matematicai 2014-2015
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Sebenta MatematicaTRANSCRIPT
-
rea Cientfia de Matemtia
Esola Superior de Tenologia de Viseu
Instituto Politnio de Viseu
Matemtia I
Apontamentos terios e exerios prtios
Gesto de Empresas
Maria Cristina Peixoto Matos
2014/2015
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2
-
ndie
1 Funo exponenial e funo logartmia 7
1.1 Funo exponenial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Equaes e inequaes exponeniais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Funo logartmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Logaritmo de um nmero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 Funo logartmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.2.3 Equaes e inequaes logartmias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Exerios de apliao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 Funo exponenial e logartmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.2 Apliaes da funo exponenial e logartmia . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 Clulo diferenial em R 25
2.1 Limites de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Continuidade de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2.1 Propriedades das funes ontnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.2 Assmptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.3 Teoremas de funes ontnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Derivadas de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Denio e interpretao geomtria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.2 Continuidade e difereniabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3 Regras de derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3.4 Teoremas da derivada da funo omposta e da funo inversa . . . . . . . 50
2.3.5 Reta tangente e reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.6 Indeterminaes: Regra de Cauhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3.7 Apliaes da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Exerios de apliao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.1 Limites de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4.2 Continuidade de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.4.3 Assmptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.4.4 Teoremas de funes ontnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.4.5 Derivadas de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.6 Teoremas da derivada da funo omposta e da funo inversa . . . . . . . 67
2.4.7 Reta tangente e reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3
-
2.4.8 Indeterminaes: Regra de Cauhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4.9 Apliaes da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3 Clulo integral em R 73
3.1 Integral indenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.1 Propriedades dos integrais indenidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.1.2 Primitivas imediatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.1.3 Primitivas por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.1.4 Primitivas de funes raionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.2 Integral denido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2.1 Primeiro teorema fundamental do lulo integral . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.2 Propriedades do integral denido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
3.2.3 Segundo teorema Fundamental do Clulo Integral . . . . . . . . . . . . . 96
3.2.4 Apliaes do integral denido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.3 Integral imprprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.3.1 Integral imprprio de 1
a
espie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.3.2 Integral imprprio de 2
a
espie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.3.3 Apliaes dos integrais imprprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.4 Exerios de apliao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4.1 Integral indenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.4.2 Apliaes do integral indenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.4.3 Integral denido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.4.4 Regra de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.4.5 Apliaes do integral denido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.4.6 Integral imprprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.4.7 Apliaes dos integrais imprprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Funes de domnio N 117
4.1 Suesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.1.1 Progresso aritmtia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.2 Progresso geomtria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.1.3 Limites de suesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.2 Sries numrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.2.1 Srie geomtria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.2.2 Srie de Dirihelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.2.3 Sries de termos no negativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
4.3 Exerios de apliao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3.1 Suesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4.3.2 Sries numrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A Solues 143
A.1 Funo exponenial e funo logartmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A.1.1 Funo exponenial e funo logartmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4
-
A.1.2 Apliaes da funo exponenial e logartmia . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.2 Clulo diferenial em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.2.1 Limites de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
A.2.2 Continuidade de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.2.3 Assmptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
A.2.4 Teoremas de funes ontnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.2.5 Derivadas de funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
A.2.6 Teoremas da derivada da funo omposta e da funo inversa . . . . . . . 150
A.2.7 Reta tangente e reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.2.8 Indeterminaes: Regra de Cauhy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
A.2.9 Apliaes da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
A.3 Clulo integral em R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3.1 Integral indenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
A.3.2 Apliaes do integral indenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A.3.3 Integral denido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
A.3.4 Regra de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A.3.5 Apliaes do integral denido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
A.3.6 Integral imprprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.3.7 Apliaes do integral imprprio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.4 Funes de domnio N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.4.1 Suesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
A.4.2 Sries numrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
B Formulrio 163
B.1 lgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
B.2 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
B.3 Funo exponenial e funo logartmia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
B.4 Geometria analtia plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
B.5 Funes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
B.6 Limites notveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
B.7 Regras de derivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
B.8 Regras de primitivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
B.9 Clulo diferenial em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
B.10 Equaes difereniais lineares ompletas om oeientes onstantes . . . . . . . . 169
B.11 Suesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B.12 Sries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B.13 Frmulas de gesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5
-
6
-
Captulo 1
Funo exponenial e funo logartmia
1.1 Funo exponenial
Consideremos o seguinte problema:
Exemplo 1.1. Um investidor deide depositar 100 000 euros num depsito a prazo(anual), na
modalidade de juro omposto, em determinado bano. A taxa de juro apliada 0, 05% ao ano.
A funo que permite alular o montante que o investidor obtm em funo do prazo pode ser
alulada da seguinte forma:
Final do 1o ano
100 000 + 100 000 0, 05 = 100 000 (1 + 0, 05)= 100 000 1, 05
Final do 2o ano
100 000 1, 05 + (100 000 1, 05) 0, 05 = 100 000 1, 05 (1 + 0, 05)= 100 000 (1, 05)2
Final do 3o ano
100 000 (1, 05)2 + (100 000(1, 05)2) 0, 05 = 100 000 (1, 05)2 (1 + 0, 05)= 100 000 (1, 05)3
.
.
.
Final de x anos = 100 000 (1, 05)x
Logo a funo que permite alular o montante que o investidor obtm em funo do prazo
f(x) = 100 000 (1, 05)x (1.1)
A funo (1.1) pertene a uma importante lasse de funes hamadas funes exponeniais.
Antes de estudarmos formalmente estas funes relembremos algumas propriedades das potnias.
7
-
Propriedades das potnias: Sejam a e b nmeros positivos:
(a) a a a x vezes
= ax (b) a0 = 1 () ax ay = ax+y (d) ax
ay= axy (e) (ax)y = axy
(f) (a b)x = ax bx (g)(ab
)x=ax
bx(h) ax =
1
ax(i) a
xy = y
ax
Exerio 1.2. Aplique propriedades das potnias para alular:
(a) 22 23 (b) 22 23 () (32)3 (d)(1
3
)2(e)
32
33(f) 2
12 3 12
Denio 1.3. Seja a R+\{1}. A funo
f : R Rx f(x) = ax (1.2)
hama-se funo exponenial de base a.
Observao 1.4. Observe que a funo exponenial denida atravs da potnia de base xa e
expoente varivel.
Exemplo 1.5. Os seguintes exemplos permitem-nos araterizar a funo exponenial:
f : R R g : R Rx f(x) = 2x x g(x) = 2x
Graamente temos,
2
4
6
2 4 6246
y
x
fg
8
-
Da observao do gro podemos onluir que:
f(x) = 2x g(x) = 2x
Domnio R R
Contradomnio R+ R+
Injetiva Sim Sim
Sobrejetiva No No
Monotonia Cresente Deresente
Interseo om
Eixo dos XX No tem No tem
Eixo dos Y Y (0, 1) (0, 1)
x muito grande f(x) muito grande g(x) aproxima-se de 0
x muito pequeno f(x) aproxima-se de 0 g(x) muito grande
Em resumo, podemos denir as seguintes propriedades para a funo exponenial:
Propriedades da funo exponenial
Seja f(x) = ax, a R+\{1} Df = R, Df = R+
f injetiva e no tem zeros
O gro de f interseta o eixo dos Y Y em (0, 1)
f estritamente resente para a > 1 e estritamente deresente para 0 < a < 1
O gro de f tem uma assmptota horizontal y = 0
a > 1 limx+
f(x) = +
limx
f(x) = 0
0 < a < 1 limx+
f(x) = 0
limx
f(x) = +
Funo exponenial natural
Introduzimos as funes exponeniais utilizando uma base genria a, no entanto iremos dar nfase
espeial s funes exponeniais que tm omo base o nmero irraional e.
9
-
Exemplo 1.6. A onorrnia entre os banos ou to forte que um determinado bano resolveu
ofereer as seguintes ondies:
J1: 100 % de juro apitalizado 1 vez por ano.
J2:100
2% de juro apitalizado 2 vezes por ano.
J3 :100
3% de juro apitalizado 3 vezes por ano.
.
.
.
.
.
.
Jn :100
n% de juro apitalizado n vezes por ano.
Vamos admitir que investimos 1 euro, om o juro apitalizado n vezes por ano.
1. Ao m de uma apitalizao teremos D1 = 1 +1
n.1 = 1 +
1
n
2. Ao m de duas apitalizaes teremos
D2 = 1 +1
n+
1
n
(1 +
1
n
)=
(1 +
1
n
)(1 +
1
n
)=
(1 +
1
n
)23. Ao m de trs apitalizaes teremos
D3 =
(1 +
1
n
)2+
1
n
(1 +
1
n
)2=
(1 +
1
n
)2(1 +
1
n
)=
(1 +
1
n
)3.
.
.
n. Ao m de n apitalizaes teremos Dn =(1 + 1
n
)nOu seja,
Juros Capitalizados n
(1 +
1
n
)nanualmente 1 2
semestral 2 2, 25
trimestral 4 2, 441mensal 12 2, 613diariamente 365 2, 715hora a hora 8 760 2, 718minuto a minuto 525 600 2, 718segundo a segundo 31 536 000 2, 718
Conluso: Por muitas vezes que o juro seja apitalizado durante o ano, nuna se onseguir
obter um valor superior a 2, 718 euros.
10
-
De fato quando n + a suesso de termo geral(1 +
1
n
)n
onverge para um nmero irrai-
onal designado por e (nmero de Neper ou onstante de Euler), isto ,
limn+
(1 +
1
n
)n= e 2, 7182818
Do anterior deduz-se failmente que, limn+
(1 +
k
n
)n= lim
n+
[(1 +
1nk
)nk
]k= ek.
De um modo geral, tem-se lim
(1 +
x
an
)an= ex, an e x R.
Na gura seguinte podemos observar o gro da funo
f : R Rx f(x) = ex
2
4
6
224
y
x
y = ex
Obviamente, esta funo goza de todas as propriedades anteriormente referidas.
1.1.1 Equaes e inequaes exponeniais
Equaes exponeniais
Equaes que envolvem termos em que a ingnita aparee no expoente so designadas por equa-
es exponeniais. Por exemplo
2x =1
16;
(2
3
)x= 2, 25; 4x 2x 2 = 0
Na maioria dos asos a apliao das propriedades de potnias reduz as equaes a uma igualdade
de potnias da mesma base
ax = a
o que, usando o fato da funo exponenial ser injetiva, nos permite onluir
ax = a x = , a R+\{1}e portanto, resolver a equao.
11
-
Exemplo 1.7. Resoluo de equaes exponeniais
Resoluo:
(a) 2x = 16 2x = 24 x = 4
(b)
54x1 54x 54x+1 + 54x+2 = 480 54x (51 1 5 + 52) = 480
54x (96
5
)= 480 54x = 25 54x = 52
4x = 2 x = 12
()
9x + 3x+1 = 4 32x + 3 3x 4 = 0 y=3x
y2 + 3y 4 = 0 y = 1 y = 4
3x = 4 3x = 1
Como podemos veriar 3x = 4 no soluo pois 3x > 0 para todo o x.Assim, de 3x = 1, temos que a soluo da equao 3x = 1 3x = 30 x = 0.
Inequaes exponeniais
Inequaes que envolvem termos em que a ingnita aparee no expoente so designadas por
inequaes exponeniais. Por exemplo
5x > 20; 3x 1 e ax < ay x < y
Se 0 < a < 1 e ax < ay x > y
Noutros asos a inequao resolvida om a apliao dos logaritmos, os quais iremos estudar na
seo seguinte.
