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Matemática – Prof. Santinho
Análise Combinatória 1 ) (VUNESP-2014) Um
professor, ao elaborar uma
prova composta de 10 ques-
tões de múltipla escolha,
com 5 alternativas cada e
apenas uma correta, deseja
que haja um equilíbrio no
número de alternativas cor-
retas, a serem assinaladas
com X na folha de respos-
tas. Isto é, ele deseja que
duas questões sejam assi-
naladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por
diante, como mostra o modelo. Nessas condições, a
quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra
X disposta nas alternativas corretas, será:
a ) 302 400. b ) 113 400. c ) 226 800. d ) 181 440. e ) 604 800. 2 ) (GV-2015) Um estádio tem 5 portões. De quantas
formas ele pode ser aberto ao público ficando com pelo
menos dois portões abertos?
a) 28 b) 26 c) 32 d) 24 e) 30
3 ) (ENEM-2014) Um cliente de uma videolocadora tem o
hábito de alugar dois filmes por vez. Ele soube que a
videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8
filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso,
estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16
lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um
filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem
as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme
de ação e um de drama, até que todos os lançamentos
sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De
quantas formas distintas a estratégia desse cliente pode-
rá ser posta em prática?
a ) 20.8! + (3!)2
b ) 8! . 5! . 3!
c )
d )
e )
4 ) (ENEM-2013) Um banco solicitou aos seus clientes a
criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada
somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta
corrente pela internet. Entretanto, um especialista em
sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção
do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para
cada um deles, a criação de uma nova senha com seis
dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto,
além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada
letra maiúscula era considerada distinta de sua versão
minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos
de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no
sistema de senhas é a verificação do coeficiente de me-
lhora, que é a razão do novo número de possibilidades
de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de me-
lhora da alteração recomendada é
a )
b )
c )
d ) 62! – 10! e ) 626 - 10
6
5 ) (ENEM-2013) Um artesão de joias tem à sua disposi-
ção pedras brasileiras de três cores:
vermelhas, azuis e verdes. Ele preten-
de produzir joias constituídas por uma
liga metálica, a partir de um molde no
formato de um losango não quadrado
com pedras nos seus vértices, de mo-
do que dois vértices consecutivos te-
nham sempre pedras de cores diferen-
tes. A figura ilustra uma joia, produzi-
da por esse artesão, cujos vértices A,
B, C e D correspondem às posições
ocupadas pelas pedras. Com base nas informações
fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o
artesão poderá obter?
a ) 6 b ) 12 c ) 18 d ) 24 e ) 36 6 ) (FAMEMA-2016) Na agenda de um médico, há dez horários diferentes disponíveis para agendamento de consultas, mas ele irá disponibilizar dois desses horários para o atendimento de representantes de laboratórios. O número de maneiras diferentes que esse médico poderá escolher os dois horários para atender os representantes é a) 40. b) 43. c) 45. d) 38. e) 35. 7 ) (ENEM-2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brin-cadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 persona-gens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi es-condido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a ) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distin-tas. b ) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distin-tas. c ) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distin-tas. d ) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distin-tas. e ) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distin-tas.
8 ) (FUVEST-2013) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é a) menor que 7%. b) maior que 7%, mas menor que 10%. c) maior que 10%, mas menor que 13%. d) maior que 13%, mas menor que 16%. e) maior que 16%. 9 ) (GV-2015) O total de números pares não negativos de até quatro algarismos que podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2 e 3, sem repetir algarismos, é igual a: a) 26. b) 27. c) 28. d) 29. e) 30 10 ) (UFMG-2005) A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se formar uma comissão de oito integrantes, com-posta de um presidente, um vice-presidente, um secretá-rio, um tesoureiro e quatro conselheiros. Nessa situa-ção, de quantas maneiras distintas se pode compor essa comissão?
