matemÁtica questões de 01 a 04 - questões de concursos · grupo 1 – tipo a matemÁtica...

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MAT. – 5 1º VESTIBULAR UFOP 2008 GRUPO 1 TIPO A MATEMÁTICA Questões de 01 a 04 01. Considere duas circunferências concêntricas em , C conforme figura, em que a externa representa o círculo trigonométrico e a interna, o velocímetro, cuja marcação varia de 0 a 270 k / mh , de um carro com potência suficiente para atingir velocidade máxima de 270 k / mh . O ângulo ˆ ACB mede, em graus, 2 α e tem CD como bissetriz. Estando , v em / , km h e , θ em graus, alinhados com , C pede-se: A) a velocidade , v em termos de α e . θ B) a velocidade , v dados 0 30 α = e 0 60 . θ =

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MAT. – 5

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 1 – TIPO A

MATEMÁTICA

Questões de 01 a 04

01. Considere duas circunferências concêntricas em ,C conforme figura, em que a externa representa o círculo trigonométrico e a interna, o velocímetro, cuja marcação varia de 0 a 270 k /m h , de um carro com potência suficiente para atingir velocidade máxima de 270 k /m h . O ângulo ˆACB mede, em graus, 2α e tem CD como bissetriz.

Estando ,v em / ,km h e ,θ em graus, alinhados com ,C pede-se:

A) a velocidade ,v em termos de α e .θ B) a velocidade ,v dados 030α = e 060 .θ =

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MAT. – 6

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 1 – TIPO A

02. Um cone circular reto, com geratriz g , vértice V e circunferência da base centrada

em C , está inscrito em uma esfera de raio ,R conforme ilustra a figura. A área de

uma seção transversal VACB e o volume do cone valem, respectivamente, 232 cm

e 3128 .

3cmπ

Determine: A) a geratriz do cone.

B) o raio da esfera.

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MAT. – 7

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 1 – TIPO A

03. Em um laboratório, existem n substâncias. Sabe-se que exatamente duas dessas

substâncias não podem estar simultaneamente em qualquer mistura, porque provocam explosão. Um aluno que desconhece esse fato resolve misturar 6 das n substâncias. Sendo a probabilidade de explosão na mistura feita pelo aluno de 1 para 14, determine o número n de substâncias existentes no laboratório.

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MAT. – 8

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 1 – TIPO A

04. Sejam os polinômios:

2 3( ) ,p x a bx cx dx= + + +

( ) ( )( )

2

p x p xq x

+ −= e ( ) ( )

( ) .2

p x p xr x

− −=

Considerando que:

i) ( )q x é divisível por 2x + e, quando dividido por 4,x − deixa resto 6− ,

ii) o gráfico de ( )r x no intervalo [ ]2,2− está representado abaixo,

mostre que:

A) (1)q é um número racional.

B) ( 3)r é um número par.

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MAT. – 1

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 – TIPO A

MATEMÁTICA

Questões de 01 a 12

01. Um circo com a forma de um cone circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo raio está com a lona toda furada. O dono do circo, tendo obtido bom lucro com as apresentações, resolveu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lona precisava comprar, ele considerou as seguintes especificações: a altura do mastro central vertical que sustenta a lona é de 10 m, a altura do cilindro é de 3 ,me o raio da circunferência, de 24 ,m como indica a figura. Que quantidade de lona,

em 2 ,m será necessário comprar?

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MAT. – 1

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 – TIPO A

MATEMÁTICA

Questões de 01 a 12

01. Um circo com a forma de um cone circular reto sobre um cilindro circular reto de mesmo raio está com a lona toda furada. O dono do circo, tendo obtido bom lucro com as apresentações, resolveu comprar uma nova lona. Para saber quanto de lona precisava comprar, ele considerou as seguintes especificações: a altura do mastro central vertical que sustenta a lona é de 10 m, a altura do cilindro é de 3 ,me o raio da circunferência, de 24 ,m como indica a figura. Que quantidade de lona,

em 2 ,m será necessário comprar?

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MAT. – 3

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 – TIPO A

03. Com um papelão em forma de retângulo, será construída uma caixa aberta em forma de paralelepípedo retângulo cujo volume é 33808 c .V m= Corta-se um quadrado de 8 cm de lado em cada canto do papelão, como indica a figura. Sabe-se que o comprimento do papelão é 20 cm maior que sua largura. Qual a soma das arestas da caixa?

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MAT. – 4

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 –TIPO A

04. Um fabricante produz uma mercadoria por $ 200,00R cada unidade, a qual é vendida por $ 500,00R . Com esse preço, há uma demanda de 4000 unidades mensais. Em determinada época, o fabricante eleva o preço de venda de

$ 500,00R para $ 600,00R . Com isso, as vendas sofrem uma queda de 400unidades na demanda mensal. Determine, em reais e em porcentagem, o lucro mensal em relação ao custo de produção:

A) antes do aumento

B) depois do aumento

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MAT. – 5

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 – TIPO A

05. Sejam R o raio e O o centro da circunferência circunscrita ao triângulo isósceles ,ABC AB AC= e 045BÂC= . Calcule a razão entre as áreas dos triângulos e OAB OBC.

