matemÁtica questões de 05 a 08 sejam, nessa ordem, três ... · mat. – 6 2º vestibular ufop...

MAT. – 6

2º VESTIBULAR UFOP 2009

GRUPO 1 – TIPO A

MATEMÁTICA

Questões de 05 a 08

05. Suponha que os números reais 1,1 r− e 1 r+ sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 0r ≠ .

Determine r de modo que as imagens )1(),1( frf − e (1 )f r+ desses números pela

função 2( ) 3f x x= sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão geométrica.

MAT.– 7


GRUPO 1 – TIPO A

06. Mostre que, dado um número inteiro positivo n, o número complexo niw )31( +=

é um número real somente quando n for múltiplo de 3.

MAT. – 8


GRUPO 1 – TIPO A

07. A única sala de cinema de uma cidade tem capacidade para 400 expectadores. A média de público nos finais de semana é de 80 pessoas por sessão. Para aumentar a presença do público, o diretor do cinema resolveu reduzir o preço do ingresso, que custava R$ 6,00. Observou que, para cada redução de R$ 0,50 no preço do ingresso, o público aumentava em 40 pessoas. Baseando-se nessa observação, responda às questões propostas.

A) Qual deve ser o valor do ingresso para que o faturamento do cinema seja

máximo?

B) Esse valor corresponde à expectativa de um público de quantas pessoas?

MAT.– 9


GRUPO 1 – TIPO A

08. Na figura abaixo, temos representado um cubo de volume igual a 3

3

4m e um prisma

cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Sabendo que M e N são os pontos

médios dos segmentos AD e BC respectivamente, determine o volume desse

prisma (em 3m ).

A

BC

D

E H

N

GF

M

.

.

.

.

. .

. .

.

.

MAT. – 6


GRUPO 1 – TIPO B

MATEMÁTICA


05. Na figura abaixo, temos representado um cubo de volume igual a 3

3

4m e um prisma

cujas bases são os quadriláteros AEHM e BFGN. Sabendo que M e N são os pontos

médios dos segmentos AD e BC respectivamente, determine o volume desse

prisma (em 3m ).

A

BC

D

E H

N

GF

M

.

.

.

.

. .

. .

.

.

MAT.– 7


GRUPO 1 – TIPO B

06. Suponha que os números reais 1,1 r− e 1 r+ sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 0r ≠ .

Determine r de modo que as imagens )1(),1( frf − e (1 )f r+ desses números pela

função 2( ) 3f x x= sejam, nessa ordem, três termos consecutivos de uma progressão geométrica.

MAT. – 8


GRUPO 1 – TIPO B

07. Mostre que, dado um número inteiro positivo n, o número complexo niw )31( +=

é um número real somente quando n for múltiplo de 3.

MAT.– 9


GRUPO 1 – TIPO B

08. A única sala de cinema de uma cidade tem capacidade para 400 expectadores. A média de público nos finais de semana é de 80 pessoas por sessão. Para aumentar a presença do público, o diretor do cinema resolveu reduzir o preço do ingresso, que custava R$ 6,00. Observou que, para cada redução de R$ 0,50 no preço do ingresso, o público aumentava em 40 pessoas. Baseando-se nessa observação, responda às questões propostas.

A) Qual deve ser o valor do ingresso para que o faturamento do cinema seja máximo?

B) Esse valor corresponde à expectativa de um público de quantas pessoas?

MAT. – 1


GRUPO 5 – TIPO A

MATEMÁTICA


01. Reescreva a expressão 23 xxx

xxx, em que x é um número real positivo, como uma

potência racional de x, isto é, na forma qpx /

, onde p e q são dois números inteiros.

02. Uma empresa divulga que a média salarial de seus empregados é de R$ 1.060,00. Há 40 funcionários recebendo R$ 415,00, 9 recebendo R$ 1.200,00 e 3 recebendo R$ 2.600,00. Além desses funcionários, há dois membros do Conselho Diretor da empresa que recebem salários iguais. Qual é o valor desse salário?

MAT. – 2


GRUPO 5 – TIPO A

03. Uma urna contém nove bolas numeradas de 0 a 8. Uma pessoa retira aleatoriamente uma dessas bolas da urna, anota o número obtido e, em seguida, devolve a bola à urna. As bolas são então novamente misturadas, e o procedimento é repetido por mais duas vezes. Calcule a probabilidade de que a soma dos três números anotados ao final do experimento seja igual a 8.

