matemática prof. santinho análise...

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Matemática Prof. Santinho Análise Combinatória 1 ) (VUNESP-2014) Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 ques- tões de múltipla escolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilíbrio no número de alternativas cor- retas, a serem assinaladas com X na folha de respos- tas. Isto é, ele deseja que duas questões sejam assi- naladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por diante, como mostra o modelo. Nessas condições, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nas alternativas corretas, será: a ) 302 400. b ) 113 400. c ) 226 800. d ) 181 440. e ) 604 800. 2 ) (GV-2015) Um estádio tem 5 portões. De quantas formas ele pode ser aberto ao público ficando com pelo menos dois portões abertos? a) 28 b) 26 c) 32 d) 24 e) 30 3 ) (ENEM-2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia desse cliente pode- rá ser posta em prática? a ) 20.8! + (3!) 2 b ) 8! . 5! . 3! c ) d ) e ) 4 ) (ENEM-2013) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de me- lhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de me- lhora da alteração recomendada é a ) b ) c ) d ) 62! 10! e ) 62 6 - 10 6 5 ) (ENEM-2013) Um artesão de joias tem à sua disposi- ção pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele preten- de produzir joias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de mo- do que dois vértices consecutivos te- nham sempre pedras de cores diferen- tes. A figura ilustra uma joia, produzi- da por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras. Com base nas informações fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? a ) 6 b ) 12 c ) 18 d ) 24 e ) 36 6 ) (FAMEMA-2016) Na agenda de um médico, há dez horários diferentes disponíveis para agendamento de consultas, mas ele irá disponibilizar dois desses horários para o atendimento de representantes de laboratórios. O número de maneiras diferentes que esse médico poderá escolher os dois horários para atender os representantes é a) 40. b) 43. c) 45. d) 38. e) 35. 7 ) (ENEM-2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brin- cadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 persona- gens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi es- condido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque a ) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distin- tas. b ) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distin- tas. c ) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distin- tas. d ) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distin- tas. e ) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distin- tas.

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Matemática – Prof. Santinho

Análise Combinatória 1 ) (VUNESP-2014) Um

professor, ao elaborar uma

prova composta de 10 ques-

tões de múltipla escolha,

com 5 alternativas cada e

apenas uma correta, deseja

que haja um equilíbrio no

número de alternativas cor-

retas, a serem assinaladas

com X na folha de respos-

tas. Isto é, ele deseja que

duas questões sejam assi-

naladas com a alternativa A, duas com a B, e assim por

diante, como mostra o modelo. Nessas condições, a

quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra

X disposta nas alternativas corretas, será:

a ) 302 400. b ) 113 400. c ) 226 800. d ) 181 440. e ) 604 800. 2 ) (GV-2015) Um estádio tem 5 portões. De quantas

formas ele pode ser aberto ao público ficando com pelo

menos dois portões abertos?

a) 28 b) 26 c) 32 d) 24 e) 30

3 ) (ENEM-2014) Um cliente de uma videolocadora tem o

hábito de alugar dois filmes por vez. Ele soube que a

videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8

filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso,

estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16

lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um

filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem

as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme

de ação e um de drama, até que todos os lançamentos

sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De

quantas formas distintas a estratégia desse cliente pode-

rá ser posta em prática?

a ) 20.8! + (3!)2

b ) 8! . 5! . 3!

c )

d )

e )

4 ) (ENEM-2013) Um banco solicitou aos seus clientes a

criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada

somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta

corrente pela internet. Entretanto, um especialista em

sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção

do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para

cada um deles, a criação de uma nova senha com seis

dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto,

além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada

letra maiúscula era considerada distinta de sua versão

minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos

de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no

sistema de senhas é a verificação do coeficiente de me-

lhora, que é a razão do novo número de possibilidades

de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de me-

lhora da alteração recomendada é

a )

b )

c )

d ) 62! – 10! e ) 626 - 10

6

5 ) (ENEM-2013) Um artesão de joias tem à sua disposi-

ção pedras brasileiras de três cores:

vermelhas, azuis e verdes. Ele preten-

de produzir joias constituídas por uma

liga metálica, a partir de um molde no

formato de um losango não quadrado

com pedras nos seus vértices, de mo-

do que dois vértices consecutivos te-

nham sempre pedras de cores diferen-

tes. A figura ilustra uma joia, produzi-

da por esse artesão, cujos vértices A,

B, C e D correspondem às posições

ocupadas pelas pedras. Com base nas informações

fornecidas, quantas joias diferentes, nesse formato, o

artesão poderá obter?

a ) 6 b ) 12 c ) 18 d ) 24 e ) 36 6 ) (FAMEMA-2016) Na agenda de um médico, há dez horários diferentes disponíveis para agendamento de consultas, mas ele irá disponibilizar dois desses horários para o atendimento de representantes de laboratórios. O número de maneiras diferentes que esse médico poderá escolher os dois horários para atender os representantes é a) 40. b) 43. c) 45. d) 38. e) 35. 7 ) (ENEM-2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brin-cadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 persona-gens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi es-condido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a ) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distin-tas. b ) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distin-tas. c ) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distin-tas. d ) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distin-tas. e ) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distin-tas.