a ) !6!.4
!14 b )
2!4
!14 c )
!8!.6
!14 d )
!10!.4
!14
11 ) (IBMEC-2007-JUL) Num
conhecido programa de entre-
vistas, o convidado senta-se no
centro de duas circunferências
concêntricas, ao longo das
quais são distribuídas as cadei-
ras dos entrevistadores. Cada
círculo pequeno sombreado
representa uma cadeira. Os 7
assentos da circunferência menor são ocupados por
entrevistadores acadêmicos e os 8 assentos da circunfe-
rência maior são ocupados por jornalistas. Considerando
as posições dos entrevistadores de cada circunferência
como relativas apenas às demais posições sobre a
mesma circunferência, independentemente das posições
na outra circunferência ou das cadeiras em que se sen-
tam, o número de possibilidades para acomodar os 15
entrevistadores é:
a ) 15! ) 7!.9! c ) 6!.8! d ) 7!.8! e ) 6!.7!
12 ) (UNIFAL-2008) Um programa de computador, utili-
zando apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4, gera aleatoria-
mente senhas de exatamente dez dígitos. Dentre todas
as senhas possíveis geradas por esse programa, a
quantidade daquelas em que o algarismo 4 aparece
exatamente uma vez é igual a:
a ) 410
– 39 b ) 4
10 – 3
10 c ) 10.3
9 d ) 10.4
9
13 ) (MACK-2006-JUL) Em uma cidade, há duas linhas de ônibus, uma na direção Norte-Sul e outra na direção Leste-Oeste. Cada ônibus tem um código formado por três números, escolhidos entre 1, 2, 3, 4 e 5 para a linha Norte-Sul e entre 6, 7, 8 e 9 para a linha Leste-Oeste. Não são permitidos códigos com três números iguais. Se A é o total de códigos disponíveis para a linha Norte-Sul
e B é o total de códigos disponíveis para a linha Leste-
Oeste, então B
A é igual a
a ) 1 b ) 2 c ) 3 d ) 4 e ) 5
14 ) (UEL-2001) Na mesa de saladas de um restaurante tem alface, pepino, pimentão, cebola, cenoura, tomate e beterraba. Há quatro temperos disponíveis. Quantos tipos de saladas diferentes podem ser preparados com esses ingredientes, de modo que todas as saladas con-tenham alface e possam ter um ou nenhum tempero ? a ) 320 b ) 310 c ) 256 d ) 120 e ) 105
15 ) (PUCCAMP-2003) Deseja-se criar uma bandeira para um fórum de debates. Ela deve ter 5 listras hori-zontais, cada uma delas pintada com uma única cor dentre as seguintes : verde, azul, amarelo, vermelho e branco. Se não deve haver duas listras da mesma cor e não se deseja pintar listras adjacentes com as cores verde e azul, o número possível de bandeiras para esse fórum é : a ) 48 b ) 64 c ) 70 d ) 72 e ) 84
16 ) (EPCAR-2003) Têm-se n comprimidos de substân-cias distintas solúveis em água e incapazes de reagir entre si. Quantos solutos distintos podem ser obtidos, dissolvendo num copo d'água um ou mais desses com-primidos ? a ) 2
n b ) n! c ) n d ) 2
n - 1
17 ) (UNIFESP-2006) As permutações das letras da
palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética,
como se fossem palavras de cinco letras em um dicioná-
rio. A 73ª palavra nessa lista é :
a ) PROVA b ) VAPOR c ) RAPOV d ) ROVAP e ) RA-OPV
18 ) (MACK-2000) Uma prova de atletismo é disputada por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os resultados possíveis para a prova, de modo que pelo menos um brasileiro fique numa das três primeiras colo-cações, são em número de : a ) 426 b ) 444 c ) 468 d ) 480 e ) 504
19 ) (UFMG-2003) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. Quatro jogadores repartem entre si essas pe-ças, ficando cada um com 7 peças. De quantas manei-ras distintas se pode fazer tal distribuição ?
