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MATEMÁTICA PROFESSOR 3a SÉRIE – VOLUME IV

Direção Executiva:Fabio Benites

Gestão Editorial:Maria Izadora Zarro

Diagramação, Ilustração de capa e Projeto Gráfico:Alan Gilles MendesCamila OliveiraDominique CoutinhoErlon Pedro Pereira

Estagiários:Carolina BarrosThalles Arariba

Irium Editora LtdaRua Desembargador Izidro, no 114 – Tijuca – RJCEP: 20521-160Fone: (21) 2560-1349www.irium.com.br

É proibida a reprodução total ou parcial, por qual-quer meio ou processo, inclusive quanto às caracte-rísticas gráficas e/ou editoriais. A violação de direitos autorais constitui crime (Código Penal, art. 184 e §§, e Lei nº 6.895, de 17/12/1980), sujeitando-se a busca e apreensão e indenizações diversas (Lei nº 9.610/98).

Biologia: Filosofia:Física:Geografia: História: Leitura e Produção:

Língua Espanhola: Língua Inglesa: Língua Portuguesa:

Literatura:

Matemática: Química:Sociologia:

Biologia: Língua Espanhola: Língua Inglesa: Química:

Autores:

Atualizações:

Leandro MaiaGustavo BertocheWilmington CollyerDuarte VieiraMontgomery Miranda / Bernardo PadulaLeila Noronha / Marcelo BeauclairMizael Souza Jaqueline HalackLeila Noronha / Marcelo BeauclairLeila Noronha / Marcelo BeauclairJoão Luiz / Gláucio PitangaWendel MedeirosAnne Nunes

Cid Medeiros Maria Izadora ZarroMaria Izadora ZarroBeattriz Guedes

14 05 19 1901

Apresentação:Olá, querido aluno.O material da Irium Educação foi elaborado por professores competentes e comprometidos com

uma proposta de educação exigente e plural.Neste livro, você encontrará uma teoria na medida certa, focada nas informações mais importantes

hoje em dia, e muitos exercícios para fortalecer sua aprendizagem e preparação para os desafios futuros.Vamos conhecer um pouco mais sobre este livro?Todo capítulo inicia com uma capa, onde você encontrará uma imagem ilustrativa e os objetivos

de aprendizagem. Estes resumem o que queremos que você aprenda. Quando chegar no final do capítulo, se você quiser saber se aprendeu o que é realmente importante, volte na capa e verifique se alcançou cada um dos objetivos propostos.

Antes de entrarmos na teoria, em cada capítulo, você encontrará uma contextualização. Ela funcio-na para mostrar para você porque o assunto é importante e como você poderá usar esse conhecimento no seu dia a dia.

No meio do caderno, quando estiver estudando, você encontrará inserções com informações rele-vantes e que “conversam” com portais da Irium Educação. É o caso do box Como pode cair no ENEM?, que trazem temas conectados ao assunto do capítulo e propõem questões do ENEM ou com o estilo da prova. Você poderá resolver os exercícios no seu caderno ou acessar o portal comopodecairnoenem.com.br. Lá você também encontrará todas essas questões resolvidas em vídeo.

Outra inserção interessante, que visa oferecer mais conhecimento relevante, é o 4News. Nessa se-ção, será possível acessar notícias recentes que conectam o tema do capítulo com uma informação importante para a sua formação e para os diversos vestibulares. Na apostila, essas informações estão resumidas, mas poderá acessar esse conteúdo, produzido pela nossa equipe de professores, na ínte-gra, através do portal 4newsmagazine.com.br ou utilizando o QR code inserido no box.

Uma das principais marcas dos livros da Irium Educação são os exercícios, que primam pela quan-tidade e qualidade. Para ajudar os alunos a tirarem suas dúvidas, existem inúmeras questões com soluções gravadas em vídeo. Elas aparecem com uma câmera e um código. Para acessar a solução, utilize o código no campo de busca no espaço destinado (videoteca) no nosso site irium.com.br/videoteca ou até mesmo no Youtube.

Além dos exercícios tradicionais, de concursos, propomos uma atividade mais experimental no final de cada capítulo. Na seção Pesquisando, você encontrará uma proposta de reflexão e/ou pesquisa com o intuito de tornar o aprendizado teórico mais prático e concreto. Essa atividade poderá ser usada para seminários e apresentações, de acordo com a agenda pedagógica da escola.

Além dos exercícios tradicionais, propomos uma atividade de revisão importante, que chamamos de Resumindo. No final de cada aula, convidamos os alunos a relembrar os pontos mais importantes e resumi-los com as suas próprias palavras. Essa atividade é essencial para a consolidação da apren-dizagem, pois, ao criar um resumo próprio, o aluno deixa a postura passiva e assume o protagonismo do processo e, ao escolher as próprias palavras que sintetizam o conteúdo, torna mais acessível essas informações em seu cérebro.

A equipe da Irium Educação acredita em uma formação exigente, completa e divertida. Esperamos que este livro possa proporcionar isso a você.

