz que, se n + 1

nn

alim

a→∞ = 1, o Teste da Razão não dá nenhuma

informação. Por exemplo, para a série convergente 2

1n� , temos:

n + 1

nn

alim

a→∞ =

2

n

2

1(n + 1)lim

1n

→∞ =

2

2n

nlim

(n + 1)→∞ =

2

2n

nlim

n + 2n + 1→∞ =

2

n 22

nlim

2 1n 1 + +

n n

→∞ � ��

= 1

Enquanto a série divergente 1n� , obtemos:

n + 1

nn

alim

a→∞ =

n

1n + 1lim

1n

→∞ =

n

nlim

n + 1→∞ =

n

nlim

1n 1 +

n

→∞ � ��

= 1

Portanto, se n + 1

nn

alim

a→∞ = 1, a série na� pode convergir ou divergir. Nesse caso, o Teste da

Razão falha e devemos usar algum outro teste.


Exemplo 1: Teste a convergência da série nn = 1

n2

∞

� .

Resolução: Temos que n + 1

n

aa

= n + 1

n

n + 12

n2

= n

n + 1

n + 1 2

2 n� =

n

n

n + 1 2

2 2 n�

� =

n + 12n

.

Então: n + 1

nn

alim

a→∞ =

n

n + 1lim

2n→∞ =

n

n + 1lim

2n→∞ =

n

1n 1 +

nlim2n→∞

� �� =

12

< 1

Portanto, a série nn = 1

n2

∞

� é convergente.


22

Exemplo 2: Teste a convergência da série 3

nn = 1

n3

∞

� .


n

aa

=

3

n + 1

3

n

(n + 1)3n3

= 3 n

n + 1 3

(n + 1) 3

3 n� =

3 n

3 n

(n + 1) 3

n 3 3�

� =

31 n + 13 n� ��

Então: n + 1

nn

alim

a→∞ =

3

n

1 n + 1lim

3 n→∞

� ��

= 3

n

1 1lim 1 +

3 n→∞

� ��

= 1

13� =

13

< 1

Portanto, a série 3

nn = 1

n3

∞

� é convergente.

Exemplo 3: Teste a convergência da série n = 1

1n

∞

� .


n

aa

=

1n + 1

1n

= 1 n

n + 1 1

� = n

n + 1.

Então: n + 1

nn

alim

a→∞ =

n

nlim

n + 1→∞ =

n

nlim

n + 1→∞ =

n

nlim

1n 1 +

n

→∞ � ��

= 1

Portanto, nada podemos concluir a respeito da série.

Exemplo 4: Teste a convergência da série n

n = 1

3n!

∞

� .


n

aa

=

n + 1

n

3(n + 1)!

3n!

= n + 1

n

3 n!

(n + 1)! 3� =

n

n

3 3 n!

(n + 1) n! 3�

��

= 3

(n + 1)

Então: n + 1

nn

alim

a→∞ =

n

3lim

n + 1→∞ =

n

3lim

n + 1→∞ =

3∞

= 0 < 1

Portanto, a série n

n = 1

3n!

∞

� é convergente.


23

Exemplo 5: Teste a convergência da série n

n = 1

nn!

∞

� .


n

aa

=

n + 1

n

(n + 1)(n + 1)!

nn!

= n + 1

n

(n + 1) n!

(n + 1)! n� =

n

n

(n + 1) (n + 1) n!

(n + 1) n! n�

��

= n

n

(n + 1)n

Então: n + 1

nn

alim

a→∞ =

n

nn

(n + 1)lim

n→∞ =

n

nn

(n + 1)lim

n→∞ =

n

n

n + 1lim

n→∞

� ��

= n

n

1lim 1 +

n→∞

� ��

= e > 1

Portanto, a série n

n = 1

nn!

∞

� é divergente.

Observação: n

n

1lim 1 +

n→∞

� ��

= e

Exercícios

110) O que você pode dizer sobre a série na� em cada um dos seguintes casos?

a) n + 1

nn

alim

a→∞ = 8 b) n + 1

nn

alim

a→∞ = 0,8 c) n + 1

nn

alim

a→∞ = 1

111) Use o Teste da Razão para determinar se a série é convergente ou divergente.

a) n

n = 0

10n!

∞

�

b) 4

n = 1

1n

∞

�

c) n = 1

n5 + n

∞

�

d) n = 1

1(2n)!

∞

�

e) 1/n

3n = 1

en

∞

�

f) n

n 1n = 1

n 34

∞

−��

g) n

2n + 1k = 2

10(n + 1)4

∞

�

h) n

1 + 3nn = 1

n3

∞

�

112) Encontre a soma da série 2n + 1

nn = 1

25

∞

� .

113) Expresse a dízima periódica 4,17326326326... como uma razão de números inteiros.


24

6. Séries atribuídas a matemáticos

6.1. Série de Taylor Publicado em 1715 em seu “Methodus incrementorum directa et inversa”. Taylor era graduado

em Cambridge e era um entusiástico admirador de Newton e secretário da Royal Society. Interessava-

se muito por perspectiva: sobre este assunto publicou dois livros em 1715 e 1719, no segundo dos

quais deu o primeiro enunciado geral do princípio dos pontos de desaparecimento. No entanto, seu

nome hoje é lembrado quase exclusivamente em conexão com a série

f (x + a) = f (a) + f’(a) x + f” (a) 2x

2! + f´” (a)

3x3!

+ ... + f (n) (a) nx

n! + ...

que apareceu em seu “Methodus incrementorum”.

6.2. Série de Maclaurin

A chamada série de Maclaurin, que aparece em seu “Treatise of Fluxions” de 1742 é apenas um

caso especial da série de Taylor, publicada por Brook Taylor. Essa série se torna a familiar série de

Taylor substituindo a por zero. A série de Taylor geral era conhecida já por Gregory muito antes, e em

essência também por Jean Bernoulli; mas Taylor não sabia disso. Além disso, a série de Maclaurin

tinha aparecido no “Methodus differentialis” de Stirling mais de uma dúzia de anos antes de ser

publicada por Maclaurin.

f (x) = f (0) + f’(0) x + f” (0) 2x

2! + f´” (0)

3x3!

+ ... + f (n) (0) nx

n! + ...

6.3. Série de Fourier

Existe uma enorme diferença entre estudar séries de Fourier e séries de potências, pois uma série

de Fourier funciona como um processo global enquanto que uma série de potências é local.

Apresentaremos alguns problemas mostrando que nem sempre é viável trabalhar com séries de

potências, mas pelo contrário, temos a necessidade de trabalhar com Séries de Fourier em sistema

práticos. Jean B. Fourier (1768–1830) foi pioneiro na investigação destes problemas. No livro “Théorie

Analytique de la Chaleur”, escrito em 1822, ele introduziu o conceito conhecido atualmente como

Série de Fourier, que é muito utilizado nas ciências em geral, principalmente nas áreas envolvidas com:


25

Matemática, Engenharia, Computação, Música, Ondulatória, Sinais Digitais, Processamento de

Imagens, etc. Sua série é:

f(x) = 0a2

+ n nn = 1

n�x n�xa cos + b sen

L L

∞ � ��

�

Observe que no intervalo –L < x < L é simétrico em relação à origem. A equação acima é

chamada de série de Fourier de f no intervalo (–L, L).

7. Aplicações das séries de Taylor / Maclaurin Através desta série podemos escrever funções trigonométricas, logarítmicas, exponenciais, em

forma de uma função polinomial.

Com a aplicação das séries, podemos demonstrar uma belíssima relação matemática, que une em

uma só fórmula, o número de Euler, os números complexos e as funções trigonométricas seno e

co-seno. Essa relação é conhecida como fórmula de Euler, e é definida por eit = cos t + i sen t, onde i

representa um número complexo definido por i2 = −1.

Leonhard Euler (1707–1783) foi um homem com uma memória prodigiosa e um poder de

concentração fenomenal. Euler teve interesses universais; foi teólogo, físico, astrônomo, linguista,

psicólogo, conhecedor dos clássicos e, principalmente matemático. Euler foi considerado um

verdadeiro gênio do século. Em Matemática, fez contribuições permanentes para a Álgebra,

Trigonometria, Geometria Analítica, Cálculo, Cálculo das Variações, Equações Diferenciais, Variável

Complexa, Teoria dos Números e Topologia. Sua produção matemática parece não ter sido afetada

pelos 13 filhos ou pela cegueira que o acometeu em seus 17 últimos anos de vida. Euler escreveu mais

de 700 trabalhos e 32 livros sobre matemática e foi responsável pela introdução de muitos símbolos

(tais como e, � e i = 1− ) e notações que ainda são usadas (como f(x), �, sen x e cos x). Euler nasceu

em Basileia, Suíça, em 15 de abril de 1707 e morreu de derrame cerebral em São Petersburgo em 18 de

setembro de 1783, quando trabalhava na corte da imperatriz russa Catarina, a Grande.