MAT. – 3


GRUPO 5 – TIPO A

04. Três números reais a, b e c são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética e três números reais x, y e z são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica. Nessas condições, mostre que

.bacacb zyxzyx =

MAT. – 4


GRUPO 5 – TIPO A

05. O campeonato brasileiro de futebol (série A), edição 2008, foi disputado por 20 equipes no sistema de pontos corridos, de forma contínua, em turno (19 jogos de ida, da 1ª à 19ª rodada) e returno (19 jogos de volta, da 20ª à 38ª rodada). Sagrou-se campeão o clube que acumulou o maior número de pontos ganhos em toda a disputa. O gráfico abaixo apresenta o número de gols marcados e sofridos pela equipe campeã em 2008 ao longo das 38 rodadas. Observe-o para responder às questões propostas.

Número de gols marcados e sofridos pelo clube campeão em 2008.

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

Rodadas

Gol

s

gols marcados gols sofridos

Fonte :< http://www.cbf.com.br>. Acesso em 16 fev. 09.

A) Considere que cada vitória vale três pontos, empate, um ponto e derrota, nenhum ponto. Quantos pontos o campeão somou no returno do campeonato?

MAT. – 5


GRUPO 5 – TIPO A

B) Suponha que a Confederação Brasileira de Futebol tenha premiado o primeiro colocado com 4 milhões de reais, o segundo, com 2 milhões de reais e o terceiro, com 1 milhão de reais. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da abertura do campeonato, para a distribuição desses três prêmios?

C) A Confederação Brasileira de Futebol regulamentou que os quatro últimos clubes, em termos de pontuação, fossem rebaixados para a série B do campeonato brasileiro. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da abertura do campeonato, para a composição das equipes rebaixadas?

MAT. – 6


GRUPO 5 – TIPO A

06. Um polinômio )(XP de grau cinco e com coeficientes reais é divisível por 2)3( −X e satisfaz 0)( =iP , 8)1( −=P e 96)1( −=−P . Encontre ).0(P

MAT. – 7


GRUPO 5 – TIPO A

07. O ponto )2,0( é vértice de um hexágono regular com centro na origem do sistema de coordenadas. Determine os números complexos correspondentes aos vértices desse hexágono.

MAT. – 8


GRUPO 5 – TIPO A

08. Na figura apresentada a seguir, temos que °= 50Â e 70AB cm= . Pergunta-se: qual é o número de pontos C r∈ , tais que 60BC cm= ?

50°

70

A

B

r.

.

MAT. – 9


GRUPO 5 – TIPO A

09. Determine os valores do parâmetro real α para os quais o sistema linear abaixo admita infinitas soluções:

−=++−=++

=−+

1023

12

12

zyx

zyx

zyx

αα

α

MAT. – 10


GRUPO 5 – TIPO A

10. Calcule o comprimento da corda da circunferência que possui centro na origem do plano cartesiano e raio igual a 1, determinada pelos pontos onde ela intercecta a parábola de equação 2y x= .

MAT. – 11


GRUPO 5 – TIPO A

11. Determine a expressão, cujo logaritmo na base 9 é

627

24239 )

1(log)

22

3(log7log5,0 −++−−+

a

ia ,

onde a representa um número real positivo.

MAT. – 12


GRUPO 5 – TIPO A

12. A figura abaixo mostra um cubo no qual destacamos três vértices: A, B e C. Sabendo-se que o perímetro do triângulo ABC∆ é igual a (2 2 6)cm+ + , determine

o volume desse cubo (em 3cm ).

B

C

A

.

.

.

MAT. – 1


GRUPO 5 – TIPO B

MATEMÁTICA


01. Um polinômio )(XP de grau cinco e com coeficientes reais é divisível por 2)3( −X e satisfaz 0)( =iP , 8)1( −=P e 96)1( −=−P . Encontre ).0(P

MAT. – 2


GRUPO 5 – TIPO B

02. O ponto )2,0( é vértice de um hexágono regular com centro na origem do sistema de coordenadas. Determine os números complexos correspondentes aos vértices desse hexágono.

MAT. – 3


GRUPO 5 – TIPO B

03. Na figura apresentada a seguir, temos que °= 50Â e 70AB cm= . Pergunta-se: qual é o número de pontos C r∈ , tais que 60BC cm= ?

50°

70

A

B

r.

.

MAT. – 4


GRUPO 5 – TIPO B

04. Determine os valores do parâmetro real α para os quais o sistema linear abaixo admita infinitas soluções:

−=++−=++

=−+

1023

12

12

zyx

zyx

zyx

αα

α

MAT. – 5


GRUPO 5 – TIPO B

05. Calcule o comprimento da corda da circunferência que possui centro na origem do plano cartesiano e raio igual a 1, determinada pelos pontos onde ela intercecta a parábola de equação 2y x= .