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MAT. – 6

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 –TIPO A

06. Uma sala de convenções de um shopping possui 20 poltronas na primeira fileira, 24 poltronas na segunda fileira, 28 poltronas na terceira fileira e, continuando nesta seqüência, o aumento de 4 poltronas, por fileira, permanece constante até a última fileira. Quantas fileiras são necessárias para compor 800 lugares?

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MAT. – 7

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 – TIPO A

07. Num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, tem-se: • a reta ,r passando por (2,3)P e (4,5);Q

• a reta s perpendicular à r em ,P interceptando o eixo x em A e o eixo y em ;B • um ponto C sobre o semi-eixo positivo x ;

Pede-se:

A) um esboço da situação apresentada no enunciado.

B) as coordenadas dos pontos e .A B

C) as coordenadas do ponto ,C tais que a distância entre e Q C seja 13.

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MAT. – 8

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 –TIPO A

08. Determine o número natural n na seguinte equação:

1.1! 2.2! 3.3! ( -1)( -1)! . ! 1 380( 1)!n n n n n+ + + + + = − + −K

Sugestão: . ! ( 1)! i!i i i= + − , para todo número natural 1i ≥ .

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MAT. – 9

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 – TIPO A

09. No círculo trigonométrico, os arcos AB e ,AC marcados no sentido anti-horário,

têm medidas, em radianos, α e β ( �AB α= e �AC β= ), respectivamente.

Se 3

,5

senα =2

π α π< < e 5

cos ,13

β −= 3,

2

ππ β< < calcule:

A) cosα e .senβ

B) ( )senα β+ e cos( ).α β+

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MAT. – 10

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 –TIPO A

10. Com base nos conhecimentos em cálculos algébricos, determine os números racionais , , , , , a b c d p q nas igualdades abaixo.

A)3 4

68 12 4

2b c

+ + = +

B) 23 5 2 ( )( )x x a x p x q− + = − −

C) 1

2

log 32 log 0,001 d+ =

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MAT. – 11

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 – TIPO A

11. Na divisão de ( )A x por 2( ) 5 6,B x x x= − + − encontramos um quociente ( )Q x e um resto ( )R x . Suponha que os restos da divisão de ( )A x por 1x+ e 2x− sejam, respectivamente, 3 e 1− e que ( )Q x seja divisível por 1x+ . Determine ( )R x .

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MAT. – 12

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 5 –TIPO A

12. O gráfico abaixo representa uma função f definida por partes. A primeira parte,

restrita ao intervalo [ ]4, 2− − , é um segmento de reta, e a segunda parte, para

2x ≥ − , é um arco de parábola de eixo vertical cujo vértice é (0, 2) .

Escreva, na notação abaixo, as equações das partes que definem esta função.

.............................., 4 2

( )

.............................., 2

x

f x

x

− ≤ ≤ −= ≥ −

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MAT. – 7

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 6 – TIPO A

MATEMÁTICA

Questões de 01 a 06

01. Um observador está a uma distância d de uma torre de relógio de altura .H Seus olhos estão a uma altura h do solo e visualizam a torre sob um ângulo ,θ α β= +conforme ilustra a figura abaixo.

Se tg bβ = e ,tg cθ = pede-se:

A) a altura ,h em função de ,b .d

B) a altura ,H em função de ,b ,c .d

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MAT. – 8

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 6 – TIPO A

02. No triângulo isósceles OAB , ,OA AB= o lado desigual OB está sobre o eixo dos ,x

o ângulo interno no vértice A é de 030 e está inscrito em uma circunferência de centro C e raio 2 . A figura está inserida em um plano cartesiano ortogonal.

Determine:

A) a área do triângulo .OCB

B) a equação da circunferência.

C) a equação da reta que passa por C e .B

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MAT. – 9

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 6 – TIPO A

03. Um certo veículo, colocado à venda em primeiro de janeiro de 2000, sofre uma depreciação de $ 50,00R a cada mês. Sabendo-se que, em primeiro de janeiro de 2005, o preço do veículo era de $ 6000,00R , qual o seu preço em primeiro de abril de 2000?

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MAT. – 10

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 6 – TIPO A

04. Na figura, os pontos , e A B V estão sobre o gráfico da função 2 2

2

x x

y−+= e têm,

respectivamente, abscissas iguais a 1 2log 3x = − e 2 2log 3.x =

Determine a área do triângulo .ABV

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MAT. – 11

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 6 – TIPO A

05. Seja f a função real de variável real definida por

2(6 )( ) 9 log ( 5)xf x x x−= − + + .

Encontre os valores de x para os quais f faz sentido.

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MAT. – 12

1º VESTIBULAR UFOP 2008

GRUPO 6 – TIPO A

06. Seja a matriz 3 3

,i j xB b =

2

11 12 13

21 22 23

31 32 33

6

log (2 ) , , 3 e 3

81 , , 3 e 3

, em que 3 , 3 3

0 , 3 3

, 3 3

ji

j

i j

j

i j i j

i j i jb b bi

B b b b bi e j

b b bi e j

i i e j

≠ ≠ ≠ + = ≠ ≠ = = = =

= ≠ ≠ =

A) Escreva a matriz .B

B) Mostre que det B é múltiplo de 7.