12
-
Exemplo 1.8. Resoluo de inequaes exponeniais
Resoluo:
(a)
(1
3
)x>
1
81(1
3
)x>
(1
4
)4Como a base menor que 1, temos que x < 4, donde a soluo da inequao x ], 4[.
(b)
4x 6 2x + 8 < 0 (2x)2 6 2x < 0
y=2x
y2 6y + 8 < 0 2 < y < 4< 2x < 22
Como a base maior que 1, ento 1 < x < 2, donde a soluo da inequao x ]1, 2[.
1.2 Funo logartmia
1.2.1 Logaritmo de um nmero
O logaritmo de um nmero um oneito uja ompreenso pode passar por responder, sem
reorrer mquina de alular, s seguintes questes:
A que nmero se deve elevar 2 para obter 8?Responder a esta questo equivale a resolver a equao 2x = 8. a resposta 3. Ento, diz-se
que 3 representa o logaritmo de 8 na base 2 e representa-se por log2 8 = 3.
A que nmero se deve elevar 10 para obter 10 000?(10)x = 10 000. Logo a resposta 4.Ento, diz-se que 4 representa o logaritmo de 10 000 na
base 10 e representa-se por log10 10 000 = 4.
Qual o valor de log6(7 776), sabendo que 65 = 7 776?A notao log6(7 776) resposta o nmero a que se deve elevar 6 para obter7 776. Como
65 = 7 776, a resposta questo oloada 5.
Denio 1.9. Chamamos logaritmo de um nmero positivo x na base a, (a R+\{1})ao nmero real y tal que
ay = x loga x = y (1.3)Se a = e esrevemos ln x = y ey = x
13
-
Observao 1.10. Repare que no faz sentido o lulo de logaritmos de nmeros no positivos
pois, om efeito, a R+\{1}, loga x = y ay = x, e omo qualquer potnia de base positiva positiva, sai imediatamente que x positivo.
Regras operatrias dos logaritmos
Sejam a R+\{1}, x > 0 loga a = 1 pois a1 = a ln e = 1 pois e1 = e
loga 1 = 0 pois a0 = 1 ln 1 = 0 pois e0 = 1
loga(1
a
)= 1 pois a1 = 1
a ln
(1
e
)= 1 pois e1 = 1
e
loga(ax) = x pois ay = ay ln(ex) = x pois ey = ey
aloga x = x pois loga x = loga x elnx = x pois ln x = ln x
Exemplo 1.11. Clulo de logaritmos
Resoluo:
(a) log2 16 = 4 pois 24 = 16 (b) log5 25 = 2 pois 5
2 = 25
() log3/2 1 = 0 pois
(3
2
)0= 1 (d) log14 14 = 2 pois (
14)2 = 14
Propriedades dos logaritmos
Sejam a, b R+\{1}, x > 0, y > 0 loga(x y) = loga x+ loga y ln(x y) = ln x+ ln y
loga(x
y
)= loga x loga y ln
(x
y
)= ln x ln y
loga(xn) = n loga x ln(xn) = n ln x
loga x =logb x
logb a loga x =
ln x
ln a
1loga x
= logx a 1
ln x= logx e
14
-
Exemplo 1.12. Apliao das propriedades dos logaritmos, supondo x > 0 e y > 0.
Resoluo:
(a) ln(e2) =
2 (b) 4log4 3x = 3x
() ln
(10
9
)= ln(10) ln 9 (d) log6
x2 + 1 =
1
2log6 (x
2 + 1)
(e)
ln(xy
5
)= ln x+ ln y ln 5
(f) log3(x+ 1) + log3(x+ 2) 3 log3 x = log3x2 + 3x+ 2
x3
(g) ln x+ 2 ln y = ln(xy2) (h) ln
(x2
6y3
)= 2 ln x ln 6 3 ln y
1.2.2 Funo logartmia
Relembrando o problema exposto na seo 1.1 omo poderemos determinar ao m de quantos
anos o investidor obter 200 000 euros?
Ora, o que pretendemos a soluo da equao:
100 000 (1, 05)x = 200 000 (1, 05)x = 2 x = log1,05 2
Como pudemos observar, no exemplo anterior introduzimos uma nova funo, a funo logart-
mia.
Denio 1.13. Seja a R+\{1}. Chamamos funo logartmia funo tal que
loga x = y ay = x (1.4)
Se a = e representamos a funo logaritmo por
ln x = y ey = x (1.5)
Esta denio implia que a funo logartmia e a funo exponenial sejam inversas uma da
outra isto :
f : R R+ f1 : R+ Rx f(x) = ax x f1(x) = loga x
15
-
Como as funes f(x) = ax e g(x) = loga x so inversas uma da outra, os seus gros so reexes
um do outro em relao reta y = x.
2
4
6
2
4
6
2 4 6246
y
x
y = ax
y = loga x
y = x
Propriedades da funo logartmia
Seja f(x) = loga x, a R+\{1}
Df = R+, Df = R
f injetiva, estritamente resente para a > 1 e estritamente deresente para 0 < a < 1
O gro de f interseta o eixo dos XX em (1, 0)
O gro de f tem uma assmptota vertial x = 0
a > 1 limx+
f(x) = + 0 < a < 1 limx+
f(x) = 0
limx0+
f(x) = limx0+
f(x) = +
16
-
Exemplo 1.14. Partindo do gro de y = ln x, obtenha uma representao gra das seguintes
funes:
(a) y = | lnx| (b) y = ln |x| () y = ln x (d) y = ln(x)
2
4
2
4
2 4 6246
y
x
y = lnx
2
4
22 4 6246
y
x
y = | lnx|
2
4
2
4
2 4 6246
y
x
y = ln(x)2
4
2
4
2 4 6246
y
x
y = ln |x|
1.2.3 Equaes e inequaes logartmias
Equaes logartmias
Equaes que envolvem logaritmos so designadas por equaes logartmias e so resolvidas
apliando propriedades dos logaritmos e o fato da funo logartmia ser injetiva. Desta forma
prouramos esrever todos os logaritmos da equao na mesma base e usamos a ondio
loga x = loga x =
Alm disso, devemos iniialmente veriar as ondies de existnia dos logaritmos, tendo em
onta o domnio do logaritmo e da base. Reorde que no existem logaritmos de nmeros no
positivos e que a base um nmero no negativo diferente de 1.
17
-
Exemplo 1.15. Resoluo de equaes logartmias
Resoluo:
(a) log3(x+ 2) = 1 + log 13x
Comeemos por veriar as ondies de existnia: x+ 2 > 0 x > 0 x > 0 (1)
Ora,
log3(x+ 2) = 1 + log 13x log3(x+ 2) = log3 3 log3 x
log3(x+ 2) = log3(3
x
)
x+ 2 = 3x x2 + 2x 3 = 0 x = 3 x = 1 (2)
De (1) e (2) sai que a soluo da equao x = 1
(b) log3 x+1
log3x 9= 2
Comeemos por veriar as ondies de existnia: x > 0 3x 6= 1 x > 0 x 6= 13
(1)
Ora,
log3 x+1
log3x 9= 2 log3 x+ log9(3x) = 2
log3 x+log3 3x
log3 9= log3(3
2) log3 x+log3 3x
2= log3 9
log3 x+ log33x = log3 9 log3(x
3x) = log3 9
x3x = 9 xx = 32
3 x 32 = 3 32 x = 3 (2)
De (1) e (2) sai que a soluo da equao x = 3
Inequaes logartmias
Para resolver inequaes logartmias, prouramos oloar os logaritmos na mesma base, utiliza-
mos as propriedades, analisamos as ondies de existnia e utilizamos as impliaes
Se a > 1 e loga x < loga y x < y Se 0 < a < 1 e loga x < loga y x > y
18
-
Exemplo 1.16. Resoluo de inequaes logartmias
Resoluo:
(a) log 12
(x2 x 3
4
)> 2 log2 5
Comeemos por veriar as ondies de existnia:
x2 x 34> 0 x
], 1
2
[]3
2, +
[(1)
Ora,
log 12
(x2 x 3
4
)> 2 log2 5 log2
(x2 x 3
4
)> log2(2
2) log2 5
log2(x2 x 3
4
)< log2
(5
4
) x2 x 3
4 log5 2
Comeemos por veriar as ondies de existnia:
x 2 > 0 x 3 > 0 x 3 6= 1 x > 3 x 6= 4 (1)
Ora,
log5(x 2) +1
log(x3) 5> log5 2 log5(x 2) + log5(x 3) > log5 2
log5[(x 2)(x 3)] > log5 2 (x 2)(x 3) > 2
x2 5x+ 4 > 0 x ], 1[ ]4, +[ (2)
De (1) e (2) onlumos que a soluo da equao x ]4, +[
19
-
1.3 Exerios de apliao
1.3.1 Funo exponenial e logartmia
1. Aplique as propriedades das potnias para simpliar as expresses
(a) (64)32
(b) (81)12
() (32)25
(d) (64)23
(e)
(1
5
)3
(f) 52 53 (g) (52)2 (h) 8 12 2 12 (i) (15
)2(j)
53
56
(k) (32)32
(1
2
) 32
(l)
53
(25)2(m) 9
23 3 3 23 (n) 82 43 (o) (46) 12
(p)
(81 8 23
)3(q)
(e3)2
(r) e0 (s)
(1
e
)2(t)
(e5
e2
)1
2. Considere as funes f(x) = 3x, g(x) = 8x e h(x) = x1/2.
(a) Justique quais das funes anteriores so exponeniais
(b) Represente graamente as funes dadas
3. Determine b > 1 tal que y = 3
(2
5
)xpossa ser expresso omo y = 3 (bx). Justique,
onvenientemente, se estas funes so de resimento ou deresimento exponenial.
4. (a) Esreva 64 = 43 na forma logartmia
(b) Esreva log4
(1
64
)= 3 na forma exponenial
() Se 4 = log2 x, determine x
5. Esreva ada expresso na forma exponenial
(a) 4 = log2 16 (b) 4 = log3 81 ()1
2= log4 2 (d) 2 = log3
(1
9
)
6. Determine x esrevendo as equaes na forma exponenial
(a) log2 x = 3 (b) log4 x = 2 () log8 x = 1
3(d) log25 x =
1
2
7. Esreva ada expresso na forma logartmia
(a) 25 = 32 (b) 53 = 125 ()41 =1
4(d) 91/2 = 3
20
-
8. Calule:
(a) log2 8 (b) log3 9 () log5
(1
25
)