#vamboraaprender“A Educação é a arma mais poderosa

que você pode usar para mudar o mundo.”(Nelson Mandela)

Fabio BenitesDiretor-geral

MATEMÁTICA I 3a SÉRIE

CAPITULO TOPICO AULAS TÍTULO1.1 Conjuntos1.2 Interpretação de dados2.1 Medidas de tendência central2.2 Medidas de dispersão3.1 Porcentagem3.2 Juros4.1 Introdução / Relações4.2 Classificação, função composta e inversa6.1 Equações e Inequações do 1o grau6.2 Funções do 1o grau6.1 Equações do 2o grau6.2 Problemas de máximo e mínimo / Inequações

Funções Exponenciais e 7.1 Funções ExponenciaisLogarítmicas 7.2 Log / Funções logarítmicas

8.1 Princípio Multiplicativo e Permutações8.2 Arranjos e Combinações9.1 Casos básicos9.2 Probabilidade condicional

10.1 PA10.2 PG11.1 Matrizes e determinantes11.2 Sistemas lineares

Problemas de raciocínio 12.1 Problemas de raciocínio I12.2 Problemas de raciocínio II

MATEMÁTICA II 3a SÉRIE

CAPITULO TOPICO AULAS TÍTULONúmeros e 13.1 Múltiplos e divisoresGrandezas 13.2 Grandezas e medidasRazões e 14.1 Razões e Escalas

proporções 14.2 Proporções e Regra de trêsGeometria plana: 15.1 Plano cartesiano e simetria

conceitos, ângulos e polígonos 15.2 Ângulos e polígonosGeometria plana: 16.1 Triângulos

triângulos 16.2 Relações métricas nos triângulosGeometria plana: 17.1 Quadrilateros

quadriláteros e circunferências 17.2 CircunferênciasGeometria plana: 18.1 Relações métricas nas circunferências

circunferências e polígonos 18.2 Polígonos regulares e circunferênciasGeometria plana: 19.1 Áreas de polígonos

áreas 19.2 Áreas circularesGeometria espacial: 20.1 Conceitos e projeções

conceitos básicos e poliedros 20.2 PoliedrosGeometria espacial: 21.1 Prismas e Cubosprismas e cilindros 21.2 Cilindros

Geometria espacial: 22.1 Pirâmides e Conespirâmides, cones e esferas 22.2 Esferas

Trigonometria: 21.1 Triângulo retânguloconceitos 21.2 Círculo trigonométrico

Trigonometria: 24.1 Equações trigonométricasfunções 24.2 Funções trigonométricas

Análise Combinatória

Probabilidade

Sequências

Matrizes

Estatística

Estatística

Matemática Financeira

Funções

Funções 1o grau

Funções 2o grau

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FUNÇÕES EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICA

1

ORIENTADOR METODOLÓGICO

Funções exponenciais e logarítmica

Objetivos de aprendizagem:• Revisar conceitos de potenciação;• Entender a representação algébrica e

gráfica de uma função exponencial;• Compreender a formação do logaritmo

e sua relação com a potenciação;

• Perceber o processo de estruturação de uma função logarítmica, baseada na exponencial;

• Representar e resolver equações, inequa-ções e funções exponenciais e logarítmicas.

Praticando: 1) a) 2)3x-1= 16)2x-1

2(3x-1)/2=(24)(2x-1)/3

(3x-1)/2=4.(2x-1)/3(3x-1)/2.4= (2x-1)/3(3x-1)/8= (2x-1)/38(2x-1)=3(3x-1)16x-8=9x-316x-9x=-3+87x=5X=5/7

b) 3x.32-3x/31 =26Substituindo 3x=y32.y - y/3=269/1.y - y/3=26/1Tirando o MMC(3,1)=33.9y – y = 26.327y – y = 26.326y= 26.3Y=3Logo, como 3x=y, então3x=33x=31

X=1

2) (26)(5x-1)≥ 3 (25)x

(26)(5x-1)≥ 3 25x

(26)(5x-1)≥ 25x/3

(2)6(5x-1)≥ 25x/3

Como a base é a>1, então mantemos o sinal da desigualdade

6(5x-1)≥5x/330x – 6 ≥5x/33(30x – 6) ≥5x90x – 18 ≥5x90x – 5x ≥1885x ≥18x≥18/85S={x ЄIR/x≥18/85}

3) f(8)=2t+2+75F(8)=28+2+75F(8)=210+75F(8)=1024 +75 =1099

4) E

5) E

6) B

7) E

8) “A cada dia o número de caramujos é igual a 3/2 do número de caramujos do dia anterior.”

Ao montar a função, nós temos:P(t)=1000(3/2)t

Como a base é maior do que 1, temos uma função exponencial crescente

Letra A.

9) Perceba que se passou 1,5h, então como o período de meia-vida é de 1h, então precisamos saber qual é o ponto de 1,5 meias-vidas.

Basta olhar no gráfico quando se passar 1,5 número de meias-vidas, que é o percentual de 35%

Letra D.

Habilidades do ENEM: 10) D

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2

11)log71=0log 2 2=1log0,50,0625=log5/10625/1000=log5/105

4/104 =log5/10(5/10)4 =4 log5/105/10=4.1=4log2 8=log2 23=log22

3/2=3/2.1=3/2log 328=log 2523 =log25/2 23 =3/(5/2) log2 2=3/(5/2) .1=3.2/5=6/5S = 0 + 1 + 4 + 3/2 + 6/5=5/1+3/2 + 6/5MMC(1,2,5)=105/(1/10)+3/(2/5) + 6/(5/2)=(5.10+3.5+6.2)/10 =

(50+15+12)/10=77/10=7,7S=7,7

12) log28=log223=3log22=3.1

log10=1eln5 =eloge5 =5log28+ log10+ eln5 =3+1+5=9

13) a) log2(x + 1) + log2(x – 1) = 4 log2(x + 1)(x – 1) = 424=(x + 1)(x – 1)24=x2 – 116+1=x2

x2=17x=± 17Lembre-se da condição de existência:x+1>0x>-1x-1>0x>1Portanto só usaremos + 17.

b) log² x – 3 .log x = – 2log x = yAssim,Y2-3y=-2Y2-3y+2=0y=(-(-3)± (-3)2-4.1.2)/2.1=(3± 9-8)/2=(3± 1)/2Y1=(3+1)/2=2Y2=(3-1)/2=1Lembre-se que log x = ylog x = 2, onde 102=x, x=100log x = 1, onde 101=x, x=10Lembre-se da condição de existência, onde x>0,

portanto as duas respostas servem: 10 e 100.

