matemáticas 2

Presentacin

La obra Matemticas 2 fue elaborada por la Gerencia Editorial Textos de Ediciones Larousse, S.A. de C.V.

Direccin Editorial: Toms Garca CerezoGerencia Editorial Textos: Javier Anaya GonzlezEdicin: Salvador Mndez AlvaradoCorreccin de estilo: Luis Soriano BelloDiseo de interiores: Braulio MoralesDiagramacin y formacin: Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V.Diseo de portada: Eligge ConsultoresIlustracin: Edmundo Lpez y Servicios Editoriales 6Ns, S.A. de C.V.Fotografa: Ablestock y sus cedentes de la licencia. Reservados todos los derechos. Archivo Larousse

Matemticas 2D.R. 2008, por Ediciones Larousse, S.A. de C.V.Londres 247, Col. Jurez, Delegacin CuauhtmocC.P. 06600, Mxico, [email protected]

Primera edicin

Esta obra no puede ser reproducida, total o parcialmente,sin autorizacin escrita del editor.

ISBN:

Larousse y el logotipo Larousse son marcas registradas de Larousse, S.A.

Impreso en MxicoPrinted in Mexico

Presentacin

Maestra y maestro:

La propuesta didctica de Matemticas 2 que tiene en sus manos es fruto del esfuerzo editorial de muchas personas y de la larga experiencia de sus autores frente a grupo y en la educacin matemtica de vanguardia.

Aqu encontrar mltiples actividades de estudio que relacionan a las matemticas con la vida cotidiana de los estudiantes: deportes, juegos, medios de comunicacin, uso de las tecnologas de la informacin y las comunicaciones que demanda el mundo moderno, cuidadosamente diseadas para que despierten el inters de sus alumnos y los inviten a reflexionar, a trabajar en equipo, a encontrar diferentes formas de solucionar los problemas, a formular argumentos que validen los resultados, a comunicar verbalmente, a investigar y presentar por escrito sus hallazgos, en un ambiente de confianza y de respeto por las ideas de los dems.

Las actividades de Matemticas 2 estn agrupadas en cinco bloques. Cada uno de ellos inicia con entradas a doble pgina que muestra los propsitos que se espera desarrollen los estudiantes y los relacionen con su vida cotidiana o con otras disciplinas.

El desarrollo de cada uno de los 35 subtemas est organizado en lecciones que corresponden a tres momentos metodolgicos fundamentales que se relacionan entre s y se reciclan continuamente.

Qu sabemos de? plantea situaciones problemticas iniciales vinculadas con algn contexto que motive el inters de los estudiantes y se plantean preguntas que sirven de gua al alumno con el propsito de que evale su conocimiento sobre el tema y se interese para aprender ms.

Para saber ms de Este momento se destina para que los y las alumnas construyan y amplen los conocimientos y habilidades a partir de sus conocimientos previos; esto se logra a travs de una secuencia de preguntas, problemas e informacin matemtica.

Al final de esta seccin se recomienda hacer una pausa en el estudio de los temas para que los estudiantes revisen los problemas que no hayan podido resolver en lecciones anteriores y, en su caso, los corrijan o resuelvan.

Por tu cuenta En este momento se plantean preguntas y problemas matemticos que sintetizan los conocimientos y habilidades adquiridos en las actividades previas, adems de que propicia que los estudiantes los apliquen en diversos contextos. Tambin se plantean pequeas investigaciones de aplicacin de las matemticas para que los estudiantes consulten informacin en la biblioteca escolar, en su comunidad, en internet o en otros medios.

Al finalizar cada subtema se presenta la seccin Historietas matemticas, en la que varios personajes ficticios, estudiantes de secundaria, ejemplifican el uso y la aplicacin de las matemticas en diversas situaciones cotidianas; aqu mismo se invita a los alumnos a que reflexionen y, en algunos casos, evalen las soluciones expuestas en cada historieta.

Al finalizar cada bloque encontrar sugerencias prcticas para implementar La Feria de las matemticas, que bajo su conduccin los alumnos irn preparando con materiales, actividades, juegos, presentaciones en PowerPoint, etctera, para una exposicin al final del curso.

Esperamos que con dicha propuesta pedaggica se cumpla el propsito de que sus estudiantes efectivamente construyan sus propios conocimientos que les permita enfrentar y dar respuesta a problemas de la vida real y prepararlos mejor para el futuro. Ojal cumpla su cometido!

Los autores

ndice

de contenido

Bloque

1.1 Problemas multiplicativos. Multiplicacin y divisin de nmeros con signo 12

Leccin 1 Qu sabemos de multiplicacin de nmeros con signo? 12

Leccin 2 Para saber ms de multiplicacin de nmeros con signo 14

Leccin 3 Divisin de nmeros con signo 17 Leccin 4 Actividades de trabajo individual 18 Historieta matemtica del subtema 1.1 20

1.2 Problemas aditivos. Adicin y sustraccin de expresiones algebraicas 21

Leccin 5 Qu sabemos de adicin y sustraccin de expresiones algebraicas? 21

Leccin 6 Para saber ms de adicin y sustraccin de expresiones algebraicas 22

Leccin 7 Actividades de trabajo en equipo 24 Leccin 8 Actividades de trabajo individual 26 Historieta matemtica del subtema 1.2 27

1.3 Operaciones combinadas. Expresiones algebraicas equivalentes 28

Leccin 9 Qu sabemos de expresiones algebraicas equivalentes? 28

Leccin 10 Para saber ms de expresiones algebraicas equivalentes 33

Leccin 11 Actividades de trabajo en equipo 37 Leccin 12 Actividades de trabajo en equipo 39 Historieta matemtica del subtema 1.3 43

1.4 Estimar, medir y calcular. Problemas que impliquen ngulos 44

Leccin 13 Qu sabemos de estimar y medir ngulos? 44

Leccin 14 Para saber ms de estimar y medir ngulos 46

Leccin 15 Actividades de trabajo en equipo 49 Leccin 16 Actividades de trabajo en equipo 51 Historieta matemtica del subtema 1.4 53

1.5 Rectas y ngulos. Posiciones relativas de dos rectas en el plano 54

Leccin 17 Qu sabemos de posiciones relativas de dos rectas en el plano? 54

Leccin 18 Para saber ms de posiciones relativas de dos rectas en el plano 56

Leccin 19 Actividades de trabajo en equipo 60 Historieta matemtica del subtema 1.5 64

1.6 Rectas y ngulos. ngulos entre paralelas 65 Leccin 20 Qu sabemos de ngulos entre

paralelas? 65 Leccin 21 Para saber ms de ngulos entre

paralelas 67 Leccin 22 Actividades de trabajo en equipo 69 Historieta matemtica del subtema 1.6 71

1.7 Relaciones de proporcionalidad. Factor de proporcionalidad 72

Leccin 23 Qu sabemos de factor de proporcionalidad? 72

Leccin 24 Para saber ms de factor de proporcionalidad 73

Historieta matemtica del subtema 1.7 76

1.8 Relaciones de proporcionalidad. Problemas de proporcionalidad mltiple 77

Leccin 25 Qu sabemos de proporcionalidad mltiple? 77

Leccin 26 Para saber ms de proporcionalidad mltiple 78


Bloque

2.1 Operaciones combinadas. Jerarqua de las operaciones 102

Leccin 1 Qu sabemos de jerarqua de las operaciones? 102

Leccin 2 Para saber ms de jerarqua de las operaciones 103


2.2 Problemas multiplicativos. Multiplicacin de expresiones algebraicas 108

Leccin 5 Qu sabemos de multiplicacin de expresiones algebraicas? 108

Leccin 6 Para saber ms de multiplicacin de expresiones algebraicas 109


2.3 Cuerpos geomtricos. Cubos, prismas y pirmides 117 Leccin 9 Qu sabemos de cubos, prismas

y pirmides? 117 Leccin 10 Para saber ms de cubos, prismas

y pirmides 119 Leccin 11 Actividades de trabajo individual 122 Historieta matemtica del subtema 2.3 124

2.4 Justificacin de frmulas. Volumen de cubos, prismas y pirmides 125

Leccin 12 Qu sabemos de volumen de cubos, prismas y pirmides? 125

Leccin 13 Para saber ms de volumen de cubos, prismas y pirmides 126


2.5 Estimar, medir y calcular volumen. Clculo de volumen de cubos, prismas y pirmides 132

Leccin 15 Qu sabemos de clculo de volumen de cubos, prismas y pirmides? 132

Leccin 16 Para saber ms de clculo de volumen de cubos, prismas y pirmides 133


2.6 Relaciones de proporcionalidad. Comparacin de razones 138

Leccin 19 Qu sabemos de comparacin de razones? 138

Leccin 20 Para saber ms de comparacin de razones 140

Leccin 21 Actividades de trabajo individual 142 Historieta matemtica del subtema 2.6 143

2.7 Medidas de tendencia central y de dispersin. Clculo de medidas de tendencia central 144

Leccin 22 Qu sabemos de clculo de medidas de tendencia central? 144

Leccin 23 Para saber ms de clculo de medidas de tendencia central 145


Feria de las matemticas. La geometra de la calle 150

1.9 Diagramas y tablas. Problemas de conteo 83 Leccin 27 Qu sabemos de problemas de conteo? 83 Leccin 28 Para saber ms de problemas de conteo 84 Leccin 29 Actividades de trabajo individual 87 Historieta matemtica del subtema 1.9 89

1.10 Grficas. Polgonos de frecuencia 90 Leccin 30 Qu sabemos de polgonos

de frecuencia? 90

Leccin 31 Para saber ms de polgonos de frecuencia 91


Feria de las matemticas. El maravilloso mundo del geoplano 98

Bloque

3.1 Patrones y frmulas. Sucesiones de nmeros con signo 154

Leccin 1 Qu sabemos de sucesiones de nmeros con signo? 154

Leccin 2 Para saber ms de sucesiones de nmeros con signo 155


3.2 Ecuaciones. Ecuaciones de primer grado 159 Leccin 4 Qu sabemos de ecuaciones

de primer grado? 159 Leccin 5 Para saber ms de ecuaciones

de primer grado 161 Leccin 6 Actividades de trabajo individual 164 Historieta matemtica del subtema 3.2 165

