matemática secundário - ciclo formativo porto editora

7/24/2019 Matemtica Secundrio - Ciclo Formativo Porto Editora

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OoR Juntos,abrimos horizontes.

CICLOFORMATIVO

ETAPA FORMATIVA I

Matemtica A

Ensino Secundrio


2/24O

Matemtica A, Ensino Secundrio .pgina 2

Ciclo Formativo Porto Editora


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TEMA:CONVEXIDADE,TRIGONOMETRIA

E A NOO DE LIMITENO PROGRAMA DE

MATEMTICA A


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CICLOFORMATIVO

Matemtica A:Ensino Secundrio

Filipe Oliveira

FunesConvexidade

Filipe Oliveira

Funes de varivel realConvexidade

O

Funo cncava

Ideia intuitiva Um berlinde colocado inicialmente num qualquer ponto do

grfico ser submetido a uma acelerao tangencial cada vez mais elevada.


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Tema: Convexidade, Trigonometria e a Noo de Limite no Programa de Matemtica A



O

Funo convexa(O grfico tem a concavidade

voltada para cima. So as funes

simtricas das funes cncavas)

O

Funo cncava(O grfico tem a concavidade

voltada para baixo)

Precisamos agora de dar uma definio de funo convexa e de funo cncava.

Uma funo duas vezes diferencivel num dado intervalo tem a concavidade

voltadapara baixo/para cimase 0/ 0 nesse mesmo intervalo.

A nica definio que figura no Programa atualmente em vigor a seguinte:

Este poder ser um bom critrio para o caso de funes duas vezes diferenciveis.

Contudo, enquanto definio, muito insuficiente.

A derivadasegunda nopermitediscriminarentreestasduas situaes todistintas.

Na presente situao, nem sempre existe. E, nos pontos em que existe, nulaem ambos os exemplos


Uma analogia: funes montonas

Definio Uma funo definida num intervalo diz-se crescente nesse

intervalo (no sentido lato) se:

, , <

Propriedade (critrio para funes diferenciveis)

Seja uma funo diferencivel num intervalo . Ento: 0 em crescente em

Recorrendo definio, pode afirmar-se que

esta funo crescente.

Nesta situao, o critrio acima totalmente

inaplicvelpara se concluirquanto monotonia.


Propriedade de Def ini o C ri trio s uf ic iente

Crescente < () () 0 (seexistir)

Concavidade voltada para cima Em falta! 0 (seexistir)

Como esto viradas as concavidades das seguintes funes?

necessrio dar uma definio


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DefinioDiz-se que o grfico de tem

a concavidade voltada para cima se,

para todos < 1 =0 se =12se >1


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Ligao diferenciabilidade

Se diferencivel:

<

Pode-se provar que se trata de

facto de uma equivalncia:

crescente o grfico de tema concavidade

voltada para cima

Se for duas vezes diferencivel: 0 o grfico de tema concavidade voltada

para cima


Uma ltima nota sobre a equivalncia , 0 crescente em . bastante simples, basta observar o sinal das taxas de variao + ()e passar ao limite 0. bem menos trivial!Existem funes tais que, num dado ponto , > 0, sem que seja crescenteem nenhum intervalo que contenha

!

=+ 2sin 1 se 00 se = 0 0 = l im0

+ 2sin 1 0 = 1 > 0Mas,em qualquer intervaloda forma, ,2sin1 tomauma infinidade de vezesvalorespositivos e valores negativos: o grfico deatravessa a bissetriz dos quadrantes mparesuma infinidade de vezes: no crescente.


Uma ltima nota sobre a equivalncia

, 0 crescente em .

Teorema de Lagrange Seja diferencivel num intervalo . Ento,

para todos , , < , existe ], [, = ()

.

Assim, se 0, obtm-se ()

0, ou seja, :

crescente.


