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MAT. – 1

1º VESTIBULAR UFOP 2007

GRUPO 5 – TIPO A

MATEMÁTICA

Questões de 01 a 12

01. Considere a seqüência de funções 1f x sen x , 22f x sen x , 3

3f x sen x ,..., n

nf x sen x , ... e as áreas 1A , 2A , 3A , ... , nA , ... , definidas pelos respectivos

gráficos no intervalo 0, .

Um aluno de Cálculo, motivado pelas inúmeras aplicações dessa disciplina, demonstrou que:

para par

para ímpar

2

n

n2

n

4 n -1 !n

n - 2n 2 !

2A

n -12 !

2n

n!

Calcule 1A

e 4A .

8

3

1164

1234

!1164

!34

!2

2424

!144

21

12

1

!02

!1

!2

112

22

4

4

22

2

1

1

A

A

MAT. – 2


GRUPO 5 – TIPO A

02. Considere que as funções logarítmicas envolvidas na equação a seguir são reais e

de variável real.

100 0,1 62 log 3 - x - log 2 - x = log6 +log6 log 7

Se a é raiz dessa equação, então calcule 6log a - 2 .

Condição de existência: 202

03

xx

x

Para resolver a equação, devemos passar os logaritmos para a base 1°(mudança de base):

16log24log2log

)(42

9

4

2

135

2

16950365

422364223

42log23log

7log6log2log3log

110log10loglog

210log210loglog,

6log

7log6log6log

log

2log

log

3log2

666

2

1

2

2

11,0

2100

1,0100

a

NãoaxSe

x

x

xxx

xxxxx

xx

xx

Mas

xx

MAT. – 3


GRUPO 5 – TIPO A

03. Uma cunha esférica é determinada pela revolução de o60

do semicírculo a seguir,

de raio 2cm , em torno do eixo e .

Calcule a área total e o volume desta cunha.

Volume de esfera: 333

3

322

3

4

3

4cmRVl

Área da superfície esférica: 222 16244 cmRAl

3606

160

Volume da cunha: 3

9

16

3

32

6

1cmVc

Área do fuso: 2

3

816

6

1cmAf

Mas, a área da cunha: 222

3

204

3

82

3

8

22 cmA

RAA cfc

2 cm

60º

ee

MAT. – 4


GRUPO 5 – TIPO A

04. Uma rua em linha reta, com 1200

metros de comprimento, foi arborizada com ipês

do lado direito e flamboyants do lado esquerdo. Os ipês foram plantados de 25

em

25

metros e os flamboyants de 30

em 30

metros. No início da rua, foi plantada

uma árvore de cada espécie. Uma pessoa caminhou por essa rua partindo do seu início e parou para descansar sempre que ocorreu coincidência de espécies plantadas, uma em cada lado da rua.

Pergunta-se:

A) A que distância do início da rua ocorreu a primeira parada?

A1 é múltiplo de 25; a1 é múltiplo de 30 e, por ser a 2ª coincidência (1ª parada), é o menor possível mmmcaa 15030,25101

B) Quantas vezes a pessoa parou para descansar?

ma 1501 (1ª parada)



--------------------------------

man 1200 (n° parada)

Conclusão: parou para descansar 8 vezes.

MAT. – 5


GRUPO 5 – TIPO A

05. Um trapézio isósceles de base média medindo 20 cm

está circunscrito a uma

circunferência.

Determine o perímetro deste trapézio.

cmyxPerímetro

yxyxBbBb

bm

8044

80444022402

MAT. – 6


GRUPO 5 – TIPO A

06. No lançamento de uma moeda três vezes consecutivas, Pedro aposta com seu

colega Antônio que ou sairá cara exatamente duas vezes ou os resultados serão todos iguais. Antônio aposta que sairá coroa pelo menos uma vez. Determine as probabilidades de Pedro e Antônio acertarem os resultados e diga quem tem mais chances de ganhar a aposta.

C= Cara e K= Coroa

Conjunto total de possibilidades:

{ccc; cck; ckc; ckk; kcc; kck; kkc; kkk} = 8 possibilidades.

Conjunto das possibilidades de Pedro:

{ccc; cck; ckc; kcc; kkk} = 5 possibilidades.