Veja a seguir a demonstração da importante Relação de Euler.


26

8. Relação de Euler Vamos provar que eit = cost + i sen t. f(t) = sen t f(0) = 0

f’(t) = cos t f’(0) = 1

f’’(t) = –sen t f’’(0) = 0

f’”(t) = –cos t f’”(0) = –1

fiv(t) = sen t fiv(0) = 0

fv(t) = cos t fv(0) = 1

Desenvolvendo a função seno temos:

sen t = 0 + 1(x – 0) + 02!

(x – 0)2 + ( 1)

3!−

(x – 0)3 + 04!

(x – 0)4 + 15!

(x – 0)5 + …

sen t = x – x3!

+ 5x

5! –

7x7!

+ 9x

9! + ……… + (–1) n �

2n + 1x(2n + 1)!

f(t) = cos t f(0) = 1

f’(t) = –sen t f’(0) = 0

f’’(t) = –cos t f’’(0) = –1

f’”(t) = sen t f’”(0) = 0

fiv(t) = cos t fiv(0) = 1

fv(t) = –sen t fv(0) = 0

Desenvolvendo a função cosseno temos:

cos t = 1 + 0 . (x – 0) + ( 1)

2!−

(x – 0)2 + 03!

(x – 0)3 + 14!

(x – 0)4 + 05!

(x – 0)5 + …

cos t = 1 – 2x

2! +

4x4!

– 6x

6! +

8x8!

+ ……… + (–1) n �2nx

(2n)!

Desenvolvendo a função exponencial temos: f(t) = eit f(0) = 1

f’(t) = ieit f’(0) = i

f’’(t) = i2eit f’’(0) = i2

f’”(t) = i3eit f’”(0) = i3

fiv(t) = i4eit fiv(0) = i4

fv(t) = i5eit fv(0) = i5

eit = 1 + i � (x – 0) + 2i

2!(x – 0)2 +

3i3!

(x – 0)3 + 4i

4!(x – 0)4 +

5i5!

(x – 0)5 + 6i

5!(x – 0)6 + …

eit = 1 + xi + 2x

2!i2 +

3x3!

i3 + 4x

4!i4 +

5x5!

i5 + 6x

6!i6 + …


27

Mas:

i0 = 1

i1 = i

i2 = –i

i3 = –i

i4 = 1

i5 = i

i6 = –1

Então:

eit = 1 + xi + (–1) � 2x

2! + (–i) �

3x3!

+ 1 � 4x

4!i4 + i �

5x5!

+ (–1) � 6x

6! + …

eit = 1 + xi – 2x

2! +

4x4!

+ ……. + xi – 3x

3!i +

5x5!

i …

Portanto:

eit = 2 4

cos t

x x1 + + ...

2! 4!� �

−� ��

+ i 3 5

sen t

x xx + + ...

3! 5!� �

−� ��

eit = cos t + i sen t Se fizermos t = �, obtemos a bela identidade de Euler:

eit = cos t + i sen t

eit = ei� = – 1

ei� + 1 = 0


28

CAPÍTULO VI

Equações Diferenciais

1. O que é uma equação diferencial? Em Matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que

aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. As equações diferenciais são essenciais

para o campo da Física.

As equações diferenciais dividem-se em dois tipos:

a) Uma equação diferencial ordinária (EDO) contém apenas funções de uma variável e derivadas

daquela mesma variável.

b) Uma equação diferencial parcial (EDP) contém funções com mais do que uma variável e suas

derivadas parciais.

As Equações Diferenciais têm as seguintes propriedades:

I) a solução pode existir ou não;

II) caso exista, a solução é única ou não.

Exemplos de equações diferenciais ordinárias

1. y” + 3y´ + 6y = sin (x)

2. (y”)3 + 3y + 6y = tg (x)

3. y” + 3y y = ex

4. y´ = f(x, y)

5. M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

Exemplos de Equações Diferenciais Parciais

a) Equação do calor : ut = a2uxx

b) Equação do calor : ut = a2(uxx + uyy)

c) Equação da Onda : utt = a2uxx

d) Equação da Onda : utt = a2(uxx + uyy)

e) Equação de Laplace : uxx + uyy = 0

f) Equação de Laplace : uxx + uyy + uzz = 0

g) ux = x + y

h) uxxx + 2 y uxx + x ux uy + (ux)2 = sin (xy)

2. Ordem e grau A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre

na equação.

Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a

“forma” de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas como, por exemplo:

A y(3) + B y(2) + C y(1) + D y(0) = 0


29

Exemplos:

1. y” + 3y´ + 6y = sen (x) e y” + 3y y´ = ex têm ordem 2 e grau 1

2. (y”)3 + 3(y´)10 + 6y = tg (x) tem ordem 2 e grau 3

3. dydx

= 5x + 3 tem ordem 1 e grau 1

4. ey 2

2

d ydx

+ 22

dydx

� ��

= 1 tem ordem 2 e grau 1

5. 32

2

d ydx

� ��

+ 3y 7

dydx

� ��

+ y3 2

dydx

� ��

= 5x tem ordem 2 e grau 3

3. Notação Usam-se frequentemente os símbolos y’, y”, y’”, y(4), ..., y(n) para representar as derivadas de

ordem, respectivamente, primeira, segunda, terceira, quarta, ..., enésima de y em relação à variável

independente x. Assim, y” representa 2

2

d ydx

se a variável independente é x, mas representa 2

2

d ydp

se a

variável independente é p. Se a variável independente é o tempo, usualmente denotada por t, é comum

substituírem-se as linhas por pontos. Assim, y•

, y••

e y•••

representam dydt

, 2

2

d ydt

e 3

3

d ydt

,

respectivamente.

Observe-se o uso dos parênteses em y(n) para distinguir da potência yn.

4. Definição de solução Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x, no

intervalo I, é uma função y(x) que verifica identicamente a equação para todo x em I.

Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: Determine se y = x2 – 1 é uma solução da equação diferencial (y’)4 + y2 = –1.

Resolução: Notemos, de início, que o primeiro membro da equação deve ser não-negativo para toda

função real y(x) e todo x, pois é a soma de potências pares, enquanto o segundo membro é negativo.

Como nenhuma função y(x) satisfaz tal equação, a equação diferencial dada não tem solução.


30

Exemplo 2: Determine se y = c1 sen 2x + c2 cos 2x, com c1 e c2 constantes arbitrárias, é solução de

y” + 4y = 0?

Resolução: Diferenciando y, obtemos:

y’ = c1 cos 2x � 2 + c2 (–sen 2x) � 2

y’ = 2c1 cos 2x – 2c2 sen 2x

y” = 2c1 (–sen 2x) � 2 – 2c2 cos 2x � 2

y” = –4c1 sen 2x – 4c2 cos 2x

Substituindo na equação, vem: y" + 4y = (–4c1 sen 2x – 4c2 cos 2x) + 4(c1 sen 2x + c2 cos 2x)

= –4c1 sen 2x – 4c2 cos 2x + 4c1 sen 2x + 4c2 cos 2x

= (–4c1 + 4c1) sen 2x + (– 4c2 + 4c2) cos 2x = 0

Assim, y = c1 sen 2x + c2 cos 2x satisfaz a equação diferencial para todos os valores de x, sendo, por

conseguinte, uma solução no intervalo (–�, �).

5. Solução Particular e Solução Geral Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução da mesma. A solução

geral da equação diferencial é o conjunto de todas as suas soluções.

Por exemplo, a solução geral do exemplo 2, item 4, é y = c1 sen 2x + c2 cos 2x. Isto é, toda

solução particular da referida equação tem esta forma geral. Algumas soluções particulares são:

• y = 5 sen 2x – 3 cos 2x (com c1 = 5 e c2 = –3)

• y = sen 2x (com c1 = 1 e c2 = 0)

• y = 0 (com c1 = c2 = 0)

6. Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de ordem n > 1 Resolver ou integrar uma equação diferencial é determinar todas as funções que, sob a forma

finita, verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis livres que, substituída na equação,

transforme-a numa identidade.

Aprenderemos, aqui, dois tipos de equações diferenciais: Equações diferenciais de variáveis

separáveis e Equações diferenciais lineares homogêneas.