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TrigonometriaResoluo de tringulos

Filipe Oliveira


Resolver um tringulo significa:

- determinar a medida de amplitude dos trs ngulos;

- determinar a medida de comprimento dos trs lados.

Trata-se, historicamente, do primeiro propsito da Trigonometria.

(Trigonometria = + = medir tringulos)

Primeiras tabelas trigonomtricas

Hiparco (190 a. C.-120 a. C.)


Grande aplicabilidade da Trigonometria aomundo real ideia-chave:

2.A Trigonometria converte(informao sobre) ngulos em

1. mais fcil, na prtica, medir ngulos do que distncias.

Assentes nestes dois princpios, os Antigos conseguiram

obter resultados muito impressionantes para a pouca

tecnologia de que dispunham, e.g.

Medida do raio da Terra, Eratstenes, sculo III a. C.

Distncia da Terra Lua, Hiparco, sculo II a. C.

(informao sobre) distncias.


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No Programa do 11. ano, pretende-se sistematizara resoluo de tringulos, o quepermite recentrar a introduo da Trigonometria naquilo que a sua gnese e,

simultaneamente, fornecer instrumentos que permitam abordar problemas mais

complexos e interessantes.

Dado um tringulo, determinado por um dos casos de igualdade, pretende-se obter

rapidamente as medidas dos lados e ngulos desconhecidos:

Caso ALA

Caso LAL

Caso LLL

= ? , = ? , = ? = ? , = ? , = ? = ? , = ? , = ?


Existem trs ferramentas fundamentais para a resoluo de tringulos:

1. A soma dos ngulos de um tringulo um ngulo raso.

2. A analogia dos senos.

3. O Teorema de Carnot.


Analogia dos Senos

Se e forem ngulos agudos,

sin =

= sin

sin =

= sin

De onde se conclui que sin = sin :

sin

=

sin

Em particular, num tringulo acutngulo,

sin

=

sin

=

sin


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Resoluo de um tringulo conhecidos um lado e os dois ngulos adjacentes (ALA)

sin

=

sin

=

sin

= sin

sin =

sin

sin

=


Teorema de Carnot

Se e forem ngulos agudos:

= +

De onde se conclui que = :

= + 2 cos

HB

C

A = +

cos = cos

cos = cos + 2 cos


Resoluo de um tringulo conhecidos os trs lados (LLL)

e podem agora ser determinados por nova aplicao do Teorema de Carnot, ou,

alternativamente, aplicando a analogia dos senos:

sin = sin

sin =

sin

2 =2 +2 2 cos

cos =2 + 2 2

2


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Resoluo de um tringulo conhecidos dois lados e o ngulo por eles formado (LAL)

sin = sin

sin =

sin

Pela analogia dos senos:

Facilmente se reduz ao caso anterior, utilizando o

Teorema de Carnot para calcular :

2 =2 +2 2 cos

TrigonometriaExtenso das razes trigonomtricas a ngulos retos e obtusos

No Ensino Bsico, apenas se definiram as razes trigonomtricas de ngulos agudos.

Pretende-se agora disponibilizar definies para o seno e o cosseno de ngulos retos e

obtusos.

Vamos escolher essas definies de forma que se mantenham vlidos o Teorema deCarnot e a analogia dos senos em qualquer tringulo.


Que definio dar de sin ?

Pretende-se quesin

=

sin

Ou seja, quesin = sin

.

Ora, sin

=

=

= sin( ) .

A definio que se impe , pois, a seguinte:

Definio

Dado um ngulo obtuso , define-se sin como o seno do suplementar

de (que agudo): sin = sin( ).


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Que definio dar de cos ?

Pretende-se que: = + 2 cos

Pelo Teorema de Pitgoras:

= +cos e = + (+cos )

Assim, = cos = 2cos cos,

de onde resulta que = + +2 cos .

Definio

Dado um ngulo obtuso , define-se cos como o simtrico do cosseno dosuplementar de (que agudo): cos = cos( ).