9. Aplique as propriedades dos logaritmos ou a denio para simpliar ada expresso.
(a) Se f(x) = ln x, determine f(ex)
(b) Se f(x) = ln x, determine f(e)
() Se f(x) = ex, determine f(ln 3)
(d) Se f(x) = 10x, determine f(log 2)
10. Aplique as propriedades dos logaritmos para esrever as seguintes expresses omo uma
soma, diferena ou mltiplo de logaritmos:
(a) ln
(2
3
)(b) ln
(x2 + 1
)() ln
(1
e
)(d) ln [z(z 1)2]
11. Aplique as propriedades das funes exponenial e logartmia para simpliar as expresses:
(a) log3(3x2) (b)
1
3
[2 ln(x+ 3) + ln x ln(x2 1)] () 1
2ln(x 2) + 3
2ln(x+ 2)
(d) 8 + eln(x3) (e) ln(x 2) ln(x+ 2) (f) ln(2x+ 1) + ln(2x 1)
(g) 1 + ln(e2x) (h) 2 ln 3 12ln(x2 + 1) (i) 2 lnx+
1
2ln(x+ 1)
(j) eln(x)
12. Verique analitiamente que os pares de funes seguintes so equivalentes para x > 0:
(a) f(x) = ln
(x2
4
)g(x) = 2 lnx ln 4
(b) f(x) = ln[
x (x2 + 1)]
g(x) =1
2[ln x+ ln(x2 + 1)]
13. Verique analitiamente que os pares de funes seguintes so inversas para x > 0:
(a) f(x) = e2x1 g(x) =1
2+ ln (
x)
(b) f(x) = ex3 g(x) = ln (x3)
14. Esboe o gro, determine o domnio e o ontradomnio das seguintes funes:
(a) f(x) = 3x (b) f(x) = 3x2 () f(x) = 3x 1 (d) f(x) = 3x + 2
(e) f(x) = 2 + lnx (f) f(x) = ln x (g) f(x) = ln(x+ 2) (h) f(x) = ln(x 1)
21
-
15. Resolva as seguintes equaes:
(a) 3x = 81 (b) (x+ 3)43 = 16 () x
23 =
3e2
(d) e5x+1 e2x+3 = 0 (e) 9x 6 3x = 27 (f) e 1x = e
(g) 2x 5 2x + 4 23x = 0 (h) 22x + 2x+1 = 80 (i) (100)x = 0, 001
(j) log10(x 3) log10(2x 9) = 0 (k) ln(6x) = ln(x2 16) (l) eln(x2) 9 = 0
(m) log2(3x 5) = log2 7 (n) 32x 12 3x = 27 (o) 2x2x16 = 16
(p) 22x + 2x+1 = 80 (q) logx3(4x) = 2 (r) log2x x = 2
(s) 3x1 53x+1
= 4 313x (t) log2 x+ logx 2 = 2 (u) xlogx(x+3) = 7
(v) log2
(x+ 2
x 1)+ log2[(x+ 2)(x 1)] = 2 (x) log2(3x+ 1) = 4 (z) log22 x log2 x = 2
16. Resolva as seguintes inequaes:
(a) 25x1 > 8 (b)(2
3
)3x2(4
9
)2x+1(
8
27
)x3() 4x
2+1 (32)1x
(d) log2(x 3) > 0 (e) log3(x+ 2) + log3 x > 1 (f) (0, 3)x5 (0, 09)2x+3
(g) 4x+12 5 2x + 2 > 0 (h) log(x+ 2) + log(x+ 3) > log(12) (i) log2
[log 1
2(log3 x)
]> 0
(j) log 13(x2 4x) > log 1
35 (k) logx28(11) < logx28(21) (l) log 1
2(2x2 3x) > 1
17. Considere a funo real de varivel real denida em R+por f(x) = log2(8x
2) log2 x.
(a) Mostre que f(x) = 3 + log2 x para qualquer x R+.(b) Determine a abissa do ponto de interseo do gro de f om a reta de equao
y = 8.
18. Considere a funo f denida por f(x) = ln(x2
). Qual dos seguintes pontos pertene ao
gro de f?
(a)
(e, ln
(1
2
))(b) (e, 1 ln 2) () (e, e ln 2) (d)
(e,
(2
ln 2
))
22
-
19. Determine o domnio das seguintes funes:
(a) f(x) = ex1 (b) f(x) = ex
x21() f(x) =
1
ex 2
(d) f(x) = ln(x+ 5) (e) f(x) = ln(x2 + 3x+ 4) (f) f(x) = 1log2(3x 5) log2 7
(g) f(x) = ln
(1
x2 1
)(h) f(x) =
1 log2(x2 3x) (i) f(x) = ln(ln2 x 1)
20. Considere as funes reais de varivel real denidas por f(x) = 3 2e2x e g(x) = e2x
(a) Caraterize a funo inversa de f .
(b) Resolva a equao f(x) = g(x).
21. Considere a funo real de varivel real denida por f(x) = ln
(1
x 1
)(a) Determine o domnio de f .
(b) Caraterize a funo inversa de f .
22. Considere as funes f(x) = 1 32x e g(x) = 1 ex+23
(a) Determine o domnio das funes anteriores.
(b) Determine os zeros de g.
() Resolva as inequaes f(x) > 0 e g(x) > 0.
23. Considere a funo f(x) =2 + log3(5 x2 )
3
(a) Determine o domnio da funo.
(b) Determine, aso existam, os zeros da funo.
() Resolva a inequao f(x) 12.
(d) Caraterize a funo inversa de f .
1.3.2 Apliaes da funo exponenial e logartmia
1. Os alunos de uma turma foram submetidos a uma prova no inio do ano letivo e no m
de ada um dos 10 meses seguintes om provas de diuldade equivalente. A lassiao
mdia admite o modelo S(t) = 53 + 5 ln(t+ 1).
(a) Qual foi a mdia das lassiaes na primeira prova? E na prova no nal do 4o ms?
(b) Aps quantos meses foi ultrapassada a mdia de 60?
23
-
2. A funo C(x) = 60 000
(8
7
)x, x 0 usada omo modelo para alular o valor de um
andar num prdio de uma idade, em euros, e x representa o nmero de anos aps a venda
do andar.
(a) Determine o valor iniial do andar.
(b) Qual a perentagem de valorizao do andar no 1o ano?
() Aps a venda, quantos anos deorrero para que o valor do andar atinja 228 071 euros?
24
-
Captulo 2
Clulo diferenial em R
2.1 Limites de funes
Em linguagem orrente, referimos o limite de veloidade, o limite de peso de um lutador, limite
de resistnia humana, limite da distenso de uma mola. Todas essas expresses sugerem que o
limite uma ota, que em ertas oasies pode no ser atingida, mas noutras pode ser atingida
ou mesmo ultrapassada.
O oneito de limite matemtio bastante semelhante ao oneito de limite que referimos an-
teriormente.
Suponhamos que nos pedido para esboar o gro da funo f denida por
f(x) =x3 1x 1 , x 6= 1.
Para todos os valores exeto x = 1, podemos utilizar tnias onheidas para traarmos gros
de funes. No entanto, em x = 1, no laro o que aonteer. Para termos uma ideia do gro
de f nas proximidades de x = 1, podemos usar dois onjuntos de valores de x - um onjunto que
se aproxime de 1 pela esquerda e outro que se aproxime de 1 pela direita.
A tabela seguinte apresenta os valores de f(x) para diversos valores de x prximos de 1.
x aproxima-se de 1 x aproxima-se de 1
pela esquerda pela direita x 0, 75 0, 9 0, 99 0, 999 1 1, 001 1, 01 1, 1 1, 25
f(x) 2, 313 2, 710 2, 970 2, 997 ? 3, 003 3, 030 3, 310 3, 813 f(x) aproxima-se de 3
f(x) aproxima-se de 3
25
-
Graamente temos
2
4
6
2 424
(1,3)
y
x
x3 1x 1
Como podemos observar, o gro de f uma parbola que tem uma falha no ponto (1, 3).
Embora x = 1 no pertena ao domnio de f , podemos veriar que f(x) se aproxima de 3
quando x se aproxima de 1. Usando a noo de limite podemos esrever
limx1
f(x) = 3
que se l o limite de f(x), quando x tende para 1, 3.
Informalmente, podemos denir limite:
Se f(x) se aproxima de um nio nmero L onforme x se aproxima de c, pela direita
e pela esquerda, o limite de f(x), quando x tende para c, L. Este limite esrito
omo
limxc
f(x) = L (2.1)
Exemplo 2.1. Calule o valor da funo f(x) =x
x+ 1 1 em diversos pontos na proximidadede x = 0 e use os resultados para fazer uma estimativa do limite
limx0
xx+ 1 1
Resoluo: A tabela seguinte apresenta os valores de f(x) para diversos valores de x prximos
de 0.
x aproxima-se de 0 x aproxima-se de 0
pela esquerda pela direita x 0, 01 0, 001 0, 0001 0 0, 0001 0, 001 0, 01f(x) 1, 99499 1, 99950 1, 99995 ? 2, 00005 2, 00050 2, 00499
f(x) aproxima-se de 2 f(x) aproxima-se de 2
26
-
A partir dos resultados apresentados na tabela podemos fazer uma estimativa de que o valor do
limite 2. O gro de f refora este resultado.
2
4
2 424
(-1,1)
y
xx
x+11
Exemplo 2.2. Calule o limite de f(x) quando x tende para 2 sendo
f(x) =
{1, x 6= 20, x = 2
Resoluo: Como f(x) = 1 para qualquer que seja x 6= 1 podemos onluir que o limite 1,
omo podemos veriar graamente.
2
2 424
(2,1)
y
x
f
Assim podemos esrever
limx2
f(x) = 1
O fato de f(2) = 0 no tem relao om a existnia ou valor do limite quando x 2. Porexemplo se a funo fosse denida omo
f(x) =
{1, x 6= 22, x = 2
teramos da mesma forma limx2
f(x) = 1.
At agora apenas analismos funes para as quais alulmos limites que existiam. Vejamos o
que se passa nos exemplos seguintes.
Exemplo 2.3. Mostre que o limite limx0
|x|x
no existe.
Resoluo: Consideremos o gro da funo f(x) =|x|x.
27
-
1.5
1.5 2 424
y
x
f
A partir da gura podemos observar que:
x > 0 |x|x
= 1 x < 0 |x|x
= 1
Isto signia que no importa o quanto perto se hegue de 0. Haver sempre valores positivos e
negativos para x que produzem f(x) = 1 e f(x) = 1 pelo que limx0
|x|x
no existe.
Exemplo 2.4. Disuta a existnia do limite limx0
1
x2.
Resoluo: Considerando o gro da funo f(x) =1
x2, podemos observar que quando x tende
para 0 tanto pelo lado direito omo pelo lado esquerdo, o valor de f(x) aumenta sem limites.
Isto signia que ao esolhermos x prximo de 0, podemos forar f(x) a ser to grande quanto
quisermos. Aontee que f(x) no se aproxima de nenhum nmero real L quando x se aproxima
de 0, pelo que limx0
1
x2no existe.
2
4
6
2 424
y
x
f
Do exposto onlumos que existem dois tipos omuns de omportamento assoiados no exis-
tnia de um limite:
f(x) aproxima-se de nmeros diferentes pelo lado direito e pelo lado esquerdo de c. Simbo-liamente temos
limxc
f(x) 6= limxc+
f(x)
f(x) aumenta ou diminui ilimitadamente quando x tende para c. Simboliamente temos
limxc
f(x) = + limxc
f(x) =
28
-
Denio 2.5. Chamamos limite lateral esquerda de f(x), e l-se limite de f(x) quando x
tende para c por valores inferiores a c, ao limite
limxc
f(x) (2.2)
Chamamos limite lateral direita de f(x), e l-se limite de f(x) quando x tende para c por valores
superiores a c, ao limite
limxc+
f(x) (2.3)
Teorema 2.6. Se f uma funo e c e L so nmeros reais, ento limxc
f(x) = L se e s se ambos
os limites laterais existem e so iguais a L.