14) E

15)30 gigabytes = p x 230 bytes30 x 109 = p x 230

Aplicando logaritmo na base dez, pois é o que temos na tabela:

Log 30 x 109= log p x 230

Log 30 + log 109= log p + log 230

Log (3 x 10) + 9log 10 = log p + 30 log 2Log 3 + log 10 + 9log 10 = log p + 30 log 2Log 3 + log 10 + 9log 10 = log p + 30 log 2

Olhando a tabela:0,477 + 1 + 9 x 1 = log p + 30 x 0,3011,477 + 9 = log p + 30 x 0,30110,477 = log p + 9,03Log p = 10,477 - 9,03Log p = 1,447 = 1 + 0,477 = log 10 + log 3 = log

10 x 3 = log 30Log p = log 30P=30

16) Lembre-se que ele fala que a taxa é para cada 2 anos, por isso quando usarmos o tempo, colo-caremos t/2.

Rendimento = 5000(1+0,28)t/2

Desvalorização = 40000(1-0,19)t/2

Para comprar o carro, o rendimento deve ser igual a desvalorização:

5000(1+0,28)t/2=40000(1-0,19)t/2 (:100)5(1+0,28)t/2=40(1-0,19)t/2 (:5)(1+0,28)t/2=8(1-0,19)t/2

(1,28)t/2=8(0,81)t/2

(1,28)t/2/(0,81)t/2 =81,28/0,81)t/2=8Aplicando logaritmo na base dez, pois é a

mesma base dos valores dados.log(1,28/0,81)t/2= log 8t/2 log 1,28/0,81 = log 8t/2 log (128/100)/(81/100) = log 8t/2 log(128/100 x 100/81)= log 8t/2 log(128/81)= log 8

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3

Vamos fatorar 128 = 27, 81=34 e 8=23t/2 log(27/34)= log 23

t/2 (log27-log34)= 3log 2t/2 (7 log2-4 log 3)=3log 2t/2 (7 x 0,3-4 x 0,48)= 3 x 0,3t/2 (2,1-1,92)= 0,9t/2 (0,18)= 0,9t/2= 0,90/0,18t/2= 10/2T=10 anos

17) Como é dito que “o nível de toxidez To, cor-respondente a dez vezes o nível inicial”, então devemos fazer com que t(x)=To/10

T(x) = To . (0,5)0,1x

To/10 = To . (0,5)0,1x

1/10 = (0,5)0,1x

Aplicando logaritmo na base dez porque é a mesma base do logaritmo dado:

log 1/10 = log (0,5)0,1x

log 1/10 =0,1x log (0,5)Log 1 – log 10 = 0,1x log (5/10)0 – 1 = 0,1x log (1/2)– 1 = 0,1x (log 1 – log 2)– 1 = 0,1x (0 – 0,3)– 1 = 0,1x (– 0,3) x (-1)1 = 0,1x (0,3)1 = 0,03x 1/(0,03)=x1/(3/100)=x1/1 x 100/3=xX=33,3 diasLetra C.

18) D

19)y = log xx = 2 –– y = log 2x = 3 –– y = log 3Primeiro retânguloBase=3 - 2 = 1 e altura=log 2Área=1 .log 2Segundo retânguloBase=4 - 3 = 1 e altura=log 3.

Área=1 .log 3Soma das áreas:AT = (1 .log 2) + (1 . log 3) = log 2 + log 3AT = log 2 + log 3

AT = log 2 + log 3 = log (2 . 3) = log 6 Letra E.

Habilidades do ENEM: 20) C

Aprofundando: 21)a)25)x=27

Como as bases são iguais:5x = 7 X=7/5

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22) F(4)=2.34=2.81=162

23) Vamos considerar 1992 o ano zero, então:P(t)=112.000 x 2t

R(t)=7.000 x 4t

112.000 x 2t=7.000 x 4t

112 x 2t=7 x 22t

112/7=22t/2t 16=22t-t

16=2t

24=2t

T=41992 – ano zero1993 – ano 11994 – ano 21995 – ano 3Resposta: 1996 – ano 4

24)

25) Quando é dito que “os cientistas dispõem para

utilizar este material antes que ele se volatilize to-talmente” significa que para volatizar m=0

26)

Devemos ter bases iguais, por isso, con-sultamos a tabela e vemos 10=e2,3

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27)

28) log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4a) log 6 = log (2.3) = log 2 + log 3 = 0,3 + 0,4 = 0,7b) log 14,4 = log 144/10= log 144 – log 10 = log 122 – 1= 2 log12 -1 = 2 log (22.3) – 1=

2[log 22 + log 3] – 1 = 2[2log 2 + log 3] – 1 =2[2log 2 + log 3] – 1 =2[2.0,3 + 0,4] – 1 =

2[0,6+0,4]-1=2[1]-1=2-1=1c) log 150

Devemos fatorar 150 = 2 x 3 x 52

Log (2 x 3 x 52) = log 2 + log 3 + log 52=0,3 + 0,4 + 2 log 5

Lembre-se que log 5 = log 10/2, então0,3 + 0,4 + 2 log 5=0,7 + 2 log 10/2=0,7 + 2[log 10 – log 2]= 0,7 + 2[1-0,3]=0,7 + 2[0,7]=0,7+1,4=2,1

29) log x= logxLog x1/2 = (logx)1/2

1/2 logx=(logx)1/2

Log x = y1/2 y=(y)1/2

y/2=(y)1/2

Vou elevar ao quadrado dos dois ladosy/2)2=(y)1/2)

2

y2/4=yY2=4yY2-4y=0Y(y-4)=0Y=0 ou y-4=0, y=4Como Log x = yLog x = 0, onde 100=x, x=1Log x = 4, 104=x, x=10000Lembre-se da condição de existência, onde x>0,

portanto as duas respostas servem: 1 e 10000.