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8 ) (FUVEST-2013) Vinte times de futebol disputam a Série A do Campeonato Brasileiro, sendo seis deles paulistas. Cada time joga duas vezes contra cada um dos seus adversários. A porcentagem de jogos nos quais os dois oponentes são paulistas é a) menor que 7%. b) maior que 7%, mas menor que 10%. c) maior que 10%, mas menor que 13%. d) maior que 13%, mas menor que 16%. e) maior que 16%. 9 ) (GV-2015) O total de números pares não negativos de até quatro algarismos que podem ser formados com os algarismos 0, 1, 2 e 3, sem repetir algarismos, é igual a: a) 26. b) 27. c) 28. d) 29. e) 30 10 ) (UFMG-2005) A partir de um grupo de 14 pessoas, quer-se formar uma comissão de oito integrantes, com-posta de um presidente, um vice-presidente, um secretá-rio, um tesoureiro e quatro conselheiros. Nessa situa-ção, de quantas maneiras distintas se pode compor essa comissão?

a ) !6!.4

!14 b )

2!4

!14 c )

!8!.6

!14 d )

!10!.4

!14

11 ) (IBMEC-2007-JUL) Num

conhecido programa de entre-

vistas, o convidado senta-se no

centro de duas circunferências

concêntricas, ao longo das

quais são distribuídas as cadei-

ras dos entrevistadores. Cada

círculo pequeno sombreado

representa uma cadeira. Os 7

assentos da circunferência menor são ocupados por

entrevistadores acadêmicos e os 8 assentos da circunfe-

rência maior são ocupados por jornalistas. Considerando

as posições dos entrevistadores de cada circunferência

como relativas apenas às demais posições sobre a

mesma circunferência, independentemente das posições

na outra circunferência ou das cadeiras em que se sen-

tam, o número de possibilidades para acomodar os 15

entrevistadores é:

a ) 15! ) 7!.9! c ) 6!.8! d ) 7!.8! e ) 6!.7!

12 ) (UNIFAL-2008) Um programa de computador, utili-

zando apenas os algarismos 1, 2, 3 e 4, gera aleatoria-

mente senhas de exatamente dez dígitos. Dentre todas

as senhas possíveis geradas por esse programa, a

quantidade daquelas em que o algarismo 4 aparece

exatamente uma vez é igual a:

a ) 410

– 39 b ) 4

10 – 3

10 c ) 10.3

9 d ) 10.4

9

13 ) (MACK-2006-JUL) Em uma cidade, há duas linhas de ônibus, uma na direção Norte-Sul e outra na direção Leste-Oeste. Cada ônibus tem um código formado por três números, escolhidos entre 1, 2, 3, 4 e 5 para a linha Norte-Sul e entre 6, 7, 8 e 9 para a linha Leste-Oeste. Não são permitidos códigos com três números iguais. Se A é o total de códigos disponíveis para a linha Norte-Sul

e B é o total de códigos disponíveis para a linha Leste-

Oeste, então B

A é igual a

a ) 1 b ) 2 c ) 3 d ) 4 e ) 5

14 ) (UEL-2001) Na mesa de saladas de um restaurante tem alface, pepino, pimentão, cebola, cenoura, tomate e beterraba. Há quatro temperos disponíveis. Quantos tipos de saladas diferentes podem ser preparados com esses ingredientes, de modo que todas as saladas con-tenham alface e possam ter um ou nenhum tempero ? a ) 320 b ) 310 c ) 256 d ) 120 e ) 105

15 ) (PUCCAMP-2003) Deseja-se criar uma bandeira para um fórum de debates. Ela deve ter 5 listras hori-zontais, cada uma delas pintada com uma única cor dentre as seguintes : verde, azul, amarelo, vermelho e branco. Se não deve haver duas listras da mesma cor e não se deseja pintar listras adjacentes com as cores verde e azul, o número possível de bandeiras para esse fórum é : a ) 48 b ) 64 c ) 70 d ) 72 e ) 84

16 ) (EPCAR-2003) Têm-se n comprimidos de substân-cias distintas solúveis em água e incapazes de reagir entre si. Quantos solutos distintos podem ser obtidos, dissolvendo num copo d'água um ou mais desses com-primidos ? a ) 2

n b ) n! c ) n d ) 2

n - 1

17 ) (UNIFESP-2006) As permutações das letras da

palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética,

como se fossem palavras de cinco letras em um dicioná-

rio. A 73ª palavra nessa lista é :

a ) PROVA b ) VAPOR c ) RAPOV d ) ROVAP e ) RA-OPV

18 ) (MACK-2000) Uma prova de atletismo é disputada por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os resultados possíveis para a prova, de modo que pelo menos um brasileiro fique numa das três primeiras colo-cações, são em número de : a ) 426 b ) 444 c ) 468 d ) 480 e ) 504