Exerio 2.7. Atravs do gro justique a existnia / no existnia dos seguintes limites:
(a) limx3
(4 x) (b) limx1
(x2 + 2)
0
2
4
0 2 4
y
x
2
4
22
y
x
() limx2
{4 x, x 6= 20, x = 2
(d) limx1
{x2 + 2, x 6= 11, x = 1
0
2
4
0 2 4
y
x
2
4
1 212
y
x
(e) limx2
1
x 2 (f) limx5|x 5|x 5
2
22 4
y
x
2
22 4 6
y
x
29
-
Exerio 2.8. Esboe o gro de uma funo tal que:
f(0) no est denida limx0
f(x) = 4
f(2) = 6 limx2
f(x) = 3
Analisemos o signiado das seguintes expresses:
f(x) aproxima-se de L signia que, sendo um valor real positivo, o valor de f(x) seenontra num intervalo (L , L+ ), isto
|f(x) L| < x aproxima-se de c signia que existe um nmero real positivo tal que x se enontranum intervalo (c , c + ), isto
0 < |x c| < (x 6= c e x est a menos de unidades de c)
Denio 2.9. Seja f uma funo denida num intervalo aberto ontendo c e seja L um nmero
real. A armao
limxc
f(x) = L (2.4)
signia que para todo o > 0 existe um > 0 tal que se
0 < |x c| < |f(x) L| < (2.5)
Propriedades dos limites
Teorema 2.10. Sejam b e c nmeros reais, n um inteiro positivo, f e g funes tais que
limxc
f(x) = L e limxc
g(x) = K. Ento:
1. limxc
b f(x) = b L 2. limxc
b = b 3. limxc
x = c
4. limxc
[f(x) g(x)] = LK 5. limxc
[f(x)]n = [L]n 6. limxc
xn = cn
7. limxc
nf(x) =
nL 8. lim
xcnx = n
c
9. limxc
[f(x) g(x)] = LK 10. limxc
f(x)
g(x)=
L
K, K 6= 0
Na propriedade 7, se n par, L deve ser positivo. Na propriedade 8, se n par, c deve ser positivo.
30
-
Exemplo 2.11. Clulo de limites
Resoluo:
limx2
(x2 + 2x 3) = limx2
x2 + limx2
2x limx2
3 =
= limx2
x2 + 2 limx2
x limx2
3 =
= 22 + 2 2 3 = 5
Teorema 2.12. Se p uma funo polinomial e c um nmero real arbitrrio, ento
limxc
p(x) = p(c) (2.6)
Se r uma funo raional dada por r(x) =p(x)
q(x)e c um nmero real tal que q(c) 6= 0, ento,
limxc
r(x) = r(c) =p(c)
q(c)(2.7)
Exemplo 2.13. Clulo de limites
Resoluo: limx1
x2 + x+ 2
x+ 1=
12 + 1 + 2
1 + 1= 2
Teorema 2.14. Se f e g so funes tais que limxc
g(x) = L e limxL
f(x) = f(L), ento:
limxL
f [g(x)] = f[limxc
g(x)]= f(L) (2.8)
Exemplo 2.15. Dadas as funes f(x) =x e g(x) = x2 + 4 temos
(a) limx0
g(x) = limx0
(x2 + 4) = 02 + 4 = 4
(b) limx4
f(x) = limx4
x =
4 = 2
() limx0
f [g(x)] = f(4) =4 = 2
Os exemplos seguintes mostram algumas tnias que se podem utilizar para lulo de limites
quando as propriedades e os teoremas anteriores no se podem apliar.
31
-
Exemplo 2.16. Calule limx3
x2 + x 6x+ 3
.
Resoluo: Embora estejamos a trabalhar om o limite de uma funo raional, no podemos
apliar o teorema 2.12 pois o limite do denominador 0. Obtemos a indeterminao0
0.
limx3
x2 + x 6x+ 3
limx3
(x2 + x 6) = 0
limx3
(x+ 3) = 0
Como o limite do numerador e do denominador so iguais, tm um fator em omum (neste aso
tem de ser obrigatoriamente x + 3). Assim, para todo o x 6= 3, podemos simpliar este fator
omum para alularmos o limite pretendido. Vejamos,
limx3
x2 + x 6x+ 3
= limx3
(x+ 3)(x 2)x+ 3
=
= limx3
(x 2) = 5
Exemplo 2.17. Calule limx0
x+ 1 1
x.
Resoluo: Tambm neste aso, por substituio direta, obtemos a indeterminao
0
0.
limx0
x+ 1 1
x
limx0
(x+ 1 1) = 0
limx0
x = 0
Podemos reesrever a frao raionalizando o numerador. Ora,
limx0
x+ 1 1
x= lim
x0(x+ 1 1)(x+ 1 + 1)
x(x+ 1 + 1)
=
= limx0
(x+ 1) 1x(x+ 1 + 1)
= limx0
x
x(x+ 1 + 1)
=
= limx0
1
(x+ 1 + 1)
=1
2
32
-
Noutros asos, para alularmos limites, reorremos aos limites notveis, os quais onstam do
formulrio no Anexo B.
Exemplo 2.18. Clulo de limites utilizando os limites notveis
Resoluo:
(a) limx0
ex e3x2x
= limx0
e3x(e2x 1)2x =
= limx0
(e3x) limx0
e2x 12x =
= 1 1 = 1
(b) limx3
x2 5x+ 6ln(x 2) = limx3
(x 3)(x 2)ln(x 2) =
= limx3
x 3ln(x 2) limx3 (x 2) =
= 1 1 = 1
() limx0
ex 1ln(x+ 1)
= limx0
ex 1x
xln(x+ 1)
= limx0
ex 1x
limx0
x
ln(x+ 1)=
= limx0
ex 1x
limx0
1
ln(x+ 1)
x
=
= limx0
ex 1x
1limx0
ln(x+ 1)
x
= 1 11= 1
2.2 Continuidade de funes
Matematiamente o termo ontnuo tem essenialmente o mesmo signiado que em linguagem
orrente. Dizer que uma funo ontnua em x = c signia que no existe interrupo no gro
de f em c.
33
-
Antes de denirmos formalmente o oneito de funo ontnua onsideremos uma funo f ujo
gro est representado na gura seguinte:
a c1 c2 c3b
y
x
A gura anterior identia trs valores de x em que a funo no ontnua.
Em x = c1, limxc1
f(x) no existe
Em x = c2, f(c2) no denida
Em x = c3, f(c3) 6= limxc3
f(x)
Em todos os outros pontos do intervalo ]a, b[, o gro de f apresenta-se ininterrupto, o que
implia que a funo f ontnua em todos os outros pontos de ]a, b[.
Denio 2.19. Seja c ]a, b[ e f uma funo ujo domnio ontm o intervalo ]a, b[. A funof ontnua no ponto c se se veriam as seguintes ondies:
f(c) denida
limxc
f(x) existe
limxc
f(x) = f(c)
Exemplo 2.20. Disuta a ontinuidade das seguintes funes no ponto x = c.
Resoluo:
(a) f(x) =
{x+ 1, x 0x2 + 1, x > 0
c = 0
Failmente observamos que Df = R, no entanto, atendendo expresso que dene a funo,
o ponto de abissa x = 0 levanta-nos algumas dvida quanto ontinuidade. Analisemos a
ontinuidade da funo neste ponto.
34
-
Ora, omo
limx0
f(x) = limx0
(x+ 1)= limx0+
f(x) = limx0+
(x2 + 1) = f(0) = 1
onlumos que f(x) ontnua em x = 0.
Graamente, vem:
2
4
21 212
x
y
f(x) = x2 + 1, x > 0
f(x) = x+ 1, x 0
(b) f(x) =x2 1x 1 , c = 1
Intuitivamente, uma vez que Df = R\{1}, onlumos que f(x) no ontnua em x = 1.Vamos demonstrar esta armao analtia e graamente.
Analitiamente, atendendo denio temos:
limx1
f(x) = limx1
x2 1x 1 = limx1
(x 1)(x+ 1)x 1 = limx1(x+ 1) = 2
limx1+
f(x) = limx1+
x2 1x 1 = limx1+
(x 1)(x+ 1)x 1 = limx1+(x+ 1) = 2
f(1) no est denida
Logo f(x) no ontnua em x = 1 pois f(1) 6= limx1
f(x) = 2
Graamente, vem:
2
21 2 312
x
y
f(x) =x2 1x 1
35
-
Denio 2.21. Seja f uma funo denida num intervalo fehado [a, b].
f ontnua direita de x = a se e s se limxa+
f(x) = f(a).
f ontnua esquerda de x = b se e s se limxb
f(x) = f(b).
f ontnua no intervalo ]a, b[ se e s se f ontnua em todos os pontos de ]a, b[.
f ontnua no intervalo [a, b] se e s se f ontnua em todos os pontos de ]a, b[, ontnua direita de x = a e ontnua esquerda de x = b.
f ontnua em R se e s se ontnua em todos os pontos x R.
Exemplo 2.22. Disuta a ontinuidade de f(x) =
{ln x, 0 < x < e
x 2, x e no ponto x = e
Resoluo: Comeemos por averiguar o omportamento de f quando x = e.
limxe
f(x) = limxe
(ln x) = ln(e) = 1
limxe+
f(x) = limxe+
(x 2) = e 2 = f(e)
Logo f(x) no ontnua em x = e pois limxe
f(x) 6= limxe+
f(x).
Atendendo a que limxe+
f(x) = f(e), a funo ontnua direita de x = e.
Graamente, vem:
2
2
4
2 4x
y f(x) = x 2, x e
f(x) = lnx, 0 < x < e
36
-
2.2.1 Propriedades das funes ontnuas
Teorema 2.23. Sejam n N e f e g funes ontnuas, ento1. Toda a funo onstante ontnua.
2. Toda a funo polinomial ontnua.
3. b f uma funo ontnua.4. f g uma funo ontnua.5. f g uma funo ontnua.
6.
f
g uma funo ontnua, nos pontos onde o denominador no se anula.
7. fn uma funo ontnua.
8.
nf uma funo ontnua, exeto no aso de n par e f < 0.
Teorema 2.24. Continuidade da Funo Composta
Se g uma funo ontnua em c e f uma funo ontnua em f(c), ento a funo omposta
denida por (f g)(x) = f [g(x)] ontnua em x = c.
Exemplo 2.25. Disuta a ontinuidade de f(x) =
x 1, x 12x, 1 < x < 3ln x, x 3
Resoluo:
Para x < 1, f ontnua pois uma funo polinomial Para 1 < x < 3, f ontnua pois uma funo polinomial Para x > 3, f ontnua pois a funo ln x ontnua no seu domnio (R+), logo ontnuaem ]3,+[
Para x = 1, f ontnua poislim
x1f(x) = lim
x1(x 1) = lim
x1+f(x) = lim
x1+2x = f(1) = 2
Para x = 3, f no ontnua poislimx3
f(x) = limx3
2x = 6 6= limx3+
f(x) = limx3+
ln x = f(3) = ln 3
Conlumos, assim, que f ontnua em R\{3}.
37
-
Graamente, vem:
3
6
3
6
2 4 6 824x
y
f(x) = x 1, x 1
f(x) = 2x, 1 < x < 3
f(x) = lnx, x 3
Muitas funes utilizadas em apliaes gesto so do tipo funo esada, ou funo degrau.
A funo maior inteiro um exemplo de funo esada. Esta funo representada por:
f(x) = |[x]| maior inteiro no superior a x
Por exemplo,
|[2, 1]| maior inteiro no superior a 2, 1 = 3
|[2]| maior inteiro no superior a 2 = 2
|[1, 5]| maior inteiro no superior a 1, 5 = 1
Graamente podemos observar que o gro desta funo tem um salto de uma unidade para
ada valor inteiro. Isto implia que a funo no ontnua nos inteiros.
3
3
1 2 3123x
y
f(x) = |[x]|
38
-
Em apliaes da vida real, o domnio da funo de maior inteiro , de uma forma geral, restrito
a valores no negativos de x. Em tais asos, esta funo serve para trunar a parte deimal de x.
Exemplo 2.26. Os banos e as instituies naneiras diferem quanto maneira de reditar os
juros numa onta. Se o juro reditado na onta de modo que o juro futuro seja pago sobre o juro
j reditado, ento o juro hama-se omposto.
Suponhamos, por exemplo, 10 000 euros numa onta que rende a uma taxa de juro de 6%, omposto
trimestralmente. Como 6% a taxa anual de juro, a taxa trimestral 1
4 0, 06 = 0, 015 = 1, 5%.