- a analogia dos senossin

=

sin

se mantm vlida se e s se sin

2= 1

No caso do ngulo reto, imediato constatar que:

- o Teorema de Carnot = + 2 cos

se mantm vlido se e s se cos

2= 0

Que definio dar de sin

e de cos

?

SucessesNoo de limite

Filipe Oliveira


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SucessesNoo de limite de uma sucesso

A introduo da noo de limite marca o incio da Anlise Matemtica

propriamente dita.

Esta noo pode ser vislumbrada logo a partir da

Antiguidade, na forma de um conceito mal definido

e intuitivamente muito mal compreendido.

(cf. Paradoxos de Zeno, sc. V a. C.)


Aproximao de pelo mtodo de exausto (Arquimedes, sc. III a. C.)

4 2,828 427 4

5 3,061 467 3,313 708 49

6 3,121 445 15 3,182 597 87

7 3,136 548 42 3,151 724 90

8 3,140 331 15 3,144 118 32

9 3,141 277 25 3,142 223 62

10 3,141 513 80 3,141 750 36

1 1 3, 14 1 5 72 9 4 3 ,1 41 63 2 0 8

< <

enquadrado de forma iterativamente mais precisa, sem no entanto se considerar

o limite das sucesses e .


Uma definio satisfatria da noo de limite, que

esclarea o conceito e simultaneamente permita

utiliz-lo de forma segura e clara, aparece muito

tardiamente.

Estes dois mil anos que a Humanidade demorou a afinar este conceito, at o

conseguir formular de forma adequada e operacional, deixam importantes avisos:

1. Trata-se de um conceito fugidio, em torno do qual muito fcil formar falsas

ideias e intuies.2. Deve ser ensinado de forma cuidada e criteriosa, devendo evitar-se, em

particular, o recurso a intuies erradas, que so muito difceis de corrigir

posteriormente.

Bernhard Bolzano, 1816, O Teorema do Binmio.


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Algumas ideias falsas muito comuns entre alunos do 1. ano universitrio:

Dada uma sucesso e um real , o que significa dizer que lim = ?

Significa que os termos esto cada vez mais prximos de ou

Significa que os termos se aproximam cada vez mais de ,

entre outras variantes.

Esta ideia duplamente errada:

Por um lado, os termos da sucesso de termo geral =1

esto

cada vez mais prximos, por exemplo, de 1, mas lim1

1.

1

1 2 3 45



Dada uma sucesso e um real , o que significa dizer que lim= ?

Significa que os termos esto cada vez mais prximos de

ou

Significa que os termos se aproximam cada vez mais de ,

entre outras variantes.

Esta ideia duplamente errada:

Por outro lado, a sucesso de termo geral = 1+ 1

tem por

limite 0 e os termos da sucesso aproximam-se e afastam-se

constantemente desse valor.

0

1 23

46

5



Dada uma sucesso e um real , o que significa dizer que lim = ?

Significa que os termos se aproximam cada vez mais de

sem nunca atingir esse valor

Uma variante:

=1

tende para = 0 e, de facto, os termos desta sucesso

aproximam-se cada vez mais deste valor sem nunca o atingir.

Mas,

A sucesso constante = 1 atinge o seu limite logo a partir do

primeiro termo.

A sucesso =sin

2

atinge o seu limite em todos os termos de

ordem par


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Estes erros propagam-se a outros contedos mais complexos, construdos a

partir da noo de limite:

O grfico de uma dada funo no interseta uma sua assntota.

Se uma funo positiva tem por limite 0 em +, ento

decrescente.

Etc.


O Programa em vigor muito vago relativamente ao que os alunos devemadquirir relativamente ao conceito de limite (e a muitos outros assuntos),referindo apenas oestudointuitivo da noo de limite.

imagem de muitos outros programas, o novo Programa mais conciso,apontando para o ensino da definio correta de limite.