19 ) (UFMG-2003) O jogo de dominó possui 28 peças distintas. Quatro jogadores repartem entre si essas pe-ças, ficando cada um com 7 peças. De quantas manei-ras distintas se pode fazer tal distribuição ?

a ) )!4).(!7(

!28 b )

)!4).(!24(

!28

c ) 2)!7(

!28 d )

)!21).(!7(

!28

20 ) (AFA-97) Lançando-se 4 dados, sucessivamente, o número de maneiras de se obter soma 7 é a ) 20 b ) 24 c ) 72 d ) 216

21 ) (UFC-2007-JUL) De quantas maneiras podemos

distribuir doze livros distintos entre quatro alunos de

modo que cada um receba três livros?

a ) 369.600 b ) 30.600 c ) 10.000 d ) 220 e ) 144

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22 ) (EsPCEx-2005) Um gerente de um hotel, após fazer

alguns cálculos, chegou à conclusão de que, para atingir

a meta de economia de energia elétrica, bastava apagar

2 lâmpadas de um corredor com 8 lâmpadas alinhadas.

Para manter um mínimo de claridade ao longo do corre-

dor, o gerente determinou que 2 lâmpadas adjacentes

não poderiam ficar apagadas ao mesmo tempo, e as 2

lâmpadas das extremidades deveriam permanecer ace-

sas. Sendo assim, o número de maneiras que este ge-

rente pode apagar 2 lâmpadas é :

a ) 24 b ) 10 c ) 15 d ) 12 e ) 6

23 ) (UEL-2004) Numa competição internacional, um país obteve, no total, 10 medalhas dentre as de ouro, prata e bronze. Sabendo-se que este país recebeu pelo menos uma medalha de ouro, uma de prata e uma de bronze, quantas são as possibilidades de composição do quadro de medalhas deste país ? a ) 10 b ) 30 c ) 36 d ) 120 e ) 132

24 ) (UFMG-2000) Um clube resolveu fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao elabo-rar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção científica, devem ser exibidos em dias consecutivos. Nesse caso, o número de maneiras dife-rentes de se fazer a programação dessa semana é : a ) 144 b ) 576 c ) 720 d ) 1040

25 ) (EPCAR-2007) O professor de um determinado curso faz uma pesquisa com seus alunos através de um questionário com três perguntas: - Na 1

a, o aluno deve escolher uma dentre as cinco dis-

ciplinas apresentadas. - Na 2

a, deve escolher, em ordem de preferência, três de

seis títulos de livros. - Na 3

a, escolher dois dias da semana letiva (de 2ª a 6ª

feira ) para apresentação de trabalhos. O número de maneiras possíveis de cada aluno respon-der a esse questionário é igual a : a ) 135 b ) 1000 c ) 6000 d ) 12000

26 ) (PUC-SP-2002) No saguão de um teatro, há um lustre com 10 lâmpadas, todas de cores distintas entre si. Como medida de economia de energia elétrica, o gerente desse teatro estabeleceu que só deveriam ser acesas, simultaneamente, de 4 a 7 lâmpadas, de acordo com a necessidade. Nessas condições, de quantos modos distintos podem ser acesas as lâmpadas desse lustre ? a ) 664 b ) 792 c ) 852 d ) 912 e ) 1044

27 ) (MACK-2005) Uma padaria faz sanduíches, segun-do a escolha do cliente, oferecendo 3 tipos diferentes de pães e 10 tipos diferentes de recheios. Se o cliente pode escolher o tipo de pão e 1, 2 ou 3 recheios diferentes, o número de possibilidades de compor o sanduíche é: a ) 525 b ) 630 c ) 735 d ) 375 e ) 450

28 ) (UNIFESP-2003) O corpo clínico de pediatria de um certo hospital é composto por 12 profissionais, dos quais 3 são capacitados para atuação junto a crianças que apresentam necessidades educacionais especiais. Para

fins de assessoria, deverá ser criada uma comissão de 3 profissionais, de tal maneira que 1 deles, pelo menos, tenha a capacitação referida. Quantas comissões distin-tas podem ser formadas nestas condições ? a ) 792 b ) 494 c ) 369 d ) 136 e ) 108

29 ) (MACK-2003) Num quadro, as chaves de 6 salas e de 2 banheiros, todas distintas, estão dispostas em duas filas com quatro chaves cada uma. Se as chaves dos banheiros devem ocupar as extremidades da primeira fila, o número de formas diferentes de se colocar as cha-ves no quadro é : a ) 6! b ) 6.6! c ) 4.6! d ) 8! e ) 2.6!

30 ) (UFU-96) Um homem deverá viajar de ônibus, de uma cidade A para uma cidade B, viajando direto ou fazendo uma baldeação numa cidade C. Existem duas empresas que fazem a linha direta de A para B, quatro empresas que fazem a linha de A para C e três de C para B. Considerando que a escolha de empresas dife-rentes determina modos diferentes de viajar, de quantas maneiras ele poderá fazer a viagem ? a ) 14 b ) 24 c ) 10 d ) 18 e ) 12