Seguidamente apresentam-se os saldos da onta nos primeiros 5 trimestres.
Trimestre Saldo
1o 10 000, 00 euros
2o 10 000, 00 + 0, 015 10 000, 00 = 10 150, 00 euros3o 10 150, 00 + 0, 015 10 150, 00 = 10 302, 25 euros4o 10 302, 25 + 0, 015 10 302, 25 = 10 456, 78 euros5o 10 456, 78 + 0, 015 10 456, 78 = 10 613, 63 euros
Os lulos efetuados permitem-nos denir uma funo que relaiona o saldo da onta om o
tempo em anos.
Seja S o saldo na onta e t o tempo em anos, ento
S = 10 000 (1 + 0, 015)|[4t]|
2.2.2 Assmptotas
Consideremos os gros seguintes:
2
21 2 31
x
y
1x1 2
21 2 31
x
y
1x1 2
21 2 31
x
y
1(x1)2
Se fosse possvel estender os gros anteriores em direo ao innito positivo e negativo, veramos
que ada gro se tornava arbitrariamente prximo da reta vertial x = 1. Essa reta uma
assmptota vertial do gro de f .
39
-
Denio 2.27. A reta x = c uma assmptota vertial da funo f(x) se e s se
limxc
f(x) = limxc+
f(x) = (2.9)
Exemplo 2.28. Determine, se existirem, as assmptotas ao gro da funo denida por
f(x) =x2 + 1
x2 1Resoluo: Atendendo a que
limx1
f(x) = limx1
x2 + 1
x2 1 =2
0= lim
x1+f(x) = lim
x1+x2 + 1
x2 1 =2
0+= +
a funo f tem duas assmptotas vertiais, x = 1 e x = 1, fato que podemos omprovar pelaanlise do gro da funo.
2
21 2 3 4 512345
x
y
x2+1x21
Da anlise anterior, podemos veriar que o gro duma funo tem uma assmptota vertial,
x = c, quando x, tendendo para c pela esquerda ou pela direita, torna a funo innita.
Outro tipo de assmptota obtido quando onsideramos x a tender para + ou . Vejamosos seguintes gros:
2
222
x
y
3x2
x2+1
2
222
x
y
3x22x2+1
2
4
6
2 2 42x
y
x22x+1x2
No 1o e 2o asos, o gro da funo, quando x rese ou diminui ilimitadamente, aproxima-se de
retas horizontais, enquanto que no 3o aso o gro da funo limitado por uma reta oblqua.
Estas retas designam-se assmptotas horizontais e assmptotas oblquas, respetivamente.
40
-
Denio 2.29. A reta y = mx + b uma assmptota direita da funo f(x) se e s se
existem nitos os limites
m = limx+
f(x)
x b = lim
x+[f(x)m x] (2.10)
A reta y = mx + b uma assmptota esquerda da funo f(x) se e s se existem nitos os
limites
m = limx
f(x)
x b = lim
x[f(x)m x] (2.11)
Se m = 0 a assmptota horizontal. Se m 6= 0 a assmptota oblqua.
Exemplo 2.30. Determine, se existirem, as assmptotas ao gro da funo f denida por
f(x) = xe1x
Resoluo:
f ontnua no seu domnio, Df = R\{0}.
Assmptotas vertiais
limx0
f(x) = limx0
xe1x =
0e0
limx0+
f(x) = limx0+
xe1x =
0limx0+
e1x
1x
=L.N.
+
A reta x = 0 uma assmptota vertial
Assmptotas no vertiais: y = mx+ b
m = limx+
f(x)
x= lim
x+xe
1x
x= lim
x+e
1x = 1
b = limx+
[f(x)mx] = limx+
(xe1x x) = lim
x+[x(e
1x 1)] = lim
x+e
1x 11x
= =L.N.
1
Atendendo a que, quando x , so obtidos os mesmos resultados, a reta y = x+1 umaassmptota oblqua quando x
41
-
2.2.3 Teoremas de funes ontnuas
Consideremos as funes f e g ujos gros esto representados na gura seguinte.
2
4
1 2 312
3.5
x
y
f 2
4
1 2 3 412x
y
g
Teorema 2.31. teorema de Weierstrass
Seja f uma funo ontnua em [a, b] ento, neste intervalo a funo possui um mximo e um
mnimo.
Simboliamente
fontnua em [a, b] f tem mximo e mnimo em [a, b]
Outro teorema importante para funes ontnuas o teorema de Bolzano mas, antes de o enun-
iarmos, analisemos os seguintes gros:
baf(b)
f(a)
k
cx
y
f(a) > k > f(b)
ba
f(b)
f(a)
k
cx
y
f(a) < k < f(b)
Teorema 2.32. teorema de Bolzano
Seja f uma funo ontnua em [a, b]. Ento a funo no passa de um valor a outro sem passar
por todos os valores intermdios.
Simboliamente
fontnua em [a, b] e [f(a) < k < f(b) f(a) > k > f(b)] c ]a, b[: f(c) = k
Corolrio 2.33. Se f ontnua em [a, b] e f(a) f(b) < 0 ento c ]a, b[: f(c) = 0.
42
-
Exemplo 2.34. Considere a funo f(x) =4x+ 16
x2. Justique se so verdadeiras ou falsas as
seguintes armaes:
(a) c ] 5, 3[: f(c) = 0 (b) c ]2, 8[: f(c) = 2Resoluo:
(a) f ontnua em [5, 3] pois o quoiente de duas funes polinomiais ujo denominadorno se anula neste intervalo
f(5) f(3) = 425 4
9< 0
Ento, atendendo ao orolrio (2.33), c ] 5, 3[: f(c) = 0, logo a armao verdadeira.
(b) f ontnua em [2, 8] pois o quoiente de duas funes polinomiais ujo denominador
no se anula neste intervalo
f(2) = 8 > 2 > f(8) =3
4
Ento, atendendo ao teorema (2.32), c ]2, 8[: f(c) = 2, logo a armao verdadeira.
Exemplo 2.35. Sobre uma funo f sabe-se que ontnua em R e que f(a) f(b) > 0. Pode
onluir que a funo f no tem zeros em ]a, b[? Justique a sua resposta.
Resoluo: No. O orolrio (2.33) garante a existnia de zeros sob ertas ondies. Se tais
ondies no se veriam no se pode onluir nada sobre a existnia ou no existnia de zeros
para a funo. Por exemplo, se onsiderarmos a funo f(x) = x2 1 temos f ontnua em R f(3) f(2) = 8 3 > 0 f(1) = 0 e 1 ] 3, 2[
2.3 Derivadas de funes
2.3.1 Denio e interpretao geomtria
Anteriormente j mostrmos omo o oeiente angular de uma reta - delive de uma reta - india
a taxa qual a reta sobe ou dese. Para uma reta, esta taxa a mesma em todos os seus pontos.
Para outros gros que no retas, a taxa qual o gro sobe ou dese pode variar de ponto
para ponto. Por exemplo, onsideremos o seguinte gro:
43
-
(x3, y3)
(x2, y2)
(x1, y1)
(x4, y4)x
y
Podemos observar que a parbola sobe mais rapidamente no ponto (x1, y1) do que no ponto
(x2, y2). No vrtie (x3, y3) o gro deixa de subir ou deser, e no ponto (x4, y4), o gro est
a deser.
Para determinar a taxa qual um gro sobe ou dese num determinado ponto, podemos alular
o oeiente angular da tangente no ponto. Em termos simples, a tangente ao gro duma funo
f num ponto P (x, y) a reta que melhor aproxima o gro naquele ponto onforme podemos
ver pelo gro anterior.
Assim, o problema da determinao da inlinao de um gro num ponto reduz-se ao de alular
o oeiente angular da tangente naquele ponto.
Um mtodo para obtermos aproximaes de tangentes onsiste em fazer uso da reta seante pelo
ponto de tangnia e por um segundo ponto do gro onforme se mostra na gura seguinte:
f(x+x) f(x)(x, f(x))
(x+x, f(x+x))
xx
y
Se (x, f(x)) ponto de tangnia e (x+x, f(x+x)) um segundo ponto do gro de f , ento
o oeiente angular da seante que passa por estes pontos
msec =f(x+x) f(x)
x=
y
x(2.12)
onde x a variao de x e y a variao de y. Se aproximarmos ada vez mais o segundo
ponto do ponto de tangnia, obtemos melhores aproximaes do oeiente angular da tangente
omo podemos veriar pelos gros seguintes:
Utilizando o proesso do limite, podemos determinar o oeiente angular exato da tangente em
(x, f(x)).
44
-
y
x
(x, f(x))
(x+x, f(x+x))
x
y
y
x
(x, f(x))
(x+x, f(x+x))
x
y
(x, f(x))
x
y
Denio 2.36. A derivada de f no ponto x dada por
f (x) = limx0
f(x+x) f(x)x
= limh0
f(x+ h) f(x)h
(2.13)
desde que o limite exista. Uma funo diferenivel em x se a sua derivada existe, nita, em
x. O proesso de lulo de derivadas hamado difereniao.
Observao 2.37. Existem vrias notaes para representar a derivada de uma funo. As mais
frequentes so:
f (x) =dy
dx(x) = y(x) =
d
dx[f(x)]
que se l:
f linha de x derivada de y y linha de x derivada de f
em ordem a x em ordem a x
Exemplo 2.38. Calule a derivada de f(x) = 3x2 2x.Resoluo: Temos
f (x) = limh0
f(x+ h) f(x)h
= limh0
[3 (x+ h)2 2 (x+ h)] (3x2 2x)h
= limh0
3 (x2 + 2xh+ h2) 2x 2h 3x2 + 2xh
= limh0
3x2 + 6xh+ 3h2 2x 2h 3x2 + 2xh
= limh0
6xh+ 3h2 2hh
= limh0
h (6x+ 3h 2)h
= limh0
(6x+ 3h 2) = 6x 2
45
-
Observao 2.39. Note que a partir da derivada de uma funo obtemos uma frmula para
determinar o oeiente angular da tangente em qualquer ponto do gro da funo.
2.3.2 Continuidade e difereniabilidade
A frmula seguinte uma forma alternativa para expressar a derivada de uma funo. Esta
frmula til para estudarmos a relao entre as noes de ontinuidade e difereniabilidade.
Denio 2.40. A derivada de f no ponto x = c, desde que o limite exista, dada por
f (c) = limxc
f(x) f(c)x c (2.14)
Observao 2.41. A frmula anterior exige que os limites laterais
f e(c) = limxc
f(x) f(c)x c e f
d(c) = lim
xc+f(x) f(c)
x c
existam iguais. Estes limites laterais so hamados de derivada esquerda e derivada
direita, respetivamente. Donde uma funo f derivvel no intervalo [a, b] se o for em ]a, b[ e
se a derivada direita no ponto a existir bem omo a derivada esquerda no ponto b.
Nem toda a funo diferenivel. Os gros seguintes mostram algumas situaes usuais em que
uma funo no diferenivel nalgum ponto - tangentes vertiais, desontinuidades e alteraes
brusas. Esto representadas graamente funes difereniveis para todos os valores de x exeto
em x = 0.
2
1 212x
y
y = x1/3 2
1 212x
y
y =|x|x
2
1 212x
y
y = x2/3 2
1 212x
yy = |x|
46
-
Os gros anteriores mostram que a ontinuidade no uma ondio suientemente forte para
garantir a difereniabilidade. Todas as funes representadas so ontnuas em (0, 0) exeto uma,
mas nenhuma diferenivel na origem. Por outro lado, se uma funo diferenivel num ponto
ento ela ontnua nesse ponto.