Programa francs em vigor

Programme de lenseignement spcifique et de spcialit de mathmatiques, B.O. 2011


Descritor SUC11-6.1

Diz-se que lim = se, para todo o > 0, existir uma ordem a partir da qual

] , + [

Isto , existe uma ordem tal que | | < .

+

No se trata de uma ideia difcil e intil protel-la

lim =


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As Metas Curriculares preveem um certo nmero de demonstraes

extremamente simples que permitem, em particular, adquirir de forma mais

segura a noo de limite:

SUC11-6.2: Provar que o limite de uma sucesso, se existir, nico.

Os termos da sucesso no podem pertencer, a partir de uma ordem1, a um

dos intervalos e a partir de uma ordem 2ao outro.

Sejam dois intervalos centrados respetivamente em e que no se

intersetam. Por exemplo, =] , + [e =] , + [,

onde =1

4 um quarto da distncia de a .

Qualquer termo de ordem simultaneamente superior a 1 e a 2 teria de

pertencer a ambos os intervalos, o que impossvel


SUC11-6.9:

Estabelecer,utilizando a definio, o limite de sucesses da forma= +

+.

Exemplo:Mostre que a sucesso de termo geral =+1

+3tende para = 2.

a. Determine uma ordem a partir da qual ]1,99; 2,01[.

2


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SUC11-6.9:

Estabelecer,utilizando a definio, o limite de sucesses da forma = +

+.

Exemplo: = 2+ 3

a. Determine uma ordem a partir da qual > 2000.

> 2000

7

( 2)22 > 2000 2 2 > 2002 > 2002 + 2 46,7

b. Mostre que lim = + .

Seja > 0.

= 2

4+ 2Um exemplo um pouco mais complexo:

2000

> ( 2)2

2 > 2 2 > + 2 > + 2 + 2

FunesLimites

Filipe Oliveira

Funes de varivel realLimite segundo Heine

Definio Diz-se que o limite de quando tende para se para toda a sucesso

com valores no domnio de tal que:

lim =

lim() =

Seja uma funo real de varivel real e .

Consideramos ainda um nmero real pertencente a conjunto que explicitaremos mais tarde.

2. Qualquer umadelas consensualmenteaceite como adequada introduoda noo de

limitea nvel elementar, havendo preferncia poruma ou poroutra consoanteos autores.

1. Ambas asversesso casosparticularesde umanoomaisgeralde limite,

o limite segundoumabase defiltro.

Iremos listar algumas das vantagens da utilizaoda primeira definio de limite no intuito

deesclarecer a razo dessaescolha no contextode umProgramado 11. ano.

Definio bis Diz-se que o limite de quando tende para se para toda a

sucesso com valores no domnio de tal que:

lim = para todo o ,

lim() =

Uma primeira observao: A primeira definio mais simples de formular!


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Fixemos algum vocabulrio e algumas notaes.

Nesta situao, diremos que o limite de em . Notao = lim

().

Nesta situao, diremos que o limite de em por valores diferentes.

Notao = lim

().

Definio Diz-se que o limite de quando tende para se para toda a

sucesso de valores no domnio de tal que:

lim = lim() =

Definio bis Diz-se que o limite de quando tende para se para toda a

sucesso de valores no domnio de tal que:

lim =

para todo o ,

lim() =

Outras notaes usuais para este limite: lim

(), lim

()

Funes de varivel realLimites

Em que pontos lcito, partida, considerar o limite de uma dada funo ?

Para calcular este limite, necessrio que exista pelo menos uma sucesso de

elementos de de limite . (Caso contrrio perde-se a unicidade do limite!)

Ao conjunto de pontos nessas condies usual chamar-se aderncia de e aos respetivos elementos pontos aderentes a .

lim

()

= > 0, , +

Note-se que em particular .

So os pontos tais que qualquer vizinhana de interseta .


Em que pontos lcito, partida, considerar o limite de uma dada funo ?

Para calcular este limite, necessrio que exista pelo menos uma sucesso de

elementos de , todos distintosde e de limite .