31

6.1. Equações separáveis de primeira ordem Seja uma equação diferencial M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0. Se M é uma função apenas da variável

x, isto é M = M(x) e N é uma função apenas da variável y, isto é N = N(y), então a equação dada fica

na forma:

M(x) dx + N(y) dy = 0

e ela é chamada equação separável. Isto é motivado pelo fato que é possível separar as funções de

modo que cada membro da igualdade possua uma função com apenas uma variável. Desse modo,

podemos realizar a integração de cada membro por um processo “simples”. Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Resolva a equação diferencial y’ = xy

.

Resolução: Podemos escrever a equação diferencial dada como:

dydx

= xy

y dy = x dx

Integrando cada termo independentemente, teremos: y dy = x dx� �

2y

2 + C1 =

2x2

+ C2

e reunindo as constantes em uma constante C, teremos x2 – y2 = C, e esta relação satisfaz à equação

diferencial dada.

Exemplo 2: Resolva a equação y’= xy.

Resolução: Reescrevendo a equação diferencial dada temos:

dydx

= xy

dyy

= x dx

Integrando cada termo independentemente, teremos:

dy

= x dxy� �


32

ln y = 2x

2 + C

Aplicando a definição de logaritmos vem:

y =

2x + C

2e� ��

y = 2x

C2 e e± � = 2x

2 Ce±

Explicitamente, a solução é y = 2x

2Ce , onde C = C e± .

Observação: Será omitido doravante o sinal de valor absoluto em todas as operações em que

intervenham logaritmos, ficando subentendido, todavia, que tal operação só tem sentido para os valores

absolutos das funções a que se aplica.

Exemplo 3: Resolva a equação eydx – x2dy = 0

Resolução: Separando os diferenciais e reescrevendo a equação diferencial dada temos:

ey dx = x2 dy

2

dxx

= y

dye


y 2e dy = x dx− −� �

ye1

−

− =

1x1

−

− + C

e–y = x–1 + C e–y = 1x

− + C

Calculando o logaritmo em ambos os membros vem:

ln e–y = 1

ln + Cx

� �−� ��

–y � ln e = 1

ln + Cx

� �−� ��

–y = 1

ln + Cx

� �−� ��

(ln e = 1)

y = –1

ln + Cx

� �−� ��


33

Exemplo 4: Resolva a equação y’ = 2x.

Resolução: Reescrevendo a equação diferencial dada temos:

dydx

= 2x

dy = 2x dx


dy = 2x dx� �

y = 22x

2 + C

y = x2 + C

6.2. Curvas Integrais Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial representa uma família de curvas

que recebem o nome de curvas integrais. Essa solução denomina-se primitiva ou integral da equação

diferencial.

Por exemplo, a solução y = x2 + C (ver exemplo 4) fornece uma família de parábolas de

concavidades voltada para o eixo y positivo, conforme mostra a figura seguinte.

Figura 6.1. Curvas Integrais


34

Exercícios 114) Nas seguintes equações diferenciais, determine a ordem e o grau. a) y’” – 5xy’ = ex + 1

b) s2

2

2

d tds

+ st dtds

= s

c) 554

4

d ydx� ��

+ 710

dydx� ��

+ y7 – y5 = x

d) y 2

2

d ydx

= y2 + 1

e) (y”)7 – 3yy’ + xy = 0

115) Verifique se a função dada é uma solução da equação diferencial. Função Equação Diferencial a) y = 2e–x + xe–x y” + 2y’ + y = 0

b) y = 1 y” + 2y’ + y = x

c) y = ex y” – y = 0

d) y = xe2x y” – 4y’ + 4y = ex

e) 2y’ + y = 0 y = ex/2

f) y’ – 2y = e3x y = e3x + 10e2x

g) y’ = 25 + y2 y = 5 tg 5x

116) Mostre que y = ln x é uma solução de xy” + y’ = 0 em I = (0, �) mas não é solução em

I = (–�, �).

117) Resolva as seguintes equações diferenciais:

a) dx = 1

2y + 3 dy

b) y’ = 2

3

x2x + 1

c) dydx

= x � ln x

d) y’” = x


35

e) y” = e –2x

f) y’ = x3 � sen (5x4 – 1)

g) y” = sen 2x – cos 4x

h) y’ = x2 (x3 + 1)8

i) y’ = 2x

x + 1

j) y’ = 2x 9

x 3−−

118) Resolva as seguintes equações de variáveis separáveis: a) y dx – x dy = 0

b) (1 + y) dx – (1 – x) dy = 0

c) xy y’ = 1 – x2

d) (3xy + 3x – y – 1) dx – xy dy = 0

e) (xy – 2x – y + 2) dx + xy dy = 0

f) 4x dy – y dx = 0

g) e2x – 3y dy = dx

h) y2cos(ln x) dx = x � e1/y dy

i) (x2 + x) dy = (x + 2) dx

j) y’ = x3 � sec2(5x4 – 1)


36

6.3. Equações diferenciais lineares homogêneas de ordem 2 Uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem tem a forma

P(x) 2

2

d ydx

+ Q(x) dydx

+ R(x) y = 0 (1)

onde P, Q e R são funções contínuas.

Dois fatos básicos permitem-nos resolver equações lineares homogêneas. O primeiro estabelece

que, se conhecermos duas soluções y1 e y2 de tal equação, então a combinação linear y = c1y1 + c2y2 é

também uma solução.

Demonstração:

Uma vez que y1 e y2 são soluções da equação (1), temos:

P(x) "1y + Q(x) '

1y + R(x)y1 = 0

e

P(x) "2y + Q(x) '

2y + R(x)y2 = 0

Portanto, usando as regras básicas para diferenciação, temos: P(x)y” + Q(x)y’ + R(x)y

= P(x) (c1y1 + c2y2)” + Q(x) (c1y1 + c2y2)’ + R(x) (c1y1 + c2y2)

= P(x) (c1"1y + c2

"2y ) + Q(x) (c1

'1y + c2

'2y )’ + R(x) (c1y1 + c2y2)

= c1"1y P(x) + c2

"2y P(x) + c1

'1y Q(x) + c2

'2y Q(x) + c1y1 R(x)+ c2y2 R(x)

= c1"1y P(x) + c1

'1y Q(x) + c1y1 R(x) + c2

"2y P(x) + c2

'2y Q(x) + c2y2 R(x)

= c1[P(x) "1y + Q(x) '

1y + R(x) y1] + c2[P(x) "2y + Q(x) '

2y + R(x)y2)

= c1(0) + c2(0) = 0

Assim, y = c1y1 + c2y2 é uma solução da equação (1).

Teorema 1: Se y1(x) e y2(x) são soluções da equação linear homogênea (1) e c1 e c2 são constantes

quaisquer, então a função y(x) = c1y1(x) + c2y2(x) é também uma solução da equação (1).


37

O outro fato que precisamos é dado pelo seguinte teorema, provado em cursos mais avançados.

Dizemos que a solução geral é uma combinação linear de duas soluções linearmente independentes

y1 e y2. Isso significa que nem y1 nem y2 é um múltiplo constante do outro. Por exemplo, as funções

f(x) = x2 e g(x) = 5x2 são linearmente dependentes, mas f(x) = ex e g(x) = xex são linearmente

independentes.

O teorema 2, muito útil; diz que, se conhecermos duas soluções particulares linearmente

independentes, então conheceremos todas as soluções.

Em geral, não é fácil descobrir soluções particulares para uma equação linear de segunda ordem.

Mas é sempre possível fazer isso se as funções P, Q e R forem funções constantes, isto é, se a equação

diferencial tiver a forma:

ay" + by’ + cy = 0 (2)

onde a, b e c são constantes e a � 0.

Não é difícil pensar em alguns prováveis candidatos para as soluções particulares da equação (2)

se enunciarmos verbalmente. Estamos examinando para uma função y tal que uma constante vezes sua

segunda derivada y” mais outra constante vezes y’ mais a terceira constante vezes y é igual a 0.

Sabemos que a função exponencial y = emx (onde m é uma constante) tem a propriedade que sua

derivada é uma constante múltipla dela mesma: y’ = memx. Além disso, y” = m2emx. Substituindo essas

derivadas na equação (2) veremos que v = emx é uma solução se

am2emx + bmemx + cemx = 0

ou

(am2 + bm + c)emx = 0

Mas emx é diferente de zero. Assim, y = emx é uma solução da equação (2) se m é uma raiz da

equação

am2 + bm + c = 0 (3)

Teorema 2: Se y1 e y2 forem soluções linearmente independentes da equação (1), então a solução

geral é dada por y(x) = c1y1(x) + c2y2(x), onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.