30) h(i) = log(100,7 . i)h(10) = log(100,7 . 10)h(10) = log(107/10.101/2)Lembre-se da propriedade das potências!h(10) = log(107/10+1/2)7/(10/1)+1/(2/5)=(7+5)/10=12/10h(10) = log(1012/10)h(10) = 12/10log 10h(10) = 12/10 x 1h(10) = 12/10 =1,2Letra D.

31) Como queremos saber o log M em função de log L, aplicamos logaritmo:

logM = log (a x L³)logM = log a + log L³logM = log a + 3log LAo obter essa expressão, percebemos que

quando é dito que log M em função de log L, ve-mos que:

Log M faz papel de yLog L faz papel de xLog a = constante, ou seja, um número. Logo

faz o papel do B na função do primeiro grau:logM = log a + 3log Ly = b + 3xTemos uma função do primeiro grau, por isso

ficamos em dúvida em as opções III e IV.Como o coeficiente a é positivo, no caso, a=3,

então a função afim é crescente, logo:Letra C.

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6

32) 33)

34)

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7

35) 36) a)

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Desafiando: 37)

38)

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39)

Habilidades do ENEM: 40) Y=363e0,03x

X=0 - ano 2000 – população de 363 milhões de habitantes

X=1 - ano 2001 X=? – ano 20302030 – 2001 +1 = 30, logo x=30Y=363e0,03.30

Y=363e(3/100.30)

Y=363e(3/10.3)

Y=363e0,3.3

Y=363(e0,3)3

Y=363(1,35)3

Y=363 x 2,46 Y=892,98Y=893Letra E.

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ANÁLISE COMBINATÓRIA

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Análise CombinatóriaObjetivos de aprendizagem:• Revisar a importância do processo de toma-

da de decisões e princípios multiplicativos;• Apresentar a operação fatorial e o seu fun-

cionamento;• Introduzir o princípio fundamental da con-

tagem como base para a análise combinatória;• Estabelecer os conceitos de permutação, arran-

jo e combinação, bem como as suas restrições;• Aplicar as ferramentas desenvolvidas em

problemas contextualizados e atuais.

Praticando 1) Cetáceos = 2

Primatas = 20Roedores = 33Princípio multiplicativo = 2 x 20 x 33 = 1320Letra A.

2) Primeira opção: a – b – cPrincípio multiplicativo4 x 3 = 12Segunda opção: a – d – cPrincípio multiplicativo5 x 2 = 10Princípio Aditivo: 12 + 10 = 22.

3) Começar pelo quarto dígito, que é uma restrição:

1 dígito 2 dígito 3 dígito 4 dígito

10 opções 10 opções 10 opções 2 opções: 0 ou 5

Princípio multiplicativo: 10 x 10 x 10 x 2 = 2000Letra D.

4) Fundo: cores azul ou cinzaCasa: cores azul, verde ou amarelaPalmeira: cores cinza ou verde Se o fundo não pode ter a mesma cor nem da

casa nem da palmeira, logo:Primeira maneira

Fundo 1 opção: azulCasa 2 opções: verde ou amarela

Palmeira 2 opções: cinza ou verde

Princípio multiplicativo: 1 x 2 x 2 = 4Segunda maneira

Fundo 1 opção: cinza

Casa 3 opções: azul, verde ou amarela

Palmeira 1 opção: verde

Princípio multiplicativo: 1 x 3 x 1 = 3Princípio aditivo: 4 + 3 = 7Letra B.

5) Letra B.

6) A origem é (0,0).Da origem até A (3,1), ele precisa dar 3 passos

para leste e 1 para norte: LLLNConsideramos uma palavra com 4 letras e 3

repetidas4!/3!(4.3!)/3!4 caminhosDe A (3,1) até o ponto B (5,4), ele precisa dar

2 passos para leste (5–3) e 3 passos para norte (4–1): LLNNN

Consideramos uma palavra com 5 letras e 3 repetidas e as outras 2 também repetidas

5!/(3!2!)5.4.3!/(3!2!)(5.4)/2!(5.4)/(2.1)(5.2)/110 caminhosPrincípio multiplicativo: 4 caminhos x 10 cami-

nhos = 40 caminhos

7) B

8) Como Gustavo e Fábio não devem ficar juntos, então faremos a permutação circular sem a res-trição e retiramos a permutação em que os dois ficam juntos, obtendo quantas permutações eles não ficam juntos.

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Permutação circular sem a restrição(6–1)! = 5! = 120Permutação circular em que os dois ficam juntosConsideraremos Gustavo e Fábio como uma

única pessoa, logo teremos apenas 5 pessoas para permutar circularmente:

(5–1)! = 4! = 24Agora permutamos Gustavo e Fábio, pois eles

podem ficar Gustavo e Fábio ou Fábio e Gustavo: 2!Logo, o resultado solicitado é 120 – (24 x 2!) =

120 – 48 = 72.

9) C

Habilidades do ENEM:10) E

11)

4 opções: 2, 4, 5 e 6

3 opções 2 opções 1 opçãoTermina em 0000

4 3 2 1

Princípio multiplicativo: 4 x 3 x 2 x 1 x 1 = 24 Letra B.

12) Devemos fazer a combinação dos 7 em gru-pos de 4, pois a ordem não importa:

Cn,p=7!/(4!3!)=(7.6.5.4!)/(4!3!)=(7.6.5)/3!=(7.6.5)/(3.2.1)=7.5 =35Letra B.