3.3 Relacin funcional. Relacin de la forma y = ax + b 166

Leccin 7 Qu sabemos de relacin de la forma y = ax + b? 166

Leccin 8 Para saber ms de relacin de la forma y = ax + b 167


3.4 Justificacin de frmulas. ngulos interiores de polgonos 171

Leccin 10 Qu sabemos de ngulos interiores de polgonos? 171

Leccin 11 Para saber ms de ngulos interiores de polgonos 172


3.5 Figuras planas. Recubrimientos del plano 175 Leccin 12 Qu sabemos de recubrimientos

del plano? 175 Leccin 13 Para saber ms de recubrimientos

del plano 176 Leccin 14 Actividades de trabajo individual 178 Historieta matemtica del subtema 3.5 179 3.6 Grficas. Grficas de relaciones lineales 180 Leccin 15 Qu sabemos de grficas de relaciones

lineales? 180 Leccin 16 Para saber ms de grficas de relaciones

lineales 181 Leccin 17 Actividades de trabajo individual 184 Historieta matemtica del subtema 3.6 186 3.7 Grficas. Comportamiento de grficas lineales I 187 Leccin 18 Qu sabemos de comportamiento de grficas

lineales I? 187 Leccin 19 Para saber ms de comportamiento de grficas

lineales I 191 Leccin 20 Actividades de trabajo individual 193 Historieta matemtica del subtema 3.7 195 3.8 Grficas. Comportamiento de grficas lineales II 196 Leccin 21 Qu sabemos de comportamiento de grficas

lineales II? 196 Leccin 22 Para saber ms de comportamiento de grficas

lineales II 200 Leccin 23 Actividades de trabajo individual 204 Historieta matemtica del subtema 3.8 205

Feria de las matemticas. La geometra y el arte 206

Bloque

4.1 Potenciacin y radicacin. Leyes de los exponentes y notacin cientfica 210

Leccin 1 Qu sabemos de leyes de los exponentes y notacin cientfica? 210

Leccin 2 Para saber ms de leyes de los exponentes y notacin cientfica 211

Leccin 3 Producto y cociente de potencias de la misma base 213


4.2 Figuras planas. Congruencia de tringulos 222 Leccin 6 Qu sabemos de congruencia

de tringulos? 222 Leccin 7 Para saber ms de congruencia

de tringulos 224 Leccin 8 Actividades de trabajo en equipo 226 Leccin 9 Actividades de trabajo individual 228 Historieta matemtica del subtema 4.2 229

4.3 Rectas y ngulos. Lneas notables en un tringulo 230

Bibliografa 00

Bloque

5.1 Ecuaciones. Sistema de ecuaciones con coeficientes enteros 268

Leccin 1 Qu sabemos de sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros? 268

Leccin 2 Para saber ms de sistemas de ecuaciones con coeficientes enteros 269

Leccin 3 Sistemas de ecuaciones 270 Leccin 4 Actividades de trabajo individual 272 Historieta matemtica del subtema 5.1 273

5.2 Movimientos en el plano. Propiedades de la rotacin y de la traslacin 274

Leccin 5 Qu sabemos de propiedades de la rotacin y de la traslacin? 274

Leccin 6 Para saber ms de propiedades de la rotacin y de la traslacin 276

Leccin 7 Actividades de trabajo en equipo 278 Leccin 8 Actividades de trabajo en equipo 280 Leccin 9 Actividades de trabajo en equipo 282 Leccin 10 Actividades de trabajo individual 283 Historieta matemtica del subtema 5.2 286

5.3 Grficas. Grfica de un sistema de ecuaciones lineales 287

Leccin 11 Qu sabemos de grfica de un sistema de ecuaciones lineales? 287

Leccin 12 Para saber ms de grfica de un sistema de ecuaciones lineales 288


5.4 Nocin de probabilidad. Eventos mutuamente excluyentes 293

Leccin 15 Qu sabemos de eventos mutuamente excluyentes? 293

Leccin 16 Para saber ms de eventos mutuamente excluyentes 294


Feria de las matemticas. Sabes quin fue Hypatia? 298

Leccin 10 Qu sabemos de lneas notables en un tringulo? 230

Leccin 11 Para saber ms de lneas notables en un tringulo 233


4.4 Nocin de probabilidad. Eventos de azar independientes 240

Leccin 14 Qu sabemos de eventos de azar independientes? 240

Leccin 15 Para saber ms de eventos de azar independientes 241

Leccin 16 Frmula para la probabilidad de dos eventos independientes 243


4.5 Grficas. Grficas de lnea 248 Leccin 18 Qu sabemos de grficas de lnea? 248 Leccin 19 Para saber ms de grficas de lnea 249 Leccin 20 Actividades de trabajo individual 252 Historieta matemtica del subtema 4.5 253

4.6 Grficas. Grficas de segmentos 254 Leccin 21 Qu sabemos de grficas

de segmentos? 254 Leccin 22 Para saber ms de grficas

de segmentos 255 Leccin 23 Actividades de trabajo en equipo 258 Leccin 24 Actividades de trabajo individual 261 Historieta matemtica del subtema 4.6 263

Feria de las matemticas. Estructuras polidricas 264

Presentacin

al alumno

Hola, amigos y amigas, somos Mary, Lupe, Juan y Pepe y, como todos ustedes, tambin continuaremos aprendiendo matemticas ahora que pasamos a segundo grado de secundaria. Los acompaaremos en todo el curso, donde, ms que memorizar, es importante comprender, porque cuando alguien comprende algo se produce una gran satisfaccin. Una manera de darnos cuenta de que estamos entendiendo es resolver problemas de matemticas.

Aqu encontrarn para qu sirven las matemticas, en dnde se aplican, cmo podemos divertirnos jugando con ellas, a realizar experimentos matemticos y hacer diseos geomtricos; aprenderemos muchas cosas ms que tienen como propsito que adquieran agilidad y destreza en el uso de procedimientos y herramientas que utilizarn frecuentemente en la vida cotidiana.

Estamos seguros, porque ustedes podrn comparar lo que han aprendido con lo que hemos aprendido nosotros a travs de nuestras Historietas Matemticas. Adems, al final de cada bloque encontrarn algunas pistas para que vayan preparando, con el apoyo de su maestro o maestra, los materiales, juegos, actividades y presentaciones en Power Point para la Feria de las matemticas, donde podrn mostrar plenamente sus habilidades y capacidades matemticas que desarrollaron en todo el ao.

Bueno, pues, a trabajar!

EJE: SENTIDO NUMRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Aprendizajes esperadosEn este bloque:i Resolvers problemas que implican efectuar sumas, restas, multiplicaciones y/o

divisiones de nmeros con signo.

i Justi cars la suma de los ngulos internos de cualquier tringulo o cuadriltero.

i Resolvers problemas de conteo mediante clculos numricos.

i Resolvers problemas de valor faltante considerando ms de dos conjuntos de canti-dades.

i Interpretars y construirs polgonos de frecuencia.

Bloque 1

11

Leccin 1 T r a b a j a e n e q u i p o

1 A continuacin se muestra el estado de cuenta de la mam de Hugo en lo que va del ao.

Problemas multiplicativosMultiplicacin y divisin de nmeros con signo

Conocimientos y habilidadesResolvers problemas que impliquen multiplicaciones y divisiones de nmeros con signo.

Qu sabemos de multiplicacin de nmeros con signo?

Fecha Movimiento Saldo

Saldo anterior $4 720

15/1 Depsito $3 712 $8 432

17/1 Extraccin $2 500 $5 932

30/1 Depsito $3 712 $9 644

2/2 Extraccin $2 500 $7 144

5/2 Extraccin $1 500 $

7/2 Extraccin $1 500 $4 144

15/2 Extraccin $3 700 $444

16/2 Depsito $3 712 $4 156

18/2 Extraccin $2 500 $

20/2 Extraccin $1 500 $156

28/2 Depsito $3 712 $3 868

1/3 Extraccin $2 500 $1 368

10/3 Extraccin $ 300 $1 068

14/3 Depsito $3 712 $4 780

15/3 Extraccin $2 500

Matemticas 212

1.1

a) Raya con azul los importes que se relacionan con nmeros positivos y con rojo los que se relacionan con nmeros negativos.

b) Algunos saldos se han borrado, podran completarlos?

c) En lo que va del ao, cunto dinero deposit la mam de Hugo?

d) Cunto dinero retir?

2 Resuelvan estos retos numricos:

a) Cul es el nmero que al multiplicarlo por 5 y restarle 35 obtienes cero? ___________________

b) Cul es el nmero que al multiplicarlo por 7 y sumarle 63 obtienes cero? ____________________

c) Cul es el nmero que al dividirlo entre 5 se obtiene 5? _________________________________

d) Cul es el nmero que al dividirlo entre 9 se obtiene 9? _________________________________

3 Las reglas de este juego son muy sencillas:.

Si se multiplican los nmeros de dos chas rojas, el resultado es una cha blanca cuyo nmero es igual a la multiplicacin de los nmeros de las chas.

Si se multiplican los nmeros de dos chas blancas, el resultado es una cha blanca cuyo nmero es igual a la multiplicacin de los nmeros de las chas.

Si se multiplica el nmero de una cha blanca por el nmero de una cha roja o el de una roja por el de una blanca el resultado es una cha roja cuyo nmero es igual a la multiplicacin de los nmeros de las chas.

Por ejemplo:

3 4 12

2 7 14

Consideren las siguientes chas:

3 4 5

8 7 6

9 10 3

El juego consiste en tomar tres de estas chas de tal manera que al multiplicar los nmeros el resultado sea una cha roja e impar, cuntas posibilidades pueden encontrar?

Compartan sus resultados con los otros equipos del saln. Quin encontr ms?