Conjunto das possibilidades de Antônio:

{cck; ckc; ckk; kcc; kck; kkc; kkk}= 7 possibilidades

Probabilidade de Pedro=5/8

Probabilidade de Antônio=7/8. É Antônio quem tem mais chance de ganhar a aposta.

MAT. – 7


GRUPO 5 – TIPO A

07. Num sistema de coordenadas cartesianas, localizam-se o ponto P 3,4

e a reta r

de equação 2 0x y . Seja Q

o ponto da reta r de abscissa a .

Determine:

A) A medida do segmento PQ em função de a .

No ponto Q,

1322

4469

23

243

202

2

22

22

22

aaPQ

aaaaPQ

aaPQ

aaPQ

ayyaax

B) O valor de a

para que a medida do segmento PQ

seja a mínima possível, em seguida, o valor desta medida mínima. (Sugestão: Sendo 0m , m será mínima quando m for mínimo)

PQ será mínima quando: 1322 22 aaPQ for mínimo

2PQ é mínima para 2

1

4

2

2A

Ba

2PQ mínima

2

25

2

5

2

25

2

2512

2

1131

2

1131

2

113

2

12

4

12

PQ

MAT. – 8


GRUPO 5 – TIPO A

08. Considere a expressão ...E x y x y x y , na qual o número de radicais

cresce indefinidamente.

A) Escreva E na forma m nE x y , em que m,n .

3

1

3

2

1

1

64

1

16

1

4

1

32

1

8

1

2

1

64

1

16

1

4

1

32

1

8

1

2

1

64

1

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

3

1

4

34

1

4

11

4

1

164

1

16

1

4

1

3

2

4

32

1

4

11

2

1

132

1

8

1

2

1

yxE

q

a

q

a

yxE

yyyxxxE

yxyxyxE

B) Calcule o valor de E para x 8 e 1

y8

.

22

4

2

12

8

18 23

1

3

2

3

1

3

2

yxE

MAT. – 9


GRUPO 5 – TIPO A

09. Maria e sua irmã Vera foram com seu irmão mais novo à casa do seu tio. Lá,

encontraram uma balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 70 kg . Dessa forma, eles se pesaram dois a dois e seus pesos combinados foram:

Maria e Vera: 99 kg

Maria e o irmão: 81kg

Vera e o irmão: 74 kg

Determine o peso de cada um dos irmãos.

Mariakgx

Verakgy

Irmãokgz

zyxzyx

zy

zx

x

5374127

4681127

2899127

127254222

74

81

999

10. Considere o polinômio 4 3 2P x x a x b x c x d , em que:

P x P x x

P 1 = 2

P 0 = 6

Determine:

A) Os valores de a , b , c e d .

65

5660060

2121

0

24

24

234234

xxxP

bddP

dbP

dbxxxP

cacc

aa

dcxbxaxxdcxbxaxxxPxP

MAT. – 10


GRUPO 5 – TIPO A

B) A soma dos quadrados das raízes de P x .

103322

333

222

322

15

2

24255065

0650

24

23

22

21

432

212

212

224

xxxx

xxx

xxx

yyyyy

yxxxxP

11. Viajando 8

horas por dia, durante 6

dias, com uma velocidade média de /km hv , um ciclista faz certo percurso. Sabe-se que ele poderia fazer o mesmo percurso se viajasse 5

horas por dia, durante 8

dias, com uma velocidade média /4 km h

superior à velocidade v . Assim sendo, calcule a velocidade v .

1° modo:

hkmvvvv

v

v

v/202056

46

5

46

8

8

5

2° modo: distância= velocidade média x tempo

tVd m

hkmv

v

vv

vdvd

/20

1608

1604048

44048

MAT. – 11


GRUPO 5 – TIPO A

12. Nos triângulos a seguir, o ângulo Â

é reto. A medida do segmento CB

é 20 cm , a

do segmento BD é 11cm e a do segmento DA é 5cm .

Determine o valor de tg . (Sugestão: Utilize a identidade tg tg

tg1 tg tg

)

56

333356

20481536512

125

3

412

51

12

5

3

4

1

3

4

12

16

12

5

12144256400

5112022

222222

tgtg

tgtgtg

tg

tg

tg

tgtg

tgtgtg

tgCA

ADtg

cmCACACA

CAABCBCA

MAT. – 12


GRUPO 5 – TIPO A

,

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