matemática - pré-vestibular impacto - geometria analítica

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JACKY30/04/08 GEOMETRIA ANALÍTICA (CONCEITO, ESTUDO DOS PONTOS). FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!! PROFº: BOSCO Fale conosco www.portalimpacto.com.br VESTIBULAR – 2009 CONTEÚDO A Certeza de Vencer 09 4 A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra . Em geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para planos , retas , curvas e círculos , geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna. Por aquilo que dela é ensinado nos livros escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma forma mais simples: a disciplina procura definir formas geométricas de modo numérico e extrair informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vector ou uma forma . René Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intitulado Geometria do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo , que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz . Fonte: site wikipédia, a enciclopédia livre. Sistema de coordenadas cartesianas. Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de um plano e o conjunto dos pares ordenados de números reais, isto é, a cada ponto do plano corresponde um único par ordenado (x, y), e cada par ordenado (x, y) está associado um único ponto do plano. A relação biunívoca não é única, depende do sistema de eixos ortogonais adotado. Para estabelecer uma dessas correspondências biunívocas são usados dois eixos ortogonais (eixo x e eixo y) que formam o sistema de eixos ortogonais. A intersecção dos eixos x e y é o ponto O, chamado de origem do sistema. Exemplo: Ao par ordenado de números reais: (0, 0) está associado o ponto O (origem); (3, 2) está associado o ponto A; (1, 4) está associado o ponto B; (2, 3) está associado o ponto C; (2, 1) está associado o ponto D. Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou abscissa do ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A. Observações: 1. Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados e dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes cuja identificação é feita conforme a figura. O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante. 2. Se o ponto P pertence ao eixo x, suas coordenadas são (a, 0), com a ¡ . 3. Se o ponto P pertence ao eixo y, suas coordenadas são (0, b), com b ¡ . Exercícios 01. Determine as coordenadas dos pontos indicados na figura a seguir: 02. Sabendo que P(2m+ 1, – 3m – 4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores reais de m. Resolução

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Page 1: Matemática - Pré-Vestibular Impacto - Geometria Analítica

JACKY30/04/08

GEOMETRIA ANALÍTICA (CONCEITO, ESTUDO DOS PONTOS).

FAÇO IMPACTO - A CERTEZA DE VENCER!!!

PROFº: BOSCO

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CONTEÚDO

A Certeza de Vencer

09

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A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e que

antigamente recebia o nome de geometria cartesiana, é o estudo da geometria através dos princípios da álgebra. Em

geral, é usado o sistema de coordenadas cartesianas para manipular equações para

planos, retas, curvas e círculos, geralmente em duas dimensões, mas por vezes também em três ou mais dimensões. Alguns pensam que a introdução da geometria analítica constituiu o início da matemática moderna.

Por aquilo que dela é ensinado nos livros escolares, pode-se explicar a geometria analítica de uma forma mais simples: a disciplina procura definir formas geométricas de modo numérico e extrair informação numérica dessa representação. O resultado numérico também pode, no entanto, ser um vector ou uma forma.

René Descartes criou as fundações para os métodos da geometria analítica em 1637 no apêndice intitulado Geometria do seu Discurso do Método. Este livro e os seus princípios filosóficos criaram as fundações para o cálculo, que foi mais tarde introduzido independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.

Fonte: site wikipédia, a enciclopédia livre.

Sistema de coordenadas cartesianas. Existe uma correspondência biunívoca entre os pontos de um plano e o conjunto dos pares ordenados de números reais, isto é, a cada ponto do plano corresponde um único par ordenado (x, y), e cada par ordenado (x, y) está associado um único ponto do plano. A relação biunívoca não é única, depende do sistema de eixos ortogonais adotado.

Para estabelecer uma dessas correspondências biunívocas são usados dois eixos ortogonais (eixo x e eixo y) que formam o sistema de eixos ortogonais. A intersecção dos eixos x e y é o ponto O, chamado de origem do sistema. Exemplo: Ao par ordenado de números reais:

(0, 0) está associado o ponto O (origem); (3, 2) está associado o ponto A; (− 1, 4) está associado o ponto B; (− 2, − 3) está associado o ponto C; (2, − 1) está associado o ponto D.

Considerando o ponto A(3, 2), dizemos que o número 3 é a coordenada x ou abscissa do ponto A, e o número 2 é a coordenada y ou a ordenada do ponto A. Observações: 1. Os eixos x e y chamam-se eixos coordenados e dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes cuja identificação é feita conforme a figura. O sinal positivo ou negativo da abscissa e da ordenada varia de acordo com o quadrante. 2. Se o ponto P pertence ao eixo x, suas coordenadas são (a, 0), com a∈ ¡ . 3. Se o ponto P pertence ao eixo y, suas coordenadas são (0, b), com b∈ ¡ .

Exercícios 01. Determine as coordenadas dos pontos indicados na figura a seguir: 02. Sabendo que P(2m+ 1, – 3m – 4) pertence ao 3º quadrante, determine os possíveis valores reais de m.

Resolução

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FAÇO IMPACTO – A CERTEZA DE VENCER!!!

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2009

Distância entre dois pontos. Dados dois pontos, A e B, a distância entre eles,

que será indicada por dAB, é a medida do segmento de extremidades A e B.

A1 distância entre os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) depende das coordenadas dos mesmos, e é determinado através do Teorema de Pitágoras. Veja:

2 2 2 2AB 2 1 2 1d = ∆x +∆y = (x - x ) +(y - y )

Exercícios

03. Calcule a distância entre os pontos dados: a) A(3, 7) e B(– 1, 4) b) P(3, – 1) e Q(3, 2) c) A(0, – 2) e B( 5 ,– 4) 04. Em uma certa região do Oriente Médio, uma base militar está localizada no Egito e um alvo está localizado no sul do Iraque. Foi estabelecido um sistema de coordenadas cartesiana e base ficou localizada no ponto de coordenadas (2, 5) e o alvo (8, 3). Qual a distância da base ao alvo, sabendo que as medidas estão em km?

Coordenadas do ponto médio de um segmento.

Dado um segmento de reta AB tal que A(x1, y1) e B(x2, y2) são pontos distintos, temos um ponto M(xM, yM) médio do segmento. As coordenadas do ponto médio são dadas por: ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1 2M

1 2M

x + xx =2

y + yy =2

Exercícios 05. Calcule as coordenadas do ponto médio do segmento AB, em cada caso: a) A(2,1) e B(0, 6) b) A(5, 6) e B(- 6, - 8) c) A(7, -1) e B(4, -4) 06. Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(– 2, – 2). Sabendo-se que M(3, – 2) é o ponto médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B(x, y), que é a outra extremidade do segmento.

Coordenadas do baricentro de um triângulo Em triângulo de vértices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) no plano cartesiano, as coordenadas do baricentro, xG e yG, são:

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

A B CG

A B CG

x + x + xx =

3y + y + y

y =3

Exercícios 07. Determine as coordenadas do baricentro de um triângulo ABC, sendo A(5, 2), B(1, -2) e C(4, 5).

Resolução

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