13) 8 membros: síndico, subsíndico e um conse-lho consultivo composto de seis pessoas

Síndico = 10 opçõesSubsíndico = 9 opçõesConselho consultivo = C8,6=8!/(6!2!)=(8.7.6!)/(6!2!)=(8.7)/2!=(8.7)/2=4.7=28Logo para formar essa comissão, temos: 10 x

9 x 28 = 90 x 28 = 2520

14) • um dentre os tipos de pão: calabresa, oré-gano e queijo;

• um dentre os tamanhos: pequeno e grande; • de um até cinco dentre os tipos de recheio:

sardinha, atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de repetição de recheio num mes-mo sanduíche.

Pão: 3 opções

Tamanho: 2 opçõesRecheios: C5,1ou C5,2 ou C5,3 ou C5,4 ou C5,5

Lembre–se que C5,1= C5,4 e C5,2 = C5,3

C5,1= 5!/(1!4!)=(5.4!)/(1!4!)=5C5,3=5!/(3!2!)=(5.4.3!)/(3!2!)=(5.4)/2=5.2=10C5,5=1Logo C5,1ou C5,2 ou C5,3 ou C5,4 ou C5,5 =

5 + 10 + 10 + 5 +1 = 31Pão: 3 opçõesTamanho: 2 opçõesRecheios: 31 opções3 x 2 x 31 = 186 opções

b) Ele não gosta de orégano, só come sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada san-duíche.

• Pão: calabresa e queijo = 2 opções• Tamanho: pequeno = 1 opção• Dois tipos de recheio: sardinha, atum, queijo,

presunto e salame = C5,2=5!/(2!3!)=(5.4.3!)/(2!3!)=(5.4)/2=5.2=102 x 1 x 10 = 20 opções

15) CR6,4=C4+6–1,4=(6+4–1)!/4!(9–4)!=9!/(4!5!)=(9.8.7.6.5.4!)/(4!5!)=(9.8.7.6.5)/(5.4.3.2.1)=(9.8.7.6)/(4.3.2.1)=(9.8.7)/(4.1)=9.2.7=126

16) Sejam x, y e z as quantidades de moedas do primeiro, do segundo e do terceiro valor respec-tivamente.

Então x + y + z = 12As 12 unidades podem ser escritas lado a

lado e separadas com 2 vírgulas para obter cada solução da equação: 111111111111,,

Assim, o número total de soluções é igual ao número de permutações de 14 objetos com re-petição de 12 unidades e 2 vírgulas.

P = 91

17) E

18) E

19) A

Habilidades do ENEM:20) B

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13

Aprofundando:21) a) 3! + 4.3! = 3! (1 + 4) = 3.2.1.5 = 30

ou3.2.1 +4.3.2.1 = 6 + 24 = 30

b) 3.2.1.4.3.2.1=6.4.6=24.6=144c) 5.4.3!/3!=5.4=20d) 11.10.9.8!/8!=11.10.9=11.90=990

22)

Centenas Dezenas Unidades4 opções 3 opções 2 opções

Princípio multiplicativo: 4 x 3 x 2 = 24Letra D.

23) Motorista = 2 opçõesCarona (outro banco da frente) = 4 (já escolhe-

mos o motorista, logo 5 – 1)Banco de trás = 3 x 2 x 1 Princípio multiplicativo: 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 2 x

24 = 48Letra B.

24) Devemos fazer na sequência: barra 1, barra 5, barra 2, barra 4 e barra 3:

1 barra 2 barra 3 barra 4 barra 5 barra

2 opções: P ou B

2 opções: P ou B

2 opções: P ou B

1 opção: deve ser igual a barra 2

1 opção: deve ser igual a barra 1

Princípio multiplicativo: 2 x 2 x 2 x 1 x 1 = 8Devemos desconsiderar todas as barras cla-

ras ou todas as escuras, ou seja, devemos tirar 2 dos resultado encontrado:

8 – 2 = 6Letra D.

25) MARTELOa)7 letras = 7! = 7.6.5.4.3.2.1=5040b) 120c) 720

26) MISSISSIPI10!/(4!4!)(10.9.8.7.6.5.4!)/(4!4!)(10.9.8.7.6.5)/4!(10.9.8.7.6.5)/(4.3.2.1)

(10.9.8.7.5)/(4.1)(10.9.2.7.5)/1

10.18.35 = 10 x 630 = 6300

27) 1050

28) Devemos calcular quantas combinações po-demos fazer: 5 x 6 x 9 = 30 x 9 =270

Como são 280 alunos, logo é a letra A.

29) Para escolher a carta que determinará a qua-dra temos 13 opções (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A).

Depois temos as outras três cartas que for-marão a quadra.

Por fim, para escolher a última carta, fazemos 52 – 4 (cartas da quadra) = 48

Princípio multiplicativo: 13 x 48 = 624Letra A.

30) Senha antiga: seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9

Número de senhas antigas: 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 106

Senha nova: uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo siste-ma, cada letra maiúscula era considerada distin-ta de sua versão minúscula.

Devemos considerar o dobro de letras, pois maiúscula é diferente de minúscula: 26 x 2 = 52

Além disso, temos 10 opções de números, logo 52 +10 = 62

Número de senhas novas: 62 x 62 x 62 x 62 x 62 x 62 = 626

Coeficiente de melhora = 626/106 Letra A.

31) ABCDEFA

Início Fim1 opção 5 4 3 2 1 1 opção

Princípio multiplicativo: 5 x 4 x 3 x 2 x 1 =120Devemos descartar as simetrias: 120 : 2 = 60Como gasta 1,5 min, então o tempo será 60 x

1,5 = 90Letra B.

