matematica para concursos

Download Matematica para concursos

If you can't read please download the document

Post on 22-Nov-2014

889 views

Category:

Documents

32 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

 

TRANSCRIPT

  • 1. MATEMTICA PARACONCURSOS

2. Matemtica para Concursos SumrioNmeros Naturais -------------------------------------------03Conjuntos numricos: racionais e reais ------------------- 05Divisibilidade ------------------------------------------------- 10Nmeros Primos --------------------------------------------- 12Mximo Divisor Comum (mdc mmc) ---------------------- 13Nmeros Racionais ------------------------------------------ 15Nmeros Fracionrios --------------------------------------- 16Nmeros Decimais ------------------------------------------- 21Potenciao --------------------------------------------------23Radiciao ---------------------------------------------------- 24Razes e Propores ---------------------------------------Mdia ---------------------------------------------------------- 25Produtos Notveis ------------------------------------------- 27Diviso Proporcional ---------------------------------------- 28Regra de Trs: Simples e Composta ----------------------- 29Porcentagens ------------------------------------------------- 31Juros Simples ------------------------------------------------32Juros Compostos --------------------------------------------- 34Sistemas de Medidas ---------------------------------------- 35Sistema Mtrico Decimal ------------------------------------ 45Equaes do 1. grau ---------------------------------------- 47Equaes do 2. grau --------------------------------------- 51Sistemas ------------------------------------------------------ 56Equaes -----------------------------------------------------57Progresso aritmtica --------------------------------------- 62Progresso geomtrica ------------------------------------- 64Noes de trigonometria ------------------------------------ 65Teorema de Pitgoras --------------------------------------- 68Funes exponenciais --------------------------------------- 69Logaritmos ---------------------------------------------------Polinmios ----------------------------------------------------Geometria ----------------------------------------------------71Noes de probabilidade ------------------------------------ 73Noes de estatsticas -------------------------------------- 76 Polcia Rodoviria Federal2 3. Matemtica para ConcursosEditado por: Flvio Nascimento Nmeros NaturaisConjunto dos Nmeros InteirosEste mais um conjunto numrico que devemos conhecer para futuros estudos, representadopela letra Z.Conjunto dos Nmeros Naturais representado pela letra N.O conjunto N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14........................}, este conjunto infinito ou seja no tem fim.Este ficou pequeno para a matemtica, observe os exemplos:a) 9 - 12 = ? b) 8 - 100 = ?Dentro do conjunto dos nmero naturais no existe resposta para estas perguntas, ou seja asrespostas esto dentro do conjunto dos nmeros inteiros.Vamos conhecer este conjunto:O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto formado por nmeros negativos, zero e nmeros positivos. Vale lembrar que zero umnmero nulo ou neutro, no negativo e nem positivo.No seu dia a dia voc j dever ter deparado com nmeros inteiros.Quando temos um crdito temos um nmero positivo, um dbito um nmero negativo,temperaturas acima de zero so positivas, abaixo de zero so negativas, tambm em relaoao nvel do mar, os pases que esto acima do nvel do mar tem altitudes positivas, abaixo donvel do mar altitudes negativas, se voc prestar ateno ao seu redor vai encontrar muitosnmeros negativo e positivos.Reta Numrica InteiraObserve que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos nmeros, eles estocrescendo da esquerda para a direita, -7 menor que -6, 0 maior que -1 e assim em diante. Vamos comparar alguns nmeros inteiros.a) -5 > -10,b) +8 > -1000,c) -1 > -200.000,d) -200 < 0,e) -234 < -1,f) +2 > -1,g) g) -9 < +1Lembrete:1: Zero maior que qualquer nmero negativo.2: Um o maior nmero negativo.3: Zero menor que qualquer nmero positivo.4: Qualquer nmero positivo maior que qualquer nmero negativo.Nmeros opostos ou simtricosObserve que a distancia do -3 at o zero a mesma do +3 at o zero, estes nmeros sochamados de opostos ou simtricos. Polcia Rodoviria Federal 3 4. Matemtica para Concursos Logo:- 2 oposto ou simtrico do + 2, + 20 oposto ou simtrico do - 20, - 100 oposto ousimtrico de + 100.Adio e Subtrao de Nmeros Inteiros Exemplos:a) (+3) + (+7) = + 3 + 7 = +10 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos nmeros)b) (-9) + (-8) = - 9 - 8 = -17 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dos nmeros)c) (+12) + (-10) = + 12 - 10 = +2 (tiramos os parentes e conservamos os sinais dosnmeros)d) (+15) - (+25) = + 15 - 25 = 5 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do nmero queestava depois da subtrao)e) (-18) - (-12) = -18 + 12 = -6 (tiramos os parentes e trocamos o sinal do nmero queestava depois da subtrao) Lembrete:Para facilitar seu entendimento, efetue