BLOQUE 1

Matemticas 2 13EJE: SENTIDO NUMRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

Para saber ms de multiplicacin de nmeros con signo


En Matemticas 1 aprendieron que los nmeros negativos se toman como magnitudes diri-gidas a la izquierda en la recta numrica. Tambin vieron que la suma de nmeros enteros puede interpretarse como el avance (a partir del primer sumando) de tantas unidades como indique el segundo sumando; dicho avance ser a la derecha si es positivo, o a la izquierda si es negativo.

1 La suma de (2) (2) (2) podemos interpretarla como el avance de dos unidades a la izquierda a partir de 2, seguido de otro avance a la izquierda de dos unidades, como se muestra en la siguiente recta numrica.

Escriban el resultado sobre la raya.

02

_________________

a) Para nuestro objetivo en esta leccin, la suma de (2) (2) (2) puede escribirse uti-lizando la multiplicacin 3 (2), que puede interpretarse como tres saltos a la izquierda dos unidades de longitud. El resultado de esta multiplicacin es:

3 (2) _________________

b) Representen en la recta numrica las siguientes operaciones y encuentren el resultado.

4 (1) 5 4 3 2 1 0 1 2

5 (3) 17

3 (5)

c) Qu observan en los dos ltimos ejercicios?

2 a) Completen usando los resultados del ejercicio anterior:

(5) (2) 109 (2) (2) ____

(4) (2) 8 (1) (2) ____

(3) (2) ____ (0) (2) ____

1615141312111098 7 6 5 4 3 2 1 0

1615141312111098 7 6 5 4 3 2 1 017

Matemticas 2 14

TEMA: SIGNIFICADO Y USO DE LAS OPERACIONES

b) Qu observan en los resultados? Cmo se obtiene uno de los resultados a partir del anterior?

c) A partir de su respuesta del ejercicio anterior, encuentren:

(1) (2) ___

(2) (2) ___

3 Usando los resultados del ejercicio anterior, Clara encontr que (2) (3) 6 Estn de acuerdo con ella?

4 Para representar la multiplicacin (2) (3), primero se representa 2 (3) y luego se obtiene el punto simtrico de este resultado.

Escriban el resultado de esta multiplicacin dentro del cuadro.

6 3 0 (2)(3)

5 Coincide su resultado con el del ejercicio anterior?

Representen en la recta numrica la multiplicacin indicada y escriban el resultado.

(3)(3) _________________ 101234567891011

(2)(5) _________________ 101234567891011

6 Representen en la recta numrica las multiplicaciones siguientes y encuentren el resultado.

Multiplicacin Representacin en la recta numrica Resultado

5 (0.5)

3 2 1 0 1 2 3

(2) (2.5)

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

(3) (10)

40 30 20 10 0 10 20 30 40

(2) (2.2)

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

BLOQUE 1


7 De acuerdo con las actividades anteriores, qu conclusin pueden obtener de la multiplicacin de nmeros con signo? Completen la siguiente tabla:

Regla de los signos de

la multiplicacin

Nmeros con el mismo

signo

Nmeros con diferente

signo

8 Coloquen las chas en el cuadrado de modo que la multiplicacin de cada la y de cada columna sea 1.

9 Discutan en su equipo el siguiente texto y luego contesten las preguntas que ah se plantean.Para multiplicar dos nmeros con signo, tenemos dos situaciones:

Situacin 1

Que los dos nmeros tengan el mismo signo Javier dice: El producto es positivo si ambos son positivos o si ambos son negativos. Mercedes dice: No!, el producto es positivo slo cuando los dos nmeros son positivos.

a) Quin tiene la razn?b) Completen.

(5) (1.5) (18) (0.5) ( 12 ) (34 )

Situacin 2

Que los dos nmeros tengan signos contrarios Rosa Mara dice: El producto es un nmero negativo slo cuando uno sea positivo y que el otro sea negativo. Laura dice: No!, el producto es negativo slo cuando los dos son negativos.

a) Quin tiene la razn?b) Completen.

(5) (1.5) (18) (0.5) ( 12 ) (34 )

1

2

1

3

2

32

8

3

3

2

6

3

4

1

4

Matemticas 2 16



Divisin de nmeros con signo1 Re exionen y contesten.

a) A qu ser igual 8 2? Consideren a la divisin 82 como una multiplicacin:

(8) ( 12 ) __________

b) A qu ser igual 8 (2)? Consideren a la divisin 8(2) como una multiplicacin:

(8) ( 12 ) __________

c) A qu ser igual 8 2? Consideren a la divisin 8(2) como una multiplicacin:

(8) ( 12 ) __________

d) A qu ser igual 8 2? Consideren a la divisin 82 como una multiplicacin:

(8) ( 12 ) __________

2 Comenten con sus compaeros y sus compaeras cul podra ser la regla de los signos para la divi-sin de nmeros con signo. Anoten sus conclusiones.

3 Clara dice que la regla de los signos para la divisin es similar a la de la multiplicacin.Estn de acuerdo con ella? En qu sentido es igual? Completen la tabla de la regla de los

signos de la divisin.

Regla de los signos de la divisin

Nmeros con el mismo signo

Nmeros con diferente signo

4 Completen la siguiente tabla como se muestra en el primer rengln.

Operacin Valor de m

(m)5 243 m 3

(5) (7) m 280

m 0.5 10

(m)3 1

BLOQUE 1


5 La temperatura en Monterrey era de 3 C bajo cero a las cinco de la maana. Al medioda la temperatura haba subido 8 C Cul era la temperatura al medioda?

6 Averigen cul es la montaa ms alta del mundo y cul es la fosa ocenica ms profunda. De cuntos metros es la diferencia entre ellas?

Ahora que sabes ms, revisa los problemas que no hayas podido resolver en lecciones anteriores; si es necesario, corrgelos o resulvelos.

Por tu cuenta T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

Leccin 4

Resuelve los siguientes problemas:

1 En una revista nanciera se menciona que los hogares mexicanos, en promedio, no destinan ni un centavo al ahorro; por el contrario, tienen deudas equivalentes al 3.2% de sus quincenas.

a) De acuerdo con lo anterior, si un trabajador gana $4 780 por mes, en cunto estara endeudado mensualmente?

b) Portugal es el pas donde sus habitantes ahorran ms (un 11.8% quincenal). Si un trabajador gana $4 780 y ahorra el equivalente a Portugal, cunto ahorrara?

c) Cules crees que sean las causas de que el ahorro sea tan bajo en nuestro pas?

m (5 7) 20

(8) (1) (0.5) m 16

(m)2 144

(3)2 m4 9

18 m 6

Matemticas 2 18


2 Alberto obtiene cali caciones regulares en su escuela. Para animarlo, su pap le propone el siguiente plan: como ests tomando 8 materias, te voy a pagar $100 por cada diez que saques; $80 por cada nueve; $20 por cada ocho; nada por cada siete, y te descontar $200 por cada seis. Cmo le fue a Alberto si obtuvo cuatro cali caciones de diez y una de cada una de las restantes cali caciones?

3 Encuentra lo que se pide a continuacin:

a) Cul es el nmero que al multiplicarlo por 8 y en seguida restarle 64 da como resultado 0?

b) Cul es el nmero que al multiplicarlo por 3 y en seguida restarle 15 da como resultado 42?

c) Cul es el nmero que al dividirlo entre 5 y en seguida sumarle 25 da como resultado 0?

Analicen en todo el grupo la historieta que se muestra en la siguiente pgina

y contesten las preguntas que ah se plantean.

BLOQUE 1


Qu ocurrira si Too hubiera sacado cinco califi caciones de 8 y dos califi caciones reprobatorias? Qu operaciones efectuaras para hacer e l clculo? Podran representarse en una recta numrica?

Qu ocurrira si Too hubiera sacado cinco califi caciones de 8 y dos califi caciones reprobatorias? Qu operaciones efectuaras para hacer e l clculo? Podran representarse en una recta numrica?

Matemticas 2 20


1 La siguiente tabla del 100 muestra un tringulo numrico que encierra cuatro nmeros (17, 26, 27 y 28). Llamaremos a ste el tringulo 17, ya que 17 es el nmero en la parte superior del tringulo. Hallen la suma total de los nmeros interiores en:

a) El tringulo 43:__________

b) El tringulo 55:__________

c) El tringulo 67:__________

d) El tringulo 79:__________

e) El tringulo 83:__________

Ahora rstenle 30 a cada una de las sumas y el resultado div-danlo entre 4. Luego comparen este resultado con el nmero del tringulo numrico. Qu observan? Comntenlo con un compaero o una compaera.

2 Renanse con sus compaeros y elaboren una conjetura de modo que puedan hallar la suma de los nmeros interiores en el tringulo sin necesidad de sumarlos. Anoten las conclusiones en su cuaderno.

3 Cul tringulo numrico tiene una suma igual a 166?____________________

Problemas aditivosAdicin y sustraccin de expresiones algebraicas

Conocimientos y habilidadesResolvers problemas que impliquen adicin y sustraccin de expresiones algebraicas.

Qu sabemos de adicin y sustraccin de expresiones algebraicas?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100


1.2

4 Cul o cules de estos tringulos pueden existir en la tabla del 100 sin que se salgan de sus bordes? Subrayen la respuesta.

a) Tringulo 13 b) Tringulo 31 c) Tringulo 58 d) Tringulo 99

5 Expliquen cul o cules de los siguientes nmeros pueden ser el total de los cuatro nmeros de un tringulo numrico. __________

a) 51 b) 54 c) 71 d) 90

6 En la siguiente tabla se muestra un cuadrado de 2 2 y lo llamare-mos cuadrado 17 porque este nmero se encuentra en la esquina superior izquierda del cuadrado pequeo. Encuentren la suma total de los nmeros interiores en los cuadrados siguientes:

a) El cuadrado 33: __________

b) El cuadrado 57: __________

c) El cuadrado 63: __________

d) El cuadrado 79: __________

7 Nuevamente renanse con sus compaero y escriban en su cuaderno una conjetura para hallar la suma de los nmeros interiores en el cuadrado sin necesidad de sumarlos.