Analisemos, por exemplo, a funo f(x) = x1/3. Como podemos observar pelo gro, a funo
ontnua no ponto x = 0. Porm, sendo o limite
limx0
f(x) f(0)x 0 = limx0
x1/3 0x
=
= limx0
1
x2/3=
innito, pode-se onluir que a reta tangente no ponto x = 0 uma reta vertial. Portanto, f no
diferenivel no ponto x = 0.
Teorema 2.42. Se uma funo diferenivel em x = c, ento ontnua nesse ponto.
Corolrio 2.43. Se uma funo no ontnua em x = c, ento no diferenivel nesse ponto.
Exemplo 2.44. A taxa mensal para gua numa pequena idade dada por
f(x) =
{18 se 0 x 200, 1x+ 16 se x > 20
(a) A funo dada ontnua em x = 20?
(b) A funo dada diferenivel em x = 20?
Resoluo: Temos
(a) A funo f ontnua em x = 20 pois
limx20
f(x) = limx20
18 = limx20+
f(x) = limx20+
(0, 1x+ 16) = f(20) = 18
(b) A funo f no diferenivel em x = 20 pois f e(x) 6= f d(x). Vejamos,
f e(x) = limx20
f(x) f(20)x 20 = limx20
18 18x 20 = 0
f d(x) = limx20+
f(x) f(20)x 20 = limx20+
0, 1x+ 16 18x 20 = limx20+
0, 1x 2x 20
= limx20+
x 2010(x 20) =
1
10
47
-
2.3.3 Regras de derivao
At agora alulmos derivadas utilizando a noo de limite. Um outro proesso para alularmos
derivadas usar regras que nos permitem alular derivadas sem usar limites diretamente. As
regras prtias de derivao onstam do formulrio no Anexo B.
Exemplo 2.45. Clulo de derivadas
Resoluo:
(a) (7) = 0 (b) (x3) = 3 x2 () (3x2) = 3 (x2) = 3 2 x = 6x
(d) [(3x)2]= 2 (3x) 3 = 18x (e)
(1
x2
)= (x2) = 2 x3 1 = 2
x3
(f)
(1
x2
)=
0 x2 1 2 x 1(x2)2
= 2xx4
= 2x3
(g) [(x+ 1) 3x ]
= (x + 1) 3x+ (x+ 1) ( 3x) =
= = 1 3x+ (x+ 1)(
x
3 3x2
)= 3x+ (x+ 1) 1
33x2
=
= 3x+
x+ 1
33x2
=3x+ x+ 1
33x2
=4x+ 1
33x2
Derivadas de ordem superior
A derivada de f , segunda derivada de f , representa-se por f e tem-se
f (x) =d
dx[f (x)]
A derivada de f , tereira derivada de f , representa-se por f e tem-se
f (x) =d
dx[f (x)]
Continuando este proesso, obtemos as derivadas de ordem superior, a derivada f ostumadesignar-se por primeira derivada de f .
48
-
Exemplo 2.46. Clulo de derivadas de ordem superior
Resoluo:
Funo Original f(x) = 2x4 3x2 f (x) = 48x 3a Derivada
1a Derivada f (x) = 8x3 6x f (iv)(x) = 48 4a Derivada
2a Derivada f (x) = 24x2 6 f (v)(x) = 0 5a Derivada
Notao para derivadas de ordem superior
1a Derivada y f dy
dx
d
dx[f(x)] Dx(y)
2a Derivada y f d2y
dx
d2
dx2[f(x)] Dxx(y)
n.a Derivada y(n) f (n)dny
dxndn
dxn[f(x)] Dxn(y)
Os eonomistas referem luro marginal, reeita marginal e usto marginal omo sendo as taxas
de variao do luro, da reeita e do usto em relao ao nmero x de unidades produzidas ou
vendidas. Como j sabemos, a equao que relaiona estas trs grandezas
P = R C,onde P representa o luro total, R a reeita total e C usto total. As derivadas dessas grande-
zas designam-se por luro marginal, reeita marginal e usto marginal, respetivamente e
representam-se por:
dP
dx= luro marginal
dR
dx= reeita marginal
dC
dx= usto marginal
Exemplo 2.47. O luro, em euros, resultante da venda de x unidades de um artigo dado por
P = 0, 0002x3 + 10x.
(a) Determine o luro marginal para um nvel de produo de 50 unidades.
(b) Compare o aumento do luro deorrente do aumento da produo de 50 para 51 unidades.
Resoluo:
(a)
dP
dx(x) = 0, 0006x2 + 10 dP
dx(50) = 0, 0006(50)2 + 10 = 11, 50 euros por unidade
49
-
(b) Para x = 50, o luro efetivo P (50) = 0, 0002(50)3 + 10(50) = 525, 00 euros
Para x = 51, o luro efetivo P (51) = 0, 0002(51)3 + 10(51) = 536, 53 euros
Logo, o luro adiional obtido pelo aumento do nvel de produo de 50 para 51 unidades
536, 53 525, 00 = 11, 53 euros.Note que o aumento efetivo do luro, 11, 53 euros, quando a produo aumenta de 50 para
51 unidades, pode ser aproximado pelo luro marginal de 11, 50 euros por unidade.
2.3.4 Teoremas da derivada da funo omposta e da funo inversa
Teorema 2.48. Se y = f(u) uma funo derivvel na varivel u, e u = g(x) uma funo
derivvel na varivel x, ento y = f [g(x)] uma funo derivvel na varivel x e tem-se
dy
dx=
dy
du dudx
(2.15)
ou equivalentemente
d
dx[f(u)] =
d
dx[f(g(x))] = f [g(x)] g(x) (2.16)
Exemplo 2.49. Derivada da funo omposta
Resoluo:
(a) Para a funo y = u3 om u = x2 + 1 temos
dy
dx= [3u2]u=x2+1 (x2 + 1) = 3(x2 + 1)2 (2x) = 6x(x2 + 1)2
(b)
y = f [g(x)] u = g(x) y = f(u)d
dx[f(g(x))]
y =1
x+ 1u = x+ 1 y =
1
u
[ 1u2
]u=x+1
1 = 1x+ 12
y =3x2 x+ 1 u = 3x2 x+ 1 y = u
[1
2u
]u=3x2x+1
(6x 1) =
=6x 1
23x2 x+ 1
50
-
Teorema 2.50. Seja f uma funo diferenivel om inversa f1. Ento f1 diferenivel emqualquer x para o qual f [f1(x)] 6= 0 e nesse aso
(f1)(x) =1
f [f1(x)], f [f1(x)] 6= 0 (2.17)
Exemplo 2.51. Derivada da funo inversa
Resoluo: Utilizando o (2.50) temos, para f(x) = 3x,
y = 3x x = log3 y f (x) =1
(f1)[f(x)]=
1
(f1)(y)=
11
yln 3=
= y ln 3 = 3x ln 3
Exemplo 2.52. Seja f(x) =1
4x3 + x 1
(a) Qual o valor de f1(x) quando x = 3?
(b) Qual o valor de (f1)(x) quando x = 3?
Resoluo:
(a) Como f injetiva existe f1, ento f(x) = 3 x = 2 f1(3) = 2.(b) Atendendo ao teorema (2.50) podemos esrever
(f1)(3) =1
f [f1(3)]=
1
f (2)=
134 22 + 1 =
1
4.
2.3.5 Reta tangente e reta normal
Como sabemos a equao da reta que passa pelo ponto de oordenadas (x0, y0) e tem delive m
y y0 = m(x x0) (2.18)
Vimos anteriormente que o delive da reta tangente ao gro de uma funo f no ponto de
oordenadas (x0, y0)
m = f (x0) (2.19)
51
-
Ento de (2.18) e (2.19) vem que a equao da reta tangente ao gro de f no ponto de
oordenadas (x0, y0)
y y0 = f (x0)(x x0) (2.20)
Dado que:
a reta normal ao gro de f no ponto de oordenadas (x0, y0) perpendiular reta tan-gente ao gro de f nesse ponto
retas perpendiulares tm delives inversos simtrios
vem que a equao da reta normal ao gro de f no ponto de oordenadas (x0, y0)
y y0 = 1f (x0)
(x x0) (2.21)
Exemplo 2.53. Determine a equao da reta tangente e da reta normal ao gro da funo
f(x) = ln(3x2 + 1) no ponto de abissa x = 1.
Resoluo:
(x0, y0) = (1, f(1)) = (1, ln 4)
f (x) =6x
3x2 + 1 f (1) = 6
4=
3
2
equao da reta tangente: y ln 4 = 32(x 1)
equao da reta normal: y ln 4 = 23(x 1)
2.3.6 Indeterminaes: Regra de Cauhy
Em sees anteriores estudmos limites omo
limx1
x2 1x 1 e limx+
x2 1x 1
e um proesso para alular esses limites. Vamos agora aprender um novo proesso analtio para
o lulo de limites.
52
-
Regra de Cauhy:
Seja ]a, b[ um intervalo que ontm c. Sejam f e g funes difereniveis em ]a, b[, exeto
possivelmente em c. Suponhamos que g(x) 6= 0, x ]a, b[, exeto possivelmente em c. Se olimite de
f(x)
g(x)quando x tende para c resulta na forma indeterminada 0
0ou
, ento:
limxc
f(x)
g(x)= lim
xcf (x)g(x)
(2.22)
desde que o limite da direita exista ou seja innito.
Observao 2.54. A Regra de Cauhy pode apliar-se suessivamente.
A forma indeterminada
pode apresentar-se de quatro formas:
++ ,
+ ,
+ e
Exemplo 2.55. Apliao da regra de Cauhy
Resoluo:
(a) limx+
ex
e2x + 1
= limx+
ex
2e2x= lim
x+1
2ex= 0
(b) limx
x2
ex
= limx
2x
ex
= limx
2
ex = 0
2.3.7 Apliaes da derivada
Extremos e a primeira derivada
Nesta seo vamos estudar os pontos em que uma funo passa de resente a deresente, ou
vie-versa. Podemos utilizar a derivada de primeira ordem de uma funo para determinar se a
funo resente ou deresente num intervalo.
Teorema 2.56. Seja f uma funo ontnua no intervalo [a, b] e diferenivel em ]a, b[.
1. f (x) > 0, x ]a, b[ f resente em ]a, b[2. f (x) < 0, x ]a, b[ f deresente em ]a, b[3. f (x) = 0, x ]a, b[ f onstante em ]a, b[
53
-
Nos pontos onde, uma funo passa de resente a deresente, ou vie-versa, a funo tem um
extremo relativo. Os extremos relativos de uma funo inluem os mnimos relativos e os mxi-
mos relativos da funo. Observando o gro que se apresenta abaixo podemos onstatar este
resultado, a funo tem dois extremos relativos - o ponto esquerda um mximo relativo e o
ponto direita um mnimo relativo. Estes pontos so pontos onde h alterao de monotonia
da funo.
x
y
mximo relativo
mnimo relativo
f. resente
f. deresente
f. resente
Se observarmos os gros seguintes podemos veriar que em ambos os asos temos um mximo
relativo. Esse mximo obtido em pontos onde f (x) = 0 ou f (x) no est denida - pontos
rtios.
x
y
mximo relativo
f (c) = 0
tangente horizontal
x
y mximo relativo
f (c) no denida
Teorema 2.57. Se f tem um mnimo relativo ou mximo relativo quando x = c, ento ou
f (c) = 0 ou f (c) no est denida.
Teorema 2.58.
Seja x = c um ponto rtio da funo f , ontnua no intervalo ]a, b[ que ontm c.
Se f diferenivel no intervalo ]a, b[, om a possvel exeo de x = c, ento:
1. f (x) muda de positivo para negativo em x = c, ento f tem um mximo relativo em (c, f(c)).