MAT. – 6


GRUPO 5 – TIPO B

06. Determine a expressão, cujo logaritmo na base 9 é

627

24239 )

1(log)

22

3(log7log5,0 −++−−+

a

ia ,

onde a representa um número real positivo.

MAT. – 7


GRUPO 5 – TIPO B

07. A figura abaixo mostra um cubo no qual destacamos três vértices: A, B e C. Sabendo-se que o perímetro do triângulo ABC∆ é igual a (2 2 6)cm+ + , determine

o volume desse cubo (em 3cm ).

B

C

A

.

.

.

MAT. – 8


GRUPO 5 – TIPO B

08. Reescreva a expressão 23 xxx

xxx, em que x é um número real positivo, como uma

potência racional de x, isto é, na forma qpx /

, onde p e q são dois números inteiros.

09. Uma empresa divulga que a média salarial de seus empregados é de R$ 1.060,00. Há 40 funcionários recebendo R$ 415,00, 9 recebendo R$ 1.200,00 e 3 recebendo R$ 2.600,00. Além desses funcionários, há dois membros do Conselho Diretor da empresa que recebem salários iguais. Qual é o valor desse salário?

MAT. – 9


GRUPO 5 – TIPO B

10. Uma urna contém nove bolas numeradas de 0 a 8. Uma pessoa retira aleatoriamente uma dessas bolas da urna, anota o número obtido e, em seguida, devolve a bola à urna. As bolas são então novamente misturadas, e o procedimento é repetido por mais duas vezes. Calcule a probabilidade de que a soma dos três números anotados ao final do experimento seja igual a 8.

MAT. – 10


GRUPO 5 – TIPO B

11. Três números reais a, b e c são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão aritmética e três números reais x, y e z são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica. Nessas condições, mostre que

.bacacb zyxzyx =

MAT. – 11


GRUPO 5 – TIPO B

12. O campeonato brasileiro de futebol (série A), edição 2008, foi disputado por 20 equipes no sistema de pontos corridos, de forma contínua, em turno (19 jogos de ida, da 1ª à 19ª rodada) e returno (19 jogos de volta, da 20ª à 38ª rodada). Sagrou-se campeão o clube que acumulou o maior número de pontos ganhos em toda a disputa. O gráfico abaixo apresenta o número de gols marcados e sofridos pela equipe campeã em 2008 ao longo das 38 rodadas. Observe-o para responder às questões propostas.

Número de gols marcados e sofridos pelo clube campeão em 2008.

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

Rodadas

Gol

s

gols marcados gols sofridos

Fonte :< http://www.cbf.com.br>. Acesso em 16 fev. 09.

A) Considere que cada vitória vale três pontos, empate, um ponto e derrota, nenhum ponto. Quantos pontos o campeão somou no returno do campeonato?

MAT. – 12


GRUPO 5 – TIPO B

B) Suponha que a Confederação Brasileira de Futebol tenha premiado o primeiro colocado com 4 milhões de reais, o segundo, com 2 milhões de reais e o terceiro, com 1 milhão de reais. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da abertura do campeonato, para a distribuição desses três prêmios?

C) A Confederação Brasileira de Futebol regulamentou que os quatro últimos clubes, em termos de pontuação, fossem rebaixados para a série B do campeonato brasileiro. Quantas possibilidades existiam, na ocasião da abertura do campeonato, para a composição das equipes rebaixadas?

MAT. – 6


GRUPO 6 – TIPO A

MATEMÁTICA


07. Encontre as soluções complexas da equação 04)41( 24 =−−+ ixix .

MAT – 7


GRUPO 6 – TIPO A

08. Um cubo é seccionado por um plano que passa por uma das diagonais de sua base

inferior e por um único vértice de sua base superior. Sabendo que o valor da área da

região determinada pela intersecção entre o cubo e o plano é igual a 2

4

6cm ,

calcule o comprimento de uma das diagonais do cubo.

MAT. – 8


GRUPO 6 – TIPO A

09. As retas r e s são paralelas. Em r , destacam-se 3 pontos e, em s , 5 pontos. A distância entre os pontos consecutivos da reta r é de 2 centímetros e a distância entre os pontos consecutivos da reta s é de 1 centímetro. Com base nesses dados, resolva os itens seguintes:

A) Quantos são os triângulos com vértices nos 8 pontos acima?

B) Suponha que a distância entre as retas r e s é de cm3 . Agrupando-se os triângulos do item A em conjuntos de triângulos de mesma área, qual é a área dos triângulos que estão no conjunto com maior número de elementos?