8 Cul cuadrado tiene una suma igual a 118? ____________________

9 Cul ser la suma total del cuadrado 55? ____________________

10 Y del cuadrado 77? ____________________

Para saber ms de adicin y sustraccin

de expresiones algebraicas


1 Consideren nuevamente el problema 1 de la leccin anterior.a) Observen lo siguiente: si tenemos el tringulo n, cunto valdran en funcin de n los otros

tres nmeros del tringulo? Completen en el dibujo los nmeros que faltan:

n

b) Cul es la expresin algebraica que nos da la suma de los nmeros interiores del tringulo n? Subrayen la respuesta:

4n 4n + 30 n + 30 3n + 30

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Matemticas 2 22


c) Usen la expresin anterior y encuentren la suma de los nmeros interiores de los tringulos 43, 55, 67, 79 y 83. Coinciden estas sumas con las halladas en el problema 1 de la leccin anterior?

2 En la tabla siguiente del 100 se muestra una X numrica que encierra 5 nmeros (45, 47, 56, 65 y 67) dispuestos en un orden determinado en dicha tabla, la cual llamaremos X 56, pues 56 esel nmero que se encuentra en el centro de la X.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Tabla del 100

a) Cmo podremos hallar la suma total de los nmeros interiores en cada X numrica sin necesidad de sumarlos?

Comenten con sus compaeros sus estrategias.

3 Para trabajar con un nmero natural cualquiera utilizamos una literal cualquiera (por ejemplo n) y de ese modo podemos modelar las condiciones del problema. As, en la X 56 de la tabla del 100 observamos que abajo del 56 est el 66, esto es 56 10; y el nmero de arriba del 56 es 46, esto es 56 10. Por consiguiente, los nmeros de las cuatro esquinas de la X son 56 10 1, 56 10 1, 56 10 1 y 56 10 1. Este patrn numrico permanece al variar el nmero que va en el centro de las X numricas y que hemos representado como la variable n.

a) Consideren que el nmero n, va en el centro de la X n de abajo. Terminen de escribir los otros nmeros en funcin de n:

b) Estn de acuerdo en que se puede modelar as? Expliquen en su equipo por qu s o por qu no.

c) Encuentren la suma total de los nmeros interiores de la X numrica n:

(n 11) (n 9) n (n 9) (n 11)

d) De las siguientes expresiones algebraicas, cul es la que permite encontrar la suma de todos los nmeros interiores sin necesidad de sumar todos los nmeros? Subrayen la respuesta.

a) n 5 b) n 5 c) 5n d) 5n 5

e) Utilicen la expresin algebraica que seleccionaron y contesten la pregunta. Cul es la suma de los nmeros interiores de la X 12? ____________________

n

BLOQUE 1


Comprubenlo en la tabla del 100 sumando todos los nmeros interiores de la X 72.

f) Si utilizamos la expresin algebraica 5n, cul ser la suma de la X 72? __________________ Comprubenlo.

g) Y de la X 13? _________ Comprubenlo.h) Puede ser el nmero 64 la suma total de los cinco nmeros de una X numrica? Por qu s o

por qu no?________________________________________________________________i) Puede ser el nmero 80 la suma total de los cinco nmeros de una X numrica? Justi quen

su respuesta. _______________________________________________________________j) De acuerdo con los dos problemas anteriores, de qu depende que algunos nmeros sean

la suma total de los cinco nmeros de una X numrica y otros no lo sean? __________________________________________________________________________


1 Observen los nmeros de la tabla del 100. Dibujen varios rectngulos que contengan tres, cuatro y cinco nmeros consecutivos, encuentren la suma de los nmeros interio-res de cada rectngulo y contesten las preguntas.

a) La suma de tres nmeros consecutivos es divisible entre 3? __________ Muestren varios ejemplos.

Si n es el primero de los tres nmeros, cul es la expresin algebraica que nos dio la suma de los tres nmeros consecutivos?______________________

n

b) La suma de cuatro nmeros consecutivos es divisible entre 4? __________ Muestren ejem-plos o contraejemplos.

Si n es el primero de los cuatro nmeros, cul es la expresin algebraica que nos dio la suma de cuatro nmeros consecutivos?________________________________________

c) La suma de cinco nmeros consecutivos es divisible entre 5? __________ Muestren ejem-plos o contraejemplos.

Si n es el primero de los cinco nmeros, cul es la expresin algebraica que nos dio la suma de los cinco nmeros consecutivos? ______________________________________

2 Analicen cuidadosamente el siguiente texto y comntenlo con sus compaeros de equipo. Luego resuelvan los problemas que se presentan enseguida.

Recuerden que una expresin algebraica es una expresin en la que aparecen nmeros y letras combinadas con operaciones aritmticas. Por ejemplo, 5n, 5n 3, 2n2 3n 2 son expresiones algebraicas.

La expresin 5n tiene slo un trmino. La expresin 5n 3 tiene dos trminos.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Matemticas 2 24


La expresin 2n2 3n 2 tiene tres trminos.

2n2

coe ciente parte literal 2 n2

Observen que en cada trmino hay un coe ciente y una parte literal.Se llama trminos semejantes al conjunto de trminos que tienen la misma parte literal,

es decir, que al eliminar los nmeros que forman los coe cientes, son idnticos. Por ejemplo, 2x2y es seme-jante a 5x2y pero no a 2x3y.

Los trminos semejantes se pueden simpli car. Por ejemplo, 3a a 2a 8a 4a.En una expresin algebraica, si sustituimos las letras por nmeros conocidos y realizamos

las operaciones indicadas, obtendremos un valor numrico. Este valor depende de los nmeros que hayamos sustituido. Ejemplo:

Valor de n Valor de la expresin 7n 2

2 7(2) 2 = 14 2 = 12

2 7(2) 2 = 14 2 = 16

5 7(5) 2 = 35 2 = 33

3 Simpli quen los trminos semejantes:

a a a a a a a a a a a a x + x + y + x + y + z + x + z + z + y + z =a b + a + c + a b b + c + a =x + y x + x + y x + y + x + x =

4 Escriban en su cuaderno una frmula para calcular el permetro de las siguientes guras:

c

b b

aa

b b

c

x

7

7

x

x x

2x 3

3a + 4

4x +

2

3x + 2

2x

BLOQUE 1


5 Resuelvan los siguientes problemas empleando expresiones algebraicas:a) La maestra Olga compr 20 boletos para una funcin de teatro preparada por sus alumnos a

x pesos cada boleto. Luego compr otros 13 boletos. Cunto pag en total? __________

b) Roberto y Esperanza fueron a un cajero automtico a retirar dinero. Roberto tena $3 000.00 y retir cuatro billetes de x denominacin. Esperanza tena $5 000.00 y retir 3 billetes de x denominacin y cinco billetes de y denominacin. Con cunto dinero se qued cada persona en su cuenta despus de hacer el retiro?

Recuerda que...

Un nmero b es divisible entre a si el nmero b es divisor de a o, para decirlo en otras palabras, si b es mltiplo de a. Ejemplo: 75 es divisible entre 5 porque 75 es mltiplo de 5: 75 5 15.


Por tu cuenta

Leccin 8 Tr a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

1 La tabla de la derecha muestra una C numrica que encierra 7 nmeros (4, 5, 6, 14, 24, 25 y 26), cuyos extremos son 6 y 26.

Si restamos los nmeros extremos, obtendremos una diferencia d, en este caso 26 6 20. Imagina que esta C numrica se desplaza en la tabla, ya sea hacia la derecha o la izquierda, hacia abajo o hacia arriba.

a) Al restar los nmeros extremos de cualquier C numrica dentro de los mrgenes de esta tabla del 100, cul ser la diferencia d? _____________________________

b) Utiliza la ilustracin de una C numrica n para que encuen-tres la diferencia d para cualquier C nu mrica.

d _____________________________

c) Comprueba con algunos ejemplos la expresin algebraica que encontraste.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Discutan en el grupo la historieta de la siguiente pgina y contesten

las preguntas.

n n+1 n+2

n+10

n+20 n+21 n+22

Matemticas 2 26


5 Resuelvan los siguientes problemas empleando expresiones algebraicas:a) La maestra Olga compr 20 boletos para una funcin de teatro preparada por sus alumnos a

x pesos cada boleto. Luego compr otros 13 boletos. Cunto pag en total? __________

b) Roberto y Esperanza fueron a un cajero automtico a retirar dinero. Roberto tena $3 000.00 y retir cuatro billetes de x denominacin. Esperanza tena $5 000.00 y retir 3 billetes de x denominacin y cinco billetes de y denominacin. Con cunto dinero se qued cada persona en su cuenta despus de hacer el retiro?

Recuerda que...

Un nmero b es divisible entre a si el nmero b es divisor de a o, para decirlo en otras palabras, si b es mltiplo de a. Ejemplo: 75 es divisible entre 5 porque 75 es mltiplo de 5: 75 5 15.


Por tu cuenta

Leccin 8 T r a b a j a i n d i v i d u a l m e n t e

1 La tabla de la derecha muestra una C numrica que encierra 7 nmeros (4, 5, 6, 14, 24, 25 y 26), cuyos extremos son 6 y 26.

Si restamos los nmeros extremos, obtendremos una diferencia d, en este caso 26 6 20. Imagina que esta C numrica se desplaza en la tabla, ya sea hacia la derecha o la izquierda, hacia abajo o hacia arriba.

a) Al restar los nmeros extremos de cualquier C numrica dentro de los mrgenes de esta tabla del 100, cul ser la diferencia d? _____________________________

b) Utiliza la ilustracin de una C numrica n para que encuen-tres la diferencia d para cualquier C nu mrica.

d _____________________________

c) Comprueba con algunos ejemplos la expresin algebraica que encontraste.

Cuntos trminos t iene la expresin algebraica 3n + 15?Cul es e l valor numrico de 3n + 15 cuando n = 2 hrs, 25 min?



1 En la escuela primaria representaron algunas multiplicaciones mediante arreglos rectangulares. Escriban las mul-tiplicaciones representadas en los siguientes arreglos rectangulares para representar el rea de los mismos.