Ao conjunto de pontos nessas condies usual chamar-se derivado de e

aos respetivos elementos pontos de acumulao de .

lim

()

= > 0, , + \

So os pontos tais que qualquer vizinhana de interseta \ .


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fcil justificar que .

A definio de ponto de acumulao mais complexa do que a de ponto aderente e aexperincia letiva mostra que se trata de um conceito menos acessvel aos alunos.

Este facto introduz uma complexidade suplementar no ensino destes contedos semque da advenha qualquer proveito.


DefinioDado , diz-se que o limite de quando tende para se

para toda a sucesso com valores no domnio de tal que:

lim =

lim() =

Estamos agora em condies de indicar as duas definies

alternativas, de forma completa:

Seja uma funo real de varivel real e .

DefinioDado , diz-se que o limite de quando tende para por

valores diferentes se para toda a sucesso com valores no domnio de tal

que:

lim =

para todo o ,

lim() =


ExerccioExplicite o derivado e a aderncia dos seguintes conjuntos:

1. =] 3,7] 10

2. = 1,2,4

3. = =1

4. = 0 =1

5. =


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Um pouco por todo o mundo, muito usual, no Ensino Bsico e Secundrio,

definir-se uma funo a partir de uma expresso que a defina, sendo o

respetivo domnio o conjunto dos nmeros para os quais a expresso faz

sentido.

Pequeno apontamento relativo ao domnio de funes


Sebastio e Silva

Exemplo:

Determine o domnio da funo:

a. = 1

3

b. = 13

+ 5

Exemplo:

= :()

Pequeno apontamento relativo ao domnio de funes

=( )


Ponto fundamental

O seguinte resultado, de grande utilidade prtica no clculo de limites, est errado:

Propriedade Sejam e duas funes e tais que os limites:

lim

() e lim

()

Ento:

lim

+ = lim

() + lim

()

lim

() = lim

() lim

()

existem.


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Ponto fundamental

Exemplo: = 1, = 1

= [1, +[ lim1

1 = 0

=] , 1] lim1

1 = 0

lim1

1 + lim1

1 = 0

Mas lim1

1 + 1 no existe.

+= {1} e 1 +

No existe nenhuma sucesso com valores no domnio de 1 + 1

que tenda para 1 por valores diferentes de 1


Ponto fundamental

O resultado torna-se verdadeiro se substituirmos o limite por valores

diferentes pelo limite propriamente dito:

Propriedade Sejam e duas funes e tais que os limites:

lim

() e lim

()

existem.

Ento:

lim

+ = lim

() + lim

()

lim

() = lim

() lim

()


Ponto fundamental

O mesmo problema propaga-se continuidade,sendo muito aborrecido

que a soma de duas funes contnuas no seja necessariamente

contnua

Com a definio usual:

Definio Seja uma funo real de varivel real e .

Diz-se que contnua em se:

lim

=

A funo diz-se ainda contnua se for contnua em todos os pontos do

respetivo domnio.

1 + elim1

(+ )() nem sequer existe

As funes definidas pelas expresses = 1 e g = 1 socontnuas, mas+ no contnua:


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Ponto fundamental

Mais uma vez, o resultado torna-se verdadeiro se se considerar a outra

definio de limite:

Propriedade Sejam e duas funes contnuas em .

Ento, + contnua em .

Em particular, a soma de duas funes contnuas contnua.


Cuidados a ter nesta troca de definio de limite

Algumas funes deixam de ter limite.

Exemplo: =2+ 3 se 02 se = 0

Tem-se lim0 = 3 mas lim0 no existe.

A definio de continuidade pode ser s implificada

Dada uma funo e um ponto , se o limite = lim() existir, ento necessariamente igual a().De facto, tomando a sucesso (constante) =, lim = .DefinioSeja e .Diz-se que contnua em se existir o limite lim .


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NOTAS


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