esta operaes pensando em dbito(nmero negativo)e crdito(nmero positivo), + 3 + 7, tenho 3 reais se ganhar 7 fico com 10, - 15 + 10, devo15 reais se tenho s dez para pagar ainda fico devendo sete ou seja -7, - 5 - 8, tenho umadivida de 5 reais fao mais uma divida de 8 eu fico devendo treze ou seja -13.Multiplicao e Diviso de Nmeros InteirosExemplos:a) (+5) x (+8) = + 40 ( + x + = +)b) (-8) x (-7) = + 56 (- x - = +)c) (-4) x (+7) = - 28 (- x + = -)d) (+6) x (-7) = - 42 (+ x - = -)e) (-8) : (-2) = + 4 (- : - = +)f) (+18) : (-6) = - 3 (+ : - = -)g) (+48) : (+2) = + 24 (+ : + = +)h) (-14) : (-7) = + 2 (- : - = +)Lembrete:Observe que a multiplicao ou diviso de nmeros de mesmo sinal o resultado e semprepositivo, a multiplicao ou diviso de nmeros de sinais diferentes o resultado semprenegativo.Potenciao de Nmeros Inteiros Exemplos:a) (+3)2 = (+3) x (+3) = + 9 b) (-2)5 = (-2) x (-2) x (-2) x (-2) x (-2) = - 32c) (-8)0 = 1 (todo nmero elevado a zero igual a 1 positivo) d) (+9)0 = 1 (todo nmeroelevado a zero igual a 1 positivo)e) (18)1 = 18 (todo nmero elevado a um igual a ele mesmo) Importante: (-2)2 = (-2) x (-2) = 4 diferente de - 22 = -(2) x (2) = - (4) = - 4No primeiro caso tanto o sinal quanto ao nmero esto ao quadrado e no segundo caso apenaso nmero est elevado ao quadrado.Radiciao de Nmeros InteirosExemplos:a) (lembre-se que 5 x 5 = 25)b) (lembre-se que 7 x 7 = 49)c) (lembre-se no existe raiz quadrada de nmero inteiro negativo)d) (observe que neste caso o menos est fora da raiz, sendo assim existe a raiz)e) (lembre-se (-2) x (-2) x (-2) = - 8) Neste caso raiz cbica e no raiz quadrada.d) (lembre-se (2) x (2) x (2) = 8) Polcia Rodoviria Federal 4 5. Matemtica para ConcursosResolvendo Expresses Numricas com Nmeros InteirosPrimeiro eliminamos os parnteses, como antes a) - [ - 3 + 2 - ( 4 - 5 - 6)]dele tinha um sinal de menos todos os nmeros = - [ - 3 + 2 - 4 + 5 + 6]saram com sinais trocados, logo depois eliminamos =3-2+4-5-6os colchetes, como tambm tinha um sinal de = 7 - 13menos todos os nmeros saram com os sinais =-6trocados, somamos os positivo e o negativosPrimeiro resolvemos dentro do parnteses, depois b) { - 5 + [ - 8 + 3 x (-4 + 9) - 3]} multiplicamos o resultado por 3, logo aps = { - 5 + [ - 8 + 3 x ( + 5 ) - 3]} eliminamos os colchetes, como antes deste tinha = { - 5 + [ - 8 + 15 - 3]} um sinal de mais, todo os nmeros saram sem = {- 5 - 8 + 15 - 3} trocar sinal, eliminamos tambm as chaves, = - 5 - 8 + 15 - 3 observe que tambm no teve troca de sinais pelo = - 16 + 15 mesmo motivo anterior, juntamos positivo e =-1 negativos.Conjuntos numricos: racionais e reaisConjuntoConceito primitivo; no necessita, portanto, de definio.Exemplo: conjunto dos nmeros pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }.Esta forma de representar um conjunto, pela enumerao dos seus elementos, chama-seforma de listagem. O mesmo conjunto tambm poderia ser representado por uma propriedadedos seus elementos ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderamosescrever:P = { x | x par e positivo } = { 2,4,6, ... }.Relao de pertinnciaSendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x 0 A , onde o smbolo 0significa "pertencea".Sendo y um elemento que no pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notao yA.O conjunto que no possui elementos , denominado conjunto vazio e representado por .Com o mesmo raciocnio, e opostamente ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qualpertencemtodos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo smbolo U.Assim que, pode-se escrever como exemplos:i= { x; x x} e U = {x; x = x}.SubconjuntoSe todo elemento de um conjunto A tambm pertence a um conjunto B, ento dizemos queA subconjunto de B e indicamos isto por A d B.Notas:a) todo conjunto subconjunto de si prprio. ( AdA)b) o conjunto vazio subconjunto de qualquer conjunto. ( A) idc) se um conjunto A possui m elementos ento ele possui 2m subconjuntos.d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A denominadoconjunto das partes de A e indicado por P(A).Polcia Rodoviria Federal 5 6. Matemtica para ConcursosAssim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A dado por P(A) = { , {c}, {d}, {c,d}}e) um subconjunto de A tambm denominado parte de A.Conjuntos numricos fundamentaisEntendemos por conjunto numrico, qualquer conjunto cujos elementos so nmeros. Existeminfinitos conjuntos numricos, entre os quais, os chamados conjuntos numricos fundamentais,a saber:Conjunto dos nmeros naturaisN = {0,1,2,3,4,5,6,... }Conjunto dos nmeros inteirosZ = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... }Obs: evidente que N d Z.Conjunto dos nmeros racionaisQ = {x; x = p/q com p 0Z,q 0Zeq 0 }.Temos ento que nmero racional aquele que pode ser escrito na forma de uma frao p/qonde p e q so nmeros inteiros, com o denominador diferente de zero.Lembre-se que no existe diviso por zero!So exemplos de nmeros racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 =7/1, etc.Notas:a) evidente que Nd d ZQ.b) toda dzima peridica um nmero racional, pois sempre possvel escrever uma dzimaperidica na forma de uma frao.Exemplo: 0,