Operaciones combinadasExpresiones algebraicas equivalentes

Conocimientos y habilidadesReconocers y obtendrs expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de mo-delos geomtricos.

Qu sabemos de expresiones algebraicas equivalentes?

10 3

9

3

10 3 32

Matemticas 228

1.3

2 En primer grado de secundaria expresaron el permetro y el rea de guras utilizando literales. Cmo podran representar con guras en la cuadrcula de abajo las expresiones algebraicas que se enlistan a continuacin?

a

b

a) a2

b) ab

c) b2

d) 3b2 ab

e) b2

f) (a b)(a b)

g) a2 b2

h) a2 b2 2ab

a2

BLOQUE 1


3 En el apartado anterior vimos las partes de una expresin algebraica.

a) Cuntos trminos tiene cada expresin algebraica de cada inciso del problema 2? Completen la tabla. Para aquellas expresiones que tienen un solo trmino escriban el coe ciente y la parte literal.

Expresin algebraica No. de trminos Coe cientes Parte literal

a) a2

b) ab

c) b2

d) 3b2 + ab

e) (a + b)(a b)

f) a2 b2

g) a2 + b2 + 2ab

4 Rigoberto est colocando azulejos cuadrados en la pared de su bao. Para completar la ltima columna, necesita recortar 6 cm los azulejos, como se muestra en la gura:

x

x

x

x

6 cm

Para aprovechar los azulejos, Rigoberto va a cortarlos como muestra la gura:

6 cm

x

x6 cm

Matemticas 2 30


De esta manera, al rectngulo pequeo lo va a rotar y colocar encima del grande. El cuadradito blanco lo va a desechar.

a) Haciendo lo anterior se forma exactamente un rectngulo grande? Es decir, embonan bien los rectngulos o sobra o falta un pedazo del azulejo? Expliquen su razonamiento.

b) Determinen el rea del rectngulo formado segn las indicaciones del inciso anterior.

c) La pared de Rigoberto qued as:

Podran escribir el rea de la misma en funcin de x? De cuntas maneras diferentes pueden hacerlo?

BLOQUE 1


5 Nacho reparti un terreno cuadrado entre sus dos hijos de la siguiente manera:

a

2a

2a

2a 2a a

A Jess le toc la parte amarilla y a Miguel la parte roja.

a) A quin le toc la mayor parte? Expliquen.

b) Qu rea le toc a cada uno?

c) Si la longitud del lado del terreno cuadrado de Nacho es 68 m, cunto vale a?

d) Cul es el valor del rea del terreno que le toc a cada hijo?

Matemticas 2 32


Para saber ms de expresiones algebraicas equivalentes


Operaciones con segmentosDos segmentos pueden sumarse o restarse. La suma de dos segmentos es otro segmento cuya longitud es igual a la suma de las longitudes de los segmentos sumados; esta operacin puede representarse gr camente poniendo sobre la misma recta un segmento a continuacin del otro, como se muestra en la siguiente gura.

a b

La resta, como en el caso de los nmeros, es equivalente a la suma de un nmero positivo (el minuendo) ms uno negativo (el sustraendo). Para el caso de los segmentos, slo tendr sentido cuando la magnitud del segmento sea mayor que la del sustraendo.

1 Completen con expresiones algebraicas:

a) Consideren que a la longitud a se le quit una longitud b. La longitud de la parte roja que qued se representa como: _________________________

En el siguiente esquema indiquen cules longitudes son a, b y a b:

b) El rea del cuadrado de lados (a b) se representa as: _____________________________

a b

a b

c) El rea del rectngulo de lados a y b se representa mediante la expresin: ______________

b

a

d) El rea del rectngulo de lados a y (x b) se representa as: _________________________

a

x b

BLOQUE 1


d)c)

a) b)

En lgebra tambin usamos exponentes para indicar cuntas veces aparece un factor en un producto. As, en lugar de escribir aa, escribimos a2 y podemos utilizar un modelo geomtrico para representar a2.

a

a

A aa a 2

modelo de a2 modelo de ab modelo de b2

2 En los problemas de los incisos siguientes deben calcular el rea de las guras en funcin de a y b y expresarla con una expresin algebraica.

Pueden copiar, recortar y sobreponer las representaciones de a2, b2 y ab que se muestran como ejemplo.

Matemticas 2 34


e) f)

Expresiones algebraicas utilizando modelos geomtricosEn primer grado de secundaria iniciaron el estudio de las expresiones algebraicas, por ejemplo, al de nir reglas de sucesiones numricas, al expresar relaciones entre dos cantidades que varan y al expresar frmulas geomtricas para calcular el permetro y el rea de guras geomtricas. Ahora continuarn su estudio, por ejemplo: expresando el permetro y el rea de guras como las siguientes y reduciendo trminos semejantes.

3 Completen las expresiones siguientes:

x

x y

2m

m

P x y x y x x

A x(x y)

P 2m m 2m m

A m (2m)

x

x

P x x x x

A (x)(x)

a

b

P a a b b

A

Cuando calculan el permetro y el rea de guras utilizando solamente nmeros, se dice que usan un lenguaje numrico.

Cuando en las operaciones emplean letras o letras y nmeros, como las expresiones x2, 2m 2(2m), 2x 2(x y), ab, m (2m), etc., se dice que usan un lenguaje algebraico.

BLOQUE 1


4 Cul es la frmula para calcular el volumen de un cubo de lado 2l? _______________________

5 Analicen el siguiente texto y contesten las preguntas que ah se plantean.

En lugar de escribir l l l, escribimos l3 y podemos utilizar un modelo geomtrico para representar l 3.

ll

l

V lll l3

En una expresin de la forma an, donde a y n son nmeros, n se llama el exponente y a la base.

Las expresiones algebraicas ms sencillas consisten de un solo nmero o de una literal elevada a un exponente entero positivo; o bien indican el producto de un nmero conocido por literales elevadas a exponentes enteros positivos. Por ejemplo, expresemos el rea de los siguientes rectngulos. Este tipo de expresiones algebraicas se llaman monomios.

b

3a ab

a

A 3ab A a2b

Las expresiones 3ab, a2b son ejemplos de monomios.

a) Escriban 3 ejemplos de monomios. Si gustan pueden usar modelos geomtricos y dibujarlos en su cuaderno.

Las expresiones como ax ab, a b, a b c, 2x2 2x 5 que se encuentran formadas por la suma o resta de dos o ms monomios se llaman polinomios. Un polinomio siempre puede escribirse como una suma de monomios.

Ejemplo:a b a (b)

Por esta razn, a los monomios que guran en un polinomio, junto con el signo que los precede, tambin se les llama sumandos o trminos del polinomio.

Por ejemplo, los trminos del polinomio a2 ab 2b son a2, ab y 2b.

Matemticas 2 36


a

a

b b

a2 ab11

Observen que en este caso en el polinomio a2 ab 2b aparecen dos variables a y b:


Grado de un polinomio

1 Cul es la expresin algebraica del siguiente polinomio en una variable? Escriban sobre la raya.

x

x 1 1 1 2

2

a) Carolina dice que el polinomio es x2 3x 4, pero Sofa dice que es x2 x3 4. Cul es la expresin correcta? ______________________________________

b) Dibujen en su cuaderno una gura cuya rea sea 2x2 + 2x 9.

2 Analicen en equipo el siguiente texto y luego contesten las preguntas.

Para referirnos al nmero de veces en que una variable aparece como factor en un trmino de un polinomio, o bien, en todo el polinomio, conviene clari car la idea del grado de un trmino y del grado del polinomio.

As, en el trmino x2, la x aparece dos veces como factor; decimos que x2 es de grado 2. En el trmino 3x la x slo aparece una vez como factor; decimos que 3x es de grado 1. Finalmente, en el trmino 4, la x no aparece ninguna vez como factor; decimos que 4

tiene grado 0. Como el trmino de mayor grado es x2 y ste tiene grado 2, decimos que el polinomio es

de grado 2; es decir, el grado de un polinomio es igual al grado del trmino de mayor grado.

b) Escriban tres ejemplos de polinomios. Si gustan, pueden usar modelos geomtricos y dibujarlos en su cuaderno.

BLOQUE 1


3 De acuerdo con el polinomio que escribieron (expresin algebraica) en la actividad 1 y al texto de la actividad 2, completen la siguiente tabla:

Polinomio Grado del polinomio Variable(s) Trminos del polinomio

Valor numrico de una expresin algebraicaEn el apartado 1.2 ya estudiaron el valor numrico de expresiones como 5n 2. Se dieron cuenta de que este valor depende de los nmeros que hayan sustituido para n.

El valor numrico de una expresin algebraica es el que se obtiene al sustituir las literales por sus nmeros conocidos y al efectuar, con tales valores, las operaciones indicadas.

Por ejemplo, para calcular el valor numrico de la expresin m (2m) para m 0, m 2,m 3 y m 1, simplemente sustituimos estos valores en la expresin dada.

4 Completen la siguiente tabla:

Valores m (2m)

Para m 0 m (2m)

Para m 2 m (2m)

Para m 3 m (2m)

Para m 1 m (2m)

Jerarqua de las operacionesEn esta leccin continuaremos estudiando el valor numrico de expresiones algebraicas ms complejas, como 5a2 bc 2 para a 2, b 1 y c 5 para a 0, b 3 y c 2 y paraa 1, b 5 y c 3.


a b c 5a2 bc 2

2 1 5

0 3 2

1 5 3

Matemticas 2 38


Consideren que al evaluar las expresiones algebraicas anteriores calculamos las potencias, a conti-nuacin los productos y hasta el nal las sumas y restas. En lgebra siempre se sigue este orden, a menos que haya parntesis (como veremos en lecciones posteriores) y otros signos de agrupacin que indiquen un orden diferente.

6 El saln de baile del club consta de tres pistas circulares. Para pintarlas es necesario conocer sus reas para determinar la cantidad de pintura que se requiere comprar. Sabiendo que el rea de un crculo de radio r es A r2 hallen el rea de las tres pistas si los radios de las mismas son de 3.5, 4 y 7.5 metros, respectivamente.