38

A equação (3) é denominada equação auxiliar (ou equação característica) da equação

diferencial ay” + by’ + cy = 0. Note que ela é uma equação algébrica que foi obtida da equação

diferencial substituindo-se y” por m2, y’ por m, e y por 1.

Separamos em três casos de acordo com o sinal do discriminante b2 – 4ac. 1º caso: Raízes reais distintas (� > 0) Nesse caso as raízes m1 e m2 da equação auxiliar são reais e distintas; logo y1 = 1m xe e y2 = 2m xe

são duas soluções linearmente independentes da equação (2). (Note que 2m xe não é um múltiplo

constante de 1m xe ). Portanto, pelo teorema 2, temos o seguinte fato:


Exemplo 1: Resolva a equação y” + y’ – 6y = 0.

Resolução: A equação auxiliar é m2 + m – 6 = 0, onde temos (m – 2)(m + 3) = 0, cujas raízes são

m = 2, –3. Portanto, a solução geral da equação diferencial dada é y = c1e2x + c2e–3x.

OBSERVAÇÃO: Podemos verificar que isso é de fato uma solução diferenciando e substituindo

na equação diferencial.

Exemplo 2: Resolva a equação 32

2

d ydx

+ dydx

– y = 0.

Resolução: A equação auxiliar é 3m2 + m – 1 = 0. Neste caso aqui recorremos à fórmula resolutiva.

� = 12 – 4(3)(–1) = 1 + 12 = 13

m = 1 13

6− ±

Uma vez que as raízes são reais e distintas, a solução geral é y = c1( )1 + 13 x/6

e−

+ c2( )1 13 x/6

e− −

.

Se as raízes m1 e m2 da equação auxiliar am2 + bm + c = 0 são reais e diferentes, então a

solução geral de ay” + by’ + cy = 0 é:

y = c1

1m xe + c22m xe


39

2º caso: Raízes reais com multiplicidade maior que 1 (� = 0) Nesse caso m1 = m2, isto é, as raízes da equação auxiliar são reais e iguais. Vamos denotar por m

os valores comuns m1 e m2. Como � = 0, de m = 2b ± b 4ac

2a− −

temos m = b2a

− , logo 2am + b = 0.

Sabemos que y1 = emx é uma solução da equação (2). Agora verifiquemos que y2 = xemx é também

uma solução.

a "

2y + b '2y + cy2 = a(2memx + m2xemx) + b(emx + mxemx) + cxemx

= 2amemx + am2xemx + bemx + bmxemx + cxemx

= 2amemx + bemx + am2xemx + bmxemx + cxemx

= (2am + b)emx + (am2 + bm + c)xemx

= 0(emx) + 0(xemx) = 0

O primeiro termo é 0, pois 2am + b = 0; o segundo termo é 0, pois m é uma raiz da equação

auxiliar. Uma vez que y1 = emx e y2 = xemx são soluções linearmente independentes, o teorema 2 nos

fornece a solução geral.

Exemplo 3: Resolva a equação 4y” + 12y’ + 9y = 0.

Resolução: A equação auxiliar é 4m2 + 12m + 9 = 0, que fatorada fica (2m + 3)2 = 0, cuja única raiz é

m = 32

− . Portanto, a solução geral da equação diferencial dada é y = c1e–3x/2 + c2e–3x/2.

Exemplo 4: Resolva a equação y’” – 2y” – 4y’ + 8y = 0.

Resolução: A equação auxiliar é m3 – 2m2 – 4m + 8 = 0. Fatorando por agrupamento temos:

m2(m – 2) – 4(m – 2) = 0

(m – 2) (m2 – 4) = 0

(m – 2) (m – 2) (m + 2) = 0

(m – 2)2 (m + 2) = 0

Temos que raiz m = 2 tem multiplicidade 2, e a raiz m = –2 tem multiplicidade 1. Portanto, a

solução geral da equação diferencial dada é y = c1e2x + c2xe2x + c3e–2x.

Se a equação auxiliar am2 + bm + c = 0 tem apenas uma raiz real m, então a solução geral de

ay” + by’ + cy = 0 é:

y = c1emx + c2xemx


40

3º caso: Raízes não reais (� < 0) Nesse caso as raízes m1 e m2 da equação são números complexos. Podemos escrever m1 = + i e m2 = – i onde � e � são números reais.

Usando a equação de Euler ei� =cos � + i sen �, escrevemos a equação diferencial como:

y = C11m xe + C2

2m xe = C1e( + i)x + C2e( – i)x

y = C1ex � eix + C2ex � e–ix

y = C1ex (cos x + i sen x) + C2ex (cos x – i sen x)

y = ex [C1 (cos x + i sen x) + C2 (cos x – i sen x)] y = ex (C1 cos x + i C1 sen x + C2 cos x – C2 i sen x) y = ex (C1 cos x + C2 cos x + i C1 sen x – C2 i sen x) y = ex [(C1 + C2) cos x + i (C1 – C2) sen x] y = ex [(C1 + C2) cos x + i (C1 – C2) sen x] y = ex (c1 cos x + i c2 sen x)

onde c1 = C1 + C2, c2 = i(C1 – C2). Isso nos dá todas as soluções (reais ou complexas) da equação

diferencial. As soluções são reais quando as constantes c1 e c2 são reais.

Resumindo temos:

Exemplo 5: Resolva a equação y” – 6y’ + 13y = 0.

Resolução: A equação auxiliar é m2 – 6m + 13 = 0. Utilizando a fórmula resolutiva temos:

� = (–6)2 – 4(1)(13) = 36 – 52 = –16

m = 6 16

2± −

= 6 4i

2±

= 3 ± 2i

Logo, a solução geral da equação diferencial é y = e3x (c1 cos 2x + c2 sen 2x).

Se as raízes da equação auxiliar am2 + bm + c = 0 forem os números complexos

m1 = + i e m2 = – i, então a solução geral de ay” + by’ + cy = 0 será

y = ex (c1 cos x + c2 sen x)


41

Exemplo 6: Resolva a equação y” – 2y’ + 10y = 0.

Resolução: A equação auxiliar é m2 – 2m + 10 = 0. Utilizando a fórmula resolutiva temos:

� = (–2)2 – 4(1)(10) = 4 – 40 = –36

m = 2 36

2± −

= 2 6i

2±

= 1 ± 2i

Logo, a solução geral da equação diferencial é y = ex (c1 cos 3x + c2 sen 3x).

6.4. Equações diferenciais lineares homogêneas de ordem n > 2 A resolução de equações diferenciais homogêneas de ordem n > 2 é análoga à de ordem 2.


Exemplo 7: Resolva a equação y’” – y” – 4y’ + 4y = 0

Resolução: Essa equação diferencial é de ordem 3. Temos como equação auxiliar (ou equação

característica):

m3 – m2 – 4m + 4 = 0 Fatorando por agrupamento vem:

m2(m – 1) – 4(m – 1) = 0

(m – 1) (m2 – 4) = 0

(m – 1) (m + 2) (m – 2) = 0

m = 1, m = – 2, m = 2

Portanto, a solução geral da equação diferencial dada é y = c1ex + c2e–2x + c3e2x.

Exercícios 119) Resolva as seguintes equações diferenciais: a) y” – 6y’ + 8y = 0

b) y” + 8y’ + 41y = 0

c) y” – 2y’ + y = 0

d) 4y” + y = 0

e) 4y” + y’ = 0

f) 2

2

d ydt

– 2dydt

– y = 0

g) 2

2

d ydt

+ dydt

+ y = 0

h) 62

2

d ydx

– dydx

– 2y = 0

i) 2

2

d ydx

– 8dydx

+ 16y = 0

j) 2

2

d ydx

– 2dydx

+ 5y = 0


42

120) Resolva a equação 3 2

3 2

d y d y dy + 3 4 12y = 0

dx dx dx− − .

121) Resolva a equação 4 3

4 3

d y d y + = 0

dx dx.

122) Mostre que y” – y’ – 2y = 0 tem 2 soluções distintas do tipo y = eax.

123) Verifique que y = ln x é solução de x3 3

3

d ydx

– 6x dydx

+ 12y = 12 lnx – 4.

124) Determine se as séries abaixo são convergentes ou divergentes. Se for convergente, calcule sua soma.

a) nn = 0

310

∞

� b) n

nn = 0

1 23

∞ −� c) n + 2

n = 0

12

∞

� d) n 1

nn = 0

( 5)4

−∞ −� e)

n + 3

nn = 0

23

∞

�

125) Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 6 metros sobre uma superfície plana. Cada

vez que a bola atinge o plano, caindo de uma altura h, ela retorna a uma altura 14

h. Determine a

distância total percorrida pela bola.