MAT – 9


GRUPO 6 – TIPO A

10. Eduardo gosta de viajar com sua família durante os feriados. Ele aproveitou uma viagem mais longa para medir o consumo de gasolina de seu carro na estrada de asfalto. Ele já havia constatado que, em estrada de terra, o consumo era alto: 5 quilômetros por litro (km/L). Eduardo viajou 1240 quilômetros, dos quais 110 km foram rodados em estrada de terra. Gastou ao todo 135 litros de gasolina, ao preço médio de R$ 2,50 o litro. Com base nesses dados, responda aos itens seguintes.

A) Qual o gasto médio de combustível em reais, por quilômetro rodado, em estrada de asfalto?

B) Qual o aumento percentual do consumo ao se passar da estrada de asfalto para a de terra?

MAT. – 10


GRUPO 6 – TIPO A

11. Para resolver as questões propostas, considere o sistema de equações nas incógnitas x e y :

=−+−=+−

064

072

βα

yx

yx

A) Para que valores de α e de β o sistema é possível e determinado?

B) Escolha um par de valores para α e β , dentre os valores encontrados em A, e resolva o sistema para esse par.

MAT – 11


GRUPO 6 – TIPO A

12. Um avião se aproxima de uma torre de controle de tráfego aéreo voando à altitude constante e à velocidade também constante de hkm /600 (veja a figura abaixo). Em um

dado instante, o ângulo de elevação do avião medido da torre de controle foi de 30°. Uma nova medida foi realizada exatamente um minuto depois e, desta vez, o ângulo obtido foi de 60°. Considerando a altura da torre d e controle como sendo desprezível, determine com base nestas informações a altitude em que se encontra o avião.

Solo TorreP T .

60°

30°

.

MAT – 7


GRUPO 6 – TIPO B

MATEMÁTICA


07. Eduardo gosta de viajar com sua família durante os feriados. Ele aproveitou uma viagem mais longa para medir o consumo de gasolina de seu carro na estrada de asfalto. Ele já havia constatado que, em estrada de terra, o consumo era alto: 5 quilômetros por litro (km/L). Eduardo viajou 1240 quilômetros, dos quais 110 km foram rodados em estrada de terra. Gastou ao todo 135 litros de gasolina, ao preço médio de R$ 2,50 o litro. Com base nesses dados, responda aos itens seguintes.

A) Qual o gasto médio de combustível em reais, por quilômetro rodado, em estrada de asfalto?

B) Qual o aumento percentual do consumo ao se passar da estrada de asfalto para a de terra?

MAT. – 8


GRUPO 6 – TIPO B

08. Para resolver as questões propostas, considere o sistema de equações nas incógnitas x e y :

=−+−=+−

064

072

βα

yx

yx

A) Para que valores de α e de β o sistema é possível e determinado?

B) Escolha um par de valores para α e β , dentre os valores encontrados em A, e resolva o sistema para esse par.

MAT – 9


GRUPO 6 – TIPO B

09. Um avião se aproxima de uma torre de controle de tráfego aéreo voando à altitude constante e à velocidade também constante de hkm /600 (veja a figura abaixo). Em um

dado instante, o ângulo de elevação do avião medido da torre de controle foi de 30°. Uma nova medida foi realizada exatamente um minuto depois e, desta vez, o ângulo obtido foi de 60°. Considerando a altura da torre d e controle como sendo desprezível, determine com base nestas informações a altitude em que se encontra o avião.

Solo TorreP T .

60°

30°

.

MAT. – 10


GRUPO 6 – TIPO B

10. Encontre as soluções complexas da equação 04)41( 24 =−−+ ixix .

MAT – 11


GRUPO 6 – TIPO B

11. Um cubo é seccionado por um plano que passa por uma das diagonais de sua base

inferior e por um único vértice de sua base superior. Sabendo que o valor da área da

região determinada pela intersecção entre o cubo e o plano é igual a 2

4

6cm ,

calcule o comprimento de uma das diagonais do cubo.

MAT. – 12


GRUPO 6 – TIPO B

12. As retas r e s são paralelas. Em r , destacam-se 3 pontos e, em s , 5 pontos. A distância entre os pontos consecutivos da reta r é de 2 centímetros e a distância entre os pontos consecutivos da reta s é de 1 centímetro. Com base nesses dados, resolva os itens seguintes:

A) Quantos são os triângulos com vértices nos 8 pontos acima?

B) Suponha que a distância entre as retas r e s é de cm3 . Agrupando-se os triângulos do item A em conjuntos de triângulos de mesma área, qual é a área dos triângulos que estão no conjunto com maior número de elementos?

matemÁtica questões de 05 a 08 sejam, nessa ordem, três ... · mat. – 6 2º vestibular ufop...

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