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32) Vamos retirar os números que começam com 9:

1 opção: 9

4 opções

3 opções

2 opções

1 opção

1 4 3 2 1Princípio multiplicativo: 4 x 3 x 2 x 1 =24120 – 24 = 96Números que começam com 79:

1 opção: 7

1 opção: 9

3 opções

2 opções

1 opção

1 1 3 2 1Princípio multiplicativo: 3 x 2 x 1 =6Tiramos mais 6 = 96 – 6 = 90Números que começam com 75:

1 opção: 7

1 opção: 5

3 opções

2 opções

1 opção

1 1 3 2 1Princípio multiplicativo: 3 x 2 x 1 = 6São eles: 75.139 – posição 8475.193 – posição 8575.319 – posição 8675.391 – posição 8775.913 – posição8975.931 – posição90Letra E.

33) Cada traço horizontal chamaremos de H e cada traço vertical de V, logo o menor caminho teremos 4H e 2V, logo podemos considerar uma “palavra” com 6 letras, sendo 4H e 2 V

6!/(4!2!)(6.5.4!)/(4!2)(6.5)/2 =15Letra B.

34) Três lâmpadas vermelhas, duas verdes e uma amarela, permanecendo dois módulos com as três lâmpadas apagadas

Vamos considerar uma “palavra” de 8 letras, com 3 letras V (vermelho), 2 D (verde), 1 A (ama-relo) e 2 P (apagado):

8!/(3!2!2!)(8.7.6.5.4.3!)/(3!2!2!)(8.7.6.5.4)/(2!2!)8.7.6.5 =56 x 30 = 1680

35)

Colocando um menino no ponto vermelho, po-

demos colocar 3 meninas no ponto verde, 2 meni-nos ponto azul, 2 meninas no ponto roxo, 1 menino no próximo ponto e 1 menina fechando a roda.

Logo, teremos 1 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1 = 12Letra D.

36)1

pessoa2

pessoa3

pessoa4

pessoa5

pessoa6

pessoa7

pessoa9

opções8

opções7

opções6

opções5

opções4

opções3

opções

Princípio multiplicativo: 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 Perceba isso é o mesmo que dizer que 9!/2!=(9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 !)/2!=9 x 8 x 7

x 6 x 5 x 4 x 3Letra A.

37) Sorteio dos 12 times para compor o grupo A: C12,4, pois a ordem não importa

Sorteio dos 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio: A4,2, pois a ordem importa

Letra A

38) 5 museus, sendo 3 deles no Brasil e 2 fora do paísMuseus nacionais: C4,3=4!/(3!1!)=(4.3!)/(3!1!)=4Museus internacionais: C4,2=4!/(2!2!)=(4.3.2!)/(2!2!)=(4.3)/2!=2.3=6Princípio multiplicativo: 4 x 6 = 24Letra D.

39) Placas do país X:Vamos considerar uma “palavra” de 6 letras

com LLLNNN, onde L representa letra e N núme-ro, temos uma permutação com repetição:

6!/(3!3!)=(6.5.4.3!)/(3!3!)=(6.5.4)/3!=(6.5.4)/(3.2.1)=5.4=20Para facilitar, usaremos essa “palavra”: LLL-

NNN = 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 = 263 x 103

Logo, teremos n = 20 x 263 x 103

Placas do país Y = p = 26 x 26 x 26 x 10 x 10 x 10 x 10 = 263 x 104

n/p=(20 x 263 x103)/(263 x104)=(20x103)/104 =20/10=2Letra B.

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40) Grupo com 1 menina e 1 menino: C4,1 e C4,1

C4,1= 4!/(3!1!)=(4.3!)/(3!1!)=4Logo, teremos 4 x 4 = 16Grupo com 2 meninas e 2 meninos: C4,2 e C4,2

C4,2=4!/(2!2!)=(4.3.2!)/(2!2!)=(4.3)/2!=2.3=6Logo, teremos 6 x 6 = 36Grupo com 3 meninas e 3 meninos: C4,3 e C4,3

C4,1=C4,3 = 4Logo, teremos 4 x 4 = 16Grupo com 4 meninas e 4 meninos: C4,4 e C4,4

C4,4=1Logo, teremos 1 x 1 = 1Por fim, através do princípio aditivo:16 + 36 + 16 + 1 = 69Letra C

41) Para escolher 4 de 9 sábados:C9,4=9!/(4!5!)=(9.8..7.6.5!)/(4!5!)=(9.8.7.6.5!)/(4!5!)=(9.8.7.6)/4!=(9.8.7.6)/(4.3.2.1)=(9.8.7)/(4.1)=9.2.7=126Devemos retirar os sábados consecutivos,

que podem ser:1s, 2s, 3s, 4s2s, 3s, 4s, 5s3s, 4s, 5s, 6s4s, 5s, 6s, 7s5s, 6s, 7s, 8s6s, 7s, 8s, 9sLogo teremos: 126 – 6 = 120Letra C

42) Arthur: 250 possibilidades de ganhar, pois cada cartela com 6 números marcados, ele tem apenas uma chance de ganhar (é preciso acertar os 6 números)

Bruno: cartelas com 7 números marcados re-presentam 7 possibilidades de ganhar (C7,6=7!/(6!1!)=7) e cada cartela com 6 números marcados ele tem apenas uma chance de ganhar (é preciso acertar os 6 números)

Logo, teremos 41 x 7 + 4 x 1 = 287 + 4 = 291 possibilidades de ganhar

Caio: cartelas com 8 números marcados representam 28 possibilidades de ganhar (C8,6=8!/(6!2!)=(8.7.6!)/(6!2!)=(8.7)/2!=28) e cada car-tela com 6 números marcados ele tem apenas uma chance de ganhar (é preciso acertar os 6 números)