2. f (x) muda de negativo para positivo em x = c, ento f tem um mnimo relativo em (c, f(c)).
3. f (x) positivo em ambos os lados de x = c, ou negativo em ambos os lados de x = c, entof(c) no mximo relativo nem mnimo relativo, um ponto sela.
54
-
Desta forma, para sabermos quais os extremos relativos de uma funo basta testar os pontos
rtios da funo. Determinados estes, o resultado teorema (2.58) permite-nos identiar os
mximos e mnimos relativos e/ou pontos sela.
Exemplo 2.59. Determine, aso existam, os extremos da funo f(x) = 3x5 + 5x3
Resoluo: Para alularmos os extremos da funo, se existirem, omeamos por determinar
os pontos rtios:
f (x) = 15x4 + 15x2 = 15x2(1 x2) = 0 x = 0 x = 1 x = 1
Assim,
Valor de x 1 0 1 +f (x) 0 + 0 + 0 f(x) min pt mx
rel sela rel
Podemos onluir que:
x = 1 minimizante, x = 1 maximizante e x = 0 ponto sela f(1) = 2 mnimo relativo e f(1) = 2 mximo relativo
Conavidade e a segunda derivada
Analisando o gro de uma funo failmente onstatamos os intervalos onde a sua onavidade
voltada para ima ou para baixo. No entanto, se no estivermos a visualizar o gro da funo
para sabermos as onavidades dos gros temos de fazer um teste analtio. Aontee que
podemos utilizar a segunda derivada da funo para determinar esses intervalos, preisamente
omo utilizamos a primeira derivada da funo para determinar os intervalos onde a funo
resente e deresente.
Teorema 2.60. Seja f uma funo que admite segunda derivada num intervalo ]a, b[.
1. f (x) > 0, x ]a, b[ f tem onavidade voltada para ima em ]a, b[.2. f (x) < 0, x ]a, b[ f tem onavidade voltada para baixo em ]a, b[.
Para uma funo f ontnua, podemos alular os intervalos em que f tem onavidade voltada
para ima ou para baixo. (Para uma funo desontnua, os intervalos de teste devem ser formados
utilizando-se os pontos de desontinuidade juntamente om os pontos em que f (x) zero ou no denida).
55
-
Exemplo 2.61. Estude o sentido da onavidade do gro da funo f(x) = 3x5 + 5x3
Resoluo: Para estudarmos o sentido da onavidade da funo omeamos por determinar os
pontos onde a segunda derivada se anula:
f (x) = 0 30x(1 x2) + 15x2(2x) = 0 60x3 + 30x = 0
30x(2x2 + 1) = 0 x = 0 x = 2
2 x =
2
2
Assim,
Valor de x 2
20
2
2+
f (x) + 0 0 + 0 f(x)
pt
pt
pt
inf inf inf
Logo, podemos armar que a funo tem:
onavidade voltada para baixo no intervalo]22, 0[]
22,+
[
onavidade voltada para ima no intervalo],
22
[]0,
22
[
Uma forma dos eonomistas avaliarem a reao dos onsumidores a variaes no preo dum
produto atravs da elastiidade do preo da proura. Por exemplo, a queda no preo dos
legumes pode resultar numa maior proura pelo produto, razo pela qual se designa por proura
elstia. Pelo ontrrio, o leite um produto relativamente imune a variaes de preo e a proura
para este tipo de produto designa-se por proura inelstia. Formalmente temos:
Denio 2.62. Se p = f(x) uma funo diferenivel, ento a elastiidade de preo da proura
dada por
=pxdpdx
.
Para um dado preo, a proura :
elstia se || > 1 e a diminuio perentual da proura maior que o orrespondenteaumento perentual do preo.
inelstia se || < 1 e a diminuio perentual da proura menor que o orrespondenteaumento perentual do preo.
tem elastiidade unitria se | = 1| e a diminuio perentual da proura igual que o
orrespondente aumento perentual do preo.
56
-
A taxa de variao da reeita R em relao ao preo p est relaionada om a elastiidade da
seguinte forma:
elstia signia que dRdp
< 0. Logo, se o preo aumenta, a reeita diminui e, se o preo
diminui, a reeita aumenta.
inelstia signia que dRdp
> 0. Logo, se o preo aumenta, a reeita aumenta e, se o preo
diminui, a reeita diminui.
elastiidade unitria signia que dRdp
= 0. Logo, um aumento ou uma diminuio no preo
no altera a reeita. A reeita optimizada nesse ponto.
Exemplo 2.63. A funo de proura para um produto tem omo modelo
p =450 x, 0 x 450.
(a) Determine os intervalos onde a proura inelstia, elstia ou tem elastiidade unitria.
(b) Com base no resultado da alnea anterior, desreva o omportamento da funo reeita.
Resoluo:
(a) Ora,
|| = 1pxdpdx
= 1
450xx
12450x
= 12(450 x)x
= 1 900 2x = x x = 300Assim, a proura
elstia para x ]0, 300[ inelstia para x ]300, 450[ tem elastiidade unitria quando x = 300
(b) Em funo dos resultados da alnea anterior, podemos onluir que a funo reeita res-
ente no intervalo ]0, 300[, deresente no intervalo ]300, 450[, e tem um mximo quando
x = 300.
57
-
2.4 Exerios de apliao
2.4.1 Limites de funes
1. Nas alneas seguintes, omplete a tabela e faa uma previso do limite, se ele existir.
(a)
f(x) =2 x x2x 1 limx1 f(x) =?
x f(x)
0,9
0,99
0,999
1 ?
1,001
1,01
1,1
(b)
f(x) =
4 x2, x 2
x2 + 2x, x > 2limx2
f(x) =?
x f(x)
-2,1
-2,01
-2,001
-2 ?
-1,999
-1,99
2. A gura seguinte representa o gro da funo f
2
222
y
x
f
Calule, aso existam, os seguintes limites:
(a) limx
f(x) (b) limx1
f(x) () limx0
f(x) (d) limx1
f(x) (e) limx+
f(x)
58
-
3. Atravs do gro de y = f(x) alule, para o valor de c indiado, se possvel, os seguintes
limites:
i. limxc
f(x) ii. limxc+
f(x) iii. limxc
f(x) iv. f(c)
4
8
12
48121620
y
x
(a) c = 10
f
2
24
2 42
y
x
(b) c = 2
f
2
24
22468
y
x
() c = 4f
2
22 4
y
x
(d) c = 2
f
4. Utilizando tnias apropriadas, alule, se existirem, os seguintes limites:
(a) limx1
x2 1x+ 1
(b) limx4
3x+ 4 () lim
x2x 2
x2 4x+ 4(d) lim
x+
(1
x+ 1+ ex
2
)(e) lim
x0|x|x
(f) limx1
(1
x 1 + ln x)
(g) limx0
x+ 1 1
x(h) lim
h02(x+ h) 2x
h(i) lim
x+x3 + x2 + 1
x2 1(j) lim
xex
ln |x| (k) limxex
4 1x
(l) limxe
ln x
x
(m) limx4
10
x 2(x+ 8) (n) limx22 xx2 4 (o) limx2
e4 lnx ln(e16)x 2
(p) limx4
x+ 5 3x 4 (q) limx+
x3 x+ 3x6 + 2x
(r) limx5+
2
(x 5)2
(s) limx2+
(x2 2x+ 3 23 ) (t) limx+
3x3 + x2
(u) limx
3x3 + x2
(v) limx0
13+x
13
x(x) lim
x21
x+ 2(z) lim
x+x2 5x+ 4x2 2x 8
(aa) limx1+
x1 x2 (ab) limx9
x 9x 3 (a) limx+
(x2 + x
x2 + 1
)
59
-
5. Utilizando os limites notveis, alule, se existirem, os seguintes limites:
(a) limx+
2x ln
(1 +
1
x
)(b) lim
x+ex
ln x() lim
x0+x ln x
(d) limx0
x2
ex+2 e2 (e) limx0ln(x+ 1)
2x(f) lim
h0ln(h+ 2) ln 2
h
(g) limx0
e3x 1x
(h) limx0+
x2e1x
(i) limx3
x2 5x+ 6ln(x 2)
(j) limx0
ex 1ln(x+ 1)
(k) limx0
2x 1x
(l) limx0
log2(x+ 1)
x
(m) limx0
ex+3 e3x
(n) limx+
(2x+ 1)(e1/x 1) (o) limx+
ex + x2
x+ 1
(p) limx
1
x ex (q) limx5ln(x+ 6)
x+ 5(r) lim
x0e2x 1
ln(3x+ 1)
6. Utilizando tnias apropriadas, alule, se existir:
(a) limx2
f(x); f(x) =
x3 4x 3 , x 2
3 x2x
, x > 2
(b) limx1
f(x); f(x) =
x+ 8, x 1
3 + ln xx 1 , x < 1
7. Considere a funo f denida por f(s) =
s2 1 se s > 13 se s = 11
sse s < 1
. Calule, aso existam, os
seguintes limites:
(a) lims1
f(s) (b) lims0
f(s) () lims
f(s) (d) lims+
f(s)
s 18. Determine o valor de k tal que lim
x0ln(x+ k) = 0.
9. Seja f(x)=
ln(3 x) 1, x < 2
ex2, x 2
(a) Verique se limx2+
f(x) = limx2
f(x)
(b) Determine limx+
x
f(x)
() Fazendo g(x) = f(x+ 2), x < 2, determine limx0
g(x)
x
60
-
10. O ndie de poluio num dia de Vero de uma grande idade , das 8h00 (a que orresponde
t = 0) s 20h00, dado pela expresso I(t) = 2t2 + 31t+ 20, onde t dado em horas.(a) Qual o ndie de poluio s 12h00?
(b) A que horas que o ndie 134?
() Os espeialistas aonselham a populao da idade a no sair de asa sempre que este
ndie superior ou igual a 125. Em que perodo do dia a populao deve manter-se
em asa?
(d) Determine limt12
I(t) e interprete o resultado.
11. Suponha que o usto C para obter gua que ontenha p % de impurezas dado por
C(p) =120 000
p 1 200.
(a) Determine limp100
C(p), se existir. Interprete este resultado.
(b) Determine limp0+
C(p), se existir.
() A pureza total possvel? Explique.
12. Suponha que o usto C para remover p % da poluio das hamins duma fbria industrial
dado por
C(p) =730 000
100 p 7 300.
(a) Determine limp80
C(p).
(b) Determine limp100
C(p), se existir.
() possvel remover 100% da poluio? Explique.
2.4.2 Continuidade de funes
1. Estude a ontinuidade, em x = 0 da funo f(x) =
ex + 1
ln(x+ 1)se x > 0
1 se x = 0e3x 1
xse x < 0
2. Determine o domnio de ontinuidade das seguintes funes:
(a) f(x) =x2 16x 4 (b) g(x) =
{x2 + 1 se x < 0
x 1 se x 0
() h(x) =|4 x|x 4 (d) i(x) =
2x ln
(x
x 1)
se x < 0 x > 2x2 + 2 se 0 x 2
61
-
3. Determine k de modo que a funo f(x) =
x+ 2 se x 0ekx 1
3xse x > 0
, seja ontnua em R.
4. Mostre que a funo f(x) =
e2x se x 01
1 + kxse x > 0
, k R+ ontnua em R.
5. Considere a funo f(x) =
x2 1x+ 1
se x 1e
2x+1 e se x > 1
.
(a) Averigue a ontinuidade de f no ponto de abissa x = 1.
(b) Resolva a equao f(x) = ln(ee
2(x1)) e, x > 1.
6. Seja f(x) =
ln(x 1) se x 2x2 2xx 3 se x < 2
(a) Estude a ontinuidade de f em x = 2.