A ______________ A ______________ A ______________

r 3.5 mr 4 m

r 7.5 m


Identidades algebraicasUna expresin algebraica podemos representarla de varias maneras. Por ejemplo, con los siguientes modelos geomtricos:

a2

a 1

1 Podemos representar fcilmente a2 3a como se muestra a continuacin. Escriban las expresiones algebraicas correspondientes.

_________________ _________________ _________________ _________________

a aa aa

2 Tienen el mismo valor numrico para cualquier nmero todas estas expresiones algebraicas que escribieron anteriormente?_________________________________________________________

Escriban las expresiones algebraicas que faltan en las tres ltimas columnas respectivamente y comprubenlo para los valores que se dan en la tabla siguiente:

a2 3a

BLOQUE 1


Valor de

la variablea2 3a

0 (0)2 3(0) 0 0 0

3

8

11

Las expresiones algebraicas cuyos valores numricos son iguales se dice que son identidades al-gebraicas.

3 Utilicen convenientemente los modelos geomtricos de a2, a y 1 para representar en su cuaderno las siguientes identidades algebraicas:

a) 5(a 1) 5a 5 3(a 1) 2(a 1) 3a 3 2a 2

b) a(a 4) a2 4a a(a 2) 2a a(a 3) a

c) 2a2 5a a(2a 5) a(a 5) a2 a(2a 3) 2a

4 A partir de los siguientes modelos, construyan las identidades algebraicas que de ellos se derivan:

a)

b

b

b

a

a a

b) 2a

b + c

xaa

b

c

5 Unan con una raya las expresiones algebraicas que sean equivalentes.

m m m m 4m 4

4(m 1) 4m 2

4m 1 1 3m m

5m m 2 4m

4(m 1) 2 4m 2

Matemticas 2 40


Monomios semejantes

6 Qu tienen en comn las siguientes expresiones algebraicas?

2a2bc2; 23 a2bc2; 7.5 a2bc2; a2bc2; 0.75 a2bc2

Dos monomios semejantes slo di eren en los coe cientes.

Ejemplos

2a3x2y y 5a3x2y

Reduccin de trminos semejantes

7 a) A partir de los siguientes modelos, construyan la identidad algebraica que de ellos se deriva:

En general, para sumar o restar monomios semejantes basta sumar o restar sus coe cientes conservando la misma parte literal.

Ejemplos

3x2y 5x2y (3 5)x2y 2x2y

4mn2 2mn2 3m2n (4 2 3)m2n 5m2n

b) Son trminos semejantes? Podran deducir cmo se reducen los trminos semejantes?

2x

2x 2x

x

x

x


BLOQUE 1


c) d)

e) f)

a) b)

Discutan en todo el grupo la historieta que se muestra en la siguiente pgina



1 Dadas las longitudes a, b y 1 de la forma:

a b 1

calcula la medida del rea de las guras siguientes en funcin de a y b, es decir, debes expresar algebraicamente dichas medidas. Luego busca otra expresin algebraica equivalente.

Matemticas 2 42


Por qu (2a) (a + b) es equivalente a 2a2 + 2ab? Representa en un esquemaLa expresin algebraica a2 + a2 + a + a ser equivalente a las dos anteriores? S, no, por qu?

Por qu (2La expresin algebraica anteriores? S, no, por qu?


1 Dadas las longitudes a, b y 1 de la forma:

a b 1

calcula la medida del rea de las guras siguientes en funcin de a y b, es decir, debes expresar algebraicamente dichas medidas. Luego busca otra expresin algebraica equivalente.

Matemticas 2 43


1 En primer ao estudiaron que una forma de presentar la informacin es mediante una gr ca circular. Por ejemplo, en la gr ca siguiente se muestran las preferencias deportivas de los estu-diantes de segundo ao de la secundaria Benito Jurez. Observen que est dividida en cinco secto-res circulares. Cul ser la medida de cada uno de los ngulos que forman los sectores?

Para resolver lo anterior, primero hagan una esti-macin de la medida de cada ngulo y luego com-prueben su estimacin utilizando un transporta-dor. Antenlo en la tabla siguiente.

Deporte EstimacinMedida con el

transportador

Nombre del ngulo

por su medida

Nmero de

estudiantesPorcentaje

Ftbol soccer (ngulo A) obtuso

Basquetbol (ngulo B)

Voleibol (ngulo D)

Beisbol (ngulo C)

Natacin (ngulo E)

Estimar, medir y calcularProblemas que impliquen ngulos

Conocimientos y habilidadesResolvers problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ngulos, utilizando el grado como unidad de medida.

Qu sabemos de estimar y medir ngulos?

Basquetbol

Natacin

BeisbolVoleibol

Ftbol soccer

AB

C DE

Matemticas 244

1.4

a) En la secundaria Benito Jurez hay 97 estudiantes de segundo ao. En las dos ltimas columnas anoten el nmero y porcentaje de preferencia de cada deporte.

b) Pregunten a sus compaeros qu deportes pre eren y realicen una tabla y gr co como los an-teriores.

2 Miren la cartula del reloj de la izquierda que Mara observa por la maana.

Qu hora es? ___________ A cuntos minutos del da equivale?___________

Cul es la medida del ngulo menor que forman las manecillas cuando son las 13 horas? ___________ Di-bjenlas en el reloj de en medio.

Cul es la medida del ngulo menor que forman las manecillas a las 2 en punto? Dibjenlas en el reloj de la

12

6

9 3

1

2

4

5

11

7

10

8

12

6

9 3

1

2

4

5

11

7

10

8

12

6

9 3

1

2

4

5

11

7

10

8

ngulomenor

ngulomayor

derecha.

3 Completen la tabla siguiente y escriban la medida del ngulo menor que forman las manecillas a cada hora en punto del da.

Hora 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

ngulo

4 Tienen la misma medida, en grados, los siguientes ngulos? S?, no?

Por qu? ________________________________________________________________________

Cmo de nen a un ngulo? _________________________________________________________

BLOQUE 1

Matemticas 2 45EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

Para saber ms de estimar y medir ngulos


En la primaria estudiaron el ngulo como giro y como elemento de guras geomtricas; por ejemplo, en el geoplano circular, como el que se ilustra a la derecha, podemos iniciar con dos ligas de colores: una verde y una roja. Si dejamos la liga verde en su lugar y giramos la roja en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, podemos representar giros de media vuelta, un cuarto de vuelta, un sexto de vuelta, etctera.Tambin pueden representarse ngulos agudos, rectos, obtusos, llanos, etc. Por ejemplo, un ngulo de un cuarto de vuelta mide 90 grados y otro ngulo de media vuelta mide 180 grados.

1 Cuntos grados miden los ngulos de:a) Tres cuartos de vuelta?

b) Dos tercios de vuelta?

c) Cinco sextos de vuelta?

El ngulo puede simbolizarse de varias maneras:Con una letra mayscula: A se lee como ngulo A.

A

Con tres letras: ABC. En este caso, el vrtice siempre se identi ca con la letra de en medio.

BC

A

Con un nmero: 2.

2

2 Analicen la siguiente informacin, comntenla con sus compaeros y luego contesten las preguntas siguientes.

Igual que han hecho para medir segmentos, debemos elegir una unidad de medida para medir ngulos. La medida de un ngulo es el nmero de veces que contiene a la unidad de medida. Pero cul unidad de medida? Distinguiremos para ello un sistema:

El sistema sexagesimal es un sistema de numeracin que emplea la base sesenta. Tuvo su origen en la antigua Babilonia. Tambin fue empleado, en una forma ms moderna, por los rabes.

El nmero 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60), con lo que se facilita el clculo con fracciones. Ntese que 60 es el nmero ms pequeo que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Matemticas 2 46

TEMA: MEDIDA

Sistema sexagesimalNuestra unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal () que corresponde a la 360a. parte de una rotacin completa de una recta sobre s misma; es decir, si dividimos la cir-cunferencia en 360 partes, el ngulo que tiene como vrtice el centro de la circunferencia y su arco correspondiente abarcan cada una de dichas partes, por lo tanto, es un ngulo de un grado sexagesimal (1).

En algunas ocasiones no ser su ciente el grado para medir ngulos con mucha precisin, necesitaremos unidades ms pequeas.

010

2030

4050

6070

8090 80 70

6050

40

3020

10

0

180170160150140

130120

110100

100 110 120 130

140150

160170

180

012345678910

Si cada ngulo de 1 sexagesimal lo dividimos en 60 partes, cada una de ellas ser un ngulo de 1 minuto sexagesimal ( ), y si cada ngulo de 1 minuto sexagesimal lo dividimos en 60 partes, cada uno de dichos ngulos ser de un segundo sexagesimal ( ), esto es:

1 60; 1 60; 1 3 600

109 140

2533

a) Si dividen un ngulo recto en 30 partes iguales, cuntos grados sexagesimales mide cada

ngulo que se forma?_________________________________________________________

b) Cuntos minutos hay en un ngulo llano?_______________________________________

c) A cuntos grados equivale un ngulo de 837 900?________________________________

d) Cuntos minutos hay en 18 de vuelta?___________________________________________

3 Calculen la medida del ngulo sombreado. Justi quen su respuesta; si pre eren, pueden comprobarlo con su transportador.

BLOQUE 1


Equivalencias en el sistema sexagesimalLa medida de un ngulo puede expresarse en grados, minutos y segundos o en una sola unidad:

Ejemplo48 30 36 48.51

Forma compleja Forma decimal

Veamos cmo se pasa de una forma a otra (hagan las operaciones en su calculadora):

4 Imaginen que queremos transformar 376 a su forma decimal.

a) Usando el hecho de que 1 60 , a cuntos grados equivalen 6 ? __________________

b) Por lo tanto, cul sera la forma decimal de 37 6 ? ___________________

c) Carlos dice que el resultado es 38, mientras que Mara a rma que es 37.1. Con quin

estn de acuerdo? ___________________

d) Ahora vamos a transformar 48 30 36 a su forma decimal:

Si 1 60, entonces 36 ______

Si 1 60, entonces 0.6 ______

Si 1 60, entonces 30 ______

Por lo tanto, 48 30 36 ____________

e) Analicemos en este inciso el proceso inverso. Para ello partamos de:

48.51 48 0.51

Si 1 60, entonces 0.51 ______

Por lo tanto, 48.51 51 30.6 51 30 0.6

Si 1 60, entonces 0.6 ______

Entonces: 48.51 ______


Medida en grados 56.78 74.65

Medida en grados,

minutos

y segundos

37 20 15 15 8 24 84 12 24

Matemticas 2 48

TEMA: MEDIDA

6 Estimen la medida en grados de los siguientes ngulos y luego comprubenlo con el transportador y expresen la medida en grados.