Logo, teremos 28 x 12 + 10 x 1 = 336 + 10 = 346 possibilidades de ganhar

Douglas: cartelas com 9 números marca-dos representam 84 possibilidades de ganhar (C9,6=9!/(6!3!)=(9.8.7.6!)/(6!3!)=

(9.8.7)/(3.2=3.8.7)/2=3.4.7=84)Logo, teremos 84 x 4 = 336 possibilidades de

ganharEduardo: cartelas com 10 números marca-

dos representam 210 possibilidades de ganhar (C10,6=10!/(6!4!)=(10.9.8.7.6!)/(6!4!)=

(10.9.8.7)/(4.3.2.1)=(10.3.7)=210Logo, teremos 2 x 210 = 420 possibilidades de

ganharCaio e Eduardo tem mais chances de ganhar.Letra A

43) CR10,7=C10+7–1,10=(10+7–1)!/(10!(16–10)!)=16!/(10!6!)=(16.15.14.13.12.11.10!)/(10!6!)=(16.15.14.13.12.11)/6!=(16.15.14.13.12.11)/(6.5!)=(16.15.14.13.12.11)/(6.120)=(16.15.14.13.11)/)6.10)=(16.3.14.13.11)/(6.2)=(16.14.13.11)/(2.2=4.14.13.11) = 8008

Desafiando:44) Vamos colocar os livros “Combinatória é fácil” assim:

_F_F_F_F_F_F_F_F_F_F_F_ _ são os espaços que podemos colocar os li-

vros “Combinatória não é difícil”.Temos 12 possibilidades para colocar os li-

vros, mas são apenas 5 livros, então desses 12 devemos escolher 5 espaços:

C12,5=12!/(5!7!)=(12.11.10.9.8.7!)/(5!7!)=(12.11.10.9.8)/5!=(12.11.10.9.8)/120=(12.11.10.9.8)/(12.10)=11.9.8=792

45) a) Colocando os números 1, 2 e 3 sempre nes-sa ordem, isso pode ser feito assim:

12_3_ _ 1_23_ _ _Ou seja, precisamos escolher dos 6 lugares,

apenas 3: C6,3=6!/(3!3!)=(6.5.4.3!)/(3!3!)=(6.5.4)/(3.2.1)=5.4=20Perceba que após colocar os números 1, 2 e

3 sempre sobram 3 lugares vazios, podendo ser permutados os números 4, 5, e 6 utilizando a permutação simples: 3!=3.2.1=6

Logo, pelo princípio multiplicativo: 20 x 6 = 120.

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46) Três cores: vermelhas, azuis e verdes.1 alternativa: os vértices A e C terão cores

iguais, assim como os vértices B e DA = 3 opçõesC= 1 opçãoB = 2 opçõesD= 1 opçãoPrincípio multiplicativo: 3 x 2 = 62 alternativa: usaremos as 3 cores, mas lem-

brando ao rotacionar a joia, ela será a mesma, veja:

A = 3 opçõesB = 2 opçõesC= 1 opçãoD= 1 opção

Princípio multiplicativo: 3 x 2 = 6, mas devemos dividir por 2 por causa da rotação: 6 : 2 = 3

3 alternativa: usaremos as 3 cores, mas lem-brando ao rotacionar a joia, ela será a mesma, veja:

Princípio multiplicativo: 3 x 2 = 6, mas devemos dividir por 2 por causa da rotação: 6 : 2 = 3

Total: 6 + 3 + 3 = 12Letra B.

Habilidades do ENEM:47) E

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GEOMETRIA PLANA: ÁREAS

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Geometria plana: áreasObjetivos de aprendizagem:• Determinar mecanismos para o cálculo das

áreas dos principais polígonos;• Calcular área do círculo e suas possíveis di-

visões;• Corresponder áreas de figuras geométricas

semelhantes, a partir da proporção entre suas medidas;

• Compreender o conceito de apótema de um polígono regular;

• Relacionar lados e apótemas de polígonos regulares com circunferências inscritas e circuns-critas.

Praticando 1) D

2) B

3) A

4) A

5) Se a base do triângulo ABC é BC, a altura é a distância hA do vértice A à reta que contém BC. Nesse caso,

BC = 2 cm e hA = 2 cm.Então, a área desse triângulo é S = BC × hA 2 = 2 × 2 2 = 2 cm2.Como a unidade de área dada é 4 cm2, a área

do triângulo é 0,5 unidade de área.

6) D

7) A

8) D

9) B

Habilidades do ENEM:10) C

11) 1

12) C

13) 1

14) E

15) a) A sugestão de Raquel permite que elas co-mam mais. b) De três outras formas diferentes: uma grande e sete pequenas; duas grandes e quatro peque-nas ou três grandes e uma pequena.

16) C

17) B

18) B

19) A

Habilidades do ENEM:20) A

Aprofundando:21) A

22) 3a²/8

23) C

24) D

25) B

26) 16 34

cm

27) B

28) C

29) C

30) 25,5

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GEOMETRIA PLANA: ÁREAS

18

31) C

32) A

33) B

34) 2 3 cm

35) B

36) 8/7

37) D

38) B

39) E

40) C

41) a) 2 (π – 2) b) 2 (4 – π)

42) 100(π – 2 2 ) cm²

43) A

44) D


Desafiando:46) A

47) Vértices: (0,2), (9,0) e (7,9)Área do triângulo da figura 77/2 = 38,5 cmÁrea do Triângulo das Bermudas A = 111.265 ×

1011 cm2 = 1.112.650 km2

48)

49) A

50) A

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GEOMETRIA ESPACIAL: CONCEITOS BÁSICOS E POLIEDROS

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Geometria espacial: conceitos básicos e poliedros

Objetivos de aprendizagem:• Introduzir os conceitos de geometria espa-

cial a partir da utilização de uma superfície po-liédrica convexa;

• Relacionar os principais elementos de um poliedro, bem como o conjunto de poliedros re-gulares notáveis;

• Definir o que é um prisma, mostrando seus principais elementos, planificações e deduzindo os cálculos de áreas e volume;

• Definir o que é um cilindro, apresentando seus principais elementos, planificações e os cálculos de áreas e volume;

• Construir cilindros a partir da revolução de figuras planas.

