MATEMÁTICA

Prof. Renato Oliveira

Matrizes.

Parte 2.

Matrizes

Tipos de MatrizesMatriz RetangularÈ toda matriz cujo o número de linhas é diferente do número de colunas(m ≠ n).

Exemplo:

1 2 4

0 2 1A

Matrizes

Matriz QuadradaÈ toda matriz cujo o número de linhas é igual ao número de colunas(m = n).Exemplo:

3x311310

987

652

A

Matrizes

Matriz LinhaÉ toda matriz que só possui uma linha(m = 1).Exemplo:

3x1432A

Matrizes

Matriz ColunaÉ toda matriz que só possui uma coluna(n = 1).

1x36

4

2

A

Matrizes

Matriz Nula ou Matriz ZeroÉ toda matriz que todos os elementos são iguais a zero.Exemplo:

0 0 0 0 0 0 ou O=

0 0 0 0 0 0

Matrizes

Matriz DiagonalÉ toda matriz quadrada onde os elementos que não pertencem a diagonal principal são iguais a zero.Exemplo:

300

020

001

A

Matrizes

Matriz TriangularÉ toda matriz quadrada em que os elementos de um mesmo lado da principal são iguais a zero.Exemplo:

eriorinftriangularmatriz

365

024

001

A

eriorsuptriangularmatriz

300

420

711

B

Matrizes

Matriz Identidade ou UnidadeÉ toda matriz diagonal, cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1. Exemplo:

10

01I2

100

010

001

I3

Matrizes

Matrizes IguaisSão matrizes, cujos elementos de mesma ordem são iguais. Se A = B, então .Exemplo:

8dba

5cba

0bba

2aba

então,dc

ba

85

02Se

2222

2121

1212

1111

Matrizes

Matriz OpostaÉ toda matriz cujo sue elementos são simétricos ou opostos aos elementos de uma outra matriz.Exemplo:

83

72A

83

72A

Matrizes

Operações com MatrizesAdição e SubtraçãoSó podemos somar ou subtrair matrizes que possuam o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas. A matriz soma terá seus elementos iguais à soma dos elementos de mesma ordem das matrizes parcela.Propriedades da adiçãoI – Elemento neutro: matriz nulaII – Comutativa: A + B = B + AIII – Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)IV – Elemento simétrico: matriz oposta A + (-A) = matriz nula

Matrizes

Exemplo:

Matrizes

Multiplicação de uma matriz por uma constanteDevemos multiplicar cada elemento da matriz por uma constante.Exemplo:

Matrizes

Multiplicação de uma Matriz por outra MatrizAntes de efetuarmos a multiplicação de duas matrizes devemos respeitar a condição para que seja possível esse cálculo, essa condição é que o número de colunas da primeira matriz deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz, e a matriz produto terá o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.

mxnpxnmxp PBA

Matrizes

Multiplicação de uma Matriz por outra Matriz

Matrizes

Matriz TranspostaÉ a matriz cujo número de linhas e o número de colunas é o contrário de uma outra matriz A dada e representamos por .Exemplo:

tA

Matrizes

Matriz SimétricaÉ toda matriz que é igual a sua transposta.Exemplo:

54

42A

54

42A t

Matrizes

Matriz InversaUma matriz é dita inversa de outra matriz quando o produto dela pela a matriz original for comutativo e igual a uma matriz identidade, de modo geral:

n11 IAAAA

Matrizes

Seja a matriz determine sua inversa.

35

12A

Matrizes

1) Sendo as matrizes: , e

, a matriz é igual a:

(A) (D)

(B) (E)

(C)

1 6- 3

4- 0 1-A

10 4 0

1- 2 8- B

6 2- 4-

7 8- 6 C

CBA2

3

2

12

6- 17 0

3- 13 11-

12- 17 0

19 18 17-

6- 11 12-

19 13 11-

6- 11 12-

3- 18 17-

12- 0 18

6 11- 7

Matrizes

1 6- 3

4- 0 1-A

10 4 0

1- 2 8- B

6 2- 4-

7 8- 6 C

CBA2

3

2

12

Matrizes

2) Observe que

Matrizes

3) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3 x 4 e p x q. Se a matriz A.B é 3 x 5, então é verdade quea) p = 5 e q = 5b) p = 4 e q = 5c) p = 3 e q = 5d) p = 3 e q = 4e) p = 3 e q = 3

Matrizes

4) Seja A=[aij] a matriz 2 x 2 real definida por aij=1 se i ≤ j e aj=-1 se i > j. Calcule A².

Matrizes

4) Seja A=[aij] a matriz 2 x 2 real definida por aij=1 se i ≤ j e aj=-1 se i > j. Calcule A².