(b) Seja g(x) = f(x) para x 2i. Esreva a funo g omo omposio de funes.
ii. Caraterize g1, indiando o ontradomnio.
2.4.3 Assmptotas
1. Considere a funo denida por f(x) =4x
|x 2|(a) Esreva a expresso analtia de f sem utilizar o smbolo de mdulo
(b) Determine as assmptotas do gro de f
2. Considere a funo f(x) =
ln
(x 22x+ 1
), x > 2
e2x 2ex + 1, x 2
(a) Determine, aso existam, as assmptotas do gro de f
(b) Determine os zeros de f, x 2() Resolva a equao f(x) < 0, x > 2
62
-
3. De uma funo g de domnio R+, sabe-se que a bissetriz dos quadrantes mpares uma
assmptota do seu gro. Seja h a funo de domnio R+, denida por h(x) =g(x)
x2.
Demonstre que o eixo dos XX uma assmptota do gro de h.
4. De uma funo f de domnio R+, sabe-se que limx+
2f(x)
x= 1 e lim
x+2f(x) x = 3.
Determine, aso exista, a equao da assmptota oblqua direita do gro de f .
5. De uma erta funo f , de domnio R, sabe-se que f ontnua e que a reta de equao
y = x assmptota esquerda e direita do gro de f . Mostre que o gro da funo g,
denida em R, por g(x) = xf(x), no tem qualquer assmptota.
6. Considere as funes f e g ujos gros esto representados na gura seguinte
x
y
f
g
(a) Indique justiando onvenientemente, qual das seguintes equaes impossvel:
f(x) + g(x) = 0 f(x) g(x) = 0 f(x) g(x) = 1 f(x)g(x)
= 1
(b) Mostre que para x > 0, existe uma assmptota ao gro h(x) =1
g(x)
7. As assmptotas do gro da funo f , representada na gura seguinte, so as retas de
equaes y = x+ 1 e x = 0.
x
y
f
Sejam g e h as funes tais que g(x) = f(x) e h(x) = f(x+ 2).
(a) Determine limx
g(x)
x.
(b) Determine os nmeros reais a e b tais que limx+
[h(x) ax b] = 0.
63
-
8. Considere a funo f ujo gro est representado na gura seguinte.
2
4
21 2 3 4123
y
x
f
(a) Mostre que para x R0 , f(x) = (x+ 1)2 + 1.
(b) Calule limx+
f(x)
x.
Sugesto: Note que y = x assmptota no vertial do gro de f .
() Seja g(x) =
{f(x) se x < 0
ex + b se x 0i. Determine o valor de b de modo que g seja ontnua em x = 0.
ii. Faa b = 1 e onsidere g(x), x 0.A. Resolva a seguinte equao: g(5x+ 1) g(2x+ 3) = 0.B. Caraterize a funo inversa de g indiando o ontradomnio.
2.4.4 Teoremas de funes ontnuas
1. Considere a funo f ontnua no intervalo [1, 3] e tal que f(1) = 7 e f(3) = 4.
Qual das seguintes armaes neessariamente verdadeira?
I. A funo f tem pelo menos um zero no intervalo [1, 3].
II. A funo f no tem zeros no intervalo [1, 3].
III. A equao f(x) = 5 tem pelo menos uma soluo no intervalo [1, 3].
IV. A equao f(x) = 5 no tem soluo no intervalo [1, 3].
2. Sendo f(x) =x2 1x+ 1
indique, justiando onvenientemente, o valor lgio da seguinte
armao:
O teorema de Bolzano permite-nos armar que c ] 2,12[: f(c) = 2.
64
-
3. Considere f1 e f2 funes ontnuas em [a, b] tais que f1(a) < f2(a) e f1(b) > f2(b).
Demonstre que c ]a, b[: f1(c) = f2(c).Sugesto: Considere h(x) = f1(x) f2(x).
4. Considere as funes f(x) = x2 + x 1 e g(x) =x (x 2).(a) Mostre que a equao f(x) = g(x) tem soluo em ] 3, 0[.(b) Calule lim
x+f(x)
[g(x)]2.
5. Considere a funo f denida por:
f(x) =
x+ ex, x < 0
1 + ln(x+ 1), x 0(a) Verique que f ontnua no ponto x = 0.
(b) Justique, usando o teorema de Bolzano, que f admite um zero no intervalo ] 2, 0[.() Estude f quanto existnia de assmptotas do seu gro.
6. Use o teorema de Bolzano para demonstrar que a funo f(x) = x26x+7, tem pelo menosuma raiz maior do que 1 e menor do que 3.
2.4.5 Derivadas de funes
1. Considere a funo denida por f(x) =x.
(a) Mostre que limh0
f(x+ h) f(x)h
=1
2f(x).
(b) Interprete o signiado matemtio do limite alulado na alnea anterior.
2. De uma funo f sabe-se que f (2) = 5.
(a) Qual o signiado geomtrio do valor 5, indiado omo derivada da funo no ponto
de abissa x = 2.
(b) Determine o valor de limx2
f(x) f(2)x2 4
3. Considere a funo denida por f(x) =
x+ 1 se x > 0
x2 + 1 se x 0Calule f (0+), f (0) e diga se existe f (0).
65
-
4. Calule, aso exista, reorrendo denio de derivada de uma funo, a derivada de f nos
pontos indiados
(a) f(x) = |x2 1|, no ponto x = 1 (b) f(t) =
1
tse t 6= 0
1 se t = 0
, no ponto t = 0
5. Seja g(x) =
ax+ 3b se x 2
x+ 4 se x > 2
, a, b R uma funo de domnio R.
(a) Determine os valores de a e b de modo que a funo g seja ontnua em R.
(b) Comente a seguinte armao : Existem valores a e b diferentes dos obtidos na alnea
anterior onde a funo g diferenivel em x = 2.
6. Determine as derivadas das seguintes funes, simpliando o resultado:
(a) f(x) = 3x2 (b) f(x) = (3x)2
() f(t) = t7 + 8t4 t2+ 1 (d) f(x) = (x2 1)x+ 2 + 1
5x2
(e) f(x) = ln
(1 + ex
1 ex)
(f) f(s) = (2s2 3s+ 1)(9s 1)4
(g) f(x) = ln(x2 + 2x) + e2+x
(h) f(y) =y2 1y + 3
(i) f(x) = 23x2+ x ln(x) (j) f(x) = log3(x+ ex) + xe
(k) f(u) = ln
(eu
u
)(l) f(x) = 3
4 xln(x2)
ex1+ln(lnx)
(m) f(u) = 3
(2x 3)2 (n) f(x) =x
x+ 1
(o) f(x) =
(6 5xx2 1
)2(p) f(x) =
x 1 +x+ 1
(q) f(x) = log10(x2 + 6x) (r) f(x) = ex ln x+
1
(5x)2
(s) f(x) = ln
(3
x 1x+ 1
)(t) f(x) = ln(x+
x2 + 1)
(u) f(x) = 2x ln 3 (v) f(x) = ex ln2 x
66
-
7. Na gura esto representadas trs funes, f , f e f .
x
y
Faa orresponder a ada uma das funes o respetivo gro.
8. Determine as derivadas indiadas e simplique o resultado:
(a) Dada f(x) = 3x2 + 7x+ 1, determine f (x))
(b) Dada f (x) = 5x4 6x2 + 2x, determine f (x)() Dada f(x) =
x, determine f (4)(x)
(d) Dada f (x) = 6x4
, determine f (5)(x)
2.4.6 Teoremas da derivada da funo omposta e da funo inversa
1. Se h(x) = f [g(x)] om f(2) = 4, g(2) = 2, f (2) = 3 e g(2) = 5, alule h(2).
2. Sejam f e g funes tais que f (x) = 3x, x R e g(x) = log2(1
x
). Calule (f g)(x).
3. Seja f uma funo tal que a equao da reta tangente ao gro de f no ponto de abissa
1 y = 2x. Sabendo que g(x) = f(ex
2+2x), alule g(0).
4. Sendo g(x) = ex, alule g(x2 5), utilizando o teorema da derivada da funo omposta.
5. Se s = 3r2 2r + 1 e r = t3 + 1, utilize a regra da adeia para determinar o valor de dsdt.
6. Determine por dois proessos diferentes h(x) onsiderando as funes
f(x) = log3(x), g(x) = x+ exe h(x) = f [g(x)]
7. Mostre que
d
dx[ln(1 + ex)] =
ex
1 + ex, utilizando:
(a) O teorema da derivada da funo omposta.
(b) O teorema da derivada da funo inversa.
67
-
8. Utilizando o teorema da derivada da funo inversa, alule:
(a) [f1](2) para f(x) = x+x.
(b) A derivada da inversa da funo
x2 + 9.
()
dx
dysendo y = 3 2 ln(x 4).
9. Seja f(x) =
x ln x se x > 0
e3x1 se x 0
(a) Determine, usando a teorema da derivada da funo omposta, f (ex), x > 0.
(b) Determine, usando a teorema da derivada da funo inversa, (f1), x 0.
() Resolva a inequao
e + f(x)x e+ 1, x > 0.
(d) Determine a equao da reta tangente ao gro de f no ponto de abissa x = e.
2.4.7 Reta tangente e reta normal
1. Determine, aso existam, os pontos nos quais o gro das funes seguintes tem reta tan-
gente horizontal:
(a) f(x) = x4 3x2 + 3 (b) f(x) = x3 + 3x2 45x+ 4 () f(t) = 3 + ln(4 t2)
2. Determine o oeiente angular da tangente ao gro da funo f(x) =1
2x2+5x, em x = 2
e x = 5.
3. Para as seguintes funes, esreva a equao da reta tangente e da reta normal ao gro de
f nos pontos indiados.
(a) h(x) =x2 2xx 3 no ponto x = 1.
(b) f(x) =1
1 + x2no ponto x = 0
68
-
2.4.8 Indeterminaes: Regra de Cauhy
1. Calule, aso exista, ada um dos seguintes limites:
(a) limx0
4x 3xx
(b) limx+
ex
x2() lim
x1ex1 x(x 1)2
(d) limx0
(2x+ 2 2exxex x
)(e) lim
x0+x ln x (f) lim
x
(4x+ 4 x2x3 + x
)
(g) limx0
ex exln(1 + x)
(h) limx1+
[ln x ln(x 1)] (i) limx1
(5
x5 1 7
x7 1)
2. Nas alneas seguintes, determine se a armao verdadeira ou falsa. Corrija as armaes
falsas.
(a) limx0
e3x 1ex
= limx0
3e3x
ex= lim
x03e2x = 3
(b) limx2
ln(x 1)x 2 = limx2
(x 1)1x 2 = limx2
x 2x 1 =
0
1= 0
() limx+
ex
1 ex = limx+exex
= limx+
1 = 1
3. Considere a funo f(x) =
x2 1x+ 1
se x 1
e2
x+1 e se x > 1. Indique, justiando onvenientemente,
o valor lgio das seguintes armaes:
(a) A derivada de f(x) no ponto de abissa x = 1 1
(b) A equao da reta tangente ao gro de f em x = 1 y = x 1
2.4.9 Apliaes da derivada
1. Considere a funo f denida por f(x) =3x
2+ 1 ex2
(a) Estude os intervalos de monotonia e existnia de extremos para a funo f .
(b) Estude a onavidade e a existnia de pontos de inexo para a funo f .
() Mostre que a reta tangente ao gro de f na origem perpendiular bissetriz dos
quadrantes pares e oinide om a bissetriz dos quadrantes mpares.
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2. Considere a funo g denida por g(x) =
ln(x+ 1) se x > 0x2 + 2x
2se x 0
(a) Determine aso exista g(0).
(b) Comente a seguinte armao: A funo g tem onavi