126) Use o teste da integral para determinar se cada série abaixo converge ou diverge:

a) 3

n = 1

1n n

∞

� b) 2n = 1

1n + 4

∞

� c) 2

3n = 1

3nn + 16

∞

� d) 2

n = 1

1000n

∞ � ��

�

127) Use o teste da razão para determinar se cada série abaixo converge ou diverge:

a) n

nn = 1

5n 4

∞

��

b) 3

n = 1

n + 1n!

∞

� c) n

n = 1

7n!

∞

� d) n

nn = 1

1 + e2

∞

�

128) Aplicando o teste da divergência, verifique se as séries abaixo convergem ou divergem.

a) n = 1

100n

∞

� b) 2

2n = 1

n5n + 1

∞

� c) 2

n = 1

5n3n + 1

∞

� d) 2

2n = 1

2n + 19n + 5

∞

�


43

CAPÍTULO VII

Aplicações das Equações Diferenciais

As equações diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenômenos físicos

tais como na dinâmica de fluidos e em mecânica celeste. Deste modo, o estudo de equações

diferenciais é um campo extenso na matemática pura e na matemática aplicada.

Equações diferenciais têm propriedades intrinsecamente interessantes tais como:

• solução pode existir ou não.

• caso exista, a solução é única ou não.

As equações diferenciais têm inúmeras aplicações práticas em Medicina, Engenharia, Química,

Biologia, Psicologia e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas,

por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos. Vejamos algumas situações

problemas envolvendo equações diferenciais.

Exemplo 1: Uma curva é definida pela condição de ter em todos os pontos (x, y), a inclinação

dydx

igual ao dobro da soma das coordenadas do ponto. Expresse a condição por meio de uma equação

diferencial.

Resolução: A equação é: dydx

= 2(x + y)

Exemplo 2: Determine a curva y = f(x) cuja tangente (tem inclinação) em cada ponto é proporcional à

abscissa do ponto.

Resolução: A equação da curva é: dydx

= kx

Exemplo 3: Em uma comunidade de 45 000 pessoas, a taxa de crescimento de uma epidemia de gripe

é conjuntamente proporcional ao número de pessoas y que a contraíram e ao número de pessoas que

não a contraíram.


= ky(45 000 – y)


44

Exemplo 4: Em um campus universitário com 5 000 alunos, onde se esperava uma assembleia

estudantil um aluno ouviu que certo estudante polêmico iria fazer, durante a assembleia, um discurso

explosivo. Essa informação foi transmitida para amigo que, por sua vez, a transmitiram a outros. A

taxa com que se espalhou essa informação é conjuntamente proporcional ao número de pessoas y que a

ouviram e ao número de pessoas que não a ouviram.


= ky(5 000 – y)

1. Aplicações da função exponencial natural Modelos matemáticos envolvendo potências de e ocorrem em muitos campos, tais como

Química, Física, Biologia, Psicologia, Sociologia, Administração e Economia. Os modelos que

envolvem, por exemplo, as leis de crescimento e decaimento, surgem quando a taxa de variação de

uma quantidade em relação ao tempo é proporcional à quantidade existente num dado instante. Por

exemplo, é possível que a taxa de crescimento da população de uma comunidade seja proporcional à

população existente num dado instante. Em Biologia, sob certas circunstâncias, a taxa de crescimento

de uma cultura de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias presentes em qualquer instante

dado. Numa reação química é frequente o caso em que a velocidade da reação é proporcional à

quantidade da substância presente; por exemplo, sabe-se experimentalmente que a taxa de decaimento

do rádio é proporcional à quantidade de rádio existente num dado momento. Uma aplicação em

Administração ocorre quando os juros são compostos continuamente.

Em tais casos, se o tempo for representado por t unidades e se y unidades representar o total da

quantidade presente em qualquer instante, então dydt

= kt, onde k é uma constante e y > 0 para todo

t � 0. Se y cresce com o aumento de t, então k > 0 e temos a lei de crescimento natural. Se y decresce

quando t aumenta então k < 0 e temos a lei do decaimento natural.

Vejamos dois exemplos. Exemplo 5: A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é proporcional ao número de

habitantes. Se a população em 1950 era de 50 000 e em 1980, de 75 000, qual a população esperada em

2020?

Resolução: Seja t o tempo em anos, decorrido desde 1950. Seja y a população em t anos. Temos os

seguintes dados:

Para 1950, t = 0 y = 50 000 e Para 1980, t = 30 y = 75 000


45

Queremos determinar o valor de y para t = 70 (ano de 2020). A equação diferencial é:

dydt

= ky dyy

= k dt

dyy�

= k dt� ln y = kt + C

y = ekt + C y = ekt � ec

y = Cekt

Substituindo os valores conhecidos na última função vem: 50 000 = Cek . 0

50 000 = Ce0

50 000 = C

C = 50 000

Então, a temos a seguinte função: y = 50 000ekt

y = 50 000 ( )t

30k 30e

y = 50 000 ( )t

301,5

Substituindo t por 70, vem:

y = 50 000 ( )70301,5

y = 128 780 Resposta: Portanto, a população esperada em 2020 é de 128 780 habitantes. Exemplo 6: A taxa de decaimento do rádio é proporcional à quantidade presente em qualquer instante.

Se houver 60 mg de rádio agora e sua meia vida for de 1690 anos, qual a quantidade de rádio daqui a

100 anos? (Em problemas envolvendo a lei do decaimento natural, a meia vida de uma substância

é o tempo para que ela seja reduzida à metade da quantidade inicial).

Resolução: Seja t o tempo em anos, decorrido desde 1950. Seja y o número de miligramas de rádio

presentes em t anos. Temos os seguintes dados:

t = 0 y = 60 e t = 1960 y = 30

75 000 = 50 000ek . 30

e30k = 1,5


46

Queremos determinar o valor de y para t = 100. A equação diferencial é:

dydt

= ky dyy

= k dt

dyy�

= k dt� ln y = kt + C

y = ekt + C y = ekt � ec

y = Cekt

Substituindo os valores conhecidos na última função vem: 60 = Cek . 0

60 = Ce0

60 = C

C = 60

Então, a temos a seguinte função: y = 60ekt

y = 60 ( )t

1960k 1960e

y = 60 ( )t

19600,5


y = 60 ( )100

19600,5

y = 57,9 Resposta: Portanto, daqui a 100 anos haverá 57,9 mg de rádio. 2. Lei de Resfriamento de Newton Outra aplicação das equações diferenciais na Física é a lei do resfriamento de Newton, que

estabelece que a razão na qual um corpo varia de temperatura é proporcional à diferença entre a

temperatura do corpo e a do meio ambiente que o cerca.

Por exemplo, antes de tomar um café, geralmente esperamos um pouco até que o líquido esfrie.

Uma xícara de café fica quase intragável se esfriar até chegar à temperatura ambiente.

30 = 60ek . 1960

e1960k = 0,5


47

Suponha, então, que T(t) denote a temperatura de um corpo no instante t e que a temperatura do

meio ambiente seja constante, igual a Tm. Se dTdt

representa a taxa de variação da temperatura do

corpo, então a lei de resfriamento de Newton poderá ser expressa matematicamente da seguinte forma:

dTdt

= k(T – Tm),

em que k é uma constante de proporcionalidade. Como, por hipótese, o corpo está esfriando, devemos

ter T > Tm; logo, k < 0.

Vejamos um exemplo.

Exemplo 7: Se um corpo estiver no ar, cuja temperatura é 35º e resfria-se de 120º a 60º em 40 min, use

a lei do resfriamento de Newton para determinar a temperatura do corpo depois de 100 min.

Resolução: Seja t o tempo decorrido desde que o corpo começou a esfriar. Seja y graus a temperatura

do corpo em t min. Temos os seguintes dados:

t = 0 y = 120 e t = 40 y = 60 Queremos determinar o valor de y para t = 100. A equação diferencial é:

dydt

= k(y – 35) dy

y 35−= k dt

dy

y 35−� = k dt� ln y 35− = kt + C

y – 35 = ekt + C y – 35 = ekt � ec

y – 35 = Cekt y = 35 + Cekt

Substituindo os valores conhecidos na última função vem: 120 = 35 + Cek . 0

85 = Ce0

C = 85

60 = 35 + 85ek . 40

25 = 85e40k

e40k = 5

17


48

Então, a temos a seguinte função:

y = 35 + 85ekt

y = 35 + 85 ( )t

40k 40e

y = 35 + 85

t405

17� ��


y = 35 + 85 � 2,5

517� ��

y = 39 Resposta: Portanto, após 100 minutos a temperatura do corpo será 39º. Exercícios

129) Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a

4x – 5. Se a curva contém o ponto (3, 7), determine sua equação.

