PB 1

UDESC2016/2

MATEMÁTICA

X

X

Resolução

Det A = x2 – 3x + 848 ≤ x2 – 3x + 8 ≤ 116

x 3x 40 0 (1)

x 3x 108 0 (2)

2

2

x2 – 3x – 40 ≥ 0 x2 – 3x – 108 ≤ 0x ≤ –5 ou x ≥ 8 –9 ≤ x ≤ 12

(1) ∩ (2) = {x ∈ R/–9 ≤ x ≤ –5 ou 8 ≤ x ≤ 12}

Total de inteiros = 10

2 3

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X

Resolução

Resolução

a + b + c = 1 (I)a + 2b = 10 (II)a + 2b – 3c = 1 (III)

Em (II):

a = 10 – 2b

Substituindo em (III) e (I), temos:

–3c = –9 ⇒ c = 3–b + c = –9 ⇒ b = 12

Em (I), vem:

a + 12 + 3 = 1a = –14

2 3

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X

Resolução

Inicialmente A e B possuem cada um n peças.Após algumas rodadas A perde x peças e B perde 8 peças, e a vantagem de A é de 6 para 5. Equacionando, temos:

n xn

8

65

⇒ 5n – 5x = 6n – 48 ⇒ –n – 5x = –48

Após mais algumas rodadas A perde mais 4 peças e B mais 10 peças, ficando A com o dobro de peças de B.

n –x – 4 = 2 . (n – 8 – 10)–n – x = –32

Resolvendo o sistema:

–n – 5x = –48–n – x = –32

Encontramos n = 28.

4 5

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XComentário

Construindo os gráficos das funções no mesmo plano cartesiano.

Queremos calcular a área da região A, que é retangular. Determinando o ponto de intersecção entre as funções

f(x) e g(x):

|x| = |x – 2|x = x – 2 ou x = –x + 20 = –2 (absurdo)2x = 2 ⇒ x = 1

Substituindo em f(x) = |x| ⇒ y = |1| = 1.

Logo, o ponto é (1, 1).

Um dos lados do retângulo é a distância entre os pontos (2, 0) e (1, 1).

d = 2 1 + 0 1 = 22 2

Determinando o ponto de intersecção entre as g(x) e h(x):

|x – 3| = |x – 2|

x – 3 = x – 2 ou x – 3 = –x + 2–3 = –2 (absurdo)2x = 5 ⇒ x = 5/2 = 2,5

Substituindo na função g(x) = |x – 2| ⇒ y = |2,5 – 2| = 0,5.

Um dos lados do retângulo é a distância entre os pontos (2,0) e (2,5; 0,5).

d = 2 2,5 + 0 0,5 =2

22 2

Calculando a área A, temos:

A = 2 . 2

2= 1

4 5

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X

Comentário

( V ) A professora tem 104 alunos distintos.( F ) 40 alunos estão matriculados em exatamente duas disciplinas lecionadas pela professora Joana. ( V ) 48 dos alunos estão matriculados somente em uma disciplina com a professora Joana.

Resolução

Em cada disciplina há exatamente 40 matriculados.Apenas em A1 = 8.Apenas em A2 = 16.Apenas em C1 = 12.Apenas em C2 = 1/3 (8 + 16 + 12) = 12.Matriculados em A1 e C1 = 2 . 12 = 24.

Observe o diagrama:

6 7

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X

Resolução

Seja o conjunto de valores: {14; 17; 22; a; b; 37} com X Md= = 24 . Então,

Ma

a

a

a

d

222

24 222

48 2226

Ainda,

Xb

b

b

b

14 17 22 26 376

24 1166

144 11628

Temos o conjunto: {14; 17; 22; 26; 28; 37}. Calculando a variância:

14 17 22 26 28 37

10 7 2 2 4 13

100 49 4 4 16 1692

x x

x x

i

i

−

−

Var

Var

Var

100 49 4 4 16 1696

342657

∴ Desvio padrão = 57 .

6 7

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X

X

Resolução

Resolução

V = 1

. . r . h 2

= 1

. 1

. a

. acone2

2

3 3 3 3 2

Logo, a = 2.

Área do cubo = 6 . 22 = 24

Sendo a o lado do quadrado Q1, x o lado do quadrado Q2 e y o lado do quadrado Q3.

Por Pitágoras: x2 = (a/2)2 + (a/2)2

x =

a 22

Por Pitágoras: y2 = (x/2)2 + (x/2)2

y =

a2

Lados: a, a

a2

2 2,

. Logo, a se-

quência é uma PG de razão 22

.

Área de Q1 = a2.

Área de Q2 = a a2

2 2

22

Área de Q3 = a a2 4

2 2

Logo, as áreas formam uma PG de razão 1/2.

8 9

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X

Resolução

f(x) = x2 g(x) = x – 1 g–1(x) = x + 1 fog(x) = (x – 1)2

A = 3 4

2 7

det A = 29

B = 0 1

2 16

det B = 2

det (A . B) = 29 . 2 = 58

8 9

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X

X

Resolução

O número de elementos do conjunto P(X) é dado por n(P(X)) = 26 = 64.

Resolução

136

126 6

136 6

32

114

84

34

114

34

cos cos

cos cos ccos

422

76

56

12

313

303 3

313

sen sen

tg

tg

3

3

Portanto:

6 136

4 114

76

313

2 2 2cos cos

sen tg

6

64 3

456 3

6

2 2 2cos cos

sen tg

332

4 22

12

3

6 34

4 12

12

2 22

33 6

10 11

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X

Comentário

Área do hexágono = 6 . 6 3

= 54 32

4

Obtendo h: tg 30o = h3

3 h = →

Área de PMC = 3 32

Área sombreada = 54 3 4 . 3 3

= 48 3−2

10 11

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X

Comentário

José sabe o nome do banco e Luiz, o número da conta. Pela primeira afirmação de José no diálogo, sabemos que ele tem certeza de que Luiz

não sabe o nome do banco. Isso nos permite descartar por completo os bancos C e D devido ao seguinte: dito que Luiz sabe o número da conta e os únicos números que não se repetem são o 314 e o 720, se alguns desses números fosse o número da conta, Luiz já teria a resposta.

Mas José disse ter certeza de que Luiz não sabe. Por outro lado, para que José esteja seguro de que Luiz não sabe o nome do banco, o banco não pode ser nem C nem D. Nesses bancos estão os números de contas que não se repetem na lista de números possíveis. A única forma de José ter certeza de que Luiz não sabe o nome do banco é que ela não seja nem C e nem D. Com a primeira afirmação de José, Luiz já sabe que C e D estão descartados. No diálogo, Luiz diz que agora sabe o nome do banco. Isso nos permite descartar a conta 101, porque o número aparece duas vezes, em A e B. Como Luiz só sabia o número da conta, se ele fosse o 101 então Luiz não poderia ter a resposta final. Assim, após se descartar essas opções, as únicas contas ainda possíveis são 223, 500 e 876. José diz em sua última afirmação que se Luiz sabe, então ele também sabe. Isso porque José sabe que o banco correto deve ser A. Se fosse B, José não poderia ter certeza, pois ficaria em dúvida entre as contas 223 e 500.

A 101 876

B 101 223 500

C 223 720 876

D 314 500

Logo, resposta certa é banco A e conta 876.