Praticando: 1) B

2) E

3) A

4) C

5) E

6) B

Habilidades do ENEM:7) B

8) D

9) O menor comprimento necessário é a soma das medidas das arestas:

AB + AD + AE + AF + ... + DFSoma = 10.(3) + 11.(4) + 12.(5) = 134 cm

10) A = 60.3 = 902V+F = A+2V + 60 = 90 + 2V = 92 – 60V = 32.

Gabarito: D

11) Sabemos que o cubo possui 6 faces e 8 vérti-ces. Como os prefixos são os determinantes da quantidade de faces de um poliedro, então, o único que possui 8 faces é o OCTAedro, conse-quentemente ele terá 6 vértices.

Gabarito: A

12)

Em cada triângulo das faces do icosaedro marcarmos os pontos médios dos lados, confor-me figura acima. Assim, ficamos com 4 triângulos.20 faces triangulares → 80 faces triagulares → 80 x 3 lados = 240 lados.

Arestas → A = Total de lados A = 240 → A = 1202 2Gabarito: B

13) Se a soma dos ângulos das faces vale 720°, temos:

360 (V–2) = 720 → V–2 = 720 → V–2 = 2360Sabemos que o número de faces é F = 2A

3,

então, teremos:V + F = A + 24 + F = A + 24 + 2A

3 = A +2

12 + 2A = 3A + 6A = 6

O número de faces será F = 2.63

= 4Gabarito: B

14) C


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20

Aprofundando:16) B

17) E

18) C

19) C

20) 4 faces triangulares -> 4 x 3 = 12 arestas6 faces hexagonais -> 6 x 6 = 36 arestasTotal de 12 + 36 = 48 arestasComo cada aresta está presente em duas

faces temos que o total de arestas do poliedro será: 48 = 242

.

Pela relação de Euler, temos que V + F = A + 2, então:V + 10 = 24 + 2V = 26 – 10V = 16.Gabarito: B

21) Se de 6 vértices partem 4 arestas, temos que 3 deles estão ligados aos outros 3, então, o nú-mero de arestas são 3 . 4 = 12.

Se de 4 vértices partem 3 arestas, temos que 2 deles estão ligados aos outros dois, logo o nú-mero de arestas é de 2 . 3 = 6.

Como são 14 vértices, então partem 5 ares-tas dos 4 vértices restantes, assim ligados 2 a 2. Logo, o número de arestas vai ser 2 . 5 = 10.

Então, o número total de arestas do poliedro será: A = 12 + 6 + 10 = 28.

V + F = A + 214 + F = 28 + 2F = 30 – 14F = 16.Gabarito: A

22) Cada átomo representa um vértice dessa es-trutura, então, teremos:

12 faces pentagonais -> 12 . 5 = 60 arestas20 faces hexagonais -> 20 . 6 = 120 arestasComo cada aresta tem 2 faces em comum, te-

remos:A = 60+120

2 = 90

V + F = A + 2V + 32 = 90 + 2V = 92 – 32V = 60.Gabarito: 60 átomos.

23) A = 2.5 + 5.4 = 10 + 20 = 152 2V + F = A + 2V + 7 = 15 + 2V = 10Gabarito: E

24) Primeiro vamos calcular quantas faces esse poliedro possui:

V + F = A + 210 + F = 20 + 2F = 12

Como ele só possui faces triangulares e qua-drangulares, temos:

F4 + F3 = 12

Pelo cálculo das arestas, temos:

20 = 4.F4 + 3.F32

4.F4 + 3.F3 = 40

Formando um sistema, temos:

F4 + F3 = 12

4F4+3F3=40→

–3F4 – 3F3 = – 36

4F4 + 3F3 = 40

Somando as duas equações, teremos:F4 = 4, logo, F3 = 8Gabarito: E

25) Esse poliedro possui um total de 7 faces.

.A = 3 .3 + 4 + 5 + 2 .6 = 152V + F = A + 2V + 7 = 15 + 2V = 10

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26) O total de faces é 32.

A = 20 .6 + 12 .5 = 902V + F = A + 2V + 32 = 90 + 2V = 60Logo, serão 60 átomos de carbono e o nú-

mero de ligações são 90.

27) De cada vértices partem 5 arestas, logo as pirâmides retiradas foram pentagonais e em nú-meros de 12. Com isto a bola passa a ter 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais formadas nas faces triangulares após as retiradas. Logo o número de arestas será:

A = 12(5) + 20(6) = 180 = 902 2As costuras são justamente as arestas.

Como em cada uma se gasta 7cm, ao final das 90 arestas gastará (7cm).(90) = 630cm = 6,3m.

Gabarito: B

28) Se o poliedro dado é regular e suas arestas medem 1 metro, então a distância entre o pon-to e é igual a diagonal do quadrado imaginário interno ao octaedro de lado igual a formado na divisão deste ao meio, verticalmente. Assim, se tal quadrado tem lado igual a 1 então sua diago-nal será igual a √2. Gabarito: E

29) Letra E

Desafiando:30) D

Habilidades do ENEM:31) D

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matemÁtica professor 3a sÉrie – volume iv · utilize o código no campo de busca no espaço...

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