130) A função custo marginal2 C’ é dada por C’(x) = 4x – 8 quando C(x) é o custo total da produção de

x unidades. Se o custo da produção de 5 unidades for de R$ 20,00, ache a função custo total.

131) O ponto (3, 2) está numa curva e em qualquer ponto sobre a curva a inclinação da reta tangente é

igual a 2x – 3. Ache uma equação da curva.

132) A inclinação da reta tangente num ponto qualquer (x, y) da curva é 3 x . Se o ponto (9, 4) está na

curva, determine uma equação para ela.

133) Uma partícula move-se ao longo de uma linha reta, no SI. Se a = 2t – 1 e v = 3 e s = 4 quando

t = 1, determine as funções espaço e velocidade em funções de t.

2 Em economia e finanças, custo marginal é a mudança no custo total de produção advinda da variação em uma unidade da quantidade produzida.


49

134) Um operário recém-contratado realiza uma tarefa com maior eficiência a cada dia que passa; de

tal forma que se y unidades forem produzidas por dia após t dias no trabalho, então dydx

= k(80 – y),

onde k é uma constante positiva e y < 80 para todo t � 0. O empregado produz 20 unidades no primeiro

dia de trabalho e 50 unidades por dia após 10 dias de trabalho. Quantas unidades por dia ele estará

produzindo após 30 dias de trabalho?

135) Ache uma equação da reta tangente à curva y = ln x no ponto de abscissa 2.

136) Numa certa cultura a taxa de crescimento das bactérias é proporcional à população presente. Se

existirem 1 000 bactérias inicialmente e a quantidade dobrar em 12 minutos, quanto tempo levará até

que haja 1 000 000 de bactérias?

137) A taxa de crescimento natural da população de certa cidade é proporcional à população. Se a

população aumenta de 40 000 para 60 000 em 40 anos, quando a população será de 80 000?

138) O crescimento das bactérias numa certa cultura se faz segundo uma taxa proporcional ao número

de bactérias presentes. Se inicialmente existem 1 000 bactérias e o número dobra em 30 minutos,

quantas bactérias haverá em 2 horas?

139) Se a meia vida do rádio for de 1 690 anos, que porcentagem da quantidade presente agora restará

após:

a) 100 anos? b) 1 000 anos?

140) A mortalidade no inverno de uma certa espécie de animal selvagem numa dada região do

hemisfério norte apresenta uma taxa proporcional ao número de indivíduos presentes em qualquer

momento. Havia 2 400 indivíduos da espécie em 21 de dezembro (primeiro dia de inverno) e 30 dias

depois havia 2 000. Quantos indivíduos da espécie deverão sobreviver ao inverno? Isto é, quantos

estarão vivendo 90 dias após 21 de dezembro?

141) Um peru assado é retirado do forno quando sua temperatura alcança 85ºC e é colocado em uma

mesa onde a temperatura é de 24ºC.

a) Se a temperatura do peru for de 66ºC depois de meia hora, qual será a temperatura dele após 45

minutos?

b) Quando terá o peru se resfriado a uma temperatura de 38ºC?

(Use a lei do resfriamento de Newton)


50

142) Use a lei do resfriamento de Newton para determinar a temperatura de um corpo num ambiente

onde a temperatura é 40ºC, se 30 minutos atrás a temperatura do corpo era 150ºC e 10 minutos atrás

era 90ºC.

143) Um aluno que está estudando uma língua estrangeira tem 50 verbos para serem memorizados. A

taxa a qual o estudante pode memorizar esses verbos é proporcional ao número de verbos que restam a

ser memorizados, isto é, se o estudante memoriza y verbos em t minutos, então dydx

= k(50 – y).

Suponha que inicialmente nenhum verbo tenha sido memorizado e que nos primeiros 30 minutos 20

verbos foram memorizados. Quantos verbos serão memorizados em:

a) 1 hora?

b) 2 horas?

c) Após quantas horas restará apenas um verbo para ser memorizado?

144) Determine os valores de m para que y = emx seja uma solução para cada equação diferencial

abaixo:

a) y” – 5y’ + 6y = 0

b) y” + 10y’ + 25y = 0

145) Determine os valores de m para que y = xm seja uma solução para cada equação diferencial

abaixo:

a) x2y” – y = 0

b) x2y” + 6xy’ + 4y = 0


51

Respostas dos exercícios

CAPÍTULO V Séries

95) Uma sequência é uma lista ordenada de números, ao passo que uma série é a soma de uma lista de

números.

96) Uma série é convergente se a sequência de somas parciais for uma sequência convergente. Uma

série é divergente se ela não convergir.

97) nn = 1

a∞

� = 5 significa que adicionando suficientemente uma quantidade de termos da sequência, a

série chegará próximo do número 5. Em outras palavras, significa que nnlim S

→∞ = 5, onde Sn é a soma

parcial. 98a) É convergente b) É divergente

99a) 9 b) divergente c) 15

d) 17

e) divergente f) divergente

g) 32

h) divergente

i) 32

j) divergente k) divergente

100a) 29

b) 1138333

c) 41 111

333 000

101a) –3 < x < 3; x

3 x− b)

1 1 < x <

4 4− ;

11 4x−

c) 3 < x < 5; x 45 x

−−

d) 1 < x < 5; 2

x + 1−

102) 3 12−

103) 10

104a) convergente

b) divergente

c) convergente

d) convergente

e) convergente

f) convergente

g) divergente

h) convergente

105) 60 106) m


52

107) Alternativa C 108) Alternativa A 109) Alternativa D 110a) A série é divergente b) A série é convergente c) Pode convergir ou divergir

111a) convergente

b) convergente

c) divergente

d) convergente

e) convergente

f) convergente

g) convergente

h) divergente

112) 8 113) 416 90999 900

CAPÍTULO VI Equações Diferenciais

114a) Ordem 3 e grau 1 b) Ordem 2 e grau 1

c) Ordem 4 e grau 5 d) Ordem 2 e grau 1

e) Ordem 2 e grau 7

115a) É solução b) Não é solução c) É solução d) É solução

e) Não é solução f) É solução g) É solução

116) Em (0, �) temos que y’ = 1x

e y” = 2

1x

− . Levando esses valores na equação diferencial,

obtemos:

xy” + y’ = x 2

1x

� �−� ��

+ 1x

= 1x

− + 1x

= 0

Assim, pois, y = ln x é solução em (0, �). Mas y = ln x não poder ser solução em (–�, �) pois

logaritmo não é definido para valores não positivos.

117a) y = 2xce 32

−

b) y = 3ln 2x + 1

6 + C

c) y = 2x ln x2

–2x

4 + C

d) y = 4x

24 + C1

2x2

+ C2x + C3

e) y = 2xe

4

−

+ C1x + C2

f) y = 4cos(5x 1)

20−− + C

g) y = sen 2x

4− +

cos 4x16

+ C1x + C2

h) y = 3 9(x + 1)27

+ C

i) y = 2x

2– x + ln x + 1 + C

j) y = 2x

2 + 3x + C


53

118a) y = Cx

b) y = C

1 x−– 1

c) 2 2y = 2ln x x + C−

d) y – ln y + 1 = 3x – ln x + C

e) y + 2 ln y 2− = –x + ln x + C

f) y = C14x ou y4 = Cx

g) 3y 2x3e = e + C

2− −

h) 1ye = –sen(ln x) + C

i) y = 2x

lnx + 1

+ C

j) y = 4tg(5x 1)

+ C20

−

119a) y = c1e2x + c2e4x

b) y = e–4x (c1 cos 5x + c2 sen 5x)

c) y = c1ex + c2xex

d) y = c1 cosx2

� ��

+ c2 senx2

� ��

e) y = c1 + c2e–x/4

f) y = ( ) ( )1 + 2 t 1 2 t

1 1c e + c e−

g) y = x/21 1

3 3e c cos t + c sen t

2 2−

��

h) y = c1e–x/2 + c2e2x/3

i) y = c1e4x + c2xe4x

j) y = ex (c1 cos 2x + c2 sen 2x)

120) y = c1e2x + c2e–3x + c3e–2x 121) y = c1 + c2x + c3x2 + c4e–x

122) Demonstração 123) Demonstração

124a) 103

b) 32

−

c) 14

d) diverge e) 24

125) 10 metros 126a) converge b) converge c) diverge d) converge 127a) diverge

b) converge absolutamente

c) converge absolutamente

d) diverge

128a) converge b) converge c) diverge d) converge


54

CAPÍTULO VII Aplicações das Equações Diferenciais

129) y = 2x2 – 5x + 4 130) C(x) = 2x2 – 8x + 10

131) y = x2 – 3x + 2 132) y = 2 3x – 7

133) v = t2 – t + 3

S = 13

t3 – 12

t2 + 3t + 76

134) O empregado estará produzindo 72 unidades por dia.