Estimacin: ____________ Estimacin: ____________

B

C

A Y Z

X


Construcciones de ngulos con regla y comps

1 Recuerden que en primer grado aprendieron a trazar rectas perpendiculares. Utilicen este proce-dimiento para trazar en su cuaderno un ngulo recto (90).

2 Construyan en su cuaderno, utilizando slo regla y comps, los siguientes ngulos:

a) 45 b) 135 c) 225 d) 22

Expliquen cmo los construyeron.

3 Usando slo las escuadras de 45 y 60 se han trazado los ngulos de 135, 120, 150, 75, 15 y 165. Por qu? Expliquen. Qu otros ngulos pueden trazar?

45

90 45

30

90 60

ABC ________ XYZ ________

135

a) b)

120

BLOQUE 1


c) d)

150

75

e)

60

4515

165

4 Analicen el procedimiento que sigui Bertha para construir un ngulo de 60 utilizando la regla y el comps.

a) Trazo un segmento de recta y en l identi co un punto A y otro B.

A B

b) Con centro en A y con radio menor que AB trazo un arco de circunferencia, que corte a AB en C.

c) Con centro en C, y usando el mismo radio, dibujo un se-gundo arco que corte al primero en D.

d) Trazo un segmento de A a D y listo, tengo ya un ngulo de 60.

5 Estn de acuerdo con este procedimiento? Midan el ngulo y veri quen que sea de 60._____________________

6 Ahora, usando regla y comps, construyan en su cuaderno los ngulos siguientes; en cada caso justi quen sus aseveraciones.

a) 120 b) 150 c) 30 d) 240

A C

D

B

A

D

C B

60

A C B

Matemticas 2 50

TEMA: MEDIDA


1 Lean con atencin el siguiente texto, disctanlo en su equipo y luego resuelvan los problemas que siguen.

Unidades de tiempoComo sabes desde la primaria, la Tierra realiza un movimiento uniforme de rota-cin alrededor de un eje que pasa por los polos Norte y Sur; de esta manera, se toma como unidad de medida el da, que es el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta sobre su propio eje.A partir del da se hacen subdivisiones de la siguiente manera:

1 da 24 horas 24 h1 hora 60 minutos 60 min1 minuto 60 segundos 60 s

Los cient cos demostraron que el movimiento de la Tierra no es exactamente uniforme; es decir, los das no son todos exactamente iguales, as que buscaron otro patrn para de nir el da, hora, minuto y segundo.

a) Cuntos segundos hay en un da?b) Cuntas horas hay en un ao? Y cuntos minutos?

2 Resuelvan los problemas siguientes. Expliquen cmo los resolvieron:

a) Martn y Ana Mara se preparan para el examen de matemticas y han estudiado 1 hora 45 mi-nutos en la maana y 2 horas 48 minutos en la tarde. Cunto tiempo han estudiado en total?

b) A las 21 horas 40 minutos hemos terminado de ver, sin interrupcin, una pelcula en for-mato DVD, cuya duracin es de una hora 40 minutos. A qu hora hemos comenzado a verla? ____________________________________________________________________

c) Cuntos das hay entre el 25 de septiembre y el 15 de mayo de este ao? ______________

d) Mariela naci el 10 de abril de 1994, que era mircoles; Alberto naci el 28 de agosto del mismo ao y Carlos 100 das despus que Alberto.

Cuntos das han transcurrido entre el nacimiento de Mariela y el de Carlos? _______ En qu fecha naci Carlos? ________________________________________________ En qu da de la semana naci Alberto? ______________________________________ En qu da de la semana naci Carlos? _______________________________________


BLOQUE 1



1 Los primeros relojes de la antigedad fueron los de sol, los de agua (llamados clepsidras), los de arena y las velas del tiempo (inventados por los romanos).

Investiga en libros o en enciclopedias la medida del tiempo en la antigedad. Haz un reporte sobre ello y presntalo a tu profesor o profesora.

2 Analiza la siguiente lectura y contesta la pregunta.

Para sumar las medidas de dos ngulos debemos sumar grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos. Ejemplo:

15 6 + 2 8 29

34

32

23 35

Si el resultado de alguna de estas sumas es mayor o igual que 60, lo pasamos a la unidad in-mediata superior.

15 20 16 + 20 30 54

355 50 70

Teniendo en cuenta que 70 1 10 el resultado de la suma lo expresaramos como:

35 51 10

Realiza la siguiente suma: 19 28 56 + 37 52 23

3 Investiga cmo puedes efectuar la resta de las medidas de dos ngulos y la multiplicacin de la medida de un ngulo por un nmero natural y haz un reporte para entregarlo a tu profesor o profesora.

Analicen la historieta de la siguiente pgina y contesten las preguntas

que ah se plantean.

Matemticas 2 52

TEMA: MEDIDA

Ests de acuerdo con la afi rmacin de Pepe en el sent ido de que cada tres horas son 90 y cada 2 son 60?Podras explicarlo?

Ests de acuerdo con la afi rmacin de Pepe en el sent ido de que cada tres horas son 90 y cada 2 son 60?Podras explicarlo?



1 En cada grupo hay cuadrados con segmentos en su interior que tienen una caracterstica comn, por ejemplo, ser perpendiculares, y slo hay un cuadrado que es diferente de los otros tres. Sealen cul es y expliquen por qu.

Rectas y ngulosPosiciones relativas de dos rectas en el plano

Conocimientos y habilidadesDeterminars mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elabora-rs de niciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas. Establecers relaciones entre los ngulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocers ngulos opuestos por el vrtice y adyacentes.

Qu sabemos de posiciones relativas de dos rectasen el plano?

a) b)

c) d)

Matemticas 254

1.5

2 Del punto A sale un rayo a 45 y cuando se topa con una pared se re eja como se muestra en la gura. A cul

punto (A, B, C o D) llegar? _____________________________ Comprubenlo.

Cmo son las posiciones que guardan entre s estas trayectorias? Descrbanlas y comenten con sus compaeros.

3 Cules segmentos son paralelos y cules son perpendiculares en este paraleleppedo?

A

CB

D

F G

E H

Un paraleleppedo es un cuerpo geomtrico cuyas caras son todas paralelogramos. Por ejemplo, un cubo es un caso particular de paraleleppedo en el que las caras son todas cuadrados iguales.

cubo

Un caso especial muy usado es aqul en que sus caras son rectngulos.

De nan lo que son:

Rectas paralelas: _____________________________________________________________________

Rectas perpendiculares: ________________________________________________________________

45

45

Pared

Pared

Pared

Pared

C

B

D

A

BLOQUE 1


4 Analicen cada pareja de ngulos, contesten las preguntas y luego escriban las de niciones:

583232 119 61 69 69

C

D

Cunto suman los dos ngulos?

_________________

Cunto suman los dos ngulos?

_________________

Cmo son los ngulos opuestos?

_________________

Tienen el mismo vrtice? Tienen un lado comn?

_________________

nguloscomplementarios

ngulossuplementarios

ngulos opuestospor el vrtice

ngulosadyacentes

De nan lo que son:

ngulos complementarios _________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

ngulos suplementarios ___________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

ngulos opuestos por el vrtice _____________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

ngulos adyacentes _______________________________________________________________________

________________________________________________________________________________________

Para saber ms de posiciones relativas de dos rectas

en el plano


1 Cul es su idea de recta?

2 Cul es su idea de rayo?

3 Cul es su idea de segmento?

4 Cul es su idea de plano?

Matemticas 2 56

TEMA: FORMAS GEOMTRICAS

5 Cul es su idea de rectas paralelas?

6 Cul es su idea de rectas perpendiculares?

7 Lean con cuidado el siguiente texto y disctanlo en su equipo.

Ideas intuitivasAl observar las formas de los cuerpos que nos rodean se aprecian las super cies que los delimitan, as como las lneas y puntos que en ellos se presentan. No hay posibilidad de de nir los conceptos de punto, recta, plano a partir de otros elementos ms sencillos. Por ello, en este curso recurrimos a ejemplos concretos; as el punto geomtrico nos da idea de la huella de la punta de un lpiz sobre un papel. Para el caso de la recta se parte de la siguiente proposicin que se acepta como verdadera sin demostracin: dos puntos determinan una sola recta. La recta es ilimitada e imposible de representar en su totalidad.

Dos puntos de la recta determinan tres partes de la misma: la comprendida entre los dos puntos, a la que llamamos segmento, y las otras dos partes a las que llamamos semirrectas.

Observen los puntos A y B de la ilustracin de abajo. Este conjunto de puntos que conec-tan A y B en lnea recta recibe el nombre de segmento AB y se simboliza como AB . Si este segmento se extiende inde nidamente en ambas direcciones recibe el nombre de lnea recta AB o simplemente recta AB y se simboliza como AB

. Tambin suele designarse con letras

minsculas: r, s, t

A BA B

Observen que sobre una recta, un solo punto A determina dos semirrectas, a la izquierda y a la derecha de aqul. Podemos representar una parte de la recta que se extienda inde nidamente en una sola direccin a partir de un punto. Esta parte recibe el nombre de rayo, el cual no puede ser medido.