a ) )!4).(!7(
!28 b )
)!4).(!24(
!28
c ) 2)!7(
!28 d )
)!21).(!7(
!28
20 ) (AFA-97) Lançando-se 4 dados, sucessivamente, o número de maneiras de se obter soma 7 é a ) 20 b ) 24 c ) 72 d ) 216
21 ) (UFC-2007-JUL) De quantas maneiras podemos
distribuir doze livros distintos entre quatro alunos de
modo que cada um receba três livros?
a ) 369.600 b ) 30.600 c ) 10.000 d ) 220 e ) 144
22 ) (EsPCEx-2005) Um gerente de um hotel, após fazer
alguns cálculos, chegou à conclusão de que, para atingir
a meta de economia de energia elétrica, bastava apagar
2 lâmpadas de um corredor com 8 lâmpadas alinhadas.
Para manter um mínimo de claridade ao longo do corre-
dor, o gerente determinou que 2 lâmpadas adjacentes
não poderiam ficar apagadas ao mesmo tempo, e as 2
lâmpadas das extremidades deveriam permanecer ace-
sas. Sendo assim, o número de maneiras que este ge-
rente pode apagar 2 lâmpadas é :
a ) 24 b ) 10 c ) 15 d ) 12 e ) 6
23 ) (UEL-2004) Numa competição internacional, um país obteve, no total, 10 medalhas dentre as de ouro, prata e bronze. Sabendo-se que este país recebeu pelo menos uma medalha de ouro, uma de prata e uma de bronze, quantas são as possibilidades de composição do quadro de medalhas deste país ? a ) 10 b ) 30 c ) 36 d ) 120 e ) 132
24 ) (UFMG-2000) Um clube resolveu fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elabo-rar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras dife-rentes de se fazer a programação dessa semana é : a ) 144 b ) 576 c ) 720 d ) 1040
25 ) (EPCAR-2007) O professor de um determinado curso faz uma pesquisa com seus alunos através de um questionário com três perguntas: - Na 1
a, o aluno deve escolher uma dentre as cinco dis-
ciplinas apresentadas. - Na 2
a, deve escolher, em ordem de preferência, três de
seis títulos de livros. - Na 3
a, escolher dois dias da semana letiva (de 2ª a 6ª
feira ) para apresentação de trabalhos. O número de maneiras possíveis de cada aluno respon-der a esse questionário é igual a : a ) 135 b ) 1000 c ) 6000 d ) 12000
26 ) (PUC-SP-2002) No saguão de um teatro, há um lustre com 10 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como medida de economia de energia elétrica, o gerente desse teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas, de acordo com a necessidade. Nessas condições, de quantos modos distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre ? a ) 664 b ) 792 c ) 852 d ) 912 e ) 1044
27 ) (MACK-2005) Uma padaria faz sanduíches, segun-do a escolha do cliente, oferecendo 3 tipos diferentes de pães e 10 tipos diferentes de recheios. Se o cliente pode escolher o tipo de pão e 1, 2 ou 3 recheios diferentes, o número de possibilidades de compor o sanduíche é: a ) 525 b ) 630 c ) 735 d ) 375 e ) 450
28 ) (UNIFESP-2003) O corpo clínico de pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para
fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distin-tas podem ser formadas nestas condições ? a ) 792 b ) 494 c ) 369 d ) 136 e ) 108
29 ) (MACK-2003) Num quadro, as chaves de 6 salas e de 2 banheiros, todas distintas, estão dispostas em duas filas com quatro chaves cada uma. Se as chaves dos banheiros devem ocupar as extremidades da primeira fila, o número de formas diferentes de se colocar as cha-ves no quadro é : a ) 6! b ) 6.6! c ) 4.6! d ) 8! e ) 2.6!
30 ) (UFU-96) Um homem deverá viajar de ônibus, de uma cidade A para uma cidade B, viajando direto ou fazendo uma baldeação numa cidade C. Existem duas empresas que fazem a linha direta de A para B, quatro empresas que fazem a linha de A para C e três de C para B. Considerando que a escolha de empresas dife-rentes determina modos diferentes de viajar, de quantas maneiras ele poderá fazer a viagem ? a ) 14 b ) 24 c ) 10 d ) 18 e ) 12