135) y = x

1 + ln 26

− 136) 119,6 min 137) 68,4 anos

138) 16 000 139a) 96% b) 66% 140) 1 389

141a) 59ºC b) 118 min 142) 73,7º

143a) 32 b) 43,5 c) 3,83

144a) m = 2 e m = 3 b) m = –5

144a) m = 1 5

2±

b) m = –1 e m = –4


55

Bibliografia

AVILA, G. Análise Matemática para Licenciatura. 3ª Ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2009. 246 p.

ISBN: 8521203950

COURANT, R.; ROOBINS, H. O que é Matemática? São Paulo: Ciência Moderna, 2000. 621 p.

ISBN: 8573930217

GUIDORIZZI, H. L. Curso de Cálculo, vol. 2. Rio de Janeiro: 2001.

HOFFMANN, L. D.; BRADLEY, G. L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro:

LTC, 2002. ISBN: 9788521616525

LIMA, E. L. Curso de Análise, vol. 1. Coleção Projeto Euclides. 12ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2008.

431 p. ISBN: 978-85-244-118-3

LIMA, E. L. Análise Real. Vol. 1. 10ª ed. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: IMPA,

2008. 431 p. ISBN: 978-85-244-0048-3

STEWART, J. Cálculo. Vol. 1. 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.

STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. 5ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.

THOMAS, G. B. Cálculo vol.1. 10ª ed. São Paulo: Pearson, 2005.

ZILL, D. G. e CULLEN, M. R. Equações Diferenciais, Volume 1. Tradução Antonio Zumpano. 3ª ed.

São Paulo: Pearson Makron Books, 2001.


56

Anexo I Caos

Por John H. Hubbard (Departamento de Matemática – Cornell University) Uma história famosa de ficção cientifica conta que um político, após ter ganho uma eleição,

realizou uma viagem em uma máquina do tempo de volta à era dos dinossauros. Enquanto estava lá,

tomou todo o cuidado para não perturbar nada. Mesmo assim, ele pisou sem querer em uma folha de

grama e a entortou. Quando voltou ao seu tempo, descobriu que neste mundo modificado ele tinha

perdido a eleição.

Isto é que os matemáticos têm em mente quando dizem que um sistema apresenta caos: mínimas

variações na condição inicial de um sistema podem decisivamente afetar o resultado. Estamos falando

do efeito borboleta. O bater das asas de uma borboleta no Japão pode ter um efeito decisivo no tempo,

um mês depois, nos Estados Unidos?

A maioria das pessoas consideraria essa questão absurda, ridícula, sem pensar duas vezes. Mas eu

acho que é uma questão relevante, se o intervalo de tempo for de pelo menos seis meses, e proponho

aqui dar algumas razoes quantitativas para minhas conclusões.

Uma justificativa para o efeito borboleta não é de maneira alguma óbvia. Não temos uma

máquina do tempo disponível; não podemos voltar no tempo seis semanas, pegar uma borboleta (sem

perturbar nada, qualquer que seja o significado disto) e então retornar e observar as consequências.

Precisamos tomar outro caminho.

Para ajudá-lo a acompanhar a ideia, descreverei um “modelo lúdico” que mostra claramente o

“efeito borboleta”, através do qual as ideias que serão apresentadas podem ser entendidas.

Considere o sistema (puramente matemático) no qual, a cada tique do relógio, um ângulo é

dobrado. Um estado do sistema é um ângulo, e ele evolui dobrando seu valor a cada instante. Em

símbolos, você pode descrever o sistema como uma sequência de ângulos 0� , 1� , ..., em que 0� é o

estado inicial do sistema e n + 1 n� = 2� .

Esse sistema representa o comportamento do efeito borboleta. Se 0� for perturbado por um

bilionésimo de uma volta, então o estado após 30 tiques do relógio é completamente desconhecido. Na

verdade, a incerteza em nosso conhecimento sobre o estado do sistema dobra a cada tique; após 30

tiques, nossa incerteza é agora de 302

1 000 000 000. Ou seja, mais de um volta; nada mais sabemos.

O exemplo acima traz uma noção-chave em todas as descrições de caos: entropia. Isso é

essencialmente a taxa de dissipação de informação. Há várias maneiras de descrever essa taxa com

precisão, e elas têm vários nomes (por exemplo, exponencial de Lyapunov), mas, para o propósito


57

deste texto, vou me contentar com o tempo de duplicação: o tempo necessário para uma pequena

incerteza se duplicar.

Como faríamos para estimar esse tempo no sistema formado pelos fatores meteorológicos? É

claro que não podemos “escolher dois estados iniciais separados um do outro por um épsilon e medir a

taxa em que divergem”, mas podemos fazer alguma coisa parecida com isso. Podemos verificar épocas

passadas com condições meteorológicas semelhantes. Então podemos ver quanto tempo levou para

uma mudança dessas condições. Isso tem sido feito, proporcionando o cálculo de um tempo de

duplicação de dois dias e meio.

Você também pode ir ao departamento de meteorologia de um grande instituto de pesquisa e

perguntar qual é o tempo de duplicação calculado por suas melhores simulações computacionais. Você

obterá o mesmo valor.

A próxima questão com que devemos nos deparar é: o que corresponde ao número um

bilionésimo acima? Qual proporção do sistema (a atmosfera) representa nosso distúrbio (uma

borboleta)? Uma maneira (talvez contestável) de estimar isso é simplesmente medir a razão das

massas. O peso de uma borboleta grande é cerca de 1 grama, e a massa da atmosfera pesa 5 � 1021

gramas.

A pressão atmosférica é de aproximadamente 1 kg/cm2, ou seja, há 1 kg de ar acima de todo

centímetro quadrado da terra. A área de uma esfera de raio r é 4 � r2, e o raio da terra é de cerca de 6

000 km. Então, o peso da massa atmosférica é 1 000 � 4 � � � (6 � 108)2 gramas. Logo, uma borboleta

não é um bilionésimo do tamanho do sistema; ela é precisamente mil-bilhão-bilionésimo.

Como 5 � 1021 é aproximadamente 272, deve levar cerca de 72 períodos de duplicação para os

efeitos de uma única borboleta induzirem perturbações em uma escala global.

Uma consequência dessa análise é que previsões do tempo para períodos longos são

completamente impossíveis. É inconcebível que alguém possa saber o estado da atmosfera como

consequência do efeito de uma borboleta, ou mesmo em uma escala mil bilhões de vezes maior.

Perturbações dessa escala decisivamente afetam a atmosfera em um mês.

Físicos, químicos, astrônomos e matemáticos estão mostrando agora que uma enorme quantidade

de sistemas apresentam “caos”, no sentido de que estão se expandindo e têm um tempo de duplicação

para erros.

Um exemplo foi dado pelo meteorologista E. Lorenz, cuja descoberta pode ter sido o começo

dessa linha inteira. Em 1961, ele estava realizando uma simulação meteorológica. Os computadores da

época eram primitivos, por isso os dados tinham de ser drasticamente simplificados, para tornar

possível o trabalho computacional. Ele observou vários comportamentos a partir de seu modelo,

aparentemente bem satisfatórios, até o dia em que decidiu examinar alguma coisa que ele já tinha

computado durante um período de tempo mais longo. Ele registrou o que pensou ser as condições


58

iniciais originais, foi tomar uma xícara de café e quando voltou percebeu que seu novo tempo não

estava de acordo com a previsão anterior de seu modelo.

Ele notou que registrara as condições iniciais com menos decimais que as condições iniciais da

simulação anterior; e isso causara a discrepância. Após simplificar ainda mais seu modelo, Lorenz

descobriu que o seguinte sistema de equações diferenciais exibia o mesmo tipo caótico de

comportamento:

x’ = 10(y – x)

y’ = 28x – y – xz

z’ = 83

z + xy

Trabalhos posteriores nessas equações e outras em R3 mostraram que comportamento caótico e

atratores fractais são comuns.

A presença de caos tem um efeito devastador sobre as previsões, mas algumas vezes é útil; às

vezes, o caos pode ser controlado.

A NASA não é capaz de construir foguetes com combustível suficiente para alcançar grandes

distâncias. Então, eles fizeram com que o foguete tocasse delicadamente em Vênus, roubando dele um

pouco da energia potencial necessária para alcançar a fantástica velocidade requerida. Apenas uma

pequena variação na trajetória pode provocar uma grande variação na velocidade do foguete, e

trajetória é um projeto factível. Mas imagine como isso dificulta previsões para longas trajetórias como

órbitas de cometas, por exemplo.