Un rayo que inicia en el punto A y pasa por el punto B se identi ca as: AB

A B

Unas ideas intuitivas de planos son la super cie de una hoja de papel, la de una mesa, la de las paredes, etctera, pero hace falta un elemento esencial para el concepto matemtico de plano: su carcter ilimitado. Por esta razn se recurre a una proposicin que se acepta como verdadera sin demostracin: para determinar un plano basta con sealar una recta y un punto exterior a ella.

A B

P

BLOQUE 1


a) Dos rectas que coincidan (una encima de otra).

b) Dos rectas que no se corten, aunque lasprolongaras inde nidamente.

8 Es igual el rayo AB que el rayo BA? ___________ Expliquen.

9 Si el punto C pertenece al rayo AB y se encuentra entre los puntos A y B, tambin pertenece al rayo BA? ___________ Expliquen.

A BC

10 Dibujen en los paralelogramos parejas de rectas en distintas posiciones, como se indica:

c) Dos rectas que se corten, o bien si las prolongaras acabaran encontrndose en un punto.

11 Analicen el siguiente texto, disctanlo en equipo y realicen los trazos que se muestran en su cuaderno utilizando su juego de escuadras. Denoten las posiciones de las rectas con la simbologa matemtica.

Posiciones relativas de dos rectas en el planoLa posicin relativa de dos rectas en el plano puede ser:

Rectas paralelas. Dos rectas en el plano son paralelas cuando la distancia entre ellas es constan-te. Para trazar paralelas con las escuadras, una de ellas se mantiene ja, usando uno de sus bordes como directriz, y en la escuadra mvil se utiliza el otro borde para el trazo de paralelas.

a ba b

Para denotar rectas paralelas se utiliza el smbolo //. As a // b se lee como recta a paralela a la recta b.

Matemticas 2 58


Rectas perpendiculares. Dos rectas en el plano son perpendiculares cuando al inter-secarse forman un ngulo recto. Para trazar perpendiculares con las escuadras, primero trazamos una recta, sobre la misma apoyamos un lado de una de las escuadras. Sobre ese lado apoyamos uno de los catetos de la otra escuadra y con el otro cateto marcamos otra recta que resulta perpendicular a la inicial. Las siguientes guras ilustran el trazo de perpendiculares con escuadras.

(Los catetos de una escuadra son los lados que forman el ngulo recto.)

MA

N

B

A

B

M

N

Para denotar rectas perpendiculares se utiliza el smbolo .As M

N M

N se lee recta MN perpendicular a la recta AB.

Rectas oblicuas. Dos rectas no paralelas en el plano son oblicuas cuando al intersecarse no forman un ngulo recto, es decir, cuando no son perpendiculares.

12 Den un ejemplo de las posiciones relativas de dos rectas, considerando su saln de clases, como las esquinas de las paredes con el techo. Hagan un dibujo en su cuaderno y utilicen la notacin mate-mtica correcta.

13 Denoten la posicin relativa de las calles que se muestran en el croquis siguiente. Consideren las calles como si fueran rectas.

BLOQUE 1


14 Si dos rectas se cortan y forman un ngulo recto, cmo son las rectas entre s? Dibjenlas a continuacin.

15 Si dos rectas no se cortan, signi ca que necesariamente son paralelas? Expliquen.

16 De acuerdo con lo estudiado en las lecciones 13, 14, 15 y utilizando la nocin de rayo, de esta leccin, cul es la de nicin de ngulo?


ngulos opuestos por el vrtice

1 Dibujen en su cuaderno dos rectas que se cortan y coloreen uno de los ngulos de menor medida. Despus recorten el tringulo que colorearon y colquenlo en el otro ngulo opuesto como se observa en la gura de la derecha. Cul es la relacin entre las medidas de los ngulos opuestos por el vrtice? __________________________________________ Argumenten su respuesta.

D

A

B

O

C

B

O

C

2 Argumenten por qu los ngulos opuestos por el vrtice son iguales sin tener que medirlos. Pista: cul ser la suma de la medida de los ngulos AOD y DOB? Por qu? Y de los ngulos DOA y AOC?

3 Escriban los nombres de los ngulos que se indican de acuerdo con su clasi cacin en agudo, recto, obtuso y llano, en los ngulos que se forman al cortarse estas dos rectas.

DOC

DOB

AOC

BOD

C

BD

A

O

Matemticas 2 60


ngulos adyacentes

4 Dos ngulos son adyacentes si tienen su vrtice comn y un lado en comn.

Dibujen en su cuaderno tres parejas de ngulos que cumplan la propiedad anterior.

5 Observen la gura y expliquen por qu los dos ngulos que se indican no son adyacentes:

a) BAC y ADF: ______________________________________

b) CAD y EDF: ______________________________________

6 Nombren dos ngulos adyacentes: ____________________________________________________

7 En el problema 3 se muestran dos rectas que se cortan.

Cules son las parejas de ngulos adyacentes?__________________________________________

Cul es la relacin entre las medidas de estas parejas de ngulos adyacentes?_________________

A

DF

ECB

Construcciones geomtricas con regla y comps8 Analicen el procedimiento que sigui Judith para construir una perpendicular a una recta dada en

un punto dado de sta. Luego contesten las preguntas.

Dibujo una recta l y luego un punto P sobre ella.

l

D E

G

IF

H

P BA

C

1. Con centro en P y un radio conveniente, trazo el arco D-E que corte a l en los puntos A y B.

2. Con centro en A y radio mayor que la mitad de AB , trazo el arco F-G. Con centro en B y con el mismo radio trazo el arco H-I que corta el arco F-G en el punto C.

3. Trazo la lnea que pasa por P y C. PC es perpendicular a la recta l en el punto P. Observo que PA PB pues son radios de la misma semicircunferencia y, por tanto, P es

el punto medio del segmento AB. PC es la perpendicular mediatriz del segmento AB, es decir, la perpen dicular en el punto medio del segmento AB.

a) Estn de acuerdo con este procedimiento? Cmo pueden veri carlo? Conocen otro(s) procedimiento(s) para construir una perpendicular a una recta dada de sta?

BLOQUE 1


9 Analicen ahora el procedimiento que sigui Gerardo para construir una perpendicular a una recta dada por un punto dado fuera de ella. Luego contesten las preguntas.

Dibujo la recta l y luego un punto P fuera de ella.

1. Con centro en P y un radio con-veniente, trazo el arco D-E que corte a l en los puntos A y B.

2. Con centro en A y radio mayor que la mitad de AB , trazo el arco F-G; con el mismo radio y centro en B, trazo el arco H-I que corta al arco F-G en el punto C.

3. Trazo la lnea que pasa por P y C. La recta PC es perpendicular a la recta l, la cual pasa por el punto P.

a) Estn de acuerdo con el procedimiento que sigui Gerardo?

b) Estn de acuerdo con la a rmacin 3? Por qu? Comntenlo.

10 Analicen el procedimiento que sigui Remedios para construir una perpendicular a un segmento de recta en uno de sus extremos sin prolongar el segmento. Luego contesten las preguntas.

Trazo un segmento AB y remarco el punto B en el ex-tremo donde debo construir la perpendicular.

1. Marco el punto C ms cer-ca de B que de A, en el rea prxima a la recta y arriba de ella.

2. Trazo el arco E-B-F con cen-tro en C y radio CB que corta al segmento en G.

3. Trazo la lnea que pasa por G y C, y la prolongo hasta que corte al arco E-B-F en el punto D.

4. Trazo una recta que pase por B y D. La recta BD es la perpendicular al segmento AB en el extremo B.

D

E

G

F

BA

C

a) Estn de acuerdo con el procedimiento que sigui Remedios?b) Reproduzcan esta construccin en su cuaderno y midan con el transportador el ngulo

ABD.

DE

G

IF

H

P

BA

C

l

Matemticas 2 62


Cul es la medida del ngulo GBD? _______________ Por qu? _______________

c) Conocen otro procedimiento para trazar una perpendicular a un segmento de recta en uno de sus extremos?



1 Investiga en libros de historia de las matemticas o en internet las aportaciones de Euclides (gemetra griego antiguo) y haz un glosario de aquellas palabras que no entiendas.

EuclidesUn gran matemtico de la ciudad de Alejandra llamado Euclides escribi libros sobre msica, ptica y tambin una monumental obra en 13 libros llamada Elementos de geometra, en la que desarrollan en forma sistemtica los conocimientos de la geometra de su poca.

Discutan en todo el grupo la historieta que se muestra en la siguiente pgina


BLOQUE 1


Matemticas 2 64

Ests de acuerdo con los trminos ut ilizados en esta historieta? Podras mostrar algunos dibujos que ilustren estos trminos?Ests de acuerdo con los trminos ut ilizados en esta historieta? Podras mostrar algunos dibujos que ilustren estos trminos?


1 En una hoja blanca o en una hoja de su cuaderno hagan lo que se indica a continuacin:

a) Usen ambos lados de su regla para dibujar dos rectas paralelas como se muestra en la imagen.

Rectas y ngulosngulos entre paralelas

Conocimientos y habilidadesEstablecers las relaciones entre los ngulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Justificars las relaciones entre las medidas de los ngulos interiores de los tringulos y paralelogramos.

Qu sabemos de ngulos entre paralelas?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

b) Dibujen una tercera recta que corte las dos paralelas. Numeren los ngulos como se muestra y crten-los para obtener ocho ngulos. Luego coloquen unos sobre otros y encuentren cules son iguales.

1 2

3 4

5 6

7 8

c) Qu sucede con 3 y 5 y 4 y 6? Existen otros pares de ngulos para los cuales sucede lo mismo?


1.6

d) Sucedi lo mismo con otras rectas paralelas cortadas por otra recta? Comntenlo.

2 Dibujen en su cuaderno un tringulo y sigan estos pasos:

a) Coloreen de diferente color cada ngulo interior y luego recrtenlo. Observen las guras.

b) Ahora recorten los tres ngulos.

c) Se ha marcado un punto C sobre la recta. Coloquen los ngulos que recortaron sobre ese punto de manera que los ngulos tengan en comn un lado uno con otro y estn sobre la recta. Por ejemplo, en la gura se coloc uno de los ngulo

matemáticas 2

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