A presença de caos também tem consequência filosóficas, como, por exemplo, o conflito entre

determinismo e contingência. Como o ser humano pode ser livre se o universo é completamente

governado por leis determinísticas?

Se as equações exibem caos, então segue-se que você não pode saber se são determinísticas, não

importa o tempo que observe o sistema. Se você fosse observar uma sequência de ângulos, cada um

com 15 decimais, nunca poderia saber se está observando uma sequência de duplicações exatas de um

ângulo ou o mesmo sistema perturbado em uma escala menor que 10–15 (tal como erro de

arredondamento).

Analogamente, se o cérebro não estivesse seguindo exatamente as leis da física, mas se

encontrasse perturbado (por forças espirituais, liberdade, deus) em uma escala imensurável, sem afetar

drasticamente o sistema (eu duvido que alguém reaja da mesma forma com eletrodos em seu cérebro),

então, embora você nunca soubesse, em talvez 4 segundos, poderia decisivamente alterar todas as

decisões. Precisamente, seria necessário o conhecimento sobre o tempo de duplicação do cérebro. A

introspecção me diz que isso deve ser talvez 0,1 segundo, o tempo de uma compreensão elementar.


59

Talvez, algum dia, os neurologistas cheguem a uma estimativa mais confiável. Se isso for acurado,

então 4 segundos serão os 40 tempos de duplicação, e 240 ≈ 1012 é aproximadamente o número de

neurônios do cérebro.

Pessoalmente, não acho que haja um deus atrapalhando as leis físicas em meu cérebro, mas isso

não é possível saber. O caos nos impede de saber tais coisas.

De modo mais geral, embora eu tenho a segurança que você poderia esperar um cientista, acho

que o mundo é essencialmente incompreensível, com toda sorte de pequenos eventos tendo enormes

consequências sem nenhuma esperança de previsão ou entendimento.

Se você acha absurda a ideia de que suas menores ações provavelmente influenciam todo o

mundo futuro, pense no seguinte fato: a menor variação no comportamento sexual de qualquer pessoa

no ano 800 d.C., teria certamente afetado o mundo de várias maneiras incalculáveis.

Fonte: Zill, Dennis G. Equações Diferenciais, volume 1. tradução: Antonio Zumpano. 3.ed. São

Paulo: Pearson Makron Books, 2001. pp. 221-224.


60

Anexo II O colapso da ponte Tacoma Narrows

Por Gilbert N. Lewis (Departamento de Matemática e Ciência da Computação – Michigan

Technological University)

As oscilações no caso de ressonância tornam-se muito grande após um certo período de tempo.

Em um sistema físico, isso seria catastrófico, pois o aumento contínuo das amplitudes de oscilação

quebrariam o sistema. Como exemplos, podemos citar as asas de um avião e soldados marchando

sobre uma ponte. Nesses exemplos, as forças periódicas com frequência igual à frequência natural das

estruturas foram impressas na direção das vibrações, ocasionando a destruição das estruturas por

ressonância.

Outro exemplo usado para ilustrar o fenômeno de ressonância é o colapso da ponte Tacoma

Narrows no estado de Washington. A ponte foi aberta ao tráfego no verão de 1940. Grandes oscilações

da pista foram logo observadas, sempre quando havia vento. A ponte passou a ser chamada de

“Galloping Gertie” (ponte galopante) e tornou-se uma atração turística. As pessoas gostavam de

observar as vibrações e mesmo dirigir através da ponte em uma excitante montanha-russa. Finalmente,

em 7 de novembro de 1940, toda a estrutura do vão foi fragmentada pelas grandes vibrações e houve o

colapso. (Ver figura 1)

Figura 1

Durante 50 anos, a ressonância foi responsabilizada pelo colapso. Pensava-se que, quando o

vento soprava horizontalmente, formavam-se vórtices de vento alternados de baixo para cima e de

cima para baixo, criando então uma força vertical periódica que agia na mesma direção da vibração da

ponte. (ver figura 2). Ainda, supunham que a frequência dessa força periódica era exatamente igual à

frequência natural da ponte, ocasionado então grande amplitude de vibrações e causando a queda da

ponte. Essa explicação foi (talvez erroneamente) atribuída ao notório engenheiro von Karman. Em sua

autobiografia, ele explicou que o colapso da ponte foi realmente devido aos vórtices de von Karman.


61

Porém, em um relatório técnico enviado à “Federal Works Agency”, ele e seus co-autores concluíram

que “é pouco provável que ressonância devido a vórtices alternados tenha desempenhado um papel

importante nas oscilações de pontes suspensas”. Infelizmente, a ressonância permaneceu firme como

uma explicação na literatura popular e matemática.

Figura 2

Ressonância é um fenômeno linear. Além do mais, é inteiramente dependente da coincidência da

frequência de alguma força externa periódica. Ainda, a ressonância requer absoluta ausência de

amortecimento no sistema. Não é de surpreender, portanto, que a ressonância não tenha sido o fator

dominante no colapso da Ponte Tacoma Narrows.


62

Se não foi ressonância, então qual é a explicação? Uma pesquisa recente forneceu uma

explicação alternativa para o colapso da ponte. Lazer e McKenna argumentam que efeitos não-lineares,

e não ressonância linear, foram os principais fatores que provocaram grandes oscilações da ponte. Não

há dúvida de que o vento através da pista proporcionou a força externa que causou o movimento. Essa

força poderia mesmo se dever parcialmente aos vórtices, como von Karman sugeriu. Porém, interações

não-lineares entre a ponte e as forças externas são causas mais prováveis para o colapso.

Na teoria linear, os cabos agem como uma mola elástica. Assim, o modelo matemático leva à

uma equação diferencial do tipo 2

22

d x dx + 2� + � x = F(t)

dt dt, ou à equação

22

02

d x + � x + F sen t

dt, se

não há presença de amortecimento. Este último caso, em que há ressonância, é a única situação

possível na teoria linear, em que pequenas forças externas poderiam causar grandes amplitudes de

vibrações. Como mencionamos antes, esse cenário é pouco provável.

Por outro lado, efeitos não-lineares podem causar grandes amplitudes de vibrações com forças de

pequenas amplitudes. Podem também explicar a transição de oscilações unidimensionais para

oscilações transversais (torção), as quais foram as principais responsáveis pelo colapso da ponte.

Compare a estrutura

reforçada da ponte

Tacoma nessa fotografia,

mostrando a ponte

reconstruída, com a

estrutura delicada de

1940, bem visível nas

fotografias anteriores.


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A ideia básica no modelo de Lazer-McKenna é a seguinte. Quando os cabos verticais estão sob

tensão (o peso da ponte está puxando-os para baixo), eles agem como uma mola elástica, e neste caso a

equação diferencial é linear. Porém, quando forças externas provocam oscilações na ponte (ventos e

possivelmente tremores de terra), os cabos não estarão sempre sob tensão, e haverá somente a

gravidade atuando. Em outras palavras, o termo da lei de Hooke, km

� ��

x na equação

2

2

d x dx k f(t) + + x =

dt m dt m m, não estará presente. Essa transição de um tipo de equação diferencial

linear para outro é uma fonte de não-linearidade. Outras fontes de não-linearidade em pontes suspensas

devem ser incluídas no modelo não-linear e não-simétrico ou interações dos cabos verticais com os

cabos principais ou com as torres de suporte. Essa não-linearidade é combinada pelo fato de que cabos

diferentes podem estar sob tensão em instantes diferentes. O resultado dessa não-linearidade,

argumentam Lazer e McKenna, podem ser oscilações de grandes amplitudes sob moderadas forças

externas.

Um outro aspecto das equações não-lineares é a imprevisibilidade. Isso pode explicar, por

exemplo, por que a ponte experimentou oscilações de grande amplitude sob a ação de pequenos ventos

e ficou perfeitamente estável sob a ação de fortes ventos.

Como Lazer e McKenna observaram a teoria não-linear de pontes suspensas ainda não foi

completamente desenvolvida. Porém, simulações numéricas do modelo estão de acordo com as

observações. Parece que essa abordagem proporcionará explicações mais precisas para o colapso da

Ponte Tacoma Narrows.

Fonte: Zill, Dennis G. Equações Diferenciais, volume 1. tradução: Antonio Zumpano. 3.ed. São

Paulo: Pearson Makron Books, 2001. pp. 270-273.

material de apoio: análise matemática - 2º semestre

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